Matematika. 11. évfolyam. A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg.

Átírás

1 Komplex kommunikációs és természettudományi csomag Matematika 11. évfolyam tanári kézikönyv A TISZK rendszer továbbfejlesztése Petrik TISZK TÁMOP /1-2F A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg.

2

3 Komplex kommunikációs és természettudományi csomag Matematika TÁMOP /1-2F matematika 11. évfolyam TANÁRI KÉZIKÖNYV

4 A kiadvány a TÁMOP /1-2F azonosító számú projekt keretében jelenik meg. Szerző: Lovas Margaret Lektor: Kiss Jolán Borító és tipográfia: Új Magyarország Fejlesztési Terv Arculati kézikönyv alapján A mű egésze vagy annak részletei az üzletszerű felhasználás eseteit ide nem értve oktatási és tudományos célra korlátozás nélkül, szabadon felhasználhatók. A tananyagfejlesztés módszertani irányítása: Observans Kft., Budapest, Igazgató: Bertalan Tamás Tördelés: Király és Társai Kkt. Cégvezető: Király Ildikó

5 A tananyag általános leírása Tananyag címe Matematika 11. évfolyam A tananyag óraszáma 10 Általános célok Kapcsolódások A tanulási nehézségekkel küzdő tanulók gondolkodásának, matematikai problémamegoldó képességének a fejlesztése. A hatványokkal való biztos számolási készség kialakítása. Függvények grafikonjának ismerete, és a függvény tulajdonságainak megállapítása. Tudatosuljon a tanulókban, hogy a tanult matematika ismeretekre szükségük van a szakmacsoportos alapozó tantárgyak követelményeinek teljesítéséhez, tehát a matematika tanulása szükséges és hasznos. A továbbhaladáshoz szükséges minimális követelmények biztos teljesítése. A matematikai kompetencia birtokában az egyén rendelkezik azzal a képességgel, hogy alkalmazni tudja az alapvető matematikai elveket és folyamatokat az ismeretszerzésben és a problémák megoldásában, a mindennapokban, otthon és a munkahelyen. Követni és értékelni tudja az érvek láncolatát, matematikai úton képes indokolni az eredményeket, megérti a matematikai bizonyítást, a matematika nyelvén kommunikál, valamint alkalmazza a megfelelő segédeszközöket. Szakmai kompetenciák: mennyiségérzék, folyamatábrák készítése, folyamatábrák kitöltése készítése, folyamatábrák olvasása értelmezése, számolási készség egyenletek megoldása. KIMENETI Követelmények Ismerje és tudja a negatív egész és a racionális törtkitevő definícióját, és a jártasság szintén tudja használni a hatványok értékének kiszámolásánál. Tudja a logaritmus értékeit használni a különböző folyamatok leírása során. Ismerje és tudja az ábrázolt függvényekről a fontos információkat leolvasni. PETRIK TISZK TÁMOP /1-2F

6 Tanmenet Sorszám Tanítási egység témakör címe Időtartam (perc) A tanítási egység típusa 1. Hatványozás kiterjesztése 4 45 Tanóra (45 perc) 2. Függvényvizsgálat 5 45 Tanóra (45 perc) 3. Mérés-értékelés 1 45 Tanóra (45 perc) 4 matematika tanári kézikönyv 11. évfolyam

7 A TANÍTÁSI EGYSÉG ÁLTALÁNOS BEMUTATÁSA CÍM: Hatványozás kiterjesztése Sorszám: 1. Évfolyam: 11. Időtartam: 4 45 perc A tanítási egység típusa: Tanóra Célok Követelmények Informatikai, oktatástechnikai eszközök Tudja a negatív egész kitevőjű hatvány definícióját. Tudja a racionális törtkitevőjű hatvány definícióját. Tudja a gyökös formátumra való átírás módját. Tudja a gyökök kiszámolási lehetőségét számológép segítségével. Tudja használni a hatványozás azonosságait. A hatványokkal való biztos számolási készség kialakítása. Ismerje a logaritmus definícióját. Tudjon meghatározni logaritmusértékeket számológép segítségével. Tudja alkalmazni a logaritmussal kapcsolatos ismereteit a szakmai tantárgyak esetében. Ismerje és tudja a negatív egész kitevő definícióját, és a jártasság szintén tudja használni a hatványok értékének kiszámolásánál. Ismerje a racionális törtkitevő definícióját, hatványozás és a gyökvonás kapcsolatát. Tudja a hatvány értékeinek kiszámolási lehetőségeit. Tudja használni a hatványozás azonosságait konkrét feladatok megoldása során. Tudja alkalmazni a tanultakat a csillagászat, fizika stb. társtudományok feladatainak megoldása során. Ismerje a logaritmus definícióját, és tudjon logaritmusértékeket keresni számológép segítségével. Tudja a logaritmus értékeit használni a különböző folyamatok leírása során. Biztonsággal tudja használni a zsebszámológépet a feladatok eredményének meghatározásához. Tudja használni a logaritmus definícióját és értékeit konkrét feladatok megoldása során. Számítógép 1 db Projektor 1 Vetítővászon 1 Hangfal Internet kapcsolat PETRIK TISZK TÁMOP /1-2F

8 Források, javasolt tananyagok, kiadványok, internetes honlapok Hortobágyi Marosvári Pálmai Pósfai Siposs Vancsó (2002): Egységes érettségi feladatgyűjtemény Matematika I II., Piliscsaba: Konsept-H könyvkiadó Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Dr. Urbán János Vincze István Csordás Mihály: Sokszínű matematika 11., Mozaik Kiadó Matematika Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I., Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó Realika Matematika tananyagok: Matematika tanulói leckék: 8. Hatványok és gyökök 32. A hatványozás azonosságai racionális kitevők 48. A logaritmus 6 matematika tanári kézikönyv 11. évfolyam

9 A TANÍTÁSI EGYSÉG témakör részletes leírása A TANÍTÁSI EGYSÉG témakör címe: Hatványozás kiterjesztése Sorszám Téma/Altéma Készség/képesség Időtartam (perc) 1. A negatív egész kitevőjű hatvány definíciója Azonosságok ismétlése 2. A racionális törtkitevő definíciója A gyök definíciója Számológép használata 3. Számológép használata Átírás gyökös formára 4. A hatványozás azonosságai Az azonosságok alkalmazása Emlékezet Konkretizálás Alkalmazás Számolási készség Emlékezet Konkretizálás Összefüggések felismerése Adatokkal (információval) való műveleti képességek Eszközhasználat Időbeosztás Fogalmazáskészség Probléma felismerés Problémaelemzés Összefüggések felismerése Módszer Munka-forma Képzési anyagok, eszközök Egyéb javaslatok 10 Internet használat, vagy tanári magyarázat egyéni feladatmegoldás az ablakmódszerrel összevetik az eredményeket 5 Internet használat, vagy tanári magyarázat hivatkozott webhely segítségével 10 Önálló feladatmegoldás ablakmódszerrel összevetik az eredményeket 20 Szakértői mozaik Frontális osztálymunka, majd a gyakorláshoz csoportmunka Egyéni munka Csoportmunka Csoportmunka Frontális 8. lecke: Hatványok és gyökök 10-es fül lejátszása Tanulói jegyzet 1. feladat lecke: A hatványozás azonosságai racionális kitevők 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 füleknél található részek lejátszása A hajlított véleményvonal segítségével alakítsunk csoportokat már az óra legelején, és ezt a csoportbeosztást használhatjuk a tananyag végéig! A definíció ismétlése: hivatkozott webhely segítségével. Hatványozás azonosságai tanári ppt (MAT11_TP.ppt) 2. dia. Ha nem oldható meg az internetkapcsolat akkor tanári magyarázat. Ha nem oldható meg az internetkapcsolat akkor tanári magyarázat. Tanulói jegyzet 2. feladat A megoldásra 5 perc áll rendelkezésükre, a többi idő a megbeszélés. A problémát jelentő feladatokat beszéljük meg Tanulói jegyzet 3. feladat Készítsünk előre betűkártyát, amellyel megalakíthatjuk a 4 feladathoz a szakértői csoportokat, nekik 5 perc áll rendelkezésükre. Majd 8 perc a csoportokban a magyarázat. Utána megbeszélés. PETRIK TISZK TÁMOP /1-2F

10 A TANÍTÁSI EGYSÉG témakör címe: Hatványozás kiterjesztése Sorszám Téma/Altéma Készség/képesség Időtartam (perc) 5. Társtudományok feladatainak megoldása Matematikai szövegértőképesség Adott adatok alapján értelmes következtetések levonásának képessége, és ezek logikai indoklása 6. A logaritmus definíciója Emlékezet Konkretizálás Alkalmazás 7. A számológépből kereshető logaritmus értékek 8. A logaritmus alkalmazása Számolási készség Számológép használat Matematikai szövegértőképesség Adott adatok alapján értelmes következtetések levonásának képessége, és ezek logikai indoklása Módszer Munka-forma Képzési anyagok, eszközök Egyéb javaslatok 45 Szakértői mozaik 15 Internethasználat, vagy tanári magyarázat Önálló feladatmegoldás, ablakmódszerrel összevetik az eredményeket 10 Önálló feladatmegoldás, ablakmódszerrel összevetik az eredményeket Csoportmunka Frontális Egyéni munka Csoportmunka Egyéni munka Csoportmunka 20 Csoportmunka Tanulói jegyzet 4. feladat (fizika feladatok) Tanulói jegyzet 5. feladat (mindennapi élet folyamatai) MAT11_TP.ppt 3. dia lecke: A logaritmus 2-es fül Tanulói jegyzet 6. feladat Tanulói jegyzet 7. feladat Beszéljük meg a tanulói jegyzet 1. mintafeladatát (5 perc) A két feladathoz használhatjuk ugyanazt a szakértői csoportot A feladatokra percet hagyjunk, amiből 5 perc megoldás Majd 8 perc a csoportokban a magyarázat Utána megbeszélés Beszéljük meg a logaritmus definícióját, majd a tanulók oldják meg a feladatokat! A végeredményeket mindenképpen ellenőrizzük! Tanulói jegyzet 8. feladat MAT11_TP.ppt 4. dia Tanulói jegyzet 9. feladat Beszéljük meg az eredményt 8 matematika tanári kézikönyv 11. évfolyam

11 A TANÍTÁSI EGYSÉG témakör címe: Hatványozás kiterjesztése Sorszám Téma/Altéma Készség/képesség Időtartam (perc) 9. A ph fogalma A közelítő értékekkel való számolás, valamint a zsebszámológép állandó használata (hatvány értékek, logaritmus) 10. A kapott eredmények realitásának eldöntése Számológép használat Problémaelemzés Megoldástervezés Korrekció, önkorrekció A várható eredmény becslésének képessége Módszer Munka-forma Képzési anyagok, eszközök Egyéb javaslatok 25 Tanári magyarázat 20 Szakértői mozaik Csoportmunka Szakértői csoport Csoportmunka Tanulói jegyzet 2. mintapélda Tanulói jegyzet 10. feladat MAT11_TP.ppt 5. dia A tanulói jegyzet 2. mintapéldáját beszéljük meg (10 perc)! A feladat megoldása 15 perc, amiből 5 perc megoldás. Majd 5 perc a csoportokban a magyarázat. Utána megbeszélés. Tanulói jegyzet 11. feladat A feladat 20 perc, amiből 5 perc megoldás. Majd 8 perc a csoportokban a magyarázat. Utána megbeszélés. PETRIK TISZK TÁMOP /1-2F

12 Tanmenet A TANÍTÁSI EGYSÉG ÁLTALÁNOS BEMUTATÁSA CÍM: Függvényvizsgálat Sorszám: 2. Évfolyam: 11. Időtartam: 5 45 perc A tanítási egység típusa: Tanóra Célok Követelmények Anyagszükséglet Informatikai, oktatástechnikai eszközök Ismerje a valóság folyamatainak matematikai leírását. Tudjon összefüggést felírni az adatok között. Tudja az összefüggő értékeket ábrázolni. Ismerje fel a kapcsolatot a matematikai függvényekkel. Ismerje a függvények legfontosabb tulajdonságait. Ismerje a függvények grafikonját, és tudja megállapítani a függvény tulajdonságait. Az ábrázolt pontok alapján tudja felírni a függvény utasítását. A valóságból merített szöveges feladatok esetében tudja az algebrai megfogalmazást. Találja meg a keresett értéket. Tudjon rá matematikai összefüggést felírni. A megtalált összefüggést tudja ábrázolni. Ismerje a grafikus megoldás módszerét. Ismerje fel a kapott grafikonhoz tartozó hozzárendelési szabályt. Értse, hogy a kapott eltérések mérési pontatlanságból adódnak. Ismerje és tudja az ábrázolt függvényekről a fontos információkat leolvasni. Ismerjen a természetben lejátszódó exponenciális és logaritmikus lefolyású folyamatokat. Ismerje a különböző fogalmak jelentését. Egy adott függvényről tudja megállapítani a legfontosabb tulajdonságokat. Tudjon konkrét folyamathoz tartozó grafikont ábrázolni. Tudja meghatározni a folyamattal kapcsolatban a legfontosabb információkat. Milliméterpapír Számítógép 1 db/fő. Projektor 1 db Vetítővászon Egyéb pl. speciális szoftver: a geogebra a gépeken 10 matematika tanári kézikönyv 11. évfolyam

13 Források, javasolt tananyagok, kiadványok, internetes honlapok PETRIK TISZK TÁMOP /1-2F

14 A TANÍTÁSI EGYSÉG témakör részletes leírása A TANÍTÁSI EGYSÉG témakör címe: Függvényvizsgálat Sorszám Téma/Altéma Készség/képesség Időtartam (Perc) 1. Adatok rendszerezése 2. Az adatok közötti összefüggések felírása Matematikai szövegértő-képesség Felsorolás Rendezés Összefüggések felismerése Matematikai összefüggések modellezése 3. Grafikus megoldás Íróeszköz-használat Analízis Problémaelemzés 4. A kapott grafikonhoz tartozó hozzárendelési szabály 5. Mért értékek és azok ábrázolása 6. Mért értékek és azok ábrázolása Összehasonlítás Következtetés Döntéshozás (indoklás) Értékelés Az adatok között összefüggés-teremtés megadott szempontok alapján Az adatok között összefüggés-teremtés megadott szempontok alapján Módszer Munka-forma Képzési anyagok, eszközök Egyéb javaslatok 20 Tanári magyarázat Szakértői mozaik 25 Tanári magyarázat Szakértői mozaik 15 Gyűjtőmunka Szóforgó 15 Szakértői mozaik 15 Tanári magyarázat 10 Gyűjtőmunka Szóforgó Csoportmunka Csoportmunka Tanulói jegyzet 3. mintapéldájának megbeszélése Tanulói jegyzet 12. feladat Tanulói jegyzet 4. mintapéldájának megbeszélése Tanulói jegyzet 13. feladat Csoportmunka Tanulói jegyzet 14. feladat Tanulói jegyzet 5. mintapéldájának megbeszélése A feladatok végeredményeit egyeztessük! Probléma esetén beszéljük meg a megoldást! A feladatok végeredményeit egyeztessük! Probléma esetén beszéljük meg a megoldást! Házi feladatnak adható a tanulói jegyzetben szereplő feladat is vagy tetszőlegesen adható bármi más is. Írjuk össze a kapott függvényeket Csoportmunka Tanulói jegyzet 15. feladat 5 perc a feladatmegoldás. 10 perc a magyarázat a csoport többi tagjának. Figyeljünk arra, hogy mindenki leírja a feladatok megoldását! Tanulói jegyzet 6. mintapélda Csoportmunka Tanulói jegyzet 16. feladat Tanulói jegyzet 7. mintapélda N Egyeztessük az összegyűjtött példákat! Beszéljük meg a mintapéldát! 12 matematika tanári kézikönyv 11. évfolyam

15 A TANÍTÁSI EGYSÉG témakör címe: Függvényvizsgálat Sorszám Téma/Altéma Készség/képesség Időtartam (Perc) 7. Az ábrázolt függvényekről az információ leolvasása 8. A függvények tulajdonságai 9. A természetben lejátszódó folyamatokra jellemző függvények 10. Szélsőérték feladatok megoldása grafikusan 11. Ábrázolt mért értékekre görbeillesztés Csoportosítás Következtetés Szövegalkotás szóban Emlékezet Fogalom alkalmazása Emlékezet Figyelem, megfigyelés Általánosítás Alkalmazás Analízis Adatgyűjtés megadott szempontok alapján Adatok rendszerezése megadott szempontok alapján Az adatok között összefüggés-teremtés megadott szempontok alapján Módszer Munka-forma Képzési anyagok, eszközök Egyéb javaslatok 35 Tanári magyarázat Projektoron kivetítés 10 Gyűjtőmunka Szóforgó 10 Tanári magyarázat Projektoron kivetítés 25 Tanári magyarázat Szakértői mozaik 45 Szakértői mozaik Egyéni munka Tanulói jegyzet 17. feladat Tanulói jegyzet 18. feladat Geogebra program ( cms/index.php?lang=hu) és a használathoz 1. melléklet ill. hu/matek/gg/ggkk.pdf számítógépterem projektorral Oldjuk meg a feladatot a tanulókkal közösen lépésről lépésre, hogy kivetítve tudjuk mutatni a program használatot (17. feladat)! Segítség a letöltéshez. Fontos, hogy a tanulók megértsék a program használatát. A 18. feladatot egyénileg oldják meg, de a kapott végeredményt beszéljük meg! Ha a tanulói jegyzetben ajánlott házi feladatot adjuk, akkor adjuk meg az címünket! Csoportmunka Tanulói jegyzet 19. feladat Beszéljük meg a tulajdonságokat! Definíciók a tanulói jegyzet függelékében megtalálhatók. Egyéni munka Csoportmunka Tanulói jegyzet 20. feladat számítógépes terem A 8. mintapélda megbeszélése Tanulói jegyzet 21. feladat Számítógépterem Csoportmunka Tanulói jegyzet 22. feladat számítógépterem N A mérési feladatokat mindenképpen adjuk fel házi feladatnak! Minden csoportban húznak egy betűt az a, b, c, d betűk közül, és minden tanulónak az általa kihúzott betűhöz tartózó mérési feladatot kell elvégeznie otthon. Az előző órán megalakultak a szakértői csoportok, akiknek az első feladata a mérési eredmények egyeztetése. Az értékeket vagy átlagolják, vagy fogadják el egyikük eredményét. A feladat megoldása 25 perc. A csoporttagoknak a feladatok elmagyarázása 20 perc. Ha csak csoportonként egy számítógép áll rendelkezésre, forgószínpad szerűen nézzék meg a grafikonokat és rajzolják le maguknak milliméterpapírra. Ha van hálózati számítógépe a diákoknak, akkor mentsék a saját meghajtójukra a grafikonokat. PETRIK TISZK TÁMOP /1-2F

16 Tanmenet A TANÍTÁSI EGYSÉG ÁLTALÁNOS BEMUTATÁSA CÍM: Mérés-értékelés Időtartam: 1 45 perc Sorszám: 3. Évfolyam: 11. A tanítási egység típusa: Tanóra Célok Követelmények Munkaeszközök, szerszámok, műszerek Informatikai, oktatástechnikai eszközök Források, javasolt tananyagok, kiadványok, internetes honlapok A továbbhaladáshoz szükséges minimális követelmények biztos teljesítése. Tudjon a hatványokkal biztosan számolni. Tudjon meghatározni logaritmusértékeket számológép segítségével. Tudja alkalmazni a logaritmussal kapcsolatos ismereteit a szakmai tantárgyak esetében. Tudjon mérési értékeket koordinátarendszerben ábrázolni. Tudjon grafikonról értékeket leolvasni. A tanuló képes legyen módszeres munkavégzésre, meg tudja tervezni munkáját. Tudja teljesíteni a középszintű érettségi követelményeit. Számológép Tanulónként 1 db számítógép Tanári számítógép Projektor Vetítővászon Számonkérés című tanári prezentáció (MAT11_TP3.ppt) 14 matematika tanári kézikönyv 11. évfolyam

17 A TANÍTÁSI EGYSÉG témakör részletes leírása A TANÍTÁSI EGYSÉG témakör címe: Mérés-értékelés Sorszám Téma/Altéma Készség/képesség Időtartam (perc) 1. Számon kérő dolgozat Probléma felismerés Problémaelemzés Megoldástervezés Döntéshozás Értékelés Tájékozódás az időben Önállóság 2. Értékelés Figyelem Összehasonlítás Értékelés Korrekció Módszer Munka-forma Képzési anyagok, eszközök Egyéb javaslatok 30 Önálló tevékenység Egyéni munka MAT11_TP3.ppt A számonkérés ppt. időzített. Az 1 4 feladat 5 percig van a tanulók előtt, az 5. feladat 10 percig. A feladatok megoldásához szükségük van a geogebrára. 15 Egyéni munka 2. melléklet A tanulók cseréljenek a szomszédjukkal, és javítsuk ki a dolgozatot közösen! Csak %-os formában értékeljünk! PETRIK TISZK TÁMOP /1-2F

18 1. melléklet A geogebra program letöltése és használata A program ingyenes és szabadon felhasználható. A program elérhető: oldalon. Az oldalon Letöltés menü után A GeoGebra letöltése, a megnyíló oldalon válaszd ki, hogy milyen operációs rendszerhez akarod letölteni, és indítsd el a letöltést! Indítsd el a letöltött exe file-t, jelöld be: I accept the terms of the License Agreement. Telepítsd a programot! A koordináta tengelyek egységének beállítása: kurzor a tengelyre, jobb egérgomb, tulajdonságok. Itt mindkét tengely egységek közötti távolságát, megjeleníteni kívánt maximális értékeit be lehet jelölni (a minimális értéket a program kiszámolja). A felső szerkesztési menüsorban a második ikon az új pont felvétele, ezzel tehetünk pontokat a koordinátasíkra. A program kiírja a kurzor mozgásának helyét. A negyedik ikon legördülő menüjében található a legjobban illeszkedő egyenes mellyel a felvett pontokat kijelölve, a program illeszti az egyenest, és kiírja a függvény utasítását automatikusan. Ha exponenciális függvény illesztésére van szükségünk, akkor az alsó sor parancs menüsorát megnyitva szükségünk van a GörbeillesztésExp[] parancsra, amelynél a pontokat fel kell sorolni a [ ] közé. Ennek formája: {[ A, B, C, D} ]. Beírás után enter. A program berajzolja a függvény, és kiírja az utasítást. Az utolsó ikonban található a rajzlap mozgatása, melynek segítségével a monitoron bárhová mozgathatjuk a függvényt. A Szerkesztés legördülő menüben: Rajzlap vágólapra másolása. Innen akár egyszerű Word dokumentumba is illeszthető a kész grafikon. Jó munkát kívánok! 16 matematika tanári kézikönyv 11. évfolyam

19 2. melléklet Megoldás 1. feladat = 1 = 0, pont = 3, pont lg250 = 2, pont log420 = 2, pont ln1,345 = 0, pont 3 lg = = 0,6 1 pont 12 pont lg 10 log = = 0, pont 15 log l g8 + ln8 = 4,483 2 pont ,5 3 8 = pont 2. feladat a) Mekkora a 2, mol/dm 3 koncentrációjú bárium-hidroxid oldat ph-ja? Ba(OH) 2 = Ba 2+ +2OH [OH ] = 2 c(ba/oh/ 2 ) = 2 2, mol/dm 3 = 5, mol/dm3 2 pont poh = 1 lg[oh ] = 1 lg(5, ) = 2,29 ph=14 poh = 14 3,40 = 11,71 2 pont 8 pont b) Adjuk meg annak a kalcium-hidroxid oldatnak a koncentrációját, melynek ph-ja 10,30! Ca(OH) 2 = Ca 2+ +2OH poh = 14 ph = 14,00 10,30 = 3,70 [OH ] = 10 -poh = 10-3,70 = 2, mol/dm 3 2 pont c(ca/oh/ 2 ) = (2, )/2 mol/dm 3 = 1, mol/dm3 2 pont 3. feladat x kg 23% 1 pont 10 kg 90% 1 pont (10+x) kg 40% 1 pont 7 pont 23x = 40 (10+x) 2 pont x = 29,4kg 2 pont PETRIK TISZK TÁMOP /1-2F

20 4. feladat 2 (a+b) = pont T = a b = a (50 a) = a 2 +50a 2 pont 7 pont Tehát a téglalap oldalai 25 m hosszúak, azaz négyzet. 2 pont 2 pont 5. feladat Tisza 24 óra 13,87 m 1 pont 36 óra 18,06 m 1 pont 48 óra 22,28 m 1 pont Duna 3 pont 12 pont 18 matematika tanári kézikönyv 11. évfolyam

21 24 óra 14,93 m 1 pont 36 óra 19 m 1 pont 48 óra 23,1 m 1 pont 3 pont 46 pont pont: kiváló pont: ügyes pont: egész jól megy pont: megfelelő 0 9 pont: tanulnod kell még PETRIK TISZK TÁMOP /1-2F

22 Nemzeti Fejlesztési Ügynökség ÚMFT infovonal: