Programtervező matematikusok számára. Verzió: április 1. Kovács Margit. docens
|
|
- Zsuzsanna Farkasné
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 OPERÁCIÓKUTATÁS II. Programtervező matematikusok számára Verzió: április 1. Kovács Margit docens ELTE TTK Operációkutatási Tanszék
2 Tartalomjegyzék 1. Függvények 3 2. Függvények optimalitása Feladatok Konvex halmazok Műveletek konvex halmazokkal Feladatok Konvex függvények Konvex függvények karakterizációi Konvex függvények függvényei Konvex függvényekkel definiált halmazok Feladatok Feltételes szélsőértékproblémák Feladatok Lagrange multiplikátorok módszere Feladatok Optimalitási kritériumok Szükséges feltételek differenciális alakban Feladatok Konvex MP feladatok optimalitási kritériumai Feladatok Megengedett irányok módszere Feladatok Nyeregpontfeltételek Feladatok A lineáris komplementaritási feladat megoldása Feladatok Kvadratikus programozás Feladatok Hiperbolikus programozás Feladatok Egyváltozós unimodális függvények minimalizálása Intervallumfelezési eljárás Aranymetszés módszere Feladatok Egyváltozós függvények minimalizálása: töröttvonal és érintő módszer Töröttvonal módszer Érintő módszer Feladatok
3 1. Függvények Jelölje D(f) R n az f függvény értelmezési tartományát, azaz legyen D(f) = {u R n : < f(u) < } Definíció. Az U R n -en értelmezett f(u) függvény epigráfjának az epi f = {(u, η) R n+1 : u U, η f(u)} halmazt nevezzük Definíció. Az U R n -en értelmezett f(u) függvény alsó nívóhalmazának (röviden nívóhalmazának) az L f (c) = {u D(f) : f(u) c}, c R halmazt nevezzük. 2. Függvények optimalitása 2.1. Definíció. u U lokális minimumpontja az f : D(f) R függvénynek az U D(f) halmazon, ha O δ (u ) környezete úgy, hogy f(u) f(u ) u U O δ (u ). (2.1) Ha (2.1) teljesül u U, akkor u globális minimumpont Tétel. Legyen f : D(f) R, u U D(f) R n és f C 1 (U O ε (u )) (folytonosan differenciálható). Akkor f (u ), u u 0 u U O ε (u ) (2.2) szükséges feltétele annak, hogy u lokális minimumpont legyen. Ha O ε (u ) U, akkor a szükséges feltételaz f (u ) = 0 alakot ölti. Legyen u U O ε (u ) és α [0, 1]. Akkor Innét f(u + α(u u )) f(u ) = α f (u ), u u + o(α) 0. f (u ), u u + o(α) 0 α (0, 1). α α 0-val kapjuk a (2.2) egyenlőtlenséget. Ha O ε (u ) U, akkor v R n -hez ε 0 > 0 úgy, hogy u = u + εv O ε (u ) ε : ε < ε 0, ezért Innét f (u ), u + εv u 0 ε : ε < ε 0, v R n. ε f (u ), v 0 ε : ε < ε 0, v R n, vagyis f (u ), v = 0 v R n, ami csak f (u ) = 0 mellett teljesül. 3
4 2.2. Definíció. Az {u k } U az f : D(f) R függvény minimalizáló sorozata az U D(f) halmazon, ha lim f(u k) = f = inf f(u). k u U 2.3. Definíció. Az U = {u U D(f) : f(u) = f = inf v U f(v)} az f : D(f) R függvény minimumhalmaza az U D(f) halmazon Tétel. (Weierstrass tétele) Legyen az f(u) függvény folytonos a kompakt U D(f) halmazon. Akkor 1. f = inf f(u) > ; u U 2. U = {u U : f(u) = f } kompakt; 3. f(u) minden minimalizáló sorozata U-n tart U -hoz. Legyen {u k } U minimalizáló sorozat, azaz lim f(u k) = f. Mivel U kompakt, {u k } sorozatnak k van legalább egy torlódási pontja, és minden torlódási pontja U-ban van. Legyen u U egy torlódási pont. {u k }-ból kiválasztható egy konvergens részsorozat: {u km }, u km u, ha m. Kihasználva f(u) folytonosságát és f definicióját: f f(u ) = lim inf m f(u k m ) = lim k f(u k) = f, következésképpen f(u ) = f. Ebből következik, hogy f >, U és minden minimalizáló sorozat valamennyi torlódási pontja U -beli. Legyen {v k } U. Mivel U kompakt és {v k } U, ezért kiválasztható belőle konvergens részsorozat {v km } v U. A {v k } sorozat minimalizáló f(u)-ra, mivel f(v k ) = f, ezért minden torlódási pontja, így v is U -beli, azaz U zárt. Tehát U egy kompakt halmaz zárt részhalmaza, így ő maga is kompakt. Legyen {u k } egy minimalizáló sorozat. Legyen ρ(u k, U ) = inf u U ρ(u k, u) 0 = lim inf k ρ(u k, U ) 0. lim sup ρ(u k, U ) = lim ρ(u k m, U ) = a. k m U kompaktsága miatt kiválasztható az {u km } sorozatból egy u ponthoz konvergáló részsorozat. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy ez a részsorozat maga az {u km } részsorozat. A ρ(u, U ) függvény folytonos, így lim ρ(u k m m, U ) = ρ(u, U ) = a. Minthogy u egy minimalizáló sorozat torlódási pontja, a korábbiak szerint u U, azaz ρ(u, U ) = a = 0. Ezért 0 lim inf k ρ(u k, U ) lim sup ρ(u k, U ) = 0. k Ez azt jelenti, hogy bármely minimalizáló sorozat tart U -hoz. 4
5 2.3. Tétel. Legyen f(u) folytonos a zárt, nem üres U D(f) halmazon, továbbá valamilyen v U-ra L f (f(v)) = {u U : f(u) f(v)} legyen korlátos. Akkor f >, U kompakt és f(u) minden minimalizáló {u k } L f (f(v)) sorozatra {u k } U. Mivel f(u) > f(v), ha u U \ L f (f(v)), f(u) f(v), ha u L f (f(v)), a f(u) függvény nem veheti fel az infimumát az U \ L f (f(v)) halmazon. Ezért elég a vizsgálatot az L f (f(v)) halmazra szorítani. A f folytonossága miatt L f (f(v)) zárt, a feltétel szerint korlátos, tehát kompakt. A Weierstrass tételből ezért következik a tétel minden állítása Tétel. Legyen U D(f) nem üres, zárt halmaz, f(u) folytonos U-n, és tegyük fel, hogy lim f(u k) = + k minden olyan {u k } U sorozatra, amelyre lim k u k = teljesül. Akkor f >, U kompakt halmaz és minden minimalizáló sorozat tart U -hoz. Ha U korlátos, akkor Weierstrass tétele alapján igaz az állítás. Tegyük fel, hogy U nem korlátos. Akkor létezik legalább egy {u k } U sorozat, melyre lim u k = +. k Akkor a feltétel szerint lim f(u k) = +. k Válasszunk tetszőleges olyan v U pontot, melyre f(v) > f. Tekintsük az L f (f(v)) = {u U : f(u) f(v)} szinthalmazt. L f (f(v)) korlátos, mert ha nem lenne az, akkor létezne {w k } L f (f(v)) sorozat, amelyikre lim w k = + és erre a sorozatra lim f(w k) = +, ami ellentmond annak, hogy k k f(w k ) f(v) < +. L f (f(u)) korlátossága miatt a tétel valamennyi állítása következik az 2.3. Tételből. 5
6 2.1. Feladatok Feladat. Minimalizáló sorozat-e 1.) az f(x) = x2 1 + x 4, (x R) függvényre az x k = k, k = 1, 2,... sorozat? 2.) az f(u) = u 1 + u 2, (u Rn ) függvényre az u k = k 1 sorozat, ahol a 1 = (1, 1,..., 1)? Feladat. Indokolja meg, fog-e minden U-beli minimalizáló sorozat konvergálni az f(u) függvény U-beli minimumhelyéhez konvergálni, ha 1.) U = R n és f(u) = u 2? 2.) U = {u = (x, y) R 2 : x + 3y 1, x 0, y 0} és f(u) = x + y? 3.) U = {u = (x, y) R 2 : 2x + y 3, x 0, y 0} és f(u) = x + 2y? Feladat. Felveszi-e az f(u) függvény a minimumát az U halmazon, ha 1.) U = {u R : 1 u és f(u) = u2 1 + u 4? 2.) U = R n és f(u) = u 3? 3.) U = {u = (x, y) R 2 : x 0, y 0} és f(u) = x + 1 y? 4.) U = {u = (x, y) R 2 : x 1, 0 y 1} és f(u) = x + 1 y? 6
7 3. Konvex halmazok 3.1. Definíció. U R n konvex, ha u, v U, α [0, 1] esetén: αu + (1 α)v U 3.1. Műveletek konvex halmazokkal Definíció. Halmazok összege: A i R n, i = 1,..., m esetén A = m A i = {a R n : a = m a i, a i A i }. Halmazok különbsége: A, B R n esetén C = A B = {c R n : c = a b, a A, b B}. Halmazok skalárszorosa: A R n, λ R esetén B = λa = {b R n : b = λa, a A}. Halmazok Descartes szorzata: A i R ni, i = 1,..., m esetén A = A 1... A m = m A i = {a = (a 1,..., a m ) R n1+...+nm : a i A i, i = 1,..., m}. Megjegyzés. Általában A + A 2A és A A {0}, de 2A A + A és {0} A A Tétel. Ha A i, i = 1,..., m, A, B az R n konvex halmazai, akkor 1) A = m A i, 2) C = A B, 3) B = λa, λ R is konvex. 1. a, b A = a m a i, b = m b i, a i A i b i A i = αa + (1 α)b = m (αa i + (1 α)b i ) A. } {{ } A i 7
8 2. c 1, c 2 C = c 1 = a 1 b 1, a 1 A, b 1 B c 2 = a 2 b 2, a 2 A, b 2 B = αc 1 + (1 α)c 2 = α(a 1 b 1 ) + (1 α)(a 2 b 2 ) 3. a, b B = a = λa 0, b = λb 0, a 0, b 0 A = (αa 1 + (1 α)a 2 ) (αb 1 + (1 α)b 2 ) C. } {{ } } {{ } A B = αa + (1 α)b = λ(αa 0 + (1 α)b 0 ) B. } {{ } A Tétel. Ha A i R ni, i = 1,..., m, konvex halmazok akkor A = a, b m A i = a = (a 1,..., a m ), b = (b 1,..., b m ), b i A i, i = 1,..., m = m λa + (1 λ)b = (λa 1 + (1 λ)b 1,..., λa m + (1 λ)b m ) A i. } {{ } } {{ } A 1 A m m A i is konvex Tétel. Ha A i R n, i = 1,..., m, konvex halmazok, akkor a C = m A i halmaz is konvex. a, b C = a, b A i i = 1,..., m = αa + (1 α)b A i i = 1,..., m = αa + (1 α)b m A i = C Definíció. Az {u 1,..., u m } U pontrendszer konvex kombinációja az u = m α i u i pont, ahol α i 0 (i = 1,..., m) és m α i = Tétel. Az U R n halmaz akkor és csak akkor konvex, ha tartalmazza bármely véges számú elemének konvex kombinációját. 8
9 Elégségesség. Ha U tartalmazza bármely véges számú elemének konvex kombinációját, akkor bármely két elemének konvex kombinációját is tartalmazza, így definíció szerint konvex. Szükségesség. Teljes indukcióval bizonyítunk. Mivel U konvex, tartalmazza bármely két elemének konvex kombinációját. Tegyük fel, hogy U tartalmazza bármely m 1 elemének konvex kombinációját. Legyen u = m α i u i, 0 α i 1, m α i = 1. Ha valamelyik α i = 0, akkor u előáll a többi, (m 1) számú u j (j i) konvex kombinációjaként, így u U. Legyen 0 < α i < 1 (i = 1,..., m) és vezessük be a β i = α i 1 α (i = 1,..., m 1) változókat. m Nyilvánvalóan 0 < β i < 1 (i = 1,..., m) és m 1 β i = 1, továbbá v = m 1 β i u i U. Mivel u = (1 α m )v + α m u m, így u U Definíció. Az U-t tartalmazó konvex halmazok metszete az U konvex burka. Jele: co U. Nyilvánvalóan co U a legszűkebb U-t tartalmazó konvex halmaz Tétel. U konvex burka a véges sok U-beli elem konvex kombinációjaként előálló pontok halmaza. Legyen W az U-beli elemek végeselemű konvex kombinációinak a halmaza. Nyilvánvalóan U W. Mivel U co U és co U konvex, így tartalmazza a co U-beli elemek véges elemszámú konvex kombinációit, így az U-beliekét is, azaz co U W. Másrészt, W konvex. Ugyanis, ha és akkor u = p α i u i, u i W, 0 α i 1 (i = 1,..., p), v = q β i v i, v i W, 0 β i 1 (i = 1,..., q), p α i = 1 q β i = 1, v α = αu + (1 α)v = p αα i u }{{} i + q (1 α)β i v i ; } {{ } 0 0 p αα i + q (1 α)β i = 1, így v α konvex kombinációja p + q számú elemnek, azaz v α W. Mivel co U a legszűkebb U-t tartalmazó konvex halmaz, ezért co U W. 9
10 3.2. Feladatok Feladat. (Carathèodory tétele) Legyen U R n, konvex halmaz, U. Jelölje co U az U halmaz konvex burkát. Bizonyítsuk be, hogy u co U előállítható n + 1-nél nem több U-beli pont konvex kombinációjaként. Legyen u co U. Mivel co U konvex, így u = m α iu i, ahol m α i = 1 és α i > 0, u i U (i = 1,..., m). (Az α i-k pozitivitásának feltételezése jogos, mert u előállításában a 0 együtthatójú tagok elhagyása csökkenti az előállító pontok számát.) Ha m n + 1, akkor a tétel állítása nyilván teljesül. Legyen m > n + 1. Vegyük az u i R n+1, u i = (u i, 1) pontokat. Mivel m > n + 1, ezek lineárisan összefüggők. Következésképpen γ i (i = 1,..., m), melyre m γ i = 0 és m γ iu i = 0, vagyis Innét m γ iu i = 0 m γ i = 0. u = m α iu i = m α iu i t m γ iu i = m (α i tγ i)u i. } {{ } =0 m Ha t elég kis pozitív szám, akkor α i tγ i 0. Mivel γ i = 0, de m γ i = 0, ezért γ i > 0. Jelölje t = αs α i = min. γ s γ i >0 γ i Innét α i tγ i 0 (i = 1,..., m), miközben α s tγ s = 0 és m (α i tγ i) = 1, így u = m (α i tγ i)u i, azaz az u-t előállító pontok száma eggyel csökkent. Ez a csökkentés mindaddig folytatható az,i s előbbiek szerint amíg az {u i} vektorrendszer lineáris összefüggősége meg nem szűnik, azaz az előállító komponensek száma legfeljebb n + 1 nem lesz Feladat. Legyenek U, V R n nemüres halmazok. Mutassuk meg, hogy co (U V ) (co U) (co V ). Mutassunk példát, amikor szigorú tartalmazás teljesül Feladat. Jelölje int U és U az U R n konvex halmaz belsejét ill. lezártját. Legyen u int U és v U. Mutassuk meg, hogy w = αu + (1 α)v int U minden α (0, 1] esetén Feladat. Mutassuk meg, hogy int U és U konvex halmazok, ha U R n konvex Feladat. Konvexek-e az alábbi halmazok (használhatja a következő fejezet eredményeit is): 1.) U = {u = (x, y) R 2 : x 2 + 3y 2 8, 3x 7y 1, x 3 + 2x 2 + y 2 + y 7, x, y 0}; 2.) U = {u = (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 z}; 10
11 3.) U = {u = (x, y, z) R 3 : x + y < 3, x + y + z 5, x, y, z 0}; 4.) U = {u = (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 4, x + y + z = 1}; 5.) U = {u = (x, y) R 2 : 0 x 2, (x 3) 2 + (y 2) 2 2, 2y + x 3, x (y 3) 2 3}; 6.) U = {u = (x, y) R 2 : 0 x 2, (x 1) 2 + (y 2) 2 2, y x 1, (x 1) 2 + y 1}; 7.) U = {u = (x, y) R 2 : 0 x 2π, y 0, y sin(x) 0, y + (x 1) 2 2}; 8.) U = {(x, y, z) R 3 : 8x + y + 2z 7, x 2 + 3y 2 + 7z 10, (x + 1) 2 + 3y 2 + e 2z2 0, x, y, z 0}; 9.) U = {u = (x, y) R 2 : 0 x 1, y 0, x 2 + y 2 2, y x 1 1, x + 3y 3}? Feladat. Mi a Feladatban definiált halmazok belseje, lezártja, határa? 11
12 4. Konvex függvények 4.1. Definíció. Az f : R n R függvény konvex a konvex U D(f) halmazon, ha u, v U és λ [0, 1] esetén f(λu + (1 λ)v) λf(u) + (1 λ)f(v). (4.1) Az f(u) függvény szigorúan konvex, ha a (4.1)-ben az egyenlőség csak λ = 0 és λ = 1 esetén áll fenn, azaz f(λu + (1 λ)v) < λf(u) + (1 λ)f(v) λ (0, 1). f(u) konkáv, ha f(u) konvex Konvex függvények karakterizációi Tétel. (Jensen egyenlőtlenség) Ha az f : R n R függvény konvex a konvex U D(f) halmazon, akkor u i U, λ i 0, i = 1,..., m és m λ i = 1 esetén f( m λ i u i ) m λ i f(u i ). U konvexitása miatt m λ i u i U. Teljes indukcióval a bizonyítás triviális Tétel. Legyen f C 1 (U) (egyszer folytonosan differenciálható) a konvex U D(f) halmazon. f(u) konvex f(u) f(v) + f (v), u v u, v U. (4.1) Szükségesség. f(u) konvex = f(v + α(u v)) f(v) α[f(u) f(v)] u, v U és α > 0. A Lagrange középértéktétel szerint: α f (v + ϑα(u v)), u v α[f(u) f(v)] (4.2) u, v U és valamilyen ϑ [0, 1] esetén. Az α > 0-val osztva és α 0 esetén (4.2)-ból kapjuk, hogy f (v), u v f(u) f(v). Elégségesség. Tegyük fel, hogy teljesül a (4.1) feltétel. Legyen u, v U és u α = αu + (1 α)v. Akkor f(u) f(u α ) f (u α ), u u α f(v) f(u α ) f (u α ), v u α. Itt az első egyenlőtlenséget α-val, a másodikat 1 α-val szorozva és a két egyenlőtlenséget összeadva kapjuk, hogy αf(u) + (1 α)f(v) f(u α ) f (u α ), αu + (1 α)v u α = 0. } {{ } =0 12
13 Tétel. Legyen f(u) C 1 (U) (egyszer folytonosan differenciálható) az U D(f) konvex halmazon. f(u) konvex U-n f (u) f (v), u v 0 u, v U. (4.3) Szükségesség. Ha f(u) konvex, akkor a Tétel alapján f(u) f(v) f (v), u v, f(v) f(u) f (u), v u. A két egyenlőtlenséget összeadva: 0 f (v) f (u), u v. Elégségesség. αf(u) + (1 α)f(v) f(αu + (1 α)v) = α[f(u) f(αu + (1 α)v)] + (1 α)[f(v) f(αu + (1 α)v)] = α 1 0 +(1 α) = α(1 α) = α(1 α) f (αu + (1 α)v + t(u αu (1 α)v)), u αu (1 α)v dt f (αu + (1 α)v + t(v αu (1 α)v)), v αu (1 α)v dt f (αu + (1 α)v + t(1 α)(u v) ) } {{ } =z 1 f (αu + (1 α)v + tα(v u) ), u v dt } {{ } =z 2 f (z 1 ) f 1 (z 2 ), z 1 z 2 dt 0. } {{ } t Tétel. Legyen f(u) C 2 (U) (kétszer folytonosan differenciálható) a nyílt konvex U R n halmazon. f(u) konvex U-n f (u)ξ, ξ 0 u U, ξ R n. (4.4) Szükségesség. Legyen u U és válasszunk tetszőleges ξ R n vektort. U nyíltsága miatt ε 0 > 0 úgy, hogy ε : ε < ε 0 esetén u + εξ U. A Tétel szerint f (u + εξ) f (u), εξ 0. A Lagrange középértéktételt alkalmazva: azaz f (u + ϑεξ)ξ, ξ ε 2 0, f (u + ϑεξ)ξ, ξ 0 0 ϑ 1 és ε : ε ε 0. 13
14 Mivel f (u) folytonos, ε 0-val kapjuk a tétel állítását. Elégségesség. Legyen u, v U, α [0, 1], ξ = u v. A Lagrange középértéktétel szerint ϑ [0, 1], hogy f (u) f (v), u v = f (v + ϑ(u v))(u v), u v = f (v + ϑξ)ξ, ξ 0 a tétel feltétele miatt, ami a Tétel szerint biztosítja f konvexitását Konvex függvények függvényei Tétel. Legyenek az f i (u), i = 1,..., m, konvexek a konvex U n D(f i ) halmazon. Akkor a f(u) = m α i f i (u) függvény is konvex U-n minden α i 0, i = 1,..., m, esetén. Legyen u, v U, β [0, 1]. f(βu + (1 β)v) = m α i f i (βu + (1 β)v) m α i [βf i (u) + (1 β)f i (v)] = β m α i f i (u) + (1 β) m α i f i (v) = βf(u) + (1 β)f(v) Tétel. Legyenek az f i (u), i = 1,..., m, konvexek a konvex U m D(f i ) halmazon. Akkor az f(u) = sup f i (u) függvény is konvex U-n.,...,m Legyen u, v U, β [0, 1] és u β = βu + (1 β)v. Ekkor ε > 0-hoz i = i(ε, β) {1,..., m} úgy, hogy f(u β ) f i (u β ) + ε βf i (u) + (1 β)f i (v) + ε, ε > 0. ε 0 -val kapjuk a tétel állítását Következmény. g + (u) = max(g(u), 0) konvex, ha g(u) konvex. Triviális Tétel. Ha ϕ(t) monoton növő konvex függvény az [a, b] R intervallumon és a g(u) függvény konvex a konvex U D(f) halmazon, továbbá u U : g(u) [a, b], akkor az f(u) = ϕ(g(u)) függvény is konvex U-n. Legyen u, v U, és β [0, 1]. f(βu + (1 β)v) = ϕ(g(βu + (1 β)v)) ϕ(βg(u) + (1 β)g(v)) βϕ(g(u)) + (1 β)ϕ(g(v)). 14
15 Következmény. Ha g(u) konvex függvény a konvex U D(g) halmazon, akkor az f(u) = g p (u), p 1, f(u) = (max(0, g(u))) p = g + (u) p, p 1, f(u) = 1, ha g(u) < 0 u U, g(u) 1 f(u) = max(0, ln g(u) )p, ha g(u) < 0 u U, p 1 függvények is konvexek U-n. Triviális Konvex függvényekkel definiált halmazok Tétel. A konvex D(f) R n halmazon értelmezett f(u) függvény akkor és csak akkor konvex, ha epi f konvex. Szükségesség. Legyen és z 1 = (u 1, η 1 ) epi f, z 2 = (u 2, η 2 ) epi f, z α = (αu 1 + (1 α)u 2, αη 1 + (1 α)η 2 ). } {{ } =u α U f(u) konvexitása miatt f(u α ) αf(u 1 ) + (1 α)f(u 2 ) αη 1 + (1 α)η 2, következésképpen z α epi f. Elégségesség. Legyen u 1, u 2 U, z 1 = (u 1, f(u 1 )) epi f, z 2 = (u 2, f(u 2 )) epi f. Az U halmaz és az epi f konvexitása miatt z α = (αu 1 + (1 α)u 2, αf(u 1 ) + (1 α)f(u 2 )) epi f, következésképpen αu 1 + (1 α)u 2 U, és αf(u 1 ) + (1 α)f(u 2 ) f(αu 1 + (1 α)u 2 ) Tétel. Legyen f(u) konvex a konvex U D(f) halmazon. Akkor az M(c) = {u U : f(u) c} szinthalmaz is konvex c R. 15
16 Legyen c R. u, v M(c) = f(u) c és f(v) c = f(αu + (1 α)v) αf(u) + (1 α)f(v) c α [0, 1] = αu + (1 α)v M(c) Tétel. Legyen U 0 m D(g i ) konvex és legyenek a g i (u), i = 1,..., m függvények konvexek U 0 -n, továbbá legyenek a h i (u); i = m+1,..., s függvények lineárisak, azaz h i (u) = a i, u b i, i = m + 1,..., s. Akkor az U = {u U 0 : g i (u) 0, i = 1,..., m, h i (u) = 0, i = m + 1,..., s} halmaz is konvex. U = s U i, ahol U i = {u U 0 : g i (u) 0}, i = 1,..., m, U i = {u U 0 : h i (u) = 0}, i = m + 1,..., s. A Tétel alapján az U i, i = 1,..., m halmazok konvexek. Az U i, i = m + 1,..., s halmazok alterek, így szintén konvexek. A Tétel szerint a konvex halmazok metszete is konvex. 16
17 4.4. Feladatok Feladat. Konvexek-e az alábbi függvények: 1.) f : R n R, f(u) = u, 2.) f : R 2 R n, f(u 1, u 2 ) = u u 1 u 2 10u 1 + 5u 2, 3.) f : R 2 R n, f(u 1, u 2 ) = u 1 e (u1+u2) Feladat. Konvexek-e az alábbi f függvények az adott U halmazon? 1.) f : U R, f(u) = u, U = {u R : u 0}, 2.) f : U R, f(u 1, u 2 ) = (max(ln 1 20 (u u 4 2), 0))p, p 1, U = {u = (u 1, u 2 ) R 2 : u u 4 2 < 20}, 3.) f : R 2 R, f(u 1, u 2 ) = 2(u 2 u 2 1) 2 10, U = {(u 1, u 2 ) : 1 u 1 1, 1 u 2 1} Feladat. Legyen g : R n R konvex függvény. Mutassuk meg, hogy az 1.) f(u) = max(g(u), 0), U = R n ; 2.) f(u) = 1 g(u), U = {u Rn : g(u) 0} függvények is konvexek az adott U halmazon Feladat. Határozza meg az alábbi függvények konvexitási és konkávitási tartományait: 1.) f(x, y) = sin(x + y + z), (x, y, z) R 3 ; 2.) f(x, y) = sin(x 2 + y 2 ), (x, y) R 2 ; 3.) f(x, y, z) = sin(x 2 + y 2 + z 2 ), (x, y, z) R 3 ; Feladat. Tegyük fel, hogy az f : R n R függvény olyan, hogy f(u) konvex. Mutassuk meg, hogy az U = {u R n : f(u) = 0} halmaz konvex Feladat. Mutassuk meg, hogy minden u i R, λ i 0(i = 1,..., m), m ( m λ i u i ln λ i e )! ui Feladat. Mutassa meg, hogy minden u i > 0, λ i 0 (i = 1,..., m), ( m ( m ) i u λ i) i u λ i 1! Feladat. Mutassa meg, hogy minden u i > 0, λ i 0 (i = 1,..., m), ( m ) m λ i u i u λi i! i m λ i = 1 esetén m λ i = 1 esetén m λ i = 1 esetén 17
18 Feladat. Igazolja, hogy minden n természetes számra 1 n 1 + e n x i n (1 + e xi ) 1 n! Feladat. Igazolja, hogy ln(1 + e x2 +y 2 4 ) 1 x2 1 ln(1 + e 2 ) ln(1 + e y 2 2 )! Feladat. Igazolja, hogy minden n természetes számra 1 n 1 + n 2 ( x i ) 2 1 n 1 + x 2 i n! 18
19 5. Feltételes szélsőértékproblémák Legyen f : R n R. Legyenek továbbá az U i R n, i = 0,..., m + 1, halmazok olyanok, hogy int U i i = 0,..., m és int U m+1 =, ahol int U = {u U : O ε (u) U környezet} Jelölje U = m+1 U i. i=0 Az általános feltételes szélsőértékprobléma: Keressük az f = inf f(u) (5.1) u U függvényértéket, és az azt realizáló u U pontot (ha egyáltalán ilyen létezik). Az U = m+1 U i halmazt a (5.1) probléma megengedett tartományának nevezzük. i= Tétel. u U m+1 i= 1 Szükségesség. Tegyük fel, hogy v m+1 U i. U i = U U 1 =, ahol U 1 = {u R n : f(u) < f(u )}. i= 1 Mivel v U 1, így f(v) < f(u ), azaz u nem minimumpont, ami ellentmondás. Elégségesség. Legyen m+1 U i =. Akkor u U esetén u U 1, azaz f(u) f(u ), azaz u i= 1 minimumpont. Speciálisan matematikai programozási feladatnak nevezzük a (5.1) problémát, ha a korlátozó feltételek a következő alakú halmazokkal adottak: U i = {u R n : g i (u) 0} (i = 1,..., m), egyenlőtlenség típusú feltételek, ahol g i F(R n ) (i = 1,..., m); V i = {u R n : g i (u) = 0} (i = 1,..., s), egyenlőség tipusú feltételek, ahol g i F(R n ) (i = 1,..., s); U 0 R n, int U 0. Nyilvánvalóan int V i =, így U m+1 = s V i vehető. U 0 -ként azokat a feltételeket vesszük, amiknek egyszerű struktúrája van (pl. valamely ortáns, speciális kúp stb.). Megengedjük, hogy bármelyik típusú feltétel elmaradjon. A matematikai programozási feladatot konvex programozási feladatnak nevezzük, ha a korlátozó U R n halmaz konvex és a minimalizálandó f függvény konvex U-n. Nyilvánvaló, hogy ha a minimalizálandó f függvény és a nemlineáris egyenlőtlenség típusú feltételeket adó g i függvények konvexek, az egyenlőség típusú feltételekat adó g i függvények pedig lineárisak, akkor az optimalizálási feladat konvex programozási feladat. 19
20 5.1. Feladatok Feladat. Irja fel az alábbi feladatok modelljét nemlineáris programozási feladattal: 1.) Melyik az az egységsugarú körbe írt háromszög, melynek olalainak a négyzetösszege maximális? 2.) Határozza meg az U = {u = (x, y) R 2 : 2x + y 4, x + y 1} halmaznak a (2, 0) ponthoz legközelebbi nemnegatív koordinátájú pontját! 3.) Határozza meg az U = {u = (x, y) R 2 : x 2y 6, 2x + y 6} halmaznak a (1, 3) ponthoz legközelebbi nemnegatív koordinátájú pontját! 4.) Legyenek α, β, γ egy háromszög szögei. Igazolja a következő egyenlőtlenséget: 5.) Igazolja, hogy sin α 2 sin β 2 sin γ 2 1 8! ln(1 + e x2 +y 2 4 ) 1 x2 1 ln(1 + e 2 ) ln(1 + e y 2 2 )! 6.) Igazolja, hogy minden n természetes számra 1 n 1 + n 2 ( x i ) 2 1 n 1 + x 2 i n! 7.) Igazolja, hogy minden n természetes szám és α > 0 esetén n (2i 1) α n α+1! Feladat. Konvex programozási feladatok-e az alábbi problémák: 1.) 2.) 3.) x + 2 xy min y xy 1 x, y 0 x + xy min y + sin xy 1 x, y 0 x + y min x 2 + y = 5 x, y 0 20
21 6. Lagrange multiplikátorok módszere Ha csak egyenlőség típusú feltételek szerepelnek, azaz ha f, g i C 1 (R n ), (i = 1,..., m), akkor az f = inf f(u) (6.1) u U U = {u R n : g i (u) = 0 (i = 1,..., s)}, (6.2) feladatra az optimalitás szükséges feltételét a klasszikus analízisből ismert Lagrange multiplikátororok tétele adja. A tétel egyszerűbb kezelése érdekében vezessünk be néhány fogalmat Definíció. F : R n R s függvény vektorfüggvény, ha F = (f 1,..., f s ) és f i : R n R (i = 1,..., s). Az F vektorfüggvény értelmezési tartománya D(f) = s D(f i ) Definíció. Az F = (f 1,..., f s ) : R n R s vektorfüggvény folytonos az u R n pontban, ha ott minden f i (i = 1,..., s) függvény folytonos Definíció. Legyen u = (v, w) R m R n m. Az F = (f 1,..., f s ) : R m R n m R s vektorfüggvény [folytonosan] differenciálható az u R m, ill. a v R n m változója szerint, ha minden f i (i = 1,..., s) [folytonosan] differenciálható u, ill. v szerint. Az f i (u, v) függvények u R m, ill.v R n m, változója szerinti gradienseiből, mint sorvektorokból álló (s m), ill. (s (n m)) mátrixot jelöljük F u(u, v)-vel ill. F v(u, v)-vel. Megjegyzés: A deriváltaknál csak akkor jelezzük alsó indexkent, hogy melyik változó szerinti parciális deriváltról van szó, ha az csak egy részvektora a függvény változó-vektorának. A vektorfüggvényekkel a feladat a következő alakot ölti: f = inf f(u) (6.3) u U U = {u R n : G(u) = 0, (6.4) ahol G : R n R s, G = (g 1,..., g s ) C 1 (R n ) vektorfüggvény. A következő két, a klasszikus analízisből ugyancsak jól ismert tételre szükségünk lesz a bizonyításhoz, ezeket emlékeztetőül bizonyítás nélkül közöljük Tétel. (Implicit-függvény tétel) Legyen U R n, V R m, F : U V R n, (u 0, v 0 ) U V és teljesüljenek az alábbi feltételek: 1.) F folytonos az (u 0, v 0 ) pontban; 2.) F (u 0, v 0 ) = 0; 3.) létezik az (u 0, v 0 ) U V pontnak olyan O ε ((u 0, v 0 )) U V környezete, hogy (u, v) O ε ((u, v)) pontban F folytonosan differenciálható u szerint és F u(u 0, v 0 ) nem szinguláris. 21
22 Akkor az F (u, v) = 0 egyenlet az (u 0, v 0 ) pont valamely környezetében megoldható, azaz léteznek olyan δ 1, δ 2 > 0 számok, és egy, az O δ1 (v 0 ) környezetben értelmezett és a v 0 pontban folytonos ϕ = (ϕ 1,..., ϕ n ) : R m R n vektorfüggvény, hogy minden olyan (u, v) esetén, melyre v O δ1 (v 0 ) és u = ϕ(v), teljesül az F (u, v) = 0 egyenlet, és megfordítva, minden olyan (u, v) esetén, melyre F (u, v) = 0, u O δ1 (u 0 ) és v O δ2 (v 0 ), fennáll az u = ϕ(v) összefüggés. Ha F v szerint is folytonosan differenciálható az O ε ((u 0, v 0 )) környezetben, akkor a ϕ vektorfüggvény differenciálható a v 0 pontban és ϕ (v 0 ) = [F u(u 0, v 0 )] 1 F v(u 0, v 0 ) Tétel. Legyen F : R n R n vektorfüggvény folytonosan differenciálható az u 0 R n pont O δ (u 0 ) környezetében és tegyük fel, hogy F u(u 0 ) nem szinguláris. Ha F (u 0 ) = b 0, akkor bármely elég kis δ > 0-hoz ε > 0, hogy b O ε (b 0 ) esetén az F (u) = b egyenletnek pontosan egy u = ϕ(b) O δ (u 0 ) megoldása van és ϕ folytonosan differenciálható az O δ (b 0 ) környezetben. A (6.3)-(6.4) feladatra a következő optimalitási kritériumot adhatjuk meg: 6.3. Tétel. (Lagrange multiplikátorok tétele) Tegyük fel, hogy a (6.1)-(6.2) feladatban a G (u ) mátrix rangja s, azaz az u pontban a g i függvények gradiensvektorai lineárisan függetlenek. Ahhoz, hogy u U = {u U : f(u) = f } legyen, szükséges, hogy létezzen olyan λ = (λ 1,..., λ s) R s vektor úgy, hogy az (u, λ ) vektorpár elégítse ki a f (u) + s λ i g i (u) = 0, (6.5) g i (u) = 0 (i = 1,..., s), (6.6) vagy vektoralakban f (u) + G T (u)λ = 0, (6.7) G(u) = 0 (6.8) egyenletrendszert, ahol G T a G mátrix transzponáltját jelöli.. Legyen u U minimumpont. Ha s = n, akkor a 6.2. Tétel szerint az U halmaz egyetlen u ponból áll és G (u ) nem szingularitása miatt ebben a pontban λ = [ G T (u ) ] 1 f (u ) kielégíti a (6.7) feltételt. Legyen s < n. Particionáljuk az u vektorok koordinátáit u = (v, w), v R s, w R n s alakban úgy, hogy az u = (v, w ) pontban a G (u ) = [G v(v, w ) G w(v, w )] mátrixban a G v(v, w ) (s s) almátrix nem szinguláris. Mivel u U, így G(u ) = G(v, w ) = 0. Az implicit-függvény tétel szerint a w pont létezik olyan ϕ(w) differenciálható függvény, melyre v = ϕ(w ); G(ϕ(w ), w ) = 0 22
23 és ϕ (w) = [G v(ϕ(w), w)] 1 G w(ϕ(w), w). (6.9) Legyen w O δ (w ). Mivel itt G(ϕ(w), w) = 0, ezért u = (ϕ(w), w) U. Így f(ϕ(w ), w ) = f(v, w ) = f(u ) f(u) = f(ϕ(w), w). Következésképpen az f(ϕ(w), w) = h(w) függvénynek a w = w pontban lokális minimuma van. Az optimalitás szükséges feltétele szerint h (w ) = 0. Az összetett függvény differenciálási szabálya szerint h (w ) = ϕ T (w )f v(ϕ(w ), w ) + f w(ϕ(w ), w ). Figyelembe véve (6.9)-t és a ϕ(w ) = v összefüggést azt kapjuk, hogy Jelölje h (w ) = G w(v, w ) T [ G v(v, w ) T ] 1 f v (v, w ) + f w(v, w ) = 0. (6.10) λ = [ G v(v, w ) T ] 1 f v (v, w ). (6.11) A (6.10) és (6.11) összefüggések a [ G v(v, w ) T ] λ + f v(v, w ) = 0 [ G w(v, w ) T ] λ + f w(v, w ) = 0 rendszert adják, ami ekvivalens a G (u ) T λ + f (u ) = 0 egyenlettel, ami azt jelenti, hogy az (u, λ ) vektorpár kielégíti a tétel állítását. Vegyük észre, hogy a tételben szereplő (6.5) egyenlőség a s L(u, λ) = f(u) + g i (u) Lagrange függvény segítségével alakot ölti. L u(u, λ ) = 0 23
24 6.1. Feladatok Feladat. Oldja meg Lagrange multiplikátorok módszerével a következő feladatokat: 1.) 2x 2 + 4xy + y 2 min x 2 + y 2 = 1. 2.) 1 x 2 + y 2 + z 2 min x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 0 x + y + z = 0. 3.) 1 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) min z xy = Feladat. Keressük meg a minimumát és a maximumát az f(x, y, z) = 2x 2 + 5y z xy 4xz + 16yz függvénynek az egységgömb felületén? Feladat. Határozza meg az origónak az z xy = 5 felülettől való távolságát Feladat. Határozza meg az (1, 2, 1) pontnak az 2x y + z = 4 síktól való távolságát Feladat. Legyenek α, β, γ egy háromszög szögei. A Lagrange multiplikátorok módszere segítségével igazolja a következő egyenlőtlenségeket: 1.) sin α + sin β + sin γ ; 2.) cos α + cos β + cos γ 3 2 ; 3.) sin α 2 sin β 2 sin γ Feladat. Írjon az egységkörbe olyan háromszöget, melynek oldalainak négyzetösszege maximális. Oldja meg a feladatot a Lagrange multiplikátorok módszerével Feladat. A Feladat melyik részfeladata oldható meg Lagrange multiplikátorok módszerébel? Oldja meg a feladatokat! 24
25 7. Optimalitási kritériumok 7.1. Szükséges feltételek differenciális alakban Tekintsük az f(u) min u U feladatot, ahol U = {u R n : g i (u) 0 (i I), g j (u) = a j, u b j 0 (j J 1 ), g j (u) = a j, u b j = 0 (j J 2 )}, (7.1) (7.2) ahol f, g i (i I) C 1 (R n ), a j R n, b j R (j J 1 J 2 ), I, J 1 és J 2 véges indexhalmazok. Megengedett, hogy az I, J 1, J 2 indexhalmazok bármelyike üres legyen, azaz valamelyik típusú korlátozó feltétel hiánya. Ha mindhárom indexhalmaz üres akkor feltétel nélküli, azaz R n -en történő mimimalizálásról van szó. Az U halmaz előállítható U = U 1 U 2 U 3 alakban, ahol U 1 = {u R n : g i (u) 0, i I}, U 2 = {u R n : g i (u) = a j, u b j 0, j J 1 }, U 3 = {u R n : g i (u) = a j, u b j = 0, j J 2 } Definíció. 0 s R n megengedett iránya az U halmaznak az u U pontból, ha ε 0 > 0 konstans, hogy u + εs U ε [0, ε 0 ]. Legyen int U azaz u U, hogy annak valamely nyílt O δ (u) környezetére O δ (u) U. Nyilvánvaló, ekkor s R n megengedett irány az u int U pontból. Legyen ri U, azaz ha H a legszűkebb U-t tartalmazó affin halmaz, akkor u U, hogy annak valamely nyílt O δ (u) környezetére O δ (u) H U. Nyilvánvalóan ekkor H U 3 és s H megengedett irány az u ri U pontból Definíció. A g i (u) 0 (i I J 1 ) feltétel aktív az u U pontban, ha g i (u) = 0 (i I J 1 ). (Az egyenlőségtípusú feltételek konstrukciójukból adódóan mindig aktívak). Az u-beli aktív feltételek indexhalmazát jelölje I(u) J 1 (u) J 2, ahol I(u) = {i I : g i (u) = 0} J 1 (u) = {j J 1 : a j, u b j = 0} Tétel. Ha 0 s R n megengedett iránya az U halmaznak az u U pontból, akkor σ 0 konstans, hogy (s, σ) R n+1 kielégíti a g i(u), s + σ 0 (i I(u)) (7.3) a j, s 0 (j J 1 (u)) (7.4) a j, s = 0 (j J 2 ) (7.5) redszert. Ha a (7.3)-(7.5) rendszernek (s, σ), s 0, σ > 0 megoldása, akkor s megengedett irány az u pontból. 25
26 Szükségesség. Legyen s R n egy megengedett irány az u U pontból. A (7.5) feltétel teljesülése szükséges, mert ha s R n egy megengedett irány az u U pontból, akkor j J 2 esetén ε [0, ε 0 ]-re a j, u + εs = b j a j, u b j +ε a j, s = 0, } {{ } =0 ahonnan következik (7.5). Így ha a (7.3)-(7.5) rendszernek (7.5) teljesülése mellett nem lenne a kívánt tulajdonságú megoldása, akkor 0 s R n és σ 0 esetén vagy g i(u), s + σ > 0, valamely i I(u)-ra, vagy a j, s > 0 valamely j J 1 (u)-ra. Az előbbi esetben σ = 0-val g i(u), s > 0. Minthogy o(ε) ε 0, ha ε 0, így g i (u + εs) = g(u) +ε g }{{} i(u), s +o(ε) > 0. } {{ } =0 >0 A második esetben a j, u + εs = a j, u +ε a j, s > 0. } {{ } } {{ } =0 >0 Vagyis azt kapjuk, hogy s egyik esetben sem lenne megengedett irány, ami ellentmondás. Elégségesség. Legyen u U és tegyük fel, hogy a (7.3)-(7.5) rendszernek (s, σ), s 0, σ > 0 megoldása. Ha i I(u), akkor g i (u + εs) = g(u) +ε g }{{} i(u), s } {{ } =0 < σ<0 ha ε elég kicsi. Ha j J 1 (u), akkor +o(ε) < ε( σ + o(ε) ε a j, u + εs b j = a j, u b j +ε a j, s 0. } {{ } } {{ } =0 0 Ha j J 2, akkor a j, u + εs b j = a j, u b j +ε a j, s = 0. } {{ } } {{ } =0 =0 }{{} >0 ) < 0, Ha i I(u), akkor g i (u) < 0, ha j J(u), akkor a j, u b j < 0 és g i ill. a j, u folytonossága miatt elég kis ε > 0 esetén g i (u + εs) > 0 ill. a j, u + εs b j < 0 is teljesül. Vagyis s megengedett irány. 26
27 Definíció. A 0 s R n vektor az f : R n R függvény csökkenési iránya az u R n pontból, ha ε 0 > 0, hogy f(u + εs) < f(u) ε (0, ε 0 ] Tétel. Ha 0 s R n csökkenési iránya az f : R n R függvénynek akkor σ 0, hogy (s, σ) kielégíti a f (u), s + σ 0 (7.6) egyenlőtlenséget. Ha a (7.6) egyenlőtlenségnek (s, σ) olyan megoldása, hogy s 0 és σ > 0, akkor s csökkenési iránya f-nek. Szükségesség. Ha 0 s R n csökkenési iránya az f : R n R függvénynek, akkor miatt f(u + εs) = f(u) + ε f (u), s + o(ε) < f(u) f (u), s + o(ε) ε Minthogy o(ε) ε f (u), s 0, < 0. 0, ha ε 0, így amiből következik a tételbeli σ 0 létezése. Elégségesség. Ha a (7.5) egyenlőtlenség (s, σ) megoldására σ > 0, akkor f(u + εs) = f(u) + ε f (u), s + o(ε) = f(u) + ε( f (u), s + o(ε) ε ) ha ε elég kicsi. f(u) + ε( σ + o(ε) ε ) < f(u), Tétel. Annak, hogy az u U pont lokális minimumpontja legyen a (7.1)-(7.2) feladatnak, szükséges feltétele, hogy a (7.3)-(7.6) egyenlőtlenségrendszer minden (s, σ) megoldására σ 0 legyen. Ha a σ 0 feltétel teljesülne a (7.3)-(7.6) egyenlőtlenségrendszer valamely (s, σ) megoldására, akkor a és Tételek szerint s megengedett iránya lenne U-nak az u U pontból, ugyanakkor ebből a pontból csökkenési iránya lenne az f függvénynek, vagyis létezne olyan ε 0 > 0, hogy u + εs U és f(u + εs) < f(u) ε ε 0, vagyis u nem lenne lokális minimumpont. 27
28 Tétel. (Fritz-John feltétel) Legyen az u U pont lokális minimumpontja a (7.1)-(7.2) feladatnak Akkor léteznek olyan λ 0 0, λ i 0, i I, µ j 0, j J 1 és ϑ R, j J 2 nem mind zérus konstansok, hogy λ 0 f (u) + i I λ i g i(u) + j J 1 µ j a j + j J 2 ϑ j a j = 0, (7.7).. λ i g i (u) = 0, i I, µ j ( a j, u b j ) = 0, j J 1 (7.8) A Tételből a Farkas lemmával kapjuk, hogy léteznek olyan λ 0 0, λ i 0, i I(u), µ j 0, j J 1 (u) és ϑ j R, j J 2 skalárok, hogy λ 0 f (u) + λ i g i(u) + µ j a j + ϑ j a j = 0, (7.9) j J 2 i I(u) j J 1(u) és λ 0 + i I(u) λ i = 1. Az utóbbi feltétel garantálja, hogy már a fenti egyenletben szereplő paraméterek nem mindegyike zérus. A λ i = 0 (i I \ I(u) és µ j = 0 (j J 1 \ J 1 (u) választással a tétel bizonyítása teljessé tehető Tétel. (Kuhn-Tucker-féle szükséges feltétel) Legyen az u U pont lokális minimumpontja a (7.1)-(7.2) feladatnak és tegyük fel, hogy a g i (u), i I(u), a j, j J 1 (u) J 2 vektorrendszer lineárisan független. Akkor léteznek olyan λ i 0, i I, µ j 0, j J 1 és ϑ R, j J 2 skalárok, hogy f (u) + i I λ i g i(u) + j J 1 µ j a j + j J 2 ϑ j a j = 0, (7.10) és λ i g i (u) + µ j ( a j, u b j ) = 0. (7.11) j J 1 i I A tétel feltételei mellett teljesülnek a Tétel feltételei. De most λ 0 > 0 lehetséges csak, mert λ 0 = 0 esetén ellentmondásra jutnánk a tételbeli lineáris függetlenségi feltétellel. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy λ 0 = 1. Bevezetve a λ i = 0, ha i / I(u) és µ j = 0, ha j / J 1 (u) paramétereket, a (7.10) és (7.9) egyenlőségek ekvivalensek. Ugyanakkor fennállnak a λ i g i (u) = 0 (i I) és µ j ( a j, u b j ) = 0 (j J 1 ) feltételek, amiből (7.11) azonnal adódik. 28
29 7.2. Feladatok Feladat. Mi a megengedett iránya 1.) U = {u = (x, y) R 2 : x 3 + y 0, x, y 0} halmaznak az u = (0, 0) pontban? 2.) U = {u = (x, y) R 2 : 2x + y 4, x + y 1} halmaznak az (1, 3) pontban? 3.) U = {u = (x, y) R 2 : x y + 3 0, x 2 + y 1 0, x, y 0} halmaznak a (2, 5) ill. a (1, 2) pontokban? Feladat. A megengedett irányok módszerével ellenőrizze hogy, az alábbi feladatokra a megadott pont optimális-e? 1.) 2.) 3.) x 2 + y min x 2 + y 2 9 x + y 1. u = (x, y ) = (0, 3). y max x 2 + 3y 3 2x + 3y 4 x, y 0 u = (x, y ) = (0, 1). x + y min x 2 y 0 2y + x 4 u = (x, y ) = (0, 0) Feladat. Teljesül-e a Feladat problémáira az adott pontokban 1.) a Fritz-John optimalitási kritérium? 2.) a Kuhn-Tucker-féle szükséges optimalitási kritérium? Feladat. őket: Írja fel a Kuhn-Tucker optimalitási feltételeket az alábbi feladatokra, és oldja meg 1.) 3u 1 u 2 + u 2 3 min (u 1,u 2) U, U = {(u 1, u 2 ) R 2 : u 1 + u 2 + u 3 0, u 1 + 2u 2 + u 2 3 0}. 29
30 2.) u u 1 u 2 + u 2 2 min (u 1,u 2) U, U = {(u 1, u 2 ) R 2 : (u 1 1) 2 + u 2 2 1}. 3.) (u 1 3) 2 + (u 2 2) 2 min (u 1,u 2) U U = {(u 1, u 2 ) R 2 : u u 2 2 5, u 1 + 2u 2 2 4, u 1, u 2 0}. 30
31 7.3. Konvex MP feladatok optimalitási kritériumai Tegyük fel, hogy a (7.1)-(7.2) feladatban az f és g i, i I függvények konvexek. Ekkor a Tétel értelmében az U halmaz is konvex. Ezt a feladatot konvex programozási feladatnak nevezzük Definíció. Az (7.2)-val definiált U halmaz reguláris, ha minden (i I) esetén létezik olyan u i U, melyre g i (u i ) < Definíció. Az (7.2)-val definiált U halmaz kielégíti a Slater feltételt, ha létezik olyan u U, melyre g i (u) < 0, i I. Az u pontot Slater pontnak nevezzük Tétel. A Slater feltétel teljesüléséből következik a regularitási feltétel teljesülése. Konvex programozási feladat esetén a két feltétel ekvivalens. Ha létezik u Slater pont, akkor az u i = u (i I) választással teljesül a regularitási feltétel. Ha az U halmaz konvex és reguláris, akkor az u = k I α k u k Slater pont. Valóban, mivel g i (u i ) < 0 és a g i függvények konvexek, így g i (u) = g i ( k I α k u k ) α k g i (u k ) = α i g i (u i ) + α k g(u k ) < 0 } {{ } } {{ } k I k i < Tétel. (Kuhn-Tucker optimalitási tétel) Legyen a (7.1)-(7.2) konvex programozási feladat, és az U halmaz legyen Slater reguláris. u U akkor és csak akkor optimumpontja a (7.1)- (7.2) feladatnak, ha léteznek olyan λ i 0 (i I), µ j 0 j J 1 és ϑ j R j J 2 konstansok, hogy f (u) + i I λ i g i(u) + j J 1 µ j a j + j J 2 ϑ j a j = 0. (7.1) és teljesülnek a λ i g i (u) = 0, i I, µ j ( a j, u b j ) = 0, j J 1 (7.2). komplementaritási feltételek. Szükségesség. Hasonlóan mint a Tétel bizonyításánál léteznek olyan λ 0 0, λ i 0, i I(u), µ j 0, j J 1 (u) és ϑ j R, j J 2 skalárok, hogy λ 0 f (u) + λ i g i(u) + µ j a j + ϑ j a j = 0, (7.3) j J 2 és λ 0 + i I(u) i I(u) j J 1(u) λ i = 1. (7.4) 31
32 Azt kell belátnunk, hogy λ 0 > 0. Tegyük fel az ellenkezőjét, vagyis legyen λ 0 = 0. A(7.4)-ből következik, hogy van legalább egy olyan k I(u) index, hogy λ k > 0 és g k (u) = 0. Ha z U a Slater pont, akkor s = z u megengedett irány. Valóban, minthogy g i (z) < 0 (i I), a j, z b j 0 (j J 1 ) és a j, z b j = 0 (j J 2 ), így 0 < ε 1 = ε 0 esetén és g i (u + εs) = g i (εz + (1 ε)u) ε g i (z) +(1 ε) g i (u) < 0, (i I), } {{ } } {{ } <0 0 a j, u + εs b j = ε( a j, z b j ) + (1 ε)( a j, u b j ) 0, (j J 1 ) } {{ } } {{ } 0 0 a j, u + εs b j = ε( a j, z b j ) + (1 ε)( a j, u b j ) = 0, (j J 2 ). } {{ } } {{ } =0 =0 (7.3)-t skalárisan s-sel szorozva λ i g i(u), s + µ j a j, s + ϑ j a j, s = 0. j J 2 (7.5) i I(u) j J 1(u) Mivel s megengedett irány, a Tétel szerint (7.5) baloldalán minden tag nempozitív, és figyelembe véve g k konvexitását (ld Tétel) 0 > g k (z) = g k (z) g k (u) g k(u), z u = g k(u), s, vagyis (7.5) baloldala határozottan negatív, így ellentmondáashoz jutottunk. A (7.2) komplementaritási feltételek teljesülése most is a λ i = 0 (i I \ I(u) és µ j = 0 (j J 1 \ J 1 (u) választással biztosítható. Elégségesség. Legyen y U tetszőleges. f konvexitása, valamint (7.1) miatt f(y) f(u) f (u), y u = i I λ i g i(u) + j J 1 µ j a j + j J 2 ϑ j a j, y u (7.6) U konvexitása miatt s = y u megengedett iránya U-nak az u pontból (bizonyítása analóg az előbbiekkel), így a Tétel szerint g i (u), s 0 (i I), a j, s 0 (j J 1 ) és a j, s = 0 (j J 2 ). Ezért (7.6)-ből f(y) f(u) 0, vagyis u valóban minimumpont. 32
33 7.4. Feladatok Feladat. Mutassa meg, hogy az alábbi feladat konvex programozási feladat, teljesíti a Slater feltételt és a ( 2/2, 2/2) pontban teljesülnek a a Kuhn-Tucker optimalitási feltételek. Határozza meg a megfelelő Lagrange szorzókat. y min x 2 + y 2 1 x + y 2 0 x + y Feladat. Ellenőrizze az alábbi feladatokra a Slater feltételt és a Kuhn-Tucker feltételek teljesülését az adott pontban 1.) 2.) 3.) y max x 2 + 3y 3 2x + 3y 4 x, y 0 u = (x, y ) = (0, 1). xy max x 2 + y x + y 14 x, y 0 u = (x, y ) = (7, 7). x + y min x 2 + y 2 + 2x 1 x 1 y 1 u = (x, y ) = (0, 1). 4.) y max x 2 + 3y 3 2x + 3y 4 x, y 0 u = (x, y ) = (0, 1). 33
34 7.5. Megengedett irányok módszere A tétel alkalmas arra, hogy segítségével megoldási módszert konstruáljunk. Ehhez ugyanis csak a (7.3)-(7.6) rendszer (s, σ) megoldásait kell megkeresnünk és σ előjelét vizsgálnunk. Vegyük azonban észre, hogy ha (s, σ) egy megoldása (7.3)-(7.6)-nak, akkor (αs, ασ) is az α 0 esetén. Ezért elegendő az a normában felülről korlátozott megengedett/csökkenési irányokat vizsgálni. Minthogy a (7.3)-(7.6) rendszer (s, σ)-ban lineáris, célszerű az R n -beli maximum-normát alkalmazni, hogy a rendszer linearitását ne rontsuk el, azaz legyen s = max s i, ahol s =,...,n (s 1,..., s n ) R n. Ezzel az (7.3)-(7.6) rendszer az max s i 1,...,n feltétellel bővül, ami ekvivalens a 1 s i 1, i = 1,..., n (7.1) feltételrendszerrel. Algoritmus: 1.lépés: (Inicializálás) Legyen k := 1, és választunk egy u 1 U pontot. 2.lépés: Meghatározzuk az aktív feltételek I(u k ) J 1 (u k ) J 2 indexhalamazát. 3.lépés: Megoldjuk a σ max f (u k ), s + σ 0, g i, s + σ 0, (i I(u k )), a j, s 0, (j J 1 (u k )), a j, s = 0, (j J 2 ), 1 s i 1, (i = 1,..., n) lineáris programozási feladatot. Ha σ = 0, akkor KÉSZ. u = u k kielégíti a Fritz-John szükséges feltételt. Ha σ = 0 és még a g i (u k), i I(u k ), a j, j J 1 (u k ) J 2 vektorrendszer lineárisan független, akkor u = u k kielégíti a Kuhn Tucker szükséges feltételt. Ha a megoldandó feladat konvex és teljesíti a Slater feltételt, akkor u = u k optimális. Ha σ 0, akkor s megengedett csökkenési irány, GOTO 4. lépés. 4.lépés: u k+1 := u k + εs az ε > 0 olyan választásával, hogy f(u k+1 ) f(u k ) legyen (pl. ε argmin f(u k + εs)). GOTO 2. lépés. ε>0 34
35 7.6. Feladatok Feladat. Határozza meg az alábbi halmazoknak az adott u 0 pontokhoz legközelebbi nemnegatív koordinátájú pontját megengedett irányok módszerével az optimumponttól különböző kezdőpontból kiindulva: 1.) U = {u = (x, y) R 2 : 2x + y 4, x + y 1} u 0 = (2, 0). 2.) U = {u = (x, y) R 2 : x 2y 6, 2x + y 6} u 0 = (1, 3). 3.) U = {u = (x, y) R 2 : x 2y 4, x + y 5} u 0 = (1, 0) Feladat. Az alábbi feladatokra a megengedett irányok módszerével az adott u 0 = (x 0, y 0 ) pontból kiindulva hajtson végre egy teljes iterációs lépést, majd írja fel a második megengedett irányt meghatározó feladatot! 1.) 2.) 3.) 4.) x 2 + y 2 4x + 4 min x y x 2 + y 1 0 u 0 = (2, 5). x, y 0 x 2 + xy + 2y 2 6x 2y 12z min u 0 = (1, 0, 1). x + y + z = 2 x + 2y 3 x, y, z 0 x 2 + xy + 2y 2 6x 2y 12z min u 0 = (1, 1, 1). 2x 2 + y 2 15 x + 2y + z 3 x, y, z 0 (x 2) 2 + (y 1) 2 min u 0 = (1, 1). x 2 y 0 x + 2y = 1 35
36 7.7. Nyeregpontfeltételek Legyenek a továbbiakban I = {1,..., m}, J 1 = {m + 1,..., p} és J 2 = {p + 1,..., s} a korlátozó feltételek indexhalmazai, G 1 = (g 1,..., g m ), G 2 = (g m+1,..., g p ) és G 1 = (g p+1,..., g s ) a korlátozó feltételek vektorfüggvényei, azaz legyen U = {u R n : G 1 (u) 0, G 2 (u) = A 1 u b 1 0, G 3 (u) = A 2 u b 2 = 0}, (7.1) ahol A 1 és A 2 (p m) n ill. (s p) n típusú mátrixok, b 1 R p m, b 2 R s p. (0 mindenütt a megfelelő méretű nullvektort jelöli.) Legyen Λ = {(λ, µ, ϑ) R m R p m R s p : λ 0, µ 0} Definíció. Az f(u) min u U (7.2) feladathoz rendelt L : R n Λ R Lagrange függvény: L(u, λ, µ, θ) = f(u) + λ, G 1 (u) + µ, G 2 (u) + ϑ, G 3 (u). (7.3) Definíció. Az (u, λ, µ, ϑ ) R n Λ az L(u, λ, µ, ϑ) Lagrange függvény nyeregpontja az R n Λ halmazon, ha minden u R n és (λ, µ, ϑ) Λ esetén L(u, λ, µ, ϑ) L(u, λ, µ, ϑ ) L(u, λ, µ, ϑ ). (7.4) Tétel. Ahhoz, hogy az(u, λ, µ, ϑ ) R n Λ nyeregponja legyen a (7.2)-(7.1) nemlineáris programozási feladatnak, szükséges, hogy teljesüljenek az alábbi feltételek: L u(u, λ, µ, ϑ ) = 0, (7.5) L λ(u, λ, µ, ϑ ) = G 1 (u ) 0, (7.6) L µ(u, λ, µ, ϑ ) = G 2 (u ) = A 1 u b 1 0, (7.7) L ϑ(u, λ, µ, ϑ ) = G 3 (u ) = A 2 u b 2 = 0, (7.8) λ, G 1 (u ) = 0, (7.9) µ, G 2 (u ) = µ, A 1 u b 1 = 0. (7.10) Ha a (7.2)-(7.1) feladat konvex programozási feladat, akkor a (7.5)-7.10) feltételek elégségesek is. Szükségesség. A (7.4) nyeregpontfeltétel jobboldali egyenlőtlenségéből az u = (u 1,..., u k 1, u k, u k+1,..., u n ) választással a L(u 1,..., u k 1, u k, u k+1,..., u n, λ, µ, ϑ ) L(u 1,..., u k 1, u k, u k+1,..., u n, λ, µ, ϑ ) u k R azaz L(u 1,..., u k 1, u k, u k+1,..., u n, λ, µ, ϑ ), mint u k függvénye az u k pontban veszi fel a minimumát. (7.5) az optimalitás szükséges feltétele. 36
37 A (7.4) feltétel baloldalából λ λ, G 1 (u ) + µ µ, G 2 (u ) + ϑ ϑ, G 3 (u ) 0 (λ, µ, ϑ) Λ. (7.11) Legyen λ = λ + e k, ahol e k az R m tér k. egységvektora és legyen továbbá µ = µ és ϑ = ϑ. Akkor (7.11)-ból a g k (u ) 0 egyenlőtlenséget kapjuk, és ez igaz minden k = 1,..., m-re, azaz (7.6) teljesül. Hasonló technikával, ha µ = µ + e k, ahol e k az R p m tér k. egységvektora, továbbá λ = λ és ϑ = ϑ, akkor k = m + 1,..., p esetén a k, u b k 0, azaz fennáll (7.7). Végül, ha ϑ = ϑ ± e k, ahol e k az R s p tér k. egységvektora, továbbá λ = λ és µ = µ, akkor k = p + 1,..., s-re a k, u b k 0, ( a k, u b k ) 0. Ezzel (7.8)-t is igazoltuk. Figyelembe véve λ és µ nemnegativitását, valamint a már belátott (7.6), (7.7) és (7.8) állításokat, a λ, G 1 (u ) 0, µ, G 2 (u ) = µ, A 1 u b 1 0. egyenlőtlenségeket kapjuk. Másrészt a (7.11) feltételből λ = 0, µ = 0, ϑ = 0 választással λ, G 1 (u ) + µ, G 2 (u ) + ϑ, G 3 (u ) 0 adódik, ami az összeadandók bármelyikének negatívitása mellett nem lehetséges, vagyis teljesülnie kell a (7.9) és (7.10) feltételeknek. Elégségesség. Tegyük fel, hogy a (7.2)-(7.1) feladat konvex és (u, λ, µ, ϑ ) R n Λ teljesíti az (7.5)-(7.10) feltételeket. Mivel az f(u), g i (u)(i = 1,..., s) függvények konvexek, az L(u, λ, µ, ϑ ) Lagrange függvény is konvex u-ban, és a konvexitás elsőrendű feltételét, valamint a (7.5) feltételt felhasználva L(u, λ, µ, ϑ ) L(u, λ, µ, ϑ ) + L u(u, λ, µ, ϑ ), u u L(u, λ, µ, ϑ ), } {{ } 0 azaz (7.4) feltétel jobboldala teljesül. Az L(u, λ, µ, ϑ) Lagrange függvény lineáris (λ, µ, ϑ)-ban, így felhasználva a (7.6)-(7.10) feltételeket: L(u, λ, µ, ϑ) = L(u, λ, µ, ϑ ) + L λ(u, λ, µ, ϑ ), λ λ + = L(u, λ, µ, ϑ ) + L µ(u, λ, µ, ϑ ), µ µ + L ϑ(u, λ, µ, ϑ ), ϑ ϑ G 1 (u ), λ λ + G 2 (u ), µ µ + G 3 (u ), ϑ ϑ = L(u, λ, µ, ϑ ) + G 1 (u ), } {{ } }{{} λ + G 2 (u ), µ + G } {{ } }{{} 3 (u ), ϑ } {{ } =0 ( G 1 (u ), λ + G 2 (u ), µ + G 3 (u ), ϑ ) } {{ } } {{ } } {{ } =0 =0 =0 L(u, λ, µ, ϑ ), 37
38 azaz a (7.4) feltétel baloldali egyenlőtlensége is igaz Tétel. Ha az (u, λ, µ, ϑ ) R n Λ nyeregpontja a (7.2)-(7.1) feladathoz rendelt Lagrange függvénynek az R n Λ halmazon, akkor u U = {u U : f(u ) = inf f(u)}. Ha (7.2)-(7.1) u U konvex programozási feladat, és teljesíti a Slater regularitási feltételt, akkor a feltétel szükséges is. Szükségesség. Legyen (u, λ, µ, ϑ ) R n Λ nyeregpontja a (7.2)-(7.1) feladathoz rendelt Lagrange függvénynek az R n Λ halmazon. Akkor szükséges a (7.6)-(7.8) feltételek teljesülése, vagyis u U, továbbá a nyeregpontfeltétel jobboldala teljesül minden u U-ra, így u U esetén L(u, λ, µ, ϑ ) = f(u ) L(u, λ, µ, ϑ ) = f(u) + G 1 (u ), } {{ } }{{} λ + G 2 (u ), µ + G } {{ } }{{} 3 (u ), ϑ f(u) } {{ } =0 Elégségesség. Mint láttuk korábban, a Slater feltételt teljesítő konvex programozási feladatra a Tétel feltételei elégségesek is ahhoz, hogy egy u U pont optimális legyen. Ezek a feltételek ekvivalensek a (7.5)-(7.10) feltételekkel. 38
39 7.8. Feladatok Feladat. Tekintsük a u min u U U = {u R : u 0, u 2 0}; feladatot. Mutassuk meg, hogy a feladathoz rendelt Lagrange függvénynek nincs nyeregpontja Feladat. Tekintsük az u min u U U = {u R : u 0, u 2 0} feladatot. Mutassuk meg, hogy a feladathoz rendelt Lagrange függvénynek (0, 1, λ 2) nyeregpontja λ 2 0 esetén Feladat. Tekintsük az u 2 min u U U = {u R : u 2 1 0} feladatot. Mutassuk meg, hogy u = 0, λ = 0 nyeregpont Feladat. Nyeregpont-e az y min x 2 + y 2 1 x + y 2 0 x + y 0 feladatra (u, λ ), ha u = ( 2 2, 2 2 ), λ = ( , 2 + 1, 0)? 39
40 8. A lineáris komplementaritási feladat megoldása Legyen M tetszőleges p p mátrix, és q R p. Keressük olyan w, z R p vektorokat, amelyek kielégítik a w Mz = q (8.1) w j 0, z j 0 (j = 1,..., p) (8.2) w j z j = 0, (j = 1,..., m) (8.3) rendszert. A (w j, z j ) változókat komplementáris változóknak nevezzük Definíció. A (w, z) pár tökéletes megengedett bázis megoldása a ( ) feladatnak, ha kielégítik ( )-t és minden j-re a (w j, z j ) párnak pontosan az egyik komponense bázisbeli. Ha q i 0 i = 1,..., p, akkor ( )-nak nyilvánvalóan megoldása a w = q, z = 0 pár. Ha legalább egy j {1,..., p}-re q j < 0), akkor az eredeti feladat megoldása helyett keressük a (w, z, z 0 ) megoldását a w Mz 1z 0 = q (8.4) w j 0, z j 0 (j = 1,..., p) (8.5) w j z j = 0, (j = 1,..., m) (8.6) rendszernek, ahol 1 = {1,..., 1}. Nyilvánvalóan, z 0 = min q i, z = 0, w = q + z 0 1 (8.7),...,p egy megengedett megoldása a (8.4)-(8.6) rendszernek. Megfelelő bázistranszformációkkal megkisérelünk olyan megengedett megoldást keresni, ahol z 0 = 0 teljesül Definíció. A (w, z, z 0 ) hármas majdnem tökéletes megengedett bázis megoldása a ( ) feladatnak, ha 1. kielégíti ( )-t; 2. létezik olyan 1 s p, hogy sem z j, sem w j nem bázisbeli; 3. minden j s-re a (w j, z j ) párnak pontosan az egyik komponense bázisbeli. A definícióból következik, hogy majdnem tökéletes megengedett bázis megoldás esetén z 0 bázisbeli kell legyen. Másrészt az is látszik, hogy (8.7) egy majdnem tökéletes megengedett bázis megoldás. A (w, z, z 0 ) majdnem tökéletes megengedett bázis megoldás szomszédos majdnem tökéletes megengedett bázis megoldásához úgy juthatunk, hogy a bázisban eddig nem szereplő (w s, z s ) párból valamelyiket bevonjuk a bázisba, feltéve, hogy ezzel z 0 nem kerül ki a bázisból. A Lemke algoritmus alapgondolata a következő: (8.7) majdenem tökéletes megengedett bázis megoldásból kiindulva bázistranszformációkkal szomszédos majdenem tökéletes megengedett bázis megoldásokon haladva javítjuk a megoldást. 40
Nemlineáris programozás 2.
Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
Részletesebben10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai
Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál
RészletesebbenA legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris
Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenOptimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben
Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára Analízis R d -ben Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2012. február 8 1. Konvex függvények Definíció. f : D R konvex, ha dom(f) := D R n konvex és tetszőleges
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
Részletesebben9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenOptimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenA szimplex algoritmus
A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
RészletesebbenNemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással
pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6. 1 2 3 Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
RészletesebbenDiszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 4. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2012. február 28. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét
Részletesebben1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere
X HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLET- RENDSZEREK 1 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere Homogén lineáris egyenletrendszer definíciója már szerepelt Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk homogénnek,
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenA lineáris programozás alapjai
A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris
RészletesebbenDR. NAGY TAMÁS. egyetemi docens. Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék
FELTÉTELES OPTIMALIZÁLÁS DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-4...B-0//KONV-00-000 jel½u projekt részeként az Európai Unió támogatásával,
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 17.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 2017. július 17. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL I. TÉTEL (30 pont) 1) (10 pont) Igazoljuk, hogy tetszőleges m R esetén
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenLosonczi László. Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar
Szélsőértékszámítás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 1 / 21 2. SZÉLSOÉRTÉKSZÁMÍTÁS 2.1 A szélsőérték fogalma, létezése Azt
RészletesebbenVektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.
Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.
Részletesebben1. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: ; B = 8 7 2, 5 1. Számítsuk ki az A + B, A B, 3A, B mátrixokat!
. Mátrixok. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: [ ] [ ] π a A = ; B = 8 7, 5 x. 7, 5 ln y. Legyen 4 A = 4 ; B = 5 5 Számítsuk ki az A + B, A B, A, B mátrixokat!. Oldjuk
Részletesebbenút hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.
1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenDualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 7. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát (vonat
Részletesebben1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)
Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
RészletesebbenSHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.
Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,
Részletesebben4. Előadás: Erős dualitás
Optimalizálási eljárások/operációkutatás MSc hallgatók számára 4. Előadás: Erős dualitás Előadó: Hajnal Péter 2018. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét d
RészletesebbenFraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.
Fraktálok Hausdorff távolság Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. március 14. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 36 Halmazok távolsága ELSŐ MEGKÖZELÍTÉS Legyen (S, ρ) egy metrikus tér, A, B S, valamint
Részletesebben3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenKonvex optimalizálás feladatok
(1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenHadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Részletesebben2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
RészletesebbenDifferenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenKétváltozós függvény szélsőértéke
Kétváltozós függvény szélsőértéke Sütő Andrea Kétváltozós függvény szélsőértéke Legyen adott f ( xy, ) kétváltozós függvény és ez legyen folytonosan totálisan differenciálható, azaz létezzenek az elsőrendű
RészletesebbenMatematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált
Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Részletesebben10. előadás. Konvex halmazok
10. előadás Konvex halmazok Konvex halmazok Definíció: A K ponthalmaz konvex, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát tartalmazza. Állítás: Konvex halmazok metszete konvex. Konvex halmazok uniója
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Részletesebben8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,
3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5
RészletesebbenFRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság. Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar
Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 7. Vázlat 1 Szeparábilitás Definíciók A szeparábilitás ekvivalens
Részletesebbenλ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0
Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.
Részletesebben1 Lebegőpontos számábrázolás
Tartalom 1 Lebegőpontos számábrázolás... 2 2 Vektornormák... 4 3 Indukált mátrixnormák és tulajdonságaik... 5 4 A lineáris rendszer jobboldala hibás... 6 5 A kondíciószám és tulajdonságai... 7 6 Perturbációs
RészletesebbenMatematika elméleti összefoglaló
1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...
Részletesebben4. Laplace transzformáció és alkalmazása
4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:
Részletesebben