A mozgás elemi tulajdonságai Dinamika Súlyos és tehetetlen tömeg Kényszermozgás Bolygó mozgás d Alembert...

Átírás

1 Fzka kegészítő Vázlat Tartalojegyzék A ozgás ele tulajdonsága... Dnaka... 3 Súlyos és tehetetlen töeg... 3 Kényszerozgás... 4 Bolygó ozgás... 5 d Alebert... 5 Ipulzus, ozgásennység... 6 Munka... 6 Konzervatív erők... 7 Merev testek kneatkája és sztatkája... 7 Forgatónyoaték... 8 Az pulzusnyoaték... 8 Súlypont... 9 Stabltás... 0 A vrtuáls unka elve... Mérleg egyensúlya... A rugalas ütközésről... 3 Térerő... 5 Hdrosztatka... 6 Úszás... 6 Aerosztatka... 8 Hdrodnaka... 8 Felület feszültség... 8 Örvény, forrás, forgatag... 9

2 Deforálható testek echankája... A statka törvénye... 6 Szuperpozícó leve (Ludwg Eduard Boltzann )... 6 De Sant-Venant-elv (Adhéar Jean Claude Barré de Sant-Venant )... 6 Bett-féle recproctás elv (Enrco Bett 83 89)... 6 Reológa... 7 A reológa axóá... 7 Az elasztkus alaprendszer... 8 A vszkózus alaprendszer... 8 A plasztkus alaprendszer... 8 Folyásgörbék (Ostwald, Bngha)... 9 Soros és párhuzaos reológa odellek... 3 Optka... 3 Színtan... 3 Időegyenlítés, dősznkron Mérések elve Metrológa (összehasonlító, stb) Áraló ennységek Mennységek érése Mértékegységek értelezése (IUPAC) száítás példa az összetétel aránnyal kapcsolatban A ozgás ele tulajdonsága Az általános ozgás pályaent tulajdonságat a baloldal ábrán láthatjuk. Az első szakasz: egyenletes gyorsuló ozgás. A ásodk szakasz: állandó sebességű (egyenletes) ozgás. A haradk szakasz: egyenletesen lassuló ozgás. Megfgyelhető az ntegrál és a dervált függvény kapcsolata (nulladelső- és ásodfokú függvény) Körozgás és egyenes vonalú ozgás körozgás. Vektor, derválás. Skalárszorzat. Ferde hajítás: x v0t cos ; z v0t sn g t út v x v 0 cos ; v sn g t v z a 0 ; g gyorsulás x a z 0 sebesség

3 pályaegyenlet z g f ( x) x tg 0 x v cos 0 A Hold ásodperc alatt 00 -t tesz eg és,4 t esk polárs-derékszögű x r cos t ; y r sn t ; t s s 0 v t a t egyenes vonalú ozgás 0 t t forgó ozgás Dnaka axóa: egyszerűek, egyástól függetlenek, ellentondásentesek, teljesek Newton törvénye I. Mnden test egarad a nyugalo (vagy az egyenes vonalú egyenletes ozgás) állapotában, íg ás testek hatása ozgásállapotának egváltoztatására ne kényszerít A legegyszerűbb ozgás. Vonatkoztatás rendszer: nercarendszer II. A testeknek ás testekre való hatását erőnek nevezzük, ez alkalas a ozgásállapot egváltoztatására. Egy pontszerű test a gyorsulása egyenesen arányos a testre ható (a gyorsulással azonos rányú) F erővel és fordítva arányos a test töegével (elektroos töltés ozgatása erő) Dnaka erőérés F= a= a a a a T a r r tehát T a T a lengésdők hányadosa A töeg addtív, ezért skalár. A töegek összege akkor s állandó, ha halazállapot-változások, vagy kéa átalakulások játszódnak le (Loonoszov-Lavoser) Itt egelítendő az extenzív, aely addtív és skalár, valant az ntenzív, aely kegyenlítődő és vektor (extenzív: töeg, vllaos töltés, hő). Hajtóerő: ntenzív (erő, nyoás, nyoaték, hőérséklet, vllaos és ágneses térerő) Súlyos és tehetetlen töeg G= g (erőtérből) F= a (gyorsulásból)

4 Statkus érlegelés (kétkarú érleg) összehasonlítás elve (rugós érleg) Ha egy test hoogén, akkor nden ele részecskéjében azonos tulajdonságú. ρ sűrűség d a légkör levegő sűrűsége egy adott rányban folytonosan változó értékű V V dv l=,00008 d 3 (a ár érvénytelen) III. a kölcsönhatás törvénye. Ha egy testre egy ásk F erővel hat, akkor a ásk testre az egyk ugyanakkora erővel hat IV. Az erőhatások függetlenségének elve. Ha egy anyag pontra több erő hat, akkor hatásuk azonos az eredőjükkel jellezett egy erő hatásával -> szuperpozícó elve Egyensúly: ha ez az erő nulla értékű Rezgőozgás: F Dx drekcós erő (a rugóállandó recproka) a x és F x d x (a rezgő rendszer független az apltúdó nagyságától) D D és T D (75. oldal) Kényszerozgás Kényszerozgások Szabad ozgás (pl. az égtestek ozgása) Kényszerozgás: erev testtel határolt ozgás (kényszerfeltétel: fonálnga, vasút sín, asztallap) a F sz F a test gyorsulása a szabaderők és kényszererők összegével arányos k

5 Mozgás lejtőn. A lejtővel párhuzaos F l=f sz erő súrlódásentes állapotban F sz g sn gyorsuló ozgást hozna létre A lejtőre szorító erő kényszererő (F k=f ny) elozdulást létrehozn. Ez az erő akár ksebb, akár nagyobb, értékét pontosan ugyanakkora ellenerő egyensúlyozza k. Ebből száítható a súrlódóerő. A száraz súrlódás (dry frcton) esetéről beszélünk. F k g cos. Ez az erő ebben az rányban ne képes Tapadás, nyugvásbel súrlódás = statc frcton, Haftrebung, Ruherebung, frotteent statque Mozgásbel, csúszó, knetkus súrlódás = knetc, sldng frcton, Gletrebung, frotteent cnétque Mozgás lejtőn súrlódással F gsn cos Bolygó ozgás I. A bolygók ellpszspályákon kerngenek, aelyeknek egyk gyújtópontjában a Nap áll II. III. A Naptól valaely bolygóg húzott ráduszvektor egyenlő dő alatt egyenlő területet súrol A kerngés dők négyzete arányosak a nagytengely köbevel (Kepler) 3 4 T r F r r, C N T T r 3 r T N ; C, tovább: F 4 CN r r M C N-nek tartalazna kell a Nap töegét, tehát 4 CN M N és így F, ahol a γ r M unverzáls állandó. Súlyerő esetén g. r M g r kg s 5,97 0 kg 3 4 6,67 0 9,80665 s és 3 g r s M kg kg s F r N M kg (szabaderő-forátu); (kényszererő-forátu). Tanulság: a értékegységeket ne szabad értele nélkül egyszerűsíten, ert ezzel elvész az ábrázolt ennység jellege. d Alebert * Az egyensúly feltétele: F 0. Ha ozgás van, F a 0 Legyen F a (d Alebertféle erő), akkor F F * 0, vagys a dnaka probléák statka probléákra vezethetőek vssza. Jean le Rond d Alebert (77-783) Églse Sant-Jean-le-Rond teploról kapta a nevét.

6 Ipulzus, ozgásennység I v Newton ásodk törvényének teljes alakja: d v di F dt (az erőlökés). Ha a töeg dv változatlan, akkor F a, ha a dt d sebesség változatlan, akkor F v v q. A d t töegáraot jelölhetjük q -el, lletve I -el (hasonlóan egyéb áraokhoz). A töegárasűrűség az ehhez kapcsolódó ksbetű: kg kg I s s Munka W W F d s F s, ele ks ennységekből: di F, tehát dt F d v ahol dt A súlyerő ellen végzett unka W g h Tetszőleges erő tetszőleges útvonal entén: W F s cos. Ebből látható, hogy a unka skalárs ennység. A súlyerő ellenében végzett unka a egtett út függőleges vetületéből száítható, ert ez esk az erő útvonalába. Súrlódás unka: W G s Rugalas erő W D x F D x unkája: W F x ; az erő a egtett úttal arányosan változk, ezért: Gyorsító erő F a : unkája: W v W F s a a t a t v A baloldal ábrán egyetlen apró különbség látható. A töeg azonos, tehát az erő arányos a gyorsulással. Felül a gyorsulás látható a egtett út függvényében, alul a vonóerő. A vonóerő és a egtett út szorzata a unkavégzés. A fogaskerekű otorját völgyenetben generátoros üzeódban járatják, ezért regeneratív

7 féküzeben űködk, energát terel vssza a hálózatra. A gőzozdony azonban ne tud lejtenetben szenet tereln. Konzervatív erők A últban az elnevezések ne voltak egységesek. Jelen esetben az erő kfejezés akár unkát, vagy energát s jelenthet. Konzerválódás -> konzervatív erők Ellentéte: a dsszpatív erők (ezek vsszavonhatatlanul veszteségbe ennek)- jellegzetesen lyen a súrlódás. Ne cáfoltuk eg az energa egaradás törvényét; csupán arról van szó, hogy a súrlódás eredényeképpen letört részecskék és a keletkezett hő ne változtatható vssza reverzblsen súrlódás unkává. Merev testek kneatkája és sztatkája Helyzet a térben: középpont; x, y, z koordnáták. Euler ( ): 6 szabadság fok xa, ya, za, xb, yb, zb, xc, yc, zc klenc adat volna, de redukálható 6-ra. Képzeljünk el egy gen egyszerű testet (téglatest, aelynek éle és oldala erőlegesek egyásra) Ha serjük az A pont helyzetét háro koordnátájával (és serjük az AC hosszúságát), akkor a C pont egy göb felületén akárhol lehet. Ha serjük C pont helyzetét (sét háro koordnáta), akkor a B pont egy körvonal entén bárhol lehet (az AC tengely körül egforgatott térbel pont) Ha serjük B pont helyzetét (sét háro koordnátával), akkor a test teljes egészében eghatározott. Ez összesen klenc koordnáta. Ez a szá azonban csökkenthető, ha serjük a belső összefüggéseket. Ilyen például a testátló: d AC x C x A yc y A zc z A Valaenny összefüggést fgyelebe véve az egyástól függetlenül egadható adatok száa 6. Ezt Euler szabadság foknak nevezte el. Kevesebb adat egadása ne elégséges; több adat egadása túlhatározott értékegadást jelent. Az adatok egadhatók ás forában s, például 3 hosszúság és háro szög; elozdulás 3 rányban (transzlácó) és elfordulás 3 tengely körül (rotácó). A legáltalánosabb ozgás s felírható ele transzlácók és ele rotácók egyásutánsá gával

8 (szuperpozícójával). A transzlácók sorrendje ne befolyásolja az elozdulások eredőjét. A rotácók sorrendje ne cserélhető fel (Rubk Ernő, Rubk-kocka). Nagy elfordulásokra a vektoráls szelélet ne vhető át, ert a rotácó csak egytengelyű forgásra értelezhető. v r sn (abszolú érték) v r (vektor) A ozgás középpontja az O orgó. A P ponthoz húzott sugár jele r. Ennek vetülete a v kerület sebesség vektor síkjára ρ. Forgatónyoaték A baloldal ábrán a d kar és F erő azonos nagyságú, de ellentétes előjelű nyoatékot hoz létre, nt a d karon az F erő nyoatéka. Ezért a test egtartja forgás ozgásállapotát (egyszerűbben: ne forog). Az pulzusnyoaték Az erőpár nyoatékvektora önagával párhuzaosan a testen belül akárhová eltolható. Az ábrán az M és M nyoatéka azonos nagyságú és ellentétes előjelű, eredőjük tehát nulla: a test egtartja forgás ozgásállapotát (a legegyszerűbb estben: ne forog). Ha M nyoaték táadáspontját a testen belül eltoljuk, az egyensúly továbbra s fennáll. Ebből következtethető az erőrendszer redukálása: több erőpár nyoatéka egyetlen erőpár nyoatékával helyettesíthető. di A ozgásennység (ás néven pulzus) dőderváltja az erő: F (előzőleg így írtuk) dt d v F. Az alábbakban vektorennységekkel száolunk. Ennek egyk következénye, hogy a dt szorzandók sorrendje lényeges. Például r F azonos nagyságú, de ellentétes előjelű F r-hez képest. Ennek nyoatéka valaely középpontra: r F di r dt

9 Pontrendszer esetén tetszőlegesen sok lyen nyoaték egyensúlya: r F derváltja: d r I dt dr sebesség és az dt dr I dt di r dt r di dt. Teljes. Ennek a kfejezésnek a baloldal tagja zérus, ert a I v pulzus azonos rányúak, ezért vektoráls szorzatuk nulla. Képezhető tehát a vektorok nyoatéka: N r I r v N. Ez a rendszer teljes pulzusnyoatéka (ás néven pulzusoentua, vagy forgás pulzusa). Ennek seretében száítjuk a rendszerre külső ható erők forgatónyoatékának eredőjét: M M r F dn pulzusnyoaték tétele tehát: M. Egy echanka rendszer pulzusnyoatékának dő dt szernt vett dfferencálhányadosa egyenlő a rendszerre ható külső erők eredőjével. A vonatkoztatás pont az nercarendszer bárely nyugvó pontja, vagy akár a súlypontja s lehet. Az ntegrálás szabályok értelében, ha M=0, akkor N=konstans, N r v. Az const. Ez az pulzusnyoaték egaradásának tétele. Ha a rendszerre ne hatnak külső erők (zárt rendszer), vagy, ha a külső erők forgatónyoatékanak eredője zérus, akkor a rendszer pulzusnyoatéka állandó. Alkalazva egyetlen töegpontra: (r v)=konstans és (r F)=0 Centráls erőkről van szó (rányuk ndg a vonatkoztatás pont felé utat); a r v szorzat a ráduszvektor által súrolt terület kétszerese. Vzsgáljuk eg az pulzusnyoaték abszolút értékét! N r v. Ha ezt a térben valaely z tengely körül forgásra vzsgáljuk, aely szöggel tér el N rányától, akkor a rádusz vektor vetülete r cos l és v l. Következésképp az pulzusnyoaték abszolút értéke a z tengelyre N z l ; összegezve valaenny töegpontra: N z Nz zl. Utóbb függ a test töegeloszlásától: l x y, a pontrendszernek a z tengelyre vett tehetetlenség nyoatéka. Ezzel az értékkel kfejezve a fent egyenletet: N z z, több erev test esetén ezek szuája: N... Átrendezve az egyenletet: z z Súlypont z z z z z 3z 3z A tetszőlegesen sok pontból álló rendszert anyag pontok halazának nevezzük (lyennek tekntjük a súlypont szepontjából a hoogén testeket s). Mnden, egynél nagyobb anyag pontból álló testnél található egy olyan pont, aelyben az g erő (Newton IV. törvénye) azonos hatású, nt az eleekre ható erők összege. Az orgót ne kell feltétlenül a súlypontba helyeznünk.

10 x s x egész test töege), valant y s y z (esetleg a térben): zs ahol egész (az Stabltás A G súlyerő táadáspontja ndg a súlypontban van (az ábrán S). Vele azonos hatásvonalú, eltérő táadáspontú, de vele azonos nagyságú F erő többféle stabltás helyzetet hoz létre. Az erők egyensúlya att a test helyben arad. Nyugal állapotban ndháro ábrán az erő kar nulla, ezért az eredő nyoaték s nulla. Ha azonban bárlyen zavarás kozdítja helyzetéből a testet, akkor az a esetben vsszatérítő nyoaték jön létre, c esetben ne jön létre nyoaték; azonban a b esetben létrejövő nyoaték tovább növel az elfordulást. Éppígy: az óraüvegen egyensúlyban arad a golyó ndaddg, aíg a helyzetéből k ne lendít vala. A következő ábrán az állásszlárdság háro lényeges esetét látjuk. Az A ábrán a szélső alátáasztás pont jele E. Az g súlyerő táadáspontja az S súlypont. A súlyerő az S és E pontok vízszntes vetületével eghatározott forgatónyoatékot hoz létre, aely az alátáasztás felületre szorítja a testet. Látjuk: a test egozdítása Δh értékkel egeel a súlypontot, tehát unkát kellene végezn a gravtácós tér ellenében, hogy ez egvalósuljon. A B ábrán az erő kar gen kcs, tart a nullához. A C ábrán a súlyerő hatásvonala a szélső alátáasztás ponton kívülre esk, ezért felborítja a testet. Szokás a stabltás estét ás egközelítésben vzsgáln. Ehhez felveszünk az S pontból jobbra egy akkora vízszntes hatásvonalú (felborítást elődéző) erőt, aellyel az eredő éppen a szélső alátáasztás pont felé rányul. Értéke tehát épp egyenlő a stabltás határesetével. Ennek alapján egfogalazható a bztonság tényező, például így: a felborítást elődéző erő nyoatéka ne lehet nagyobb, nt a súlyerő nyoatékának a 90 százaléka.

11 A vrtuáls unka elve Az egyensúly helyzetből kozdítva nncs olyan vrtuáls elozdulás, aelynél a szabaderők unkája poztív lenne. A szabaderő jelenleg az g súlyerő, ez azonban ne eeln tudja, hane lefelé képes elozdítan a testet. Az ábrán a, b és c a vrtuáls elozdulások ránya. A felfüggesztést egvalósító fonalat végtelenül erevnek tekntjük, ezért a fonál rányában ne jöhet létre elozdulás.

12 Mérleg egyensúlya Az ábrán kétkarú érleg látható, aelynek ndkét karja l hosszúságú, S súlypontjában hat a G 0= 0g, a szerkezet súlya. Mndkét kar végén eredetleg töeget helyeztünk el, aelyek g súlyerőt hoztak létre. Ha a két érlegkar végén eltérő nagyságú súlyokat helyezünk el, a érleg elhagyja egyensúly állapotát, és egváltozott állapotban vesz fel új egyensúly helyzetet. Az eltérést G g gen kcs többlet okozta, eatt a érleg φ értékkel elfordult. Az egyensúly helyzetet a érleg ozgó részére ható nyoatékok egyensúlyából írjuk fel. Elhagyható a két érlegkarra ható M l G l g nyoaték, hszen az a két oldalon egyenlő nagyságú, de ellentétes előjelű. Elegendő a különbségként ható nyoatékokat felírn. Az elfordulást elődéző nyoaték M g l cos. A szerkezet önsúlya ezzel ellentétes nyoatékot hoz létre: M g sn. Egyensúlyban egyenlők egyással: g l cos 0 g s sn. Látjuk, a 0 0 s érleg egyensúlya független a gravtácós erőtér nagyságától: a szögfüggvényre vonatkozó összefüggést! l cos 0s sn. Alkalazzuk l tg. Tudjuk azonban, hogy a nagy pontosságú s érlegeknek gen kcs az elfordulásuk. Ilyenkor a szög és a tangense közel egyenlő egyással: l tg. Így a fent összefüggés tovább egyszerűsíthető:. Ebből képezzük a érleg s érzékenyégének értékét; azt, hogy a ért ennység egváltozása ekkora elozdulást l (elfordulást) déz elő a érőűszeren: É. Látjuk ebből, hogy s. a érlegkar hossza növel a érleg érzékenységét 0 0 0

13 . a érleg elforduló részének saját töege csökkent a érleg érzékenységét 3. a érleg elforduló része súlypontjának távolsága a forgásponttól csökkent a érleg érzékenységét A súlypontnak a forgásponttól való távolságát változtatn lehet egy ks csavarral, aely az elforduló rész tetején található (ott, ahol az ábrán az O betű látható). Érdees egjegyezn, hogy az érzékenység növelésével a érleg lengés hajlaa s növekszk. Gauss: felcseréléses érlegelés. Eljárása kküszöböl azt a hbát, ha a két érlegkar ne pontosan egyenlő hosszúságú. Ezért az első érés után felcserél egyással a érendő töeget és a érlegsúlyt (áthelyez a ásk serpenyőbe). A érlegelés eredénye a két érés szátan középarányosa. Borda: helyettesítéses érés söréttel. Eljárása kküszöböl a két érlegkar hosszának eltérését, valant a érlegkarnak a terhelés következtében létrejött alakváltozását (eghajlását). Elsőként kegyensúlyozza a érendő testet a ásk serpenyőbe beleszórt söréttel, vagy vasreszelékkel. Utána elvesz a érendő testet, és érlegsúlyokat tesz a helyébe ndaddg, aíg a érleg egyensúlya sét helyre ne áll. A rugalas ütközésről A rugalas ütközés leírása ne foglalkozk azzal, hogy az ütköző testek szenvedtek-e alakváltozást ütközés közben. Csaks az ütközés előtt és az ütközés után állapotot vzsgálja. (Angol: elastc collson). és töegek ütköznek. Ütközés előtt sebességük v és v. Ütközés után sebességük v ' és v '. ' ' Az pulzus (súlypont) egaradásának tétele: v v v v A knetka energák egaradásának tétele: ' ' v v v v Egyszerűsítve egyketteddel: ' ' v v v v Az azonos töegeket az egyenlet azonos oldalára rendezzük: ' ' v v v v ' ' v v v v Ha elosztjuk az egyenletek baloldalat egyással és jobboldalat s egyással, akkor az egyenlőség érvényes arad (bzonyos perefeltételekkel, pl. egyk töeg se nulla nagyságú):

14 v ' ' v v v v v v v ' ' összefüggés egyszerűsödk: A száláló nevezetes szorzat (összeg és különbség szorzata), ezért az v ' ' v v v ' ' Ezt -vel egszorozva, ajd v '-t kfejezve kapjuk: v v v v Ugyanígy, a ozgásennységekre vonatkozó egyenlőségből: ' ' v v v v A két kfejezést egyenlővé tesszük egyással: ' ' v v v v v v Mnthogy az -es jelű testnek az ütközés után sebessége érdekel bennünket, v ' szernt rendezzük az ' ' egyenletet: v v v v v v ' v v v Keelve a sebességeket: Ebből v ': v ' v v Ha például a két töeg nagysága egegyező, az első tag kesk; azaz az -es töeg a -es töeg sebességét vesz fel. Más szóval: a sebességek kcserélődnek. Ha például v =0 és =végtelen (erev falba való ütközés), akkor a ásodk tag esk k, és v '=-v, tehát ütközés után az -es töeg ellentétes rányú, de azonos nagyságú sebességgel ozog. (Gaspard-Gustave de Corols: Théore athéatque des effects du jeu de bllard, Pars, 835.) Rugalatlan ütközésnél (nelastc collson, unelastschen Stoß) a két test sebessége az ütközés után ' ' ' ' v v egyenlő: v v Ebben az esetben v v v s (a súlypont sebessége) v Például, ha és nyugaloban volt (v =0), akkor v v 0 ' ' v. Elvekben tehát lyen rugalatlan ütközésnél csak az energa fele adódk át. Az energaveszteség (ez hővé alakul) Mérését a rugalatlan ütközés együtthatóval (Coeffcent of resttuton, Resttutonskoeffzent) v végezzük v ' v v ' v v. Mérhető például úgy s, hogy a vzsgálandó testet adott agasságból leejtjük, és érjük: lyen agasra pattan vssza. A sebességek a helyzet energákból száíthatóak: v g h ; v g h és így h h

15 Térerő A Föld erőterét a gravtácó és a centrfugáls erő határozza eg. A felület szögsebessége a Nap körül 365nap ozgást fgyelebe véve az dő értékéből ( t 4h 3600s 8663,9s ) 366nap rad rad 0, A radán per szekunduot általában így írják: s - A centrfugáls 8664s s gyorsulás a c r 6,37 0 7,9 0 s 0, Ezért az eredő gyorsulás változó s értékű. Például Zürchben 9,80665 /s, Budapesten 9,8085 /s. Ha kfejezzük valaely testre ható erőt, az Newton szernt (vektoráls forában): M r F (az töegre vonatkozóan) írható a következő forában s: F K, ahol a K r r vektorennység; a gravtácós térerősség; a töegegységre ható erő. Erővonalak: görbék, aelyek érntője a térerősség rányába esk (ks léptékben szelélve egyenesek). Szntvonalak: erőlegesek az erővonalakra; összekötk azokat a helyeket, ahol azonos a térerő nagysága. Térbel elhelyezkedésük szepontjából szntfelületekről beszélünk. Hoogén erőtér: erővonala párhuzaosak, következésképp a szntvonalak s párhuzaosak. Eléletleg a vlágtengerek felülete szntfelület (nívófelület). Newton-féle göbszetrkus erőtér: erővonala egy centru felé tartanak, nt például a Föld középpontja. A szntfelületek ebben az esetben koncentrkus göbfelületek. (A vlágtengerek felszíne akroszkóposan nézve valójában a geod felületét követ.) B Munkavégzés erőtérben: W F d s E eghatározza, hogy ekkora a unkavégzés, ha az A s p A ponttól B pontg ozdítunk el valat és a egtett út jele s (latnul: spatu). Itt ΔE p a potencáls energa egváltozása. Ha F= K, akkor W U F ds tehát az U potencál az a unka, aellyel az egységny töeget a zérusból valaely K ds tetszőleges pontba vsszük. A potencál értékegysége a térerő és az út értékegységéből: s s U K s M r kg s. A Föld erőterében a felszínen például 5,97 0 kg 6, U 6,67 0 6,50. Másképpen: U g h 6 du Az U K ds űvelet egfordítása: K (a egtett út helyébe ost a függőlegesen ért dz elozdulás jelét, a z betűt írjuk). Ennek ateatka felírása: K grad U, tehát a térerő a potencál negatív grádense. s

16 Hdrosztatka A folyadék a Pascal-elv szernt fogalazható eg: a súlytalan folyadék belsejében és határfelületén a nyoás ndenhol ugyanakkora, és független a felületele rányítottságától. A felületele rányítottsága eghatározható a középpontjában a felületére húzott erőlegessel, ennél fogva vektorennység. Görbe felületeknél a felületele középpontjához suló göböt képezünk. Ennek középpontjától a felületeleg húzott vonal a görbület sugár, a görbület a görbület sugár recprok értéke. A felületele eghatározható egy, a felületelere erőleges vektorral, aelynek ránya a rádusz vektoréval azonos, nagysága pedg a felületele nagyságával. Doború felületeknél a felületele vektor (a felületele norálsa) kfelé utat. A folyadéknak az deálstól való eltérését kétféleképpen szokás eghatározn. Az egyk a nyíróerő (a folyadéksúrlódás), a ásk a folyadék összenyohatósága, a kopresszbltás. Bővebben az deáls folyadék tulajdonsága: ne alaktartó nkopresszbls (térfogattartó) részecské között kzárólag nyoóerők adódnak át részecské végtelen kcsny göb forájúak a teret egyenletesen töltk k tulajdonságat tekntve zotróp és hoogén szabad felszíne erőleges a rá ható erők eredőjére (nívófelület) a nyoás nden rányban egyforán terjed A reáls folyadék részecské között egyéb erők s átadódnak, például nyíróerők, elektrosztatkus és ágneses erők (a vízolekula polárs; van negatív és poztív töltésű elee). A víznek reáls folyadékként bar nyoáseelkedésnél 0-5 -en értékben csökken a térfogata. Ez SI értékegységben 0 - Pa - értéket jelent. A víz olárs ágeneses szuszceptbltása, /ol, elektroos szuszceptbltása 79. A vízolekula súlyzó forájú. Tehetetlensége egyenes vonalú ozgás vonatkozásában (például rezgése) azonos, de a forgó ozgás tekntetében ne: pörgő ozgása, vagy oszcllácója a olekula tengelyétől függően eltérő lehet. Archédesz: a folyadékba erített testre felhajtóerő hat, aely azonos a beerülő résszel egyenlő térfogatú folyadék súlyával Úszás A folyadékba erített test helyzete hároféle lehet:. ha sűrűsége nagyobb, nt a folyadéké, akkor leerül

17 . ha sűrűsége azonos a folyadékéval, akkor lebeg 3. ha sűrűsége ksebb, nt a folyadéké, akkor felúszk a felszínre A baloldal ábrán eltérő forájú úszó testek láthatóak, á úszás szepontjából helyzetük ndfferens (eghatározhatatlan). A súlyerő és a felhajtóerő hatásvonala ugyans egybeesk. Ezért eredet helyzetéből kbllentve ne képződk olyan nyoaték, aely vsszabllentené eredet helyzetébe. A jobboldal ábrán a stabl, b labls helyzet látható. Az a ábrán a G súlyerő táadáspontja az S súlypontban van. A felhajtóerő táadáspontja az S f pontban látható, és erőpárt képezve a súlyerővel vsszafelé forgatja az úszó testet eredet nyugal állapotába. A b ábrán vszont ez az erőpár tovább növel a test elfordulását, tehát felborítja. A következő ábrán ennek a jelenségnek ásféle ábrázolását látjuk. A súlyerő eredet hatásvonalát pros szín jelöl, íg a B pontban táadó felhajtóerő súlyvonalát szürke szín jelöl. A két súlyvonal etszéspontja az M etacentru. Az úszó test helyzete stabl, ha a etacentru a súlyerő táadáspontja felett van. (G M a súlyerő hatásvonala, B M a felhajtóerő hatásvonala)

18 Aerosztatka 0 g h p p e 0, p 0 e 0 0g - h p0 A Föld légkörében a nyoás és a sűrűség a agasság exponencáls függvényében csökken. Az eber légzés száára az oxgén parcáls nyoásának eg kell haladna az /3 bar értéket. Ebből következőleg a légzés kb agasságg lehetséges (ott ár ne a parcáls nyoás, hane ég az össznyoás s alacsonyabb, nt /3 bar). Csupán sportolók képesek oxgénhez jutn ennél nagyobb földfelszín felett zónákban légzőkészülék nélkül. Az Apolló űrhajón a legénység légzéséhez /3 bar nyoású tszta oxgén atoszférát hoztak létre. A tszta oxgén váratlan és végzetes tűzvészt okozott (967 január 7). Ugyanez a képlet egagyarázza az anzotrópa jelenségét: a nyoás és a sűrűség egyetlen térbel rányban folytonosan változó értékű, van tehát ránya az anzotrópának. Erre az rányra erőlegesen se a nyoás, se a sűrűség ne változk. Ha dőjárás jelenségek ne volnának, az állandó nyoású értékeket koncentrkus göbfelületek képvselnék a légkörben. Hdrodnaka Felület feszültség Az ábrán a Quncke-féle érleg látható. A rögzített keretet alulról l hosszúságú ozgatható keret határolja. Közöttük szürke színnel jelölt, eghatározható felület feszültségű folyadék van (például szappanhártya). Erre érlegsúlyokat helyezünk ndaddg, aíg a hártya el ne pattan. F h a legnagyobb erő, aellyel a hártya ég ellen tudott álln a szétszakítás erejének. Ez tehát a felület feszültségből szárazó erő. F l Másféleképpen: ha a hártya felületét lδd értékkel egnöveljük, ehhez W nagyságú unkát kellett végeznünk: F l, W F d ld, W A ahol α (néhol γ) a felület feszültség és A ld a keret által egnövelt folyadékhártya felülete. Ez e unka reverzbls. Ha elengedjük a hártyát, az vsszaáll eredet állapotába. Ezért beszélünk E felület specfkus energáról, aely egyenlő a unkavégzéssel E=W, és potencáls energaként vselkedk. Jelenségek a felület feszültséggel kapcsolatban: nedvesítés, folyadékoszlop feleelkedése, általános felületek (Laplace-képlet) Mérés eljárások: csepegtetéses (sztalagoéteres), gyűrű leszakításos, buborékoltatásos, síklap behatolása, függő csepp ódszere (a csepp forájának érése). sztalagoéter száítás példa

19 Örvény, forrás, forgatag Poztív forrás: ahol a vzsgált ennység belép a térbe. Negatív forrás: ahol a vzsgált ennység klép a térből. A hdrodnakában a térfogatokat tekntjük forrásnak. Egy forrás forráserőssége a térfogatára. A gravtácós térben a töegek nevezhetők forrásnak. A vllaosságtanban forrás az, ahol töltések lépnek be a térbe. Forrás általánosságban (poztív és negatív forrás) Forrás a vllaosságtanban (jobboldalt: két poztív forrás erőtere):

20 Forgás általánosságban. Ez a fajta forgóozgás egyaránt előfordul erev testeknél és folyadékoknál s. A ozgás rányát jelző nylak érntőlegesek a körozgáshoz képest, és erőlegesek a részecskéket a forgás centruával összekötő vonalra.

21 A következő ábrán látjuk, hogyan ozognak a folyadékrészecskék két ellentétes határesetben: ha tszta rotácós, vagy, ha tszta transzlácós körozgás jön létre. Rotácós körozgásnál az AB, lletve a DC vonalak sugárrányúak aradnak a körozgás alatt. Ezért a centrutól távolabb eső pontok (B és C) nagyobb ívhosszon ozognak, nt az A és a B. Transzlácós körozgásnál ellenkezőleg: a kjelölt folyadékrészecske valaenny pontjának azonos az elozdulása. A pontokat összekötő vonalak párhuzaosak aradnak egyással (például az AB él párhuzaos arad az A B éllel). A valóságos körozgások e két véglet közé eső általános ozgások. Ennek leírásához felhasználjuk az örvényekre vonatkozó tételeket. Tekntsünk egy folyadékrészecskét, aely zárt göbe entén ozog. Valaely -edk ozgáselee Δs elozdulással jelleezhető, és sebessége az adott pontban v. A sebességnek a ozgás rányára vett vetülete v s. Adjuk össze az elozdulások és a sebességek szorzatát az egész görbe hossza entén! vsds G Ha ne valósan nagy, hane ele ks úthosszakra száítjuk, akkor végtelen jó közelítést kapuk. A körntegrál értéke Г a crkulácó. Ebből egfogalazható a tétel: az áralás örvényentes, ha a V q crkulácó zérus. A q V forráserősségű pontszerű forrás áralás képe: V r v (tt r a t 4r r rádusz vektor, íg r ennek az abszolút értéke). 4πr a göbfelület nagysága; a forrás közvetlen közelében jó közelítést ad.

22 Örvényes áralásnál v r, crkulácós áralásnál k v. Ha az áralás örvényes, a crkulácó az r örvényerősség kétszerese (örvényerősség: A r 3 ). A gravtácós erőtérben Г=0, tehát örvényentes. A forgatag két részből áll. A ag forog, íg a szélén transzlácós körozgást végez (ezt nevez a hétköznap nyelv örvénynek). Az élelszerparban két fontos területen kell ezekről beszéln. A aloparban a porleválasztó cklonok belsejében részben (a palást entén) a forgás centrfugáls erőt hoz létre. Ettől a szecsés részek (lszt) a paláston súrlódást szenvednek, elvesztk sebességüket, és lecsúsznak az ürítő nyílás felé. A hdrocklonok űködése hasonló. Hdrocklonokat és centrfugáls ülepítőket (nt a Dorr ülepítő) a szennyvíztsztítás gyakorlatában használnak. Dorr ülepítő vázlata. A készülék átérője gyakran a 0 étert s elér. Deforálható testek echankája A testekre ható erő és az alakváltozás összefüggése kétféleképpen írható le: Korpuszkulárs egközelítés. A szlárdságtan tulajdonságokhoz serjük az anyag belső szerkezetét és abból következtetünk a vselkedésére Fenoenológa egközelítés. Vzsgálatokat, kísérleteket végzünk, feljegyezzük az eredényt, ebből egserjük az anyag tulajdonságat, de a belső szerkezetét ne. Az élelszerparban előnyösebb ódszer, ert az anyag belső szerkezete rendkívül koplex. A szlárdságtan tulajdonságok a test terjedelén belül lehetnek hoogén nhoogén zotróp anzotróp Robert Hooke (65 703) törvénye (676) kezdetben csak a húzó génybevételre vonatkozott (nyújtás). Az alakváltozás arányos a deforáló erővel, ha az elegendően kcs, s ezért az arányosság határ alatt arad.

23 A rúd eredet hossza l. Ha F erő hat rá, akkor egnyúlk Δl értékkel és d átérője lecsökken Δd l értékben. Ezzel kapcsolatban a következő ennységeket értelezzük: relatív alakváltozás. l Ez jelen esetben nyúlás, de az arányosság határon belül összenyoásra s értelezhető. A d hossztengelyre erőleges rányban értelezzük a befűződés (kontrakcó) értékét:. Ha sert a d rúd A keresztetszete (ne kell feltétlenül kör keresztetszetűnek lenne), akkor a rúdra ható F echanka feszültség. Az anyag tulajdonságat a rugalasság odulus fejez k: E. A Hoogén és zotróp anyagoknál a rugalasság odulus a test terjedelén belül ndenhol állandó. F A egnyúlás ás forában s kfejezhető. Például: l. A relatív nyúlás és a rá erőleges E A d relatív alakváltozás hányadosa a Posson-állandó: d. A negatív előjel kfejez azt, hogy a l l szlárd testek alaktartóak; poztív egnyúláshoz negatív átérő-változás tartozk. A Posson-állandó értéke 0 és 0,5 között érték. Fées szerkezet anyagoknál 0,3 nagyságrendjébe esk, és csak deáls folyadékoknál érhet el a 0,5 értéket. 0,5 kfejez azt, hogy az deáls folyadék térfogattartó. V l l l l l. A szorzat A relatív térfogatváltozás a következőképpen száítható. 3 kértékelésénél tekntetbe vesszük, hogy a relatív alakváltozás gen kcs; a négyzete ég ksebb, s ezért l 0. A térfogatváltozást elosztva az génybevétel előtt V=l 3 térfogattal kapjuk, hogy V l, így V. A relatív térfogatváltozás és a képlete így s írható: V l V E V E V Nyoó génybevételnél, ha az alakváltozás a tér ndháro rányában azonos, p, ahol p a V nyoás, és a kopresszbltás: 3. A K anyag állandó, és a neve: kopresszós K E odulus (angolul: bulk odulus). Ideáls (nkopresszbls) folyadékoknál 0, 5, ezért K 0. Tovább összefüggések: dp K V (a nyoásváltozás térfogat szernt derváltja), dv nyoásváltozás sűrűség szernt derváltja). Ideáls gáz esetén adabatkus állapotváltozásnál), K s dp K (a d p (kopresszós odulus K T p (kopresszós odulus zoterkus állapotváltozásnál). A

24 hang terjedés sebessége K c a sűrűség és a kopresszós odulus értékéből száítható (a hang göbalakú nyoáshulláok forájában terjed). A következő anyag tájékoztató jellegű. A képleteket ne kell egtanuln, de az génybevétel típusát érten kell. A keresztetszet ásodrendű nercanyoatéka I y x da az x tengelyre és I x y da az y tengelyre. A polárs ásodrendű nyoaték: I p r da (a sugár jele gyakran ρ betű). SI értékegysége 4, de ezt rtkán használják. Szokásos értékegysége: c 4. A hajlító génybevétel egyk esete: Az l hosszúságú tartó végének s lehajlása, ha vastagsága b és szélessége a: 3 F l s, ahol a ásodrendű nerca nyoaték 3 E I I ab l E a b s 3 F lletve A hajlító génybevétel ásk jellegzetes esete (szetrkusan terhelt rúd): s 48E l I 3 F

25 Jobboldalt egy olyan rúd látható, aelyet felülről ér terhelés. A eghajlást legnkább körvonallal lehet közelíten. A terhelés felől vonala egrövdül, a terheléstől távolabb része egnyúlk. Következésképp található a rúd belsejében egy olyan vonal, aely ne rövdült eg, és ne s nyúlt eg; azaz: egtartotta eredet hosszát. Ennek neve: rugalas vonal, lletve seleges szál. Ilyennek alkották eg a XIX. században a éter etalont. Az egy étert jelentő vonásokat épp a seleges szál vonalába jelölték be Henr Tresca, a Conservatore Natonal des Arts et Méters (a párzs űszak főskola) tanárának javaslatára. A seleges szál angolul neutral axs, N.A. az ábrán), francául fbre neutre. elcsavarodás szöge G F A, ahol G a csúsztató (torzós) rugalasság odulus, A pedg az elcsúszott felület nagysága. A nyírás génybevétel ábráján látjuk, hogy az alakváltozást okozó erő az alakváltozás síkjában hat. Látható az s, hogy ennek a képzeletbel téglatestnek a véglapja elfordult eredet helyzetéből. Következésképp a nyíró (csúsztató) génybevétel szlárdságtanlag azonos a csavaró (torzós) génybevétellel. Az A csavaró génybevétel leírásához a körhenger vselkedését vzsgáljuk. A henger fedőlapja helyben arad, és alaplapját M nyoatékkal terheljük, akkor kétféle elcsavarodást érhetünk. Az egyk az alaplap elfordulása, a ásk a henger egyk alkotójának elcsavarodása. Az alaplap l elcsavarodás szöge M, ahol G a torzós rugalasság G R 4 odulus, l az alkotó hossza, R a henger sugara és M az alakváltozást elődéző nyoaték nagysága. Hasonlóan a rugóállandó fogalához képezhető olyan ennység, aely az elfordulást okozó rugalas alakváltozást írja le. Ha az F Dx képletben D a drekcós erő az erőből és a egnyúlásból írható fel, akkor felírható a D* drekcós nyoaték az egyenlettel. Hengeres test esetén a drekcós nyoaték M D * 4 * G R D. l

26 Ezzel a képlettel száítják például a tekercsrugók és az órarugók tulajdonságat. Összetett génybevétel egyszerűsített kfejezése (két denzóra) feszültségből alakváltozás alakváltozásból feszültség xx yy E E E xx yy xx E yy xx yy xx yy yy xx zz E xx yy zz 0 xy yx G xy xy E xy γ relatív elcsavarodás, τ nyírófeszültség ( G, ahol a G a csavaró, nyíró rugalasság odulus) A statka törvénye Szuperpozícó leve (Ludwg Eduard Boltzann ) (Superpostonsprnzp: Zur Theore der elastschen Nachwrkungen, 874) A rugalasságtan egyenlete lneársak. A kezdet feltételek és az együtthatók egfelelő egválasztásával az egyenletek új körülények között s kelégíthetőek. De Sant-Venant-elv (Adhéar Jean Claude Barré de Sant-Venant ) (Le Prncpe de Sant-Venant: La résstance des atéraux) Ha egy erőrendszer és egy ásk egyaránt egyensúly helyzetet teret, akkor a vzsgált helytől távolodva az erők hatása csökken, ezért elegendő a kérdéses környezetben vzsgáln az erők hatását. (Példa: rácsos szerkezetet a kötés pontokat egyenként éretezve száítják k.) Bett-féle recproctás elv (Enrco Bett 83 89) (Maxwell-Bett recprocal work theore) Ha a terhelést részere bontjuk, és egyás után F F sorrendben vsszük fel, U belső energa növekényt okoz a unka; ajd, ha F F eltérő sorrendben vsszük fel, U belső energa növekény jön létre, akkor ez a kettő egyenlő egyással: U =U. Az ábrán a P és a Q erők által végzett unka azonos, és felcserélhetők egyással.

27 A echanka feszültség által keltett terkus energa Adabatkus állapotváltozásnál, ha q 0 akkor d du (belső energa növekény) Izoterkus állapotváltozásnál, ha T 0 akkor d df (szabadenerga növekény) f u T s (s a fajlagos entrópa) Deforálható testek (adatok példája) Reológa A reológa a szlárdságtanra építve az anyagoknak a folyás tulajdonságaval foglalkozk, aelyek lehetnek az dő függvénye, de függhetnek ás jelenségektől s. Eredetleg a polerzált anyagok tulajdonságanak leírására fogalazták eg Eugene Cook Bngha 96-ban és Green 99-ben. A reológa kfejezés és a Reológa Társaság (The Socety of Rheology) egalapítása 99-ben Markus Rener ( ) nevéhez fűződk. Elnevezése a görög ρεω (folyás) szóból szárazk (Πάντα ῥεῖ, nden folyk, Herakletosz, ás források szernt Σιμπλίκιος Κιλικία: Splcus Clca). Az élelszerparban lyenek a gélek, szuszpenzók, pépek. Reológa rendszer az, anek tulajdonságat a reológa összefüggése alapján a reológa egyenletevel tudunk leírn. Ezek: az elasztkus, a vszkózus és a plasztkus tulajdonság. Vzsgálat ódszere kétféle ódon értelezhető, a szlárdságtanhoz hasonlóan: Mkroreológa az anyag belső szerkezetének seretéből ndul k, és abból fogalazza eg az anyag tulajdonságat. Makroreológa (vagy fenoenológa, görög φαινόμενoν = egutatás, egfgyelés) hoogénnek tekntett anyagokon végzett kísérletekből kndulva fogalazza eg az anyag tulajdonságokat, a belső szerkezet serete nélkül. A reológa axóá o o o Az zotróp erő hatása reverzbls ndaddg, aíg kéa, vagy szerkezet változás ne következk be A valóságos alakváltozások ndg összetettek és ele alakváltozások szuperpozícóból tevődnek össze. Mnden test különböző értékben hordozza az alapvető reológa tulajdonságokat. Ez a Boltzann-féle szuperpozícós elv. A fzka állandók zérussá válásával a ateatka összefüggések egyszerűbb reológa rendszerek függvényevé degradálódnak.

28 Az elasztkus alaprendszer Az elasztkus alaprendszer tulajdonságat a Hooke-törvény írja F le, E, ahol A és dl l A feszültség relatív alakváltozás ábrán az egyenes eredeksége azonos a rugalasság odulus értékével. A feszültség ne függvénye az alakváltozás sebességnek. A vszkózus alaprendszer A vszkózus alaprendszer tulajdonságat a súrlódásos d folyadékok newton törvénye írja le,, ahol τ a dt nyírófeszültség, η a dnaka vszkoztás együttható d és a relatív alakváltozás dő szernt vett derváltja. dt A reológában nyírósebességnek s nevezk (shear rate, Schergeschwndgket, taux de csalleent). Gyakran használt jele, vagy D. xx yx zx xy yy zy xz yz zz (tehát valaenny sebességkoponens derváltja valaenny rányban). Egyszerűsítve r ránya erőleges egyásra. A plasztkus alaprendszer A plasztkus alaprendszer egy bzonyos terhelés alatt ne szenved alakváltozást. Ennek a határnak átlépése után ne határozható eg az alakváltozás, az akár a végteleng s növekedhet, és ozgása ne jelleezhető a sebesség fogalával. Nagyságát a határnyírófeszültséggel adjuk eg, h, lletve 0. Látható, hogy a jelenség képes a súrlódás leírására s, ezért az alapodell neve: dv z dr, ahol z és

29 súrlódó ele. Az génybevétel nulláról közelít egy olyan határértékhez, aelynél a ozgás ég ne ndul eg. Ennek a szakasznak a eredeksége hasonló a rugalasság odulushoz. Ahhoz, hogy a odell valóban plasztkus ele legyen, e () szakasz eredekségének a végtelenhez kell tartana. Ha ez a (τ ax) feszültség fennaradna, a test gyorsuló ozgást végezne. Ahhoz, hogy a odell valóban plasztkus alapodellként vselkedjék, a feszültségnek le kell csökkenne () a defnícóval egyező τ 0 határfeszültségre. Ahhoz, hogy ez ne legyen több, nt a plasztkus alapodell, ne köthetjük k a ozgás foráját, ne rendelhető hozzá sebesség (ert az a vszkózus alapodell tulajdonsága). Végül, ha a τ 0 fennarad, a test relatív alakváltozása akár a végtelent s elérhet. Folyásgörbék (Ostwald, Bngha) (NIST Specal Publcaton 946 Gude to Rheologcal Noenclature: Measureents n Cerac Partculate Systes) a n / a Carreau Yashuda: Cross: Meter: /

30 Powell Eyrng: Kndulás: a Hagen Poseulle-törvény 0 snh q V 4 p r átrendezve pl. a nyoás grádenst tartalazó 8 l p r tagot az x tengelyre x, a térfogatáraot tartalazó tagot az y tengelyre y qv l 4 r 3 d hasonló képet kapunk. Felbontva a térfogatáraot: q V Av Al az átrendezett egyenlet: dt 4Avl d p r 3, ahol p r dt l Shear thckenng = nyírásra keényedő Shear thnnng = nyírásra ernyedő Yeld stress = folyáshatár (a következő ábrán ez a kfejezés a határ-nyírófeszültségre utal) Bngha plastc = kételeű Bngha-odell (vszkózus és plasztkus alapodelleket tartalaz) A pszeudoplasztkus és a dlatáns odell nevét ne fordítjuk le, csak agyar helyesírással használjuk. Shear stress = nyírófeszültség, shear rate = nyírósebesség. Power law = hatványtörvény. A kfejezés arra vonatkozk, hogy az összefüggésben hatványktevőt használunk, például a Bngha-odellnél: n d 0 p, ahol τ 0 a határ-nyírófeszültség, η p a plasztkus odell látszólagos vszkoztása dt (apparent vscosty) és n a hatványktevő. Ennek értéke a newton odellnél n=,

31 pszeudoplasztkusnál n< és dlatánsnál n>. Aennyben az alakváltozás sebessége növel a vszkoztást, reopexáról beszélünk (az anyag keényedk ). Csökkenő vszkoztásnál txotrópáról beszélünk ( hígulás ). Ezeket a kfejezéseket szokás az génybevétel növekedéséhez (terhelés) lletőleg csökkenéséhez (teherentesítés) rendeln. Az általánosított Bnghaodell a fent függvénnyel közelíthető. Ez azt jelent, hogy felvesszük kísérletleg a nyírófeszültség nyírósebesség függvényt, és egkeressük az egyenlet együtthatót (és ktevőjét) úgy, hogy a legksebb négyzetek ódszere segítségével llesztve a legksebb eltérés jöjjön létre. Soros és párhuzaos reológa odellek Soros odellnél az alakváltozás és ezért a relatív alakváltozás s összeadódk:, a feszültség valaenny eleen azonos:. Nyoófeszültségekkel és rugalasság E E odulusokkal két soros elasztkus elere E E Párhuzaos odellnél az alakváltozás valaenny eleen azonos:, a feszültségek eloszlanak az eleeken: (terészetesen kettőnél több ele esetén s). Nyoófeszültségekkel és rugalasság odulusokkal két párhuzaos elasztkus elere: E E E E Reológa, kéz penetroéter Jenke életrajz Optka Optka tulajdonságok Színtan Fénytan