D U N K E L N. N O R B E R T P h D :

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "D U N K E L N. N O R B E R T P h D :"

Átírás

1 1 D U N K E L N. N O R B E R T P h D : Rekurzív zene, avagy: pillantás a zenei univerzumba (zenefilozófiai ricercare 1, avagy: [az eddigi esz tétik ákból ki, és szél esebben] körül tekintı, kozmológiai zeneesztétika) a te rmés z et z e né je a z en e t ermé sz e te a s zé p f ogal ma Heller Ágnes filozófusnak 2 Intonatio - prooimion Sokan hitetlenkednek, lehet-e bármi köze is, a mővészetnek bármi, rajta kívül álló dologhoz, vagy jelenséghez? A mővészetnek nem csupán az anyagi világhoz van köze, hanem még a társadalmi valósághoz is. Fiatal koromban egyenesen szidott néhány tanárom, hogyan gondolom, hogy a fenyıtoboznak ( spirál, aranymetszés [= a dúr szext-akkord szerkezete], a Planck állandónak [h] stb.) van köze egy Bach fúgához?? Kmeczkó Szilárd barátommal ültünk a valamikori Tóhfalusi kollégium (néhai Kossuth egyetem kollégiuma) folyosó hideg radiátorán, megbeszélni a világ dolgait. Váltig állítottam, hogy a Planck-állandónak igen is köze van a zenéhez 3. İ, mint kémia-fizika szakos hallgató, erısen kételkedett egy zenész hallgató megérzéseiben. A világ törvényei pedig nem diszkurzívak, nem feltétlenül verbálisan megjeleníthetıek, erre bizonyíték maga a mővészet, mikor a zseni öntudatlanul olyan törvényekkel és szavakon túli szimbólumokkal operál, amik a világban meghatározóak. 1 Rics erkár: megkeres és, megkeresni a témát, a fúga z enetörténeti elıdje, laza sz övés ő, de már imitációk at tartalmazó fugasz erő forma: mi ndi g felmerül benne a téma, és a téma l ehets éges ki bontásai (alakv áltozatai ). 2 Eredeti cikk 1994, maj d bıvített-j avított formája Kos suth Lajos T udomány Egy etem, Filoz ófi a Intézet (lásd könyv tári letét) 3 Planck állandó: ħ = 6, Js [Joule-s ecundum]). Az ún. egész-számú (harmonikális ) adagokban áramló energia és a hangok analógiája részben munkásságom nyomán- ma már adott. Vö.: hang = tér/ idı - méret (tartomány), a felhangsor ún. λ (lambda) mátrix a: F elhangok: felül; 1/1, 2/1, 3/1 8/1. Al ul: 1/8, 2/8, 3/8 8/8 értékek, bal ol dal on pedig: 1/1, ½, 1/3 1/8, job oldalt: 8/1, 8/2, 8/3 A köz épátl ón (alaphangok!) egység-értékek találhatóak (1/1, 2/2, 3/3 8/8). Az egymás után követk ezı felhangok soroz atában, n sorsz ám es etén, a hangk özök sorozata: 10 n -1/n 1

2 2 Modulatio Ó, máris elhagyjuk a zenét, hogy más területekre modulálva tekintsünk le rá. A klasszikus görög stílus, vagy épp a gótikus építészet és a gótikus gondolkodás, a skolasztika, és maga a gótikus mővészet egy tırıl fakad. Persze bornírtság azt gondolni, a mővészet is fejlıdik. A m őv és ze t n em fe jl ıdi k, c s up án vál to zi k. (A társadalmi változásokkal [stílus, szépségeszme, ideológiai környezet]) együtt. Egyenlıre, a társadalmi fejlıdés fogalmát is bátran tagadhatjuk, amíg ember embernek a farkasa és a technológiai fejlıdés ellenére milliók éheznek, -persze ez már nem az esztétika tárgya. A MŐVÉSZET A LÉT SŐRÍTMÉNYE, s a freudi téveszme, s ennek terjedése ellenére a mővészet csak részben lélektani jellegő (in: Die Zukunft Einer Illusion, 1927, Egy illúzió jövıje), s mint lé t-s őr ítm én y; tényleges mi kr ok oz mos z, a társadalmiságtól és az emberi kultúrától inseparabilitier (elválaszthatatlan) fogalom. A freudi koncepció mindenben csak az emberállat lelki mechanizmusait látta, így: a vallás-mővészet-filozófia is C S UP ÁN (?) az elfojtott érzelmek, testi-lelki szükségletek, vágyak neurotikus és társadalmi mérető konfliktusok képzıdményei. Freud szerint a mővészet sajátos mikrokozmosza, ami azért soha nem lehet független a makrokozmikus környezettıl (essentia, sőrítmény, lényegi kivonat) csupán sublimatio lenne?, azaz, a ki nem élt vágyak és ösztönimpulzusok pótkielégülése, átszellemítése, vagy más területre transzponált energiája? Mivel a világ lényege a kölcsönhatás, minden valós összefüggésben van mindennel, így a korszerő esztétika nem is lehet más, mint határtudomány. Ha egy tudós tudományos kompetencia köre nem pszichológiai célokat szolgál, s nem elefántcsont-torony, akkor az esztétika bizony határtudomány. Doppelfraziert (Syncrisis, elisio) Az esztétik alapvetıen h at ár os min de n oly an n al, amivel maga az ember, az ember mővészete is határos. Így a részlet és a részletbıl újólag megkapható egész, a relatív egészként mőködı egységek dinamikája maga a fejlıdés, ez életszerő. Az esztétika nem lehet csak a vers a zene és a képzımővészet filozófiai szaktudománya. Azért h a t ár t u d o m án y, mert mindennel határos lehet, amivel csak az ember (és mővészete) kapcsolatban áll. Az elválasztottság fikció, illúzió, vagy csak munkahipotézis, maga a világ KAPCSOLATHÁLÓ, együtt-levés és szüntelen kölcsönhatások által létezik. Definitio et expositio A re-kurzió a matematikából vett fogalom. Újra-futást (futtatást), matematikai értelemben: ÖNHASONLÓságot jelent. Azaz egy folyamat (program) újraindulását, gyakorítást (iteráció) akár ugyan úgy, (végtelen kánon) akár módosult (transzponált) alakban (pl. permutációs fúga, rákkánon). A rekurzió lehet folyamat, állapot, alakzat; lényege szerint: a részletben benne van az egész, vagy egy részletbıl mőveletek által- visszanyerhetı az egész, vagy legalábbis közelítıleg az egész, kiinduló alakzat. A rekurzió természetébıl adódóan inkább m ő ve le t, egyfajta dinamika, algoritmus (eljárási sorrend), amikor egy halmaz, függvény kiindulásából kiindulva ismét magához a függvényhez, halmazhoz jutok el. 2

3 3 Véletlen iterációs 4 algoritmusok Az önhasonlóság azt jelenti, hogyha egy fraktált kicsinyítünk vagy nagyítunk, a képe ettıl nem változik. Ebbıl az következik, hogy a fraktálok általában úgy alakulnak ki, hogy EGY EGYSZERŐ MINTÁZAT ÁLLANDÓAN ISMÉTLİDIK KISEBB ÉS KISEBB MÉRETTARTOMÁNYOKBAN és/ vagy variáltan, apró eltéréssel. A fraktálokat létrehozó eljárások egyik fontos csoportját alkotják az ún. VÉLETLEN ITERÁCIÓS ALGORITMUSok. Ezek az eljárások ahhoz hasonlítanak, amikor véletlenszerően bepöttyözzük a papírt egy tollal. Azonban ahelyett, hogy a tollat teljesen összevissza mozgatnánk, a mozgást bizonyos elıre meghatározott szabályok (irányok, preferenciák, a zenében ez pl. a változatlan alaptéma, és/vagy modulációs irányok, stb.) irányítják; minden alkalommal ezek közül a szabályok közül választunk ki véletlenszerően egyet (minden szabályhoz meghatározott KIVÁLASZTÁSI VALÓSZÍNŐSÉG tartozik), és az adott lépésben a kiválasztott szabály irányítja a tollat. Ezeket a szabályokat ún. affin transzformációkkal definiálhatjuk. Az AFFIN TRANSZFORMÁCIÓ egy olyan függvény, amelyben a méretváltoztatások, eltolások és forgatások szerepelnek. Ax (x) = ax + by + e...(3) Az (y) = cx + dy + f A természet maga ismer ilyeneket, részletekbıl, töredékekbıl (fractus, dēfractus = töret, töredék, fragmentum, eltörés, darab, szilánk) a szılıfürt, a karfiol a saláta, a káposzta, a tó partvonalának szabálytalansága, a faágak, vérerek, a patakok, folyók elágazásai tetszıleges nagyításban is önmaguk alakját adják. Tehát a töredékbıl (mőszóval: a fraktálból) újraéled az egész. A fraktalitás a természet alapvetı tulajdonsága, mégis, csakis bizonyos szaktudományok keretei között tartják vizsgálandó jelenségnek. -Az élet már genetikai szinten is fraktálszerő, még akkor is, ha matematikailag e jelenségek nem rekurzívak, csupán ún. kvázi-rekurzív jelenségek. Sokszor az a végtelenségig folytathatom a részletek nagyítását, és/vagy transzpozícióját, elforgatását, zenei mőszóval: a variációkat, mőveleteket, egy idı (lépték, intervallum, mőveleti mennyiség) után a kiinduló alakzathoz, de legalábbis ahhoz hasonló, ismét mőszóval élve: ÖNHASONLÓ alakzatot fogok kapni (szonáta reexpozíciós 5 fázisa, fúgák újra-téma szakaszai, tükör, rák, tükörrák kánonok). Több esetben a végtelenségig folytathatom az egyes részletek kinagyítását (Mandelbrot, Júlia halmazok), egy idı után mindenképp az eredeti, tehát önhasonló (rekurzív) alakzathoz fogok eljutni. A Mandelbrot halmaz egy vége nincs, mégis, önhasonlóságába zárt univerzum: 1.ábra. Mandelbrot-frak tál. Az egyre növekvı nagyítás során a fraktál-alakzat végtelenül folytatódik, részleteibıl újrateremtve önmagát. 4 iteráció = gyakorítás, közelítés, ismétlési szerkezet, ismétlésekkel elıálló ciklus [eg y értéket sok lépésb en, így majd egyre pontosabban megközelíteni] 5 A téma, vagy az egész expozíciós szakasz megismétlése, variált ismétlése. 3

4 4 Munkám címe kicsit félrevezetı, hisz nem igazán maga a zene rekurzív, hanem a világ. Ám mivel a világ kifejezetten zenei szerkezető 6 nem erıltetett, ha tanulmányom tárgyaként beszélek a zenei elemek rekurzivitásáról is. A világ egyfajta zenei modellezése igenis visszaadja az Univerzum önhasonlóságát, a világ fraktálszerőségét engedi látni. Az anyagi világ nagyobb léptékben önhasonló, ugyan olyan, mint másutt, fekete lyukakkal, csillagokkal, por és gázködökkel, t ör v én ye i mi nd en hol azon os ak, ezt a fizikusok úgy mondják, az UNIVERZUM IZOTRÓP. Persze, nem minden léptékben igaz, de átlagosan, és kellıen nagy léptékben nézve, az univerzum minden irányban ön-hasonló, legyen ott fekete lyuk, vagy barna törpecsillag, vagy ritkás gázköd, avagy semmi ( 5 atom [-mag] per köbméter). Már egyetlen hang is rekurzió, olyan, mint az anyagi parányok rezgése. Az elektron, proton illetve, minden a világon mozog, rezeg. A rezgés is természeti alapjelenség, az elektron, proton rezgése a fizikában a csillapítatlan harmonikus oszcilláció nevet kapta. A zenei rezgés (pl. fuvola, hegedő) is ilyen, még a zongora esetében is, bár itt csillapodó és fokozatosan elhalkuló (csillapodás) regésrıl van szó. A rezgés, az oszcilláció ki és visszatérés, vagy, mint örvénylı mozgás, ami mindig önmaga örvényszerőségét generálja, tehát önhasonló. Bár részleteiben (alapállapot, kitérés) nem tőnik annak. A harmonikus (egész számokkal ún. harmonikális törvények] és azok harmonikus többszöröseivel összefüggı) mozgás (rezgés) már önmagában egy rekurzív, önhasonló (fraktál) jelenség. Az amplitúdó (kitérés, hangerı) a frekvencia (gyakoriság, rezgésszám, hangmagasság és energia), sıt, a hang felhangjai (részrezgései, aliquot), hullámhossz és terjedési tulajdonságok egymással mind összefüggnek. A tágabb értelemben vett önhasonlóságot és eg ym ás ból köv e t ke zé s t, valamint egymással való összefüggést Luis Borges így fejezte ki; szarv ast mondai annyi, mint legelıt [is] mondani, ahol a szarv as él és táplálkozik, de legelıt mondani annyit is jelent, mint felhıt, esıt és eget [is] mondani, ami annyit is jelent, csillagos eget mondani, ahonnan a föld származik és életet teremtett (in: Isten ujja) A világ a semmibıl keletkezik (creatio ex nihilo) vagy, ami a nyugati kultúrában szocializálódott agyunknak még kellemetlenebbül felfoghatatlanabb- a világ mindig is volt. Valamint, állandóan keletkezik. Mi ahhoz szoktunk, hogy valami valamibıl keletkezik, idıszemléletünk lineáris, jóllehet, ma már a keleti filozófiák cirkuláris idı és változás szemléletété a modern tudományok megerısítik. A világ tehát számunkra ma sincs készen, az egyes részei hatással vannak más részeire, a részek kommunikációja új világrészt generálhat. Az univerzum a folyamatos keletkezés állapotában van a kvantumóceán (Dirac tenger, prána-óceán [energia; csí, khí], az üresség [súnyatá]) végtelen energiája révén. Világunk szélesebb értelemben véve- fraktál világ, a töredékekbıl újra szervezıdnek a nagyobb egészek, melyekben a töredékek megırizve-meghaladva élnek tovább, persze így nincs is értelme a kicsirıl és a nagyról beszélni, csupán a szervezıdési szintek komplexitásáról. 6 Lásd még: Dun kel: HOGYAN TEREMT ISTEN A ZENÉBİL VILÁGOT? A zene metael mél ete (kilábal ás a zeneesztétik ából). Metaelméleti könyv ek, Stratégia Intéz et kiadás a Bp

5 5 Univerzumunk egyébként olyan nagy periódus hosszakat is magában foglal (vö.: Upanisádok, Rg-véda) melyek periódus voltát emberi mértékkel igen nehéz felfedezni, ezért egyedi folyamatnak vagy káosznak tőnhetnek e kozmikus ciklusok történései. Az olyan apró mütyürök, mint amilyenek a protonok, elektronok, fotonok, stb. folytonos rezgést végeznek. Egyfajta de csak rájuk jellemzı energiával bírnak. Az atommag egy szuperponált (egymásra helyezıdı-egymásba csomgaolt ) hullámhosszban egyesíti az elektronok és a protonok hullámhosszait, a felhangok (részrezgések) egy alaphangban egyesülnek (summatio). Az energia csökkentése vagy növelése (~600 MeV [mega] elektronvolt felett) már más minıséget eredményez: az atommag egyéb alkotókra robban szét. Az anyag minden építıköve más-más és rá jellemzı energia tartományban az, amitıl épp az, ami. Ezt a körülhatároltságot nevezi az arisztotelészi filozófia pe rasz nak. A létezıknek adott, rögzített helyük, de legalábbis egy zónán belül vibráló - ingadozó van, amirıl a fizikai állandók tanúskodnak; a világ hangolt, minden alapvetı létezı egy zongora (hárfa) húrja, minden húr egy rezgési világ, egy vibrációs tartomány, egy energiaszint, egy sajátos minıség. (Vö.: Bielavski: Zónaelmélet, Mersenne: Harmonia Universelle, Boethius: Musica mundana musica humana elmélet.) 2. ábra: Harmonia mundi. Az ábra a világ rendjét, a harmonia mundi t ábrázolja. A boly gók [egymáshoz mért és húrarányban kifej ezett] pály ái, a k eri ngési i dık és a pályasíkok matematik ai: tehát z enei arány ban is állnak egy máss al. (Pl. 1:2 -hez 1:5 höz, s tb.) A világegy etem rezgésekbıl épül fel, de a többi világ, a túlvilág, a túli világok, azaz a mi énk tıl el térı rezgés ő világrészek nem l áthatók (nem érz ékel hetık/mérhetık) sz ámunk ra, mert mi túl al acsony rez géső világszeletben lak unk. A Harmoni a Mundi szeml életében a kulcsszó az arány, a viszony, az az a r at i o. Minden, ami v alami máshoz visz onyul, egy ben valamilyen arányban áll, viszonyban, minıségben áll azz al a másikk al. A rez gés igaz a quantum-val óságra, de a rezgés, mint: ritmus kiadta mőködési minta, ma univ erzális jelentıségőnek i mponál. 5

6 6 A rész és egész viszonya a felsı és az alsó ábrán is világosan látszik; önmagában minden létezı sajátos is, és az egészbe ágyazott is. Mindenik különös, egyedi, de csoportban zónát, kapcsolathálót adnak. Pl. a bozonok 7 nem szeretnek túl közel menni egymáshoz, mint ahogy a kisterc távolságban kezdıdik a hangok súrlódása is (disszonanciák-interferenciák). Különös feltételekkor (erıs lehőtés után, pl. a Bose-Einstein kondenzációban) az egymást nem kedvelı anyagi részecskék mégis összeolvadnak (Cooper párok, elektron folyadék), ilyenek a hangfüzérek (cluster) a (pentaton, 5º [ötfokú]) akkord, vagy, pl. Liszt 12 º anya akkordja. 3. ábra. Áramlatban, szigetként (állóhullám) tovafutó csepp, melynek felületén szintén apró állóhullámok és fodrozódások (rezgés!, állóhullámok) vannak. Lásd meg olvasóm: a kicsi és a nagy ugyan az (a nagyban benne van a kicsi, a kicsiben immanens módon ott a nagy lehetısége). Az elıbbiek arra világítanak rá, hogy minden szervezıdési szint relatív lehet, és adott szervezıdési szintek m ás s z e rv e zı dé si s z i nt ek ke l i s együttmőködhetnek. Már 5º akkord felett a hangok nem hangok, hangzatok, így önállóságukat vesztett csoportalkotókká válnak, a hang-perasz hangzat-perasszá válik; szervezettségi színt változásról beszélünk. Ez jelenség az ún. f es tı i z en é ben (Debussy, Ravel) tendenciaszerően jelenik meg. A hangokból (1) épülı dallam és a (tonális [hangnemi 8 ] funkciót kiadó) hangzat (2), mint sajátos szervezıdés megszőnik, hangszínek és hangtömbök (3) lesznek az új szervezıdési szintek (színfoltokkal való festés, - zenei impresszionizmus). A létezık sőrőségsávokban is értelmezhetık (denziták), mind a maguk egyedi és relatív külön-össégükben [sic!], mind más szervezıdési szinthez tartozván. Ahogy a Pauli elv kizárja, hogy egy atommagon belüli részecskék ugyanazon energiával rendelkezzenek, a zenei rezgések is elkülönültek, diszkrétek, ún. zónákban (energia/ frekvencia) helyezkednek el. Egy a hangot hallhatok alacsonynak, magasabbnak, de egy idı után már aisz hangnak, azaz már más zónához (rendszerhez tartozónak) fogom érzékelni. 7 Egész s zámú spínnel (forgással, perdülettel) rendelk ezı részecskék, az alapvetı erık (elektro-gyenge Fich és Croin- [barionok {protonok, neutronok} bomlás a, ß -bomlás ], mágnes es, elektromágnes es és gravitációs) hordozói, vö.: mezonok, fermi onok. 8 Pl. C-dúr, a-moll, d-fríg, h-eol, vagy épp a-myxolíd, no és az indi ai rágák. Hangnem = i nerci arendsz er, a hangok ki adta hangkészl et határozz a meg, milyen jellegő hangnemrıl is beszélhetünk. 6

7 7 Így az egyes hangok egyaránt hordoznak esztétikai jelentést, de hangrendszerek is, akár több hangrendszer együttvéve is (pl. Palesztrina: polimodális kromaticizmus, Lisztnél, Bartóknál: politonalitás). Atomi, szubatomi (atommag alatti, az atommagot alkotó) részecskék sajátos vibrációt (rezgéseket) végeznek; az anyagi építıkövek sem létezh etnek mozgás nélkül (h armonikus oszcillátorok). Rezgés ( mozgás = ene rgi a- mintázat) nélkül nincs anyagi hordozó 9, az ún. zérusponti energia (0Kº [Kelvin], vagy 270Cº) határértéke alatt nincs lét, vagy az ember számára nem nyilvánul meg. A rezgı oszcillátor E energiája (zérusponti energia) E h 2 ω 2 /2 nál nem lehet kisebb. A heisenbergi határozatlansági reláció megtiltja, hogy egy részecske helyét és impulzusát (energiáját) egyszerre, valamint tetszıleges pontossággal ismerjük meg. Ugyanakkor nem lehet zéró egyik érték sem, tehát az energia mintegy rekurzálja önmagát, az energia az Univerzum konstituense. Ez nem a megmaradási törvény, - melyek amúgy is csak zárt rendszerben igazak (energia és anyag megmaradási törvények). Az Univerzumban csak energia anyag létezik, semmi egyéb, ennek viszont végtelen megnyilvánulási formája van, -no és a Tudat (teremtés), ami formát ad az energia nyersanyagnak. Az ún. kvantumfluktuáció azt jelenti, nincs energia gödör, vagy abszolút vákuum, a semmi, az őr 10 ingadozik, energiapotenciálok és valószínőségek, értsd; energia és anyagi tendenciák finoman ingadoznak benne. Az energia nem folyamatosan növekvı mennyiség, zónákban, adagokban (kvantum, a latin: quantum,= mennyiség) terjed, ezt nevezik kvantáltságnak. Mint a hangok. Egy energia (mennyiség) egy hang (minta) egy szervezıdési egység. A részecskékhez tartozó energia kvantumokat az n szimbólum jelöli, n = 1,2,3, [ ] egész számok (vö.: harmonikális törvények!). Az energia nem jön valahonnan, hanem maga az Univerzum energia, egyszerően Van. Univerzális kvantorral is ( ) és egzisztenciális ( ) kvantorral is jellemezhetı 11. Ezzel semmi újat nem mondtam, a zenei világmodell alapja a hang/ rezgés/ energia, a kvantáltság, (minıség, [perasz Arisztotelész]) no és a rekurzivitás. A fizikában a részecske állapotait leíró ún. Schrödinger egyenlet, a de Broglie hullám összefüggés egyfajta húrmodellt ad a részecskék leírására. Ám ennek van elıképe mind (1) Pythagórásznál, mind (2) Platónnál, mind az ún. (3) atomista filozófiáknál (Demokritosz). Mind (4) Arkhimédésznél, ahol a víz az ıselem ( `αρχαí, arkhai), értsd: a Víz tí pu sú re zgé si t e rj e dé s ([koncentrikus körök] és nem a puszta víz) a meghatározó, ıselv, ıstörténés, -szemben az ún. tőz típusú rezgési [ táguló tölcsér] terjedéssel). 9 A részec ske karakterét egy saj átos rez gı-forgó és másokk al k ölcsönható minta adja. A hatás pedi g = tovaterjedés. A rész ecsk ék hullámmintáj áról a fizika Luis de Broglie herc eg óta tud (a [lambda hullámhossz] λ= h/p, ahol h a Planck -állandó, a mi nimális energias ugárz ás hatáskv antuma [h= 6, Js {Joule-sz ekundum}], per a p lendülettel [ami a m tömegő részecske és a v frekvencia szorzata: p=m v]). A testek a hullámtermész ettel (energiáv al) érnek egy másba, hogy ezt a vil ágot egyáltalán, mi nt világot (szövedék et, ös szefüggés rendszert, kölcsönhatás ok hálóját) kialakíthass ák. 10 Úgy tőnik a világegyetem k orai felfúvódását pont az a hatalmas energi a okoz ta, ami maga a vákuum, ekkor még nem érv ényes ült a gravitáció a világegyetem ultra korai szakasz ában (10-36 mp) a térnek feszültsége v olt, a nyomás negatív l ehetett, lás d: Alan Guth, Aleksz ej Sz tarobinszk 11 minden létezı bír energiával, és v an olyan energiával bíró létez ı 7

8 8 víz típu sú és tő z típu sú terjedések És mind a középkori zenei világmodell (Boēthius, Isodorus, Bonaventura, Cassiodorus újplatonitsa keresztény esztétika) esetében. Nihil nuovi sub sole? Nincs új a Nap alatt?? Sokan vádoltak azzal, hogy összefüggést látok, vagy találok meg ott, ahol nincs. Ma már inkább lezseniznek, pedig én nem sokat változtam. Inkább arról van szó, hogy (a túlzott, indokolatlan szerepelvárások és csoportnyomás során kialakult konformizmus miatt) sokan szeretnek szők körben mozogni. És az emberek nem olvasnak, a világ zenei modellje igen régi koncepció, az igaz, a modern felfedezések segítik ezt igazolni, és új megvilágításba helyezni. A kreativitás lényege szerint analogikus, nem egyszerően az új dolog meg ill. kitalálása (invenietív és ún. teremtı kreativitás -az alkotás-lélektani elnevezés szerint) hanem a dolgok/ jelenségek/ törvényszerőségek KÖZÖTTI KAPCSOLAT megtalálása is az. A gondolkodás nem egy szálon fut (konvergencia), hanem számos útvonalat képes bejárni (ún. divergens gondolkodás, és a tekintély sugallta sematizmus visszautasítása). Comissura, interconnectio 12 Ezért oly szomorú, hogy néhai esztétika tanárom kreativitásomat is, önbizalmamat is rombolván, erısen gúnyolódott, mikor egyik dolgozatomban a zene[iség] és az elektron kapcsolatát vizsgáltam. Ahelyett, hogy egy mővészeti fıiskolán mindenképp üdvözlendı kreativitást gondozott volna, egyenesen pusztította azt. Igaz, nem azért volt tanárunk, mert csellózni tudott, hisz nem, nem azért tanított, mert értett volna a Marxista esztétikához, nem, ezekhez sem értett. Viszont kiváló pártkáder volt Amit ezen oldalakon vázoltam nem csak tények, hanem az analogikus gondolkodás terméke is, ugyanazt a jelenséget más-más rendszerben is meglátni. Ez afféle intellektuális Lorentz transzformáció, azaz egyik koordináta rendszerbıl ugrunk a másikba. Átlépünk az egyik inercia (viszonyítási, vonatkoztatási) rendszerbıl egy másikba, hogy ott meglássuk a dolgok közötti ö s s z ef ü ggé s eket, vagy többet, az UNIVERZÁLISnak imponáló törvényeket. A részecskéket ma már a SZUPERHÚRELMÉLET modelljeiként (az atommagnál mintegy szor kisebb, rezgı húrok, ám, mindezt 10 dimenzióban kell elképzelni) próbálják leírni. Ez már kicsit távolabb áll a ré s ze cs ké k e t ál l óh ul l ámként (vagy épp rezgı membránként) modellezı, a részecskét (hangot!) állóhullámként (csomópont = a kitérés [amplitúdó] zérus) leíró de Broglie Schrödinger részecske leírás. 12 Össz ekötés, ereszték (asztalos sz ak ma) skál ával, skálaszerő menettel összekötni k ét hangot, s ıt, k ét tétel köz ötti néhány akk ordos csembaló improvizáció k ötheti öss ze az adott tételek et. (Pl.. Bac h III. Brandenburgisches Konz ert) Inter + konnekci ó (lat.) össz ek öttetésösszekapcsol ás itt a z enét és a vil ág fizikai j elenségei t ös szek ötı bekezdést és más tematikus részt jel enti. 8

9 9 A részecske a téridı zavara, egy-egy örvény a sima téridıben, vagy ha úgy tetszik az ürességben (súnyatá). Rezgı energiaörvények, események (!) alkotják a megnyilvánult (anyagi) világ alapját. A VILÁG ESEMÉNY, együttmőködés (kölcsönhatások végtelen láncolata), ezért nem találsz benne állandót. Az anyagi világ illúziónak tőnik a modern kvantumfizika, a szuperhúrelmélet (lásd: S-mátrix) szemszögébıl -és ez párhuzamban áll a buddhizmus állításával (!), a világ tudat, a világ leginkább álomszerő illúzió, a világ māya: NEM AZ, aminek tőnik. Az energia szétszóródik, az anyagi kölcsönhatások is energiát szórnak szét a környezetbe (= dissipatio), ami terjed, elnyelıdik, vagy épp továbbadódik. Ez a fajta terjedési jelenség a természetben mindenhol megtalálható, való igaz, natura horror vacui, a természet iszonyodik az ürességtıl (miként mi is; az üresség [felületesen] a semmit jelenti az ember számára, így az a szorongás forrása is). A mozgás, terjedés, szaporodás, sokszorozódás, tehát a multiplikáció, proliferáció az élet alapjelensége. Úgy tőnik, az Univerzum életjelenségeket mutat. Minden születik benne, él, növekedik, majd elhal; minta, a minta kibontása, növekedés, variált ismétlıdés, lefőzıdés, termináció mint a kristály, a vírus, vagy egy szerves élılény (sejt ciklus és szaporodási ciklus szakaszai: profázis inter-fázisok, metafázis anafázis, telofázis) fejlıdési szakaszok esetében! A zenei evolúció a gazd ag káos zb ól veszi kezdetét, mígnem megtalálja a konkrét hangmagasságot, majd a hangok rendszerét. A nyugati zenekultúra a zajoktól a bıvülı hangrendszereken át az újra a zajok és spektrumok (fehér zaj kivágásai, rózsaszín és barna zajok 13 ) felé vette útját. A természeti népek pentaton zenéje máig nem megfejtett rejtvény. Óriási változás a Nyugat zenéjében a hétfokúság (diatónia). Di á t ó n os z = az [egész] hangokon [értsd: nagy szekundokon] át, azaz a mai; dó-re-mifá-szó-lá-ti-dó, a nyolcadik hang az elsı oktávval magasabb ismétlıdése, innen a 7 fok. E hétfokúság azonban már Palestrina elıtt is egyre gyakrabban egészül ki az ún. diézisekkel, amik a ti-dó vezetıhangos kapcsolatot modellezik. Dór móduszban jól jön olykor a dó magas párja a di#, mixolyd móduszban a fá magas párja a fi#. Az eol módusz összhangzatos mollá alakulását a szó magas párja a szi# segítette elı. A fá ti disszonancia (diabolus in musicae, -ördög[i] a zenében) kiküszöbölésére is, és a dúr hangsor hetedik fokának modálissá szervezésében segített a ti mély párja, a tá Ь (lásd b -molle és b -kvadratum 14 ). E folyamatban megy tovább a jazz a maga piszkos, adott hangnembe nem illı hangjaival, (blue notes), tovább tágítva a zenei kifejezés alapjául szolgáló hangkészletet, hangnemi (tonális) lehetıségeket. Az egész (nyugati) zenei evolúciója a zörejtıl az újra a zörejig korszakig tart. Az orgánumok (diaphonia) oktáv és kvint, kvart párhuzamai, majd a terc használata, majd a kis szeptimé, nos ez a felhangsor hangjait (aliquot 15 ) veszi fokozatosan birtokba, ez a sejtszervezıdés folyamataival analóg. 13 A fehér zaj minden frekvenciát és minden hangerıt tartal maz. Ebbıl a mindenbıl l ehet kiv ágni egyes z örej, frekv encia s pektrumokat. 14 A B rotundum (kerek B) a mi mai lefel é módosított h hangunk, azaz: B. A hangkészlet bıvülések ént létre jött b hang egyben kiküszöböli a h-f tritónuszt is, a régiek H hangja valaha B quadratum (sz ögletes) hangként volt írva, s a latin ny elvő z eneelméletben elnev ezve Micrologus de Musica, [diaphóniáról való tanítás] Arezz oi Guidó T amás, 1025 (26?) 15 Adott hang csak l átsz atra egy hang, tov ábbi, néhány (= aliquot) más, igen halk, magasabb hangrez gés ek ún. eredı (sz ummatív, összeadódó) rezgése. A FELHANG TÖRV ÉNYE szeri nt elısz ör az alaphang, majd annak a más odik ok távj a, még egy oktáv, maj d a kvi nt, majd megint egy oktáv, majd az al aphang nagy terce, kvintj e és kis sz eptime, ismét oktávja stb. sz ólal meg. 9

10 10 3. ábra, a C hangra épülı fel hangsor eleje: A nagy C hang a többi rész -hang, felhang össz egzıdéseképpen áll elı, mint alaphang. Ahogy a zenetörténet során a zen ed ar abok f okozatos an i nte gr ál ják az úja bb é s úja bb töké le tlen k onszon an ci ákat, mint amilyen (a gótikában) a nagy terc, majd késıbb: a kifejezetten ambivalens kis terc, úgy nyeli le a sejt a ma már belsı alkotóivá lett sejt-organellumokat, sejt-szervecskéket. Ilyenek, pl. a mitokondriális 16 RNS t, a sejt más endoszimbiontái, belsı együtt-élıi valaha lenyelt, de önálló entitások voltak. Az ember szervezete is teli van ilyenekkel, amik nélkül, pl. az emésztı baktériumok nélkül nem tudnánk létezni. A mikrokozmosz hasonlít a makrokozmoszhoz, (Hermes Tristmegistos), ám a tudomány elvette az eszünk; a nem indokoltan külön-álló területekre hasított világunkban, az önkényes rész-terekre szeletelésben elvágjuk az összefüggéseket. Talán nincs is kicsi, meg nagy, ezek igen relativisztikus fogalmak, egy egész galaxis van egy homokszemben. A világ bármennyire is gazdag formákat és mőködéseket mutat, ezek mögött egyszerő, kevésszámú és univerzális mechanizmus, törvény, arkhé 17 húzódik meg. A világ egy-két alapötleten (inventio) és néhány alapvetınek tőnı mechanizmuson alapul, de passzív építmény. Az ötletek és törvények úgy tőnik- végtelen variációt engednek meg. A fizikai törvények (pl. Boltzmann, vagy Planck állandó) egy másik részterületen, életszilánkban, az egysejtőtıl az emberig mőködik, de álforgatott, transzponált, módosított alakban. Egy alapelven több lehetıség mőködési elv. A világ ezért moduláris (modul = építı kı, alapegység), azaz: lego szerő. Pl.: vagy; vagy;, stb. Néhány alapelem, ötlet (téma, atom, kristályok 18!, molekula, sejt) és sokszámú értelmes, az alaptémára önhasonló szimmetriát, variációt (fejlesztések) enged meg. A világ variáció, és a variációk együttélése, ám a variációs sorozatok nagyon nagy távolságra is elvezethetnek, fel sem ismerve az ısi Egy-séget. 16 Mítosz + chondra, az egys ejtő sz erv ez etek sej t-szervecskéje a sej tlégzés és az anyagcs ere egyik helye. 17 İselv, ám az ógörögben ennek érdekes módon- csak többes száma l étezik! 18 Alapsz erkez et sz erint csupán 7 féle k ristályszerkezet van, (k ocka, tetragonális, rombos, monokin, triklin, hárömszöges) mégis, a variációk száma a megsz áml álható v égtelenbe tart. Tipik us: egy al apelven több l ehetıség mőködési elv. 10

11 11 4. ábra Koch féle hópehely háromszögbıl matematikával elıálló hópehely Ennek anal ógi ája a termész et hangjaiban (rózs aszín z örejek) is megvan. A z ongorabillentyők véletl en, irányítatlan leütögetése, mint a koordináta rendsz erben bolyongó pont lassan-lassan tendencia, iránypreferencia (=dall am) és apró, értel mes rés zletek j önnek létre. A teremtés a s ok fejlıdési vonal a k áos zban potenci álisan adott. A lego játék darabkáiból, a fehérjéket alkotó molekulákból (cukorbázisok; citozin, adenin, guanin (DNS esetén), timin [uracil - RNS -ben]) 19 egy egész élet felépíthetı. A timin és uracil (5-metil-uracil) A csempékbıl és parkettákból, egyszerőbben és általánosan: alapkövekbıl-modulokból nagyszámú minta, szerkezet, mőködés konstruálható. Az alkoholok (R-O -H), az éterek, a fenolok ( benzolgyőrő, mint, modul elem), az etilén (CH 2 =CH 2 ), a mőanyag polimerek kiváló kémiai példák a moduláris építkezésre. Aki csempézett fürdıszobát, parkettázott (egybevágó alakzatok) lakószobát tudja, néhány elemmel a (1) transzformáció, elforgatás, (2) variáció, vetület nagyításával, kicsinyítésével sok-sok variáció hozható létre a kevésszámú alapelemekhez képest. 5 ábra: Penrose csempék (Ammann-csíkok ) és s peciális idomokk al (al apelemekkel ) rafinált matematikával a s ík így is l efedhetı. Alapelemek (hangok, motív umok, sejtek, molekul ák ) A lényeg: ALAPELEMEK + MŐVELETEK TRANSZFORMÁCIÓK ÚJ STRUKTÚRÁK Aminosav molekulák (alapkövek) peptideket 20 adnak, a peptidek polipeptiddé kapcsolódnak a peptid kötés által (NH-CO) a fehérjemolekulákat építik fel. Ami növekvı komplexitást tesz lehetıvé 6.1. ábra : +, aminosavak: di, tri, tetrapeptidek: - - -, polipeptid: / / / / / dipeptid dipep tid tetrapeptid 19 Vö.: Lambdoma, Ji-Csi ng és a genetikai variáci ók (64) összefüggés ét és a z enei hangk özök (1:2:4:8:16 64, v alamint az anyagi szerkezet N=8 térkvantum) mélyebb ös szefüggéseit. A világ : z enei!! R.Haase: Harmonikal e Synthese 1980 (?) 20 Ha szerves savak (pl. karbonsav) H atomját a jellegzetes NH2 (a mino) csoporttal helyettesítjük, aminosavat kapunk. Aminosavakból épülnek fel a peptidek, de a polipeptidek már fehé rjék. 11

12 12 Polipeptid gombolyag fehérje váz-szerkezet ami komplex fehérjévé alakul szerint. A peptid-csoport magenta színnel kiemelve. Szerkezeti modell: az Alanin fehérje α-helix -je az atom-modell Gyakorlatilag izomerek, modulok, ALAPELEMEK és összekapcsolásuk + eltérı összekapcsolódási lehetıségekrıl értsd: iterációjáról 21 van szó, (iteráció = gyakorítás, közelítés [egy értéket sok lépésben egyre pontosabban elérni] valamilyen feltételrendszer szerinti mővelet, [matematikai algoritmus, egyenlet] szerinti ismétlése, visszacsatolással, ún. szekvencia-képzés). A ferritin k ristály-struktúráj ának épülés e, komplex itás növek edés beépülı modul elemekkel. Ak ár a kánon, a fúga i mitáció, úgy i mitálják egy mást az újonnan beépül ı modulok, akár más térbeli pozíciót el foglalv a, mint, pl a tükör kánon, rák-k ánon ábra: ELEM (molekula, izomér, minta ) IMITÁCIÓ az I MITÁCIÓ és gy ak orítás (iteráció) RENDJE komplex FORMAképzıdés Kulcsszavaink és fogalmaink az elıbbiek alapján tehát: REKURZIÓ önhasonlóság, zeneileg: variált ismétlés KAPCSOLATOK HÁLÓZATA, - minden kölcsönhat mindennel, FRAKTÁL, azaz töredékek, helyesebben, olyan kicsiny részletek, amik az egészet létrehozzák, A RÉSZLETEKBİL ÚJRA ÉPÜLİ ALAKZATOK rekurzív mőködés és rekurzív matematika, MODULARITÁS a kicsi elemekbıl (fraktálok, molekulák, sejtek, motívum ízek - motívumok) újra elıálló alak, vagy mőködés, pl. Mandelbrot halmaz VARIÁCIÓ - ismétlések eltérésekkel, 21 Más néven ciklus, vagy ismétlési szerkezet. Valamilyen feltételtıl függıen ismétlünk meg egy tevékenységet, vagy tevékenységsorozatot. Az ismétlésre kerülı tevékenységek alkotják a ciklus magját. 12

13 13 A világ nem egyszerően azért zenei, mert a zene = rezgés, és az U n i v e r z um l e g al ap ve tı b b m o zg ás a i g e ni s vi br ác i ós természető (a részecskék, mint rezgı gömbök, membránok -rettenetes feszességi erıvel [ún. feltekeredési energiával] bíró, szuper kicsi húrok. Hanem, maguk a ze n e i m ő v e l e te k, mint ellenpont, téma, motívumfejlesztés, ismétlés, variált ismétlés, ellentéma, rondóforma, stb. is gyakran és változó fokban, de önhasonlóak, lényegileg, mint alapelv: önhasonlatosak. A világ részei (még elvont alakban is) hasonlítanak egymásra, mégpedig majdnem a szigorúan matematikai értelemben vett rekurziónak megfelelıen, bár én ezt e szerény munkámban ki t ág í t o t t f o g al o m k én t értelmezem. Az egy-két alapötleten, alapelven-ıselven és mőködésen (princípiumok) alapuló világ olyan, mint a zenei kánon, a fúga, a ricercare (ejtsd: ricserkár, ol.), variáció, klasszikus szonátaforma, vagy egy alapbasszuson, alapharmónia meneten (ıselv) alapuló formák hasonlatossága, passacaglia (ol.) chaconne (fr.), ground (ang.), recercada, ciacone (ol.). Ezek a táncból stilizált szigorú formák egy állandó alapbasszuson, és/ vagy ismétlıdı harmónia meneten alapulnak 22. Az ismétlıdı részek, a variált ismétléssel, szimmetriával eltolt szimmetriával, egymásra rímelı formarészekkel építkezı zenei formák elıképe, természeti mintája és elvont matematikai alapja (platóni ideák??) mind adott (BAR forma [AAB ] negatív BAR forma [ABB], háromtagú dalforma (ABA), rondó (ABACADA), és folytathatni lehet, ad infinitum. 7. ábra: k eresz tszemes hímzés pozitív ill. negatív mintái és elforgatás ai, sz ekv enci ái, vetül etei (a mi nta transz poz íciói ): Keresztrajzolás egyszerû iteráci óval (gyakoritás-k öz elítés) 22 A l egsz ebb pél da talán Johann Pac hel bell, k ét hegedős k ánonja, ami egy bassz us (csell ó szólam) és az arra épül ı akkordmeneten (csembal ó) al apul. 13

14 14 Ismétlıdınek tekinthetjük a forma /funkció /tartalmi elemeket (ütem, motívum, minta, faág, erezet, frekvencia [hangok!], sugárzás, elrendezés ) még akkor is, ha az ismétlıdı tagok más léptékőek, a nyújtott (augmentált 23 ) vagy aprózott (diminuált) alak is rekurzivált (önhasonlított). Gyakran a formai rendhez, megszervezettséghez kötjük a periodicitást, azonban az út a rendbıl a káoszhoz gyakran az ún. p e r i ód us d u p l áz ot t (értelemszerően: vagy épp periódusfelezett) alakzatokon keresztül vezet. A: ti-ti tá már ilyen:, kicsi ház = rövid, rövid - h os s z ú. Ilyen egy vers részlet, ilyen maga a már említett BAR forma, A + B alakzatból lesz A + B B, a B rész ismétlésével, értsd: periódusduplázott formai résszel egy újólag elıállt forma. Igen, ez bájosan egyszerő, mondhatni, primitív, de a periódusduplázás már minıségi (arány = ritmus) ugrást jelent egy gyógyszermolekula esetében, ami eddig gyógyított, most, periódus-kettızött alakban halálos méreg. Az ionok (elektromos erejének) periódusduplázása alapvetı változást jelent; az elektronegativitás növelése rendkívül agresszív reakcióképességet (ún. affinitást 24 ) eredményez. Az ún. transzpozíció gyakran elváltozó alakba helyezi át a témát (alakot, mőködést, alapelvet), de a formarészek, funkciók, témák stb. közötti viszony mégis: invariáns, azaz nem változik, az át helyezéssel ellen-álló. Ilyenek a más szöveti környezetbe került (trans = át, ponere = helyezni) mirigyek, vagy hormont termelı endokrin (és parakrin 25 hatású) mirigyek, vagy éppen a Beethoven szonáta témafejlesztése (lásd iteráció, variált ismétlés, kibontás-fejelsztés-evolúció), bizonyos mozgékony elemek a génekben, vagy az ún. palindróm génszekvenciák, tükör szimmetrikus (enantiomorf) molekulák), vagy éppen: a rák, tükörrák fúgák. A ritmus nem csak idıbeli jelenség, hanem arányt (ratio), mértéket (mensura), változást is jelentenek. A fentiek a ri tmus e l vé t tartalmazzák, amirıl sajnos még a zenészek is azt gondolják csupán idıbeni természető, vagy csakis zenei jelenség. Pedig maga a RITMUS (értsd; az egymáshoz mért arányosság) ARKHÉ, olyannyira, ha rossz az agyhullámuk, a szívük, vagy épp a májuk kiválasztási ritmusa, bele is halhatnak! A LÉPTÉKEK - MÉRTÉK megváltoztatása egy határon túl az emberi mértékeken kívül fog esni, azaz számunkra- kaotikus lesz minden eleddig rendezett szerkezet. A Bociboci tarka gyermekdalunk felismerhetetlenné válik, ha a hangok többszörös oktávjukra bıvülnek és extrém lassú (vagy gyors) lesz a tempo; 23 Augmentációval történı ön-reprezentáció ismert a biológiában, az utód, a sz ülı viszonya is ilyen, és ez az egészfajjal k apcsolatos informáci ót, izomorfizmus megırzi (iz o = has onlatos, morfé = al ak). Kánonok és fúgák esetében gyakran látunk augmentáci ót; a megnövelt hang értékek szóról-szóra hozzák a témát. 24 Vegy ülési hajlam, reakció heves sége, pl. fluoré, klóré igen heves, de az alkáli föl dfémeké is (nátrium, kálium, líti um, etc ). Vö.: az emberi temperamentumokk al, szangvinikus flegmatik us reakci ó-intenzi tás (i mpulzivitás) rész ben a biok émi a eredménye is! 25 A miri gysz övet k özvetlenül önmaga szomszédos sz öveteit szabályozz a 14

15 15 8. ábra: a léptékmódosulás MEGİRZI A B ELSİ VISZONYOK invarianciáját, de az adott minta (Boci-boci tarka dallama) percepciója felismerhetetlenné is válhat: A zenei hang (ha nem elhaló, nem csillapított) olyan, mint egy elektron rezgése; periodikus. A zenei mondat is olyan, mint a hang, periodikusan is viselkedik, a klasszikus zene mondat neve is periódus. A ciklikusságot jelölı görög szó jelentése: peri + ódosz = körülsétálni. Figyelem, nem csak a hangjelenség hullámjelenség, hanem léteznek kémiai hullámok (diszperziós [különbözı részek, fázisok keveredése], reakció-intenzitás hullámjellege, stb.), sıt, szociológiai jelenségek, vagy épp evolúciós változásoknak is van hullámtermészete, hullámfüggvénye (vö.: Euler és Langrange modellek, Poisson eloszlás és ezek tágabb értelemben vett vonatkozásai). A rezgéshullámhoz hasonlóan a zenei mondatnak is van duzzadási helye, maximális kitérési pontja (érzelmi tetıpontja) valamint nyugvópontja. A klasszikus zenei periódus (Mozart zenéi jó mintaképül szolgálnak, de népdaloknál is sokat találni belılük, az ún. barokk szonáta építkezésében is, középkori dalokban is) nyitó záró szerkezető; NYIT ZÁR, emelkedik süllyed, feszül old. Azaz; az egyik félmondat, vagy nagyobb terjedelem esetén az egyik zenei mondat nem a hangnem záró hangján, a finalis -on (dó, lá), nyugvópontján végzıdik, általában ré, vagy szó (vagy ezekkel ekvivalens, [ún. helyettesítı hangok]) hangon végzıdik, de nem lezáródik. Az ilyen periódus fél-periódus, nyitó mozdulat, vagy (zeneileg) kérdı mondat a neve. A válaszmondat a hangnem alaphangján (centrumhang, tonika) záródik. Ez kozmikus jelenség, már maga a dó (tonikai centrum) és re váltakozás is kérdés (emelkedés, feszülés) és válasz (süllyedés, megnyugvás). A zene egyúttal mindig mozgás is, a táncból kölcsönzött szakkifejezéssel a kérdés arz is (emelkedés, a láb emelése lépéshez) a felelet pedig t é zi s (lépés, a testsúly lábakra helyezése, a mozdulat vége). Nagyobb léptékben a egy egész ütem, illetve félperiódus (átlag 4 ütemnyi), vagy akár egy egész zenei szakasz (több mondatnyi terjedelem) is lehet a rz i s (összehúzódás, szüsztolé), folyamatos emelkedés, vagy t éz i s (diasztolé, elernyedés) is. Arzis és tézis tagolású a rezgı húr nyugalmi csomópontja (zérus amplitúdó) és a duzzadó hely(ek) is, a mozgás és nyugalom, a feszültség (disszonancia) és oldás, a szünet és hang. Nemde, (az indai teremtésmítosz szerint) Síva Istennı, dobütésekkel teremtetette a világot. Csakhogy a SEMMI és VALAMI nem egymás ellentéte, inkább EGYMÁSBÓL ÉS EGYMÁSBA ALAKULNAK. Arzis-térzis, csend és hang, nem egymás ellentettei, hiszen nem lehet rezgés zérusponti amplitúdó nélkül, nem lehetne zaj csend nélkül, a nyugti kultúra nagy hibája, hogy ellentétpárokban gondolkodik. 15

16 16 A nagy nem a kicsi ellentéte, hanem a nagy a kicsibıl jön, a kicsi meg a nagyból keletkezik. Így az arz i s és a t é zi s, a csend és a hang, a nyugalom (csend, üresség) és a rezgés is egymás önhasonló 26 alakjai. A dallam transzponált ismétlése (szekvencia) is önhasonló, egy alapmelódia transzpozíciói nem csak felismerhetıek, hanem matematikai modelljük lényegileg hasonló, legyen a transzpozíció reális (hangköz-hő), vagy tonális (hogy hangnemben maradjunk megváltozik egy-két hangköz, pl. Nagy szekundból kis szekund lesz, kvintbıl kvárt, stb.). Pl.: dó-re-mi-szó-re-dó. A hasonlóság ré hangról is, vagy mi hangról is szembeötlı: re-mi-fá-lá-mi-re, vagy; mi-fá-szó-ti-fá-mi. A dallamépítkezés kisebb egységeiben is lehet önhasonló, mégpedig a modularitás révén, hiszen az építıkockák, alapelemek (hangok vagy hangkapcsolatok). A modularitásra jellemzı, hogy hány alapelem van, milyen azok kapcsolata, s milyen mőveletek) szimmetria, eltolás, elforgatás, transzpozíció, kicsinyítés, nagyítás, arány és léptékváltoztatás, permutációs stb.) végezhetık vele. Aki egy-két fajta cseréppel vagy két-három alakú parkettával, vagy csempével próbált már falat (más síkot) kreatívan lefedni, máris találkozott az ún. elliptikus egyenletek problémájával (ógörög filozófiai, s csak késıbb matematikai eredet!) vagy az ún. MODULÁRIS FORMÁKkal. A m od ul ári s s oro zat s ok es et b en al kal m az h at ó a z e ne i f ormaré sz l et ek re, az M egyenlet, az M sorozat megmondja melyik alkotóelembıl (hangközök, szekvencia, imitáció stb.) mennyi van. Legyen pl. az egyes alkotóelembıl egy, M 1 =1, a másodikból, mondjuk, kettı, M 2 =2, a harmadikból három, M 3 =3. [...] A zenét nem véletlenül hasonlítják a matematika, kombinatória ágához. A dallami mozgások térbeliek, de síkba is vetíthetık, így kapunk akár vizuális, akár matematikai analógiákat. Escher képei, a gének szakaszai, bárminı építıkockából való kirakás, a sík parkettázása, adott idomokkal való lefedése mind M sorozat, ami lásd T aniyama és Shimura munkásságát- összefügg az ógörög elliptikus (E) egyenletekkel 27. Escher képe a barokk zene motívumfejlesztésével analóg. 26 Contraria s unt c ompl ementaria az ellentétek, egy ben egymás ki egészítıi is, egy mőst magukban hordozzák. A ny ugati, tudományos gondolkodás rész ek re szedı mec haniz mus a nem is meri az egységben v aló gondolkodást. E mondás nagyon ısi (tehát az emberi, poláris gondolkodásmód nem igaz ), manaps ág Niels Bohr címerén [is] található feliratra gondol nak a fény hullám és részec ske természetév el kapcsolatban (a fény egysz erre k orpuszkula és terjedési hullám). 27 X 3 X 2 = Y 2 + Y, v ö.: az ún. óra-aritmetik át 16

17 17 9. ábra, Escher: Circle Limit (Vö. Bach végtelen [rák-tükör] kánonjaival (Die Kunst der Fuge) Már maga a barokk zene motivikus fejlesztése (motívum-ízekbıl) is egyfajta (de nem szorosan vett rekurzió) önhasonlóság. Persze, matematikai értelemben különbséget kell tennünk rekurzív és kvázi rekurzív halmazok között, itt azonban annyi elég, hogy azonos motívum ízekbıl való folyamatos fejlesztés eleve önhasonlóságot eredményez. ı etc. A motívum, és/vagy ritmusegység rekurzivitására kiváló példa Gounod: Ave Maria kíséretére, ami J. S. Bach, egyik C -úr prelúdiuma, de hasonló a Schubert: Ave Maria kísérete is, nem különben Bach: III. és VI. brandenburgi versenye. A III. Brandenburgi verseny állandóan ismétlıdı [és daktilusnak lejegyzett, valójában anapesztus ritmusgyökér 28 ] uralja a mozgás ritmusát. Dallami-ritmikus egységet alkotva teremti a darab egynemőségét, önhasonlóságát, tudniillik tetszıleges ütemben, félmondatban (~4 ütem) periódusban is a darab: önhasonló. A S ie rpi ns zk i h ár omszög (10- áb ra) egyszerre mutat (α) önhasonló, (β) iteráció és (γ) vetületi 29 összefüggéseket: 28 daktil us, anapesztus. 29 A z enében a vetül et egy adott dallam kicsinyítés e, vagy nagyítás a, pl. dó-lá-mi-szó ( ) mintából kis ebb távolságokra módosul: dó-fá-re-mi ( ). A fúga, kánon i mitációk or jel entk ezik a v etületi eltérés, az ún. tonális (hangnemi keretben megmaradó) vál asz, vagy a hangnemet elhagy ó, ún. reális v álasz esetén. A barokk zene imádj a a sz ekvenciát, mert ugy anazt más - más hangk özök kel és más vetül etben mutatja meg ugy anaz másként. 17

18 18 A variációs formák harmadik fajta rekurziót tudhatnak magukénak, ez az alapbasszuson és/vagy alaplüktetésen, vagy egy harmónia sorozaton (pl. recercada), vagy imitációs szakaszokon (kánon) tehát visszatérı cikluson alapuló zene. Vagy a basszus tér vissza (basso ostinato, pl. ciacona [chaconne], ground, fox-trot, rock n roll, vagy az adott tánczene ritmikus lüktetése. A visszatérés nem csak egy egyszerő, mondhatni primitív technika, de erıs szervezı erı is (innen a szorongás csökkentı hatása). Mivel a tánczenék lényegük szerint egy alaplüktetésre és ritmikus mintára épülnek, elég megadni az alapkaraktert (tempo [gyorsaság] + ritmusminta): ti. ri tá-tá, ti. ri tá-tá = mazurka etc. tá-tá-tá tááհ, tá-tá-tá tááհ = keringı Հ Հ etc. tá ti-ti, tá ti-ti = csacsa-csa etc. A tál ea (~ részlet) a középkori zene ritmusmintája, olyan jellemzı és folyton visszatérı ritmus szakasz ami már önmaga a kompozíciót alapvetıen szervezı alkatrésze. Így valósul meg a változás és az állandóság, stabilitás és folyamatos újdonság. Szorongás, vagy biztonság, helyesebben: szorongás, ÉS biztonság. E kettı dinamikája ad a nyugati kultúra ún. fe j l ı d ı z e ne lényegét, nem úgy, mint; Kelet zenéje, mely joggal nevezhetı organikus zenének is, ennek a lényege nem a fejlıdés (ki-fejlesztés, valahonnan valahová el-érkezés), hanem az állandóság! Kelet és Ázsia zenéje pont az organikussága révén jellemzıbben rekurzív is. Ismétlés, oktávpárhuzamos unisono, gyakori visszatérés, variált visszatérés jellemzi, nem tart valahová, hanem van. A variáció, a szvit, a rondó, a variált triós forma, a szonáta és a hozzá sokban hasonlatos szimfónia mind-mind egy, vagy egynéhány téma, motívum kibontása, fejlesztése, felnevelése, lehetıségeinek körüljárása. A fraktálszerkezet maga a variáció. Persze, habár minden rendszer, alakzat, így a Mozart szonáta is, tipikus, néhány rendszer bizony sokkal tipikusabb, mint mások. Annak idején, a klasszikus zenei formatan órán keresve sem találtunk két egyforma szonátát. Csupán az elvont, elvi szonátaforma halmazába illı, másként szabályos és másként szabálytalan Mozart szonátákat. Minden zene tartalmaz rekurzív elemeket, de nem minden zene nevezhetı rekurzívnak, a rekurzív zenék leginkább a Kelet organikus (vö.: phí phat forma) zenéi. Már maguk a hangok is, mint mo d ulá ri s e l eme k (M-egyenlet, ill. az Elliptikus egyenletek összefüggései) rekurzív módon viselkednek. Pl. a c 1 hang az a 1 hang rezgésbeni variánsa. A c 1 hang ún. transzpozíciója, épp úgy, ahogy a zöld szín igenis a sárga szín analógja. A rezgés már önmagában egyfajta nagyobb komplexitás, (α) állandó állapot (steady state) egyszerő rend, val amint (β) ciklikus (periodikus) folyam at, ugyanakkor, a nemperiodikusság, (vagy hang-rendszer interferenciák) esetén (γ) már káosz is. És ez már önmagában is egy ciklus: 18

19 19 Az éter (a tér) sajátos inhomogenitása, anizotrópiája eredményeképp megjelenı v a l a m i tulajdonképpen az eddigi k áo sz bó l l ass an mege rı sö dı : ten de nc ia (gazdag rendetlenség, kvantumbizonytalanság),.... ami lassan átmegy; s za bál y os r e zg é s be (primitív, egyszerő, banális rend, pl. elektron), mely stabilizálódik, majd elvesztheti ezen alakzatát, egyre több véletlenszerő, szabálytalan elemmel (gazdag rend) gyarapodva megszünteti a rendet; k áos z jelenik meg. Mely káosz a tulajdonképpeni kiinduló állapot/ feltétel. A káosz kikezdi az elızı és stabilizálódott tendenciákat. Ugyanakkor a káoszban is van törvényszerőségek. Visnu istenség (a semmibıl, alaptézis) teremt (megerısödı tendenciák), Brahman folyamatosan megújítja a teremtést (a rendszer olyan matematikai paraméterei, amik stabilizálják a rendszert; anti-tézis), Síva lerombol (pusztítás, bomlás, szintézis) de csupán azért, hogy a világ megújulhasson ciklikusan szemlélve nincs teremtés és megújulás, hanem folyamatos teremtés van, és a változások vég nélküli árama. Ez nem csak matematika, vagy fizika, s nem csupán zenei folyamat, hanem, úgy tőnik; kozmikus jelentıségő alapfolyamat. Igazán nem szívesen vesszük tudomásul, hogy a fizikát Kelet Bölcsessége 30 és a nyugati filozófiát is meghaladta öt-, tízezer éves filozófiája. Nem csupán egy hang, a másik hang derivátuma, magasabb változata (sőrőbb frekvenciája) vagy hangosabb változata (amplitúdó vari ánsa), h anem egy hang egy egész akkord (harmónia) részhangja is, alkatrésze is. Egy hangban benne van (a felhangsor révén) pl. a dúr akkord is, a moll hármashangzat, vagy akár a szeptim hangköz is. Egy adott hangköz nem csak pl. nagy terc (N3), pl. dó-mi [pl. c-e, vagy f-a] hanem a kis szext megfordítása is lehet. Bár a színek látható tartománya ( nanométer) nem ad ki egy oktávot (színeknél nincs oktáv 1:2:4:8:16, ), a színek rendszere mégis hasonlít (1:2:3:4, etc.) a zenébıl megismert tonalitáshoz, rendszerszerőséghez. A zene alap-, centrumhang és funkciói a tonika (T ), és ellenlábasai, a domináns (D) és a szubdomináns (S) valamint a tonikát helyettesítı VI. fok, a tonikai parallel (P) egyfajta (1) gravitációs, szilárd fizikai, valamint (2) szemantikai inercia -rendszert, ekképp (3) esztétikai jelentéshálót eredményez. A meleg-hideg (ellenszínek) és a komplementer színek törvényszerőségét régóta ismerjük (Pythagórasz, Newton, Goethe, Schrödinger). A komplementer színek (vörös és kékeszöld, ibolya és sárga, stb.) hullámhosszainak szorzata állandó. Miként a zenében; a tonika (T) = D (domináns) S (szubdomináns)! Ennek okán találni analógiát a zeneiség és a színvilág között! (λ-559). (498-λ ) = 424, ahol az 559 nm hullámhossz a sárgát, a 498 as λ (lambda) hullámhossz a kékeszöldet jelenti. 30 A bölcs esség nem szak tudomány, ezért a s zak tudomány ok és áltudományos teki ntélyural om idején nincs értékük. A bölcsesség lényegileg i nkább kontextuális tudás és magas abb tudat szint. 19

20 20 A komplex színrendszer (a zeneihez hasonlóan, ill. abból merítve elemzési ötleteket) ismeri az ALAP (Helmholtz, és Young 31 ) KOMPLEMENTER és ELLENszíneket, a KIEGÉSZÍTİ színeket -a fizikus Schrödingernek köszönhetıen a festık és a fizikai színelméletesek vitája egy új, zenei (!) rendszerben (a v ál t ós zí n fogalmával) feloldható (Annalen, der Physik, 1905 Ervin Schrödinger). Tonikai középpont (pl. C- dúr a-moll) és párhuzamos mollja egy sajátos viszony. Ez a párhuzamos a moll, egyszerre tartozik a C-dúr középponthoz is, meg önmaga relatív egészéhez is, mint a-moll. Azaz a C- dúr VI (hatodik) fokára épülı természetes harmónia. Egyben a szubdomináns F-dúr (IV. hangnemi fok) harmadik foka, és ezek mellett szervesen tartozik a (szintúgy szubdomináns funkciójú) d-mollhoz, az arra épülı harmónia ötödik fokaként Az elsı emelet a földszint plafonja, de a második emelet padlója is, és jobbról is, balról is lakások a szomszédjai. Az idézett, C-dúrbeli a-moll, mint a C-hangnem VI. foka, része valaminek (hangnem), de mint a-moll, önmaga egésze is egyben (holon). A re nd s ze re lv ő természetszemlélet mindent összefüggésekben, tehát kapcsolatokban, az ADOTT JELENSÉG KAPCSOLATAIBAN lát. A világon talán mi n d en d o l o g e g y s z e r r e tö b b r e nd s z e r t ag j a i s, sıt, egy rendszerben önálló(bb) integráns(abb) egész, egy másik rendszerben viszont rész. Így valósul meg Indra hálója; ami tükrözıdik az agymőködésben is, holografikusság; egy sejten (modul, alapegység) is sok ezer másik sejt végzıdik, és viszont. Már egy sejt is másik ezer sejt felé nyit, így nem a sejt, hanem a kapcsolatháló a lényegi mőködési szint, melyben minden más sejt is benn van. Ezt nevezzük a konvergencia-divergencia elvének. Így van egy valamiben a többi, egy a mindenben, mindenben az egy holografikusan miként Indra isten hálója, egy gyöngyszemben benne van (tükrözıdik benne) a többi gyöngyszem is, és a többi gyöngyszemekben valahogy benne van az az egy is. Integráció és autonóm funkció, mindez egyszerre! A világ ezért egész, holografikus, holisztikus, hiszen a rendszerekben sokmillió irány egyszerre tud megvalósulni! Rendszerek lesznek nagyobb rendszer részei, részletek tudnak egészként is mőködni. A hang, a hangköz, a néhány hangos motívum íz, a motívum, a zenei téma, az ütem, a mondat, a tétel rész nos ezek mind rendszerelmélettel közelíthetıek meg leghatékonyabban, tehát alrendszereket; holonokat alkotnak. Ezek a holonok lényegi pontjai a modularitásnak is, de a Mandelbrot halmazoknak is. A világunk, mely öngerjesztı, nem takarékos, a jelenségek ha tehetik- terjednek, szaporodnak, hatnak más mintákra, jelenségekre, mőködésekre, a világ mindent kipróbál. Bár világegyetemünk nem fraktál, a szó matematikai (halmazelméleti) értelmében, de bátran ki jelenthetı, hogy a világunk igenis, kvázi-rekurzív, azaz minden ízébenporcikájában átjárható, összefügg, egymásra ható, és végül is l é nyegi ön has on ló sá got mutat. Az anyagi univerzum gyakran tőnik monomániásnak, hisz a világ gyakran csupán- egyetlen ötletbıl - ötletcsokorból bomlik ki, mint végtelen variáció. (Bach kétszól am ú invenci ói, avagy a genetikai építıkockák (cukorbázis párok kapcsolódásai a DNS ben). A rekurzivitás lényegi tulajdonsága, hogy a mőveletek, a variációk, szimmetriák, elforgatások, stb. i nf ormá ci ó t me gt art ó t rans zf o rm áció k. Az eredeti alakzat n számú mővelet után önhasonló alakot ad ki, újólag. 31 Kék, z öld és piros (a festık régebben a pi rosat, k éket és a sárgát tartották al apsz ínnek, ami bıl az össz es többi kikeverhetı). Lásd; három és négy -szín elmélet vita. 20

Dunkel N. Norbert Rekurzív zene, avagy pillantás a zenei univerzumba

Dunkel N. Norbert Rekurzív zene, avagy pillantás a zenei univerzumba 1 Dunkel N. Norbert Rekurzív zene, avagy pillantás a zenei univerzumba (zenefilozófiai ricercare, avagy: [az eddigi esztétikákból ki, és szélesebben] körül tekintő zeneesztétika) Heller Ágnes filozófusnak1

Részletesebben

Hullámok tesztek. 3. Melyik állítás nem igaz a mechanikai hullámok körében?

Hullámok tesztek. 3. Melyik állítás nem igaz a mechanikai hullámok körében? Hullámok tesztek 1. Melyik állítás nem igaz a mechanikai hullámok körében? a) Transzverzális hullám esetén a részecskék rezgésének iránya merıleges a hullámterjedés irányára. b) Csak a transzverzális hullám

Részletesebben

Modern fizika vegyes tesztek

Modern fizika vegyes tesztek Modern fizika vegyes tesztek 1. Egy fotonnak és egy elektronnak ugyanakkora a hullámhossza. Melyik a helyes állítás? a) A foton lendülete (impulzusa) kisebb, mint az elektroné. b) A fotonnak és az elektronnak

Részletesebben

11. Egy Y alakú gumikötél egyik ága 20 cm, másik ága 50 cm. A két ág végeit azonos, f = 4 Hz

11. Egy Y alakú gumikötél egyik ága 20 cm, másik ága 50 cm. A két ág végeit azonos, f = 4 Hz Hullámok tesztek 1. Melyik állítás nem igaz a mechanikai hullámok körében? a) Transzverzális hullám esetén a részecskék rezgésének iránya merőleges a hullámterjedés irányára. b) Csak a transzverzális hullám

Részletesebben

A ZENEI HANGOKNAK IS VAN NEVÜK. EZEK A NEVEK ÍGY HANGZANAK: C (cé) D (dé) E (é) F (ef) G (gé) A (á) H (há)

A ZENEI HANGOKNAK IS VAN NEVÜK. EZEK A NEVEK ÍGY HANGZANAK: C (cé) D (dé) E (é) F (ef) G (gé) A (á) H (há) MINDEN GYEREKNEK VAN NEVE. NEKED MI A NEVED? A ZENEI HANGOKNAK IS VAN NEVÜK. EZEK A NEVEK ÍGY HANGZANAK: C (cé) D (dé) E (é) F (ef) G (gé) A (á) H (há) BIZTOSAN ELŐFORDULT MÁR, HOGY NEM A NEVEDEN HÍVTAK,

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

Thomson-modell (puding-modell)

Thomson-modell (puding-modell) Atommodellek Thomson-modell (puding-modell) A XX. század elejére világossá vált, hogy az atomban található elektronok ugyanazok, mint a katódsugárzás részecskéi. Magyarázatra várt azonban, hogy mi tartja

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai változók Adatok megtekintése

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai változók Adatok megtekintése Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai változók Adatok megtekintése Statisztikai változók A statisztikai elemzések során a vizsgálati, vagy megfigyelési egységeket különbözı jellemzık

Részletesebben

Radioaktivitás. 9.2 fejezet

Radioaktivitás. 9.2 fejezet Radioaktivitás 9.2 fejezet A bomlási törvény Bomlási folyamat alapjai: Értelmezés (bomlás): Azt a magfizikai folyamatot, amely során nagy tömegszámú atommagok spontán módon, azaz véletlenszerűen (statisztikailag)

Részletesebben

Georg Cantor (1883) vezette be Henry John Stephen Smith fedezte fel 1875-ben. van struktúrája elemi kis skálákon is önhasonló

Georg Cantor (1883) vezette be Henry John Stephen Smith fedezte fel 1875-ben. van struktúrája elemi kis skálákon is önhasonló láttuk, hogy a Lorenz egyenletek megoldásai egy nagyon bonyolult halmazt alkottak a fázistérben végtelenül komplex felület fraktál: komplex geometriai alakzatok, melyeknek elemi kis skálán is van finomszerkezete

Részletesebben

Magfizika tesztek. 1. Melyik részecske nem tartozik a nukleonok közé? a) elektron b) proton c) neutron d) egyik sem

Magfizika tesztek. 1. Melyik részecske nem tartozik a nukleonok közé? a) elektron b) proton c) neutron d) egyik sem 1. Melyik részecske nem tartozik a nukleonok közé? a) elektron b) proton c) neutron d) egyik sem 2. Mit nevezünk az atom tömegszámának? a) a protonok számát b) a neutronok számát c) a protonok és neutronok

Részletesebben

IMPROVIZÁCIÓ. Előkészítő évfolyamok. 1. évfolyam

IMPROVIZÁCIÓ. Előkészítő évfolyamok. 1. évfolyam IMPROVIZÁCIÓ Az improvizáció spontán szerkesztés, gyors reagálás egy zenei problémára, amelynek az azonnaliság ad különös izgalmat; a kompozíció hosszabb ideig tartó szerkesztés eredménye, melyben a gondolat

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

Adatelemzési eljárások az idegrendszer kutatásban Somogyvári Zoltán

Adatelemzési eljárások az idegrendszer kutatásban Somogyvári Zoltán Adatelemzési eljárások az idegrendszer kutatásban Somogyvári Zoltán MTA KFKI Részecske és Magfizikai Intézet, Biofizikai osztály Az egy adatsorra (idősorra) is alkalmazható módszerek Példa: Az epileptikus

Részletesebben

KVANTUMMECHANIKA. a11.b-nek

KVANTUMMECHANIKA. a11.b-nek KVANTUMMECHANIKA a11.b-nek HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1 Hősugárzás: elektromágneses hullám A sugárzás által szállított energia: intenzitás I, T és λkapcsolata? Példa: Nap (6000 K): sárga (látható) Föld (300

Részletesebben

1. Prefix jelentések. 2. Mi alapján definiáljuk az 1 másodpercet? 3. Mi alapján definiáljuk az 1 métert? 4. Mi a tömegegység definíciója?

1. Prefix jelentések. 2. Mi alapján definiáljuk az 1 másodpercet? 3. Mi alapján definiáljuk az 1 métert? 4. Mi a tömegegység definíciója? 1. Prefix jelentések. 10 1 deka 10-1 deci 10 2 hektó 10-2 centi 10 3 kiló 10-3 milli 10 6 mega 10-6 mikró 10 9 giga 10-9 nano 10 12 tera 10-12 piko 10 15 peta 10-15 fento 10 18 exa 10-18 atto 2. Mi alapján

Részletesebben

A MAGYAR TÖRTÉNELMI TÁRSULAT KIADVÁNYAI

A MAGYAR TÖRTÉNELMI TÁRSULAT KIADVÁNYAI A MAGYAR TÖRTÉNELMI TÁRSULAT KIADVÁNYAI 2 A MA GYAR TÖR TÉ NEL MI TÁR SU LAT KI AD VÁ NYAI A kö tet írá sai zöm mel a hu sza dik szá zad idõ sza ká ról szól nak, más részt pe dig át té te le sen ér vel

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

AZ EGÉSZSÉGÜGYI MINISZTÉRIUM HIVATALOS LAPJA FELHÍVÁS!

AZ EGÉSZSÉGÜGYI MINISZTÉRIUM HIVATALOS LAPJA FELHÍVÁS! LVII. ÉVFOLYAM 1. SZÁM 1-120. OLDAL 2007. január 9. AZ EGÉSZSÉGÜGYI MINISZTÉRIUM HIVATALOS LAPJA ÁRA: 1113 FT FELHÍVÁS! Fel hív juk tisz telt Ol va só ink fi gyel mét a köz löny utol só ol da lán köz zé

Részletesebben

Szakközépiskola 9-10. évfolyam Kémia. 9-10. évfolyam

Szakközépiskola 9-10. évfolyam Kémia. 9-10. évfolyam 9-10. évfolyam A szakközépiskolában a kémia tantárgy keretében folyó személyiségfejlesztés a természettudományos nevelés egyik színtereként a hétköznapi életben hasznosulni képes tudás épülését szolgálja.

Részletesebben

Színképelemzés. Romsics Imre 2014. április 11.

Színképelemzés. Romsics Imre 2014. április 11. Színképelemzés Romsics Imre 2014. április 11. 1 Más néven: Spektrofotometria A színképből kinyert információkból megállapítható: az atomok elektronszerkezete az elektronállapotokat jellemző kvantumszámok

Részletesebben

SZAKDOLGOZAT. A klasszikus összhangzattan axiomatikája. Tóbiás András. 2014. március 14.

SZAKDOLGOZAT. A klasszikus összhangzattan axiomatikája. Tóbiás András. 2014. március 14. SZAKDOLGOZAT A klasszikus összhangzattan axiomatikája Tóbiás András 2014. március 14. Témavezet : G. Horváth Ákos egyetemi docens BME Matematika Intézet Geometria Tanszék BME 2014 Tartalomjegyzék 1. A

Részletesebben

Navigáci. stervezés. Algoritmusok és alkalmazásaik. Osváth Róbert Sorbán Sámuel

Navigáci. stervezés. Algoritmusok és alkalmazásaik. Osváth Róbert Sorbán Sámuel Navigáci ció és s mozgástervez stervezés Algoritmusok és alkalmazásaik Osváth Róbert Sorbán Sámuel Feladat Adottak: pálya (C), játékos, játékos ismerethalmaza, kezdőpont, célpont. Pálya szerkezete: akadályokkal

Részletesebben

GÁZIONIZÁCIÓS DETEKTOROK VIZSGÁLATA. Mérési útmutató. Gyurkócza Csaba

GÁZIONIZÁCIÓS DETEKTOROK VIZSGÁLATA. Mérési útmutató. Gyurkócza Csaba GÁZIONIZÁCIÓS DETEKTOROK VIZSGÁLATA Mérési útmutató Gyurkócza Csaba BME NTI 1997 2 Tartalom 1. BEVEZETÉS... 3 2. ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÁS... 3 2.1. Töltéshordozók keletkezése (ionizáció) töltött részecskéknél...

Részletesebben

Fizika 2 (Modern fizika szemlélete) feladatsor

Fizika 2 (Modern fizika szemlélete) feladatsor Fizika 2 (Modern fizika szemlélete) feladatsor 1. Speciális relativitáselmélet 1. A Majmok bolygója című mozifilm és könyv szerint hibernált asztronauták a Föld távoli jövőjébe utaznak, amikorra az emberi

Részletesebben

A javításhoz kb. az érettségi feladatok javítása az útmutató irányelv. Részpontszámok adhatók. Más, de helyes gondolatmenetet is el kell fogadni!

A javításhoz kb. az érettségi feladatok javítása az útmutató irányelv. Részpontszámok adhatók. Más, de helyes gondolatmenetet is el kell fogadni! Megoldások A javításhoz kb. az érettségi feladatok javítása az útmutató irányelv. Részpontszámok adhatók. Más, de helyes gondolatmenetet is el kell fogadni! **********************************************

Részletesebben

33. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2006. már ci us 27., hétfõ TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 3887, Ft

33. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2006. már ci us 27., hétfõ TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 3887, Ft A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2006. már ci us 27., hétfõ 33. szám Ára: 3887, Ft TARTALOMJEGYZÉK 62/2006. (III. 27.) Korm. r. Az egyes pénzbeli szociális ellátások elszámolásának szabályairól...

Részletesebben

FIZIKA KÖZÉPSZINTŐ SZÓBELI FIZIKA ÉRETTSÉGI TÉTELEK Premontrei Szent Norbert Gimnázium, Gödöllı, 2012. május-június

FIZIKA KÖZÉPSZINTŐ SZÓBELI FIZIKA ÉRETTSÉGI TÉTELEK Premontrei Szent Norbert Gimnázium, Gödöllı, 2012. május-június 1. Egyenes vonalú mozgások kinematikája mozgásokra jellemzı fizikai mennyiségek és mértékegységeik. átlagsebesség egyenes vonalú egyenletes mozgás egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás mozgásokra

Részletesebben

ESR-spektrumok különbözı kísérleti körülmények között A számítógépes értékelés alapjai anizotróp kölcsönhatási tenzorok esetén

ESR-spektrumok különbözı kísérleti körülmények között A számítógépes értékelés alapjai anizotróp kölcsönhatási tenzorok esetén ESR-spektrumok különbözı kísérleti körülmények között A számítógépes értékelés alapjai anizotróp kölcsönhatási tenzorok esetén A paraméterek anizotrópiája egykristályok rögzített tengely körüli forgatásakor

Részletesebben

Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése

Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése 6. el adás Hálózatok növekedési modelljei: `uniform és preferential attachment' El adó: London András 2015. október 12. Hogyan n nek a hálózatok? Statikus

Részletesebben

Kötések kialakítása - oktett elmélet

Kötések kialakítása - oktett elmélet Kémiai kötések Az elemek és vegyületek halmazai az atomok kapcsolódásával - kémiai kötések kialakításával - jönnek létre szabad atomként csak a nemesgázatomok léteznek elsődleges kémiai kötések Kötések

Részletesebben

OPTIKA. Fénykibocsátás mechanizmusa fényforrás típusok. Dr. Seres István

OPTIKA. Fénykibocsátás mechanizmusa fényforrás típusok. Dr. Seres István OPTIKA Fénykibocsátás mechanizmusa Dr. Seres István Bohr modell Niels Bohr (19) Rutherford felfedezte az atommagot, és igazolta, hogy negatív töltésű elektronok keringenek körülötte. Niels Bohr Bohr ezt

Részletesebben

Villamos tulajdonságok

Villamos tulajdonságok Villamos tulajdonságok A vezetés s magyarázata Elektron függıleges falú potenciálgödörben: állóhullámok alap és gerjesztett állapotok Több elektron: Pauli-elv Sok elektron: Energia sávok Sávelméletlet

Részletesebben

Java programozási nyelv

Java programozási nyelv Java programozási nyelv 2. rész Vezérlő szerkezetek Nyugat-Magyarországi Egyetem Faipari Mérnöki Kar Informatikai Intézet Soós Sándor 2005. szeptember A Java programozási nyelv Soós Sándor 1/23 Tartalomjegyzék

Részletesebben

4. Lecke. Körök és szabályos sokszögek rajzolása. 4.Lecke / 1.

4. Lecke. Körök és szabályos sokszögek rajzolása. 4.Lecke / 1. 4.Lecke / 1. 4. Lecke Körök és szabályos sokszögek rajzolása Az előző fejezetekkel ellentétben most nem újabb programozási utasításokról vagy elvekről fogunk tanulni. Ebben a fejezetben a sokszögekről,

Részletesebben

172. szám II. kö tet. II. rész JOGSZABÁLYOK. A Kormány tagjainak A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA

172. szám II. kö tet. II. rész JOGSZABÁLYOK. A Kormány tagjainak A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2005. de cem ber 29., csütörtök 172. szám II. kö tet TARTALOMJEGYZÉK 125/2005. (XII. 29.) GKM r. A köz úti jár mû vek mû sza ki meg vizs gá lá sá ról szóló

Részletesebben

m n 3. Elem, vegyület, keverék, koncentráció, hígítás m M = n Mértékegysége: g / mol elem: azonos rendszámú atomokból épül fel

m n 3. Elem, vegyület, keverék, koncentráció, hígítás m M = n Mértékegysége: g / mol elem: azonos rendszámú atomokból épül fel 3. Elem, vegyület, keverék, koncentráció, hígítás elem: azonos rendszámú atomokból épül fel vegyület: olyan anyag, amelyet két vagy több különbözı kémiai elem meghatározott arányban alkot, az alkotóelemek

Részletesebben

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) 24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,

Részletesebben

Károlyi Mihály Két Tanítási Nyelvű Közgazdasági Szakközépiskola Kémia Helyi Tanterv. A Károlyi Mihály Két Tanítási Nyelvű Közgazdasági Szakközépiskola

Károlyi Mihály Két Tanítási Nyelvű Közgazdasági Szakközépiskola Kémia Helyi Tanterv. A Károlyi Mihály Két Tanítási Nyelvű Közgazdasági Szakközépiskola A Károlyi Mihály Két Tanítási Nyelvű Közgazdasági Szakközépiskola KÉMIA HELYI TANTERVE a 9. évfolyam számára két tanítási nyelvű osztály közgazdaság ágazaton Készítette: Kaposi Anna, kémia szaktanár Készült:

Részletesebben

Tantárgyi követelmény gimnázium 10. évfolyam

Tantárgyi követelmény gimnázium 10. évfolyam Tantárgyi követelmény gimnázium 10. évfolyam 2015/2016 TARTALOMJEGYZÉK 1. Irodalom és művészetek... 3 2. Anyanyelv és kommunikáció... 4 3. földrajz... 5 4. Történelem és állampolgári ismeretek... 6 5.

Részletesebben

Tantárgytömbösítés a matematika tantárgyban 5. évfolyamon

Tantárgytömbösítés a matematika tantárgyban 5. évfolyamon TÁMOP-3.1.4-08/2-2008-0123 Kompetencia alapú oktatás a Bonyhádi Oktatási Nevelési Intézményben Tantárgytömbösítés a matematika tantárgyban 5. évfolyamon Készítette: Bölcsföldi Árpádné A BONI Arany János

Részletesebben

30. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2006. már ci us 17., péntek TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 2047, Ft. Oldal

30. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2006. már ci us 17., péntek TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 2047, Ft. Oldal A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2006. már ci us 17., péntek 30. szám Ára: 2047, Ft TARTALOMJEGYZÉK 4/2006. (III. 17.) MNB r. A Bartók Béla születésének 125. évfordulója emlékérme kibocsá

Részletesebben

Ph 11 1. 2. Mozgás mágneses térben

Ph 11 1. 2. Mozgás mágneses térben Bajor fizika érettségi feladatok (Tervezet G8 2011-től) Munkaidő: 180 perc (A vizsgázónak két, a szakbizottság által kiválasztott feladatsort kell kidolgoznia. A két feladatsor nem származhat azonos témakörből.)

Részletesebben

Szilárdtestek el e ek e tr t o r n o s n zer e k r ez e et e e t

Szilárdtestek el e ek e tr t o r n o s n zer e k r ez e et e e t Szilárdtestek elektronszerkezete Kvantummechanikai leírás Ismétlés: Schrödinger egyenlet, hullámfüggvény, hidrogén-atom, spin, Pauli-elv, periódusos rendszer 2 Szilárdtestek egyelektron-modellje a magok

Részletesebben

Biofizika tesztkérdések

Biofizika tesztkérdések Biofizika tesztkérdések Egyszerű választás E kérdéstípusban A, B,...-vel jelölt lehetőségek szerepelnek, melyek közül az egyetlen megfelelőt kell kiválasztani. A választ írja a kérdés előtt lévő kockába!

Részletesebben

Számítógépi képelemzés

Számítógépi képelemzés Számítógépi képelemzés Elıadás vázlat Szerzık: Dr. Gácsi Zoltán, egyetemi tanár Dr. Barkóczy Péter, egyetemi docens Lektor: Igaz Antal, okl. gépészmérnök a Carl Zeiss technika kft. Ügyvezetı igazgatója

Részletesebben

Marx György (1927-2002)

Marx György (1927-2002) Marx György (1927-2002) 2002) Egy tanítvány visszaemlékezései (Dr. Sükösd Csaba, Budapest) Tartalom Korai évek A leptontöltés megmaradása Az Univerzum keletkezése és fejlıdése Neutrínófizika Híd Kelet

Részletesebben

HALLÁS ZENEI NEVELÉS

HALLÁS ZENEI NEVELÉS HALLÁS ZENEI NEVELÉS Általános célok és feladatok Az esztétikai-művészeti tudatosság és kifejezőkészség magába foglalja az esztétikai megismerés, illetve elképzelések, élmények és érzések kreatív kifejezését,

Részletesebben

1. tesztlap. Fizikát elsı évben tanulók számára

1. tesztlap. Fizikát elsı évben tanulók számára 1. tesztlap Fizikát elsı évben tanulók számára 1.) Egy fékezı vonatban menetiránynak megfelelıen ülve feldobunk egy labdát. Hová esik vissza? A) Éppen a kezünkbe. B) Elénk C) Mögénk. D) Attól függ, milyen

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Rendezettség. Rendezettség. Tartalom. Megjegyzés

Rendezettség. Rendezettség. Tartalom. Megjegyzés Tartalom A rendezettség és két jellemző formája: a hierarchiák és a hálózatok. A világ szintjei a fizikai építőelemektől a társadalmakig. A struktúrák tervezésének és felépítésének egyszerű, moduláris

Részletesebben

ENERGETIKAI AXIÓMARENDSZEREN NYUGVÓ RENDSZERELMÉLET I. KÖTET.

ENERGETIKAI AXIÓMARENDSZEREN NYUGVÓ RENDSZERELMÉLET I. KÖTET. Dr. Takáts Ágoston ENERGETIKAI AXIÓMARENDSZEREN NYUGVÓ RENDSZERELMÉLET I. KÖTET. A TUDOMÁNYOS GONDOLKODÁSRÓL ÉS A MEGISMERÉS HÁRMAS ABSZTRAKCIÓS SZINTJÉRŐL 2007. Tartalom 1. AZ ENERGETIKAI AXIÓMARENDSZER

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

SALGÓTARJÁNI MADÁCH IMRE GIMNÁZIUM 3100 Salgótarján, Arany János út 12. Pedagógiai program. Kémia tantárgy kerettanterve

SALGÓTARJÁNI MADÁCH IMRE GIMNÁZIUM 3100 Salgótarján, Arany János út 12. Pedagógiai program. Kémia tantárgy kerettanterve SALGÓTARJÁNI MADÁCH IMRE GIMNÁZIUM 3100 Salgótarján, Arany János út 12. Pedagógiai program Kémia tantárgy kerettanterve KÉMIA HELYI TANTERV A kémia tantárgy teljes óraterve 9. osztály 10. osztály Heti

Részletesebben

Két- és háromállású szabályozók. A szabályozási rendszer válasza és tulajdonságai. Popov stabilitási kritérium

Két- és háromállású szabályozók. A szabályozási rendszer válasza és tulajdonságai. Popov stabilitási kritérium Két- és háromállású szabályozók. A szabályozási rendszer válasza és tulajdonságai. Popov stabilitási kritérium 4.. Két- és háromállású szabályozók. A két- és háromállású szabályozók nem-olytonos kimenettel

Részletesebben

148. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2006. de cem ber 5., kedd TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 1701, Ft. Oldal

148. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2006. de cem ber 5., kedd TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 1701, Ft. Oldal A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2006. de cem ber 5., kedd 148. szám Ára: 1701, Ft TARTALOMJEGYZÉK 2006: C. t v. A kül föl di bi zo nyít vá nyok és ok le ve lek el is me ré sé rõl szóló 2001.

Részletesebben

A kvantum impulzus és a téridő mátrix hétköznapjaink a kvantum fizika nyelvén A 2015 október 8-i könyv bemutató előadás teljes anyaga

A kvantum impulzus és a téridő mátrix hétköznapjaink a kvantum fizika nyelvén A 2015 október 8-i könyv bemutató előadás teljes anyaga A kvantum impulzus és a téridő mátrix hétköznapjaink a kvantum fizika nyelvén A 2015 október 8-i könyv bemutató előadás teljes anyaga Kiss Zoltán J Azoknak, akik nem tudtak eljönni és azoknak is szeretettel

Részletesebben

A lézer alapjairól (az iskolában)

A lézer alapjairól (az iskolában) A lézer alapjairól (az iskolában) Dr. Sükösd Csaba c. egyetemi tanár Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Tartalom Elektromágneses hullám (fény) kibocsátása Hogyan bocsát ki fényt egy atom? o

Részletesebben

Fıvárosi Önkormányzat Benedek Elek Óvoda, Általános Iskola, Speciális Szakiskola és Egységes Gyógypedagógiai és Módszertani Intézmény

Fıvárosi Önkormányzat Benedek Elek Óvoda, Általános Iskola, Speciális Szakiskola és Egységes Gyógypedagógiai és Módszertani Intézmény Fıvárosi Önkormányzat Benedek Elek Óvoda, Általános Iskola, Speciális Szakiskola és Egységes Gyógypedagógiai és Módszertani Intézmény Egységes szerkezetben foglalt módosított Pedagógiai program V. kötet

Részletesebben

Modern fizika laboratórium

Modern fizika laboratórium Modern fizika laboratórium Röntgen-fluoreszcencia analízis Készítette: Básti József és Hagymási Imre 1. Bevezetés A röntgen-fluoreszcencia analízis (RFA) egy roncsolásmentes anyagvizsgálati módszer. Rövid

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

Azaz az ember a szociális világ teremtője, viszonyainak formálója.

Azaz az ember a szociális világ teremtője, viszonyainak formálója. Takáts Péter: A TEREMTŐ EMBER Amikor kinézünk az ablakon egy természetes világot látunk, egy olyan világot, amit Isten teremtett. Ez a világ az ásványok, a növények és az állatok világa, ahol a természet

Részletesebben

Az atommag összetétele, radioaktivitás

Az atommag összetétele, radioaktivitás Az atommag összetétele, radioaktivitás Az atommag alkotórészei proton: pozitív töltésű részecske, töltése egyenlő az elektron töltésével, csak nem negatív, hanem pozitív: 1,6 10-19 C tömege az elektron

Részletesebben

Magyar nyelv. 5. évfolyam

Magyar nyelv. 5. évfolyam Magyar nyelv 5. évfolyam A tantárgy elsődleges ja a sikeres iskolai tanuláshoz, a tanulás eredményességéhez szükséges kulcskompetenciák, készségegyüttesek és tudástartalmak megalapozásának a folytatása.

Részletesebben

A modern menedzsment problémáiról

A modern menedzsment problémáiról Takáts Péter A modern menedzsment problémáiról Ma a vezetők jelentős része két nagy problémával küzd, és ezekre még a modern a természettudományos gondolkodáson alapuló - menedzsment és HR elméletek sem

Részletesebben

Nemlineáris jelenségek és Kao2kus rendszerek vizsgálata MATHEMATICA segítségével. Előadás: 10-12 Szerda, 215 Labor: 16-18, Szerda, 215

Nemlineáris jelenségek és Kao2kus rendszerek vizsgálata MATHEMATICA segítségével. Előadás: 10-12 Szerda, 215 Labor: 16-18, Szerda, 215 Nemlineáris jelenségek és Kao2kus rendszerek vizsgálata MATHEMATICA segítségével Előadás: 10-12 Szerda, 215 Labor: 16-18, Szerda, 215 Célok: Ismerkedés a kao2kus dinamikával és ennek tanulmányozása. A

Részletesebben

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (b) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: 2013. november 9. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (b) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: 2013. november 9. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 4. (b) Kvantummechanika Utolsó módosítás: 2013. november 9. 1 A legkisebb hatás elve (1) A legkisebb hatás elve (Hamilton-elv): S: a hatás L: Lagrange-függvény 2 A

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

NÖVÉNYTERMESZTÉSTAN. Az egyes növények termesztésének a részleteivel foglalkozik

NÖVÉNYTERMESZTÉSTAN. Az egyes növények termesztésének a részleteivel foglalkozik NÖVÉNYTERMESZTÉSTAN Az egyes növények termesztésének a részleteivel foglalkozik Növénytermesztés irányzatai: Hagyományos vagy konvencionális Integrált (fenntartható, környezetbarát) Ökológiai, biotermesztés

Részletesebben

HA8EV Antennaforgató vezérlı 6.0e

HA8EV Antennaforgató vezérlı 6.0e HA8EV Antennaforgató vezérlı 6.0e Copyright 2010 HA8EV Szőcs Péter Tartalomjegyzék: 1.) Bevezetés 3 2.) Az áramkör rövid ismertetése 3 3.) Az áramkör kalibrálása 4 4.) Nulla pozíció, avagy végállás keresése

Részletesebben

Három arcél a Nyugat harmadik nemzedékébõl

Három arcél a Nyugat harmadik nemzedékébõl HáromarcélaNyugatharmadiknemzedékébõl Jékely A Poundon és Elioton nevelkedett olvasó valószínûleg idegenkedik Jékelytõl, mert versei nem a jéghegyelv szerint mûködnek: a szavak a megszenvedettcsöndhelyétiskiakarjáktölteni,ökonomikusszabatosságukban

Részletesebben

2007/9. szám TURISZTIKAI ÉRTESÍTÕ 401 AZ ÖNKORMÁNYZATI ÉS TERÜLETFEJLESZTÉSI MINISZTÉRIUM HIVATALOS ÉRTESÍTÕJE

2007/9. szám TURISZTIKAI ÉRTESÍTÕ 401 AZ ÖNKORMÁNYZATI ÉS TERÜLETFEJLESZTÉSI MINISZTÉRIUM HIVATALOS ÉRTESÍTÕJE XIII. ÉVFOLYAM 9. SZÁM 2007. SZEPTEMBER 30. 2007/9. szám TURISZTIKAI ÉRTESÍTÕ 401 AZ ÖNKORMÁNYZATI ÉS TERÜLETFEJLESZTÉSI MINISZTÉRIUM HIVATALOS ÉRTESÍTÕJE A Turisz ti kai Ér te sí tõ Szer kesz tõ sé ge

Részletesebben

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben

SPEKTROFOTOMETRIAI MÉRÉSEK

SPEKTROFOTOMETRIAI MÉRÉSEK SPEKTROFOTOMETRIAI MÉRÉSEK Elméleti bevezetés Ha egy anyagot a kezünkbe veszünk (valamilyen technológiai céllal alkalmazni szeretnénk), elsı kérdésünk valószínőleg az lesz, hogy mi ez az anyag, milyen

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségszámítási alapok

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségszámítási alapok Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségszámítási alapok Bevezetés A tudományos életben vizsgálódunk pontosabb megfigyelés, elırejelzés, megértés reményében. Ha egy kísérletet végzünk, annak

Részletesebben

T I T - M T T. Hevesy György Kémiaverseny. A megyei forduló feladatlapja. 7. osztály. A versenyző jeligéje:... Megye:...

T I T - M T T. Hevesy György Kémiaverseny. A megyei forduló feladatlapja. 7. osztály. A versenyző jeligéje:... Megye:... T I T - M T T Hevesy György Kémiaverseny A megyei forduló feladatlapja 7. osztály A versenyző jeligéje:... Megye:... Elért pontszám: 1. feladat:... pont 2. feladat:... pont 3. feladat:... pont 4. feladat:...

Részletesebben

Algebra2, alapszint 11. előadás 1 / 11. Algebra2, alapszint. ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék. Előadó: Kiss Emil 11.

Algebra2, alapszint 11. előadás 1 / 11. Algebra2, alapszint. ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék. Előadó: Kiss Emil 11. Algebra2, alapszint 11. előadás 1 / 11 Algebra2, alapszint ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék Előadó: Kiss Emil ewkiss@cs.elte.hu 11. előadás Kristályok szimmetriái Algebra2, alapszint 11. előadás 2 /

Részletesebben

Javítóvizsga. Kalász László ÁMK - Izsó Miklós Általános Iskola Elérhető pont: 235 p

Javítóvizsga. Kalász László ÁMK - Izsó Miklós Általános Iskola Elérhető pont: 235 p Név: Elérhető pont: 5 p Dátum: Elért pont: Javítóvizsga A teszthez tollat használj! Figyelmesen olvasd el a feladatokat! Jó munkát.. Mi a neve az anyag alkotórészeinek? A. részecskék B. összetevők C. picurkák

Részletesebben

CERN: a szubatomi részecskék kutatásának európai központja

CERN: a szubatomi részecskék kutatásának európai központja CERN: a szubatomi részecskék kutatásának európai központja 1954-ben alapította 12 ország Ma 20 tagország 2007-ben több mint 9000 felhasználó (9133 user ) ~1 GCHF éves költségvetés (0,85%-a magyar Ft) Az

Részletesebben

75. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2007. jú ni us 15., péntek TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 2478, Ft. Oldal

75. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2007. jú ni us 15., péntek TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 2478, Ft. Oldal A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2007. jú ni us 15., péntek 75. szám Ára: 2478, Ft TARTALOMJEGYZÉK 2007: LXI. tv. A cég nyil vá nos ság ról, a bí ró sá gi cég el já rás ról és a vég el szá

Részletesebben

Dr. Hangayné Paksi Éva, Nagyné Vas Györgyi: Sorsfordító Programba vontak jellemzıi 2009. -2-.

Dr. Hangayné Paksi Éva, Nagyné Vas Györgyi: Sorsfordító Programba vontak jellemzıi 2009. -2-. Dr Hangayné Paksi Éva, Nagyné Vas Györgyi: Sorsfordító Programba vontak jellemzıi -- SORSFORDÍTÓ regionális munkaerı-piaci programba vontak pszicho-szociális gondozását elıkészítı felmérés értékelése Tolna

Részletesebben

A matematika természete a természet matematikája

A matematika természete a természet matematikája A matematika természete a természet matematikája A Bevezetés evezetése: mi és a minket körülvevő világ Földtől eloldja az eget a hajnal s tiszta, lágy szavára a ogarak, a gyerekek kipörögnek a napvilágra;

Részletesebben

Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék. Johanyák Zsolt Csaba

Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék. Johanyák Zsolt Csaba Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék Johanyák Zsolt Csaba 003 Tartalomjegyzék. Bevezetés.... A megbízhatóság fogalmai..... A termék idıtıl függı képességei...... Használhatóság /Üzemkészség/

Részletesebben

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes

Részletesebben

A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2008. au gusz tus 31., vasárnap. 128. szám. Ára: 250, Ft

A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2008. au gusz tus 31., vasárnap. 128. szám. Ára: 250, Ft A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2008. au gusz tus 31., vasárnap 128. szám Ára: 250, Ft A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2008. au gusz tus 31., vasárnap TARTALOMJEGYZÉK 24/2008.

Részletesebben

Statisztikai függvények

Statisztikai függvények EXCEL FÜGGVÉNYEK 9/1 Statisztikai függvények ÁTLAG(tartomány) A tartomány terület numerikus értéket tartalmazó cellák értékének átlagát számítja ki. Ha a megadott tartományban nincs numerikus értéket tartalmazó

Részletesebben

Szimulációk egyszerősített fehérjemodellekkel. Szilágyi András

Szimulációk egyszerősített fehérjemodellekkel. Szilágyi András Szimulációk egyszerősített fehérjemodellekkel Szilágyi András Szimulációs módszerek alkalmazhatósági tartományai Egyszerősített modellek Három típusát mutatjuk be: Játék rácsmodellek Realisztikusabb rácsmodellek

Részletesebben

KÉMIA. Kémia a gimnáziumok 9 10. évfolyama számára

KÉMIA. Kémia a gimnáziumok 9 10. évfolyama számára KÉMIA Kémia a gimnáziumok 9 10. évfolyama számára A kémia tanításának célja és feladatai Az iskolai tanulmányok célja a gyakorlatban hasznosítható ismeretek megszerzése, valamint az általános képességek

Részletesebben

Példa a report dokumentumosztály használatára

Példa a report dokumentumosztály használatára Példa a report dokumentumosztály használatára Szerző neve évszám Tartalomjegyzék 1. Valószínűségszámítás 5 1.1. Események matematikai modellezése.............. 5 1.2. A valószínűség matematikai modellezése............

Részletesebben

Néhány fontosabb folytonosidejű jel

Néhány fontosabb folytonosidejű jel Jelek és rendszerek MEMO_2 Néhány fontosabb folytonosidejű jel Ugrásfüggvény Bármely választással: Egységugrás vagy Heaviside-féle függvény Ideális kapcsoló. Signum függvény, előjel függvény. MEMO_2 1

Részletesebben

Oláh János. Magára talál a szó. Kodolányi Gyula W. Sh. szonettjeiről. Laudáció. Kodolányi Gyula akadémiai székfoglalójához (2014. június 13.

Oláh János. Magára talál a szó. Kodolányi Gyula W. Sh. szonettjeiről. Laudáció. Kodolányi Gyula akadémiai székfoglalójához (2014. június 13. Oláh János Magára talál a szó Kodolányi Gyula W. Sh. szonettjeiről Laudáció Kodolányi Gyula akadémiai székfoglalójához (2014. június 13.) Az még nem volna szokatlan a magyar irodalomban, hogy képzőművészeti

Részletesebben

KORÓDI SÁNDOR TITKOS GY.I.K!

KORÓDI SÁNDOR TITKOS GY.I.K! KORÓDI SÁNDOR TITKOS GY.I.K! Gyakran Ismételt Kérdések a Vonzás Törvényéről 2010 KORÓDI SÁNDOR TITKOS GY.I.K! A kiadvány a tartalom módosítása nélkül, és a forrás pontos megjelölésével szabadon terjeszthető.

Részletesebben

A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2008. már ci us 17., hétfõ. 44. szám. Ára: 250, Ft

A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2008. már ci us 17., hétfõ. 44. szám. Ára: 250, Ft A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2008. már ci us 17., hétfõ 44. szám Ára: 250, Ft A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2008. már ci us 17., hétfõ 44. szám TARTALOMJEGYZÉK 2008:

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Transzformátor rezgés mérés. A BME Villamos Energetika Tanszéken

Transzformátor rezgés mérés. A BME Villamos Energetika Tanszéken Transzformátor rezgés mérés A BME Villamos Energetika Tanszéken A valóság egyszerűsítése, modellezés. A mérés tervszerűen végrehajtott tevékenység, ezért a bonyolult valóságos rendszert először egyszerűsítik.

Részletesebben

14-469/2/2006. elıterjesztés 1. sz. melléklete. KOMPETENCIAMÉRÉS a fıvárosban

14-469/2/2006. elıterjesztés 1. sz. melléklete. KOMPETENCIAMÉRÉS a fıvárosban KOMPETENCIAMÉRÉS a fıvárosban 2005 1 Tartalom 1. Bevezetés. 3 2. Iskolatípusok szerinti teljesítmények.... 6 2. 1 Szakiskolák 6 2. 2 Szakközépiskolák. 9 2. 3 Gimnáziumok 11 2. 4 Összehasonlítások... 12

Részletesebben

29. szám. I. rész HATÁROZATOK. A Kormány határozatai. A Kormány

29. szám. I. rész HATÁROZATOK. A Kormány határozatai. A Kormány 006/9. HATÁROZATOK TÁRA 59 Budapest, 006. június 8., szerda TARTALOMJEGYZÉK /006. (VI. 8.) Korm. h. A Magyar Köztársaság minisztériumainak felsorolásáról szóló 006. évi LV. tör vény. -ából ere dõ egyes

Részletesebben