Aranymetszés arány

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Aranymetszés arány"

Átírás

1 1. oldal Muzsai István: Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest Aranymetszés arány 2 Dimenziós kváziperiodikus rácsmintázatok szerkesztése 1 dimenziós Fibonacci szekvenciák szerint ÉPÍTÉSZETI HOMLOKZAT SZERKESZTÉSI METODIKA: Az iszlám építészet végtelen mozaik szerkesztése Derékszögű aranymetszéses fraktális homlokzattagolás Muzsai István építész DLA II./

2 2. oldal Muzsai István: Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest Tartalom: 1./ BEVEZETŐ: Kvázikristályos csempézés lényege 3.oldal - Penrose csempézés : dárdák és sárkányok - Ammann csíkok - Beatty sorozat, Conway zenei sorozat = Fibonacci szekvencia 2./ Pentarácsok és dualitás ( rácsok felfújása-leeresztése)..7.oldal -Aperiodikus mintázatok jellemző tulajdonságainak szabályai: L és S, inflate-deflate 3./ Három tükörszimmetrikus Fibonacci szekvencia vizsgálata...9. oldal - Pentarács szerkesztési útmutató ( SLLSLSLLS, LSLLSLLSL, LSLSLLSLSL ) - Dualitás - Lokális izomorfia jelensége - Kepler és Kramer, avagy a rombikus triakontaéder vizsgálata a téridőben - Kvázikristályos homlokzatburkolatok K.u és 1200 környékén az iszlám építészetben 4./ Kvázikristályos homlokzat szerkesztése, (azaz Építészet á la hypertér) oldal - véletlenszerűen választott Fibonacci szekvencia ( LSLSLLSL ) vizsgálata - saját pentarács szerkesztés, mintázat alkotás, mozaik konszignáció - Bach komponálási metodikájának hasonlósága és kutatási lehetősége az aperiodikus mintázatok szerint 5./ Izomorfikus derékszögű komplanáris felosztás (azaz építészeti homlokzat az euklideszi geometria fogságában) oldal - egy második aranymetszéses arányú építészeti homlokzatok szerkesztési metodikája olyan építészek számára, akik nem szakadhatnak el a derékszögűségtől. ( Lásd részletesen kifejtve: január 06. DLA III./1.)

3 3. oldal Muzsai István: Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest / Kvázikristályos csempézés lényege 6. ábra. (A) A sárkány és a dárda szerkesztése (B) A sárkány és a dárda egy színezése (fekete és szürke), mely kikényszeríti a nem periodikus csempézést (C) Ászok és csokornyakkendõk, melyek felgyorsítják a kirakásokat A Penrose-csempék alakja különféle lehet, de a legérdekesebb pár az, amit Conway "dárdá"-nak és "sárkány"-nak nevezett. A 6/A ábra mutatja, hogy hogyan készíthetôk el egy olyan rombuszból, melynek szögei 72, ill. 108 fokosak. Osszuk fel a hosszabbik átlót a jól ismert aranymetszés arányában ((1+ 5 1/2 )/ 2=1, ), majd kössük össze az osztópontot a tompaszögû csúcsokkal. JelöIjük f-vel az aranymetszés arányát. Ekkor minden szakasz hossza 1 vagy f, ahogy azt az ábrán jelöltük. A legkisebb szög 36 fokos, a többi ennek egész számú többszöröse. A rombusz persze periodikusan csempézi a síkot, de most nem szabad így összeilleszteni a darabokat. Ahhoz, hogy ezt megtiltsuk, elláthatnánk az éleket dudorokkal és horpadásokkal, de vannak egyszerűbb módok is. Például megbetűzhetjük a csúcsokat a 6/B ábrán látható módon H és T betûkkel, és bevezethetjük azt a szabáiyt, hogy két él csak akkor illeszkedhet, ha a végpontjaikban azonos betűk találkoznak. Ahhoz, hogy megkönnyítsük a szabály betartását, kétféle színû pöttyöket helyezhetnénk el a csúcsoknál, de Conway egy tetszetősebb megoldást javasolt, miszerint rajzoljunk kétféle színnel köríveket minden csempére, ahogy az ábra szürke, ill. fekete ívei mutatják. Minden ív az oldalakat is és a szimmetriatengelyeket is aranymetszéssel osztja. A szabályunk az, hogy összeillesztéskor minden ívnek ugyanolyan színû ívhez kell csatlakoznia. Ahhoz, hogy teljes mértékben kiélvezhessük a Penrose-csempézés szépségeit és rejtélyeit, legalább 100 sárkányra és 60 dárdára van szükségünk. A darabokat csak az egyik oldalukon kell kiszínezni. A kétféle alakzat darabszámának aránya (területük arányához hasonlóan) egyenlô az aranymetszés arányszámával. Azt hihetnénk, hogy a kisebb dárdából van szükség több darabra, de ez pont fordítva van. Sárkányból 1, szor annyi kell, mint dárdából. Végtelen csempézés esetén ez a szám a pontos arányt adja meg.

4 4. oldal Muzsai István: Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest Azt, hogy ez az arány irracionális, Penrose kihasználja annak bizonyításában, hogy a csempézés nem periodikus, mert ha periodikus lenne; akkor az aránynak nyilvánvalóan racionálisnak kellene lennie. Érdemes először egy lapra annyi dárdát és sárkányt rajzolni, amennyi ráfér, úgy, hogy körülbelül öt sárkány jusson három dárdára, az íveket vékony vonallal behúzva. Ezután erről a lapról akárhány fénymásolat készíthetõ. Másolás után kiszínezhetjük az íveket, mondjuk piros és zöld filctollal. Conway úgy találta, hogy felgyorsítja az eljárást és megkönnyíti különbözõ minták kirakását, ha a 6/C ábrán látható három nagyobb alakzatról készítünk sok másolatot. Nagyobb méretű mintázatok kirakása során folyamatosan helyettesíthetjük a dárdákat és sárkányokat ászokkal és csokornyakkendõkkel. Az is igaz, hogy végtelen sok sárkányból és dárdából felépíthetô tetszőlegesen nagy alakzatpár alkalmas bármelyik végtelen csempeminta elkészítésére. Penrose-mintát úgy készíthetünk, hogy egy csempe valamelyik csúcsát körülrakjuk dárdákkal és sárkányokkal, majd kifelé terjeszkedünk. Minden alkalommal, amikor egy új darabot illesztünk valamelyik élhez, választanunk kell, hogy az dárda vagy sárkány legyen. Van, amikor kényszerûen választjuk az egyiket, van, amikor nem. Néha mindkettő odaillik, de késõbb ellentmondásra jutunk (vagyis olyan hely keletkezik, ahova egyik darab sem illeszthetô), így vissza kell térnünk és a másik darabbal folytatnunk. Érdemes a már elkészült alakzaton körbehaladva elõször a kényszerbõl adódó darabokat elhelyezni. Ezek sem vezetnek ellentmondáshoz. Ezek után kísérletezhetünk a szabad helyekkel. Minden kirakás a végtelenségig folytatható. Minél többet játszunk a darabokkal, annál jobban kiismerjük a "kényszerszabályokat", így egyre hatékonyabbak leszünk. A dárda például arra kényszerít minket, hogy konkáv csúcsához két sárkányt illesszünk, létrehozva ezzel a mindenütt elôforduló ászt. Sokféleképpen bizonyítható, hogy a Penrose-csempézések száma az egyenes pontjainak számosságához hasonlóan nem megszámlálható. A bizonyítások egy meglepô jelenségen alapulnak, melyet Penrose fedezett fel. Conway ezt "felfújás"-nak, ill. "leeresztés"-nek nevezte. A 7. ábra mutatja a felfújás elsô lépését. Képzeljük el, hogy egy kirakott mintában az összes dárdát kettévágjuk a szimmetriatengelye mentén, majd az összes rövid él mentén egymáshoz ragasztjuk a csatlakozó darabokat. Az eredmény egy új csempézés (vastag fekete vonaiak), ahol nagyobb dárdák és sárkányok a csempék. 7. ábra. Példa egy minta felfújására 8. ábra. A Nap végtelen csempemintája 9. ábra. A csillag végtelen csempemintája A 9. ábrán látható fehér csillag köré csak a 10 világosszürke sárkányt rakhatjuk. Ha az ötös szimmetriát megtartva folytatjuk az építkezést, újabb végtelen és egyértelmûen meghatározott virágszerû mintázatot kapunk. A csillagon és a Napon kívül nincs más Penrose-világ, mely tökéletes ötszöges szimmetriávai rendelkezik, ráadásul ezek egy igen bájos módon ekvivalensek. Fújjuk fel, vagy eresszük le valamelyik mintázatot, és megkapjuk a másikat. A felfújást a végtelenségig folytathatjuk, ahol a csempék minden új "generációja" nagyobb, mint az elôzõ. Megjegyzem, hogy bár a második generációs sárkány pontosan ugyanolyan alakú és nagyságú, mint egy elsô generációs ász, más a származtatása. Emiatt szokás az ászt "álsárkány"-nak

5 5. oldal Muzsai István: Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest is nevezni. Soha nem szabad összetévesztenünk egy második generációs sárkánnyal. A leeresztés ugyanez a folyamat, csak visszafelé. Tetszôleges Penrose-csempemintán megrajzolhatjuk dárdák és sárkányok egyre kisebb és kisebb generációit. Ezt is a végteienségig folytathatjuk, egy fraktálszerkezetet hozva létre. Roger Penrose, John Conway, Robert Ammann és mások hatalmas lépéseket tettek a nem periodikus (aperiodikus) csempézések felderítése terén. Változatlanul a "nem periodikus" kifejezést fogom használni, bár Branko Grünbaum és G. C. Shephard a Tilings and Patterns címû nagyszabású mûvükben "aperiodikus"-nak hívnak egy csempekészletet, ha azzal csak nem periodikusan csempézhetõ a sík. Annak felfedezése, amit manapság Ammann-csíkoknak vagy egyeneseknek nevezünk, és a Penrose-csempézés háromdimenziós megfelelôi, a kristálytan bámulatos fejlôdéséhez vezetett, de elõször is hadd foglaljam össze ennek az áttörésnek az elôzményeit. 1. ábra. Az Ammann-csíkok egy családja, melyen megfigyelhetô (balról jobbra) egy SLLSLLS sorozat Egy tehetséges fiatal matematikus, Robert Ammann, aki alacsony szintû számítógépes munkákat végzett Massachusettsben, Penrose-tól függetlenül felfedezte a rombusz-csempéket 1976-ban, körülbelül nyolc hónappal a Penrose-csempézésrõl szóló cikkem megjelenése elôtt. Levélben számoltam be neki a dárdákról és sárkányokról, melyben azt is megírtam, hogy Penrose már korábban felfedezte a rombuszokat. Ammann hamarosan rájött, hogy mindkét csempepár olyan mintákhoz vezet, melyeket öt, párhuzamos egyenesekbôl álló egyenescsalád határoz meg, ahol az egyenesek öt különbözõ irányban haladnak át a síkon, 360/5=72 fokos szögben metszve egymást. Egy ilyen egyenescsalád mai elnevezéssel Ammann-csíkok látható az 1. ábrán. Észrevehetô, hogy az egyenesek olyan dárdák konkáv csúcsán haladnak át, melyek egyik része egy irányba, a többi pedig ellenkezô irányba mutat. Szigorú értelemben ez nem pontos meghatározás az egyenesek elhelyezkedésére, de a mi céljainknak ez az egyszerû szabály is megfelel. A precíz meghatározás a Grünbaum Shephard-könyvben megtalálható. Ha a pontos helyükre kerülnek az egyenesek, akkor mindegyik egy hajszálnyival a dárdák konkáv csúcsán kívül halad. A minta minden szabályos tízszögének belsejében tökéletes pentagrammát (ötágú csillagot) rajzolnak ki az Ammanncsíkok. A szomszédos egyenesek között kétféle távolság figyelhetõ meg, az egyiket L-el (Long= hosszabb), a másikat S-el (Short= rövidebb) fogjuk jelölni. Ha megfelelően helyezzük el az egyeneseket, akkor a két távolság aranymetszéssel aránylik egymáshoz. Ráadásul a teljes síkot tekintve az egy családon belül levô csíkok között a L-k számának aránya a S-ek száma szintén aranymetszés arányú. Ha elindulunk a csíkok egyik családjára merőleges irányban, L-ek és S-ek sorozatával jegyezhetjük le az egymást követô távolságokat. Ez a sorozat nem lesz periodikus, és a Penrose-csempézésnek szép, egydimenziós megfelelõjét adja, teljesül rá a lokális izomorfizmus-tétel. Bármilyen véges részét kiválasztva a sorozatnak, mindig meg fogjuk találni a közelben annak másolatát. Induljunk el bárhol és jegyezzünk fel akárhány betût véges sok, mondjuk egymilliárd lépésen keresztül. A sorozat bármelyik pontjáról elindulva biztosak lehetünk abban, hogy elérünk egy ugyanilyen egymilliárd betûs sorozatot. Csak akkor nem ismétlõdik meg a betûsorozat, ha végtelen. Conway felfedezte, hogy ez a sorozat a következôképpen kapható meg az aranymetszésbõl. Írjuk fel növekvô sorrendben az aranymetszés arányszámának ((1+5 1/2 )/2) a többszöröseit, lefelé kerekítve a legközelebbi egész számra.

6 6. oldal Muzsai István: Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest A kapott sorozat így fog kezdôdni: 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, 30, 32, 33, 35, 37, 38, 40, 42, 43, 45, 46, 48, 50,... Ez a 917-es számú sorozat N. J. A. Sloane: Handbook of Integer Sequences (Egész számokból álló sorozatok kézikönyve) címû könyvében. Ha az aranymetszés négyzetének a többszöröseit kerekítjük le, akkor a 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23,... sorozatot kapjuk. A két sorozatot szokás egymás "komplementerének" nevezni. A kettõ egyesítésében minden pozitív egész egyszer és csak egyszer fordul elô. Ha egy tetszõleges a valós szám többszöröseit kerekítjük lefelé a legközelebbi egészre, akkor az így kapott sorozatot az a spektrumának nevezik. Ha a irracionális, akkor szokás a sorozatot Beatty-sorozatnak hívni, Samuel Beatty kanadai matematikus neve után, aki az ilyesfajta sorozatokra irányította a figyelmet 1926-ban. Az aranymetszéses Beatty-sorozat szomszédos tagjainak különbsége vagy 1, vagy 2. Ha felírjuk az elsô különbségsorozatot, majd minden 1-est 0-ra és minden 2-est 1-re változtatunk, egy végtelen bináris sorozatot kapunk, amely így kezdôdik: Ez az Ammann-csíkok bármelyik végtelen családjában az S-ek és L-ek sorozatának egy darabja. Conway a "zenei sorozat" kifejezést használja az aranymetszéses sorozat bármelyik véges szakaszára. Én Penrose-t követve Fibonacci-szekvenciának fogom ôket nevezni. [Az elnevezés némileg félreérthetõ, ugyanis általában az 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... (minden további tag az elõzõ összege) sorozatot szokás Fibonaccisorozatnak nevezni, vagy néha ennek azt az általánosítását, ahol az elsõ két tag tetszõleges, a képzési szabály viszont ugyanaz. Az ilyen sorozatok számos érdekes tulajdonsággal rendelkeznek, ha például a fenti, binárisan megadott Fibonacci-szekvencia elé tizedesvesszôt rakunk, akkor az eredmény egy olyan irracionális szám kettes számrendszerbeli vesszôstört alakja lesz, melyet a következô lánctört határoz meg: A lánctörtben szereplô kitevõk éppen a Fibonacci-számok. Conway számos publikálatlan eredménnyel rendelkezik arról, hogy a Penrose-csempézések hogyan függenek össze a Fibonacci-számokkal, amik viszont különbözô növények növekedési szabályaival függenek össze.

7 7. oldal Muzsai István: Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest / Rácsok felfújásának-leeresztésének módjai A Penrose-csempézések, mint láttuk, ön-hasonlóak (izomorfikusak) abban az értelemben, hogy ha felfújjuk vagy leeresztjük ôket, akkor egy másik csempézést kapunk. A Fibonacci-szekvenciák is rendelkeznek ugyanevvel a tulajdonsággal. Sokféle módon felfújhatók és leereszthetôk úgy, hogy egy másik ilyen sorozatot kapjunk, de a legegyszerûbb a következô. A leeresztéshez cseréljünk ki minden S-et L-re, minden LL-t S-re, és hagyjuk el az egyedül álló L-ket. Ha például a LSLLSLSLLSLLSLS szekvenciát ezzel a szabállyal eresztjük le, akkor a leeresztettje LSLLSLSLL. A felfújáshoz cseréljünk ki minden L-t S-re, minden S-t LL-ra, és két S közé mindenhova rakjunk be egy L-t. Egy Fibonacci-szekvenciában sosem fordulhat elõ SS vagy LLL. Ezt felhasználva könnyen eldönthetõ, hogy S-ek és L-k egy sorozata Fibonacci szekvencia-e. Alkalmazzuk a leeresztési szabályt egészen addig, míg vagy egy olyan sorozatot nem kapunk,

8 8. oldal Muzsai István: Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest amelyben SS vagy LLL van (ebben az esetben a sorozat nem Fibonacci), vagy egyetlen betût nem kapunk, ami bizonyítja, hogy az. Egy Penrose-csempézés felfújásakor vagy leeresztésekor az Ammann-csíkok bármelyik családjához tartozó sorozat is felfújódik, illetve leeresztődik. Bármelyik olyan hernyóban, mint a kocsikerékminta tíz küllőjének hernyói, a hosszú és rövid csokornyakkendők sorozata szintén Fibonacci-sorozat. Az Ammann-csíkok két családja nem periodikus paralelogrammák olyan hálózatát hozza létre, melybe beleilleszkednek a csempék. Ahogy Grünbaum és Shephard fogalmazza, "az, ami alapvetô, az a csíkok rendszere, és a csempék szerepe mindössze az, hogy egy gyakorlati megvalósítást adnak". A csíkok valami olyasmik, amik halványan emlékeztetnek a kvantummezôkre, melyek meghatározzák a részecskék helyét és pályáját. Van a Penrose-világoknak egy még meglepõbb tulajdonága. Egy sajátos, véges értelemben, amit a "lokális izomorfizmus-tétel" határol körül, minden Penrose-mintázat egyforma. Penrose-nak sikerült megmutatnia, hogy bármelyik mintázat bármelyik véges tartománya valahol szerepel az összes többi mintázatban is. Sôt, mi több, minden mintázatban végtelen sokszor szerepel. Hogy megértsük, milyen döbbenetes tényrõl van szó, képzeljük el, hogy egy végtelen síkon élünk, mely a megszámlálhatatlanul sok Penrose-csempézések egyikével van lefedve. Megvizsgálhatjuk mintázatunkat darabról darabra, egyre táguló területeken. Nem számít, mekkora részt derítettünk fel, soha nem leszünk képesek eldönteni, hogy melyik csempézésen vagyunk. Az sem segít, ha egymástól nagy távolságra lévô különálló tartományokat vizsgálunk meg, hiszen akárhány tartományhoz is lesz egy nagy, de véges tartomány, amely tartalmazza õket, és amely végtelen sokszor megismétlôdik minden mintázatban. Mindez persze nyilvánvalóan teljesül egy periodikus csempézésre, de a Penrose-világok nem periodikusak. Végtelen sok különbség van bármelyik kettő között, mégis elérhetetlen az a határ, melyen túl megkülönböztethetôk egymástói. Tegyük fel, hogy felderítettünk egy kör alakú tartományt, melynek d az átmérôje. Mondjuk ez a "város", ahol élünk. Hirtelen átkerülünk egy véletlenszerûen kiválasztott párhuzamos Penrose-világba. Milyen messze leszünk egy kör alakú tartománytól, mely pontosan olyan, mint a mi városunk? Conway válasza egy valóban figyelemre méltó tétel. Egy város határától a legközelebbi másolatának határáig a távolság soha sem több, mint d-szer az aranymetszés köbének a fele : (Φ x Φ x Φ) / 2 =4,236 / 2, vagyis 2,11...-szer d. (Ez felsô korlát, nem átlag.) Ha megfelelõ irányban indulunk el, akkor ennél többet biztos nem kell sétálnunk ahhoz, hogy saját városunk pontos másolatában találjuk magunkat. Természet Világa 128.évfolyam 8. szám 1997.augusztus, oldal

9 9. oldal Muzsai István: Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest / Három tükörszimmetrikus Fibonacci szekvencia vizsgálata: Az Amman csíkokat és a Fibonacci szekvenciákat geometrikusan is ki lehet szerkeszteni a következő módon. Vegyünk egy kockás papírt, azaz egy 2D sík négyzethálót. Fel kell vennünk vetítősík gyanánt oly módon egy ferde egyenest, hogy a négyzetrács csomópontjainak ortogonálisan rá szerkesztett ferde vetületi pontjai közötti távolság (1+gyök5) / 2= 1,618 nagyságú, azaz Φ legyen. Ha négyzet latticel pontjai között egy olyan lépcsőszerű összekötést rajzolunk meg, melynek belépőinek mélysége változó (de szigorúan 1 vagy 2 egység), akkor tulajdonképpen a vetítőegyenesen egy 1 dimenziós kiterjedésű Fibonacci szekvenciához jutunk. Adott esetben az Ammann-csíkok gyakorlatilag megegyeznek a fenti szerkesztésen alkalmazott ortogonális vetületi segédvonalakkal (narancs szín szaggatott).

10 10. oldal Muzsai István: Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest Kvázikristályos Mintaszerkesztési útmutató: Párhuzamos egyeneseket szerkesztek egymástól hosszabb L (Long) vagy rövidebb S (Short) távolságra. A két távolság egymáshoz viszonyított aránya aranymetszés. L / S = Φ Praktikusan, ha L=1,618 akkor S=1 A párhuzamos egyenesek távolságainak sorozatát úgy választom meg, hogy az első és az utolsó között szimmetrikusen felvett középpontban lévő forgatási tengely két oldalán a távolságok ritmusa tükörszimmetrikus legyen. a szekvencia./ legyen SLLSLSLLS, amikor a forgatási szimmetriatengely a középső hosszú rész közepe b szekvencia./ legyen LSLLSLLSL, amikor a forgatási szimmetriatengely a középső rövid rész közepe c szekvencia./ legyen LSLSLLSLSL, amikor a forgatási szimmetriatengely megegyezik a középső két hosszú rész válaszvonalával A kiválasztott szekvenciát többszörözve betöltöm a síkot vele, majd a középső szekvencia kiválasztott szimmetriatengelyének közepe körül 72 -os szögben körbeforgatom. Íly módon (72 = 360 / 5) ötszörös átfedéssel jelenik meg a vonalháló. Ez a pentarács. Eltérő Fibonacci szekvenciák értelemszerűen eltérő pentarács mintázatot eredményeznek. Nagy fontosságú a forgatási tengely felvétele is. Pl. a Penrose féle végtelen kocsikerék minta (Gardner, 1977) mely eredetileg sárkányokból (kite) és dárdákból (dart) áll. Ez a minta alkalmasint jól szemlélteti tulajdonságain keresztül, hogy a leeresztett verziója egész egyszerűen egy kisebb, a C középpont körül 180 -al elforgatott változata az eredetinek. A leeresztett mintát meg lehet kapni az eredetit felbontva kisebb önazonos részecskékre vagy ráhelyezve az eredetire az Ammann csíkokból álló duálisát. Ennek a pentarácsnak sajátos tulajdonsága, hogy minden második leeresztési generációja identikus a nulladik ( kiindulási) generációval csak Φ 2 szer kisebb. Az S jelű pontok lokális ötszörös szimmetria pontok, ún.penrose végtelen nap és csillag minták (egyébként rombikus ikozaéder és triakontaéder felülnézetek).

11 11. oldal Muzsai István: Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest A forgatási középpont lesz a pentarács origója, ahonnan a minta végtelen kiterjedése és a szimmetriatengelyek indulnak. Egy kvázikristályos Öt és tízszeres szimmetriájú minta minden esetben egy 5 vagy több dimenziós hiperkockarácsnak a 2 dimenziós vetülete lesz, a duálisa (de Bruijn, 1981) és 3 dimenzióban pedig zonohedrális strukturájú tércsempézést tesz lehetővé rombikus oldallapokból álló poliéderekkel ( Socolar és Steinhardt 1986). Az a, b, c Fibonacci szekvenciák alapján kiszerkesztett 3 eltérő pentarács : A három végtelen tízszeres tengelyű csempézés, a fenti 3 Fibonacci szekvencia alapján létrehozott pentarácsok duálisai.

12 12. oldal Muzsai István: Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest Kiemelve a c jelű mozaikból az azt jellemzően alkotó 4 féle elem egy csoportját ( színessel jelölve az előző képen), a következő ábrán (c pontján) látható, hogy a minta önazonos, lokálisan izomorf. Az aranymetszés arányban leeresztett minta szépen beleilleszkedik a nagyobb elemek kontúrjába. Szaggatott vonallal az ábrán a duális pentarácsok vonalai láthatóak. Mivel azonban az LSLSLLSLSL c jelű Fibonacci szekvencia nagyon speciális, ún. szinguláris (de Bruijn, 1981), egyedi abban, hogy a duális módszerrel létrehozott csempéi nem csak rombuszok, hanem 10szög, 8szög és 6szög, ezért pentarácsának metszéspontjaira ( mely lehet 3,4,5 Ammann vonal metszéspontja is akár) több más pentarács pontjai is illeszkednek. A következő ábra a és b részén látható, hogy a c alapelemeibe az a és b mozaik elemei is beleírhatóak, aranymetszés arányban leeresztve azokat. A magas matematikában és kísérleti fizikában az utóbbi 25 évben óriási szaktekintélyek foglalkoztak mélyrehatóan az ismertetett jelenséggel. Kezdve jelen DLA dolgozatom I.1. részében általam is felfedezett aranyrombuszokból álló poliéderek családjának vizsgálatával eljutottak a tudósok addig, hogy bebizonyíthatták, hogy a 3 dimenziós tér maradéktalanul kitölhető a nevezett testcsaláddal. A kitöltésnek ikozaéderes vagy zonoéderes szimmetriája van a térbeli eredetpontból kiindulva. A térkitöltés pedig koncentrikus héjak mintájára az origótól távolodva tágul és tartalmaz önazonos elemcsoportokat. Gyakorlatilag modellezhető vele a big bang, az ősrobbanás és a táguló világegyetem. Emiatt kvantummechanikai szinten is elkezdték vizsgálni a jelenséget és kiderült, hogy ennek a fajta 3 dimenziós térkitöltésnek létezik addig nem ismert modellje kicsiben és nagyban is. Megfogható kicsi méretben ilyen például az AlPdMn könnyűfém ötvözetek dodekaéderes kristályszerkezete, amit kvázi(majdnem)kristályosnak neveznek, mivel addig nem volt ismert olyan kristály, mely 5 irányban szimmetrikus. Megfoghatatlan kicsi, azaz elméletileg bizonyítható szinten pedig kiderült, hogy a zonoéderes térkitöltés relativisztikus szimmetriákat ír le a kvantummechanikai Tér-Idő (szpaciotemporális) hyperkockarácsokban és ez az elmélet helyettesítheti az addig egyeduralkodónak hitt Minkowski teret. ( Peter Kramer, Zorka Papadopolos, Harald Teuscher., Inst. Für Theoretishe Physik, Univ.Tübingen Tiling theory applied / az LLSLLSLSLL szekvencia és a triakontéder vizsgálata ) Az elsők között azonban meg kell említenünk Kepler nevét, akinek egyik kedvenc poliédere volt a rombikus triakontaéder.

13 13. oldal Muzsai István: Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest A nagyobb mintára szuperpozícionált kisebb minták lokálisan izomorfak. Az a és b szekvenciák esetében a leeresztés foka Φ 3. A megegyező lokális izomorfikus osztály minden 3., míg az alapminta megfordulva minden 6. generáció alkalmával bukkan fel. Emiatt 12 generációs után bukkan fel ugyanúgy a minta, akkor már Φ 12 arányban ( kb.322 szeresen) lecsökkenve-megnagyítva. (R.Ingalls (Dept. Of Physics, Univ. Of Washington, Acta Cryst. A48, megjelent cikkének ábráit felhasználva (fekete-fehér képek)) A Tér Idő kutatása 3 dimenzióban is létező polidimenzionális formákon keresztül: A rombikus triakontaéder felbontása Kepler tollával és a P. Kramer téridő fraktál bizonyításában.

14 14. oldal Muzsai István: Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest Tulajdonképpen ez a titka az iszlám építészet elképesztő bonyolultságot mutató mozaikjainak, az ún. girih mintáknak. amit K.u körül már tudtak gépek nélkül készíteni, oly módon, hogy manapság számítógéppel nehezen lehet kikonszignálni pl. egy templomon vagy mauzóleumon hibátlanul körbefutó és pontosan csatlakozó óriási mozaikot, amit aztán ráadásul apró darabonként raktak fel. (pl. Gunbad-a Qabud, a kék kripta, Maragha, Irán 1147) Fotó: Sheila Blair and Jonathan Bloom ábra: E. Makovicky - csempék: Muzsai 2010 E.Makovicky(1992) krisztallográfus szerint a világ első ismert kvázikristályos épített mintája. 10szeres szimmetriájú minta, melyen ráadásul még egy másik végtelen fonott szalag jellegű hyperminta (csempeterven zölddel jelölve) és körbefut, úgy, hogy még a 10 oszlopot is körbeöleli. A Törökországban őrzött híres Topkapi-tekercs Topkapi-tekercs mintagyűjtemény egyik lapja. ( Fotó: Peter J. Lu - Science_315_1106_2007_SOM_Page_11) fotó: E. Makovicky A kripta falának közelképe

15 15. oldal Muzsai István: Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest / Kvázikristályos homlokzat szerkesztése: Az ismertetett módszerrel gyakorlatilag akármilyen rácsozottságú építészeti homlokzatstruktúrát meg lehet szerkeszteni. A kapott felosztás aranymetszés arányban, tehát végtelenül harmonikusan tördelhető, aprózható. Akár acél vagy vasbeton tartószerkezeti elemk léptékétől az üvegosztáson át le lehet menni egészen centiméteres léptékű mozaik kitöltésekig. A minta jellege mindig ugyanaz marad. Bár nagyon öt irányban futnak a homlokzat alkotói, a mintát, pl. függönyfalként fel lehet úgy is használni, hogy egyik iránya vízszintes vagy függőleges legyen, azaz a födémek vonalát kövesse, például egy sokemeletes irodaház esetében. Vegyük például az LSLSLLSL szekvenciát. L = 1,618 m., míg S= 1,000 méter Ebben az esetben N x ( 1,618 / 1 / 1,618 / 1 / 1,618 / 1,618 / 1 / 1,618 ) méteres távolságokban felosztjuk a homlokzatot. Az N szám a tervező által szabadon megválasztandó, oly módon, hogy a teljes homlokzati hosszra egész számú felosztás kerüljön. A szekvenciát építészetileg szükséges mennyiségben lehet süríteni a homlokzaton: LSLSLLSL/ LSLSLLSL/ LSLSLLSL/ LSLSLLSL et cetera Miután megvan a vonalhálónk, azt már csak körbe kell forgatni 72 -ban és megkaptunk egy pentarácsot, melyet szükség szerint lehet tömör és áttört felületekkel, fallal, ablakkal, színekkel kitölteni. A forgatási tengely felvétele sok próbálkozást igényel, ugyanis ennek a megfelelő helye (a helyes Fibonacci szekvencia alkalmazása mellett) a második szükséges előfeltétele annak, hogy a minta aperiodikus legyen. Az aperiodikus minta további érdekessége, hogy bár nem ismétlődik (tehát nem sorolható periodikusan, mint egy normál csempeburkolat), mégis tartalmaz ismétlődő csoportokat, melyek azonosak és egy más között cserélgethetőek. Megfigyelhető a következő ábrán, hogy a választott szekvenciánkon belül található egy érdekes tengely, melyre a teljes a vonalrács szimmetrikussá válik. Az LSLSLLSL szekvenciában ez az utolsó rövid szakasz közepe: Fontos különbsége a korábban vizsgált pentarácsokhoz képest, hogy azokat tükörszimmetrikusan forgatták ki, tehát úgy voltak megszerkesztve, hogy az origótól előtt a szekvenciákat visszafelé olvasnánk, ha literálisan, betű szerint vennénk azokat. Tehát jelen esetben az LSLSLLSL szekvencia az elejénél tengelyezve és fordítva: LSLLSLSLLSLSLLSL lenne.

16 16. oldal Muzsai István: Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest Felszerkesztve a pentarácsot és kitöltve (pepita módon), felváltva fekete-fehérrel a szomszédos poligonokat megmutatja magát a kapott mintázat. A következő ábrán az LSLSLLSL lineáris pentarács origója látható vonalasan és kitöltve. Piros színnel a tengelyt tartalmazó szakaszt jelölöm. Mivel ugyanazokat a távolságokat tartalmazó szakaszfelosztásokat többszöröztük, logikusan végiggondolva, a mintának ismétlődnie kellene, mintegy kaleidoszkópszerűen. Ellenben nem teszi, sőt,.. a kvázikristályos minták aperiodikusak és végtelen irányban tágulnak, ezért a minta körönként változik, bár mindig ugyanolyan részecskékből áll össze. Egy olyan fraktál, melynek van egy középpontja és abból kiindulva 10, 8, 5 tengelyre szimmetrikus. A teljes mintát kitöltögetve ez láthatóvá válik:

17 17. oldal Muzsai István: Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest Megfigyelhetőek az önazonos 10 szirmú csillagvirágok, melyek a szimmetriatengelyeken jelennek meg. Piros négyzettel jelölve az előző képen bemutatott középpont és egy véletlenszerűen kiválasztott perifériális terület: A fraktálokról köztudott, hogy kaotikusnak tűnnek, ha csak egy részletüket látjuk és nem az egész rendszert egyben. Ez a tulajdonság hallatlan változatosságot eredményez és kimásolva egy egy részletét a létrehozott mintázatnak, nyilván nem csak szimmetrikus homlokzati struktúrákat, de egészen kaotikus (-nak tűnő, ellenben harmonikus ritmusú) dekonstruktív jellegű homlokzatok is képezhetőek ezzel a módszerrel. Az origótól távolodva egyre inkább megjelenik egy olyan rácsozottság, mely a fokos kövér és a fokos sovány2 Penrose-rombusz -ok méretét variálja. Felismerhetőek a megjelenő vonalak által lehatárolható Penrose dárdák és sárkányok is. Tovább haladva az LSLSLLSL lineáris pentarács építészeti alkalmazásának vizsgálatában, kezdjük el a megalkotott aperiodikus mozaik azonos csempéinek színnel való megkülönböztetését. Nagyon szépen megmutatkozik a minta tágulása és az izomorfikus csoportok, melyeket akár belsőépítészeti ornamentikában használható elemekként kiemelhetőek a mintából, de természetesen a mozaik egyes darabjai külön is kikonszignálhatóak: Nap elem és a 18 csempe

18 18. oldal Muzsai István: Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest Jelen esetben a csempecsaládunk elég népes. 18 tagot számláltam meg, de még várható távoli rokonok felbukkanása a periférikus régiókban. A következő nagyobb áttekintést biztosító képen észrevehető, hogy például a világoskék háztető jellegű 5szög a sárga Nap elemek eltűnésnek régiója környékén bukkan fel, majd egyre jobban elszaporodik. Uyganilyen a világoszöld trapéz forma is. A könnyebb felismerhetőség miatt a Nap csoport szirmait narancs helyett citromsárgára színeztem. Kezdő kvázikristály alkotóként a szám közötti csempecsalád nem szégyellendő, elég jó teljesítmény. A Penrose-mozaik hírhedtsége abban is áll, hogy Roger Penrose-nak sikerült kettő(!!) darabra minimalizálnia az aperiodikus csempézést lehetővé tevő csempék számát ( a korábbi 6-ról).

19 19. oldal Muzsai István: Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest Két mozaikkal borított homlokzati vagy belsőépítészeti falrészlet. Bár ugyanabból a mozaikcsaládból rakott mintázatból való mindkettő, az első részlet szimmetrikus és iszlám stílust idéz, míg a másik aszimmetrikus és hullámzó floralitása révén a japán ornamentikára aszociáltat. Mindkét ősi kultúra mintakincse egyezik egy dologban: többezer évesek és természetközpontúak. Visszakanyarodva jelen dolgozat tudományos előzményeket bemutató bevezető részéhez, a 6.oldalon már említettem korunk még élő matematikai zsenijének John H. Conway-nak nevét, akihez fűződik a Fibonacci szekvenciák zenei sorozatok elnevezése. Egy számok és ellentmondásmentes, szikár bizonyítások világában élő profi matematikustól túlzásnak tűnik egy matematikai adatsorozatot az érzelmekre ható zene világával összekapcsolni, ám tekintetbe véve, hogy például a zenei univerzum hasonló hatású nagysága, J.S. Bach hogyan komponálta elévülhetetlen és a mai napig univerzális darabjait, az elnevezés nagyon is helytálló. Bach úgynevezett rák, tükör, ráktükör komponálású kánonjai pontosan a fentebb ismertetett egy dimenziós aperiodikus kvázikristály, azaz a Fibonacci szekvencia alapú polidimenzionális terekből a de Bruijn féle dualitási elv alapján származtatható hiperkocka térrácsok 2 dimenziós (sík) mintázatainak szabályszerűségét alkalmazzák a zenében. Végül is összesen két időben non-lineáris művészeti ágat tartanak számon a tudósok. Ezek a Zene és az Építészet. Érdekes lenne megvizsgálni egy közös kutatási program keretein belül a Zeneakadémiával, hogy kottázhatóak-e az aperiodikus mintázatok, és fordítva. Valószínűleg bebizonyosodna, hogy nem csak közhely az építész szakmai köreinkben ismert szakállas mondás, miszerint Építészet megfagyott Zene, hanem kulcsmondat egy korunkban már kutatható, új dimenziójú tudás felé. Muzsai István június 10.-e, Budapest

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

VI.1. NEVEZETESSÉGEK HÁROMSZÖGORSZÁGBAN. A feladatsor jellemzői

VI.1. NEVEZETESSÉGEK HÁROMSZÖGORSZÁGBAN. A feladatsor jellemzői VI.1. NEVEZETESSÉGEK HÁROMSZÖGORSZÁGBAN Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai: szögfelező, oldalfelező merőleges, magasság, beírt kör és középpontja, körülírt kör

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

VI.3. TORPEDÓ. A feladatsor jellemzői

VI.3. TORPEDÓ. A feladatsor jellemzői VI.. TORPEDÓ Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Tengelyes és középpontos tükrözés, forgatás, eltolás és szimmetriák. Előzmények A tanulók ismerik a tengelyes tükrözést, középpontos tükrözést, 0 -os pont

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat

Részletesebben

16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek

16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek 16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformáció Def:Olyan speciális függvény, melynek értelmezési

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni

1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni 1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni a) 5 db 8 cm hosszú, b) 8 db 5 cm hosszú cérnával? Megoldás:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

A tér lineáris leképezései síkra

A tér lineáris leképezései síkra A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása

Részletesebben

Gráfelméleti alapfogalmak

Gráfelméleti alapfogalmak 1 Gráfelméleti alapfogalmak Gráf (angol graph= rajz): pontokból és vonalakból álló alakzat. pontok a gráf csúcsai, a vonalak a gráf élei. GRÁ Irányítatlan gráf Vegyes gráf Irányított gráf G H Izolált pont

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat. 1. Az a és b valós számra a 2 + b 2 = 1 teljesül, ahol ab 0. Határozzuk meg az. szorzat minimumát. Megoldás.

Bolyai János Matematikai Társulat. 1. Az a és b valós számra a 2 + b 2 = 1 teljesül, ahol ab 0. Határozzuk meg az. szorzat minimumát. Megoldás. Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási Minisztérium Alapkezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 005/00-os tanév első iskolai) forduló haladók II. kategória nem speciális

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

A pentominók matematikája Síkbeli és térbeli alakzatok 4. feladatcsomag

A pentominók matematikája Síkbeli és térbeli alakzatok 4. feladatcsomag A pentominók matematikája Síkbeli és térbeli alakzatok 4. feladatcsomag Életkor: Fogalmak, eljárások: 10 18 év pentominók adott tulajdonságú alakzatok építése szimmetrikus alakzatok egybevágó alakzatok

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z 146/1 147/2 1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z b) 0; H; I; N; O; S; X; Z c) 0; O; H; I; X; Z a) kőr dáma b) pikk jumbo; kőr dáma.; káró

Részletesebben

SZAKÁLL SÁNDOR, ÁsVÁNY- És kőzettan ALAPJAI

SZAKÁLL SÁNDOR, ÁsVÁNY- És kőzettan ALAPJAI SZAKÁLL SÁNDOR, ÁsVÁNY- És kőzettan ALAPJAI 6 KRISTÁLYTAN VI. A KRIsTÁLYOs ANYAG belső RENDEZETTsÉGE 1. A KRIsTÁLYOs ÁLLAPOT A szilárd ANYAG jellemzője Az ásványok néhány kivételtől eltekintve kristályos

Részletesebben

mintásfal 60 40 2 2 mintásfal :m :sz :dbjobbra :dbfel

mintásfal 60 40 2 2 mintásfal :m :sz :dbjobbra :dbfel 6.osztály 1.foglalkozás 6.osztály 2.foglalkozás kocka kockafal :db minta Készítsd el ezt a mintát! A minta hosszú oldala 60 a rövid oldala 40 egység hosszú. A hosszú oldal harmada a négyzet oldala! A háromszög

Részletesebben

SZAKÁLL SÁNDOR, ÁsVÁNY- És kőzettan ALAPJAI

SZAKÁLL SÁNDOR, ÁsVÁNY- És kőzettan ALAPJAI SZAKÁLL SÁNDOR, ÁsVÁNY- És kőzettan ALAPJAI 7 KRISTÁLYTAN VII. A KRIsTÁLYOK szimmetriája 1. BEVEZETÉs Az elemi cella és ebből eredően a térrácsnak a szimmetriáját a kristályok esetében az atomok, ionok

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Variációk egy logikai feladat kapcsán

Variációk egy logikai feladat kapcsán XXIII/1. sz., 016. márc. Variációk egy logikai feladat kapcsán Tuzson Zoltán Egy IQ tesztben a következő feladvánnyal találkoztam: (1) Milyen szám talál a kérdőjel helyére? Indokold meg a válaszodat! Hosszabb-rövidebb

Részletesebben

Síklapú testek. Gúlák, hasábok Metszésük egyenessel, síkkal

Síklapú testek. Gúlák, hasábok Metszésük egyenessel, síkkal Síklapú testek Gúlák, hasábok Metszésük egyenessel, síkkal Az előadás átdolgozott részleteket tartalmaz a következőkből: Gubis Katalin: Ábrázoló geometria Vlasta Szirovicza: Descriptive geometry Síklapú

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

1 = 1x1 1+3 = 2x2 1+3+5 = 3x3 1+3+5+7 = 4x4

1 = 1x1 1+3 = 2x2 1+3+5 = 3x3 1+3+5+7 = 4x4 . Orchidea Iskola VI. Matematika verseny 0/0 II. forduló = x + = x ++ = x +++ = x Ennek ismeretében mennyivel egyenlő ++++...+9+99=? A ) 0. D ) 0 000 6 C ) 0 D ) A Földközi-tengerben a só-víz aránya :

Részletesebben

A szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez

A szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez 1 A szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez A síkmértani szerkesztések között van egy kedvencünk: a szabályos n - szög közelítő szerkesztése. Azért vívta ki nálunk ezt az előkelő helyet, mert nagyon

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

Térgeometriai taneszközök síkba összenyomható és zsinóros térbeli modellek (9 10. évfolyam) Tanári eszközök. Szalóki Dezső

Térgeometriai taneszközök síkba összenyomható és zsinóros térbeli modellek (9 10. évfolyam) Tanári eszközök. Szalóki Dezső Térgeometriai taneszközök síkba összenyomható és zsinóros térbeli modellek (9 10. évfolyam) Tanári eszközök Szalóki Dezső matematika, fizika, ábrázoló-geometria és biológia szakos vezetőtanár Lektorálta:

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

VII.4. RAJZOLGATUNK II. A feladatsor jellemzői

VII.4. RAJZOLGATUNK II. A feladatsor jellemzői VII.4. RAJZOLGATUNK II. Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Axonometrikus rajzok készítése megadott szempontok alapján, meglévő rajzok kiegészítése, azokban való tájékozódás. Előzmények Arányos számítások,

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Ismétléses permutáció: ha az elemek között van olyan, amelyik többször is előfordul, az elemek egy sorba rendezését ismétléses permutációnak nevezzük. Tétel: ha n elem között p 1, p 2, p 3, p k darab megegyező

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Számtan, mértan, origami és a szabványos papírméretek

Számtan, mértan, origami és a szabványos papírméretek Számtan, mértan, origami és a szabványos papírméretek A papír gyártása, forgalmazása és feldolgozása során szabványos alakokat használunk. Ezeket a méreteket a szakirodalmak tartalmazzák. Az alábbiakban

Részletesebben

Egy feladat megoldása Geogebra segítségével

Egy feladat megoldása Geogebra segítségével Egy feladat megoldása Geogebra segítségével A következőkben a Geogebra dinamikus geometriai szerkesztőprogram egy felhasználási lehetőségéről lesz szó, mindez bemutatva egy feladat megoldása során. A Geogebra

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

Láthatósági kérdések

Láthatósági kérdések Láthatósági kérdések Láthatósági algoritmusok Adott térbeli objektum és adott nézőpont esetén el kell döntenünk, hogy mi látható az adott alakzatból a nézőpontból, vagy irányából nézve. Az algoritmusok

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

MEGOLDÁS ÉS PONTOZÁSI ÚTMUTATÓ

MEGOLDÁS ÉS PONTOZÁSI ÚTMUTATÓ 5. osztály Jelölje a 20-as és az 50-es közötti számokat a és b, a 20-as és a 80-as közöttieket c és d, az 50-es és a 80- as közöttieket pedig e és f. Ekkor tudjuk, hogy a+ b= 130, c+ d = 100 és e+ f =

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 0/03-as tanév. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató. Egy kör kerületére felírjuk -től 3-ig az egészeket

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

5.osztály 1.foglalkozás. 5.osztály 2.foglalkozás. hatszögéskörök

5.osztály 1.foglalkozás. 5.osztály 2.foglalkozás. hatszögéskörök 5.osztály 1.foglalkozás 5.osztály 2.foglalkozás hatszögéskörök cseresznye A cseresznye zöld száránál az egyeneshez képest 30-at kell fordulni! (30 fokot). A cseresznyék között 60 egység a térköz! Szétszedtem

Részletesebben

XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői

XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői XI.5. LÉGY TE A TANÁR! Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Algebrai, geometriai, kombinatorikai és valószínűségszámítási tipikus gondolkodási hibák, buktatók. Előzmények Mérlegelv, másodfokú egyenletek

Részletesebben

Kártyázzunk véges geometriával

Kártyázzunk véges geometriával Kártyázzunk véges geometriával Bogya Norbert Bolyai Intézet Egyetemi tavasz, 2016 Tartalom Dobble Véges geometria Dobble újratöltve SET Kérdések Hogy tudunk ilyen kártyákat konstruálni? 8 helyett más

Részletesebben

10. évfolyam, negyedik epochafüzet

10. évfolyam, negyedik epochafüzet 10. évfolyam, negyedik epochafüzet (Geometria) Tulajdonos: NEGYEDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Síkgeometria... 4 I.1. A háromszög... 4 I.2. Nevezetes négyszögek... 8 I.3. Sokszögek... 14 I.4. Kör és részei...

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Országos döntő, 1. nap - 015. május 9. ÖTÖDIK OSZTÁLY - ok 1. Egy háromjegyű szám középső számjegyét elhagyva egy kétjegyű számot kaptunk. A két szám összege

Részletesebben

8. modul: NÉGYSZÖGEK, SOKSZÖGEK

8. modul: NÉGYSZÖGEK, SOKSZÖGEK MATEMATIK A 9. évfolyam 8. modul: NÉGYSZÖGEK, SOKSZÖGEK KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR Matematika A 9. évfolyam. 8. modul: NÉGYSZÖGEK, SOKSZÖGEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április mal, így a számjegyeinek összege is osztható 3-mal.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április mal, így a számjegyeinek összege is osztható 3-mal. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló - 2015. április 11. HATODIK OSZTÁLY - Javítási útmutató 1. Melyik a legkisebb 3-mal osztható négyjegyű szám, amelynek minden számjegye különböző,

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április 11.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április 11. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló - 2015. április 11. HETEDIK OSZTÁLY - Javítási útmutató 1. Ki lehet-e tölteni a következő táblázat mezőit pozitív egész számokkal úgy, hogy

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! 2. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat! 3. Az ötnek hányadik hatványa a következő kifejezés?

Részletesebben

835 + 835 + 835 + 835 + 835 5

835 + 835 + 835 + 835 + 835 5 Orchidea Iskola VI. Matematika verseny 20/20 II. forduló. A macska és az egér jobbra indulnak el. Ha az egér négyzetet ugrik, akkor a macska 2 négyzetet lép előre. Melyik négyzetnél éri utol a macska az

Részletesebben

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

41. ábra A NaCl rács elemi cellája

41. ábra A NaCl rács elemi cellája 41. ábra A NaCl rács elemi cellája Mindkét rácsra jellemző, hogy egy tetszés szerint kiválasztott pozitív vagy negatív töltésű iont ellentétes töltésű ionok vesznek körül. Különbség a közvetlen szomszédok

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Szapora négyzetek Sorozatok 4. feladatcsomag

Szapora négyzetek Sorozatok 4. feladatcsomag Sorozatok 3.4 Szapora négyzetek Sorozatok 4. feladatcsomag Életkor: Fogalmak, eljárások: 10 12 sorozat tengelyes szimmetria összeszámlálás különböző szempontok szerint átdarabolás derékszögű elforgatás

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Latin négyzet és SUDOKU a tanítási órákon. készítette: Szekeres Ferenc

Latin négyzet és SUDOKU a tanítási órákon. készítette: Szekeres Ferenc Latin négyzet és SUDOKU a tanítási órákon készítette: Szekeres Ferenc a latin négyzet Leonhard Euler (1707 1783) svájci matematikustól származik eredetileg latin betűket használt szabályai: egy n x n es

Részletesebben

46. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY NEGYEDIK OSZTÁLY

46. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY NEGYEDIK OSZTÁLY 6. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló Javítási útmutató NEGYEDIK OSZTÁLY 1. Írd be az 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 és 12 számokat a kis körökbe úgy, hogy a szomszédos számok különbsége

Részletesebben

Gráfelméleti alapfogalmak-1

Gráfelméleti alapfogalmak-1 KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára Gráfelméleti alapfogalmak Előadó: Hajnal Péter 2015 1. Egyszerű gráfok Nagyon sok helyzetben egy alaphalmaz elemei között kitűntetett

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 009/00-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x

Részletesebben

Geometriai alapfogalmak

Geometriai alapfogalmak Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. FÉLÉV A kiadvány KHF/4356-14/2008. engedélyszámon 2008.11.25. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

FRAKTÁLOK ÉS A KÁOSZ

FRAKTÁLOK ÉS A KÁOSZ FRAKTÁLOK ÉS A KÁOSZ Meszéna Tamás Ciszterci Rend Nagy Lajos Gimnáziuma és Kollégiuma, Pécs, meszena.tamas@gmail.com, az ELTE Fizika Tanítása doktori program hallgatója ÖSSZEFOGLALÁS A fraktálok olyan

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

Színezések Fonyó Lajos, Keszthely

Színezések Fonyó Lajos, Keszthely Színezések Fonyó Lajos, Keszthely 1. A sík pontjait kiszínezzük két színnel. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges d R + esetén lesz két egymástól d távolságra levő pont, amelyek azonos színűek. I. megoldás:

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Számalakzatok Sorozatok 3. feladatcsomag

Számalakzatok Sorozatok 3. feladatcsomag Számalakzatok Sorozatok 3. feladatcsomag Életkor: Fogalmak, eljárások: 13 18 év négyzetszámok háromszögszámok teljes indukció különbségi sorozatok Az ókori görögök szívesen játszottak a pozitív egész számokkal,

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz Gedeon Veronika (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. . tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat

Részletesebben

Szög. A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából:

Szög. A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából: Szög A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából: http://hu.wikipedia.org/wiki/szög A sík egy pontjából kiinduló két félegyenes a síkot két tartományra osztja. Az egyik tartomány és a két félegyenes szöget

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Tanulmányozza az 5. pontnál ismertetett MATLAB-modell felépítést és működését a leírás alapján.

Tanulmányozza az 5. pontnál ismertetett MATLAB-modell felépítést és működését a leírás alapján. Tevékenység: Rajzolja le a koordinaátarendszerek közti transzformációk blokkvázlatait, az önvezérelt szinkronmotor sebességszabályozási körének néhány megjelölt részletét, a rezolver felépítését és kimenőjeleit,

Részletesebben

Kondenzált anyagok csoportosítása

Kondenzált anyagok csoportosítása Szilárdtestfizika Kondenzált anyagok csoportosítása 1. Üvegek Nagy viszkozitású olvadék állapotú anyagok, amelyek nagyon lassan szilárd állapotba mennek át. Folyékony állapotból gyors hűtéssel állíthatók

Részletesebben

Erdősné Németh Ágnes. Batthyány Lajos Gimnázium Nagykanizsa. agi@microprof.hu. INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 1

Erdősné Németh Ágnes. Batthyány Lajos Gimnázium Nagykanizsa. agi@microprof.hu. INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 1 Parkettázás s szabályos sokszögekkel Erdősné Németh Ágnes Batthyány Lajos Gimnázium Nagykanizsa agi@microprof.hu INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 1 LOGO versenyfeladatok

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69 TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ............................................................ 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!............................. 9 Mit tanultunk a számokról?............................................

Részletesebben

A Paint program használata

A Paint program használata A Paint program használata A Windows rendszerbe épített Paint program segítségével képeket rajzolhat, színezhet és szerkeszthet. A Paint használható digitális rajztáblaként. Egyszerű képek és kreatív projektek

Részletesebben

TÉGLATEST, KOCKA, GÖMB TÉGLALAP, NÉGYZET, KÖR

TÉGLATEST, KOCKA, GÖMB TÉGLALAP, NÉGYZET, KÖR Matematika A 3. évfolyam TÉGLATEST, KOCKA, GÖMB TÉGLALAP, NÉGYZET, KÖR 40. modul Készítette: SZILI JUDIT (A 11., 13., 15. PONTOT: LÉNÁRT ISTVÁN) matematika A 3. ÉVFOLYAM 40. modul TÉGLATEST, KOCKA, GÖMB

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Megoldókulcs. Matematika D kategória (11-12. osztályosok) 2015. február 6.

Megoldókulcs. Matematika D kategória (11-12. osztályosok) 2015. február 6. Megoldókulcs Matematika D kategória (11-12. osztályosok) 2015. február 6. 1. Az ABC háromszög mindhárom csúcsából merőlegeseket állítunk a többi csúcs külső és belső szögfelezőire. Igazoljuk, hogy az így

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

A Mandorla kirakása. A Mandorla kirakott állapotban Már öt forgatással is jól összekeverhetjük

A Mandorla kirakása. A Mandorla kirakott állapotban Már öt forgatással is jól összekeverhetjük A Mandorla kirakása A Mandorla egy magyar fejlesztésű forgatós logikai játék, amelyen összesen 19 elem található háromféle színben, az elemeket pedig két kerék forgatásával tudjuk összekeverni. A Mandorlánál

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK

KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK web-lap : www.hild.gor.hu DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár e-mail : deme.ferenc1@gmail.com STATIKA 50. KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK A TARTÓK MÉRETEZÉSE SORÁN SZÁMOS ESETBEN SZÜKSÉGÜNK VAN OLYAN ADATOKRA,

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat 3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt

Részletesebben

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben