Matematikai Közlemények. III. kötet

Átírás

1 Matematka Közlemények III. kötet NymE EMK Matematka Intézet Sopron Tudós Társaság 05

2 Dmenzók Matematka Közlemények III. kötet NymE EMK Matematka Intézet Sopron Tudós Társaság 05

3 Szerkesztők: Dr. Németh László egyetem docens Dr. Szalay László ntézetgazgató egyetem docens Dr. Závot József egyetem tanár Nyugat-magyarország Egyetem Erdőmérnök Kar Matematka Intézet 9400 Sopron, Ady Endre út 5. MTA VEAB Sopron Tudós Társaság 9400 Sopron, Csatka Endre utca 6-8. Kadja: NymE EMK Matematka Intézet és Sopron Tudós Társaság HU ISSN 064-7

4 DIMENZIÓK Matematka Közlemények III. kötet, 05 Tartalomjegyzék Bevezető... 3 Adatelemzés mozgó statsztkákkal... 5 Az R szoftver alkalmazása az Adatbányászat tárgy oktatásában... 4 Hőszvattyús fűtés rendszer vzsgálata... Időjárás elemzés regresszós eljárás alkalmazásával... 5 Az alkalmazott matematka tantárgy oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernzálása az MSc képzésében Egy érdekes térkép vetület matematka és csllagászat alkalmazása - folytatás Matematka módszerek a mechankában Matematka a fzkában Dofantkus számhármasok a Lucas-Lehmer sorozatokban... 6 De exakte Lösung der ausglechenden Geraden m Rahmen der Total Least Squares Methode... 63

5

6 DIMENZIÓK 3 Matematka Közlemények III. kötet, 05 Bevezető 50 éves a Matematka Intézet Immár harmadízben került megrendezésre a Matematka Oktatása és Kutatása Szemnárum (MOKUS 5) a Sopron Tudós Társaság és a Nyugat-magyarország Egyetem Matematka Intézetének szervezésében. Nagy öröm számunkra, hogy a sopron résztvevők mellett smét vendégül láthattunk külső előadót s. Bízunk benne, hogy a jövőben újból meg tudjuk találn a lehetőséget egy hasonló rendezvény lebonyolítására. Az előző konferenca óta eltelt dőben fontos esemény részese lehettünk, 05 októberében ünnepeltük a Matematka Intézet jogelődje megalapításának 50 éves évfordulóját. Phladelphában még a Függetlenség Nylatkozat szövegezésével voltak elfoglalva, mkor Selmecbányán már javában oktatták a matézst a Bányászat Akadémán, ntézményesített keretek között. A jeles évfordulóra egy emléknappal emlékeztünk. Az ünnep köszöntők után Dr. F. Nagy György egyetem docensnek az ntézet selmecbánya éveről szóló előadása következett, majd fj. Sarkady Sándor, a Központ Könyvtár és Levéltár főgazgatójának magával ragadó expozéja a Sopronba történő átköltözés után dőszakról. Később Dr. F. Nagy György, és fj. Sarkady Sándor jóvoltából lehetőség nyílt a Központ Könyvtár muzeáls értékű matematka könyvenek megtekntésére. A délután programban öt tudományos, lletve vsszaemlékező előadás hangzott el. A 50 éves évfordulóra az SKK Fapar Tanüzem elkészítette fából az ntézet címerét, amely az F épület aulájában megteknthető. Köszönöm mndazoknak, akk részvételükkel megtsztelték, vagy munkájukkal segítették a két rendezvény lebonyolítását. Szalay László ntézetgazgató

7

8 DIMENZIÓK 5 Matematka Közlemények III. kötet, 05 do:0.03/dm.05.0 Adatelemzés mozgó statsztkákkal Kalmár János MTA CSFK GGI kalmar@ggk.hu ÖSSZEFOGLALÓ. A tanulmányban mozgó statsztkák segítségével határozom meg geofzka és geodéza dősorok eseményet. Ezek manuálsan, dagramelemzéssel s megtalálhatók lennének, de az dősorok (többszázezres) hossza matt ndokolt az automatzált keresés megoldása. ABSTRACT. In ths study the events n geophyscal and geodetc tme seres are dentfed by movng statstcs. Although these events can be dentfed manually, the length of tme seres (several hundred thousands) justfes the automated search soluton.. Bevezetés Intézetünkben a közelmúltban merült fel két olyan probléma nevezetesen geomágneses Q-ktörések lletve dőlésmérő méréshatár elmozdulások helyének meghatározása, melyek kapcsán általánosítható eljárást fejlesztettem k egydmenzós adatsorbel események kmutatására (mntallesztésre). Idősorok valószínűség eloszlását szokás jellemezn statsztkával, am alatt az dősorból képlettel levezetett skalárt értünk. Ilyen nevezetes statsztka pl. a várható érték, szórás, regresszó, ferdeség vagy lapultság, két adatsor összevetésekor pedg a kovaranca és a konvolucó. Az adatsorokban található események nem feltétlen mutathatók k a teljes adatsorra alkalmazott statsztkával [5], hanem általában csak egy részntervallumon alkalmazva mutatnak az átlagostól eltérő vselkedést (anomálát), ezért mntallesztéskor célszerűbb részntervallumokon számolt mozgó statsztkákat alkalmazn. Tanulmányomban megmutatom, konkrét mntallesztéskor hogyan célszerű kválasztan a legjobb statsztkát és annak paraméteret, a mozgó ntervallum hosszát és ndkátor tartományát.. Q-ktörések geomágneses és geoelektromos adatsorokban Schumann-rezonancáknak [] nevezzük a bolygófelszín és az onoszféra által határolt gömbréteg elektromágneses sajátfrekvencát, amt a zvatartevékenység során keletkező vllámok keltenek. A jelenség robusztus becslést ad a Föld troposzférájában lejátszódó globáls dőjárás folyamatokról a vlág zvatartevékenységének dő- és térbel változásán keresztül, valamnt a Föld onoszféra üregrezonátor felső határoló régóját (onoszferkus D-tartomány) érő extra-terresztrkus hatásokról.

9 6 Kalmár János A Schumann-rezonancákban mutatkozó tranzens ktörések (. ábra) kapcsolatban állnak a magas-légkör fényjelenségekkel (angol rövdítéssel: TLE). 995-ben Boccppo és mások [] megmutatták, hogy a leggyakorbb magas-légkör fényjelenség, a vörös ldérc poztív töltésű, felhő-föld típusú vllámlás során keletkezk. Ugyanekkor a Schumann-rezonancák sávjában Q-ktörés jelentkezk. Más megfgyelések [3] rámutattak arra, hogy a vörös ldércek előfordulása és a Q-ktörések összefüggenek, így a Schumann-rezonancákból nyerhető adatok felhasználhatók a ldércek globáls előfordulásának becslésére [4]. A Schumann-rezonanca mérése két geomágneses (Hx és Hy), és egy (Ez) geoelektromos csatornán történk. A Q-ktörés Ez-ben mndg jelentkezk és Hx, lletve Hy közül legalább egyben. 3.00E+06.00E+06.00E E E E E E E E+06 Hx Ez Hy. ábra. Q-ktörés esemény7936-nál 3. Méréshatár elmozdulás dőlésmérőnél Geodéta kollégám több módszerrel s gyekeznek kmutatn a Föld természetes felszíne vagy az épített műtárgyak lokáls mozgását, deformácóját. Egyk műszerük a dőlésmérő, mely a mérés síkjában megfgyelhető dőlést detektálja. A használt műszer sajátossága, hogy nagyobb klengések a méréshatár elmozdulását okozhatják, amre a. ábrán látunk példát. Az adatsor feldolgozása előtt ezen lépcsőket korrgáln kell, hogy az elemzés ne vezessen téves következtetéshez Adatsor ábra. Méréshatár elmozdulás esemény 8786-nél

10 Adatelemzés mozgó statsztkákkal 7 4. A felhasznált statsztka jelzőszámok és tulajdonságak Jelölje E[X] az X valószínűség változó várható értékét, akkor X változó k-adrendű M k centráls momentuma Mk = E[(X E(X)) k ]. A szórás (D[X]) négyzete (amt varancának s neveznek) tulajdonképpen a másodrendű centráls momentum, azaz D[X] = E[(X E(X)) ] = M. A szórást az átlagtól való átlagos eltérésnek s teknthetjük. Az X valószínűség változó ferdesége vagy ferdeség együtthatója lényegében azt mutatja meg, mennyre szmmetrkus a valószínűség változó eloszlása. Képlete: β = M3/M 3/. Ha X sűrűségfüggvénye szmmetrkus (mnt pl. a haranggörbe), akkor β = 0, ha jobbra húz el, akkor β > 0, ha balra húz el, akkor β < 0, természetesen a deformácóval arányosan. Az X valószínűség változó lapultsága, vagy lapultság mutatója (másként csúcsossága, vagy csúcsosság együtthatója) lényegében a normáls eloszlás sűrűségfüggvényéhez vszonyítja az X valószínűség változó sűrűségfüggvényét. Képlete: β = M4/M 3. Normáls eloszlás esetén β = 0. A normáls eloszlás haranggörbe sűrűségfüggvényénél csúcsosabb (meredekebb) sűrűségfüggvényű eloszlások esetén β > 0. A haranggörbénél laposabb sűrűségfüggvényű eloszlások esetén β < 0. A konvolucó két függvényhez egy harmadkat rendel hozzá. Generáló képlete:. Ha f[] és g[] ( = 0,, k) dszkrét dősorok (mérés értékek), akkor a konvolucó képlete: A generált dősor egy eleme felfogható úgy, hogy az az egyk dősor elemenek súlyozott összege, ahol a súlyok fordított sorrendben lettek kválasztva a másodk dősorból. A lneárs regresszó modellje azt feltételez, hogy a független X = (x, x,, xn) T vektor és a függő y (skalár) változó között lneárs összefüggés van. Az y(ß, X) = ß0 + n k= ßk xk m elemű (X, y ) =,, m n+ mérés adatsor esetén a ß együtthatóvektor meghatározható pl. a legksebb négyzetek elve alapján. A dy (ß, X ) = y - y(ß, X ), =,, m hbavektor alapján ellenőrzhető a lneartás (és az lleszkedés) megléte. A lneárs regresszó y(ß, X) = ß0 + n k= ß k x k képlete y becslésére s felhasználható..

11 8 Kalmár János 5. A mozgó statsztka lényege és alkalmazása Egy statsztka egy képlet segítségével rendel hozzá egy (akár többdmenzós) adatsorhoz egy skalárt, am az adatsor statsztka jellemzője lesz. Az ördög a részletekben rejlk, azaz az adatsorokban rejtőző események nem feltétlen mutathatók k a teljes adatsorra alkalmazott statsztkákkal, hanem általában csak egy részntervallumon mutatnak a szokásostól eltérő vselkedést (anomálát). A mozgó statsztka a teljes helyett csak egy rögzített hosszú részntervallumon számol, de ezt a részntervallumot véggcsúsztatja a teljes adatsoron, az így számolt statsztkák tehát pozícókhoz rendelhetők, és maguk s egy adatsort alkotnak. Ha jó statsztkát választottunk, akkor csak a keresett esemény környezetében lesz találata a mozgó statsztkának, vagys a (rtka) eseményt a mozgó statsztka vszonylag rtkán előforduló értéke jelzk. Ha a számított mozgó statsztkának (mnt adatsornak) előállítjuk a sűrűség függvényét (hsztogramját), akkor onnan leolvashatók azon eseménygyanús, ks gyakorságú (ndkátor) ntervallumok, melyek általában a sűrűségfüggvény két szélén (a farkaknál) találhatók. Ahhoz, hogy egy mozgó statsztkát és a hozzá tartozó ndkátor ntervallumot a keresett esemény kmutatására elfogadjunk, kézzel ellenőrzzük a kapott találatokat, mnek alapján - elfogadjuk a statsztkát és az ndkátor ntervallumot, - módosítjuk az ndkátor ntervallumot, - elvetjük a statsztkát. Mvel egy esemény több (egymást részben átfedő) részntervallumon s látható, ezért pontos pozconálása tovább (kéz vagy automatkus) elemzést gényel. 6. A Q-ktörések kmutatására használt statsztkák és ndkátor ntervallumak Konvolucó: a három (Hx, Hy, Ez) adatsor közül legalább kettő (de Ez mndenképp) tartalmazza az eseményt, ezért együttes vzsgálatuk ndokoltnak tűnt (3. ábra) I(Hx*Ez)I I(Hy*Ez)I ábra. A normált konvolucók dagramja a 7936-os Q-ktörés környezetében A konvolucó az adatsorok skálázására érzékeny mutató, am torzítaná az ndkátor ntervallumot, ezért normáljuk, vagys elosztjuk az összetevő vektorok hosszával.

12 Adatelemzés mozgó statsztkákkal 9 I(Hx*Ez)I=(Hx*Ez)/(IHxI IEzI) ndkátor ntervalluma: < 0,. I(Hy*Ez)I=(Hy*Ez)/(IHyI IEzI) ndkátor ntervalluma: < 0,. A Q-ktörés környezetében a varanca megnő (4. ábra). Hx: M ndkátor ntervalluma: >,4. Hy: M ndkátor ntervalluma: >,4. Ez: M ndkátor ntervalluma: > Hx:M Ez:M Hy:M ábra. Szórás dagramok a 7936-os Q-ktörés környezetében Ferdeség: csak az eloszlás poztív farka utal találatra (5. ábra). Hx ndkátor ntervalluma: ß >. Hy ndkátor ntervalluma: ß >. Ez ndkátor ntervalluma: ß > Hx:ß Ez:ß Hy:ß ábra. Ferdeség dagramok a 7936-os Q-ktörés környezetében Csúcsosság: csak az eloszlás poztív farka utal találatra. Hx ndkátor ntervalluma: ß > 8. Hy ndkátor ntervalluma: ß > 8. Ez ndkátor ntervalluma: ß > 8.

13 0 Kalmár János Hx:ß Ez:ß Hy:ß ábra. Csúcsosság dagramok a 7936-os Q-ktörés környezetében A ferdeség és csúcsosság mutatók többnyre megtalálták az ugrás környezetét, de előfordultak téves rasztások s. Tovább sajátosságuk, hogy mnden eseményre kétszer rasztanak: először amkor a részntervallum végén jelenk meg az esemény, másodszor, amkor a részntervallum elején jelenk meg az esemény. 7. A Q-ktörések kmutatásának logka sémája Első lényeges döntés a mozgó statsztka részntervallum hosszának kválasztása volt; ha ez túl rövd, akkor túlságosan érvényesülnek a lokáls eltérítő hatások, ha pedg túl hosszú, akkor egy részntervallum több eseményt s tartalmazhat. Tranzens Q-ktörés keresésekor 5 mérés tett k egy részntervallumot. A legfontosabb találatokat a I(Hx*Ez)I és I(Hy*Ez)I normált konvolúcók szolgáltatták de nem feltétlen az esemény pontos helyén, hanem annak részntervallum sugarú környezetében jeleztek. A normált konvolucók generálta hams rasztásokat úgy szűrjük k, hogy megnézzük a több statsztkát (szórás, ferdeség, laposság) a vélt ktörés 5 mérés sugarú környezetében. Ha ott egyk sem jelzett, akkor a találatot elvetettük. A valószínűsíthető Q-ktörés pontos helyét úgy határozzuk meg, hogy az összetartozó találatokat tartalmazó 5 hosszú ntervallumon meghatároztuk a mérések átlagát, és megkerestük azt a pontot, ahol ezen átlag és a mért érték eltérése maxmáls volt. Előfordulhat, hogy a Q-ktörés esemény közelében egyk konvolucó sem raszt; szerencsére ekkor a több statsztka mndegyke jelzett a tranzens környezetében, vagys a már bemutatott eltérés-számítással ekkor s meghatározható volt a Q-ktörés pontos helye. Összefoglalva, Q-ktörés esemény ott van, ahol legalább konvolucós találat van, és a másk 3 statsztka közül legalább találatot jelez, vagy ahol nncs konvolucós találat, de a több statsztka mndegyke raszt. Szórás, ferdeség és csúcsosság statsztkák esetén akkor van találat, ha legalább két komponensben megjelenk, és közte van ez.

14 Adatelemzés mozgó statsztkákkal 8. A méréshatár ugrások kmutatására használt statsztkák és ndkátor ntervallumak Nylvánvaló, hogy a méréshatár ugrás pozícójában a függvényérték bal- és jobboldal határértékének különbsége mutatja az ugrás nagyságát. A vzsgált pontbel függvényértéket ezért kétoldal lneárs regresszóval becsültük. Először a vzsgált ponttól balra található mérésekre llesztünk egyenest, majd a vzsgált ponttól jobbra található mérésekre llesztünk egyenest. A vzsgált pontban a két regresszós egyenes alapján becsült függvényértékek dm különbsége adja az ugrás nagyságát. Ha van tppünk a lépcsőmagasság alsó korlátjára, akkor ezt használhatjuk a regresszós becslések különbségének ellenőrzésére. Indkátor ntervallumnak példánkban az IdmI > 0,4 feltételt alkalmaztuk. A ferdeség-mutató eloszlásának mndkét farka generálhat találatot. Indkátor ntervalluma: ß < vagy ß > 5. A ferdeség mutató általában jelzett az ugrás környezetében, de voltak téves rasztások s. A csúcsosság-mutató eloszlásának mndkét farka generálhat találatot. Indkátor ntervalluma: ß < vagy ß > 8. A csúcsosság mutató általában jelzett az ugrás környezetében, de voltak téves rasztások s. A varanca teljesen alkalmatlannak bzonyult a méréshatár ugrások kmutatására, ugyans a mérések nem csak a keresett lépcsők környezetében adhatnak szokatlan szórást szórás dm ferdeség csúcsosság 7. ábra. A használt statsztkák dagramja a 8786-es lépcső környezetében 9. A méréshatár ugrások kmutatásának logka sémája Első lényeges döntés a mozgó statsztka részntervallum hosszának kválasztása volt; ha túl rövd, akkor túlságosan érvényesülnek a lokáls eltérítő hatások, ha pedg túl hosszú, akkor egy részntervallum több eseményt s tartalmazhat. A dőlésmérő adatsorában 000 mérés képezett egy mozgó részntervallumot. Ferdeség és csúcsosság statsztka esetén nem volt a pror tudásunk az ndkátor ntervallumról, ezért meghatároztuk a mutatók hsztogramját.

15 Kalmár János A hsztogramról úgy olvastuk le az ndkátor ntervallum korlátat, hogy mndkét farokba az összes mérés kb. %-a essen (skertelenség, azaz túl sok, vagy túl kevés találat esetén, ezen paramétert módosítottuk). Mndhárom statsztka (becsült lépcsőmagasság [dm], ferdeség, csúcsosság) esetén meghatároztuk azon pozícókat, ahol a feltételek teljesültek. A pozícók mndhárom mutató esetén zárt ntervallumokba tömörültek, mert az esemény nem csak saját pozícójában, hanem annak környezetében s anomálát okozott a statsztkákban. A statsztkák találat ntervallumanak főpontját (az ugrás várt helyét) úgy határoztuk meg, hogy megkerestük a kétoldal lneárs becslések dm különbségének abszolút maxmumát. Azt tapasztaltuk, hogy a dm bázsú mutató mnden alkalommal megtalálta az ugrás helyét, ha jól becsültük meg az ugrás mnmáls nagyságát (dm ndkátor ntervallumát). A ferdeség és csúcsosság mutatók s többnyre megtalálták az ugrás környezetét, bár előfordultak téves rasztások s. Tovább sajátosságuk, hogy mnden eseményre kétszer rasztanak: először, amkor a részntervallum végén jelenk meg az esemény, másodszor, amkor a részntervallum elején jelenk meg az esemény. 8. ábra. az eredet dőlésmérő adatsor 9. ábra. a dőlésmérő adatsor a lépcsők gnorálása után

16 Adatelemzés mozgó statsztkákkal 3 0. Összefoglaló Gyakor feladat, hogy hosszú, kézzel nehezen kértékelhető mérés adatsorok eseményenek pontos helyét automatkusan kell meghatározn, pl. onlne rasztás céljából. A különböző mozgó statsztkák érzékenyek a lokáls események előfordulására, ezért feladatonként megvzsgálandó, melyeket érdemes kmutatásukra felhasználn. A mozgó statsztkák alkalmazásakor fontos meghatározandó paraméter a részntervallum hossza, lletve az ndkátor ntervallumok helyzete. Egyes statsztkák a jól megválasztott paraméterek mellett s hbázhatnak: nem jeleznek egyes eseményeknél, vagy hamsan rasztanak. Célszerű a vzsgálatoknál több statsztkát egydejűleg fgyelembe venn, mert kombnácójuk megbízhatóbb találatokhoz vezet. Irodalomjegyzék [] W. O. Schumann, Über de strahlungslosen Egenschwngungen ener letenden Kugel, de von ener Luftschcht und ener Ionosphärenhülle umgeben st, Zetschrft und Naturfrschung 7a, (95) (do: [] D. J. Boccppo, E. R. Wllams, S. J. Heckman, W. A. Lyons, I. T. Baker, R. Bold, Sprtes, ELF transents, and postve ground strokes, Scence 69 (57) (995), (do: [3] C., E. Prce, Greenberg, Y. Yar, G. Sátor, J. Bór, H. Fukunsh, M. Sato, P. Israelevch, M. Moalem, A. Devr, Z. Levn, J.H. Joseph, I. Mayo, B. Zv, A. Sternleb, Ground-based detecton of TLE-producng ntense lghtnng durng the MEIDEX msson on board the Space Shuttle Columba, G.R.L. 3 (004). [4] W. S. Hu, A. Cummer, W. A. Lyons, T. E. Nelson, Lghtnng charge moment changes for the ntaton of sprtes, G.R.L. 9 (8) (00), 79. o. [5] Pödör Z., Töréspontok keresése meteorológa dősorokban, és azok hatásanak vzsgálata, Dmenzók Matematka Közlemények II. (04),

17 DIMENZIÓK 4 Matematka Közlemények III. kötet, 05 do:0.03/dm.05.0 Az R szoftver alkalmazása az Adatbányászat tárgy oktatásában Pödör Zoltán NymE, SKK, Informatka és Gazdaság Intézet podor@nf.nyme.hu ÖSSZEFOGLALÓ. Az adatbányászat egy tpkus nformatkához köthető terület. A gazdaságnformatkus hallgatók számára különösen nagy jelentőséggel bír a gazdaság kötődés matt. Bemutatjuk az általános elvárásokat az adatbányászat szoftverekkel szemben és konkrétan az R program alkalmazhatóságát az Adatbányászat oktatásában. ABSTRACT. The data mnng s a typcal part of nformatcs scence. It s especally mportant for the Busness Informaton Technology students due to the economc specalzaton. We present the general expectatons up to the data mnng software and the applcaton opportuntes of R software n the educaton of Data mnng.. Bevezetés Az ember által generált adatmennység évente legalább megduplázódk. Rengeteg adatot gyűjtünk, gondoljunk csak az egyre jobban elterjedő szenzoros mérésekre. A hatalmas adathalmazok feldolgozása, a hasznos nformácók, összefüggések knyerése nagy khívást jelent. A hatalmas méretű adatbázsok, adathalmazok puszta adattemetők mndaddg, amíg fel nem dolgozzuk azokat. Ez a folyamat magában foglalja a hagyományos matematka, statsztka módszereket s. Azonban éppen az adathalmazok mérete tesz szükségessé olyan új megközelítések alkalmazását, am lehetővé tesz lyen esetben s a gyors és hatékony (sokszor onlne) feldolgozását. Ez több - akár hardver, akár szoftver oldalról - komoly nformatka khívást jelent. Ezért fontos, hogy egy nformatkus smerje azokat a technkákat és eszközöket, melyek segítségével képesek vagyunk a Bgdata jellegű adatokból értékes nformácókat knyern és megjeleníten. Bemutatjuk mélyebb részletek smertetése nélkül-, hogy a nyílt forrású R szoftverkörnyezet hogyan alkalmazható a tpkus adatbányászat feladatok megoldásában, a kapott eredmények vzuáls reprezentácójában az NymE SKK gazdaságnformatkus hallgatóknak tartott Adatbányászat tárgy kereten belül.. Az adatbányászat Az 990-es évek elején a tárolókapactások jelentős növekedése és ezzel párhuzamosan az árak csökkenése lehetővé tette, hogy gyakorlatlag az élet mnden területén elterjedjenek a dgtáls eszközök és adatbázsok. Mndez azt eredményezte, hogy tömegesen keletkeztek nyers, feldolgozatlan adatok. Ezek feldolgozására akkor még csak a hagyományosnak teknthető matematka és statsztka eljárások álltak rendelkezésre. Azonban ezek nem voltak alkalmasak az egyre növekvő méretű adathalmazokkal megbrkózn. Sem mennységben, sem a knyert nformácók mélységében, fnomságának tekntetében. Jól írja le az akkor helyzetet

18 Az R szoftver alkalmazása az Adatbányászat tárgy oktatásában 5 John Nasbtt híres mondása: Megfulladunk az nformácótól, mközben tudásra éhezünk.. Az így megjelenő szükség keltette életre az adatbányászatnak nevezett tudományterületet. Az adatbányászat [], [] az a folyamat, amellyel hasznos nformácók, mély, nemtrváls tudás nyerhető k az adatbázsokból. Ehhez számtalan tudományterületet használunk fel, így az adatbányászat egy tpkus multdszcplnárs területnek teknthető, mely a statsztkától kezdve, a mesterséges ntellgencán keresztül az algortmkus kérdésekg rengeteg területet ölel fel... Adatbányászat szoftverek Az alábbakban összefoglaljuk azokat a khívásokat [], amknek egy lyen program meg kell, hogy feleljen. Ezek a problémák serkentő s voltak az adatbányászat fejlődésének. Skálázhatóság: képes legyen az egyre növekvő méretű adathalmazokat s hatékonyan kezeln. Magas dmenzó: alkalmas legyen a magas dmenzó számú adatbázsok kezelésére. Sok algortmus esetében a számítás bonyolultság s gyorsan nő, ahogy a dmenzószám növekszk. Heterogén és összetett adatok: a hagyományos elemzés módszerek általában azonos típusú adathalmazokat képesek kezeln. Egyre fontosabb például a weben tárol félg strukturált szövegek kezelése, vagy a szocáls hálókat reprezentáló, különböző formátumú adatokat tartalmazó gráfok feldolgozása. Robusztusság: hányos, zajos adatokat s kezeljen, ez ne befolyásolja a működést. Adatok tulajdonjoga, megosztása: az utóbb években különösen jellemző, hogy az elemzendő adatok fzkálsan sem egy helyen vannak eltárolva. Ez szükségessé tette az elosztott adatbányászat módszerek fejlesztését. A pacon rengeteg szoftver áll rendelkezésre, rövden felsoroljuk, hogy mk azok a gyakorlat szempontok [], amk egy jónak tekntett adatbányász szoftvert jellemeznek: Algortmusok: az alkalmazott algortmusok legyenek többszörösen megvalósítva (ahol erre lehetőség van), elvárás velük szemben a robusztusság és rugalmasság. Vzualzácós lehetőségek: elvárás az, hogy a kapott eredmények, összefüggések mnél vzuálsabb módon s megjelenjenek. Ez az elvárás az par környezetben gyakran alkalmazott rportokkal szemben s. Ezek sokkal szemléletesebbé és átteknthetőbbé teszk a táblázatokban tárolt számszerű eredményeket. Be-, és kmenet fájlformátumok: az adott szoftver mnél több fajta be-, lletve kmenet formátumot tudjon alapértelmezésben kezeln. Az adatbányászatban tpkus, hogy adatok xls, sql, dbf, csv formában tárolunk, elvárjuk, hogy ezeket a rendszer képes legyen kezeln, mnd a bemenet, mnd a kmenet oldalon. Felhasználóbarát: az átlagos felhasználó olyan szoftvereket szeret használn, amelyek kezelése könnyen elsajátítható, megtanulható. Tpkusan lyen pl. a RapdMner által alkalmazott Drag and Drop technka. Ugyanakkor fontos megemlíten, hogy ez bzonyos korlátokat s hordoz magában. Az elérhető szoftverek között vannak fzetősök, mnt például az IBM SPSS, SAS, RapdMner, Statstca Datamner, Oracle, Mcrosoft Analyss Servces és sznte megszámlálhatatlan nyílt kódú szoftvert lehet összeszedn. A teljesség génye nélkül néhány: Weka, R, Orange, SCaVS, Knme, Octave Adam. Jelen munkának nem célja ktérn ezekre a szoftverekre, azok előnyere és hátrányara. Azonban az nterneten fellelhető több olyan oldal [3], ahol ezeket rangsorolják különböző szempontok fgyelembe vétele mellett, mnt például népszerűség, hatékonyság, jóság. Ezek a statsztkák természetesen nem teknthetőek reprezentatívnak, sőt sokszor erősen szubjektív elemeket s tartalmaznak, azonban mégscsak mutatnak egyfajta képet ezekről a szoftverekről. Az R szoftver mnd a két felsorolás elején

19 6 Pödör Zoltán helyezkedk el és fgyelembe véve, hogy a felhasználók szempontjából kevéssé kedvelt szkrpt nyelvről van szó, ez meglehetősen kedvező pozícó. 3. R program 3.. A program rövd bemutatása Az R egy olyan nyílt forráskódú, szkrpt alapú nyelv [5], amely különösen alkalmas matematka, statsztka és adatelemzés, adatbányászat számítások megvalósítására és az eredmények grafkus megjelenítésére. A program bárk által szabadon fejleszthető, így számtalan publkált csomag és függvény áll rendelkezésére a felhasználóknak. A program egyszerű használatához nem kell feltétlenül nformatkusnak lenn, azonban valód mélysége és lehetősége programozó smeretek brtokában tárulnak fel. Nagyon fejlett és bőséges eszköztárral rendelkezk, és nem csupán matematka, statsztka módszerek terén, bár mnden olyan feladat megoldható ebben a környezetben, am például a Mathlab vagy a Maple programokkal. Elérhetünk például hagyományos, relácós vagy NOSQL alapú adatbázsokat és mnden fontos adatbányászat algortmus s mplementálásra került. Támogatott benne a hálózat kommunkácó, de lehet akár grafkus felhasználó felületeket s készíten. Egyk legnagyobb erőssége éppen grafka képességeben rejlk. Lehetőség van továbbá az R nyelv webes környezetben való működtetésére s az rapache [4] megoldással.. ábra. Az R program Az R-nyelv egy nterpretált szkrpt nyelv, a programkódokat nem fordítjuk bnárs állománnyá a futtatáshoz, hanem az R-parancsértelmező értelmez azokat. Jelen munkának nem célja az R nyelv alapjanak smertetése, sokkal nkább, hogy néhány jellegzetes adatbányászat feladaton keresztül bemutassuk az R nyelv alkalmazhatóságát. A továbbakban kválasztottunk néhány tpkus, az Adatbányászat tárgy kereten belül oktatott témát, amknek segítségével llusztráljuk az R nyelv működését, programozhatóság és grafkus képességet, lehetőséget. A feladatok llusztrálására a szabadon hozzáférhető rs adathalmaz használtuk fel.

20 Az R szoftver alkalmazása az Adatbányászat tárgy oktatásában A program alkalmazhatósága az adatbányászatban Két tpkus adatbányászat feladatot: klaszterezés, osztályozás, lletve egy a hagyományos statsztkában s gyakran alkalmazott témát, a regresszót választottuk k [], []. Terjedelm okok matt nem célunk a fent eljárások mély elmélet smertetése, hanem rövden bemutatjuk az alapproblémát és megoldás lehetőségeket az R környezetben. Mndegyk feladat esetében megkerülhetetlen lépés az adatok megfelelő előkészítése, am magában foglalja a hányos, zajos adatok kezelését, kugró adatok szűrését, lletve az adott feladathoz kötődő egyéb műveleteket. Klaszterezés Szokás a klaszterezést felügyelet nélkül tanulásnak s nevezn, melynek célja, hogy a vzsgált elemeket olyan csoportokba osszuk, ahol az egyes csoportok között maxmáls, míg a csoportokon belül mnmáls a távolság/hasonlóság. A klaszterezés célja, olyan csoportosítások kalakítása, melyek trválsan nem látszanak az alapadatokból és nem használunk előfeltevéseket a csoportok kalakítása során. A klaszterezés feladatban nehézséget jelent az alkalmazandó távolság fogalom kválasztása, a különböző típusú adatok együttes kezelése, és a különböző alakú klaszterek felsmerése. Több, különböző klaszterező módszer létezk, mnt a partconáló, herarchkus, sűrűség-, rács-, modell-alapú módszerek stb. M a két legáltalánosabban elterjedt megközelítést alkalmazzuk, a felosztó és a herarchkus megközelítést. Előbb esetben fontos kérdés a klaszterek számának meghatározása, am a módszer kötelező bemenő paramétere.. ábra. Könyökpont módszer wss <- (nrow(mydata)-)*sum(apply(mydata,,var)) for ( n :5) wss[] <- sum(kmeans(mydata, centers=)$wthnss) plot(:5, wss, type="b", xlab="klaszterek száma", ylab="belső eltérés négyzetösszeg") A könyökpont módszer segítségével vzuálsan becsülhetővé válk az optmáls klaszterszám, amt így már felhasználhatunk, mnt a folyamat bemenő paraméterét. A herarchkus klaszterezés esetében utólagosan defnálható az deáls klaszterszám, amt vzuálsan a pros téglalapok jelölnek (3. ábra). Az eredmények természetesen táblázatos formában s lekérhetőek, ahol mnden sor mellett látható, hogy melyk klaszterbe tartozk.

21 8 Pödör Zoltán 3. ábra. K-means és herarchkus klaszterezés dx <- sample(:dm(rs)[], 40) rssample <- rs[dx,] rssample$speces <- NULL kc <- kmeans(mydata, 3) par(mfrow=c(,)) plot(mydata[,c("sepal.length", "Sepal.Wdth")], col = kc$cluster, man="k-means") ponts(kc$centers[,c("sepal.length", "Sepal.Wdth")], col = :3, pch = 8, cex=) hc <- hclust(dst(rs, method="eucldean"), method="ward") plot(hc, hang = -, labels=rs$speces[dx], man="herarchcal") rect.hclust(hc, k=3, border="red") Osztályozás A klaszterezéssel ellentétben ezt felügyelt tanulásnak nevezzük, mert előre smertek az osztálycímkék, am alapján a csoportok, osztályok kalakításra kerülnek. A rendelkezésre álló adathalmazt felosztjuk egy tanuló és egy valdáló halmazra. A tanuló halmazon hozzuk létre a modellt, melynek jóságát a valdáló halmazon ellenőrzzük. Az osztályozás feladat célja a kalakított és valdált modell alapján előrejelzések készítése. Mnt például előzetes htelbírálat, bank csalások detektálása, weben megjelenő oldalak automatzált besorolása, stb.. A feladat elején defnálnunk kell a függő és magyarázó változókat, utóbbak segítségével fogjuk a függő paraméter értéke alapján osztályozn adatankat. Számtalan osztályozás technka létezk, mnt a döntés-fa, Bayes-alapú, legközelebb szomszéd osztályozók, neuráls hálók, tartóvektor gépek (SVM). A legsmertebb osztályozás módszerre, a döntés-fa alapú osztályozásra mutatunk példát.

22 Az R szoftver alkalmazása az Adatbányászat tárgy oktatásában 9 4. ábra. Osztályozás döntés fa tesztdata<-subset(mydata, row.names(mydata) %n% teszt) tanulodata<-subset(mydata, row.names(mydata) %n% tanulo) dectree<-ctree(speces~sepal.length+sepal.wdth+petal.length+petal.wdth, data=tanulodata) plot(dectree, type="smple", man="döntés fa") Regresszó Az egy-, és többváltozós, lneárs-, és nemlneárs regresszó a statsztka egy jól smert és gyakran alkalmazott módszertana. Segítségével függvény jellegű kapcsolat defnálható a függő és független paraméterek között, am alkalmas a változók között kapcsolatok jellemzésére, előrejelzések készítésére a függő paraméter vonatkozásában. Gyakran alkalmazott technka dősorok esetében a trend, tendenca meghatározásában, adatelőkészítő folyamatban (zajos, hányos adatok kezelése). A nemlneárs regresszó, már egyváltozós esetben s komoly matematka apparátus alkalmazását követel meg (pl. nemlneárs egyenletrendszer megoldása), am többváltozós esetben még tovább bonyolódk, hszen sokszor már az alkalmazandó függvény meghatározása sem könnyű feladat.

23 0 Pödör Zoltán 5. ábra. Regresszós görbe llesztése Két példán keresztül bemutatjuk, hogy mennyre könnyű az R nyelv alkalmazásával elvégezn az llesztéseket, előállítan a modell paraméteret és felhasználn azt az előrejelzésekben. Ugyanakkor mndezt kegészít az a grafkus háttér, am rendkívül szemléletessé tesz a kapott eredményeket, segítve azok könnyebb gyakorlat értelmezését. A vzuáls megjelenítéssel együtt könnyen generálhatóak az llesztett görbét jellemző egyéb paraméterek: regresszós egyenlet, determnácós együttható, rezduálsok, llesztett értékek, előrejelzett értékek. 4. Összefoglaló Az adatbányászat alapjanak smerete elengedhetetlen egy nformatkus végzettségű embernek. Akár par, akár tudományos környezetben olyan mennységű adat generálódk, amnek a hatékony feldolgozása ma már elképzelhetetlen a hagyományos statsztka eszközök mellett adatbányászat megoldások alkalmazása nélkül. Ezek tpkusan olyan megoldások, amelyek ötvözk az nformatkára jellemző algortmkus, és a statsztkára jellemző matematkus gondolkodást. Ahogy bemutattuk, számtalan fzetős és még több nyílt megoldás létezk adatbányászat feladatok megvalósítására. Ezek közül az R szoftvert mutattuk be rövden, nkább csak felvllantva lehetőséget ezen a területen. Ehhez három, az adatbányászatra tpkusan jellemző feladatot választottunk k: klaszterezés, osztályozás és regresszó. Az rs adathalmazon keresztül mutattuk be a lehetőségeket. Irodalomjegyzék [] Bodon F.:, Adatbányászat algortmusok, jegyzet (00). [] Han, J., Camber, M., Data Mnng, Concepts and Technques second edton, Morgan Kaufmann Publshers (006) pp. 77. [3] [4] [5]

24 DIMENZIÓK Matematka Közlemények III. kötet, 05 do:0.03/dm Hőszvattyús fűtés rendszer vzsgálata Borza Sándor, Preklet Edna, Dvós Ferenc NyME SKK Fzka és Elektrotechnka Intézet edna, ÖSSZEFOGLALÓ. A Nyugat-magyarország Egyetem Smony Károly Karán 05- ben egy 8kW-os hőszvattyút helyeztünk üzembe, mely fűtésre és aktív hűtésre egyaránt alkalmas. Egy darab 00 m mély talajszondát telepítettünk a hőszvattyú kszolgálására. Ennek környezetében modelleztük a talaj hőmérsékletének változását végeselem-módszerrel. Eredményenkből az látható, hogy az épület hűtés dőszakában az épületből kvont és a talajba juttatott hőmennység besegít a fűtés rendszer működésébe. Az épületből a nyár dőszakban kvont hőmennység a talajban részben tárolódk, mnek következtében a fűtés dőszak alatt, a talaj hőmérséklete a szondától 0,5m távolságban -4 C-kal magasabb, mnt amlyen a betáplált hőmennység nélkül a talaj hőmérséklete lenne. A magasabb talajhőmérséklet pedg a teljes fűtés dőszakban magasabb hatásfokot eredményez a hőszvattyú működése során. ABSTRACT. An 8 kw heat pump was put nto operaton whch s sutable for both actve heatng and coolng at the Károly Smony Faculty of Unversty of West Hungary n 05. A sngle 00 m deep ground loop serves the heat pump. The long term temperature hstory of the sol around the ground loop was calculated by fnte element method. Based on our results, t appears that the coolng operaton n summer, allocates heat energy n the sol that helps n the heatng perod. Heat energy extracted from the buldng durng the summer s partly stored n the sol, therefore, the temperature of the sol - 0.5m away from the ground loop - s -4 C hgher than t would be wthout the energy nput n summer tme. The elevated temperature of the sol results hgher effcency durng the entre heatng season.. Bevezetés A Föld fosszls energahordozó készletenek kmerülése, lletve a környezetszennyezés csökkentése ránt gény erősödése matt egyre nkább szükségessé válk a megújuló és az alternatív energaforrások felhasználása. A fosszls energahordozók árának emelkedése és a folyamatos fejlesztések eredményeként létrejövő új technológák, melyek egyre hatékonyabbak és ksebb bekerülés költséggel érhetőek el, együttesen a megtérülés dő rövdülését dézk elő. Magyarország klmatkus és földrajz adottsága matt a lehetséges megújuló energaforrások közül a Föld hőjét hasznosító geotermkus energa kaknázásában rejlk a legtöbb lehetőség. Mndezek ellenére hazánk a geotermkus hőszvattyús technológa alkalmazásában elmarad a gazdagabb európa országoktól, melynek oka e rendszerek képítésének vszonylag nagy költsége és hosszú megtérülés deje. Ezen okok matt fontos a geotermkus energa felhasználás lehetőségenek a kutatása, lletve a technológák fejlesztése és a fűtés rendszerek hatásfokának javítása.

25 Borza Sándor Preklet Edna Dvós Ferenc A kutatásunk célja a geotermkus hőszvattyús fűtés rendszerek optmalzálása, olyan módon, hogy a hűtés dőszakban az épületből kvont hőt a talajban tárolva a fűtés szezonban e talajban tárolt hő felhasználásával javítsunk a fűtés hatásfokán. Egy lyen típusú, a talajban tárolt hőt felhasználó rendszer tervezése során elengedhetetlen a szonda és a földtan közeg között hőátadás folyamatok tsztázása, lletve a szondát körülvevő közeg hőmérsékletének számítása. [].. A vzsgált rendszer leírása Kutatásunkban egy NIBE F45-8 EXP típusú 8kW-os talajszondás geotermkus hőszvattyút használunk, mely fűtésre és aktív hűtésre egyaránt alkalmas. Egy darab 00 m mély talajszondát telepítettünk úgy, hogy a szonda környezetében három, egymáshoz vszonyított 0 fokos szögben kjelölt rányokban 60 cm és 0 cm távolságban hőmérőket helyeztünk el. A 6 hőmérő csatorna mélysége 30 m. A 00 mély talaj szonda mellett s helyeztünk el hőmérőket. Háromrétegű tokozással ellátott, saját fejlesztésű, kalbrált kω-os platna termsztorokból készült hőmérőláncankban 74 darab hőmérő 4 m-es kosztásban lett elhelyezve. A regsztrálás automatkusan, 0 percenként történk és az nterneten elérhetők az adtok. 3. A kutatás módszere Bármely tetszőleges közegben, általános esetben, a hő hővezetés, hőáramlás és hősugárzás útján terjedhet. E három hőtranszport folyamatot foglalja össze a hőátadás alapegyenlete, melynek megoldása szolgáltatja az adott elem térfogatcella hőmérsékletének megváltozását. Tranzens esetben az elem térfogatcella hőmennységének megváltozása: T ρ c = ρc v t T x T y T z T x T y T z x + vy + vz + λ Ha tehát smerjük az adott test hőmérséklet eloszlását a t =0 pllanatban (kezdet feltétel), továbbá, a test határfelületén a környezettel való hőkcserélődés mértékét (határfeltétel), akkor ezen egyenlet megoldása szolgáltatja a hőmérséklet eloszlást bármely később dőpllanatban []. A modell készítése során azonban fgyelembe vettük, hogy a fent említett három hőterjedés folyamat közül a hősugárzás a földhőszonda környezetében lévő közeg esetében elhanyagolható a másk két folyamathoz képest. Emellett a vzsgálat tervezésekor feltettük, hogy a földhőszondát a furat teljes hossza mentén agyag vesz körül, mely vízzáró réteget képez a földhőszonda környezetében, ugyans csak ebben az esetben lehetséges az épületből nyáron kvett hőt a földhőszondát körülvevő talajban tároln. Mndez azt jelent, hogyha a földhőszonda környezetében nncs vízáramlás, akkor a hőáramlás s elhanyagolható. Tehát modellünkben a hő a talajban csak hővezetés útján terjed, a másk két hőterjedés folyamatot elhanyagoltuk. Így a talaj hőmérsékletének tér- és dőbel eloszlását az smert Fourer-féle dfferencálegyenlet T T T T = k = k t t + + x y z megoldásából kapjuk. Az egyenletben szereplő k hőmérsékletvezető-képességet a H.

26 Hőszvattyús fűtés rendszer vzsgálata 3 λ k = ρc összefüggésből kapjuk, ahol λ a talaj hővezető-képessége, ρ a talaj sűrűsége és c a talaj fajhője. Ezen mennységek függenek a talaj fajtájától, nedvességtartalmától, ezért az értékek meghatározása csak az adott helyen történő mérésekből lehetséges. A Fourer-féle dfferencál egyenletnek nncs zárt, analtkus megoldása, csak numerkus módszerekkel kaphatunk közelítő megoldást. Az egyk lyen numerkus módszer az ún. véges elem módszer. Ezt a módszert használva, az Ansys program segítségével modelleztük a talaj hőmérsékletének térbel és dőbel változásat. A későbbekben a kdolgozott modelleket egyre nkább közelítjük a valóságoshoz, és az adott talaj geotermkus paraméterenek mérése után modellezzük a talaj hőmérsékletének változását. 4. Az eredmények leírása A földhőszonda és a talaj között hőátadást a furat felületén átáramló hő fluxusának segítségével modelleztük. A hőszvattyú által a fűtés dőszakban a talajból kvont, lletve a hűtés dőszakban a talajba betáplált valóságos hőteljesítményt a külső átlaghőmérséklet szezonáls változásának segítségével közelítettük, mvel a hőszvattyú által a talajból kvont, lletve a talajba betáplált hő egyértelműen kapcsolatba hozható a külső átlaghőmérséklettel. A pontosabb összefüggés meghatározásához a későbbekben fel kívánjuk használn a mérés eredményeket, am legalább fűtés-hűtés cklus mérése után lehetséges. Az. ábrán jól látható, hogy modellünkben az épület hűtés szezonjának kezdetén, az első 30 napban a talajba betáplált hőenerga, lletve a hőteljesítmény lneársan növekszk. Ezután 60 napg a hőszvattyú maxmáls teljesítménnyel működk, majd a hűtés dőszak végén a teljesítmény lneársan csökken. A következő 30 napban, az átmenet dőszakban a hőszvattyú nem vesz fel és nem s táplál be hőenergát a talajba. Majd az épület fűtés szezonjának kezdetén a hőszvattyú által a talajból kvett hőenerga 60 napg lneársan növekszk, míg el nem ér a maxmáls teljesítményét. Ezután újabb 60 napg a hőszvattyú maxmáls teljesítménnyel üzemel, majd a fűtés dőszak végén a teljesítménye 60 nap alatt nullára csökken le. Ezután egy újabb 30 napos átmenet dőszakkal zárul az éves cklus, amely dőszakban nncs a hőszvattyú és a talaj között semmlyen hőcsere folyamat.. ábra: A két különböző cklus talajhőmérsékletének összehasonlítása

27 4 Borza Sándor Preklet Edna Dvós Ferenc A talaj geotermkus gradensét a modell ezen verzójában nem vettük fgyelembe, a talaj kezdet hőmérsékletét mnden csomópontban C-nak vettük. Nem vettük továbbá fgyelembe, hogy a földhőszonda csövében kerngő folyadék hőmérséklete a vsszatérő ágban alacsonyabb, mnt az előremenő ágban. Ennek következtében a talaj hőmérséklet térbel eloszlásának hengerszmmetrája a valóságban nem valósul meg, mert a vsszatérő ág oldalán a talaj hőmérséklete alacsonyabb, mnt az előremenő ág oldalán. A két ágban áramló folyadék hőmérsékletének különbsége a furatban lefelé haladva egyre csökken, tehát lefelé haladva a földhőszonda két oldalán a talaj hőmérsékletének különbsége s egyre ksebb lesz. Mndezek együttesen azt eredményezk, hogy a fűtés dőszakban a talajból a hőelvonás a vsszatérő ág legfelső pontján lesz a legnagyobb, mert tt a legksebb a hőszvattyúból vsszatérő folyadék hőmérséklete. Ugyanezen ok matt az előremenő ág legfelső pontján lesz a legkevesebb a hőelvonás, mert a csőben kerngő folyadék hőmérséklete s tt lesz a legmagasabb. A jövőben megvalósulhat a mérés eredményenk felhasználása, hszen az adatokból következtethetünk a talaj adott rétegéből történő hőelvonás mértékére, melynek segítségével modellezhetővé válk a földhőszonda hengerének palástján az adott rétegben átáramló hőfluxus. A kutatás jelenleg stádumában első közelítésként a földhőszonda hengerének felületén átáramló hőfluxust mndenhol egységesnek vettük. Modellünkben a földhőszonda környezetében a talaj hőmérsékletét egy r = 0 m sugarú, h = 0 m magasságú hengerben vzsgáltuk. Ennek a hengernek a tengelyében a földhőszondát egy d = 30 cm átmérőjű, hsz = 00 m magasságú hengerrel modelleztük, mely henger falan keresztül áramlk a hő a talaj és a földhőszonda között. A véges elem felbontás során a modellünkben ezt a hengert osztottuk fel darab elemre, mely elemek 886 darab csomópontban kapcsolódnak egymáshoz. Modellünkben a földhőszonda körül talaj hálózása után a csomópontok sűrűsége a földhőszonda környezetében sokkal nagyobb, mnt a földhőszondától nagyobb távolságban, mvel a hőáram fluxusa s tt a legnagyobb, ezért a hőmérséklet változás s ebben a tartományban lesz a leggyorsabb és a legnagyobb. A modellben fgyelembe vett talaj sűrűség 750 kg/m 3, fajlagos hőkapactás 879 J/(kg C), hővezetés tényező,8 W/(m K), a talajban lévő vízmozgást nem vettünk fgyelembe. Modellünket hosszú dősoron, egy éves (360 napos) ntervallumban, lletve az összehasonlítás céljából csak a fűtés dőszakot tartalmazó, féléves (80 napos) ntervallumban futtattuk le az Ansys program segítségével. 5. Következtetések Azt a megállapítást tehetjük, hogy azon fentebb említett feltételek teljesülése esetén, melyeket a modell alkotása közben alkalmaztunk, az épület hűtés dőszakában az épületből kvont és a talajba juttatott hőmennység segíthet a fűtés rendszer optamlázálásában. Az épületből a nyár dőszakban kvont hőmennység lyen feltételek teljesülése esetén a talajban tárolódk, mnek következtében a fűtés dőszak kezdetén, sőt a teljes fűtés dőszak alatt, a talaj hőmérséklete magasabb, mnt amlyen a betáplált hőmennység nélkül a talaj hőmérséklete lenne. A nagyobb hőfok különbség pedg a teljes fűtés dőszakban magasabb hatásfokot eredményez a hőszvattyú működése során. Irodalomjegyzék [] Tar Cs., Földhőszondás hőszvattyús rendszerek prmer oldal hőtranszport folyamatanak vzsgálata numerkus modellezéssel, Doktor (Ph.D) értekezés, Szeged Tudományegyetem (0). [] R. Al-Khoury, P. G. Booner, R. B. J. Brnkgreve, Effcent fnte element formulaton for geothermal heatng systems. Part I: Steady state. Internatonal Journal for numercal methods n engneerng, 64, (005), (do:

28 DIMENZIÓK 5 Matematka Közlemények III. kötet, 05 do:0.03/dm Időjárás elemzés regresszós eljárás alkalmazásával Csanády Vktóra NyME, EMK Matematka Intézet csanady.vktora@emk.nyme.hu ÖSSZEFOGLALÓ. Napjank egyk legégetőbb és egyben legfontosabb kutatás témája a klímaváltozás. Számos vélemény, kutatás eredmény lát napvlágot e témában, melyek gyakran bonyolult meteorológa modellek alkalmazásaból számítottak. Az alábbakban tényleges mért hőmérséklet adatok kelemzésére kerül sor egyváltozós regresszós modellek által, melyek paramétere fzkalag jól értelmezhetők. Az alkalmazott modellek lehetőséget adnak éves hőmérséklet adatok összehasonlítására, alapvető különbségek kmutatására. ABSTRACT. Temperature data wll be analysed by unvarate regresson models. The parameters of models can be nterpreted well physcally. Appled models allow comparson of annual temperature data.. Bevezetés Ismert tény, hogy az utóbb évtzedekben számos alkalommal voltak megfgyelhetők dőjárás anomálák, melyek gyakorsága növekvő tendencát mutat, szélsőségességük mértéke pedg növekszk. Ezen tények smeretében felmerült a kérdés, mként mutathatók k egyszerűbb matematka statsztka vzsgálatok alkalmazása révén a különbségek, és ezek mlyen paraméterekkel jellemezhetők.. Anyag és módszer A vzsgálat tárgyát 3 esztendő, nevezetesen a 0, 03 és 04. év Budapesten mért hőmérséklet adatok jelentették. A vzsgálathoz felhasználásra került a nap maxmáls, nap mnmáls hőmérséklet, valamnt az ezen értékekből képzett maxmum-mnmum hőmérséklet érték különbsége, vagys a nap hőmérséklet dfferenca. Az éves adatsorok összehasonlításra alkalmas elemzése, a vzuáls lehetőség khasználása érdekében s, regresszós eljárással történt, megfelelő függvény kválasztásával. 3. Eredmények kértékelése 3.. Kezdő vzsgálat A rendelkezésre álló adatok jellegének áttekntése alapján a kválasztandó függvénynek rendelkezne kell maxmummal, a közelítő szmmetra matt két nflexós ponttal, és szükséges, hogy felülről és alulról s korlátos legyen. Ezen túlmenően paramétere legyenek közvetlenül értelmezhetők, és darabszámuk mnél több közvetlen vagy közvetett nformácót adjon.

29 6 Csanády Vktóra Ezek alapján közelítő "Gauss-görbe" látszk szükségesnek, mnek megfelelően az alább két függvényalak alkalmazható. A függvény görbület jellege állandó a -es hatványktevő matt:. var=b3/exp(b*(var-*b)^)+b0. A függvény görbület jellege változó a b hatványktevő matt:. var=b4/exp((b3*(abs(var-*b)))^b)+b0. Mndkét függvény függőlegesen és vízszntesen nyújtott és eltolt a szükségnek megfelelően, és paramétereről közvetlenül leolvasható a felső és alsó korlát, a maxmum helye és értéke, és a. függvénynél a görbület jellege. A megadott adatsorokon történt alkalmazás során pedg egyértelműen kderült, hogy a. függvény llesztésénél mnden esetben a kapott korrelácós együttható (R) jobb, mnt az. függvénynél, ezért a. függvény alkalmazására került sor. A számított eredményeket és értékeket az alább táblázatok és grafkonok mutatják. Model: var8=b4/exp((b3*(abs(var-*b)))^b)+b0 (0hő) Dep. var: VAR8 Loss: (OBS-PRED)** Fnal loss: 34, R=,8398 Varance explaned: 70,43% N=365 b4 b3 b b b0 Estmate 7, , ,40 4, , táblázat: Hőmérséklet dfferenca 0 Model: var5=b4/exp((b3*(abs(var-*b)))^b)+b0 (0hő) Dep. var: VAR5 Loss: (OBS-PRED)** Fnal loss: 6686,86477 R=,9447 Varance explaned: 85,464% N=365 b4 b3 b b b0 Estmate 8, , ,77 3,3500-0, táblázat: Hőmérséklet maxmum 0 Model: var6=b4/exp((b3*(abs(var-*b)))^b)+b0 (0hő) Dep. var: VAR6 Loss: (OBS-PRED)** Fnal loss: 506, R=,89887 Varance explaned: 80,797% N=365 b4 b3 b b b0 Estmate,765 0, ,47, , táblázat: Hőmérséklet mnmum a 0

30 Időjárás elemzés regresszós eljárás alkalmazásával 7 0 Model: v ar8=b4/exp((b3*(abs(v ar-*b)))^b)+b0 y =(7,8638)/exp(((0, )*(abs(x-*(8,4))))^(4,335))+(3,89496) V A R VAR. ábra: Hőmérséklet dfferenca 0 40 Model: v ar5=b4/exp((b3*(abs(v ar-*b)))^b)+b0 y =(8,5069)/exp(((0,00840)*(abs(x-*(97,77))))^(3,35))+(-0,493745) VAR VAR. ábra: Hőmérséklet maxmum 0

31 8 Csanády Vktóra 5 Model: v ar6=b4/exp((b3*(abs(v ar-*b)))^b)+b0 y =(,76)/exp(((0, )*(abs(x-*(04,47))))^(,89758))+(-4,757) VAR VAR 3. ábra: Hőmérséklet mnmum 0 Model: var8=b4/exp((b3*(abs(var-*b)))^b)+b0 (03hő) Dep. var: VAR8 Loss: (OBS-PRED)** Fnal loss: 980, R=,8499 Varance explaned: 7,36% N=36 b4 b3 b b b0 Estmate 5,0965 0, ,938, , táblázat: Hőmérséklet dfferenca 03 Model: var5=b4/exp((b3*(abs(var-*b)))^b)+b0 (03hő) Dep. var: VAR5 Loss: (OBS-PRED)** Fnal loss: 686,6550 R=,9966 Varance explaned: 84,577% N=36 b4 b3 b b b0 Estmate 35,505 0, ,84,8748-3, táblázat: Hőmérséklet maxmum 03 Model: var6=b4/exp((b3*(abs(var-*b)))^b)+b0 (03hő) Dep. var: VAR6 Loss: (OBS-PRED)** Fnal loss: 4043,9033 R=,8875 Varance explaned: 78,769% N=36 b4 b3 b b b0 Estmate 0,3940 0, ,7588,6833-4, táblázat: Hőmérséklet mnmum 03

32 Időjárás elemzés regresszós eljárás alkalmazásával 9 Model: v ar8=b4/exp((b3*(abs(v ar-*b)))^b)+b0 y =(5,096)/exp(((0, )*(abs(x-*(04,93))))^(,40538))+(0,368664) VAR VAR 4. ábra: Hőmérséklet dfferenca Model: v ar5=b4/exp((b3*(abs(v ar-*b)))^b)+b0 y =(35,505)/exp(((0,007973)*(abs(x-*(03,8))))^(,875))+(-3,97838) VAR VAR 5. ábra: Hőmérséklet maxmum 03

33 30 Csanády Vktóra 5 Model: v ar6=b4/exp((b3*(abs(v ar-*b)))^b)+b0 y =(0,394)/exp(((0,008676)*(abs(x-*(03,759))))^(,683))+(-4,9048) 0 5 VAR VAR 6. ábra: Hőmérséklet mnmum 03 Model: var8=b4/exp((b3*(abs(var-*b)))^b)+b0 (04hő) Dep. var: VAR8 Loss: (OBS-PRED)** Fnal loss: 678,77747 R=,85303 Varance explaned: 7,766% N=365 b4 b3 b b b0 Estmate 0, , ,346,390 4, táblázat: Hőmérséklet dfferenca 04 Model: var5=b4/exp((b3*(abs(var-*b)))^b)+b0 (04hő) Dep. var: VAR5 Loss: (OBS-PRED)** Fnal loss: 5707, R=,956 Varance explaned: 83,77% N=365 b4 b3 b b b0 Estmate 9,730 0, ,80,46 0, táblázat: Hőmérséklet maxmum 04 Model: var6=b4/exp((b3*(abs(var-*b)))^b)+b0 (04hő) Dep. var: VAR6 Loss: (OBS-PRED)** Fnal loss: 3768,44768 R=,86875 Varance explaned: 75,473% N=365 b4 b3 b b b0 Estmate 7, ,008 99,9433,5050 -, táblázat: Hőmérséklet mnmum 04

34 Időjárás elemzés regresszós eljárás alkalmazásával 3 Model: v ar8=b4/exp((b3*(abs(v ar-*b)))^b)+b0 y =(0,3077)/exp(((0,00907)*(abs(x-*(77,343))))^(,39))+(4,36077) VAR VAR 7. ábra: Hőmérséklet dfferenca Model: v ar5=b4/exp((b3*(abs(v ar-*b)))^b)+b0 y =(9,73)/exp(((0, )*(abs(x-*(9,8))))^(,46))+(0,460) VAR VAR 8. ábra: Hőmérséklet maxmum 04

35 3 Csanády Vktóra 5 Model: v ar6=b4/exp((b3*(abs(v ar-*b)))^b)+b0 y =(7,9387)/exp(((0,008053)*(abs(x-*(99,943))))^(,505))+(-,8459) VAR VAR 9. ábra: Hőmérséklet mnmum 04 Y Functon Plot y0 = (7,8638)/exp(((0, )*(abs(x-*(8,4))))^(4,335))+(3,89496) y03 = (5,096)/exp(((0, )*(abs(x-*(04,93))))^(,40538))+(0,368664) y04 = (0,3077)/exp(((0,00907)*(abs(x-*(77,343))))^(,39))+(4,36077) y0 = 0,76 y03 = 4,47 y04 = 3, X ábra: A három év összehasonlító grafkonja a hőmérséklet dfferencák menetére nézve, a nyert függvényalakokkal.

36 Időjárás elemzés regresszós eljárás alkalmazásával 33 Functon Plot y0 = (8,5069)/exp(((0,00840)*(abs(x-*(97,77))))^(3,35))+(-0,493745) y03 = (35,505)/exp(((0,007973)*(abs(x-*(03,8))))^(,875))+(-3,97838) y04 = (9,73)/exp(((0, )*(abs(x-*(9,8))))^(,46))+(0,460) y0 = 7,0 y03 = 30,53 y04 = 9,5 Y X ábra: A három év összehasonlító grafkonja a hőmérséklet maxmumok menetére nézve, a nyert függvényalakokkal. 3.. Értékelés és elemzés Az alkalmazott függvényalak paraméterenek értelmezése az alább: b 4+ b0 legnagyobb y érték, b 0 legksebb y érték, b legnagyobb y-hoz tartozó x, b göbealakot meghatározó érték. b = esetén normál alak, ha b < hegyesedő, ha b > laposodó az alak. Az / b értéke a megfelelő llesztéshez tartozó vízszntes nyújtást kfejező mérték. A regresszós eljárással nyert görbék közül a hőmérsékletmaxmum menetét mutatók korrelácós együttható átlaga a legnagyobb R=0,9, a hőmérsékletmnmumra vonatkozóké R=0,88, a hőmérsékletdfferencára vonatkozóké R=0,84. A könnyebb és gyorsabb értékelhetőség, összehasonlíthatóság és eltérés kmutathatóság érdekében az alapvető adatok bemutatására az alább táblázatban kerül sor, feltüntetve a görbemaxmumtól lefelé legfeljebb C o -kal eltérő tartományokat s, mely számértékek természetesen a regresszóval nyert függvénygörbék megfelelően kerekített paramétere. A táblázat rövdítése a következők: t(max)= az év hőmérsékletmaxmumához tartozó dőpont az év elejétől számolt napokban. h (max)= az év hőmérsékletmaxmuma celzusz fokokban. k (max)= az év hőmérsékletmaxmum felső tartománya napokban celzusz fok lefelé eltérés fgyelembevételével. td (max) = az év hőmérsékletdfferenca maxmumához tartozó dőpont az év elejétől számolt napokban. hd (max)= az év hőmérsékletdfferenca maxmuma celzusz fokokban. kd (max)= az év hőmérsékletdfferenca maxmum tartománya napokban celzusz fok lefelé eltérés fegyelembevételével.

37 34 Csanády Vktóra év t(max) h(max) k(max) R b td(max) hd(max) kd(max R b 98 8,0 86 0,94 3,3 8, ,839 4,3 04 3,5 36 0,90, , ,850, ,5 57 0,95,5 77 4,67 8 0,853,3 0. táblázat: Összefoglaló táblázat 4. KÖVETKEZTETÉS A regresszóval nyert görbék összefoglaló ábrát (0. és. ábra) s értékelve, a táblázat adatat statsztka jelleggel elemezve a következő megállapítások tehetők. A 04-es év nap hőmérsékletmaxmumot és nap hőmérsékletdfferencát mutató görbealakja áll legközelebb a Gauss görbéhez a b=,5 ll.,3 érték matt, ezért ezen év hőmérséklet menete statsztka értelemben normálsnak teknthető. A 0-es év nap hőmérsékletmaxmum felső tartománya k(max)=86 nap, nap hőmérsékletdfferenca maxmum tartománya kd(max)=56 nap, am a b=3,3 ll. 4,3 értékkel együtt azt jelz, hogy ezen évben eltérően hosszú deg volt statsztkalag nyár évszak. A 03-as évben az előző évhez képest a k(max)=36 nap, a kd(max)=40 nap rövd dejű volt b=,83 ll.,40 érték mellett, am egyértelműen mutatja, hogy a tavasz, nyár és ősz évszak gyorsan változó jelleggel rendelkezett. Ugyanekkor a kemelkedően magas h(max)=3,5 C o, és hd(max)=5,47 C o dőkéséssel t(max)=04-dk nap, td(max)=05- dk nap jelent meg. A vzsgált három év dőbel hőmérsékletérték változás menete különböző, vszonyítás alapnak a nyert paraméterek alapján a 04-es év rendje teknthető. A 0-es és 03- as év értéke vszont jelzk, hogy a klímaváltozás elemzéséhez érdemes még néhány éves dőszak adatanak megfelelő módszerrel való feldolgozását s elvégezn. A felsoroltak és bemutatottak alapján megállapítható, hogy a regresszós eljáráshoz alkalmazott egyedleg szerkesztett függvény jól értékelhető paramétereket szolgáltat meteorológa adatok feldolgozásához és elemzéséhez. Irodalomjegyzék [] Csanády V.: Számítógépekre konvertált nem hagyományos regresszós eljárások fapar erdészet kutatás és műszak problémákhoz. Műszak doktor értekezés, Sopron, EFE, (993). [] Orbay L.: A többváltozós regresszószámítások alapja és fagazdaság alkalmazása, EFE, Sopron, (990). [3] D. R. Pelz, : Enführung n de bologsche Statstk für Forststudenten. Tel II.Freburg, (989).

38 DIMENZIÓK 35 Matematka Közlemények III. kötet, 05 do:0.03/dm Az alkalmazott matematka tantárgy oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernzálása az MSc képzésében Horváth-Szovát Erka NyME EMK Matematka Intézet ÖSSZEFOGLALÓ. A matematka oktatás modernzálása a felsőoktatásban nagyon dőszerű. A matematka jelölésrendszer elsajátítása, a matematka gondolkodásmód kalakítása és a problémamegoldó készség fejlesztése a legfontosabb cél. ABSTRACT. The modernzaton of mathematcs teachng n hgher educaton s very tmely. The notaton used n mathematcs to learn, develop problem-solvng sklls and the development of mathematcal thnkng s the most mportant goal.. Bevezetés Egyre több felsőoktatás ntézmény oktatóban merül fel az a gondolat, hogy az egyetem hallgatókat nem lehet a hagyományos módszerekkel tanítan. A 0-0 évvel ezelőtt használt oktatás módszerek (a tételek, bzonyítások vzsgán történő szgorú számonkérése, szóbel vzsgáztatás, stb.) válságban vannak. Sokszor szembesülünk a rég módszerek negatív következményevel. Ilyen például az, hogy a dákokban kalakult tudás nem valód, hanem látszólagos, azaz nem megérten próbálják az anyagot, hanem csupán értés nélkül memorzáln, és a későbbekben az smereteket nem képesek önállóan alkalmazn. Egyre többen értünk egyet abban, hogy oktatás-módszertan megújulásra van szükség a felsőoktatásban. A mesterképzés a ma formájában a 009/0-es tanévben ndult, a Nyugatmagyarország Egyetem EMK és SKK karan az alkalmazott matematka tárgy oktatását a másodk évtől, a 00/-es tanévtől kezdve vettem át nyugdíjba vonult kollégáktól. A tantárgy program kdolgozása elődem munkája, de jelenleg tantárgyfelelősként az oktatás módszertanát és a vzsgáztatás rendszerét véleményem szernt a ma kor elvárásahoz jobban gazodva megváltoztattam. Ebben a ckkben az azóta összegyűjtött tapasztalatamat szeretném összegezn.. A matematka oktatás során felmerülő általános problémák Az MSc-s hallgatók matematka alapsmerete más egyetemek oktatónak véleménye alapján s sok esetben hányosak. Ennek többféle oka lehet. Egyrészt a mesterképzés hallgató sokféle főskola, egyetem előélettel rendelkeznek, ematt a BSc képzésben nem teljesen ugyanazt a tananyagot és nem ugyanakkora óraszámban tanulták. Másrészt a BSc- MSc rendszer különbözet vzsgákkal ugyan, de meglehetősen nagy átjárhatóságot bztosít az egyes szakok között. Például környezetmérnök MSc szakon találkozhatunk olyan hallgatóval s, ak a BSc dplomáját földrajz vagy bológa tanár szakon szerezte, ematt az alapképzésben sokkal kevesebb matematkát tanult, mnt a mérnökhallgatók. A matematka

39 36 Horváth-Szovát Erka hányosságok egy másk oka az, hogy az utóbb 0-0 évben a felsőoktatás bemenet oldalát nézve két nagy változást történt: tömegessé vált a felsőoktatás (ez a folyamat már a 90-es években megndult), lletve a 004/05-ös tanévben bevezették a kétszntű érettségt. Az általunk jelenleg oktatott hallgatók közül kevesen érettségztek emelt sznten valamlyen tárgyból, matematkából pedg sznte senk sem. Az Oktatás Hvatal honlapján közzétett prezentácókat (. ábra) elemezve egyértelműen látszk, hogy a kétszntű érettség bevezetésétől függetlenül matematkából mnden évben gyengébb eredmények születnek a több tárgyhoz vszonyítva. Tehát a kétszntű érettség bevezetése látszólag nem okozott változást. Az azonban észrevehető, hogy a kétszntű érettség középsznten az elégségesek relatív gyakorságát kssé növelte és közepesekét csökkentette, továbbá kevesebb a jeles, mnt a kétszntű érettség bevezetése előtt volt. Az utolsó öt év adata alapján azt mondhatjuk, hogy napjankban a dákok kb. 70%-a legfeljebb közepes osztályzatot szerez a középszntű érettségn, és a m egyetemünkre jelentkezők legnagyobb része feltehetőleg közéjük tartozk. Jegyeloszlás összes tárgy (átlag) Jegyeloszlás összes tárgy középsznt % 30% 0% 0% 0% 0% 0% % % 30% 0% Jegyeloszlás matematka (átlag) 50% 40% 30% 0% Jegyeloszlás matematka középsznt % 0% 0% % ábra. Az érettség jegyek eloszlása a kétszntű érettség bevezetése előtt és 0-5-ben Az elégségesek számának emelkedése különösen elgondolkodtató, mert a középszntű matematka érettség jegyek nem ugyanazt a tartalmat tükrözk, mnt a korábbak. A középszntű matematka érettségből kkerültek a bzonyítások és a komplex feladatok. Ez azért sajnálatos, mert meggyőződésem szernt a matematkaoktatás egyk célja egy specáls gondolkodásmód kalakítása, a logka fejlesztése. Több mnt 0 éves érettség elnök tapasztalattal rendelkezem a középszntű érettségken. Ennek során lehetőségem van a legkülönfélébb középskolák matematka szakos tanáranak véleményét megsmern. Legtöbben egyetértenek abban, hogy a bzonyítások, lletve a vszonylag komplexebb feladatok hánya megváltoztatta a matematka középsznten történő oktatását. Gyakorlatlag a szaktanárokon múlk, hogy bzonyításokat, gondolkodásra serkentő, összetettebb feladatokat mlyen mértékben tanítanak, lletve mlyen (általában elem) sznten kérk ezeket számon.

40 Az alkalmazott matematka tantárgy oktatásának sokszínűsége 37 Tehát az alapképzésekbe belépő hallgatók valószínűleg nem rendelkeznek olyan fokú problémafelsmerő, problémamegoldó készségekkel, mnt elődek. Összefoglalva: a matematkaoktatásnak, sőt az egész felsőoktatásnak valamlyen oktatásmódszertan megújulásra van szüksége, mvel úgy tűnk egyrészt az eddg módszerekkel látszólagos tudást szereztek a hallgatók, másrészt elmaradás tapasztalható a korábban megszokott gondolkodásmódban, problémamegoldó készségekben. A megújulás azt jelent, hogy a korább tematkákat át kell tekntenünk például abból a szempontból, hogy. m a kmenet követelmény (kket képzünk),. m a matematka oktatásának célja, 3. mlyen matematka tudásbázsra építhetünk, 4. amt tanítan próbálunk, az mennyre áll közel a gyakorlat élethez, 5. mt és mlyen mélységben oktassunk, 6. hogyan vélekednek a hallgatók a matematkaoktatásról. 3. Az alkalmazott matematka oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernzálása a NyME EMK és SKK Karan MSc képzésben 3.. A matematka oktatás célja A felsőfokú matematka műveltség manapság egyre szélesebb körben hasznosítható. A szerteágazó matematka alkalmazások szükségessé teszk, hogy a mérnökhallgatók azok s, akk nem műszak, hanem agrár, vagy egyéb szakterületre készülnek olyan matematka alapműveltségre tegyenek szert, amelynek segítségével a később pályájuk során előforduló matematka problémákat megértk, és egyedül, vagy ksebb segítséggel meg tudják oldan. Fontos célunk az alapos, alkalmazható, művelhető matematka tudomány átadása. Szeretnénk a hallgatókkal megsmertetn a matematka jelölésrendszerét, a felsőbb matematka eszköztárát, a leggyakrabban előforduló gyakorlat módszereket a különböző témakörökben (egy- és többváltozós függvénytan, lneárs algebra, valószínűségszámítás és statsztka). A pac a végzett hallgatóktól azt várja el, hogy olyan szakemberek legyenek, akk. felsmerk a vzsgálandó probléma esetleges matematka vonatkozásat,. azt le tudják fordítan a matematka nyelvezetére, 3. k tudják választan (esetleg segítséggel) a megoldáshoz szükséges matematka módszert, 4. azt végre tudják hajtan (vagy ha a megoldásban segítséget kérnek, akkor a megoldás menetét legalább vázlatosan képesek megérten), 5. a kapott megoldást tudják értelmezn, 6. az eredményeket vssza tudják fordítan a szakterületük nyelvezetére, 7. más területeken s jó problémamegoldó képességgel rendelkeznek (ez a matematka tanulás egy fontos poztív hozadéka). A hallgatóknak az egyetem felé rányuló két legfőbb elvárása az, hogy. a megszerzett tudás a gyakorlatban alkalmazható legyen, és. a vzsgát skeresen teljesítsék. A hallgatók első elvárásának nagyon nehéz megfelelnünk, mert a matematkának az ő szakterületükön történő gyakorlat alkalmazhatóságát sajnos sokszor megkérdőjelezk. Nem látják be, hogy a matematka gondolkodásmód kalakulása a problémamegoldó készséget más területeken s javítja. Ezt m, oktatók a matematka tájékozatlanságukkal, a tárgy ránt

41 38 Horváth-Szovát Erka legtöbbször a kudarcokból fakadó ellenérzésekkel magyarázzuk. A hallgatók, mnt vevők jogosan várnak el a tanulással, a tananyaggal, mnt termékkel kapcsolatos mnden segítséget, azaz szolgáltatást. Ebben a felfogásban az oktató szerepe megváltozk. Az oktató közvetítő szerepet tölt be a hallgatók és a pac között. Meg kell találna az elmélet és a gyakorlat helyes arányát, meg kell tudna határozn tudományterületének azon elemet, lletve ezen elemek olyan formát, amelyek a gyakorlatban legnkább hasznosíthatók. Az oktatás tárgyának, formájának és mélységének dlemmá nem csak a matematkaoktatás sajátossága. Valószínűleg ezekkel a problémákkal bármely tantárgy, lletetve tantárgycsoport szembekerült, vagy szembe fog kerüln. Azonban látható, hogy ha bármely tantárgy esetében változtatást vezetünk be, az khathat más tantárgyak oktatására s, ezért amkor a matematkaoktatás átalakításáról beszélünk, arról s beszélnünk kell, hogy a több tantárgy oktatását mként alakítsuk át. Nylvánvalóan ezeknek a kérdéseknek a megoldásához az egyes szakmacsoportok jelenleg még eset jellegű párbeszéde s szükséges. 3.. Az alkalmazott matematka oktatásának sokszínűsége MSc képzésben alkalmazott matematka tárgyból mnd a két karon folyk oktatás, a tananyagban, az óraszámokban, valamnt a követelményrendszerben eltérések vannak (. és. táblázat). Van képzés nappal és levelező tagozaton s, szntén nagyon eltérő óraszámokban. Érdekesség, hogy a könnyűpar mérnök képzést az Óbuda Egyetem és a Nyugatmagyarország Egyetem közösen végz. A hallgatók az első évben döntően Sopronban, a másodk évben Budapesten tanulnak. Az alaptárgyak oktatása Sopronban, a szakma tárgyak oktatása Budapesten történk. A papírfeldolgozó szakrány hallgató a szakma tárgyak jelentős részét s Sopronban hallgatják. A hallgató létszámok egyetemünkön az MSc képzésekben nagyon kcsk, az egyetem honlapján érdeklődők s olvashatják, hogy ks létszámú évfolyamankon több dő jut Önre, személyes kapcsolata lehet az oktatóval. A. ábrán látható az utolsó öt tanévben (00/- től 04/5-g) a hallgatók összlétszáma a három fő képzés területen (egy tanévre összegezve az adott szakrányban, a két szemeszterben összesen oktatott nappal és levelező tagozatos hallgatók számát). kar kód szakrány képzés SKK EMK FFNMAT N0,N FFLMAT L0, L FKNMAT N0,N FKLMAT L0,L EG67-CAA00 N0,N EG67-CAA00 L0,L fapar mérnök, par terméktervező mérnök fapar mérnök, par terméktervező mérnök óraszám (ea+gyak) vzsga évköz jegy kredt nappal het + v 6 levelező félév + v 6 könnyűpar mérnök nappal het + v 6 könnyűpar mérnök levelező félév 5+0 v 6 környezetmérnök, környezettudomány szak környezetmérnök, környezettudomány szak nappal het + é 3 levelező félév 6+3 é 3. táblázat. Az alkalmazott matematka tantárgy óraszáma az egyes képzésekben

42 Az alkalmazott matematka tantárgy oktatásának sokszínűsége 39 hét SKK ea+gyak/hét EMK ea+ gyak/hét. Dfferencálegyenlettel megoldható szöveges u.a. feladatok (ugyanaz, kevésbé részletesen). Állandó együtthatós másodrendű lneárs dfferencálegyenlet megoldása u.a. (konstasnsvarálás és próbafüggvény módszere) 3. Dfferencálegyenletek megoldása sorbafejtéssel u.a. 4. Többváltozós függvények (kemelten a három és több változós függvények) u.a. 5. Lokáls szélsőérték (Hesse-féle mátrx), feltételes szélsőérték u.a. 6. Abszolút szélsőérték u.a. Zárthely az -6. hét anyagából. Zárthely az -6. hét anyagából. 7. Kétváltozós függvények ntegrálása (BSc anyag Két- és háromváltozós függvények smétlése, új anyag: nem orgó középpontú ntegrálása (BSc anyag smétlése, új körrel kapcsolatos tartományok) anyag: hengerkoordnáták) Kétváltozós függvények ntegrálásának folytatása (poláregyenletekkel felírható tartományok, ellpszs tartomány) Háromváltozós függvények ntegrálása (BSc anyag smétlése, új anyag: hengerkoordnáták) Az ntegrálás alkalmazása (térfogat, tömeg, tömegközéppont, felszín) Vektor-skalár függvények (csavarvonal), vektor-vektor függvények, dvergenca, rotácó, gradens, nabla operátor, Laplace operátor, vonalntegrál Statsztka alapfogalmak smétlése, a döntéselmélet alapja 0. Háromváltozós függvények ntegrálásának folytatása (ellpszod tartomány). Az ntegrálás alkalmazása (térfogat, tömeg, tömegközéppont, felszín) Regresszószámítás Vektor-skalár függvények (csavarvonal. egyenletének felírása), vektor-vektor függvények, dvergenca, rotácó, gradens, Varancaanalízs nabla operátor, Laplace operátor, vonalntegrál 3. Zárthely a 7-. hét anyagából Zárthely a 7-. hét anyagából 4. Pótló (javító) zárthely Pótló (javító) zárthely. táblázat. Az alkalmazott matematka tananyag het lebontásban / 0/ 0/3 03/4 04/5 fapar mérnök és par terméktervező mérnök könnyűpar mérnök környezetmérnök és környezettudomány szakos. ábra. Az MSc képzésben alkalmazott matematkát hallgatók száma az egyes tanévekben

43 40 Horváth-Szovát Erka 3.3. Az alkalmazott matematka oktatás módszertanának és a vzsgáztatás rendszerének modernzálása Az alkalmazott matematka tantárgy oktatásának során a cél a matematka jelölésrendszerének helyes használata, és az alkalmazást helyezzük előtérbe a mély matematka háttérösszefüggések megértése helyett. Az előadásanyagokból PPT készült, amelyen az alapvető tételek, lletve a témákhoz kapcsolódó feladatok és nagyszámú ház feladat szerepel végeredménnyel. Ezt a hallgatók a félév első óráján megkapják, így óra alatt csak a feladatok megoldásának menetét kell a tábláról leírn. A hányzók s pontosan tudják, hogy m a het tananyag. Nem kell memorzáln képleteket, a zárthelyk és a vzsga során használható képletgyűjtemény. A környezetmérnök és környezettudomány szakos levelezős hallgatók kvételével mnden hallgató a félév során két zárthelyt ír. A kvételt képző levelezős kurzus számára három konzultácó van (mndegyk konzultácón előadás és gyakorlat). Az első tanévekben egy pótalkalom bellesztésével lehetőségem volt két zárthely íratására, ez azonban nylván csak a hallgatók beleegyezésével volt lehetséges. Egyre gyakrabban előfordul, hogy munkahely kötöttségekre, utazással kapcsolatos anyag terhekre és egyéb dolgokra hvatkozva a pótalkalmat nem szavazza meg a csoport, lyenkor egyetlen összevont zárthelyt írnak a harmadk alkalommal. Ez sajnos jóval nagyobb skertelenséggel zárul, mnt amkor két részletben történt a készülés és a számonkérés. Az alkalmazott matematka az SKK hallgató számára vzsgaköteles tantárgy, az EMK hallgató pedg a két zárthely pontszámának összegéből kalakított félévköz jegyet kapnak. Az SKK hallgató a zárthelyk átlagának mnmum 40%-os teljesítése esetén rövd vzsga lehetőségével élhetnek, akk pedg a zárthelyk során nem érk el ezt a szntet, hosszú vzsgát írnak. Ennek során az elégséges feltétele mnd a gyakorlat, mnd az elmélet rész mnmum 40%-os teljesítése. A rövd vzsga 60 perces feladatsora két részből áll: I. Teszt (30 pont) és II. Kegészítendő kérdések (0 pont) (3-4. ábra). Az I. részben 0 db tesztkérdés van (helyes válasz 3 pont, nncs válasz 0 pont, hbás válasz - pont), ezek a feladatmegoldásoknak csak egy-egy részlépésére, az ok-okozat kapcsolatokra kérdeznek rá. A II. rész 5 db 4 pontos, rövden megválaszolható kérdésből áll (példaadás, képlethasználat, vagy egy-két lépéssel könnyen megoldható feladat). A rövd vzsgán s mnmum 40%-ot kell elérn az elégségeshez. A tapasztalat azt mutatja, hogy az lyen stílusú feladatsorra nem lehet magolással készüln, a hallgatók rákényszerülnek a tananyag megértésére. Olyan nagy feladatbankot állítottam össze, hogy a kérdések smétlődése sznte kzárt. Meglepő módon az lyen típusú vzsga előbb-utóbb azoknak s skerül, akk nagyon gyenge alapokkal, vszont kellő szorgalommal rendelkeznek. A végső osztályzat legtöbbször elégséges vagy közepes, de néha egy-egy ebből kemelkedő (jó vagy rtkán jeles osztályzatra vzsgázó) hallgatóval s találkozom. A hallgatók kb. 30%-a sajnos nem tudja az első tárgyfelvétel során teljesíten a követelményeket, így többször felvesz a tárgyat. Ez legnkább azokkal fordul elő, akk nem kellő hangsúlyt fektetnek a tananyag megértésére. Érdekes kérdés, hogy a nem nappal tagozatos képzésekbe a fent módszertan átvhető-e. Itt a kevesebb kontaktóra matt lehetséges, hogy a nappal tagozattal szemben aránytalanul megnehezül a tananyag elsajátítása. A levelezős tananyag a nappals anyag szűkített változata, néha tartalmaz ksebb, önállóan feldolgozandó részeket s, természetesen részletes kadott anyag alapján. Véleményem szernt megengedhető, hogy levelező képzésen kcst más felépítést kövessünk, de nem szabad megfeledkezn arról, hogy ez a nappal és levelező képzés között átjárhatóságot veszélyeztet. Igaz ugyan, hogy sznte soha nem találkozunk levelező képzésről nappalra történő átjelentkezéssel, nkább fordítva fordul elő.

44 Az alkalmazott matematka tantárgy oktatásának sokszínűsége 4. Válasszuk k azt a dfferencálegyenletet, amely homogén részének általános megoldása c sn x + c cos x, c,c R : x A) y " ( x) y' ( x) = e B) y " ( x) y( x) = sn x C) y " ( x) + y' ( x) = x D) y " ( x) + y( x) = x tag együtthatója: A) 4 x. Az y' ( x ) = y ( x ) e ; y( 0) = B) x y 3. A z = + 3 grafkon alakja dfferencálegyenlet sorbafejtéssel történő megoldásakor a harmadfokú C) 4 4 A) egy forgásparabolod, melynek csúcspontja C ( 0, 0, 3) B) egy forgásparabolod, melynek az xy síkban lévő metszete egy r = 6 sugarú kör C) egy forgáskúp, melynek csúcspontja C( 0, 0, 3) D) egy forgáskúp, melynek az xy síkban lévő metszete egy r = 6 sugarú kör x y 4. Az f ( x, y,z) = 8xy + + z függvény Hesse-mátrxának hányzó eleme: H( x, y,z) A) A = 0, B =, C = B) A = 8, B =, C = 3 3 y y C) A = 0, B =, C = D) A = 8, B =, C = 3 3 y y 5. Integráljuk az f ( x, y,z) függvényt a V ( x, y, z) ntegrálás felírása melyk esetben helyes? π π A) f ( r,u,v ) r π π C) f ( r,u,v ) r Az f ( x, y) x 3 y sn u du dvdr sn u dv dudr 3 { R x + y + z ; y, z 0 } 3. ábra. Példák tesztkérdésekre D) egyk sem helyes 3 x = A 0 8 B C = véges térrészen. Az π π B) f ( r,u,v ) r 0 0 π π π D) f ( r,u,v ) r 0 π 0 snu du dvdr snu dv dudr = függvény T tartomány felett felületének felszíne a következő ntegrálással számítható k: A) 4x + 3y + dt B) x + dt T T C) 4 x + 3y + dt D) egyk sem helyes T 7. Adott v( x,y,z ) = ( z,x, y) és r( t ) ( t, - 3t, t ) ; t [ 0;] =. Ekkor a vektor-vektor függvény vektor-skalár függvény mentén képzett vonalntegrálja: A) B) C) 0 D) egyk sem helyes 8. Adott egy f ( r) vektormező (vektor-vektor függvény). Ekkor nem létezk A) dv rot f ( r ) B) grad dv f ( r ) C) rot dv f ( r ) D) ( r );r ( ) f skalárs szorzat

45 4 Horváth-Szovát Erka. Adjunk példát olyan állandó együtthatós, másodrendű lneárs nhomogén dfferencálegyenletre, melynek x x homogén általános megoldása c e + cxe, c,c R, és zavaró függvénye sn x :. Adja meg az f ( x, y,z) = ln x y z függvény értelmezés tartományát! Hol helyezkednek el ezek a pontok a térben? Ha az f ( x, y,z) függvénynek ( 0, y0, z0 ) ( x, y, ) -ban < 0,D > 0,D 0, akkor f ( x, y,z) függvénynek ( x, y, ) x staconárus pontja és a Hesse-féle mátrx sarokdetermnánsa 0 0 z0 D 3 = 0 0 z0 -ban.. 4. Egy hasáb egyk csúcsa a koordnáta-rendszer orgójában van, az ebből a csúcsból knduló élek pedg a tengelyek poztív felére lleszkednek. Az x tengelyre lleszkedő éle 3, az y-ra lleszkedő 4, a z-re lleszkedő s x, y,z = x y z (az eredményt egységny hosszúságú. Számítsuk k a tömegét, ha sűrűségfüggvénye: ( ) elég hatvány alakban megadn)! 5. Adott v( x, y,z ) = ( z, x, y) és r( t ) ( t, 3t -, t - ) ; t [ 0;] =. Ekkor a vektor-vektor függvény vektor-skalár függvény mentén képzett vonalntegrálja (a végeredményt s számítsuk k): 6. Az f ( x, y) x + 3y = függvény T tartomány felett felületének felszínét az F =...dt kettős ntegrállal számíthatjuk k. T 3 =, akkor dv rot rot v( x, y, z) = 7. Ha v( x, y,z ) ( y + xz ) xyj + x z k 4. ábra. Példák kegészítendő kérdésekre 4. Összefoglaló A matematka oktatás modernzálása dőszerű, már megtettük a kezdet lépéseket. Egyetemünk hallgatónak MSc képzésében elsősorban az alkalmazásra kell törekedn és nem kell a mély matematka háttérösszefüggéseket megtanítan (azok a megértésükhöz szükséges komoly alapsmeretek hányában úgys a levegőben lógnak ). Nem kell értés nélkül memorzáltatn képleteket, eljárások lépéset, hszen ezek a későbbekben, a gyakorlat életben s mndg könnyen hozzáférhetők lesznek. A legfontosabb cél a felsőbb matematka jelölésrendszerének megsmertetése, a matematka gondolkodásmód kalakítása és a problémamegoldó készség fejlesztése. Irodalomjegyzék [] []

46 DIMENZIÓK 43 Matematka Közlemények III. kötet, 05 do:0.03/dm Egy érdekes térkép vetület matematka és csllagászat alkalmazása - folytatás Péntek Kálmán NymE TTK Matematka és Fzka Intézet pentek@ttk.nyme.hu Összefoglaló. A dolgozat a szférkus csllagászattal foglalkozk és bemutat egy, a Nap égbolton történő mozgását szemléltető forgatható korongot (unverzáls asztrolábumot). A készülék első verzóját Phlppe de la Hre (640-78) alkotta meg 70-ben. A készülék modern és átdolgozott változatát e ckk szerzője készítette el. Azokat a legfontosabb csllagászat és földrajz feladatokat érntjük, amelyek ezen eszközzel könnyen megoldhatóak. Abstract: In the paper we present the sphercal astronomy tool called rotable daly arc plate (unversal astrolabe) whch represents the movng of the Sun n the sky. The frst verson of ths tool was made by Phlppe de la Hre (640-78) n 70. The modern and mproved verson was desgned by the author of ths paper. We present the most mportant astronomcal and geographcal processes, whch we can easly solve by the usng of ths tool.. Bevezetés Ez a dolgozat a szerzőnek a Dmenzók II. kötetében 04-ben ugyanlyen címen megjelent munkájának szerves folytatása (PÉNTEK, 04). Az ott bemutatott Phlppe de la Hre-féle vetület rendszeren alapuló unverzáls asztrolábum vzsgálatát és elemzését tartalmazza. A vzsgált vetület tovább tulajdonságat SNYDER-VOXLAND (989) műve, az asztrolábumok különböző típusat HOLLANDER (999) és MORRISON (00) monográfájában találhatjuk. Tárgyalásunk során bemutatjuk a vzsgált asztrolábum korongjának egy érdekes alkalmazását, amkor egy egyszerű kegészítéssel napóraként alkalmazva néhány perc pontossággal meghatározhatjuk a valód napdőt, amelynek pedg egyszerű átalakításával megkaphatjuk a karóránk által s mutatott közép-európa zónadőt... A Phlppe de la Hre vetületén alapuló csllagászat korong La Hre előző dolgozatban (PÉNTEK, 04) smertetett vetületén alapuló készülék két rétegből álló, lapos korong alakú taneszköz, amelynek rétege a két körlemez középpontján átmenő, a korongok síkjára merőleges tengely körül elforgatható módon vannak összekapcsolva. A felső réteg merev fólából készült, átlátszó, rajta megtalálható az éggömb Phlppe de la Hre ekvatoráls vetülete hálózatának képe arról az ég egyenlítő zónáról, amely mentén a Nap év látszólagos mozgását végz. Mvel a Föld tengelyferdesége jó közelítéssel 3 30, ezért ezen ég egyenlítő zóna [-3 30, 3 30 ] deklnácójú sávot ölel fel. Ezen a sávon belül megjelöltük azokat a Nappályákat, amelyek mentén a tavasz napéjegyenlőségtől ndulva a Nap jó közelítéssel 0-0 nap elteltével végghalad. Ezek értéket és a hozzátartozó dátumokat a. táblázat tartalmazza (. ábra).

47 44 Péntek Kálmán. ábra. A Phlppe de la Hre-féle vetület alapján készített forgatható korong felső rétege A korong alsó rétege kartonból készült, körkörösen a peremén, továbbá a horzont mentén tartalmazza a szögskálákat, a szürke három sötétedő árnyalatával feltüntettük a szürkület sávokat, rögzítettük a fő égtájak helyét, valamnt a zent és nadír pontokat. Az égbolt horzont fölött, látható éggömbjének, am megfelel a korong felső félkörlemezének, elhelyeztük horzontáls koordnáta-hálózatát,5 -os sűrűséggel La Hre-féle vetületben (. ábra). Sorszám Dátum Deklnácó Sorszám Dátum Deklnácó márcus. 0 9 szeptember 3. 0 márcus október áprls 0. 8 október áprls 0.,5 október 3. -,5 5 áprls november május 0. 7,5 4 november. -7,5 7 május. 0 5 november május 3. 6 december. - 9 júnus. 3 7 december júnus. 3,5 8 december. -3,5 júlus. 3 9 január. -3 júlus. 30 január. - 3 júlus január augusztus 3. 7,5 3 január 3. -7,5 5 augusztus február augusztus 3.,5 34 február 9. -,5 7 szeptember márcus szeptember márcus. -4. táblázat. A Nap adata az év folyamán Az eszköz lényegében analóg módon épül fel azzal az ortografkus vetület rendszeren (PÉNTEK (00)) alapuló koronggal, amelyet PÉNTEK (0) tanulmánya részletesen smertet LÓSKAY (904) korongja nyomán. Az ott részletezett módon megoldhatók a La Hre-vetületen alapuló eszközzel s az alapvető szférkus csllagászat alapfeladatok. Így

48 Egy érdekes térkép vetület matematka és csllagászat alkalmazása 45 könnyedén beállíthatjuk eszközünket a felhasználó helye földrajz szélességének megfelelően éppen úgy, mnt egy unverzáls asztrolábumot. E beállítás után az év bármely napján megállapíthatjuk a Nap delelés magasságát és éjfél mélységét, a Nap kelés és nyugvás dőpontját valód napdőben, meghatározhatjuk a napkelte és napnyugta rányát, a nappal és az éjszaka dőtartamát, továbbá a polgár, a navgácós és a csllagászat szürkület dőtartamát s (3. ábra).. ábra. A Phlppe de la Hre-féle vetület alapján készített forgatható korong (baloldalon csak az alsó rétege látható) Ha a La Hre-féle vetületen alapuló korong hátoldalán kalakítunk egy egyszerű tengerészet asztrolábumot, akkor annak segítségével a korongot alkalmasan felfüggesztve meghatározhatjuk bármely dőpontban a Nap horzont fölött magasságát (4. ábra). 4. ábra. A tengerészet asztrolábum

49 46 Péntek Kálmán Ismerve a dátumot, megkereshetjük a hozzátartozó Nappályát a korong első oldalán a vzsgált földrajz hely szélességének megfelelően beállított átlátszó skálán. Keressük meg továbbá a korong alsó rétegén a lemért napmagasság ellpszs ívét. Határozzuk meg ezután e két görbe metszéspontját, s az átlátszó mozgó skála dőbeosztásának megfelelően. E metszéspont szolgáltatja az adott dőpllanathoz tartozó valód napdőt (Bartha Lajos tudománytörténész szóbel közlése). Az adott hely földrajz hosszúságát smerve és felhasználva, továbbá az adott dátumhoz tartozó analemmáról leolvasott dőkorrekcó fgyelembe vételével a valód napdőből azonnal nyerhetjük a közép-európa zónadőt, mnt a hétköznap életben használt polgár dőt. A La Hre vetületen alapuló korong ezen napóra üzemmódjára egy llusztráló feladatot mutatunk be. Szeptember 3-án a délután órákban h = 4,5 Napmagasságot mérünk. Határozzuk meg a valód napdőt, s ennek felhasználásával a közép-európa zónadő értékét! Szeptember 3-án a Nap deklnácója a I. táblázat felhasználásával = 4. Az analemma görbe felhasználásával az dőegyenlítés értéke ekkor = +4 (5. ábra). 5. ábra: Az analemma görbe Ha pl. Szombathelyen vagyunk, akkor a város földrajz helyzete matt = +6,5, hszen dőben kfejezve ennyre vagyunk keletre a közép-európa dőzóna középvonalától (6. ábra). Ezen smeretek és adatok brtokában a korongról leolvasott valód napdő értéke = 3 30, a közép-európa zónadő T értéke pedg a összefüggés felhasználásával = () = = ()

50 Egy érdekes térkép vetület matematka és csllagászat alkalmazása 47 Megjegyezzük, hogy lneárs nterpolácót alkalmazva néhány perc pontossággal meghatározhatjuk a szóban forgó dátumhoz dőben szomszédos khúzott nappályák smeretében a valód napdő, vagy a közép-európa zónadő értékét akkor s, ha a Nap aktuáls deklnácójának megfelelő pályaív nem szerepel a korongon megszerkesztve. A bemutatott példában felhasznált szférkus csllagászat fogalmak és összefüggések KÖVESLIGETHY (899), MARIK (989) és SZENKOVITS (007) munkájában megtalálhatóak. 6. ábra: Térkép a földrajz hely dőkorrekcójának meghatározásához. Alkalmazás: a Grasol, vagys napraforgó Franca nyelvterületen (Centre de recherches methodologques d archtecture de Nantes (CERMA)) az építészetben használnak egy olyan korong alakú eszközt, amely tetszőleges földrajz szélességen, az év tetszőleges napjának tetszőleges órájában megmutatja a Nap azmutját és magasságát az égen. Erre azért van szükség, mert fontos az építészet tervezésnél, hogy egymástól mlyen távolságra és mlyen tájolással kerüljenek az épületek, s lényeges kérdés, hogy mlyen árnyékot vetnek egymásra és a környezetükre az év különböző évszakjaban és különböző napszakjaban. A Nap pozícójának meghatározásához használt eszköz lényegében egy specálsan kalakított unverzáls asztrolábum, amely sztereografkus egyenlítő vetületben jelenít meg az éggömb horzont felett tartományát és az év során a Nap által befutott ég pályákat (7. ábra). Így tehát ez az eszköz a Gemma Frsus-féle unverzáls asztrolábum lényeges részenek megtartásával alakult k. Az előző részben bemutatott Phlppe de la Hre vetületén alapuló koronghoz hasonlóan képes a Nap helyzetét megmutatn, vszont skálá sajnos nem lneársak, a készülék pereme felé rtkulnak. E korong nagy előnye vszont, hogy egyszerűen körzővel és vonalzóval, tehát eukldesz eszközökkel megszerkeszthető, míg a Phlppe de la Hre-féle vetület íve, mnt láttuk, nehezebben előállítható ellpszs darabok. A Grasol működéséről tovább részletek HOLLANDER (999) művében olvashatók. Az egyes korongokkal számos tovább probléma s tárgyalható és szemléltethető, ezek vzsgálatával a jövőben kívánunk foglalkozn.

51 48 Péntek Kálmán 7. ábra. A Grasol, vagy napraforgó Köszönetnylvánítás Hálás köszönet llet meg Bartha Lajos tudománytörténészt a kézrat gondos átnézéséért és értékes tanácsaért, megjegyzéseért. A szerző köszönetét fejez k továbbá Mtre Zoltánnak, a Gothard Amatőrcsllagászat Egyesület ttkárának a Phlppe de la Hre-féle korong gondos számítógépes megszerkesztéséért. Irodalomjegyzék [] Hollander, R.: L Astrolabe Hstore, Théore et Pratque, Insttut Océanographque, Pars, (999). [] Köveslgethy R.: A mathematka és csllagászat földrajz kézkönyve, Kogutovcz és társa Magyar Földrajz Intézete, Budapest, (899). [3] Lóskay M.: A Nap és a csllagok járása a Föld tetszőleges helyén, Magyar Földrajz Intézet Rt. Budapest, (904). [4] Mark M.: Csllagászat. Akadéma Kadó, Budapest, (989). [5] Morrson, J. E.: The Astrolabe, Ed. Janus, Rehoboth Beach, DE, USA, (00). [6] Péntek K.: Ábrázoló geometra módszerek alkalmazása a szférkus csllagászatban: az ortografkus merdán projekcó, NymE SEK Tudományos Közleménye XVII. Természettudományok, Szombathely, (00) [7] Péntek K.: Az ortografkus merdonáls vetület rendszeren alapuló csllagászat készülék: a Nap év mozgását bemutató forgatható korong. NymE SEK Tudományos Közleménye XVIII. Természettudományok 3, Szombathely, (0) [8] Péntek K.: Egy érdekes térkép vetület matematka és csllagászat alkalmazása, Dmenzók, Matematka Közlemények II, Sopron, (04) 3-8. [9] Snyder, J. P. Voxland, Ph. M.: An Album of Map Projectons, U.S. Geologcal Survey Professonal Paper 453, Denver, (989). [0] Szenkovts F.: Bevezetés a csllagászatba. Kolozsvár Egyetem Kadó, Kolozsvár, (007).

52 DIMENZIÓK 49 Matematka Közlemények III. kötet, 05 do:0.03/dm Matematka módszerek a mechankában Andor Krsztán, Polgár Rudolf NymE SKK, Műszak Mechanka és Tartószerkezetek Intézet krsztan.andor@skk.nyme.hu, polgar@nyme.hu ÖSSZEFOGLALÓ. A kényszerpályás közlekedés esetén a mozgás alapján meghatározott pálya alapvető követelmény. A lneárs görbület tulajdonságú klotod átmenetívet splne-okkal modellezve eddg smeretlen nformácókhoz jutottunk. A modellezés tovább dmenzókat s feltárt, mely során egyszerűen vzsgálhatókká váltak egyéb mozgásknematka effektusok. ABSTRACT. In ralway transportaton t s a fundamental requrement to have track geometry that corresponds to the desred moton. Wth the modellng of the clothode transton curve wth splnes, htherto unknown nformaton are ganed. Ths modellng has open new dmensons, whch helps the smply examnaton of other knematc moton-effects.. A mozgás leírása A kötöttpályás vasút közlekedésnél a pályának meghatározó szerepe van a jármű mozgása során ébredő knematka génybevételek keletkezésében. Ezért fontos, hogy olyan geometra kalakításúak legyenek az íves vágányszakaszok, melyen a knematka mozgásjellemzők értéke küszöbérték alatt maradnak. A tervezés során ezért knematka szempontok nem hagyhatók fgyelmen kívül. A különböző görbület tulajdonságú pályaszakaszok (körív = konstans görbület, egyenes = 0 görbület) a hrtelen változó oldalgyorsulás matt nem követhetk egymást, ezért közéjük ktatják be az átmenetívet, mely a két eltérő, konstans görbületű szakaszt egy változó görbületű szakasszal köt össze, bztosítva ezzel az oldalgyorsulás fokozatos növekedését vagy csökkenését, szemben az ugrásszerű változással. A vasútépítésben az oldalgyorsulás megváltozását h -vektornak nevezk, mely magasabbrendű knematka mozgásjellemzőnek számít, és azt döntően a görbületfüggvény ívhossz szernt első derváltja befolyásolja. A h -vektor éppúgy, mnt az oldalgyorsulás nem léphet át egy határértéket, mely a pálya és az utasok fokozottabb génybevételét okozná. A hullámos görbületfüggvényű átmenetek esetén a függvény derváltja mnden nehézség nélkül előállítható, azonban a lneárs görbületfüggvény töréspontjaban a dervált értelmezhetetlen. Noha knematka szempontból a lneárs görbületfüggvényt szakaszosan derválva a legjobb geometra kalakítású átmenetív lenne, a két csatlakozás pontban (görbület töréspontokban) a knematka mozgásjellemzők nem smertek, így feltételezhető akár, hogy elméletleg végtelen nagy értékeket vehetnek fel. Erre alapozva külön csoportokra bontották az átmenetíveket a görbületfüggvényük derválhatósága szernt. Így más határértékek vonatkoztak a folytonosan dfferencálható görbületfüggvényű, és más, szgorúbb határértékek a töréses görbületfüggvényű átmenetívekre. Értekezésemben kettéosztás szükségtelen voltára hívom fel a fgyelmet. Mvel a klotod átmenetív a legelterjedtebb átmenetív-fajta a vlágon, joggal felmerül az gény az átmenetívvel kapcsolatos általános smeretek kegészítésére.

53 50 Andor Krsztán Polgár Rudolf. A splne-okkal modellezett vasút vágánytengely-vonal leírása A klotod átmenetív csatlakozásanál fellépő h -vektor nagyságának numerkus meghatározására van szükség, hogy közvetlenül összehasonlítható legyen más, folytonosan derválható görbületfüggvényű, átmenetívekkel. Erre bztosított lehetőséget a splne-elmélet. A splne-okkal leírható módszert műszak területen alkalmazták már a középkorban s. A hajóépítésben felvetődött probléma mszernt az áramvonalas hajótest-geometrát egy meggörbített pálca vonala szolgáltja és a vasút átmenetívek kalakítása között analóga található. Matematkalag ezt a modellt a splneokkal lehet leírn. A splne-okkal leírt a vasút pálya modelljének több szempontnak kell megfelelne. Az első szempont alapján, a pályagörbe modelljétől elvárjuk, hogy legalább négyszer folytonosan dfferencálható legyen, még az átmenetív eleje és vége pontban s. A splne-ok rendűségét m választhatjuk meg, így a kellő számú dfferencálás végrehajtható. Így az eredetleg töréses görbületfüggvényű pálya splne-nal közelített modelljének görbületfüggvénye nem töréses lesz. A kérdéses pontokban folytonosan dfferencálható függvényeket vzsgálhatunk. Amennyben legalább ötödfokú splne-nal dolgozunk, a görbületfüggvény első és másodk derváltfüggvénye előállítható lesz. A másodk szempont szernt a ktűzés pontok nem esnek az deáls pálya vonalába, melynek oka a következők: A ktűzés koordnáták nem egzakt módon, hanem a sorbafejtés során, csupán a hatványsor első két tagjának fgyelembevételével lettek kszámítva. Az így kszámított értékeket az ívktűző zsebkönyv csak mm-re kerekített pontossággal adja meg. A geodéza ktűzés során a ktűzés koordnáták ktűzés hbával terheltek. Ez azt eredményez, hogy a fent említett módon meghatározott koordnátapontok (ktűzés pontok) hol az deáls pálya egyk, hol a másk oldalára kerülnek és mnmáls annak az esélye, hogy tökéletesen a göbe vonalára essenek. Az alapgondolat szernt a splne-nal lehetséges olyan függvényt konstruáln, mely nem lleszkedk közvetlenül a ktűzés pontokra, és a ktűzés pontossággal elkövetett hbát nem haladja meg. Az approxmácós splne értéke egy adott lleszkedés pontnál (64) szernt: y~ = y ± ε, ahol: y~ a splne értéke, y a ktűzés pont y ordnáta értéke, ε a splne értéke és a pont között eltérés. Az ε eltéréseknek kcsny értékűeknek kell lennük, am esetünkben teljesül, hszen a koordnáták meghatározásakor a sorbafejtés és a kerekítés során csupán tzedmllméteres hbákat vétünk. Az így előállított görbéről elmondható, hogy nem túl nagy eltérésekkel lleszkedk a ktűzés pontokra, mközben gyekszk egy mnmáls összgörbület-változású görbe vonalát adn. Mután számunkra a tervek és az ívktűző zsebkönyv adata alapján ktűzött pályán ébredő knematka génybevételek nagysága a meghatározó, (nem pedg az elmélet függvényen keletkező mozgásjellemzőké) a vágánytengely splne-nal történő helyettesítésével a valósághoz közelebb álló eredményt kapunk, amennyben a hba határértéke a megvalósíthatóság pontosságot nem haladja meg. A harmadk, a modellezésnél fgyelembeveendő szempont szernt a pontok eltérő nagyságban térnek el az deáls görbe vonalától, ezért fgyelembe kell venn az eltérések nagyságának változását. Az eltéréseket úgy célszerű súlyozn, hogy a splne nagyobb súllyal

54 Matematka módszerek a mechankában 5 közelítse a mnmáls összgörbület-változású görbe vonalához közel eső pontokat, és ksebb súllyal a távolabb esőket. A görbületfüggvény amely alapján a ktűzés koordnáták adottak csupán a ktűzés pontokban és a görbületfüggvényből történő netrpolálással az aljaknál egyezk a kvtelezett pálya görbületfüggvényével, míg a pontok között azt a sínpár rugalmassága határozza meg. 3. A splne-ok alkalmazásával létrehozott átmenetív geometra pontossága A splne-elmélettel kapott görbe lleszkedés pontosságát bemutatandó, meghatároztam a ktűzés értékpárokat,0 m-es egymást követő távolságra századmllméteres pontossággal. Ezt tekntem elmélet ktűzésnek Az 5 m-es távolságra lévő ktűzés pontokra llesztett splne-helyszínrajz-függvényről leolvasott méterenként értékek és az elmélet ktűzés között f x,y = f x,y f x, y ( ) ( ) ktű zé s ( ) méterenként eltérés szntén elhanyagolható volt. A legnagyobb eltérés nagysága nem haladta meg a fél mllmétert. Tekntettel arra, hogy a megépítés során a ktűzés koordnáták mm-re kerekítve adottak, és ezen pontok a ktűzés hbával terhelten lesznek ktűzve, a splne-elmélettel meghatározott átmenetívmodell pontossága meghaladja az elvárásokat. Ezzel gazolható, hogy a splneelmélet segítségével lehetséges a gyakorlatban az átmenetívek megfelelő pontosságú modelljenek létrehozása. 4. A knematka mozgásjellemzők meghatározása az átmenetívek mentén A fent szempontokat kelégítő modellezéssel kszámíthatók lettek a klotod átmenetív esetében a magasabbrendű knematka mozgásjellemző vektorok a két, eddg kérdéses csatlakozás pontokban s. Ezeket az értékeket közvetlenül össze lehet hasonlítan más típusú átmenetíveknél kapott génybevétel-értékekkel. A görbületváltozás jellege alapján megkülönböztetett, elmélet feltételezéseken alapuló előírások nem befolyásolják az átmenetívek összehasonlíthatóságát. Az elmélet megfontolások alapján a görbület által meghatározott pályavonal a gyakorlatban csupán pontokban egyezhet a megvalósítandó pálya vonalával, mvel a gyakorlatban a vágánytengely vonalát a ktűzés pontok határozzák meg. Az elmélet görbületfüggvény közelítésével csak mllméter pontossággal lehet ktűzn 3-5 méteres távolságban a pontokat, melyekre fektetk a vasút vágányt. Az aljtávolságra besűrített lleszkedés pontok között a vágány alakját a sín görbülése határozza meg. Megállapítható, hogy a pályatengelyt meghatározó elmélet, és a megvalósult pályatengely között dfferenca van. Ezt az eltérést érdemes fgyelembe venn a vasút vágány modellezése során. Az elmélet pályatengely és a megvalósult pályatengely között eltérést tudjuk a splneokkal fgyelembe venn, mvel azok természetükből fakadóan vselkednek úgy, ahogyan a gyakorlatban a meghajlított vasút sín. A splne-ok tovább tulajdonsága közé tartozk a rendjük meghatározhatósága, így a pályagörbe vonalát leíró függvény szükséges mennységben folytonosan derválható (nem csak szakaszonként), ezek után a magasabbrendű knematka mozgásjellemző vektorok függvénye s meghatározhatók. A splne-okkal modellezett klotod átmenetíven a splne megfelelő mennységben és folytonos derválhatósága matt a keletkező knematka mozgásjellemző vektorok

55 5 Andor Krsztán Polgár Rudolf függvénye pontosan meghatározhatókká váltak. A splne-elmélet segítségével kapott knematka génybevétel-szélsőértékek a klotod átmenetív esetében közvetlenül összehasonlíthatókká váltak más átmenetíveknél számított szélsőértékekkel. Az összehasonlítások elvégeztével a megépíthetőség pontosságot s fgyelembe véve a klotod átmenetív bzonyult mnden esetben knematka szempontból a legjobb átmenetívgeometra kalakításnak. 5. Súlypontpálya leírása Vzsgálat tárgyává tettem a vágány tengelyvonala, és a merev testszerű kocsszekrény súlypontpályája között eltérés meghatározását. A kutatást a knematka vzsgálatok során a mozgás pontmozgásként történő modellezése ndokolta. A kocsszekrény súlyát pontként való helyettesítése során a súlypontba célszerű sűríten. A súlypont pályáján ébredő knematka génybevételek a meghatározók, és nem a vágánytengely-pályán keletkezők, ahol csupán a megvezetett kocsszekrény forgózsámolya futnak. Ezáltal a klotod átmenetív csatlakozásanál lévő görbület törés lekerekedk, am kedvezően befolyásolja a magasabbrendű knematka mozgásjellemzők alakulását. Ez smét a klotod átmenetív alkalmazásának előnyét bzonyítja knematka szempontból. 6. Irányhbák lokalzálása és meghatározása a splne-módszerrel A splne-elmélet természetéből fakadóan rányhba lokalzálására s alkalmas. Irányhbák lokalzálására történő alkalmazhatóságát más szabályozómódszerrel (érntőszögeljárás) történt összehasonlítással vzsgáltam. Az approxmácós súlyozással közelítő splne fgyel a mnmáls összgörbület-változású görbétől a pontok távolságát, és ezen távolság alapján vesz fgyelembe a pont súlyát a görbe megalkotásában. Ez a súlyozás állítható be úgy, hogy a splne a megvalósíthatóság pontosságot fgyelembe véve lleszkedjen a ktűzés pontokra. Így a túlzott eltérések olyan következményekkel járnak, hogy a splneelmélet alulsúlyozza az adott hbás pontot, és a splne görbéjének meghatározásában nem játszk szerepet. Vagys az így keső pontok kgyűjthetők, a görbétől való távolságuk meghatározható, mely egyben a szabályozás értéke s. Irodalomjegyzék [] Vaszary P.: Vasútépítés és Pályafenntartás I., MÁV Rt., Budapest, (999) [] Megyer J.: Vasút mozgásgeometra, Műszak Könyvkadó, Budapest, (986). [3] Hasslnger, L. H., Stocknger, H.: Messtechnscher Nachwes der Überlegenhet enes neuen Trasserungselement, des Wener Bogens, ZEVral Glasers Annalen, 8. évf. (004) szept., [4] Hantz, H., Hendl, W., Presle G.: Neugestaltung von Übergangsbögen. Öster-rechsche Ingeneur- und Archtekten-Zetschrft, 38. évf. 0. sz., (993) [5] Ksgyörgy L.: Sznuszhperbolkusz átmenetív, Tudományos Dákkör Konferenca dolgozat, Budapest Műszak Egyetem, Vasútépítés Tanszék, Budapest, (994). [6] Sard, A., Wentraub, S.: A book of splnes, John Wley and Sons, Mc. New York, (97). [7] Polgár R.: Általánosított splne-approxmácó, Geomatka közlemények VII. MTA GGKI, Sopron, (004) [8] Kerkápoly E.. Megyer J.: Vasút ívktűzés táblázatok, Műszak Könyvkadó, Budapest, (980). [9] Megyer J.: Vasútépítéstan, Közlekedés Dokumentácós Vállalat, Budapest, (99). [0] Kormos Gy.: Ívszabályozás számításos érntőszög-eljárással kosznusz-átmenetív esetén. Közlekedéstudomány Szemle, 45. évf.. sz., (995) 8-3. [] Andor K., Polgár R.: Localzaton of bearng errors usng splne method, Perodca Polytechnca CE 58:(758), (04) -7, (do:

56 DIMENZIÓK 53 Matematka Közlemények III. kötet, 05 do:0.03/dm Matematka a fzkában Nagy Zsolt Roth Gyula Erdészet, Fapar Szakközépskola és Kollégum nagyzs@emk.nyme.hu ÖSSZEFOGLALÓ. A ckkben az optka, mechanka és elektromosságtan példákon keresztül mutatom be az elem, lletve magasabb matematka módszereket, amelyeket használhatunk a fzka problémák megoldásában. ABSTRACT. In ths paper, I present elementary and hgher mathematcal methods through optcal, mechancal and electrcty exercses that can be effcently used for solvng physcal problems. Néhány problémán keresztül szeretném bemutatn, hogy mlyen matematka eszközöket használhatunk a fzka oktatása során. Természetesen a válogatás önkényes, vannak kmaradó módszerek (elsősorban tt a vektor műveletekre gondolok), és vannak olyanok s, amelyekhez magasabb matematka smeretekre van szükség. Ez utóbbakat természetesen csak az emelt szntű matematkát tanuló dákoknak lehet megmutatn.. probléma: Fényterjedés Felhasználva a legksebb dő Fermat elvét: A fény a legrövdebb dejű pályán mozog. Ennek három következményét vzsgálhatjuk, amelyek közül az első kettő trváls, ezért csak a harmadkat vzsgáljuk meg részletesebben: s.. következmény: A fény a homogén közegben egyenes vonalban terjed, azaz t = c mnmáls, ha s s mnmáls (c=állandó).. ábra.. következmény: A fényvsszaverődés törvénye: beesés szög = vsszaverődés szög (. ábra).

57 54 Nagy Zsolt vsszavert sugár beeső sugár beesés merőleges. közeg Terjedés sebesség: v α α = β. közeg β Terjedés sebesség: v. ábra 3. ábra snα v.3. következmény: Snellus-Descartes törvény, fénytörés: = = n sn β v, (3. ábra). Helyezzük el az ábrát egy koordnáta rendszerbe (4. ábra).. ábra A fény a határfelületen levő E pontban törk meg. A pontok koordnátá legyenek a következők: A( a; b) B( c; d) E( x ;0). AE EB Mvel a terjedés deje: t = v + v. ( ) ( ) x a + b c x + d A pontok koordnátát felhasználva: t ( x) = +. v v A terjedés dő szélsőértékét az x szernt első derváltból tudjuk meghatározn: ( x a) ( c x) t ( x) = + = 0. v x a + b v c x + d Az ábra alapján: ( ) ( ) x a c x snα = és sn β =. x a + b c x + d ( ) ( ) Így az dő dervált függvénye a következőképpen alakul: