A NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM SAVARIA EGYETEMI KÖZPONT TUDOMÁNYOS KÖZLEMÉNYEI XIX. TERMÉSZETTUDOMÁNYOK 14.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM SAVARIA EGYETEMI KÖZPONT TUDOMÁNYOS KÖZLEMÉNYEI XIX. TERMÉSZETTUDOMÁNYOK 14."

Átírás

1 A NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM SAVARIA EGYETEMI KÖZPONT TUDOMÁNYOS KÖZLEMÉNYEI XIX. TERMÉSZETTUDOMÁNYOK 14. PROCEEDINGS OF UNIVERSITY OF WEST HUNGARY SAVARIA CAMPUS NATURAL SCIENCES Szerkesztette: Dr. habil. Péntek Kálmán Ph.D. Dr. Tóth Gábor Ph.D. Felelős kiadó: Prof. Dr. Neményi Miklós Tudományos és külügyi rektorhelyettes SZOMBATHELY 2012.

2 A folyóirat 1988 és 2006 között A Berzsenyi Dániel (Tanárképző) Főiskola Tudományos Közleményei Természettudományok címen jelent meg. A kötet megjelentetését a Műszaki- és Természettudományi Kultúráért Egyesület és a Societas Scientiarium Savariensis (Szombathelyi Tudományos Társaság) anyagi támogatása tette lehetővé. HU ISSN ISSN Kiadja a NYME Kiadó A nyomdai munkákat a Balogh és Társa Kft. végezte Szombathelyen. Technikai szerkesztő: Dr. Tóth Gábor Ph.D.

3 TARTALOMJEGYZÉK SÁFÁR, ZOLTÁN: Double Fourier series, generalized Lipschitz and Zygmund classes 5 GUETH KRISZTIÁN: Keresési és színezési problémák speciális gráfokon 19 PÉNTEK KÁLMÁN: Az ortografikus meridionális vetületi rendszeren alapuló csillagászati készülék: a Nap évi mozgását bemutató forgatható korong 37 PUSKÁS JÁNOS NOWINSZKY LÁSZLÓ: A földmágneses térerő fénycsapdás rovargyűjtést módosító hatásának változása a különböző holdfázisokban 65 BARANYAI, OLGA BARANYAI, GÁBOR CSAPÓ, TAMÁS BALOGH, ANDRÁS: Development opportunities in Őrség National Park 71 RÉDEI MÁRIA: Népesség prognózis, előreszámítás módszertani kérdései 77 LENNER TIBOR CSAPÓ TAMÁS: Kaposvár történeti földrajza 91 CSAPÓ, TAMÁS LENNER, TIBOR: Settlement morphology of Zalaegerszeg city 109 BALOGH ANDRÁS: A külterületek településföldrajzi vonatkozásai 127 VÁLICZKÓ ÉVA KOVÁCS MÓNIKA NAGY TATJÁNA ALEKSZA MAGDOLNA: Autoantitestek kimutatása fókuszban az anti-mitokondriális antitest 139 KOVÁCS GÁBOR SZINETÁR CSABA: Adatok az ezüstös zugpók (Malthonica nemorosa [SIMON, 1916]) biológiájához. (Araneae, Agelenidae). 151 KOVÁCS PÉTER SZINETÁR CSABA SZŰTS TAMÁS: A Nyugat-magyarországi peremvidék (Győr-Moson-Sopron, Vas és Zala-megyék) pókfaunája 165 TÓTH GÁBOR: Késő rézkori temető Tolna Mözs (Kenderföldek-dűlő) lelőhelyről 231 NÉMETHNÉ TÖMŐ, ZSUZSANNA KELEMEN, ZITA: Familiarity and usage of marketing information systems within the timber and furniture SME sector in Hungary 241

4 PÁPAI ERZSÉBET: Az eurozóna válsága 249 KOVÁCS ZSUZSANNA: Vajon a Z generáció is ugyanebben a cipőben fog járni 2050-ben? 259 RÁDI SZELMAN VARGA IMRE: A továbbtanuló diákok motivációinak vizsgálata 267 FARKAS ANDRÁS: A digitális írástudás helyzete a hallgatói vizsgálatok tükrében 275

5 MATEMATIKA A NYME SAVARIA EGYETEMI KÖZPONT TUDOMÁNYOS KÖZLEMÉNYEI XIX. TERMÉSZETTUDOMÁNYOK 14. Szombathely, pp SÁFÁR, ZOLTÁN 1 DOUBLE FOURIER SERIES, GENERALIZED LIPSCHITZ AND ZYGMUND CLASSES Abstract: Our goal is the generalization of the results Ferenc Móricz( ). The paper research examined three main categories of problems. The first area is the term-by-term differentiability one-variable Fourier series, and thus obtained a series of Lipschitz class covers the debt. In the next section we investigated the relationship between the two-varialbe Fourier series coefficients of the appropriate scale and function of generalized Lipschitz and Zygmund classes debt. Finally, we give a necessary and sufficient condition that a Fourier transform of bivariate functions comply with a classical Lipschitz and Zygmund condition. The following four publications of the author's thesis are based on F. Móricz and Z. Sáfár(2010), Gawin Brown, F. Móricz and Z. Sáfár(2009), Vanda Fülöp, F. Móricz and Z. Sáfár(2011) and Z. Safar(2009). 1. Differentiation of Fourier series and function classes This theorems generalizes the corresponding theorems proved by BOAS (1967) and NÉMETH (1990). We assume that C absolutely convergent series, then the trigonometric series converges uniformly, and consequently it is the Fourier series of its sum f(x). In Theorem 1 we give necessary and sufficient conditions for the magnitude of Fourier coefficients of the function f in order that the function f is r 1 times differentiable in x T. Furthermore, we also show that the uniform convergence of rth formal derivative series of the Fourier series is equivalent to the continuity of the function on the torus. In Theorems 2 and 3 we give sufficient conditions of the magnitude of the Fourier coefficients in order that the function belongs to one of the classes Lip(α), Zyg(1) and lip(α) or zyg(1) (where 0 < α < 1). Finally, in Theorems 4 and 5 we show that the above condition is not only sufficient but also necessary in the case 0 or k 0. So, these conditions are best possible. 1 NYME, Savaria Egyetemi Központ, Természettudományi Kar, Matematika és Fizikai Intézet Szombathely, Károlyi G. tér

6 (1.1) Let C be a sequence such that Then the trigonometric series (1.2) converges uniformly on the torus and it is the Fourier series of its sum f. Definition 1 (Lipschitz classes). Lip(α) consists of all functions f for which where C is a constant depending on f, but not on x and h. The little Lipschitz class lip(α) consists of all functions f for which Definition 2 (Zygmund classes). Zyg(α) consists of all continuous functions f for which The little Zygmund class zyg(α) consists of all continuous functions f for which Theorem 1. If for some r 1, 6

7 then the r times formally differentiated Fourier series in (1.2) converges at a particular point x T if and only if f is r times differentiable at x, and in this case we have (1.3) Furthermore, the rth derivative is continuous on T if and only if the series in (1.3) converges uniformly on T. Theorem 2. If for some r 1 and 0 < α 1, (1.4) then f is r times differentiable on T, Zyg(1) in case α = 1. Theorem 3. If for some r 1 and 0 < α 1, (1.5) Lip( ) in case 0 < α < 1, and then f is r times differentiable on T, lip( ) in case 0 < α < 1, and zyg(1) case α = 1. Theorem 4. Suppose that either k 0 for all k or 0 for all k, and that f is r times differentiable on T. If Lip( ) for some 0 < α < 1, then (1.4) holds with this α; while if Zyg(1), then (1.4) holds with α =1. Theorem 5. Both statements in Theorem 4 remain valid if Lip(α) and Zyg(1) are replaced by lip(α) and zyg(1), respectively, and (1.4) is replaced by (1.5). Corollary 1. (i) If for some r 1, (1.6) then f is r times differentiable on T and Lip( ). (ii) Suppose that 0 for all k and that f is r times differentiable on T, where r 1. If Lip( ), then (1.6) holds. 7

8 2. Double Fourier series and function classes In this section we generalized the single valued theorems of Ferenc Móricz( ) and we enlarged the theorems of two variables. We assume that the C absolute converges, so we can examine the function In Theorem 6 we give a sufficient condition of the magnitude of Fourier coefficients of a function f to belong to the class Lip( ), where 0 < α, β 1. This condition is also necessary in some particular cases (see Theorems 6-8 below). The claim of Theorem 7 relates to the class Zyg( ). We give a sufficient condition for the Fourier coefficients of f function to ensure that f to belong to an extended Zygmund class, where 0 < α, β 2. Throughout this chapter, by { : (k,l) } we denote a sequence of complex numbers with the property (2.1) The double trigonometric series (2.2) converges uniformly. Consequently, the series in (2.2) is the Fourier series of its sum f, which is continuous on the two-dimensional torus. We recall that a positive valued, measurable function L defined in [a, ) (a > 0 arbitrary), is said to be slowly varying (in Karamata's sense) if for every > 0, Let L be a two-variable function such that 8

9 (2.3) Definition 3 (Multiplicative Lipschitz classes). Let α, β > 0 arbitrary and (2.4) + (, ). The class Lip(α, β) consists of all continuous functions f(x,y) for which for all x,y T; > 0. The class lip(α, β) consists of all continuous functions f(x,y) for which Definition 4 (Multiplicative Zygmund classes). Given α, β > 0 and The class Zyg(α, β) consists of all continuous functions f for which for all x,y T; > 0. The class zyg(α, β) consists of all continuous functions f(x,y) for which We will use the special series (2.5) 0 for all k,l 1, and 9

10 (2.6) = = =, k, l 1. Definition 5 (Generalized Lipschitz classes). Given α, β > 0 and a function L(x,y) satisfying condition (2.3), a continuous function f is said to belong to the generalized multiplicative Lipschitz class Lip(α, β; L) if for the double difference operator in (2.4) for all x,y T; > 0. Given α, β 0 and function L satisfying condition (2.3), the function f is said to belong to Lip(α, β; 1/L) if for all x,y T; > 0. Given α, β 0, we denote by the class of all functions : [0,1] [0,1] which are nondecreasing in each variable and possess the following properties: (2.7) = 0 for all (2.8) (2.9), for all α' > α and 0 < 1; 10

11 (2.10), for all β' > β and 0 < 1. We will define the modulus of continuity and the modulus of smoothness by ω(f;, ):= and ω 2 (f;, ):=, where j=1,2 and. denotes the usual maximum norm. Remark. Bary és Stečkin(1956) introduced another classes of moduli of continuity which are defined by means of a function φ(t) Φ, 0 t π with the following four properties: (i) φ is continuous on the interval [0,π], however this was not used in the proofs of Bary, (ii) φ is non-decreasing, (iii) φ 0 for every 0 < t π, (iv) φ 0 as t 0. Definition 6 (Enlarged Lipschitz classes). Let for some α, β 0. We define the Lip( ) of continuous functions as follows: Lip( ) := {f: ω(f;, ) = O( (, ))}. Definition 7 (Enlarged Zygmund classes). Zyg( ) := {f: ω 2 (f;, ) = O( (, ))}. 3. Fourier series and enlarged Lipschitz and Zygmund classes of functions Our new results are summarized in the following three theorems. Theorem 6. Let. (i) If C is such that for some 0 < α, β 1 we have 11

12 (3.1) then (2.1) is satisfied and f Lip( ), where f is defined in (2.2). (ii) Conversely, suppose that } R is such that conditions (2.1), (2.5) and (2.6) satisfied. If f Lip( ) for some 0 α, β 1, then condition (3.1) is satisfied. Theorem 7. Let. (i) If C is such that for some 0 < α, β 2 we have (3.2) then (2.1) is satisfied and f Zyg( ), where f is defined in (2.2). (ii) Conversely, suppose that } R is such that condition (2.1) is satisfied and (3.3) 0 for all k, l 1. If f Zyg( ) for some 0 α, β 2, then condition (3.2) is satisfied. Theorem 8.. Let. (i) If C is such that for some 0 α, β < 1 we have (3.4) then f Lip( ), where f is defined in (2.2). (ii) Conversely, suppose that } R is such that conditions (2.1) and (3.3) are satisfied. If f Zyg( ) for some 0 α, β 2, then condition (3.4) is satisfied. Remark. In the case 0 < α, β < 1, Part (i) in Theorems 6 and 8 are equivalent. In the case 0 < α, β < 2, Part (ii) in Theorems 7 and 8 are equivalent. Part (ii) in Theorems 6 and 8 are not comparable. Remark. We note that it seems to be likely that our Theorems 6-8 in the cases 0 < α, β < 1 can also be obtained using the theorems of Bary and 12

13 Stečkin. The proofs of the theorems in MÓRICZ and SAFAR (2010) we estimate the moduli of continuity or smothness directly in terms of the function in question. We investigate the classes Lip( ) and Zyg( ) for 0 α, β 1 and 0 α, β 2, respectively. Further difference is that in the following lemmas {a kl } is an arbitrary series, while the function φ Φ is non-decreasing. The exponent γ and δ may be arbitrary real number for which γ > α 0 and δ > β 0. Finally, the key fact in the proofs of our theorems is that Part (i) and Part (ii) are equivalent whenever γ > α > 0 and δ > β > 0. The following three Lemmas will be of vital importance in the proofs of Theorem 6, 7 and 8. Lemma 1. Let {a kl : k,l = 1,2, } and. (i) If for some γ α > 0 and δ β > 0, (3.5) then a kl < and (3.6) (ii) Conversely, if (3.6) is satisfied for some γ > α 0 and δ > β 0, then (3.5) is also satisfied. Lemma 2. Let {a kl : k,l = 1,2, } and. (i) If (3.5) is satisfied for some δ β > 0, while γ, α are arbitrary, then (3.7) (ii) If (3.6) is satisfied for some δ > β 0, while γ, α are arbitrary, then (3.7) is also satisfied. Lemma 3. Let {a kl and. (i) If (3.5) is satisfied for some γ α > 0, while δ, β are arbitrary, then 13

14 (3.8) (ii) If (3.6) is satisfied for some γ > α 0, while δ, β are arbitrary, then (3.8) is also satisfied. 4. Fourier series and generalized Lipschitz classes The following two theorems are special cases of Theorem 6-8. Theorem 9. Assume C with (2.1), f is defined in (2.2) and L satisfies condition (2.3). (i) If for some 0 < α, β 1, (4.1) then f Lip(α, β; L). (ii) Conversely, let R be a sequence such that conditions (2.5) and (2.6) hold. If f Lip(α, β; L) for some 0 < α, β 1, then (4.1) holds. Theorem 10. Assume C, with (2.1), f is defined in (2.2) and L satisfies condition (2.3). (i) If for some 0 α, β < 1, (4.2) then f Lip(α, β; 1/L). (ii) Conversely, let be a sequence such that conditions (2.5) and (2.6) hold. If f Lip(α, β; 1/L) for some 0 < α, β < 1, then (4.2) holds. Problem. It is an open problem whether the claim in Theorem 10 (ii) remains valid if 0 < α, β < 1 is replaced by 0 α, β < 1. Remark. Theorem 6 is generalization of Theorem 9, which is ( ) : = arises easy choice. Similarly, Theorem 8 is generalization of Theorem 10 of the Lip( ) Zyg( ) and the relation of ( ) : = selection. 14

15 5. Double Fourier transforms and function classes In this section we consider complex-valued functions f ( ) and prove sufficient conditions under which the double Fourier transform belongs to one of the multiplicative Lipschitz classes Lip(α, β) for some 0 α, β 1, or to one of the multiplicative Zygmund classes Zyg(α, β) for some 0 α, β 2. In Theorem 11 we give sufficient conditions under which belongs to the class Lip(α, β), where 0 < α, β 1. This condition is also necessary in the case when xy f(x,y) 0 for almost every x,y R. In Theorem 12 we prove an analogous result in the case of Zygmund classes Zyg(α, β), where 0 < α, β 2. Theorem 11. (i) Suppose f: C is such that f ( ) and there exist some > 0 such that (5.1) f ({(x,y) : either x > and y <, or x < and y > }). If for some 0 < α, β 1, (5.2), s,t > 0, then f ( ) and Lip(α, β). (ii) Conversely, suppose f ( ) is such that for almost all (x,y) we have (5.3) f(x,y) = -f(-x,y) = -f(x,-y) = f(-x,-y) 0; in particular, if f(x,y) is odd in each variable. If Lip(α, β) for some 0 < α, β 1, then (5.2) is satisfied. Remark. The condition (5.2) is equvalent to the condition (5.4) f ({(x,y) : x > s és y > t}), s,t > 0. Due to the assumption that f ( ), in order to conclude f ( ) in statement (i) above, we need the fulfillment of condition (5.1). If there exist some constants > 0 and such that (5.5), s > 0, 15

16 then we also have f ({(x,y) : x > s és y < }). Analogously, if there exist some constants >0 and such that (5.6) then we also have f ({(x,y) : x < és y > t})., t > 0, In particular, conditions (5.5) and (5.6) imply the fulfillment of condition (5.1). Theorem 12. (i) Suppose f: C is such that f ( ) and there exist some > 0 such that condition (5.1) is satisfied. If for some 0 < α, β 2, (5.7), s,t > 0, then f ( ) and Zyg(α, β). (ii) Conversely, suppose f ( ) is such that f(x,y) 0 for almost all (x,y). If Zyg(α, β) for some 0 < α, β 2, then condition (5.7) holds. Remark. Again, condition (5.7) implies only the fulfillment of (5.4). Due the assumption that f ( ), in order to conclude f ( ) in statement (i) above, we need the fulfillment of condition (5.1). If there exist some constants > 0 and such that (5.8) then we also have f ({(x,y) : x > s és y < })., s > 0, (5.9) Analogously, if there exist some constants >0 and such that, t > 0, 16

17 then we also have f ({(x,y) : x < és y > t}). In particular, conditions (5.8) and (5.9) imply the fulfillment of condition (5.1). IRODALOM BARY, N. K. STEČKIN, S. B. (1956): Best approximation and differential properties of two conjugate functions. Trudy Moskov. Mat. Obšč. 5: (in Russian). BOAS, R. P. Jr. (1967): Fourier series with positive coefficients. J. Math. Anal. Appl. 17: FÜLÖP, V. MÓRICZ, F. SÁFÁR, Z. (2011): Double Fourier transforms, Lipschitz and Zygmund classes of functions on the plane. East J. Approx. 17: BROWN, G. MÓRICZ, F. SÁFÁR, Z. (2009) Formal differentiation of absolutely convergent Fourier series and classical function classes. Acta. Sci. Math. 75: MÓRICZ, F. (2008): Absolutely convergent Fourier series, classical function classes and Paley's theorem. Analysis Math. 34: MÓRICZ, F. (2008): Absolutely convergent Fourier series and generalized Lipschitz classes of functions. Colloq. Math. 113: MÓRICZ, F. (2008): Absolutely convergent multiple Fourier series and multiplicative Lipschitz classes of functions. Acta Math. Hungar. 121: MÓRICZ, F. (2009): Absolutely convergent Fourier series, enlarged Lipschitz and Zygmund classes of functions. East J. Approx. 15: MÓRICZ, F. (2010): Best possible sufficient conditions for the Fourier transform to satisfy the Lipschitz or Zygmund condition. Studia Math. 199: MÓRICZ, F. SÁFÁR, Z. (2010): Absolutely convergent double Fourier series, enlarged Lipschitz and Zygmund classes of functions of two variables. East J. Approx. 16: NÉMETH, J. (1990): Fourier series with positive coefficients and generalized Lipschitz classes. Acta Sci. Math. 54: SÁFÁR, Z. (2009): Absolutely convergent double Fourier series and generalized multiplicative Lipschitz classes of functions. Acta. Sci. Math. 75:

18 18

19 MATEMATIKA A NYME SAVARIA EGYETEMI KÖZPONT TUDOMÁNYOS KÖZLEMÉNYEI XIX. TERMÉSZETTUDOMÁNYOK 14. Szombathely, pp GUETH KRISZTIÁN 1 KERESÉSI ÉS SZÍNEZÉSI PROBLÉMÁK SPECIÁLIS GRÁFOKON Abstract: Some easy problems are NP-hard on general graphs. For example the coloring problem, finding the maximal click or the maximal independent set can't be solved efficiently. But if the graph is special, we can solve this problems in linear or quadratial time. In this essay we are talking about chordal graphs (in which every circles with length at least 4, contains some chords), comparibility graphs, co-comparibility graphs (which or its complement represents a partial ordering) and permutation graphs (which represents a permutation). We are giving polinomial time algorithms on the coloring and on the maximal click/independent set searching problem. In some cases the greedy algorithm is optimal. 1. Bevezetés Ismert, hogy általános gráfokban néhány egyszerűnek tűnő probléma is NP-teljes. Ilyen például a maximális méretű klikk (azaz teljes részgráf) megkeresése, vagy éppen a maximális független halmaz keresése, de ilyen a kromatikus szám meghatározása is, azaz hogy minimálisan hány szín szükséges a gráf megszínezéséhez, ha a szomszédos pontok nem kaphatják ugyanazt a színt. Ha egy problémáról az derül ki, hogy NP-teljes, akkor ne várjunk rá hatékony algoritmust. Több mint valószínű, hogy az ilyen problémákra csak olyan algoritmus adható, melynek lépésszáma az input méretének exponenciális függvénye, vagy akár a faktoriálisával arányos, ami viszonylag kis méretű inputra is embertelenül hosszú futásidőt eredményez, legyen bármilyen szuperszámítógépünk. Ha viszont a gráfunk valamilyen speciális osztályba tartozik, a fent említett problémák akár meglepően rövid idő alatt is megoldhatók. Ezen dolgozatban néhány ilyen speciális gráfosztályt tárgyalunk. Először kimondunk rájuk vonatkozó állításokat, összefüggéseket a gráfosztályok között, majd megnézzük, hogyan oldhatók meg a fenti problémák ezeken a gráfokon. 1 NYME, Savaria Egyetemi Központ, Természettudományi Kar, Matematika és Fizikai Intézet Szombathely, Károlyi G. tér

20 A tanulmány elkészítése során JEREMY P. SPINRAD gráfok reprezentációjáról írt könyvéből (2003) dolgoztam (pontos megjelölés a dolgozat végén található). Az általam kidolgozott tételek és algoritmusok nagy része a hivatkozott műben bizonyítás nélkül kimondva (algoritmusok esetében az optimalitás igazolása nélkül), illetve feladatként szerepel. Köszönet Hujter Mihálynak, a BME docensének, aki eljuttatta számomra ezt a könyvet, és ráirányította figyelmemet erre az érdekes témára. 2. Néhány nevezetes gráfosztály Első gráfosztályunkba olyan gráfok tartoznak, melyben minden körben vannak húrok is. Definíció: Egy G gráfot merevkörűnek nevezünk, ha nem tartalmaz legalább 4 hosszúságú átlómentes kört. Az elnevezés abból jött, hogy a gráfot rúd-csukló szerkezetnek tekintve ilyenkor nem tudjuk a síkban mozgatni éleit egymáshoz képest. Egy 4 vagy több pontú átló nélküli kört lehet hajlítgatni. Egy gráfban a v csúcsot szimpliciálisnak nevezzük, ha v szomszédai egy klikket, azaz teljes részgráfot alkotnak. Azaz v bármely két szomszédja között vezet él. Mivel természetesen v-ből a szomszédjaihoz vezet él, úgy is fogalmazhatunk, hogy v a szomszédjaival együtt klikket formáz. Az úgynevezett perfekt eliminációs séma megadja a G gráf csúcsainak egy szimpliciális sorrendjét, azaz olyan módon rendezi sorba a csúcsokat ( v 1,v2,... v n ), hogy minden i-re v i szimpliciális a v i,vi+ 1,... vn által feszített részgráfban, már ha ilyen sorrend létezik. Azaz olyan sorrendet ad meg, melyben minden csúcs nála nagyobb indexű szomszédai klikket alkotnak. Ismert, hogy egy G gráf csúcsai akkor és csak akkor rendezhetők szimpliciális sorrendbe, ha G merevkörű. Az az irány, hogy ha van ilyen sorrend, akkor nem tartalmazhat a gráf átlómentes kört, könnyen látszik. Ugyanis tegyük fel, hogy van ilyen kör (mely definíció szerint legalább 4 hosszúságú), és tekintsük a szimpliciális sorrend szerint legalacsonyabb indexű tagját, jelöljük ezt x-szel. A sorrend tulajdonsága miatt x nála nagyobb indexű szomszédai közül bármelyik kettő össze kéne hogy legyen kötve, de ezen szomszédok között ott van az a két pont, melyek x szomszédai a körön, és mivel ez egy legalább 4 pontú átlómentes kör, a szóban forgó két szomszéd mégsem lehet összekötve. Az ellentmondás bizonyítja, hogy a gráfunk merevkörű. 20

21 Most egy általánosabb gráfosztály következik, melynek, mint látni fogjuk, a tárgyalt gráfosztályok mind részei. Definíció: A G gráfot perfektnek nevezzük, ha minden G' feszített részgráfjára Χ(G') = ω(g'). Itt Χ(G') a G' gráf kromatikus számát, ω(g') pedig a G'-ben lévő maximális méretű klikk elemszámát jelenti. Egy tetszőleges gráf csúcsait nyilván nem lehet kevesebb színnel színezni, mint a maximális klikkméret, hiszen a klikkben szereplő csúcsokat mind különbözőre kell színezni. A perfekt gráf kritériuma azt jelenti, hogy ki is lehet ennyivel színezni, de nem csak az egész gráfot, hanem minden feszített részgráfját is. A továbbiakban a gráfokat nem valódi színekkel, hanem az 1, 2, 3, számokkal fogjuk színezni. Állítás: Ha a G gráf merevkörű, akkor G perfekt is. Bizonyítás: Látható, hogy merevkörű gráf minden feszített részgráfja is merevkörű. Ugyanis ha G-ben nincs átlómentes kör, akkor semelyik feszített részgráfjában sem lehet, mert utóbbi minden olyan élet tartalmaz, ami a csúcsai között vezet, és az eredeti gráfban is szerepelt. Tehát elég belátni, hogy merevkörű gráf kiszínezhető maxklikk számú színnel. Tekintsük G csúcsainak egy szimpliciális sorrendjét ( v 1,v2,... vn ), és jobbról balra haladva (azaz indexek szerint csökkenő sorrendben) színezzünk minden csúcsot a legkisebb olyan színre, amilyen színű már megszínezett szomszédja még nincs. Ezt nevezzük mohó színezésnek. Állítjuk, hogy ez az eljárás nem használ ω(g)-nél több színt (kevesebbet meg nyilván nem használhat). Egy szimpliciális sorrendben minden maximális klikk előáll úgy, hogy valamelyik csúcs és a nála nagyobb indexű szomszédai. Vegyük az egyik maxklikk (jelöljük K-val) legalacsonyabb indexű pontját (legyen ez x), x minden, tőle jobbra eső szomszéda benne kell legyen K-ban, mert ellenkező esetben vagy ellentmondásban lennénk a szimpliciális sorrenddel, vagy pedig találnánk K-nál nagyobb klikket. Ha most a mohó algoritmus ω-nál több színt használna, akkor lenne olyan y csúcs, melyet az ω+1-edik színre színezne. Ez csak úgy volna lehetséges, hogy y-nak lennének olyan már megszínezett (azaz tőle jobbra álló) szomszédai, melyek az 1, 2, ω színeket kapták. Mivel a sorrend szimpliciális, ezek a csúcsok mind szomszédosak egymással, de az előbbiek miatt y-nal is, és így kaptunk egy ω+1 csúcsú klikket G-ben, ami ellentmond ω definíciójának. Ezzel a bizonyítást befejeztük. Következő gráftípusaink egy rendezési relációt írnak le. 21

22 Definíció: A G gráfot összehasonlítás-gráfnak nevezzük, ha éleit meg tudjuk úgy irányítani, hogy egy tranzitív G' digráfot kapjunk. Ez azt jelenti, hogy amennyiben G'-ben van x y él és y z él is, akkor az eredeti gráfban van x és z között is él, melyet aztán z felé irányítunk. G' tranzitivitása megfelel egy rendezési relációnak: x y azt jelenti, hogy y nagyobb x-nél. A feltétel összhangban van a < reláció tranzitivitásával. G-ről tegyük fel, hogy egyszerű gráf, azaz nincsenek benne párhuzamos élek, sem hurokélek, így G'-ben egyik elem sem lesz nagyobb önmagánál, és nem fordulhat elő, hogy két elem mindegyike nagyobb a másiknál. Azonban G'-ben nincs feltétlenül bármely két elem között valamilyen irányú él, vagyis nem minden elempár összehasonlítható. G-re vonatkoztatva ez azt jelenti, hogy ott pontosan akkor megy két elem közt él, ha azok összehasonlíthatóak. Ezért hívjuk G-t összehasonlítás-gráfnak. Az ilyen gráfok (ha az éleit megirányítottuk) egy részben rendezett halmazt reprezentálnak. Állítás: Ha G összehasonlítás-gráf, akkor G perfekt is. Biz.: Látható, hogy összehasonlítás-gráf minden feszített részgráfja is az: a részben rendezett halmaz egy részhalmazát reprezentálja. Tehát itt is elég belátni, hogy G kiszínezhető ω(g) darab színnel. Nézzük meg, mit jelent egy klikk a részben rendezett halmazra nézve! A tranzitivitásból következik, hogy a klikkben szereplő elemek közt van legnagyobb, van legkisebb, és egyértelműen sorbarendezhető ez a részhalmaz: minden elem kisebb a tőle jobbra levőknél és nagyobb a többinél. Az ilyen részhalmazt láncnak nevezzük. A maximális klikkméret tehát a részben rendezett halmazban lévő leghosszabb lánc hosszát jelenti. Ha kiszínezünk egy összehasonlítás-gráfot, akkor csak olyan pontok kerülhetnek egy színosztályba, melyek közül egyik sem szomszédos semelyik másikkal, azaz a neki megfelelő elemek közül semelyik kettő sem összehasonlítható. Az ilyen részhalmazokat antiláncoknak nevezzük. A színezés tehát azt jelenti, hogy a részben rendezett halmaz elemeit antiláncokkal lefedjük. Dilworth tétele azt mondja ki, hogy minden részben rendezett halmazban a maximális lánc hossza egyenlő a halmaz elemeit lefedő antiláncok minimális számával. Ez pontosan azt jelenti, hogy összehasonlítás-gráfra Χ(G) = ω(g). 22

23 X 1 v 1 X 2 v 2 X 3 v 3 X k v k 1. ábra: A maximális lánc, és a belőle képzett halmazok Fig 1: Maximal chain, and from it created sets Most bebizonyítjuk a Dilworth-tételt. A max. lánc hosszánál kevesebb antilánccal nyilván nem lehet lefedni a halmaz elemeit, mert minden antilánc legfeljebb egyet tartalmazhat a lánc elemei közül. Legyen v 1 > v2 >... > vk egy maximális lánc. Megadunk egy lefedést k db antilánccal. Álljon az X 1 halmaz a v 1 -ből, és a vele nem összehasonlítható elemek közül a legnagyobbakból (azaz amelyeknél nincs nagyobb elem a halmazban). X 1 elemeit ezután el is hagyhatjuk. X 2 álljon a v2 -ből és a maradék halmaz v2 -vel nem összehasonlítható elemei közül a maximálisakból (a maradék halmazban nézve), és így tovább. Az X 1,X 2,... X k halmazok mindegyike antilánc, mert egy adott halmaz legnagyobb elemei között nem lehet két összehasonlítható. Kell még, hogy ezek az antiláncok lefedik az egész halmazt. Tegyük fel, hogy van olyan y elem, mely egyik X i -ben sincs benne. Tegyük fel először azt is, hogy y a v 1,v2,... vk mindegyikével összehasonlítható, ezért nem került bele egyik halmazba sem. Ha y > v1, akkor mivel v 1 a lánc összes többi eleménél nagyobb, ezért a tranzitivitás miatt y is nagyobb a lánc minden eleménél, tehát a lánc az y elemmel bővíthető. Legyen ezután y < v1, de y nem kisebb a lánc összes eleménél. Legyen i a legkisebb olyan index, 23

24 melyre y > vi teljesül. Ha j tetszőleges, i-nél nagyobb index, akkor v i > v j, és a tranzitivitás miatt y > v j. Az i index definíciójával együtt ez azt jelenti, hogy y beszúrható a láncba a v i 1 és a v i közé. Ha pedig y minden elemnél kisebb, akkor pedig a lánc másik végére szúrható be. v 1 v i 1 y v i v k 2. ábra: Az y pont beszúrása a láncba Fig 2: Insertion of vertex y into the chain Tehát mindhárom esetben azt kaptuk, hogy a lánc bővíthető a kimaradt elemmel, tehát ha van ilyen, akkor a lánc nem volt maximális. Nézzük most azt az esetet, amikor y nem összehasonlítható pl. a v i -vel, de mégsem került bele X i -be! Ez csak úgy lehetséges, hogy y a vizsgált halmazban nem volt maximális, azaz létezik olyan z elem, mely nem összehasonlítható v -vel, de nagyobb y-nál, és így belekerült X -be i (lehetnek z és y közé eső elemek is, de a tranzitivitás miatt z > y mindenképpen fennáll). Mi lehet az oka annak, hogy z az X i -be került és nem az X i 1 -be? Egyik ok az lehet, hogy z összehasonlítható vi 1 -gyel. Ekkor z > v i 1 nem teljesülhet, mert vi 1 > vi és a tranzitivitás miatt z > vi is fennállna, holott feltettük, hogy nem összehasonlíthatóak. Tehát ha z és v i 1 összehasonlíthatóak, akkor utóbbi a nagyobb. Így y < z <vi 1 <vi 2 <... < v1 egy i+1 hosszú lánc. Most nézzük, hogy mi van akkor, ha z azért nem került X i 1 -be, mert ugyan nem összehasonlítható vi 1 -gyel, de van olyan nála nagyobb elem, i 24

25 mely szintén nem összehasonlítható vi 1 -gyel, és belekerült X i 1 -be. Ekkor erre az elemre végezzük el ugyanazt a gondolatmenetet, mint az előbb z-re, és így tovább. v v 1 1 X v i 1 i 1 v i z X i v i+1 y v k 1 X k 1 X i+1 v k u X k v k y 3. ábra: y nem összehasonlítható -vel, de nem került -be 4. ábra: y-ból -be vezet egy k+1 hosszú lánc Fig 3: y isn't comparable with, but y isn't in Fig 4: There is a chain from y to of length k+1 Az eddigiekből az következik, hogy ha y nem került X i -be, noha nem összehasonlítható vi -vel, akkor y-ból el tudunk jutni egy i+1 elemű láncon az X 1 halmaz valamely elemébe (ha a gondolatmenetben valahol az első eset áll fenn, akkor ott rálépünk a v-kből álló láncra, és azon megyünk v 1 -be, ha pedig mindig a 2. eset áll fenn, akkor végig a kezdeti lánctól diszjunkt láncon haladunk). Most vizsgáljuk meg, mi lehet a helyzet az X i -től lefelé! Az y pontról azt tettük fel, hogy egyik X halmazba sem került bele, tehát az X i+ 1 -be sem. Tegyük fel először, hogy ez azért történt, mert összehasonlítható vi+ 1 -gyel. Ekkor kizárhatjuk azt, hogy kettejük közül v i+ 1 a nagyobb, mert ekkor v i > v i+1 miatt v i > y is fennállna, pedig ők nem összehasonlíthatók. Tehát y > v i+1 teljesülhet csak. Ekkor azonban a bizonyítás első részében kapott, y-ból X 1 -be vezető láncot kibővíthetjük az v k < vk 1 <... <vi+ 1 < y lánccal, amely viszont k+1 elemű (minden X halmazból tartalmaz egy-egy elemet, meg még y-t is). Ez ellentmond annak, hogy a maximális lánc hossza k. 25

ACTA ACADEMIAE PAEDAGOGICAE AGRIENSIS

ACTA ACADEMIAE PAEDAGOGICAE AGRIENSIS Separatum ACTA ACADEMIAE PAEDAGOGICAE AGRIESIS OVA SERIES TOM. XXII. SECTIO MATEMATICAE TÓMÁCS TIBOR Egy rekurzív sorozat tagjainak átlagáról EGER, 994 Egy rekurzív sorozat tagjainak átlagáról TÓMÁCS TIBOR

Részletesebben

SzA II. gyakorlat, szeptember 18.

SzA II. gyakorlat, szeptember 18. SzA II. gyakorlat, 015. szeptember 18. Barátkozás a gráfokkal Drótos Márton drotos@cs.bme.hu 1. Az előre megszámozott (címkézett) n darab pont közé hányféleképp húzhatunk be éleket úgy, hogy egyszerű gráfhoz

Részletesebben

Algoritmusok bonyolultsága

Algoritmusok bonyolultsága Algoritmusok bonyolultsága 9. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 18 Közelítő algoritmusok ládapakolás (bin packing) Adott n tárgy (s i tömeggel) és végtelen sok 1 kapacitású láda

Részletesebben

GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus

GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus GRÁFELMÉLET 7. előadás Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus Definíció: egy P utat javító útnak nevezünk egy M párosításra nézve, ha az út páratlan hosszú, kezdő- és végpontjai nem párosítottak,

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12.

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12. Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet

Részletesebben

1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni

1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni 1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni a) 5 db 8 cm hosszú, b) 8 db 5 cm hosszú cérnával? Megoldás:

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Mélységi keresés és alkalmazásai. Katona Gyula Y.

Algoritmuselmélet. Mélységi keresés és alkalmazásai. Katona Gyula Y. Algoritmuselmélet Mélységi keresés és alkalmazásai Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 9. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet

Részletesebben

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 29 (2002) PARTÍCIÓK PÁRATLAN SZÁMOKKAL. Orosz Gyuláné (Eger, Hungary)

Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 29 (2002) PARTÍCIÓK PÁRATLAN SZÁMOKKAL. Orosz Gyuláné (Eger, Hungary) Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 9 (00) 07 4 PARTÍCIÓK PÁRATLAN SZÁMOKKAL Orosz Gyuláné (Eger, Hungary) Kiss Péter professzor emlékére Abstract. In this article, we characterize the odd-summing

Részletesebben

1/50. Teljes indukció 1. Back Close

1/50. Teljes indukció 1. Back Close 1/50 Teljes indukció 1 A teljes indukció talán a legfontosabb bizonyítási módszer a számítástudományban. Teljes indukció elve. Legyen P (n) egy állítás. Tegyük fel, hogy (1) P (0) igaz, (2) minden n N

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

1. tétel - Gráfok alapfogalmai

1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési

Részletesebben

PÁROS HOSSZÚ KÖRÖK GRÁFOKBAN

PÁROS HOSSZÚ KÖRÖK GRÁFOKBAN PÁROS HOSSZÚ KÖRÖK GRÁFOKBAN CSIKVÁRI PÉTER Kivonat. Ebben a jegyzetben bebizonyítjuk Bondy és Simonovits következő tételét. Ha egy n csúcsú egyszerű gráf nem tartalmaz C k kört akkor az éleinek száma

Részletesebben

SzA X/XI. gyakorlat, november 14/19.

SzA X/XI. gyakorlat, november 14/19. SzA X/XI. gyakorlat, 2013. november 14/19. Színezünk és rajzolunk Drótos Márton drotos@cs.bme.hu 1. Mennyi a következő gráfok kromatikus száma: C 4, C 5, K 2,4, alábbi 2 gráf χ(c 4 ) = 2, páros hosszú

Részletesebben

Gráfelméleti alapfogalmak

Gráfelméleti alapfogalmak 1 Gráfelméleti alapfogalmak Gráf (angol graph= rajz): pontokból és vonalakból álló alakzat. pontok a gráf csúcsai, a vonalak a gráf élei. GRÁ Irányítatlan gráf Vegyes gráf Irányított gráf G H Izolált pont

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus

Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus Síktopológiák a Sorgenfrey-egyenes ötletével Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus 1. Bevezetés A Sorgenfrey-egyenes

Részletesebben

Egy érdekes térképi vetület matematikai és csillagászati alkalmazásai - folytatás

Egy érdekes térképi vetület matematikai és csillagászati alkalmazásai - folytatás DIMENZIÓK 43 Matematikai Közlemények III. kötet, 2015 doi:10.20312/dim.2015.06 Egy érdekes térképi vetület matematikai és csillagászati alkalmazásai - folytatás Péntek Kálmán NymE TTK Matematika és Fizikai

Részletesebben

Bevezetés a kvantum-informatikába és kommunikációba 2015/2016 tavasz

Bevezetés a kvantum-informatikába és kommunikációba 2015/2016 tavasz Bevezetés a kvantum-informatikába és kommunikációba 2015/2016 tavasz Kvantumkapuk, áramkörök 2016. március 3. A kvantummechanika posztulátumai (1-2) 1. Állapotleírás Zárt fizikai rendszer aktuális állapota

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

Bonyolultságelmélet. Monday 10 th October, 2016, 17:44

Bonyolultságelmélet. Monday 10 th October, 2016, 17:44 Monday 10 th October, 2016, 17:44 NP-teljes gráfelméleti problémák Tétel A Hamilton-Út probléma NP-teljes. NP-teljes gráfelméleti problémák Tétel A Hamilton-Út probléma NP-teljes. Ötlet,,Értékválasztó

Részletesebben

19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI

19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI 19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI Ebben a fejezetben aszimptotikus (nagyságrendi) alsó korlátot adunk az összehasonlításokat használó rendező eljárások lépésszámára. Pontosabban,

Részletesebben

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg ) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a b d c A megfelelő gráf: d a b c ) Egy szórakoztató feladat (Hamilton-féle probléma) Helyezzük el az,,,...,

Részletesebben

Melykeres(G) for(u in V) {szin(u):=feher Apa(u):=0} for(u in V) {if szin(u)=feher then MBejar(u)}

Melykeres(G) for(u in V) {szin(u):=feher Apa(u):=0} for(u in V) {if szin(u)=feher then MBejar(u)} Mélységi keresés Ez az algoritmus a gráf pontjait járja be, eredményképpen egy mélységi feszítőerdőt ad vissza az Apa függvény által. A pontok bejártságát színekkel kezeljük, fehér= érintetlen, szürke=meg-

Részletesebben

angolul: greedy algorithms, románul: algoritmi greedy

angolul: greedy algorithms, románul: algoritmi greedy Mohó algoritmusok angolul: greedy algorithms, románul: algoritmi greedy 1. feladat. Gazdaságos telefonhálózat építése Bizonyos városok között lehet direkt telefonkapcsolatot kiépíteni, pl. x és y város

Részletesebben

Algoritmusok bonyolultsága

Algoritmusok bonyolultsága Algoritmusok bonyolultsága 5. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 27 Gazdaságos faváz Kruskal-algoritmus Joseph Kruskal (1928 2010) Legyen V = {v 1, v 2,..., v n }, E = {e 1, e 2,...,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

A zsebrádiótól Turán tételéig

A zsebrádiótól Turán tételéig Jegyzetek egy matekóráról Lejegyezte és kiegészítésekkel ellátta: Meszéna Balázs A katedrán: Pataki János A gráfokat rengeteg életszagú példa megoldásában tudjuk segítségül hívni. Erre nézzünk egy példát:

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem www.sze.hu/~herno

Széchenyi István Egyetem www.sze.hu/~herno Oldal: 1/6 A feladat során megismerkedünk a C# és a LabVIEW összekapcsolásának egy lehetőségével, pontosabban nagyon egyszerű C#- ban írt kódból fordítunk DLL-t, amit meghívunk LabVIEW-ból. Az eljárás

Részletesebben

Feladatok. 7. Tíz rabló a kincseit egy több lakattal lezárható ládában gyűjti. Az egyes lakatokat egy-egy

Feladatok. 7. Tíz rabló a kincseit egy több lakattal lezárható ládában gyűjti. Az egyes lakatokat egy-egy Feladatok 1. Hányféleképpen állhat sorba n fiú és n lány úgy, hogy azonos neműek ne álljanak egymás mellett?. Hány olyan hétszámjegyű telefonszám készíthető, amiben pontosan két különböző számjegy szerepel,

Részletesebben

A rosszindulatú daganatos halálozás változása 1975 és 2001 között Magyarországon

A rosszindulatú daganatos halálozás változása 1975 és 2001 között Magyarországon A rosszindulatú daganatos halálozás változása és között Eredeti közlemény Gaudi István 1,2, Kásler Miklós 2 1 MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutató Intézete, Budapest 2 Országos Onkológiai Intézet,

Részletesebben

Algoritmusok bonyolultsága

Algoritmusok bonyolultsága Algoritmusok bonyolultsága 11. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm () 1 / 1 NP-telesség Egy L nyelv NP-teles, ha L NP és minden L NP-re L L. Egy Π döntési feladat NP-teles, ha Π NP és

Részletesebben

FIATAL MŰSZAKIAK TUDOMÁNYOS ÜLÉSSZAKA

FIATAL MŰSZAKIAK TUDOMÁNYOS ÜLÉSSZAKA FIATAL ŰSZAKIAK TUDOÁNYOS ÜLÉSSZAKA Kolozsvár, 1999. március 19-20. Zsákolt áruk palettázását végző rendszer szimulációs kapacitásvizsgálata Kádár Tamás Abstract This essay is based on a research work

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Legrövidebb utak, Bellmann-Ford, Dijkstra. Katona Gyula Y.

Algoritmuselmélet. Legrövidebb utak, Bellmann-Ford, Dijkstra. Katona Gyula Y. Algoritmuselmélet Legrövidebb utak, Bellmann-Ford, Dijkstra Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 3. előadás Katona Gyula Y. (BME

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok. c f

Gráfelméleti feladatok. c f Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,

Részletesebben

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a A merész játékok stratégiája A következő problémával foglalkozunk: Tegyük fel, hogy feltétlenül ki kell fizetnünk 000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a még

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 0/03-as tanév. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató. Egy kör kerületére felírjuk -től 3-ig az egészeket

Részletesebben

Performance Modeling of Intelligent Car Parking Systems

Performance Modeling of Intelligent Car Parking Systems Performance Modeling of Intelligent Car Parking Systems Károly Farkas Gábor Horváth András Mészáros Miklós Telek Technical University of Budapest, Hungary EPEW 2014, Florence, Italy Outline Intelligent

Részletesebben

Közösségek keresése nagy gráfokban

Közösségek keresése nagy gráfokban Közösségek keresése nagy gráfokban Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 2011. április 14. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek

Részletesebben

Programozási módszertan. Mohó algoritmusok

Programozási módszertan. Mohó algoritmusok PM-08 p. 1/17 Programozási módszertan Mohó algoritmusok Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu PM-08 p. 2/17 Bevezetés Dinamikus programozás

Részletesebben

Javító és majdnem javító utak

Javító és majdnem javító utak Javító és majdnem javító utak deficites Hall-tétel alapján elméletileg meghatározhatjuk, hogy egy G = (, ; E) páros gráfban mekkora a legnagyobb párosítás mérete. Ehhez azonban első ránézésre az összes

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Gráfok színezése. BSc Szakdolgozat

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Gráfok színezése. BSc Szakdolgozat Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gráfok színezése BSc Szakdolgozat Készítette: Tóth Ádám Matematika BSc, Matematikai elemző szakirány Témavezető: Hermann György Doktorandusz, Számítógéptudományi

Részletesebben

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) 24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,

Részletesebben

Dependency preservation

Dependency preservation Adatbázis-kezelés. (4 előadás: Relácó felbontásai (dekomponálás)) 1 Getting lossless decomposition is necessary. But of course, we also want to keep dependencies, since losing a dependency means, that

Részletesebben

Kiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése

Kiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése Kiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Az Ordó jelölés Azt mondjuk, hogy az f(n) függvény eleme az Ordó(g(n)) halmaznak, ha van olyan c konstans (c

Részletesebben

Általános algoritmustervezési módszerek

Általános algoritmustervezési módszerek Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás

Részletesebben

Ramsey tétele(i) gráfokra

Ramsey tétele(i) gráfokra Ramsey tétele(i) gráfokra A témakör a szociológusok alábbi észrevételének általánosítása: legalább hat tagú társaságban vagy van háromfős klikk, vagy van háromfős antiklikk. Itt klikk olyan emberek halmazát

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

NÉHÁNY MEGJEGYZÉS A BURKOLÓFELÜLETEK VIZSGÁLATÁHOZ

NÉHÁNY MEGJEGYZÉS A BURKOLÓFELÜLETEK VIZSGÁLATÁHOZ Miskolci Egyetem, Multidiszciplináris tudományok, 1. kötet (2011) 1. szám, pp. 87-94. NÉHÁNY MEGJEGYZÉS A BURKOLÓFELÜLETEK VIZSGÁLATÁHOZ Nándoriné Tóth Mária egyetemi docens Miskolci Egyetem, Gépészmérnöki

Részletesebben

A relációelmélet alapjai

A relációelmélet alapjai A relációelmélet alapjai A reláció latin eredet szó, jelentése kapcsolat. A reláció, két vagy több nem feltétlenül különböz halmaz elemei közötti viszonyt, kapcsolatot fejez ki. A reláció értelmezése gráffal

Részletesebben

26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA

26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA 26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA Az előző két fejezetben tárgyalt feladat általánosításaként a gráfban található összes csúcspárra szeretnénk meghatározni a legkisebb költségű utat. A probléma

Részletesebben

Gráfelmélet jegyzet 2. előadás

Gráfelmélet jegyzet 2. előadás Gráfelmélet jegyzet 2. előadás Készítette: Kovács Ede . Fák Tétel. : A következők ekvivalensek a T gráfra: (i) T összefüggő, e E. T e már nem összefüggő (ii) T összefüggő és körmentes. (iii) x, y V T!

Részletesebben

Kombinatorika. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László Ábrák: Hraskó András. 2015. december 6.

Kombinatorika. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László Ábrák: Hraskó András. 2015. december 6. Kombinatorika 9 10. évfolyam Szerkesztette: Surányi László Ábrák: Hraskó András 2015. december 6. A kötet létrehozását 2008-tól 2010-ig a Fővárosi Közoktatásfejlesztési Közalapítvány támogatta Technikai

Részletesebben

Simonovits M. Elekes Gyuri és az illeszkedések p. 1

Simonovits M. Elekes Gyuri és az illeszkedések p. 1 Elekes Gyuri és az illeszkedések Simonovits M. Elekes Gyuri és az illeszkedések p. 1 On the number of high multiplicity points for 1-parameter families of curves György Elekes, Miklós Simonovits and Endre

Részletesebben

Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra:

Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra: Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra: C(T ) = (u,v) T c(u,v) Az F = (V,T) gráf minimális feszitőfája G-nek,

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Euler tétel következménye 1:ha G összefüggő síkgráf és legalább 3 pontja van, akkor: e 3

Euler tétel következménye 1:ha G összefüggő síkgráf és legalább 3 pontja van, akkor: e 3 Síkgráfok Kuratowski-tétel: egy gráf akkor és csak akkor síkba rajzolható gráf, ha nincs olyan részgráfja, ami a K 5 -el, vagy a K 3,3 -altopologikusan izomorf (homeomorf). Euler síkgráfokra vonatkozó

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

USER MANUAL Guest user

USER MANUAL Guest user USER MANUAL Guest user 1 Welcome in Kutatótér (Researchroom) Top menu 1. Click on it and the left side menu will pop up 2. With the slider you can make left side menu visible 3. Font side: enlarging font

Részletesebben

Diszkrét Matematika GYAKORLAT, Levelező MSc hallgatók számára. 3. Feladatsor

Diszkrét Matematika GYAKORLAT, Levelező MSc hallgatók számára. 3. Feladatsor Diszkrét Matematika GYAKORLAT, Levelező MSc hallgatók számára 3. Feladatsor Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2011. november 2-ától 1. Párosítások gráfokban 1.1. Alapok 1. Feladat. (i) Bizonyítsuk be, hogy

Részletesebben

Felvételi tematika INFORMATIKA

Felvételi tematika INFORMATIKA Felvételi tematika INFORMATIKA 2016 FEJEZETEK 1. Természetes számok feldolgozása számjegyenként. 2. Számsorozatok feldolgozása elemenként. Egydimenziós tömbök. 3. Mátrixok feldolgozása elemenként/soronként/oszloponként.

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a b pozitív egészek és tudjuk hogy a 2

Részletesebben

Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra:

Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra: Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra: C(T ) = (u,v) T c(u,v) Az F = (V,T) gráf minimális feszitőfája G-nek,

Részletesebben

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.) Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz

Részletesebben

Melykeres(G) for(u in V) {szin(u):=feher Apa(u):=0} for(u in V) {if szin(u)=feher then MBejar(u)}

Melykeres(G) for(u in V) {szin(u):=feher Apa(u):=0} for(u in V) {if szin(u)=feher then MBejar(u)} Példa Adott egy n n-es sakktábla. Az (1,1) mezőn áll egy huszár. Határozzuk meg eljuthat -e az (u,v) mezőre, ha igen adjunk meg egy legkevesebb lépésből álló utat! Adjunk algoritmust, ami megoldja a feladatot.

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

NYOMÁSOS ÖNTÉS KÖZBEN ÉBREDŐ NYOMÁSVISZONYOK MÉRÉTECHNOLÓGIAI TERVEZÉSE DEVELOPMENT OF CAVITY PRESSURE MEASUREMENT FOR HIGH PRESURE DIE CASTING

NYOMÁSOS ÖNTÉS KÖZBEN ÉBREDŐ NYOMÁSVISZONYOK MÉRÉTECHNOLÓGIAI TERVEZÉSE DEVELOPMENT OF CAVITY PRESSURE MEASUREMENT FOR HIGH PRESURE DIE CASTING Anyagmérnöki Tudományok, 39/1 (2016) pp. 82 86. NYOMÁSOS ÖNTÉS KÖZBEN ÉBREDŐ NYOMÁSVISZONYOK MÉRÉTECHNOLÓGIAI TERVEZÉSE DEVELOPMENT OF CAVITY PRESSURE MEASUREMENT FOR HIGH PRESURE DIE CASTING LEDNICZKY

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum

Részletesebben

30. ERŐSEN ÜSSZEFÜGGŐ KOMPONENSEK

30. ERŐSEN ÜSSZEFÜGGŐ KOMPONENSEK 30. ERŐSEN ÜSSZEFÜGGŐ KOMPONENSEK A gráfos alkalmazások között is találkozunk olyan problémákkal, amelyeket megoldását a részekre bontott gráfon határozzuk meg, majd ezeket alkalmas módon teljes megoldássá

Részletesebben

1. ábra ábra

1. ábra ábra A kifejtési tétel A kifejtési tétel kimondásához először meg kell ismerkedni az előjeles aldetermináns fogalmával. Ha az n n-es A mátrix i-edik sorának és j-edik oszlopának kereszteződésében az elem áll,

Részletesebben

A STRATÉGIAALKOTÁS FOLYAMATA

A STRATÉGIAALKOTÁS FOLYAMATA BUDAPESTI CORVINUS EGYETEM VÁLLALATGAZDASÁGTAN INTÉZET VERSENYKÉPESSÉG KUTATÓ KÖZPONT Szabó Zsolt Roland: A STRATÉGIAALKOTÁS FOLYAMATA VERSENYBEN A VILÁGGAL 2004 2006 GAZDASÁGI VERSENYKÉPESSÉGÜNK VÁLLALATI

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Analízis. 11 12. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László. 2015. július 5.

Analízis. 11 12. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László. 2015. július 5. Analízis 11 12. évfolyam Szerkesztette: Surányi László 2015. július 5. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó András, Kalló

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

10. Előadás P[M E ] = H

10. Előadás P[M E ] = H HALMAZRENDSZEREK 10. Előadás Matematika MSc hallgatók számára Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2010. április 20. Halmazrendszerek színezése Egy halmazrendszer csúcshalmazának színezése jó

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

1. zárthelyi,

1. zárthelyi, 1. zárthelyi, 2010.03.2. 1. Jelölje B n azt a gráfot, melynek csúcsai az n hosszúságú 0 1 sorozatok, két sorozat akkor és csak akkor van összekötve éllel, ha pontosan egy vagy két helyen különböznek. Adjuk

Részletesebben

Geometriai valo szí nű se g

Geometriai valo szí nű se g Geometriai valo szí nű se g Szűk elméleti áttekintő Klasszikus valószínűség: Geometriai valószínűség: - 1 dimenzióban: - dimenzióban: - + dimenzióban: jó esetek összes eset jó szakaszok teljes szakasz

Részletesebben

Üdv. a 21 napos Hallás utáni szövegértés online tréning 2. napján!

Üdv. a 21 napos Hallás utáni szövegértés online tréning 2. napján! Szia! Üdv. a 21 napos Hallás utáni szövegértés online tréning 2. napján! Mivel nyakunkon a májusi nyelvvizsga-időszak, ez a tréning azoknak nyújt segítséget, akik már középfok környékén vannak, és szeretnének

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

ó Ú ő ó ó ó ö ó ó ő ö ó ö ö ő ö ó ö ö ö ö ó ó ó ó ó ö ó ó ó ó Ú ö ö ó ó Ú ú ó ó ö ó Ű ő ó ó ó ő ó ó ó ó ö ó ó ó ö ő ö ó ó ó Ú ó ó ö ó ö ó ö ő ó ó ó ó Ú ö ö ő ő ó ó ö ö ó ö ó ó ó ö ö ő ö Ú ó ó ó ü ú ú ű

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára. Ramsey-gráfok

Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára. Ramsey-gráfok Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Ramsey-gráfok Előadó: Hajnal Péter 1.hét 1. Ramsey-számok Definíció. Legyen Ram(G) = max{ω(g), α(g)} = max{ω(g), ω(g)}, azaz a legnagyobb halmaz

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április mal, így a számjegyeinek összege is osztható 3-mal.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április mal, így a számjegyeinek összege is osztható 3-mal. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló - 2015. április 11. HATODIK OSZTÁLY - Javítási útmutató 1. Melyik a legkisebb 3-mal osztható négyjegyű szám, amelynek minden számjegye különböző,

Részletesebben

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha ALAPFOGALMAK 1 Á l l a p o t t é r Legyen I egy véges halmaz és legyenek A i, i I tetszőleges véges vagy megszámlálható, nem üres halmazok Ekkor az A= A i halmazt állapottérnek, az A i halmazokat pedig

Részletesebben

Adatszerkezetek. Nevezetes algoritmusok (Keresések, rendezések)

Adatszerkezetek. Nevezetes algoritmusok (Keresések, rendezések) Adatszerkezetek Nevezetes algoritmusok (Keresések, rendezések) Keresések A probléma általános megfogalmazása: Adott egy N elemű sorozat, keressük meg azt az elemet (határozzuk meg a helyét a sorozatban),

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben