Programtervező matematikusok számára. Verzió: április 1. Kovács Margit. docens

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Programtervező matematikusok számára. Verzió: 2004. április 1. Kovács Margit. docens"

Átírás

1 OPERÁCIÓKUTATÁS II. Programtervező matematikusok számára Verzió: április 1. Kovács Margit docens ELTE TTK Operációkutatási Tanszék

2 Tartalomjegyzék 1. Függvények 3 2. Függvények optimalitása Feladatok Konvex halmazok Műveletek konvex halmazokkal Feladatok Konvex függvények Konvex függvények karakterizációi Konvex függvények függvényei Konvex függvényekkel definiált halmazok Feladatok Feltételes szélsőértékproblémák Feladatok Lagrange multiplikátorok módszere Feladatok Optimalitási kritériumok Szükséges feltételek differenciális alakban Feladatok Konvex MP feladatok optimalitási kritériumai Feladatok Megengedett irányok módszere Feladatok Nyeregpontfeltételek Feladatok A lineáris komplementaritási feladat megoldása Feladatok Kvadratikus programozás Feladatok Hiperbolikus programozás Feladatok Egyváltozós unimodális függvények minimalizálása Intervallumfelezési eljárás Aranymetszés módszere Feladatok Egyváltozós függvények minimalizálása: töröttvonal és érintő módszer Töröttvonal módszer Érintő módszer Feladatok

3 1. Függvények Jelölje D(f) R n az f függvény értelmezési tartományát, azaz legyen D(f) = {u R n : < f(u) < } Definíció. Az U R n -en értelmezett f(u) függvény epigráfjának az epi f = {(u, η) R n+1 : u U, η f(u)} halmazt nevezzük Definíció. Az U R n -en értelmezett f(u) függvény alsó nívóhalmazának (röviden nívóhalmazának) az L f (c) = {u D(f) : f(u) c}, c R halmazt nevezzük. 2. Függvények optimalitása 2.1. Definíció. u U lokális minimumpontja az f : D(f) R függvénynek az U D(f) halmazon, ha O δ (u ) környezete úgy, hogy f(u) f(u ) u U O δ (u ). (2.1) Ha (2.1) teljesül u U, akkor u globális minimumpont Tétel. Legyen f : D(f) R, u U D(f) R n és f C 1 (U O ε (u )) (folytonosan differenciálható). Akkor f (u ), u u 0 u U O ε (u ) (2.2) szükséges feltétele annak, hogy u lokális minimumpont legyen. Ha O ε (u ) U, akkor a szükséges feltételaz f (u ) = 0 alakot ölti. Legyen u U O ε (u ) és α [0, 1]. Akkor Innét f(u + α(u u )) f(u ) = α f (u ), u u + o(α) 0. f (u ), u u + o(α) 0 α (0, 1). α α 0-val kapjuk a (2.2) egyenlőtlenséget. Ha O ε (u ) U, akkor v R n -hez ε 0 > 0 úgy, hogy u = u + εv O ε (u ) ε : ε < ε 0, ezért Innét f (u ), u + εv u 0 ε : ε < ε 0, v R n. ε f (u ), v 0 ε : ε < ε 0, v R n, vagyis f (u ), v = 0 v R n, ami csak f (u ) = 0 mellett teljesül. 3

4 2.2. Definíció. Az {u k } U az f : D(f) R függvény minimalizáló sorozata az U D(f) halmazon, ha lim f(u k) = f = inf f(u). k u U 2.3. Definíció. Az U = {u U D(f) : f(u) = f = inf v U f(v)} az f : D(f) R függvény minimumhalmaza az U D(f) halmazon Tétel. (Weierstrass tétele) Legyen az f(u) függvény folytonos a kompakt U D(f) halmazon. Akkor 1. f = inf f(u) > ; u U 2. U = {u U : f(u) = f } kompakt; 3. f(u) minden minimalizáló sorozata U-n tart U -hoz. Legyen {u k } U minimalizáló sorozat, azaz lim f(u k) = f. Mivel U kompakt, {u k } sorozatnak k van legalább egy torlódási pontja, és minden torlódási pontja U-ban van. Legyen u U egy torlódási pont. {u k }-ból kiválasztható egy konvergens részsorozat: {u km }, u km u, ha m. Kihasználva f(u) folytonosságát és f definicióját: f f(u ) = lim inf m f(u k m ) = lim k f(u k) = f, következésképpen f(u ) = f. Ebből következik, hogy f >, U és minden minimalizáló sorozat valamennyi torlódási pontja U -beli. Legyen {v k } U. Mivel U kompakt és {v k } U, ezért kiválasztható belőle konvergens részsorozat {v km } v U. A {v k } sorozat minimalizáló f(u)-ra, mivel f(v k ) = f, ezért minden torlódási pontja, így v is U -beli, azaz U zárt. Tehát U egy kompakt halmaz zárt részhalmaza, így ő maga is kompakt. Legyen {u k } egy minimalizáló sorozat. Legyen ρ(u k, U ) = inf u U ρ(u k, u) 0 = lim inf k ρ(u k, U ) 0. lim sup ρ(u k, U ) = lim ρ(u k m, U ) = a. k m U kompaktsága miatt kiválasztható az {u km } sorozatból egy u ponthoz konvergáló részsorozat. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy ez a részsorozat maga az {u km } részsorozat. A ρ(u, U ) függvény folytonos, így lim ρ(u k m m, U ) = ρ(u, U ) = a. Minthogy u egy minimalizáló sorozat torlódási pontja, a korábbiak szerint u U, azaz ρ(u, U ) = a = 0. Ezért 0 lim inf k ρ(u k, U ) lim sup ρ(u k, U ) = 0. k Ez azt jelenti, hogy bármely minimalizáló sorozat tart U -hoz. 4

5 2.3. Tétel. Legyen f(u) folytonos a zárt, nem üres U D(f) halmazon, továbbá valamilyen v U-ra L f (f(v)) = {u U : f(u) f(v)} legyen korlátos. Akkor f >, U kompakt és f(u) minden minimalizáló {u k } L f (f(v)) sorozatra {u k } U. Mivel f(u) > f(v), ha u U \ L f (f(v)), f(u) f(v), ha u L f (f(v)), a f(u) függvény nem veheti fel az infimumát az U \ L f (f(v)) halmazon. Ezért elég a vizsgálatot az L f (f(v)) halmazra szorítani. A f folytonossága miatt L f (f(v)) zárt, a feltétel szerint korlátos, tehát kompakt. A Weierstrass tételből ezért következik a tétel minden állítása Tétel. Legyen U D(f) nem üres, zárt halmaz, f(u) folytonos U-n, és tegyük fel, hogy lim f(u k) = + k minden olyan {u k } U sorozatra, amelyre lim k u k = teljesül. Akkor f >, U kompakt halmaz és minden minimalizáló sorozat tart U -hoz. Ha U korlátos, akkor Weierstrass tétele alapján igaz az állítás. Tegyük fel, hogy U nem korlátos. Akkor létezik legalább egy {u k } U sorozat, melyre lim u k = +. k Akkor a feltétel szerint lim f(u k) = +. k Válasszunk tetszőleges olyan v U pontot, melyre f(v) > f. Tekintsük az L f (f(v)) = {u U : f(u) f(v)} szinthalmazt. L f (f(v)) korlátos, mert ha nem lenne az, akkor létezne {w k } L f (f(v)) sorozat, amelyikre lim w k = + és erre a sorozatra lim f(w k) = +, ami ellentmond annak, hogy k k f(w k ) f(v) < +. L f (f(u)) korlátossága miatt a tétel valamennyi állítása következik az 2.3. Tételből. 5

6 2.1. Feladatok Feladat. Minimalizáló sorozat-e 1.) az f(x) = x2 1 + x 4, (x R) függvényre az x k = k, k = 1, 2,... sorozat? 2.) az f(u) = u 1 + u 2, (u Rn ) függvényre az u k = k 1 sorozat, ahol a 1 = (1, 1,..., 1)? Feladat. Indokolja meg, fog-e minden U-beli minimalizáló sorozat konvergálni az f(u) függvény U-beli minimumhelyéhez konvergálni, ha 1.) U = R n és f(u) = u 2? 2.) U = {u = (x, y) R 2 : x + 3y 1, x 0, y 0} és f(u) = x + y? 3.) U = {u = (x, y) R 2 : 2x + y 3, x 0, y 0} és f(u) = x + 2y? Feladat. Felveszi-e az f(u) függvény a minimumát az U halmazon, ha 1.) U = {u R : 1 u és f(u) = u2 1 + u 4? 2.) U = R n és f(u) = u 3? 3.) U = {u = (x, y) R 2 : x 0, y 0} és f(u) = x + 1 y? 4.) U = {u = (x, y) R 2 : x 1, 0 y 1} és f(u) = x + 1 y? 6

7 3. Konvex halmazok 3.1. Definíció. U R n konvex, ha u, v U, α [0, 1] esetén: αu + (1 α)v U 3.1. Műveletek konvex halmazokkal Definíció. Halmazok összege: A i R n, i = 1,..., m esetén A = m A i = {a R n : a = m a i, a i A i }. Halmazok különbsége: A, B R n esetén C = A B = {c R n : c = a b, a A, b B}. Halmazok skalárszorosa: A R n, λ R esetén B = λa = {b R n : b = λa, a A}. Halmazok Descartes szorzata: A i R ni, i = 1,..., m esetén A = A 1... A m = m A i = {a = (a 1,..., a m ) R n1+...+nm : a i A i, i = 1,..., m}. Megjegyzés. Általában A + A 2A és A A {0}, de 2A A + A és {0} A A Tétel. Ha A i, i = 1,..., m, A, B az R n konvex halmazai, akkor 1) A = m A i, 2) C = A B, 3) B = λa, λ R is konvex. 1. a, b A = a m a i, b = m b i, a i A i b i A i = αa + (1 α)b = m (αa i + (1 α)b i ) A. } {{ } A i 7

8 2. c 1, c 2 C = c 1 = a 1 b 1, a 1 A, b 1 B c 2 = a 2 b 2, a 2 A, b 2 B = αc 1 + (1 α)c 2 = α(a 1 b 1 ) + (1 α)(a 2 b 2 ) 3. a, b B = a = λa 0, b = λb 0, a 0, b 0 A = (αa 1 + (1 α)a 2 ) (αb 1 + (1 α)b 2 ) C. } {{ } } {{ } A B = αa + (1 α)b = λ(αa 0 + (1 α)b 0 ) B. } {{ } A Tétel. Ha A i R ni, i = 1,..., m, konvex halmazok akkor A = a, b m A i = a = (a 1,..., a m ), b = (b 1,..., b m ), b i A i, i = 1,..., m = m λa + (1 λ)b = (λa 1 + (1 λ)b 1,..., λa m + (1 λ)b m ) A i. } {{ } } {{ } A 1 A m m A i is konvex Tétel. Ha A i R n, i = 1,..., m, konvex halmazok, akkor a C = m A i halmaz is konvex. a, b C = a, b A i i = 1,..., m = αa + (1 α)b A i i = 1,..., m = αa + (1 α)b m A i = C Definíció. Az {u 1,..., u m } U pontrendszer konvex kombinációja az u = m α i u i pont, ahol α i 0 (i = 1,..., m) és m α i = Tétel. Az U R n halmaz akkor és csak akkor konvex, ha tartalmazza bármely véges számú elemének konvex kombinációját. 8

9 Elégségesség. Ha U tartalmazza bármely véges számú elemének konvex kombinációját, akkor bármely két elemének konvex kombinációját is tartalmazza, így definíció szerint konvex. Szükségesség. Teljes indukcióval bizonyítunk. Mivel U konvex, tartalmazza bármely két elemének konvex kombinációját. Tegyük fel, hogy U tartalmazza bármely m 1 elemének konvex kombinációját. Legyen u = m α i u i, 0 α i 1, m α i = 1. Ha valamelyik α i = 0, akkor u előáll a többi, (m 1) számú u j (j i) konvex kombinációjaként, így u U. Legyen 0 < α i < 1 (i = 1,..., m) és vezessük be a β i = α i 1 α (i = 1,..., m 1) változókat. m Nyilvánvalóan 0 < β i < 1 (i = 1,..., m) és m 1 β i = 1, továbbá v = m 1 β i u i U. Mivel u = (1 α m )v + α m u m, így u U Definíció. Az U-t tartalmazó konvex halmazok metszete az U konvex burka. Jele: co U. Nyilvánvalóan co U a legszűkebb U-t tartalmazó konvex halmaz Tétel. U konvex burka a véges sok U-beli elem konvex kombinációjaként előálló pontok halmaza. Legyen W az U-beli elemek végeselemű konvex kombinációinak a halmaza. Nyilvánvalóan U W. Mivel U co U és co U konvex, így tartalmazza a co U-beli elemek véges elemszámú konvex kombinációit, így az U-beliekét is, azaz co U W. Másrészt, W konvex. Ugyanis, ha és akkor u = p α i u i, u i W, 0 α i 1 (i = 1,..., p), v = q β i v i, v i W, 0 β i 1 (i = 1,..., q), p α i = 1 q β i = 1, v α = αu + (1 α)v = p αα i u }{{} i + q (1 α)β i v i ; } {{ } 0 0 p αα i + q (1 α)β i = 1, így v α konvex kombinációja p + q számú elemnek, azaz v α W. Mivel co U a legszűkebb U-t tartalmazó konvex halmaz, ezért co U W. 9

10 3.2. Feladatok Feladat. (Carathèodory tétele) Legyen U R n, konvex halmaz, U. Jelölje co U az U halmaz konvex burkát. Bizonyítsuk be, hogy u co U előállítható n + 1-nél nem több U-beli pont konvex kombinációjaként. Legyen u co U. Mivel co U konvex, így u = m α iu i, ahol m α i = 1 és α i > 0, u i U (i = 1,..., m). (Az α i-k pozitivitásának feltételezése jogos, mert u előállításában a 0 együtthatójú tagok elhagyása csökkenti az előállító pontok számát.) Ha m n + 1, akkor a tétel állítása nyilván teljesül. Legyen m > n + 1. Vegyük az u i R n+1, u i = (u i, 1) pontokat. Mivel m > n + 1, ezek lineárisan összefüggők. Következésképpen γ i (i = 1,..., m), melyre m γ i = 0 és m γ iu i = 0, vagyis Innét m γ iu i = 0 m γ i = 0. u = m α iu i = m α iu i t m γ iu i = m (α i tγ i)u i. } {{ } =0 m Ha t elég kis pozitív szám, akkor α i tγ i 0. Mivel γ i = 0, de m γ i = 0, ezért γ i > 0. Jelölje t = αs α i = min. γ s γ i >0 γ i Innét α i tγ i 0 (i = 1,..., m), miközben α s tγ s = 0 és m (α i tγ i) = 1, így u = m (α i tγ i)u i, azaz az u-t előállító pontok száma eggyel csökkent. Ez a csökkentés mindaddig folytatható az,i s előbbiek szerint amíg az {u i} vektorrendszer lineáris összefüggősége meg nem szűnik, azaz az előállító komponensek száma legfeljebb n + 1 nem lesz Feladat. Legyenek U, V R n nemüres halmazok. Mutassuk meg, hogy co (U V ) (co U) (co V ). Mutassunk példát, amikor szigorú tartalmazás teljesül Feladat. Jelölje int U és U az U R n konvex halmaz belsejét ill. lezártját. Legyen u int U és v U. Mutassuk meg, hogy w = αu + (1 α)v int U minden α (0, 1] esetén Feladat. Mutassuk meg, hogy int U és U konvex halmazok, ha U R n konvex Feladat. Konvexek-e az alábbi halmazok (használhatja a következő fejezet eredményeit is): 1.) U = {u = (x, y) R 2 : x 2 + 3y 2 8, 3x 7y 1, x 3 + 2x 2 + y 2 + y 7, x, y 0}; 2.) U = {u = (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 z}; 10

11 3.) U = {u = (x, y, z) R 3 : x + y < 3, x + y + z 5, x, y, z 0}; 4.) U = {u = (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 4, x + y + z = 1}; 5.) U = {u = (x, y) R 2 : 0 x 2, (x 3) 2 + (y 2) 2 2, 2y + x 3, x (y 3) 2 3}; 6.) U = {u = (x, y) R 2 : 0 x 2, (x 1) 2 + (y 2) 2 2, y x 1, (x 1) 2 + y 1}; 7.) U = {u = (x, y) R 2 : 0 x 2π, y 0, y sin(x) 0, y + (x 1) 2 2}; 8.) U = {(x, y, z) R 3 : 8x + y + 2z 7, x 2 + 3y 2 + 7z 10, (x + 1) 2 + 3y 2 + e 2z2 0, x, y, z 0}; 9.) U = {u = (x, y) R 2 : 0 x 1, y 0, x 2 + y 2 2, y x 1 1, x + 3y 3}? Feladat. Mi a Feladatban definiált halmazok belseje, lezártja, határa? 11

12 4. Konvex függvények 4.1. Definíció. Az f : R n R függvény konvex a konvex U D(f) halmazon, ha u, v U és λ [0, 1] esetén f(λu + (1 λ)v) λf(u) + (1 λ)f(v). (4.1) Az f(u) függvény szigorúan konvex, ha a (4.1)-ben az egyenlőség csak λ = 0 és λ = 1 esetén áll fenn, azaz f(λu + (1 λ)v) < λf(u) + (1 λ)f(v) λ (0, 1). f(u) konkáv, ha f(u) konvex Konvex függvények karakterizációi Tétel. (Jensen egyenlőtlenség) Ha az f : R n R függvény konvex a konvex U D(f) halmazon, akkor u i U, λ i 0, i = 1,..., m és m λ i = 1 esetén f( m λ i u i ) m λ i f(u i ). U konvexitása miatt m λ i u i U. Teljes indukcióval a bizonyítás triviális Tétel. Legyen f C 1 (U) (egyszer folytonosan differenciálható) a konvex U D(f) halmazon. f(u) konvex f(u) f(v) + f (v), u v u, v U. (4.1) Szükségesség. f(u) konvex = f(v + α(u v)) f(v) α[f(u) f(v)] u, v U és α > 0. A Lagrange középértéktétel szerint: α f (v + ϑα(u v)), u v α[f(u) f(v)] (4.2) u, v U és valamilyen ϑ [0, 1] esetén. Az α > 0-val osztva és α 0 esetén (4.2)-ból kapjuk, hogy f (v), u v f(u) f(v). Elégségesség. Tegyük fel, hogy teljesül a (4.1) feltétel. Legyen u, v U és u α = αu + (1 α)v. Akkor f(u) f(u α ) f (u α ), u u α f(v) f(u α ) f (u α ), v u α. Itt az első egyenlőtlenséget α-val, a másodikat 1 α-val szorozva és a két egyenlőtlenséget összeadva kapjuk, hogy αf(u) + (1 α)f(v) f(u α ) f (u α ), αu + (1 α)v u α = 0. } {{ } =0 12

13 Tétel. Legyen f(u) C 1 (U) (egyszer folytonosan differenciálható) az U D(f) konvex halmazon. f(u) konvex U-n f (u) f (v), u v 0 u, v U. (4.3) Szükségesség. Ha f(u) konvex, akkor a Tétel alapján f(u) f(v) f (v), u v, f(v) f(u) f (u), v u. A két egyenlőtlenséget összeadva: 0 f (v) f (u), u v. Elégségesség. αf(u) + (1 α)f(v) f(αu + (1 α)v) = α[f(u) f(αu + (1 α)v)] + (1 α)[f(v) f(αu + (1 α)v)] = α 1 0 +(1 α) = α(1 α) = α(1 α) f (αu + (1 α)v + t(u αu (1 α)v)), u αu (1 α)v dt f (αu + (1 α)v + t(v αu (1 α)v)), v αu (1 α)v dt f (αu + (1 α)v + t(1 α)(u v) ) } {{ } =z 1 f (αu + (1 α)v + tα(v u) ), u v dt } {{ } =z 2 f (z 1 ) f 1 (z 2 ), z 1 z 2 dt 0. } {{ } t Tétel. Legyen f(u) C 2 (U) (kétszer folytonosan differenciálható) a nyílt konvex U R n halmazon. f(u) konvex U-n f (u)ξ, ξ 0 u U, ξ R n. (4.4) Szükségesség. Legyen u U és válasszunk tetszőleges ξ R n vektort. U nyíltsága miatt ε 0 > 0 úgy, hogy ε : ε < ε 0 esetén u + εξ U. A Tétel szerint f (u + εξ) f (u), εξ 0. A Lagrange középértéktételt alkalmazva: azaz f (u + ϑεξ)ξ, ξ ε 2 0, f (u + ϑεξ)ξ, ξ 0 0 ϑ 1 és ε : ε ε 0. 13

14 Mivel f (u) folytonos, ε 0-val kapjuk a tétel állítását. Elégségesség. Legyen u, v U, α [0, 1], ξ = u v. A Lagrange középértéktétel szerint ϑ [0, 1], hogy f (u) f (v), u v = f (v + ϑ(u v))(u v), u v = f (v + ϑξ)ξ, ξ 0 a tétel feltétele miatt, ami a Tétel szerint biztosítja f konvexitását Konvex függvények függvényei Tétel. Legyenek az f i (u), i = 1,..., m, konvexek a konvex U n D(f i ) halmazon. Akkor a f(u) = m α i f i (u) függvény is konvex U-n minden α i 0, i = 1,..., m, esetén. Legyen u, v U, β [0, 1]. f(βu + (1 β)v) = m α i f i (βu + (1 β)v) m α i [βf i (u) + (1 β)f i (v)] = β m α i f i (u) + (1 β) m α i f i (v) = βf(u) + (1 β)f(v) Tétel. Legyenek az f i (u), i = 1,..., m, konvexek a konvex U m D(f i ) halmazon. Akkor az f(u) = sup f i (u) függvény is konvex U-n.,...,m Legyen u, v U, β [0, 1] és u β = βu + (1 β)v. Ekkor ε > 0-hoz i = i(ε, β) {1,..., m} úgy, hogy f(u β ) f i (u β ) + ε βf i (u) + (1 β)f i (v) + ε, ε > 0. ε 0 -val kapjuk a tétel állítását Következmény. g + (u) = max(g(u), 0) konvex, ha g(u) konvex. Triviális Tétel. Ha ϕ(t) monoton növő konvex függvény az [a, b] R intervallumon és a g(u) függvény konvex a konvex U D(f) halmazon, továbbá u U : g(u) [a, b], akkor az f(u) = ϕ(g(u)) függvény is konvex U-n. Legyen u, v U, és β [0, 1]. f(βu + (1 β)v) = ϕ(g(βu + (1 β)v)) ϕ(βg(u) + (1 β)g(v)) βϕ(g(u)) + (1 β)ϕ(g(v)). 14

15 Következmény. Ha g(u) konvex függvény a konvex U D(g) halmazon, akkor az f(u) = g p (u), p 1, f(u) = (max(0, g(u))) p = g + (u) p, p 1, f(u) = 1, ha g(u) < 0 u U, g(u) 1 f(u) = max(0, ln g(u) )p, ha g(u) < 0 u U, p 1 függvények is konvexek U-n. Triviális Konvex függvényekkel definiált halmazok Tétel. A konvex D(f) R n halmazon értelmezett f(u) függvény akkor és csak akkor konvex, ha epi f konvex. Szükségesség. Legyen és z 1 = (u 1, η 1 ) epi f, z 2 = (u 2, η 2 ) epi f, z α = (αu 1 + (1 α)u 2, αη 1 + (1 α)η 2 ). } {{ } =u α U f(u) konvexitása miatt f(u α ) αf(u 1 ) + (1 α)f(u 2 ) αη 1 + (1 α)η 2, következésképpen z α epi f. Elégségesség. Legyen u 1, u 2 U, z 1 = (u 1, f(u 1 )) epi f, z 2 = (u 2, f(u 2 )) epi f. Az U halmaz és az epi f konvexitása miatt z α = (αu 1 + (1 α)u 2, αf(u 1 ) + (1 α)f(u 2 )) epi f, következésképpen αu 1 + (1 α)u 2 U, és αf(u 1 ) + (1 α)f(u 2 ) f(αu 1 + (1 α)u 2 ) Tétel. Legyen f(u) konvex a konvex U D(f) halmazon. Akkor az M(c) = {u U : f(u) c} szinthalmaz is konvex c R. 15

16 Legyen c R. u, v M(c) = f(u) c és f(v) c = f(αu + (1 α)v) αf(u) + (1 α)f(v) c α [0, 1] = αu + (1 α)v M(c) Tétel. Legyen U 0 m D(g i ) konvex és legyenek a g i (u), i = 1,..., m függvények konvexek U 0 -n, továbbá legyenek a h i (u); i = m+1,..., s függvények lineárisak, azaz h i (u) = a i, u b i, i = m + 1,..., s. Akkor az U = {u U 0 : g i (u) 0, i = 1,..., m, h i (u) = 0, i = m + 1,..., s} halmaz is konvex. U = s U i, ahol U i = {u U 0 : g i (u) 0}, i = 1,..., m, U i = {u U 0 : h i (u) = 0}, i = m + 1,..., s. A Tétel alapján az U i, i = 1,..., m halmazok konvexek. Az U i, i = m + 1,..., s halmazok alterek, így szintén konvexek. A Tétel szerint a konvex halmazok metszete is konvex. 16

17 4.4. Feladatok Feladat. Konvexek-e az alábbi függvények: 1.) f : R n R, f(u) = u, 2.) f : R 2 R n, f(u 1, u 2 ) = u u 1 u 2 10u 1 + 5u 2, 3.) f : R 2 R n, f(u 1, u 2 ) = u 1 e (u1+u2) Feladat. Konvexek-e az alábbi f függvények az adott U halmazon? 1.) f : U R, f(u) = u, U = {u R : u 0}, 2.) f : U R, f(u 1, u 2 ) = (max(ln 1 20 (u u 4 2), 0))p, p 1, U = {u = (u 1, u 2 ) R 2 : u u 4 2 < 20}, 3.) f : R 2 R, f(u 1, u 2 ) = 2(u 2 u 2 1) 2 10, U = {(u 1, u 2 ) : 1 u 1 1, 1 u 2 1} Feladat. Legyen g : R n R konvex függvény. Mutassuk meg, hogy az 1.) f(u) = max(g(u), 0), U = R n ; 2.) f(u) = 1 g(u), U = {u Rn : g(u) 0} függvények is konvexek az adott U halmazon Feladat. Határozza meg az alábbi függvények konvexitási és konkávitási tartományait: 1.) f(x, y) = sin(x + y + z), (x, y, z) R 3 ; 2.) f(x, y) = sin(x 2 + y 2 ), (x, y) R 2 ; 3.) f(x, y, z) = sin(x 2 + y 2 + z 2 ), (x, y, z) R 3 ; Feladat. Tegyük fel, hogy az f : R n R függvény olyan, hogy f(u) konvex. Mutassuk meg, hogy az U = {u R n : f(u) = 0} halmaz konvex Feladat. Mutassuk meg, hogy minden u i R, λ i 0(i = 1,..., m), m ( m λ i u i ln λ i e )! ui Feladat. Mutassa meg, hogy minden u i > 0, λ i 0 (i = 1,..., m), ( m ( m ) i u λ i) i u λ i 1! Feladat. Mutassa meg, hogy minden u i > 0, λ i 0 (i = 1,..., m), ( m ) m λ i u i u λi i! i m λ i = 1 esetén m λ i = 1 esetén m λ i = 1 esetén 17

18 Feladat. Igazolja, hogy minden n természetes számra 1 n 1 + e n x i n (1 + e xi ) 1 n! Feladat. Igazolja, hogy ln(1 + e x2 +y 2 4 ) 1 x2 1 ln(1 + e 2 ) ln(1 + e y 2 2 )! Feladat. Igazolja, hogy minden n természetes számra 1 n 1 + n 2 ( x i ) 2 1 n 1 + x 2 i n! 18

19 5. Feltételes szélsőértékproblémák Legyen f : R n R. Legyenek továbbá az U i R n, i = 0,..., m + 1, halmazok olyanok, hogy int U i i = 0,..., m és int U m+1 =, ahol int U = {u U : O ε (u) U környezet} Jelölje U = m+1 U i. i=0 Az általános feltételes szélsőértékprobléma: Keressük az f = inf f(u) (5.1) u U függvényértéket, és az azt realizáló u U pontot (ha egyáltalán ilyen létezik). Az U = m+1 U i halmazt a (5.1) probléma megengedett tartományának nevezzük. i= Tétel. u U m+1 i= 1 Szükségesség. Tegyük fel, hogy v m+1 U i. U i = U U 1 =, ahol U 1 = {u R n : f(u) < f(u )}. i= 1 Mivel v U 1, így f(v) < f(u ), azaz u nem minimumpont, ami ellentmondás. Elégségesség. Legyen m+1 U i =. Akkor u U esetén u U 1, azaz f(u) f(u ), azaz u i= 1 minimumpont. Speciálisan matematikai programozási feladatnak nevezzük a (5.1) problémát, ha a korlátozó feltételek a következő alakú halmazokkal adottak: U i = {u R n : g i (u) 0} (i = 1,..., m), egyenlőtlenség típusú feltételek, ahol g i F(R n ) (i = 1,..., m); V i = {u R n : g i (u) = 0} (i = 1,..., s), egyenlőség tipusú feltételek, ahol g i F(R n ) (i = 1,..., s); U 0 R n, int U 0. Nyilvánvalóan int V i =, így U m+1 = s V i vehető. U 0 -ként azokat a feltételeket vesszük, amiknek egyszerű struktúrája van (pl. valamely ortáns, speciális kúp stb.). Megengedjük, hogy bármelyik típusú feltétel elmaradjon. A matematikai programozási feladatot konvex programozási feladatnak nevezzük, ha a korlátozó U R n halmaz konvex és a minimalizálandó f függvény konvex U-n. Nyilvánvaló, hogy ha a minimalizálandó f függvény és a nemlineáris egyenlőtlenség típusú feltételeket adó g i függvények konvexek, az egyenlőség típusú feltételekat adó g i függvények pedig lineárisak, akkor az optimalizálási feladat konvex programozási feladat. 19

20 5.1. Feladatok Feladat. Irja fel az alábbi feladatok modelljét nemlineáris programozási feladattal: 1.) Melyik az az egységsugarú körbe írt háromszög, melynek olalainak a négyzetösszege maximális? 2.) Határozza meg az U = {u = (x, y) R 2 : 2x + y 4, x + y 1} halmaznak a (2, 0) ponthoz legközelebbi nemnegatív koordinátájú pontját! 3.) Határozza meg az U = {u = (x, y) R 2 : x 2y 6, 2x + y 6} halmaznak a (1, 3) ponthoz legközelebbi nemnegatív koordinátájú pontját! 4.) Legyenek α, β, γ egy háromszög szögei. Igazolja a következő egyenlőtlenséget: 5.) Igazolja, hogy sin α 2 sin β 2 sin γ 2 1 8! ln(1 + e x2 +y 2 4 ) 1 x2 1 ln(1 + e 2 ) ln(1 + e y 2 2 )! 6.) Igazolja, hogy minden n természetes számra 1 n 1 + n 2 ( x i ) 2 1 n 1 + x 2 i n! 7.) Igazolja, hogy minden n természetes szám és α > 0 esetén n (2i 1) α n α+1! Feladat. Konvex programozási feladatok-e az alábbi problémák: 1.) 2.) 3.) x + 2 xy min y xy 1 x, y 0 x + xy min y + sin xy 1 x, y 0 x + y min x 2 + y = 5 x, y 0 20

21 6. Lagrange multiplikátorok módszere Ha csak egyenlőség típusú feltételek szerepelnek, azaz ha f, g i C 1 (R n ), (i = 1,..., m), akkor az f = inf f(u) (6.1) u U U = {u R n : g i (u) = 0 (i = 1,..., s)}, (6.2) feladatra az optimalitás szükséges feltételét a klasszikus analízisből ismert Lagrange multiplikátororok tétele adja. A tétel egyszerűbb kezelése érdekében vezessünk be néhány fogalmat Definíció. F : R n R s függvény vektorfüggvény, ha F = (f 1,..., f s ) és f i : R n R (i = 1,..., s). Az F vektorfüggvény értelmezési tartománya D(f) = s D(f i ) Definíció. Az F = (f 1,..., f s ) : R n R s vektorfüggvény folytonos az u R n pontban, ha ott minden f i (i = 1,..., s) függvény folytonos Definíció. Legyen u = (v, w) R m R n m. Az F = (f 1,..., f s ) : R m R n m R s vektorfüggvény [folytonosan] differenciálható az u R m, ill. a v R n m változója szerint, ha minden f i (i = 1,..., s) [folytonosan] differenciálható u, ill. v szerint. Az f i (u, v) függvények u R m, ill.v R n m, változója szerinti gradienseiből, mint sorvektorokból álló (s m), ill. (s (n m)) mátrixot jelöljük F u(u, v)-vel ill. F v(u, v)-vel. Megjegyzés: A deriváltaknál csak akkor jelezzük alsó indexkent, hogy melyik változó szerinti parciális deriváltról van szó, ha az csak egy részvektora a függvény változó-vektorának. A vektorfüggvényekkel a feladat a következő alakot ölti: f = inf f(u) (6.3) u U U = {u R n : G(u) = 0, (6.4) ahol G : R n R s, G = (g 1,..., g s ) C 1 (R n ) vektorfüggvény. A következő két, a klasszikus analízisből ugyancsak jól ismert tételre szükségünk lesz a bizonyításhoz, ezeket emlékeztetőül bizonyítás nélkül közöljük Tétel. (Implicit-függvény tétel) Legyen U R n, V R m, F : U V R n, (u 0, v 0 ) U V és teljesüljenek az alábbi feltételek: 1.) F folytonos az (u 0, v 0 ) pontban; 2.) F (u 0, v 0 ) = 0; 3.) létezik az (u 0, v 0 ) U V pontnak olyan O ε ((u 0, v 0 )) U V környezete, hogy (u, v) O ε ((u, v)) pontban F folytonosan differenciálható u szerint és F u(u 0, v 0 ) nem szinguláris. 21

22 Akkor az F (u, v) = 0 egyenlet az (u 0, v 0 ) pont valamely környezetében megoldható, azaz léteznek olyan δ 1, δ 2 > 0 számok, és egy, az O δ1 (v 0 ) környezetben értelmezett és a v 0 pontban folytonos ϕ = (ϕ 1,..., ϕ n ) : R m R n vektorfüggvény, hogy minden olyan (u, v) esetén, melyre v O δ1 (v 0 ) és u = ϕ(v), teljesül az F (u, v) = 0 egyenlet, és megfordítva, minden olyan (u, v) esetén, melyre F (u, v) = 0, u O δ1 (u 0 ) és v O δ2 (v 0 ), fennáll az u = ϕ(v) összefüggés. Ha F v szerint is folytonosan differenciálható az O ε ((u 0, v 0 )) környezetben, akkor a ϕ vektorfüggvény differenciálható a v 0 pontban és ϕ (v 0 ) = [F u(u 0, v 0 )] 1 F v(u 0, v 0 ) Tétel. Legyen F : R n R n vektorfüggvény folytonosan differenciálható az u 0 R n pont O δ (u 0 ) környezetében és tegyük fel, hogy F u(u 0 ) nem szinguláris. Ha F (u 0 ) = b 0, akkor bármely elég kis δ > 0-hoz ε > 0, hogy b O ε (b 0 ) esetén az F (u) = b egyenletnek pontosan egy u = ϕ(b) O δ (u 0 ) megoldása van és ϕ folytonosan differenciálható az O δ (b 0 ) környezetben. A (6.3)-(6.4) feladatra a következő optimalitási kritériumot adhatjuk meg: 6.3. Tétel. (Lagrange multiplikátorok tétele) Tegyük fel, hogy a (6.1)-(6.2) feladatban a G (u ) mátrix rangja s, azaz az u pontban a g i függvények gradiensvektorai lineárisan függetlenek. Ahhoz, hogy u U = {u U : f(u) = f } legyen, szükséges, hogy létezzen olyan λ = (λ 1,..., λ s) R s vektor úgy, hogy az (u, λ ) vektorpár elégítse ki a f (u) + s λ i g i (u) = 0, (6.5) g i (u) = 0 (i = 1,..., s), (6.6) vagy vektoralakban f (u) + G T (u)λ = 0, (6.7) G(u) = 0 (6.8) egyenletrendszert, ahol G T a G mátrix transzponáltját jelöli.. Legyen u U minimumpont. Ha s = n, akkor a 6.2. Tétel szerint az U halmaz egyetlen u ponból áll és G (u ) nem szingularitása miatt ebben a pontban λ = [ G T (u ) ] 1 f (u ) kielégíti a (6.7) feltételt. Legyen s < n. Particionáljuk az u vektorok koordinátáit u = (v, w), v R s, w R n s alakban úgy, hogy az u = (v, w ) pontban a G (u ) = [G v(v, w ) G w(v, w )] mátrixban a G v(v, w ) (s s) almátrix nem szinguláris. Mivel u U, így G(u ) = G(v, w ) = 0. Az implicit-függvény tétel szerint a w pont létezik olyan ϕ(w) differenciálható függvény, melyre v = ϕ(w ); G(ϕ(w ), w ) = 0 22

23 és ϕ (w) = [G v(ϕ(w), w)] 1 G w(ϕ(w), w). (6.9) Legyen w O δ (w ). Mivel itt G(ϕ(w), w) = 0, ezért u = (ϕ(w), w) U. Így f(ϕ(w ), w ) = f(v, w ) = f(u ) f(u) = f(ϕ(w), w). Következésképpen az f(ϕ(w), w) = h(w) függvénynek a w = w pontban lokális minimuma van. Az optimalitás szükséges feltétele szerint h (w ) = 0. Az összetett függvény differenciálási szabálya szerint h (w ) = ϕ T (w )f v(ϕ(w ), w ) + f w(ϕ(w ), w ). Figyelembe véve (6.9)-t és a ϕ(w ) = v összefüggést azt kapjuk, hogy Jelölje h (w ) = G w(v, w ) T [ G v(v, w ) T ] 1 f v (v, w ) + f w(v, w ) = 0. (6.10) λ = [ G v(v, w ) T ] 1 f v (v, w ). (6.11) A (6.10) és (6.11) összefüggések a [ G v(v, w ) T ] λ + f v(v, w ) = 0 [ G w(v, w ) T ] λ + f w(v, w ) = 0 rendszert adják, ami ekvivalens a G (u ) T λ + f (u ) = 0 egyenlettel, ami azt jelenti, hogy az (u, λ ) vektorpár kielégíti a tétel állítását. Vegyük észre, hogy a tételben szereplő (6.5) egyenlőség a s L(u, λ) = f(u) + g i (u) Lagrange függvény segítségével alakot ölti. L u(u, λ ) = 0 23

24 6.1. Feladatok Feladat. Oldja meg Lagrange multiplikátorok módszerével a következő feladatokat: 1.) 2x 2 + 4xy + y 2 min x 2 + y 2 = 1. 2.) 1 x 2 + y 2 + z 2 min x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 0 x + y + z = 0. 3.) 1 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) min z xy = Feladat. Keressük meg a minimumát és a maximumát az f(x, y, z) = 2x 2 + 5y z xy 4xz + 16yz függvénynek az egységgömb felületén? Feladat. Határozza meg az origónak az z xy = 5 felülettől való távolságát Feladat. Határozza meg az (1, 2, 1) pontnak az 2x y + z = 4 síktól való távolságát Feladat. Legyenek α, β, γ egy háromszög szögei. A Lagrange multiplikátorok módszere segítségével igazolja a következő egyenlőtlenségeket: 1.) sin α + sin β + sin γ ; 2.) cos α + cos β + cos γ 3 2 ; 3.) sin α 2 sin β 2 sin γ Feladat. Írjon az egységkörbe olyan háromszöget, melynek oldalainak négyzetösszege maximális. Oldja meg a feladatot a Lagrange multiplikátorok módszerével Feladat. A Feladat melyik részfeladata oldható meg Lagrange multiplikátorok módszerébel? Oldja meg a feladatokat! 24

25 7. Optimalitási kritériumok 7.1. Szükséges feltételek differenciális alakban Tekintsük az f(u) min u U feladatot, ahol U = {u R n : g i (u) 0 (i I), g j (u) = a j, u b j 0 (j J 1 ), g j (u) = a j, u b j = 0 (j J 2 )}, (7.1) (7.2) ahol f, g i (i I) C 1 (R n ), a j R n, b j R (j J 1 J 2 ), I, J 1 és J 2 véges indexhalmazok. Megengedett, hogy az I, J 1, J 2 indexhalmazok bármelyike üres legyen, azaz valamelyik típusú korlátozó feltétel hiánya. Ha mindhárom indexhalmaz üres akkor feltétel nélküli, azaz R n -en történő mimimalizálásról van szó. Az U halmaz előállítható U = U 1 U 2 U 3 alakban, ahol U 1 = {u R n : g i (u) 0, i I}, U 2 = {u R n : g i (u) = a j, u b j 0, j J 1 }, U 3 = {u R n : g i (u) = a j, u b j = 0, j J 2 } Definíció. 0 s R n megengedett iránya az U halmaznak az u U pontból, ha ε 0 > 0 konstans, hogy u + εs U ε [0, ε 0 ]. Legyen int U azaz u U, hogy annak valamely nyílt O δ (u) környezetére O δ (u) U. Nyilvánvaló, ekkor s R n megengedett irány az u int U pontból. Legyen ri U, azaz ha H a legszűkebb U-t tartalmazó affin halmaz, akkor u U, hogy annak valamely nyílt O δ (u) környezetére O δ (u) H U. Nyilvánvalóan ekkor H U 3 és s H megengedett irány az u ri U pontból Definíció. A g i (u) 0 (i I J 1 ) feltétel aktív az u U pontban, ha g i (u) = 0 (i I J 1 ). (Az egyenlőségtípusú feltételek konstrukciójukból adódóan mindig aktívak). Az u-beli aktív feltételek indexhalmazát jelölje I(u) J 1 (u) J 2, ahol I(u) = {i I : g i (u) = 0} J 1 (u) = {j J 1 : a j, u b j = 0} Tétel. Ha 0 s R n megengedett iránya az U halmaznak az u U pontból, akkor σ 0 konstans, hogy (s, σ) R n+1 kielégíti a g i(u), s + σ 0 (i I(u)) (7.3) a j, s 0 (j J 1 (u)) (7.4) a j, s = 0 (j J 2 ) (7.5) redszert. Ha a (7.3)-(7.5) rendszernek (s, σ), s 0, σ > 0 megoldása, akkor s megengedett irány az u pontból. 25

26 Szükségesség. Legyen s R n egy megengedett irány az u U pontból. A (7.5) feltétel teljesülése szükséges, mert ha s R n egy megengedett irány az u U pontból, akkor j J 2 esetén ε [0, ε 0 ]-re a j, u + εs = b j a j, u b j +ε a j, s = 0, } {{ } =0 ahonnan következik (7.5). Így ha a (7.3)-(7.5) rendszernek (7.5) teljesülése mellett nem lenne a kívánt tulajdonságú megoldása, akkor 0 s R n és σ 0 esetén vagy g i(u), s + σ > 0, valamely i I(u)-ra, vagy a j, s > 0 valamely j J 1 (u)-ra. Az előbbi esetben σ = 0-val g i(u), s > 0. Minthogy o(ε) ε 0, ha ε 0, így g i (u + εs) = g(u) +ε g }{{} i(u), s +o(ε) > 0. } {{ } =0 >0 A második esetben a j, u + εs = a j, u +ε a j, s > 0. } {{ } } {{ } =0 >0 Vagyis azt kapjuk, hogy s egyik esetben sem lenne megengedett irány, ami ellentmondás. Elégségesség. Legyen u U és tegyük fel, hogy a (7.3)-(7.5) rendszernek (s, σ), s 0, σ > 0 megoldása. Ha i I(u), akkor g i (u + εs) = g(u) +ε g }{{} i(u), s } {{ } =0 < σ<0 ha ε elég kicsi. Ha j J 1 (u), akkor +o(ε) < ε( σ + o(ε) ε a j, u + εs b j = a j, u b j +ε a j, s 0. } {{ } } {{ } =0 0 Ha j J 2, akkor a j, u + εs b j = a j, u b j +ε a j, s = 0. } {{ } } {{ } =0 =0 }{{} >0 ) < 0, Ha i I(u), akkor g i (u) < 0, ha j J(u), akkor a j, u b j < 0 és g i ill. a j, u folytonossága miatt elég kis ε > 0 esetén g i (u + εs) > 0 ill. a j, u + εs b j < 0 is teljesül. Vagyis s megengedett irány. 26

27 Definíció. A 0 s R n vektor az f : R n R függvény csökkenési iránya az u R n pontból, ha ε 0 > 0, hogy f(u + εs) < f(u) ε (0, ε 0 ] Tétel. Ha 0 s R n csökkenési iránya az f : R n R függvénynek akkor σ 0, hogy (s, σ) kielégíti a f (u), s + σ 0 (7.6) egyenlőtlenséget. Ha a (7.6) egyenlőtlenségnek (s, σ) olyan megoldása, hogy s 0 és σ > 0, akkor s csökkenési iránya f-nek. Szükségesség. Ha 0 s R n csökkenési iránya az f : R n R függvénynek, akkor miatt f(u + εs) = f(u) + ε f (u), s + o(ε) < f(u) f (u), s + o(ε) ε Minthogy o(ε) ε f (u), s 0, < 0. 0, ha ε 0, így amiből következik a tételbeli σ 0 létezése. Elégségesség. Ha a (7.5) egyenlőtlenség (s, σ) megoldására σ > 0, akkor f(u + εs) = f(u) + ε f (u), s + o(ε) = f(u) + ε( f (u), s + o(ε) ε ) ha ε elég kicsi. f(u) + ε( σ + o(ε) ε ) < f(u), Tétel. Annak, hogy az u U pont lokális minimumpontja legyen a (7.1)-(7.2) feladatnak, szükséges feltétele, hogy a (7.3)-(7.6) egyenlőtlenségrendszer minden (s, σ) megoldására σ 0 legyen. Ha a σ 0 feltétel teljesülne a (7.3)-(7.6) egyenlőtlenségrendszer valamely (s, σ) megoldására, akkor a és Tételek szerint s megengedett iránya lenne U-nak az u U pontból, ugyanakkor ebből a pontból csökkenési iránya lenne az f függvénynek, vagyis létezne olyan ε 0 > 0, hogy u + εs U és f(u + εs) < f(u) ε ε 0, vagyis u nem lenne lokális minimumpont. 27

28 Tétel. (Fritz-John feltétel) Legyen az u U pont lokális minimumpontja a (7.1)-(7.2) feladatnak Akkor léteznek olyan λ 0 0, λ i 0, i I, µ j 0, j J 1 és ϑ R, j J 2 nem mind zérus konstansok, hogy λ 0 f (u) + i I λ i g i(u) + j J 1 µ j a j + j J 2 ϑ j a j = 0, (7.7).. λ i g i (u) = 0, i I, µ j ( a j, u b j ) = 0, j J 1 (7.8) A Tételből a Farkas lemmával kapjuk, hogy léteznek olyan λ 0 0, λ i 0, i I(u), µ j 0, j J 1 (u) és ϑ j R, j J 2 skalárok, hogy λ 0 f (u) + λ i g i(u) + µ j a j + ϑ j a j = 0, (7.9) j J 2 i I(u) j J 1(u) és λ 0 + i I(u) λ i = 1. Az utóbbi feltétel garantálja, hogy már a fenti egyenletben szereplő paraméterek nem mindegyike zérus. A λ i = 0 (i I \ I(u) és µ j = 0 (j J 1 \ J 1 (u) választással a tétel bizonyítása teljessé tehető Tétel. (Kuhn-Tucker-féle szükséges feltétel) Legyen az u U pont lokális minimumpontja a (7.1)-(7.2) feladatnak és tegyük fel, hogy a g i (u), i I(u), a j, j J 1 (u) J 2 vektorrendszer lineárisan független. Akkor léteznek olyan λ i 0, i I, µ j 0, j J 1 és ϑ R, j J 2 skalárok, hogy f (u) + i I λ i g i(u) + j J 1 µ j a j + j J 2 ϑ j a j = 0, (7.10) és λ i g i (u) + µ j ( a j, u b j ) = 0. (7.11) j J 1 i I A tétel feltételei mellett teljesülnek a Tétel feltételei. De most λ 0 > 0 lehetséges csak, mert λ 0 = 0 esetén ellentmondásra jutnánk a tételbeli lineáris függetlenségi feltétellel. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy λ 0 = 1. Bevezetve a λ i = 0, ha i / I(u) és µ j = 0, ha j / J 1 (u) paramétereket, a (7.10) és (7.9) egyenlőségek ekvivalensek. Ugyanakkor fennállnak a λ i g i (u) = 0 (i I) és µ j ( a j, u b j ) = 0 (j J 1 ) feltételek, amiből (7.11) azonnal adódik. 28

29 7.2. Feladatok Feladat. Mi a megengedett iránya 1.) U = {u = (x, y) R 2 : x 3 + y 0, x, y 0} halmaznak az u = (0, 0) pontban? 2.) U = {u = (x, y) R 2 : 2x + y 4, x + y 1} halmaznak az (1, 3) pontban? 3.) U = {u = (x, y) R 2 : x y + 3 0, x 2 + y 1 0, x, y 0} halmaznak a (2, 5) ill. a (1, 2) pontokban? Feladat. A megengedett irányok módszerével ellenőrizze hogy, az alábbi feladatokra a megadott pont optimális-e? 1.) 2.) 3.) x 2 + y min x 2 + y 2 9 x + y 1. u = (x, y ) = (0, 3). y max x 2 + 3y 3 2x + 3y 4 x, y 0 u = (x, y ) = (0, 1). x + y min x 2 y 0 2y + x 4 u = (x, y ) = (0, 0) Feladat. Teljesül-e a Feladat problémáira az adott pontokban 1.) a Fritz-John optimalitási kritérium? 2.) a Kuhn-Tucker-féle szükséges optimalitási kritérium? Feladat. őket: Írja fel a Kuhn-Tucker optimalitási feltételeket az alábbi feladatokra, és oldja meg 1.) 3u 1 u 2 + u 2 3 min (u 1,u 2) U, U = {(u 1, u 2 ) R 2 : u 1 + u 2 + u 3 0, u 1 + 2u 2 + u 2 3 0}. 29

30 2.) u u 1 u 2 + u 2 2 min (u 1,u 2) U, U = {(u 1, u 2 ) R 2 : (u 1 1) 2 + u 2 2 1}. 3.) (u 1 3) 2 + (u 2 2) 2 min (u 1,u 2) U U = {(u 1, u 2 ) R 2 : u u 2 2 5, u 1 + 2u 2 2 4, u 1, u 2 0}. 30

31 7.3. Konvex MP feladatok optimalitási kritériumai Tegyük fel, hogy a (7.1)-(7.2) feladatban az f és g i, i I függvények konvexek. Ekkor a Tétel értelmében az U halmaz is konvex. Ezt a feladatot konvex programozási feladatnak nevezzük Definíció. Az (7.2)-val definiált U halmaz reguláris, ha minden (i I) esetén létezik olyan u i U, melyre g i (u i ) < Definíció. Az (7.2)-val definiált U halmaz kielégíti a Slater feltételt, ha létezik olyan u U, melyre g i (u) < 0, i I. Az u pontot Slater pontnak nevezzük Tétel. A Slater feltétel teljesüléséből következik a regularitási feltétel teljesülése. Konvex programozási feladat esetén a két feltétel ekvivalens. Ha létezik u Slater pont, akkor az u i = u (i I) választással teljesül a regularitási feltétel. Ha az U halmaz konvex és reguláris, akkor az u = k I α k u k Slater pont. Valóban, mivel g i (u i ) < 0 és a g i függvények konvexek, így g i (u) = g i ( k I α k u k ) α k g i (u k ) = α i g i (u i ) + α k g(u k ) < 0 } {{ } } {{ } k I k i < Tétel. (Kuhn-Tucker optimalitási tétel) Legyen a (7.1)-(7.2) konvex programozási feladat, és az U halmaz legyen Slater reguláris. u U akkor és csak akkor optimumpontja a (7.1)- (7.2) feladatnak, ha léteznek olyan λ i 0 (i I), µ j 0 j J 1 és ϑ j R j J 2 konstansok, hogy f (u) + i I λ i g i(u) + j J 1 µ j a j + j J 2 ϑ j a j = 0. (7.1) és teljesülnek a λ i g i (u) = 0, i I, µ j ( a j, u b j ) = 0, j J 1 (7.2). komplementaritási feltételek. Szükségesség. Hasonlóan mint a Tétel bizonyításánál léteznek olyan λ 0 0, λ i 0, i I(u), µ j 0, j J 1 (u) és ϑ j R, j J 2 skalárok, hogy λ 0 f (u) + λ i g i(u) + µ j a j + ϑ j a j = 0, (7.3) j J 2 és λ 0 + i I(u) i I(u) j J 1(u) λ i = 1. (7.4) 31

32 Azt kell belátnunk, hogy λ 0 > 0. Tegyük fel az ellenkezőjét, vagyis legyen λ 0 = 0. A(7.4)-ből következik, hogy van legalább egy olyan k I(u) index, hogy λ k > 0 és g k (u) = 0. Ha z U a Slater pont, akkor s = z u megengedett irány. Valóban, minthogy g i (z) < 0 (i I), a j, z b j 0 (j J 1 ) és a j, z b j = 0 (j J 2 ), így 0 < ε 1 = ε 0 esetén és g i (u + εs) = g i (εz + (1 ε)u) ε g i (z) +(1 ε) g i (u) < 0, (i I), } {{ } } {{ } <0 0 a j, u + εs b j = ε( a j, z b j ) + (1 ε)( a j, u b j ) 0, (j J 1 ) } {{ } } {{ } 0 0 a j, u + εs b j = ε( a j, z b j ) + (1 ε)( a j, u b j ) = 0, (j J 2 ). } {{ } } {{ } =0 =0 (7.3)-t skalárisan s-sel szorozva λ i g i(u), s + µ j a j, s + ϑ j a j, s = 0. j J 2 (7.5) i I(u) j J 1(u) Mivel s megengedett irány, a Tétel szerint (7.5) baloldalán minden tag nempozitív, és figyelembe véve g k konvexitását (ld Tétel) 0 > g k (z) = g k (z) g k (u) g k(u), z u = g k(u), s, vagyis (7.5) baloldala határozottan negatív, így ellentmondáashoz jutottunk. A (7.2) komplementaritási feltételek teljesülése most is a λ i = 0 (i I \ I(u) és µ j = 0 (j J 1 \ J 1 (u) választással biztosítható. Elégségesség. Legyen y U tetszőleges. f konvexitása, valamint (7.1) miatt f(y) f(u) f (u), y u = i I λ i g i(u) + j J 1 µ j a j + j J 2 ϑ j a j, y u (7.6) U konvexitása miatt s = y u megengedett iránya U-nak az u pontból (bizonyítása analóg az előbbiekkel), így a Tétel szerint g i (u), s 0 (i I), a j, s 0 (j J 1 ) és a j, s = 0 (j J 2 ). Ezért (7.6)-ből f(y) f(u) 0, vagyis u valóban minimumpont. 32

33 7.4. Feladatok Feladat. Mutassa meg, hogy az alábbi feladat konvex programozási feladat, teljesíti a Slater feltételt és a ( 2/2, 2/2) pontban teljesülnek a a Kuhn-Tucker optimalitási feltételek. Határozza meg a megfelelő Lagrange szorzókat. y min x 2 + y 2 1 x + y 2 0 x + y Feladat. Ellenőrizze az alábbi feladatokra a Slater feltételt és a Kuhn-Tucker feltételek teljesülését az adott pontban 1.) 2.) 3.) y max x 2 + 3y 3 2x + 3y 4 x, y 0 u = (x, y ) = (0, 1). xy max x 2 + y x + y 14 x, y 0 u = (x, y ) = (7, 7). x + y min x 2 + y 2 + 2x 1 x 1 y 1 u = (x, y ) = (0, 1). 4.) y max x 2 + 3y 3 2x + 3y 4 x, y 0 u = (x, y ) = (0, 1). 33

34 7.5. Megengedett irányok módszere A tétel alkalmas arra, hogy segítségével megoldási módszert konstruáljunk. Ehhez ugyanis csak a (7.3)-(7.6) rendszer (s, σ) megoldásait kell megkeresnünk és σ előjelét vizsgálnunk. Vegyük azonban észre, hogy ha (s, σ) egy megoldása (7.3)-(7.6)-nak, akkor (αs, ασ) is az α 0 esetén. Ezért elegendő az a normában felülről korlátozott megengedett/csökkenési irányokat vizsgálni. Minthogy a (7.3)-(7.6) rendszer (s, σ)-ban lineáris, célszerű az R n -beli maximum-normát alkalmazni, hogy a rendszer linearitását ne rontsuk el, azaz legyen s = max s i, ahol s =,...,n (s 1,..., s n ) R n. Ezzel az (7.3)-(7.6) rendszer az max s i 1,...,n feltétellel bővül, ami ekvivalens a 1 s i 1, i = 1,..., n (7.1) feltételrendszerrel. Algoritmus: 1.lépés: (Inicializálás) Legyen k := 1, és választunk egy u 1 U pontot. 2.lépés: Meghatározzuk az aktív feltételek I(u k ) J 1 (u k ) J 2 indexhalamazát. 3.lépés: Megoldjuk a σ max f (u k ), s + σ 0, g i, s + σ 0, (i I(u k )), a j, s 0, (j J 1 (u k )), a j, s = 0, (j J 2 ), 1 s i 1, (i = 1,..., n) lineáris programozási feladatot. Ha σ = 0, akkor KÉSZ. u = u k kielégíti a Fritz-John szükséges feltételt. Ha σ = 0 és még a g i (u k), i I(u k ), a j, j J 1 (u k ) J 2 vektorrendszer lineárisan független, akkor u = u k kielégíti a Kuhn Tucker szükséges feltételt. Ha a megoldandó feladat konvex és teljesíti a Slater feltételt, akkor u = u k optimális. Ha σ 0, akkor s megengedett csökkenési irány, GOTO 4. lépés. 4.lépés: u k+1 := u k + εs az ε > 0 olyan választásával, hogy f(u k+1 ) f(u k ) legyen (pl. ε argmin f(u k + εs)). GOTO 2. lépés. ε>0 34

35 7.6. Feladatok Feladat. Határozza meg az alábbi halmazoknak az adott u 0 pontokhoz legközelebbi nemnegatív koordinátájú pontját megengedett irányok módszerével az optimumponttól különböző kezdőpontból kiindulva: 1.) U = {u = (x, y) R 2 : 2x + y 4, x + y 1} u 0 = (2, 0). 2.) U = {u = (x, y) R 2 : x 2y 6, 2x + y 6} u 0 = (1, 3). 3.) U = {u = (x, y) R 2 : x 2y 4, x + y 5} u 0 = (1, 0) Feladat. Az alábbi feladatokra a megengedett irányok módszerével az adott u 0 = (x 0, y 0 ) pontból kiindulva hajtson végre egy teljes iterációs lépést, majd írja fel a második megengedett irányt meghatározó feladatot! 1.) 2.) 3.) 4.) x 2 + y 2 4x + 4 min x y x 2 + y 1 0 u 0 = (2, 5). x, y 0 x 2 + xy + 2y 2 6x 2y 12z min u 0 = (1, 0, 1). x + y + z = 2 x + 2y 3 x, y, z 0 x 2 + xy + 2y 2 6x 2y 12z min u 0 = (1, 1, 1). 2x 2 + y 2 15 x + 2y + z 3 x, y, z 0 (x 2) 2 + (y 1) 2 min u 0 = (1, 1). x 2 y 0 x + 2y = 1 35

36 7.7. Nyeregpontfeltételek Legyenek a továbbiakban I = {1,..., m}, J 1 = {m + 1,..., p} és J 2 = {p + 1,..., s} a korlátozó feltételek indexhalmazai, G 1 = (g 1,..., g m ), G 2 = (g m+1,..., g p ) és G 1 = (g p+1,..., g s ) a korlátozó feltételek vektorfüggvényei, azaz legyen U = {u R n : G 1 (u) 0, G 2 (u) = A 1 u b 1 0, G 3 (u) = A 2 u b 2 = 0}, (7.1) ahol A 1 és A 2 (p m) n ill. (s p) n típusú mátrixok, b 1 R p m, b 2 R s p. (0 mindenütt a megfelelő méretű nullvektort jelöli.) Legyen Λ = {(λ, µ, ϑ) R m R p m R s p : λ 0, µ 0} Definíció. Az f(u) min u U (7.2) feladathoz rendelt L : R n Λ R Lagrange függvény: L(u, λ, µ, θ) = f(u) + λ, G 1 (u) + µ, G 2 (u) + ϑ, G 3 (u). (7.3) Definíció. Az (u, λ, µ, ϑ ) R n Λ az L(u, λ, µ, ϑ) Lagrange függvény nyeregpontja az R n Λ halmazon, ha minden u R n és (λ, µ, ϑ) Λ esetén L(u, λ, µ, ϑ) L(u, λ, µ, ϑ ) L(u, λ, µ, ϑ ). (7.4) Tétel. Ahhoz, hogy az(u, λ, µ, ϑ ) R n Λ nyeregponja legyen a (7.2)-(7.1) nemlineáris programozási feladatnak, szükséges, hogy teljesüljenek az alábbi feltételek: L u(u, λ, µ, ϑ ) = 0, (7.5) L λ(u, λ, µ, ϑ ) = G 1 (u ) 0, (7.6) L µ(u, λ, µ, ϑ ) = G 2 (u ) = A 1 u b 1 0, (7.7) L ϑ(u, λ, µ, ϑ ) = G 3 (u ) = A 2 u b 2 = 0, (7.8) λ, G 1 (u ) = 0, (7.9) µ, G 2 (u ) = µ, A 1 u b 1 = 0. (7.10) Ha a (7.2)-(7.1) feladat konvex programozási feladat, akkor a (7.5)-7.10) feltételek elégségesek is. Szükségesség. A (7.4) nyeregpontfeltétel jobboldali egyenlőtlenségéből az u = (u 1,..., u k 1, u k, u k+1,..., u n ) választással a L(u 1,..., u k 1, u k, u k+1,..., u n, λ, µ, ϑ ) L(u 1,..., u k 1, u k, u k+1,..., u n, λ, µ, ϑ ) u k R azaz L(u 1,..., u k 1, u k, u k+1,..., u n, λ, µ, ϑ ), mint u k függvénye az u k pontban veszi fel a minimumát. (7.5) az optimalitás szükséges feltétele. 36

37 A (7.4) feltétel baloldalából λ λ, G 1 (u ) + µ µ, G 2 (u ) + ϑ ϑ, G 3 (u ) 0 (λ, µ, ϑ) Λ. (7.11) Legyen λ = λ + e k, ahol e k az R m tér k. egységvektora és legyen továbbá µ = µ és ϑ = ϑ. Akkor (7.11)-ból a g k (u ) 0 egyenlőtlenséget kapjuk, és ez igaz minden k = 1,..., m-re, azaz (7.6) teljesül. Hasonló technikával, ha µ = µ + e k, ahol e k az R p m tér k. egységvektora, továbbá λ = λ és ϑ = ϑ, akkor k = m + 1,..., p esetén a k, u b k 0, azaz fennáll (7.7). Végül, ha ϑ = ϑ ± e k, ahol e k az R s p tér k. egységvektora, továbbá λ = λ és µ = µ, akkor k = p + 1,..., s-re a k, u b k 0, ( a k, u b k ) 0. Ezzel (7.8)-t is igazoltuk. Figyelembe véve λ és µ nemnegativitását, valamint a már belátott (7.6), (7.7) és (7.8) állításokat, a λ, G 1 (u ) 0, µ, G 2 (u ) = µ, A 1 u b 1 0. egyenlőtlenségeket kapjuk. Másrészt a (7.11) feltételből λ = 0, µ = 0, ϑ = 0 választással λ, G 1 (u ) + µ, G 2 (u ) + ϑ, G 3 (u ) 0 adódik, ami az összeadandók bármelyikének negatívitása mellett nem lehetséges, vagyis teljesülnie kell a (7.9) és (7.10) feltételeknek. Elégségesség. Tegyük fel, hogy a (7.2)-(7.1) feladat konvex és (u, λ, µ, ϑ ) R n Λ teljesíti az (7.5)-(7.10) feltételeket. Mivel az f(u), g i (u)(i = 1,..., s) függvények konvexek, az L(u, λ, µ, ϑ ) Lagrange függvény is konvex u-ban, és a konvexitás elsőrendű feltételét, valamint a (7.5) feltételt felhasználva L(u, λ, µ, ϑ ) L(u, λ, µ, ϑ ) + L u(u, λ, µ, ϑ ), u u L(u, λ, µ, ϑ ), } {{ } 0 azaz (7.4) feltétel jobboldala teljesül. Az L(u, λ, µ, ϑ) Lagrange függvény lineáris (λ, µ, ϑ)-ban, így felhasználva a (7.6)-(7.10) feltételeket: L(u, λ, µ, ϑ) = L(u, λ, µ, ϑ ) + L λ(u, λ, µ, ϑ ), λ λ + = L(u, λ, µ, ϑ ) + L µ(u, λ, µ, ϑ ), µ µ + L ϑ(u, λ, µ, ϑ ), ϑ ϑ G 1 (u ), λ λ + G 2 (u ), µ µ + G 3 (u ), ϑ ϑ = L(u, λ, µ, ϑ ) + G 1 (u ), } {{ } }{{} λ + G 2 (u ), µ + G } {{ } }{{} 3 (u ), ϑ } {{ } =0 ( G 1 (u ), λ + G 2 (u ), µ + G 3 (u ), ϑ ) } {{ } } {{ } } {{ } =0 =0 =0 L(u, λ, µ, ϑ ), 37

38 azaz a (7.4) feltétel baloldali egyenlőtlensége is igaz Tétel. Ha az (u, λ, µ, ϑ ) R n Λ nyeregpontja a (7.2)-(7.1) feladathoz rendelt Lagrange függvénynek az R n Λ halmazon, akkor u U = {u U : f(u ) = inf f(u)}. Ha (7.2)-(7.1) u U konvex programozási feladat, és teljesíti a Slater regularitási feltételt, akkor a feltétel szükséges is. Szükségesség. Legyen (u, λ, µ, ϑ ) R n Λ nyeregpontja a (7.2)-(7.1) feladathoz rendelt Lagrange függvénynek az R n Λ halmazon. Akkor szükséges a (7.6)-(7.8) feltételek teljesülése, vagyis u U, továbbá a nyeregpontfeltétel jobboldala teljesül minden u U-ra, így u U esetén L(u, λ, µ, ϑ ) = f(u ) L(u, λ, µ, ϑ ) = f(u) + G 1 (u ), } {{ } }{{} λ + G 2 (u ), µ + G } {{ } }{{} 3 (u ), ϑ f(u) } {{ } =0 Elégségesség. Mint láttuk korábban, a Slater feltételt teljesítő konvex programozási feladatra a Tétel feltételei elégségesek is ahhoz, hogy egy u U pont optimális legyen. Ezek a feltételek ekvivalensek a (7.5)-(7.10) feltételekkel. 38

39 7.8. Feladatok Feladat. Tekintsük a u min u U U = {u R : u 0, u 2 0}; feladatot. Mutassuk meg, hogy a feladathoz rendelt Lagrange függvénynek nincs nyeregpontja Feladat. Tekintsük az u min u U U = {u R : u 0, u 2 0} feladatot. Mutassuk meg, hogy a feladathoz rendelt Lagrange függvénynek (0, 1, λ 2) nyeregpontja λ 2 0 esetén Feladat. Tekintsük az u 2 min u U U = {u R : u 2 1 0} feladatot. Mutassuk meg, hogy u = 0, λ = 0 nyeregpont Feladat. Nyeregpont-e az y min x 2 + y 2 1 x + y 2 0 x + y 0 feladatra (u, λ ), ha u = ( 2 2, 2 2 ), λ = ( , 2 + 1, 0)? 39

40 8. A lineáris komplementaritási feladat megoldása Legyen M tetszőleges p p mátrix, és q R p. Keressük olyan w, z R p vektorokat, amelyek kielégítik a w Mz = q (8.1) w j 0, z j 0 (j = 1,..., p) (8.2) w j z j = 0, (j = 1,..., m) (8.3) rendszert. A (w j, z j ) változókat komplementáris változóknak nevezzük Definíció. A (w, z) pár tökéletes megengedett bázis megoldása a ( ) feladatnak, ha kielégítik ( )-t és minden j-re a (w j, z j ) párnak pontosan az egyik komponense bázisbeli. Ha q i 0 i = 1,..., p, akkor ( )-nak nyilvánvalóan megoldása a w = q, z = 0 pár. Ha legalább egy j {1,..., p}-re q j < 0), akkor az eredeti feladat megoldása helyett keressük a (w, z, z 0 ) megoldását a w Mz 1z 0 = q (8.4) w j 0, z j 0 (j = 1,..., p) (8.5) w j z j = 0, (j = 1,..., m) (8.6) rendszernek, ahol 1 = {1,..., 1}. Nyilvánvalóan, z 0 = min q i, z = 0, w = q + z 0 1 (8.7),...,p egy megengedett megoldása a (8.4)-(8.6) rendszernek. Megfelelő bázistranszformációkkal megkisérelünk olyan megengedett megoldást keresni, ahol z 0 = 0 teljesül Definíció. A (w, z, z 0 ) hármas majdnem tökéletes megengedett bázis megoldása a ( ) feladatnak, ha 1. kielégíti ( )-t; 2. létezik olyan 1 s p, hogy sem z j, sem w j nem bázisbeli; 3. minden j s-re a (w j, z j ) párnak pontosan az egyik komponense bázisbeli. A definícióból következik, hogy majdnem tökéletes megengedett bázis megoldás esetén z 0 bázisbeli kell legyen. Másrészt az is látszik, hogy (8.7) egy majdnem tökéletes megengedett bázis megoldás. A (w, z, z 0 ) majdnem tökéletes megengedett bázis megoldás szomszédos majdnem tökéletes megengedett bázis megoldásához úgy juthatunk, hogy a bázisban eddig nem szereplő (w s, z s ) párból valamelyiket bevonjuk a bázisba, feltéve, hogy ezzel z 0 nem kerül ki a bázisból. A Lemke algoritmus alapgondolata a következő: (8.7) majdenem tökéletes megengedett bázis megoldásból kiindulva bázistranszformációkkal szomszédos majdenem tökéletes megengedett bázis megoldásokon haladva javítjuk a megoldást. 40

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

A szimplex algoritmus

A szimplex algoritmus A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6. 1 2 3 Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál

Részletesebben

DR. NAGY TAMÁS. egyetemi docens. Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék

DR. NAGY TAMÁS. egyetemi docens. Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék FELTÉTELES OPTIMALIZÁLÁS DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-4...B-0//KONV-00-000 jel½u projekt részeként az Európai Unió támogatásával,

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Losonczi László. Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar

Losonczi László. Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Szélsőértékszámítás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 1 / 21 2. SZÉLSOÉRTÉKSZÁMÍTÁS 2.1 A szélsőérték fogalma, létezése Azt

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Kétváltozós függvény szélsőértéke

Kétváltozós függvény szélsőértéke Kétváltozós függvény szélsőértéke Sütő Andrea Kétváltozós függvény szélsőértéke Legyen adott f ( xy, ) kétváltozós függvény és ez legyen folytonosan totálisan differenciálható, azaz létezzenek az elsőrendű

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC 016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság. Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar

FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság. Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 7. Vázlat 1 Szeparábilitás Definíciók A szeparábilitás ekvivalens

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Egyváltozós függvények 1.

Egyváltozós függvények 1. Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a A merész játékok stratégiája A következő problémával foglalkozunk: Tegyük fel, hogy feltétlenül ki kell fizetnünk 000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a még

Részletesebben

Opkut deníciók és tételek

Opkut deníciók és tételek Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!

Részletesebben

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila

Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila Miskolci Egyetem Kelet-Magyarországi Informatika Tananyag Tárház Kivonat Kivonat Nemzeti Fejlesztési Ügynökség http://ujszechenyiterv.gov.hu/

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha ALAPFOGALMAK 1 Á l l a p o t t é r Legyen I egy véges halmaz és legyenek A i, i I tetszőleges véges vagy megszámlálható, nem üres halmazok Ekkor az A= A i halmazt állapottérnek, az A i halmazokat pedig

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

P 2 P 1. 4.1 ábra Az f(x) függvény globális minimuma (P 1 ) és egy lokális minimuma (P 2 ).

P 2 P 1. 4.1 ábra Az f(x) függvény globális minimuma (P 1 ) és egy lokális minimuma (P 2 ). Paláncz Béla - Numerikus Módszerek - 211-4. Optimalizálás 4 Optimalizálás Bevezetés Az optimalizáció, egy függvény szélsőértéke helyének meghatározása, talán a legfontosabb numerikus eljárások közé tartozik.

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x +

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

1. Az euklideszi terek geometriája

1. Az euklideszi terek geometriája 1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

Nemlineáris optimalizálás

Nemlineáris optimalizálás Nemlineáris optimalizálás Rapcsák Tamás 2007. 3 Előszó A Nemlineáris optimalizálás című anyag a gazdaságmatematikai elemző közgazdász hallgatók számára készült és egyrészt a matematikai alapozó kurzusokra

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Általános algoritmustervezési módszerek

Általános algoritmustervezési módszerek Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás

Részletesebben