A NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM SAVARIA EGYETEMI KÖZPONT TUDOMÁNYOS KÖZLEMÉNYEI XIX. TERMÉSZETTUDOMÁNYOK 14.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM SAVARIA EGYETEMI KÖZPONT TUDOMÁNYOS KÖZLEMÉNYEI XIX. TERMÉSZETTUDOMÁNYOK 14."

Átírás

1 A NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM SAVARIA EGYETEMI KÖZPONT TUDOMÁNYOS KÖZLEMÉNYEI XIX. TERMÉSZETTUDOMÁNYOK 14. PROCEEDINGS OF UNIVERSITY OF WEST HUNGARY SAVARIA CAMPUS NATURAL SCIENCES Szerkesztette: Dr. habil. Péntek Kálmán Ph.D. Dr. Tóth Gábor Ph.D. Felelős kiadó: Prof. Dr. Neményi Miklós Tudományos és külügyi rektorhelyettes SZOMBATHELY 2012.

2 A folyóirat 1988 és 2006 között A Berzsenyi Dániel (Tanárképző) Főiskola Tudományos Közleményei Természettudományok címen jelent meg. A kötet megjelentetését a Műszaki- és Természettudományi Kultúráért Egyesület és a Societas Scientiarium Savariensis (Szombathelyi Tudományos Társaság) anyagi támogatása tette lehetővé. HU ISSN ISSN Kiadja a NYME Kiadó A nyomdai munkákat a Balogh és Társa Kft. végezte Szombathelyen. Technikai szerkesztő: Dr. Tóth Gábor Ph.D.

3 TARTALOMJEGYZÉK SÁFÁR, ZOLTÁN: Double Fourier series, generalized Lipschitz and Zygmund classes 5 GUETH KRISZTIÁN: Keresési és színezési problémák speciális gráfokon 19 PÉNTEK KÁLMÁN: Az ortografikus meridionális vetületi rendszeren alapuló csillagászati készülék: a Nap évi mozgását bemutató forgatható korong 37 PUSKÁS JÁNOS NOWINSZKY LÁSZLÓ: A földmágneses térerő fénycsapdás rovargyűjtést módosító hatásának változása a különböző holdfázisokban 65 BARANYAI, OLGA BARANYAI, GÁBOR CSAPÓ, TAMÁS BALOGH, ANDRÁS: Development opportunities in Őrség National Park 71 RÉDEI MÁRIA: Népesség prognózis, előreszámítás módszertani kérdései 77 LENNER TIBOR CSAPÓ TAMÁS: Kaposvár történeti földrajza 91 CSAPÓ, TAMÁS LENNER, TIBOR: Settlement morphology of Zalaegerszeg city 109 BALOGH ANDRÁS: A külterületek településföldrajzi vonatkozásai 127 VÁLICZKÓ ÉVA KOVÁCS MÓNIKA NAGY TATJÁNA ALEKSZA MAGDOLNA: Autoantitestek kimutatása fókuszban az anti-mitokondriális antitest 139 KOVÁCS GÁBOR SZINETÁR CSABA: Adatok az ezüstös zugpók (Malthonica nemorosa [SIMON, 1916]) biológiájához. (Araneae, Agelenidae). 151 KOVÁCS PÉTER SZINETÁR CSABA SZŰTS TAMÁS: A Nyugat-magyarországi peremvidék (Győr-Moson-Sopron, Vas és Zala-megyék) pókfaunája 165 TÓTH GÁBOR: Késő rézkori temető Tolna Mözs (Kenderföldek-dűlő) lelőhelyről 231 NÉMETHNÉ TÖMŐ, ZSUZSANNA KELEMEN, ZITA: Familiarity and usage of marketing information systems within the timber and furniture SME sector in Hungary 241

4 PÁPAI ERZSÉBET: Az eurozóna válsága 249 KOVÁCS ZSUZSANNA: Vajon a Z generáció is ugyanebben a cipőben fog járni 2050-ben? 259 RÁDI SZELMAN VARGA IMRE: A továbbtanuló diákok motivációinak vizsgálata 267 FARKAS ANDRÁS: A digitális írástudás helyzete a hallgatói vizsgálatok tükrében 275

5 MATEMATIKA A NYME SAVARIA EGYETEMI KÖZPONT TUDOMÁNYOS KÖZLEMÉNYEI XIX. TERMÉSZETTUDOMÁNYOK 14. Szombathely, pp SÁFÁR, ZOLTÁN 1 DOUBLE FOURIER SERIES, GENERALIZED LIPSCHITZ AND ZYGMUND CLASSES Abstract: Our goal is the generalization of the results Ferenc Móricz( ). The paper research examined three main categories of problems. The first area is the term-by-term differentiability one-variable Fourier series, and thus obtained a series of Lipschitz class covers the debt. In the next section we investigated the relationship between the two-varialbe Fourier series coefficients of the appropriate scale and function of generalized Lipschitz and Zygmund classes debt. Finally, we give a necessary and sufficient condition that a Fourier transform of bivariate functions comply with a classical Lipschitz and Zygmund condition. The following four publications of the author's thesis are based on F. Móricz and Z. Sáfár(2010), Gawin Brown, F. Móricz and Z. Sáfár(2009), Vanda Fülöp, F. Móricz and Z. Sáfár(2011) and Z. Safar(2009). 1. Differentiation of Fourier series and function classes This theorems generalizes the corresponding theorems proved by BOAS (1967) and NÉMETH (1990). We assume that C absolutely convergent series, then the trigonometric series converges uniformly, and consequently it is the Fourier series of its sum f(x). In Theorem 1 we give necessary and sufficient conditions for the magnitude of Fourier coefficients of the function f in order that the function f is r 1 times differentiable in x T. Furthermore, we also show that the uniform convergence of rth formal derivative series of the Fourier series is equivalent to the continuity of the function on the torus. In Theorems 2 and 3 we give sufficient conditions of the magnitude of the Fourier coefficients in order that the function belongs to one of the classes Lip(α), Zyg(1) and lip(α) or zyg(1) (where 0 < α < 1). Finally, in Theorems 4 and 5 we show that the above condition is not only sufficient but also necessary in the case 0 or k 0. So, these conditions are best possible. 1 NYME, Savaria Egyetemi Központ, Természettudományi Kar, Matematika és Fizikai Intézet Szombathely, Károlyi G. tér

6 (1.1) Let C be a sequence such that Then the trigonometric series (1.2) converges uniformly on the torus and it is the Fourier series of its sum f. Definition 1 (Lipschitz classes). Lip(α) consists of all functions f for which where C is a constant depending on f, but not on x and h. The little Lipschitz class lip(α) consists of all functions f for which Definition 2 (Zygmund classes). Zyg(α) consists of all continuous functions f for which The little Zygmund class zyg(α) consists of all continuous functions f for which Theorem 1. If for some r 1, 6

7 then the r times formally differentiated Fourier series in (1.2) converges at a particular point x T if and only if f is r times differentiable at x, and in this case we have (1.3) Furthermore, the rth derivative is continuous on T if and only if the series in (1.3) converges uniformly on T. Theorem 2. If for some r 1 and 0 < α 1, (1.4) then f is r times differentiable on T, Zyg(1) in case α = 1. Theorem 3. If for some r 1 and 0 < α 1, (1.5) Lip( ) in case 0 < α < 1, and then f is r times differentiable on T, lip( ) in case 0 < α < 1, and zyg(1) case α = 1. Theorem 4. Suppose that either k 0 for all k or 0 for all k, and that f is r times differentiable on T. If Lip( ) for some 0 < α < 1, then (1.4) holds with this α; while if Zyg(1), then (1.4) holds with α =1. Theorem 5. Both statements in Theorem 4 remain valid if Lip(α) and Zyg(1) are replaced by lip(α) and zyg(1), respectively, and (1.4) is replaced by (1.5). Corollary 1. (i) If for some r 1, (1.6) then f is r times differentiable on T and Lip( ). (ii) Suppose that 0 for all k and that f is r times differentiable on T, where r 1. If Lip( ), then (1.6) holds. 7

8 2. Double Fourier series and function classes In this section we generalized the single valued theorems of Ferenc Móricz( ) and we enlarged the theorems of two variables. We assume that the C absolute converges, so we can examine the function In Theorem 6 we give a sufficient condition of the magnitude of Fourier coefficients of a function f to belong to the class Lip( ), where 0 < α, β 1. This condition is also necessary in some particular cases (see Theorems 6-8 below). The claim of Theorem 7 relates to the class Zyg( ). We give a sufficient condition for the Fourier coefficients of f function to ensure that f to belong to an extended Zygmund class, where 0 < α, β 2. Throughout this chapter, by { : (k,l) } we denote a sequence of complex numbers with the property (2.1) The double trigonometric series (2.2) converges uniformly. Consequently, the series in (2.2) is the Fourier series of its sum f, which is continuous on the two-dimensional torus. We recall that a positive valued, measurable function L defined in [a, ) (a > 0 arbitrary), is said to be slowly varying (in Karamata's sense) if for every > 0, Let L be a two-variable function such that 8

9 (2.3) Definition 3 (Multiplicative Lipschitz classes). Let α, β > 0 arbitrary and (2.4) + (, ). The class Lip(α, β) consists of all continuous functions f(x,y) for which for all x,y T; > 0. The class lip(α, β) consists of all continuous functions f(x,y) for which Definition 4 (Multiplicative Zygmund classes). Given α, β > 0 and The class Zyg(α, β) consists of all continuous functions f for which for all x,y T; > 0. The class zyg(α, β) consists of all continuous functions f(x,y) for which We will use the special series (2.5) 0 for all k,l 1, and 9

10 (2.6) = = =, k, l 1. Definition 5 (Generalized Lipschitz classes). Given α, β > 0 and a function L(x,y) satisfying condition (2.3), a continuous function f is said to belong to the generalized multiplicative Lipschitz class Lip(α, β; L) if for the double difference operator in (2.4) for all x,y T; > 0. Given α, β 0 and function L satisfying condition (2.3), the function f is said to belong to Lip(α, β; 1/L) if for all x,y T; > 0. Given α, β 0, we denote by the class of all functions : [0,1] [0,1] which are nondecreasing in each variable and possess the following properties: (2.7) = 0 for all (2.8) (2.9), for all α' > α and 0 < 1; 10

11 (2.10), for all β' > β and 0 < 1. We will define the modulus of continuity and the modulus of smoothness by ω(f;, ):= and ω 2 (f;, ):=, where j=1,2 and. denotes the usual maximum norm. Remark. Bary és Stečkin(1956) introduced another classes of moduli of continuity which are defined by means of a function φ(t) Φ, 0 t π with the following four properties: (i) φ is continuous on the interval [0,π], however this was not used in the proofs of Bary, (ii) φ is non-decreasing, (iii) φ 0 for every 0 < t π, (iv) φ 0 as t 0. Definition 6 (Enlarged Lipschitz classes). Let for some α, β 0. We define the Lip( ) of continuous functions as follows: Lip( ) := {f: ω(f;, ) = O( (, ))}. Definition 7 (Enlarged Zygmund classes). Zyg( ) := {f: ω 2 (f;, ) = O( (, ))}. 3. Fourier series and enlarged Lipschitz and Zygmund classes of functions Our new results are summarized in the following three theorems. Theorem 6. Let. (i) If C is such that for some 0 < α, β 1 we have 11

12 (3.1) then (2.1) is satisfied and f Lip( ), where f is defined in (2.2). (ii) Conversely, suppose that } R is such that conditions (2.1), (2.5) and (2.6) satisfied. If f Lip( ) for some 0 α, β 1, then condition (3.1) is satisfied. Theorem 7. Let. (i) If C is such that for some 0 < α, β 2 we have (3.2) then (2.1) is satisfied and f Zyg( ), where f is defined in (2.2). (ii) Conversely, suppose that } R is such that condition (2.1) is satisfied and (3.3) 0 for all k, l 1. If f Zyg( ) for some 0 α, β 2, then condition (3.2) is satisfied. Theorem 8.. Let. (i) If C is such that for some 0 α, β < 1 we have (3.4) then f Lip( ), where f is defined in (2.2). (ii) Conversely, suppose that } R is such that conditions (2.1) and (3.3) are satisfied. If f Zyg( ) for some 0 α, β 2, then condition (3.4) is satisfied. Remark. In the case 0 < α, β < 1, Part (i) in Theorems 6 and 8 are equivalent. In the case 0 < α, β < 2, Part (ii) in Theorems 7 and 8 are equivalent. Part (ii) in Theorems 6 and 8 are not comparable. Remark. We note that it seems to be likely that our Theorems 6-8 in the cases 0 < α, β < 1 can also be obtained using the theorems of Bary and 12

13 Stečkin. The proofs of the theorems in MÓRICZ and SAFAR (2010) we estimate the moduli of continuity or smothness directly in terms of the function in question. We investigate the classes Lip( ) and Zyg( ) for 0 α, β 1 and 0 α, β 2, respectively. Further difference is that in the following lemmas {a kl } is an arbitrary series, while the function φ Φ is non-decreasing. The exponent γ and δ may be arbitrary real number for which γ > α 0 and δ > β 0. Finally, the key fact in the proofs of our theorems is that Part (i) and Part (ii) are equivalent whenever γ > α > 0 and δ > β > 0. The following three Lemmas will be of vital importance in the proofs of Theorem 6, 7 and 8. Lemma 1. Let {a kl : k,l = 1,2, } and. (i) If for some γ α > 0 and δ β > 0, (3.5) then a kl < and (3.6) (ii) Conversely, if (3.6) is satisfied for some γ > α 0 and δ > β 0, then (3.5) is also satisfied. Lemma 2. Let {a kl : k,l = 1,2, } and. (i) If (3.5) is satisfied for some δ β > 0, while γ, α are arbitrary, then (3.7) (ii) If (3.6) is satisfied for some δ > β 0, while γ, α are arbitrary, then (3.7) is also satisfied. Lemma 3. Let {a kl and. (i) If (3.5) is satisfied for some γ α > 0, while δ, β are arbitrary, then 13

14 (3.8) (ii) If (3.6) is satisfied for some γ > α 0, while δ, β are arbitrary, then (3.8) is also satisfied. 4. Fourier series and generalized Lipschitz classes The following two theorems are special cases of Theorem 6-8. Theorem 9. Assume C with (2.1), f is defined in (2.2) and L satisfies condition (2.3). (i) If for some 0 < α, β 1, (4.1) then f Lip(α, β; L). (ii) Conversely, let R be a sequence such that conditions (2.5) and (2.6) hold. If f Lip(α, β; L) for some 0 < α, β 1, then (4.1) holds. Theorem 10. Assume C, with (2.1), f is defined in (2.2) and L satisfies condition (2.3). (i) If for some 0 α, β < 1, (4.2) then f Lip(α, β; 1/L). (ii) Conversely, let be a sequence such that conditions (2.5) and (2.6) hold. If f Lip(α, β; 1/L) for some 0 < α, β < 1, then (4.2) holds. Problem. It is an open problem whether the claim in Theorem 10 (ii) remains valid if 0 < α, β < 1 is replaced by 0 α, β < 1. Remark. Theorem 6 is generalization of Theorem 9, which is ( ) : = arises easy choice. Similarly, Theorem 8 is generalization of Theorem 10 of the Lip( ) Zyg( ) and the relation of ( ) : = selection. 14

15 5. Double Fourier transforms and function classes In this section we consider complex-valued functions f ( ) and prove sufficient conditions under which the double Fourier transform belongs to one of the multiplicative Lipschitz classes Lip(α, β) for some 0 α, β 1, or to one of the multiplicative Zygmund classes Zyg(α, β) for some 0 α, β 2. In Theorem 11 we give sufficient conditions under which belongs to the class Lip(α, β), where 0 < α, β 1. This condition is also necessary in the case when xy f(x,y) 0 for almost every x,y R. In Theorem 12 we prove an analogous result in the case of Zygmund classes Zyg(α, β), where 0 < α, β 2. Theorem 11. (i) Suppose f: C is such that f ( ) and there exist some > 0 such that (5.1) f ({(x,y) : either x > and y <, or x < and y > }). If for some 0 < α, β 1, (5.2), s,t > 0, then f ( ) and Lip(α, β). (ii) Conversely, suppose f ( ) is such that for almost all (x,y) we have (5.3) f(x,y) = -f(-x,y) = -f(x,-y) = f(-x,-y) 0; in particular, if f(x,y) is odd in each variable. If Lip(α, β) for some 0 < α, β 1, then (5.2) is satisfied. Remark. The condition (5.2) is equvalent to the condition (5.4) f ({(x,y) : x > s és y > t}), s,t > 0. Due to the assumption that f ( ), in order to conclude f ( ) in statement (i) above, we need the fulfillment of condition (5.1). If there exist some constants > 0 and such that (5.5), s > 0, 15

16 then we also have f ({(x,y) : x > s és y < }). Analogously, if there exist some constants >0 and such that (5.6) then we also have f ({(x,y) : x < és y > t})., t > 0, In particular, conditions (5.5) and (5.6) imply the fulfillment of condition (5.1). Theorem 12. (i) Suppose f: C is such that f ( ) and there exist some > 0 such that condition (5.1) is satisfied. If for some 0 < α, β 2, (5.7), s,t > 0, then f ( ) and Zyg(α, β). (ii) Conversely, suppose f ( ) is such that f(x,y) 0 for almost all (x,y). If Zyg(α, β) for some 0 < α, β 2, then condition (5.7) holds. Remark. Again, condition (5.7) implies only the fulfillment of (5.4). Due the assumption that f ( ), in order to conclude f ( ) in statement (i) above, we need the fulfillment of condition (5.1). If there exist some constants > 0 and such that (5.8) then we also have f ({(x,y) : x > s és y < })., s > 0, (5.9) Analogously, if there exist some constants >0 and such that, t > 0, 16

17 then we also have f ({(x,y) : x < és y > t}). In particular, conditions (5.8) and (5.9) imply the fulfillment of condition (5.1). IRODALOM BARY, N. K. STEČKIN, S. B. (1956): Best approximation and differential properties of two conjugate functions. Trudy Moskov. Mat. Obšč. 5: (in Russian). BOAS, R. P. Jr. (1967): Fourier series with positive coefficients. J. Math. Anal. Appl. 17: FÜLÖP, V. MÓRICZ, F. SÁFÁR, Z. (2011): Double Fourier transforms, Lipschitz and Zygmund classes of functions on the plane. East J. Approx. 17: BROWN, G. MÓRICZ, F. SÁFÁR, Z. (2009) Formal differentiation of absolutely convergent Fourier series and classical function classes. Acta. Sci. Math. 75: MÓRICZ, F. (2008): Absolutely convergent Fourier series, classical function classes and Paley's theorem. Analysis Math. 34: MÓRICZ, F. (2008): Absolutely convergent Fourier series and generalized Lipschitz classes of functions. Colloq. Math. 113: MÓRICZ, F. (2008): Absolutely convergent multiple Fourier series and multiplicative Lipschitz classes of functions. Acta Math. Hungar. 121: MÓRICZ, F. (2009): Absolutely convergent Fourier series, enlarged Lipschitz and Zygmund classes of functions. East J. Approx. 15: MÓRICZ, F. (2010): Best possible sufficient conditions for the Fourier transform to satisfy the Lipschitz or Zygmund condition. Studia Math. 199: MÓRICZ, F. SÁFÁR, Z. (2010): Absolutely convergent double Fourier series, enlarged Lipschitz and Zygmund classes of functions of two variables. East J. Approx. 16: NÉMETH, J. (1990): Fourier series with positive coefficients and generalized Lipschitz classes. Acta Sci. Math. 54: SÁFÁR, Z. (2009): Absolutely convergent double Fourier series and generalized multiplicative Lipschitz classes of functions. Acta. Sci. Math. 75:

18 18

19 MATEMATIKA A NYME SAVARIA EGYETEMI KÖZPONT TUDOMÁNYOS KÖZLEMÉNYEI XIX. TERMÉSZETTUDOMÁNYOK 14. Szombathely, pp GUETH KRISZTIÁN 1 KERESÉSI ÉS SZÍNEZÉSI PROBLÉMÁK SPECIÁLIS GRÁFOKON Abstract: Some easy problems are NP-hard on general graphs. For example the coloring problem, finding the maximal click or the maximal independent set can't be solved efficiently. But if the graph is special, we can solve this problems in linear or quadratial time. In this essay we are talking about chordal graphs (in which every circles with length at least 4, contains some chords), comparibility graphs, co-comparibility graphs (which or its complement represents a partial ordering) and permutation graphs (which represents a permutation). We are giving polinomial time algorithms on the coloring and on the maximal click/independent set searching problem. In some cases the greedy algorithm is optimal. 1. Bevezetés Ismert, hogy általános gráfokban néhány egyszerűnek tűnő probléma is NP-teljes. Ilyen például a maximális méretű klikk (azaz teljes részgráf) megkeresése, vagy éppen a maximális független halmaz keresése, de ilyen a kromatikus szám meghatározása is, azaz hogy minimálisan hány szín szükséges a gráf megszínezéséhez, ha a szomszédos pontok nem kaphatják ugyanazt a színt. Ha egy problémáról az derül ki, hogy NP-teljes, akkor ne várjunk rá hatékony algoritmust. Több mint valószínű, hogy az ilyen problémákra csak olyan algoritmus adható, melynek lépésszáma az input méretének exponenciális függvénye, vagy akár a faktoriálisával arányos, ami viszonylag kis méretű inputra is embertelenül hosszú futásidőt eredményez, legyen bármilyen szuperszámítógépünk. Ha viszont a gráfunk valamilyen speciális osztályba tartozik, a fent említett problémák akár meglepően rövid idő alatt is megoldhatók. Ezen dolgozatban néhány ilyen speciális gráfosztályt tárgyalunk. Először kimondunk rájuk vonatkozó állításokat, összefüggéseket a gráfosztályok között, majd megnézzük, hogyan oldhatók meg a fenti problémák ezeken a gráfokon. 1 NYME, Savaria Egyetemi Központ, Természettudományi Kar, Matematika és Fizikai Intézet Szombathely, Károlyi G. tér

20 A tanulmány elkészítése során JEREMY P. SPINRAD gráfok reprezentációjáról írt könyvéből (2003) dolgoztam (pontos megjelölés a dolgozat végén található). Az általam kidolgozott tételek és algoritmusok nagy része a hivatkozott műben bizonyítás nélkül kimondva (algoritmusok esetében az optimalitás igazolása nélkül), illetve feladatként szerepel. Köszönet Hujter Mihálynak, a BME docensének, aki eljuttatta számomra ezt a könyvet, és ráirányította figyelmemet erre az érdekes témára. 2. Néhány nevezetes gráfosztály Első gráfosztályunkba olyan gráfok tartoznak, melyben minden körben vannak húrok is. Definíció: Egy G gráfot merevkörűnek nevezünk, ha nem tartalmaz legalább 4 hosszúságú átlómentes kört. Az elnevezés abból jött, hogy a gráfot rúd-csukló szerkezetnek tekintve ilyenkor nem tudjuk a síkban mozgatni éleit egymáshoz képest. Egy 4 vagy több pontú átló nélküli kört lehet hajlítgatni. Egy gráfban a v csúcsot szimpliciálisnak nevezzük, ha v szomszédai egy klikket, azaz teljes részgráfot alkotnak. Azaz v bármely két szomszédja között vezet él. Mivel természetesen v-ből a szomszédjaihoz vezet él, úgy is fogalmazhatunk, hogy v a szomszédjaival együtt klikket formáz. Az úgynevezett perfekt eliminációs séma megadja a G gráf csúcsainak egy szimpliciális sorrendjét, azaz olyan módon rendezi sorba a csúcsokat ( v 1,v2,... v n ), hogy minden i-re v i szimpliciális a v i,vi+ 1,... vn által feszített részgráfban, már ha ilyen sorrend létezik. Azaz olyan sorrendet ad meg, melyben minden csúcs nála nagyobb indexű szomszédai klikket alkotnak. Ismert, hogy egy G gráf csúcsai akkor és csak akkor rendezhetők szimpliciális sorrendbe, ha G merevkörű. Az az irány, hogy ha van ilyen sorrend, akkor nem tartalmazhat a gráf átlómentes kört, könnyen látszik. Ugyanis tegyük fel, hogy van ilyen kör (mely definíció szerint legalább 4 hosszúságú), és tekintsük a szimpliciális sorrend szerint legalacsonyabb indexű tagját, jelöljük ezt x-szel. A sorrend tulajdonsága miatt x nála nagyobb indexű szomszédai közül bármelyik kettő össze kéne hogy legyen kötve, de ezen szomszédok között ott van az a két pont, melyek x szomszédai a körön, és mivel ez egy legalább 4 pontú átlómentes kör, a szóban forgó két szomszéd mégsem lehet összekötve. Az ellentmondás bizonyítja, hogy a gráfunk merevkörű. 20

21 Most egy általánosabb gráfosztály következik, melynek, mint látni fogjuk, a tárgyalt gráfosztályok mind részei. Definíció: A G gráfot perfektnek nevezzük, ha minden G' feszített részgráfjára Χ(G') = ω(g'). Itt Χ(G') a G' gráf kromatikus számát, ω(g') pedig a G'-ben lévő maximális méretű klikk elemszámát jelenti. Egy tetszőleges gráf csúcsait nyilván nem lehet kevesebb színnel színezni, mint a maximális klikkméret, hiszen a klikkben szereplő csúcsokat mind különbözőre kell színezni. A perfekt gráf kritériuma azt jelenti, hogy ki is lehet ennyivel színezni, de nem csak az egész gráfot, hanem minden feszített részgráfját is. A továbbiakban a gráfokat nem valódi színekkel, hanem az 1, 2, 3, számokkal fogjuk színezni. Állítás: Ha a G gráf merevkörű, akkor G perfekt is. Bizonyítás: Látható, hogy merevkörű gráf minden feszített részgráfja is merevkörű. Ugyanis ha G-ben nincs átlómentes kör, akkor semelyik feszített részgráfjában sem lehet, mert utóbbi minden olyan élet tartalmaz, ami a csúcsai között vezet, és az eredeti gráfban is szerepelt. Tehát elég belátni, hogy merevkörű gráf kiszínezhető maxklikk számú színnel. Tekintsük G csúcsainak egy szimpliciális sorrendjét ( v 1,v2,... vn ), és jobbról balra haladva (azaz indexek szerint csökkenő sorrendben) színezzünk minden csúcsot a legkisebb olyan színre, amilyen színű már megszínezett szomszédja még nincs. Ezt nevezzük mohó színezésnek. Állítjuk, hogy ez az eljárás nem használ ω(g)-nél több színt (kevesebbet meg nyilván nem használhat). Egy szimpliciális sorrendben minden maximális klikk előáll úgy, hogy valamelyik csúcs és a nála nagyobb indexű szomszédai. Vegyük az egyik maxklikk (jelöljük K-val) legalacsonyabb indexű pontját (legyen ez x), x minden, tőle jobbra eső szomszéda benne kell legyen K-ban, mert ellenkező esetben vagy ellentmondásban lennénk a szimpliciális sorrenddel, vagy pedig találnánk K-nál nagyobb klikket. Ha most a mohó algoritmus ω-nál több színt használna, akkor lenne olyan y csúcs, melyet az ω+1-edik színre színezne. Ez csak úgy volna lehetséges, hogy y-nak lennének olyan már megszínezett (azaz tőle jobbra álló) szomszédai, melyek az 1, 2, ω színeket kapták. Mivel a sorrend szimpliciális, ezek a csúcsok mind szomszédosak egymással, de az előbbiek miatt y-nal is, és így kaptunk egy ω+1 csúcsú klikket G-ben, ami ellentmond ω definíciójának. Ezzel a bizonyítást befejeztük. Következő gráftípusaink egy rendezési relációt írnak le. 21

22 Definíció: A G gráfot összehasonlítás-gráfnak nevezzük, ha éleit meg tudjuk úgy irányítani, hogy egy tranzitív G' digráfot kapjunk. Ez azt jelenti, hogy amennyiben G'-ben van x y él és y z él is, akkor az eredeti gráfban van x és z között is él, melyet aztán z felé irányítunk. G' tranzitivitása megfelel egy rendezési relációnak: x y azt jelenti, hogy y nagyobb x-nél. A feltétel összhangban van a < reláció tranzitivitásával. G-ről tegyük fel, hogy egyszerű gráf, azaz nincsenek benne párhuzamos élek, sem hurokélek, így G'-ben egyik elem sem lesz nagyobb önmagánál, és nem fordulhat elő, hogy két elem mindegyike nagyobb a másiknál. Azonban G'-ben nincs feltétlenül bármely két elem között valamilyen irányú él, vagyis nem minden elempár összehasonlítható. G-re vonatkoztatva ez azt jelenti, hogy ott pontosan akkor megy két elem közt él, ha azok összehasonlíthatóak. Ezért hívjuk G-t összehasonlítás-gráfnak. Az ilyen gráfok (ha az éleit megirányítottuk) egy részben rendezett halmazt reprezentálnak. Állítás: Ha G összehasonlítás-gráf, akkor G perfekt is. Biz.: Látható, hogy összehasonlítás-gráf minden feszített részgráfja is az: a részben rendezett halmaz egy részhalmazát reprezentálja. Tehát itt is elég belátni, hogy G kiszínezhető ω(g) darab színnel. Nézzük meg, mit jelent egy klikk a részben rendezett halmazra nézve! A tranzitivitásból következik, hogy a klikkben szereplő elemek közt van legnagyobb, van legkisebb, és egyértelműen sorbarendezhető ez a részhalmaz: minden elem kisebb a tőle jobbra levőknél és nagyobb a többinél. Az ilyen részhalmazt láncnak nevezzük. A maximális klikkméret tehát a részben rendezett halmazban lévő leghosszabb lánc hosszát jelenti. Ha kiszínezünk egy összehasonlítás-gráfot, akkor csak olyan pontok kerülhetnek egy színosztályba, melyek közül egyik sem szomszédos semelyik másikkal, azaz a neki megfelelő elemek közül semelyik kettő sem összehasonlítható. Az ilyen részhalmazokat antiláncoknak nevezzük. A színezés tehát azt jelenti, hogy a részben rendezett halmaz elemeit antiláncokkal lefedjük. Dilworth tétele azt mondja ki, hogy minden részben rendezett halmazban a maximális lánc hossza egyenlő a halmaz elemeit lefedő antiláncok minimális számával. Ez pontosan azt jelenti, hogy összehasonlítás-gráfra Χ(G) = ω(g). 22

23 X 1 v 1 X 2 v 2 X 3 v 3 X k v k 1. ábra: A maximális lánc, és a belőle képzett halmazok Fig 1: Maximal chain, and from it created sets Most bebizonyítjuk a Dilworth-tételt. A max. lánc hosszánál kevesebb antilánccal nyilván nem lehet lefedni a halmaz elemeit, mert minden antilánc legfeljebb egyet tartalmazhat a lánc elemei közül. Legyen v 1 > v2 >... > vk egy maximális lánc. Megadunk egy lefedést k db antilánccal. Álljon az X 1 halmaz a v 1 -ből, és a vele nem összehasonlítható elemek közül a legnagyobbakból (azaz amelyeknél nincs nagyobb elem a halmazban). X 1 elemeit ezután el is hagyhatjuk. X 2 álljon a v2 -ből és a maradék halmaz v2 -vel nem összehasonlítható elemei közül a maximálisakból (a maradék halmazban nézve), és így tovább. Az X 1,X 2,... X k halmazok mindegyike antilánc, mert egy adott halmaz legnagyobb elemei között nem lehet két összehasonlítható. Kell még, hogy ezek az antiláncok lefedik az egész halmazt. Tegyük fel, hogy van olyan y elem, mely egyik X i -ben sincs benne. Tegyük fel először azt is, hogy y a v 1,v2,... vk mindegyikével összehasonlítható, ezért nem került bele egyik halmazba sem. Ha y > v1, akkor mivel v 1 a lánc összes többi eleménél nagyobb, ezért a tranzitivitás miatt y is nagyobb a lánc minden eleménél, tehát a lánc az y elemmel bővíthető. Legyen ezután y < v1, de y nem kisebb a lánc összes eleménél. Legyen i a legkisebb olyan index, 23

24 melyre y > vi teljesül. Ha j tetszőleges, i-nél nagyobb index, akkor v i > v j, és a tranzitivitás miatt y > v j. Az i index definíciójával együtt ez azt jelenti, hogy y beszúrható a láncba a v i 1 és a v i közé. Ha pedig y minden elemnél kisebb, akkor pedig a lánc másik végére szúrható be. v 1 v i 1 y v i v k 2. ábra: Az y pont beszúrása a láncba Fig 2: Insertion of vertex y into the chain Tehát mindhárom esetben azt kaptuk, hogy a lánc bővíthető a kimaradt elemmel, tehát ha van ilyen, akkor a lánc nem volt maximális. Nézzük most azt az esetet, amikor y nem összehasonlítható pl. a v i -vel, de mégsem került bele X i -be! Ez csak úgy lehetséges, hogy y a vizsgált halmazban nem volt maximális, azaz létezik olyan z elem, mely nem összehasonlítható v -vel, de nagyobb y-nál, és így belekerült X -be i (lehetnek z és y közé eső elemek is, de a tranzitivitás miatt z > y mindenképpen fennáll). Mi lehet az oka annak, hogy z az X i -be került és nem az X i 1 -be? Egyik ok az lehet, hogy z összehasonlítható vi 1 -gyel. Ekkor z > v i 1 nem teljesülhet, mert vi 1 > vi és a tranzitivitás miatt z > vi is fennállna, holott feltettük, hogy nem összehasonlíthatóak. Tehát ha z és v i 1 összehasonlíthatóak, akkor utóbbi a nagyobb. Így y < z <vi 1 <vi 2 <... < v1 egy i+1 hosszú lánc. Most nézzük, hogy mi van akkor, ha z azért nem került X i 1 -be, mert ugyan nem összehasonlítható vi 1 -gyel, de van olyan nála nagyobb elem, i 24

25 mely szintén nem összehasonlítható vi 1 -gyel, és belekerült X i 1 -be. Ekkor erre az elemre végezzük el ugyanazt a gondolatmenetet, mint az előbb z-re, és így tovább. v v 1 1 X v i 1 i 1 v i z X i v i+1 y v k 1 X k 1 X i+1 v k u X k v k y 3. ábra: y nem összehasonlítható -vel, de nem került -be 4. ábra: y-ból -be vezet egy k+1 hosszú lánc Fig 3: y isn't comparable with, but y isn't in Fig 4: There is a chain from y to of length k+1 Az eddigiekből az következik, hogy ha y nem került X i -be, noha nem összehasonlítható vi -vel, akkor y-ból el tudunk jutni egy i+1 elemű láncon az X 1 halmaz valamely elemébe (ha a gondolatmenetben valahol az első eset áll fenn, akkor ott rálépünk a v-kből álló láncra, és azon megyünk v 1 -be, ha pedig mindig a 2. eset áll fenn, akkor végig a kezdeti lánctól diszjunkt láncon haladunk). Most vizsgáljuk meg, mi lehet a helyzet az X i -től lefelé! Az y pontról azt tettük fel, hogy egyik X halmazba sem került bele, tehát az X i+ 1 -be sem. Tegyük fel először, hogy ez azért történt, mert összehasonlítható vi+ 1 -gyel. Ekkor kizárhatjuk azt, hogy kettejük közül v i+ 1 a nagyobb, mert ekkor v i > v i+1 miatt v i > y is fennállna, pedig ők nem összehasonlíthatók. Tehát y > v i+1 teljesülhet csak. Ekkor azonban a bizonyítás első részében kapott, y-ból X 1 -be vezető láncot kibővíthetjük az v k < vk 1 <... <vi+ 1 < y lánccal, amely viszont k+1 elemű (minden X halmazból tartalmaz egy-egy elemet, meg még y-t is). Ez ellentmond annak, hogy a maximális lánc hossza k. 25

GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus

GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus GRÁFELMÉLET 7. előadás Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus Definíció: egy P utat javító útnak nevezünk egy M párosításra nézve, ha az út páratlan hosszú, kezdő- és végpontjai nem párosítottak,

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12.

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12. Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet

Részletesebben

Algoritmusok bonyolultsága

Algoritmusok bonyolultsága Algoritmusok bonyolultsága 9. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 18 Közelítő algoritmusok ládapakolás (bin packing) Adott n tárgy (s i tömeggel) és végtelen sok 1 kapacitású láda

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

1/50. Teljes indukció 1. Back Close

1/50. Teljes indukció 1. Back Close 1/50 Teljes indukció 1 A teljes indukció talán a legfontosabb bizonyítási módszer a számítástudományban. Teljes indukció elve. Legyen P (n) egy állítás. Tegyük fel, hogy (1) P (0) igaz, (2) minden n N

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

PÁROS HOSSZÚ KÖRÖK GRÁFOKBAN

PÁROS HOSSZÚ KÖRÖK GRÁFOKBAN PÁROS HOSSZÚ KÖRÖK GRÁFOKBAN CSIKVÁRI PÉTER Kivonat. Ebben a jegyzetben bebizonyítjuk Bondy és Simonovits következő tételét. Ha egy n csúcsú egyszerű gráf nem tartalmaz C k kört akkor az éleinek száma

Részletesebben

Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus

Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus Síktopológiák a Sorgenfrey-egyenes ötletével Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus 1. Bevezetés A Sorgenfrey-egyenes

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Feladatok. 7. Tíz rabló a kincseit egy több lakattal lezárható ládában gyűjti. Az egyes lakatokat egy-egy

Feladatok. 7. Tíz rabló a kincseit egy több lakattal lezárható ládában gyűjti. Az egyes lakatokat egy-egy Feladatok 1. Hányféleképpen állhat sorba n fiú és n lány úgy, hogy azonos neműek ne álljanak egymás mellett?. Hány olyan hétszámjegyű telefonszám készíthető, amiben pontosan két különböző számjegy szerepel,

Részletesebben

19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI

19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI 19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI Ebben a fejezetben aszimptotikus (nagyságrendi) alsó korlátot adunk az összehasonlításokat használó rendező eljárások lépésszámára. Pontosabban,

Részletesebben

A rosszindulatú daganatos halálozás változása 1975 és 2001 között Magyarországon

A rosszindulatú daganatos halálozás változása 1975 és 2001 között Magyarországon A rosszindulatú daganatos halálozás változása és között Eredeti közlemény Gaudi István 1,2, Kásler Miklós 2 1 MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutató Intézete, Budapest 2 Országos Onkológiai Intézet,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg ) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a b d c A megfelelő gráf: d a b c ) Egy szórakoztató feladat (Hamilton-féle probléma) Helyezzük el az,,,...,

Részletesebben

angolul: greedy algorithms, románul: algoritmi greedy

angolul: greedy algorithms, románul: algoritmi greedy Mohó algoritmusok angolul: greedy algorithms, románul: algoritmi greedy 1. feladat. Gazdaságos telefonhálózat építése Bizonyos városok között lehet direkt telefonkapcsolatot kiépíteni, pl. x és y város

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem www.sze.hu/~herno

Széchenyi István Egyetem www.sze.hu/~herno Oldal: 1/6 A feladat során megismerkedünk a C# és a LabVIEW összekapcsolásának egy lehetőségével, pontosabban nagyon egyszerű C#- ban írt kódból fordítunk DLL-t, amit meghívunk LabVIEW-ból. Az eljárás

Részletesebben

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a A merész játékok stratégiája A következő problémával foglalkozunk: Tegyük fel, hogy feltétlenül ki kell fizetnünk 000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a még

Részletesebben

A zsebrádiótól Turán tételéig

A zsebrádiótól Turán tételéig Jegyzetek egy matekóráról Lejegyezte és kiegészítésekkel ellátta: Meszéna Balázs A katedrán: Pataki János A gráfokat rengeteg életszagú példa megoldásában tudjuk segítségül hívni. Erre nézzünk egy példát:

Részletesebben

FIATAL MŰSZAKIAK TUDOMÁNYOS ÜLÉSSZAKA

FIATAL MŰSZAKIAK TUDOMÁNYOS ÜLÉSSZAKA FIATAL ŰSZAKIAK TUDOÁNYOS ÜLÉSSZAKA Kolozsvár, 1999. március 19-20. Zsákolt áruk palettázását végző rendszer szimulációs kapacitásvizsgálata Kádár Tamás Abstract This essay is based on a research work

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok. c f

Gráfelméleti feladatok. c f Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Gráfok színezése. BSc Szakdolgozat

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Gráfok színezése. BSc Szakdolgozat Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gráfok színezése BSc Szakdolgozat Készítette: Tóth Ádám Matematika BSc, Matematikai elemző szakirány Témavezető: Hermann György Doktorandusz, Számítógéptudományi

Részletesebben

Performance Modeling of Intelligent Car Parking Systems

Performance Modeling of Intelligent Car Parking Systems Performance Modeling of Intelligent Car Parking Systems Károly Farkas Gábor Horváth András Mészáros Miklós Telek Technical University of Budapest, Hungary EPEW 2014, Florence, Italy Outline Intelligent

Részletesebben

Ramsey tétele(i) gráfokra

Ramsey tétele(i) gráfokra Ramsey tétele(i) gráfokra A témakör a szociológusok alábbi észrevételének általánosítása: legalább hat tagú társaságban vagy van háromfős klikk, vagy van háromfős antiklikk. Itt klikk olyan emberek halmazát

Részletesebben

Kombinatorika. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László Ábrák: Hraskó András. 2015. december 6.

Kombinatorika. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László Ábrák: Hraskó András. 2015. december 6. Kombinatorika 9 10. évfolyam Szerkesztette: Surányi László Ábrák: Hraskó András 2015. december 6. A kötet létrehozását 2008-tól 2010-ig a Fővárosi Közoktatásfejlesztési Közalapítvány támogatta Technikai

Részletesebben

Dependency preservation

Dependency preservation Adatbázis-kezelés. (4 előadás: Relácó felbontásai (dekomponálás)) 1 Getting lossless decomposition is necessary. But of course, we also want to keep dependencies, since losing a dependency means, that

Részletesebben

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) 24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,

Részletesebben

Simonovits M. Elekes Gyuri és az illeszkedések p. 1

Simonovits M. Elekes Gyuri és az illeszkedések p. 1 Elekes Gyuri és az illeszkedések Simonovits M. Elekes Gyuri és az illeszkedések p. 1 On the number of high multiplicity points for 1-parameter families of curves György Elekes, Miklós Simonovits and Endre

Részletesebben

Általános algoritmustervezési módszerek

Általános algoritmustervezési módszerek Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás

Részletesebben

NÉHÁNY MEGJEGYZÉS A BURKOLÓFELÜLETEK VIZSGÁLATÁHOZ

NÉHÁNY MEGJEGYZÉS A BURKOLÓFELÜLETEK VIZSGÁLATÁHOZ Miskolci Egyetem, Multidiszciplináris tudományok, 1. kötet (2011) 1. szám, pp. 87-94. NÉHÁNY MEGJEGYZÉS A BURKOLÓFELÜLETEK VIZSGÁLATÁHOZ Nándoriné Tóth Mária egyetemi docens Miskolci Egyetem, Gépészmérnöki

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Analízis. 11 12. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László. 2015. július 5.

Analízis. 11 12. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László. 2015. július 5. Analízis 11 12. évfolyam Szerkesztette: Surányi László 2015. július 5. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó András, Kalló

Részletesebben

Diszkrét Matematika GYAKORLAT, Levelező MSc hallgatók számára. 3. Feladatsor

Diszkrét Matematika GYAKORLAT, Levelező MSc hallgatók számára. 3. Feladatsor Diszkrét Matematika GYAKORLAT, Levelező MSc hallgatók számára 3. Feladatsor Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2011. november 2-ától 1. Párosítások gráfokban 1.1. Alapok 1. Feladat. (i) Bizonyítsuk be, hogy

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

NYOMÁSOS ÖNTÉS KÖZBEN ÉBREDŐ NYOMÁSVISZONYOK MÉRÉTECHNOLÓGIAI TERVEZÉSE DEVELOPMENT OF CAVITY PRESSURE MEASUREMENT FOR HIGH PRESURE DIE CASTING

NYOMÁSOS ÖNTÉS KÖZBEN ÉBREDŐ NYOMÁSVISZONYOK MÉRÉTECHNOLÓGIAI TERVEZÉSE DEVELOPMENT OF CAVITY PRESSURE MEASUREMENT FOR HIGH PRESURE DIE CASTING Anyagmérnöki Tudományok, 39/1 (2016) pp. 82 86. NYOMÁSOS ÖNTÉS KÖZBEN ÉBREDŐ NYOMÁSVISZONYOK MÉRÉTECHNOLÓGIAI TERVEZÉSE DEVELOPMENT OF CAVITY PRESSURE MEASUREMENT FOR HIGH PRESURE DIE CASTING LEDNICZKY

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

Üdv. a 21 napos Hallás utáni szövegértés online tréning 2. napján!

Üdv. a 21 napos Hallás utáni szövegértés online tréning 2. napján! Szia! Üdv. a 21 napos Hallás utáni szövegértés online tréning 2. napján! Mivel nyakunkon a májusi nyelvvizsga-időszak, ez a tréning azoknak nyújt segítséget, akik már középfok környékén vannak, és szeretnének

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

A STRATÉGIAALKOTÁS FOLYAMATA

A STRATÉGIAALKOTÁS FOLYAMATA BUDAPESTI CORVINUS EGYETEM VÁLLALATGAZDASÁGTAN INTÉZET VERSENYKÉPESSÉG KUTATÓ KÖZPONT Szabó Zsolt Roland: A STRATÉGIAALKOTÁS FOLYAMATA VERSENYBEN A VILÁGGAL 2004 2006 GAZDASÁGI VERSENYKÉPESSÉGÜNK VÁLLALATI

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

ó Ú ő ó ó ó ö ó ó ő ö ó ö ö ő ö ó ö ö ö ö ó ó ó ó ó ö ó ó ó ó Ú ö ö ó ó Ú ú ó ó ö ó Ű ő ó ó ó ő ó ó ó ó ö ó ó ó ö ő ö ó ó ó Ú ó ó ö ó ö ó ö ő ó ó ó ó Ú ö ö ő ő ó ó ö ö ó ö ó ó ó ö ö ő ö Ú ó ó ó ü ú ú ű

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA RENDEZETT HALMAZOKKAL KAPCSOLATOS PÉLDÁK. Rendezett halmaz. (a, b) R a R b 1. Reflexív 2. Antiszimmetrikus 3.

DISZKRÉT MATEMATIKA RENDEZETT HALMAZOKKAL KAPCSOLATOS PÉLDÁK. Rendezett halmaz. (a, b) R a R b 1. Reflexív 2. Antiszimmetrikus 3. Rendezett halmaz R A x A rendezési reláció A-n, ha R Másképpen: (a, b) R a R b 1. Reflexív 2. Antiszimmetrikus 3. Tranzitív arb for (a, b) R. 1. a A ara 2. a,b A (arb bra a = b 3. a,b,c A (arb brc arc

Részletesebben

A controlling és az értékelemzés összekapcsolása, különös tekintettel a felsőoktatási és a gyakorlati alkalmazhatóságra

A controlling és az értékelemzés összekapcsolása, különös tekintettel a felsőoktatási és a gyakorlati alkalmazhatóságra A controlling és az értékelemzés összekapcsolása, különös tekintettel a felsőoktatási és a gyakorlati alkalmazhatóságra Dr. Szóka Károly Nyugat-magyarországi Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Egyetemi docens

Részletesebben

Vasúti kocsik vázszerkezetének a felhasználhatósága kisebb nyílások áthidalására helyi érdek8 közúti utakon

Vasúti kocsik vázszerkezetének a felhasználhatósága kisebb nyílások áthidalására helyi érdek8 közúti utakon Vasúti kocsik vázszerkezetének a felhasználhatósága kisebb nyílások áthidalására helyi érdek8 közúti utakon Dr. Köll Gábor, Dr. Petru oga, "tefan Gu$iu, C&t&lin oga Kolozsvári szaki Egyetem Abstract This

Részletesebben

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Gráfelméleti alapfogalmak-1

Gráfelméleti alapfogalmak-1 KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára Gráfelméleti alapfogalmak Előadó: Hajnal Péter 2015 1. Egyszerű gráfok Nagyon sok helyzetben egy alaphalmaz elemei között kitűntetett

Részletesebben

MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-KELET MAGYARORSZÁGI RÉGIÓBAN 2012

MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-KELET MAGYARORSZÁGI RÉGIÓBAN 2012 MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-KELET MAGYARORSZÁGI RÉGIÓBAN 0 KONFERENCIA ELŐADÁSAI Szolnok 0. május 0. Szerkesztette: Edited by Pokorádi László Kiadja: Debreceni Akadémiai Bizottság Műszaki Szakbizottsága

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

TAGOZATÁN SATU MARE EXTENSION. Baranyai Tünde, Stark Gabriella

TAGOZATÁN SATU MARE EXTENSION. Baranyai Tünde, Stark Gabriella Volume 3, Number 2, 2013 3. kötet, 2. szám, 2013 PEDAGÓGIAI GYAKORLAT A BBTE SZATMÁRNÉMETI TAGOZATÁN THE EXAMINATION OF PEDAGOGICAL PRACTICE AT THE SATU MARE EXTENSION Baranyai Tünde, Stark Gabriella Abstract:

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Gyakorlatok. P (n) = P (n 1) + 2P (n 2) + P (n 3) ha n 4, (utolsó lépésként l, hl, u, hu-t léphetünk).

Gyakorlatok. P (n) = P (n 1) + 2P (n 2) + P (n 3) ha n 4, (utolsó lépésként l, hl, u, hu-t léphetünk). Gyakorlatok Din 1 Jelölje P (n) azt a számot, ahányféleképpen mehetünk le egy n lépcsőfokból álló lépcsőn a következő mozgáselemek egy sorozatával (zárójelben, hogy mennyit mozgunk az adott elemmel): lépés

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT I. 45 perc A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

A SZEMCSEALAK ALAPJÁN TÖRTÉNŐ SZÉTVÁLASZTÁS JELENTŐSÉGE FÉMTARTALMÚ HULLADÉKOK FELDOLGOZÁSA SORÁN

A SZEMCSEALAK ALAPJÁN TÖRTÉNŐ SZÉTVÁLASZTÁS JELENTŐSÉGE FÉMTARTALMÚ HULLADÉKOK FELDOLGOZÁSA SORÁN Műszaki Földtudományi Közlemények, 83. kötet, 1. szám (2012), pp. 61 70. A SZEMCSEALAK ALAPJÁN TÖRTÉNŐ SZÉTVÁLASZTÁS JELENTŐSÉGE FÉMTARTALMÚ HULLADÉKOK FELDOLGOZÁSA SORÁN SIGNIFICANCE OF SHAPE SEPARATION

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

A Margit híd pillérszobrának 3D-s digitális alakzatrekonstrukciója Nagy Zoltán 1 Túri Zoltán 2

A Margit híd pillérszobrának 3D-s digitális alakzatrekonstrukciója Nagy Zoltán 1 Túri Zoltán 2 A Margit híd pillérszobrának 3D-s digitális alakzatrekonstrukciója Nagy Zoltán 1 Túri Zoltán 2 1 hallgató, Debreceni Egyetem TTK, e-mail: zoli0425@gmail.com 2 egyetemi tanársegéd, Debreceni Egyetem Természetföldrajzi

Részletesebben

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Párosítások

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Párosítások Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára Párosítások 2012. november 19. Előadó: Hajnal Péter 1. Alapfogalmak Emlékeztető. Legyen G egy gráf, E(G) a G élhalmaza, V (G) gráfunk csúcshalmaza.

Részletesebben

HORVÁTH GÉZÁNÉ * A hazai készletmodellezés lehetőségei az Európai Unióban

HORVÁTH GÉZÁNÉ * A hazai készletmodellezés lehetőségei az Európai Unióban HORVÁTH GÉZÁNÉ * A hazai készletmodellezés lehetőségei az Európai Unióban Possibilities of Hungarian Inventory Modelling in European Union The Economic Order Quantity (EOQ) Model was the first inventory

Részletesebben

First experiences with Gd fuel assemblies in. Tamás Parkó, Botond Beliczai AER Symposium 2009.09.21 25.

First experiences with Gd fuel assemblies in. Tamás Parkó, Botond Beliczai AER Symposium 2009.09.21 25. First experiences with Gd fuel assemblies in the Paks NPP Tams Parkó, Botond Beliczai AER Symposium 2009.09.21 25. Introduction From 2006 we increased the heat power of our units by 8% For reaching this

Részletesebben

Revenue Stamp Album for Hungary Magyar illetékbélyeg album. Content (tartalom) Documentary Stamps (okmánybélyegek)

Revenue Stamp Album for Hungary Magyar illetékbélyeg album. Content (tartalom) Documentary Stamps (okmánybélyegek) Revenue Stamp Album for Hungary Magyar illetékbélyeg album Content (tartalom) Documentary Stamps (okmánybélyegek) I. OPM Austrian Financial Administration in Hungary (osztrák pénzügyigazgatás) 2 II. Currency:

Részletesebben

8. Mohó algoritmusok. 8.1. Egy esemény-kiválasztási probléma. Az esemény-kiválasztási probléma optimális részproblémák szerkezete

8. Mohó algoritmusok. 8.1. Egy esemény-kiválasztási probléma. Az esemény-kiválasztási probléma optimális részproblémák szerkezete 8. Mohó algoritmusok Optimalizálási probléma megoldására szolgáló algoritmus gyakran olyan lépések sorozatából áll, ahol minden lépésben adott halmazból választhatunk. Sok optimalizálási probléma esetén

Részletesebben

A tér lineáris leképezései síkra

A tér lineáris leképezései síkra A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Cloud computing. Cloud computing. Dr. Bakonyi Péter.

Cloud computing. Cloud computing. Dr. Bakonyi Péter. Cloud computing Cloud computing Dr. Bakonyi Péter. 1/24/2011 1/24/2011 Cloud computing 2 Cloud definició A cloud vagy felhő egy platform vagy infrastruktúra Az alkalmazások és szolgáltatások végrehajtására

Részletesebben

Chomsky-féle hierarchia

Chomsky-féle hierarchia http://www.ms.sapientia.ro/ kasa/formalis.htm Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezetű), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.

Részletesebben

Cashback 2015 Deposit Promotion teljes szabályzat

Cashback 2015 Deposit Promotion teljes szabályzat Cashback 2015 Deposit Promotion teljes szabályzat 1. Definitions 1. Definíciók: a) Account Client s trading account or any other accounts and/or registers maintained for Számla Az ügyfél kereskedési számlája

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

FELADATMEGOLDÁSI SZOKÁSAINAK VIZSGÁLATA. Baranyai Tünde

FELADATMEGOLDÁSI SZOKÁSAINAK VIZSGÁLATA. Baranyai Tünde Volume 3, Number 1, 2013 3. kötet, 1. szám, 2013 A SZATMÁRNÉMETI TANÍTÓ- ÉS ÓVÓKÉPZŐS HALLGATÓK FELADATMEGOLDÁSI SZOKÁSAINAK VIZSGÁLATA THE EXAMINATION OF TEACHER TRAINING COLLEGE STUDENTS PROBLEM-SOLVING

Részletesebben

Az univerzális gráf. 1. Bevezet. Maga Péter, Pongrácz András

Az univerzális gráf. 1. Bevezet. Maga Péter, Pongrácz András Az univerzális gráf Maga Péter, Pongrácz András 1. Bevezet A véletlen gráfok elméleti és gyakorlati jelent sége egyaránt számottev. Az ismeretségi hálózatok, az internetes weboldalak kapcsolatrendszere

Részletesebben

A BÜKKI KARSZTVÍZSZINT ÉSZLELŐ RENDSZER KERETÉBEN GYŰJTÖTT HIDROMETEOROLÓGIAI ADATOK ELEMZÉSE

A BÜKKI KARSZTVÍZSZINT ÉSZLELŐ RENDSZER KERETÉBEN GYŰJTÖTT HIDROMETEOROLÓGIAI ADATOK ELEMZÉSE KARSZTFEJLŐDÉS XIX. Szombathely, 2014. pp. 137-146. A BÜKKI KARSZTVÍZSZINT ÉSZLELŐ RENDSZER KERETÉBEN GYŰJTÖTT HIDROMETEOROLÓGIAI ADATOK ELEMZÉSE ANALYSIS OF HYDROMETEOROLIGYCAL DATA OF BÜKK WATER LEVEL

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT II. 135 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT II. 135 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT II. 135 perc A feladatok megoldására 135 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II/B

Részletesebben

Expansion of Red Deer and afforestation in Hungary

Expansion of Red Deer and afforestation in Hungary Expansion of Red Deer and afforestation in Hungary László Szemethy, Róbert Lehoczki, Krisztián Katona, Norbert Bleier, Sándor Csányi www.vmi.szie.hu Background and importance large herbivores are overpopulated

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

Regional Expert Meeting Livestock based Geographical Indication chains as an entry point to maintain agro-biodiversity

Regional Expert Meeting Livestock based Geographical Indication chains as an entry point to maintain agro-biodiversity How Code of Practice can address the question of biodiversity (indigenous breeds, peculiarities of feeding, rearing traditional or marginalized systems)? Rendek Olga, Kerekegyháza 2009 október 20. 1 2

Részletesebben

A kreativitás fejlesztése I/A. (átkelés a hídon) Improving creativity I/A. (Bridge and torch problem)

A kreativitás fejlesztése I/A. (átkelés a hídon) Improving creativity I/A. (Bridge and torch problem) Improving creativity I/A. (Bridge and torch problem) Kiss László főiskolai docens Óbudai Egyetem, Rejtő Sándor Könnyűipari és Környezetmérnöki Kar, Médiatechnológai és Könnyűipari Intézet (ÓE RKK MKI)

Részletesebben

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.)

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) 22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) A) A PERMUTÁCIÓK CIKLIKUS SZERKEZETE 1. feladat: Egy húsztagú társaság ül az asztal körül. Néhányat közülük (esetleg az összeset) párba állítunk, és a párok

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

Honlap szerkesztés Google Tudós alkalmazásával

Honlap szerkesztés Google Tudós alkalmazásával Dr. Mester Gyula Honlap szerkesztés Google Tudós alkalmazásával Összefoglaló: A közlemény tematikája honlap szerkesztés Google Tudós alkalmazásával. A bevezetés után a tudományos teljesítmény mérésének

Részletesebben

MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-ALFÖLDI RÉGIÓBAN 2010

MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-ALFÖLDI RÉGIÓBAN 2010 MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-ALFÖLDI RÉGIÓBAN 2010 KONFERENCIA ELŐADÁSAI Nyíregyháza, 2010. május 19. Szerkesztette: Edited by Pokorádi László Kiadja: Debreceni Akadémiai Bizottság Műszaki Szakbizottsága

Részletesebben

23. Kombinatorika, gráfok

23. Kombinatorika, gráfok I Elméleti összefoglaló Leszámlálási alapfeladatok 23 Kombinatorika, gráfok A kombinatorikai alapfeladatok esetek, lehetőségek összeszámlálásával foglalkoznak Általában n jelöli a rendelkezésre álló különbözőfajta

Részletesebben

T Á J É K O Z T A T Ó. A 1108INT számú nyomtatvány a http://www.nav.gov.hu webcímen a Letöltések Nyomtatványkitöltő programok fülön érhető el.

T Á J É K O Z T A T Ó. A 1108INT számú nyomtatvány a http://www.nav.gov.hu webcímen a Letöltések Nyomtatványkitöltő programok fülön érhető el. T Á J É K O Z T A T Ó A 1108INT számú nyomtatvány a http://www.nav.gov.hu webcímen a Letöltések Nyomtatványkitöltő programok fülön érhető el. A Nyomtatványkitöltő programok fület választva a megjelenő

Részletesebben

MEZŐGAZDASÁGI HULLADÉKOT FELDOLGOZÓ PELLETÁLÓ ÜZEM LÉTESÍTÉSÉNEK FELTÉTELEI

MEZŐGAZDASÁGI HULLADÉKOT FELDOLGOZÓ PELLETÁLÓ ÜZEM LÉTESÍTÉSÉNEK FELTÉTELEI Multidiszciplináris tudományok, 2. kötet. (2012) 1 sz. pp. 115-120. MEZŐGAZDASÁGI HULLADÉKOT FELDOLGOZÓ PELLETÁLÓ ÜZEM LÉTESÍTÉSÉNEK FELTÉTELEI Szamosi Zoltán*, Dr. Siménfalvi Zoltán** *doktorandusz, Miskolci

Részletesebben

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása DEFINÍCIÓ: (Séta) A G gráf egy olyan élsorozatát, amelyben a csúcsok és élek többször is szerepelhetnek, sétának nevezzük. Egy lehetséges séta: A; 1; B; 2; C; 3; D; 4;

Részletesebben

Programozási segédlet

Programozási segédlet Programozási segédlet Programozási tételek Az alábbiakban leírtam néhány alap algoritmust, amit ismernie kell annak, aki programozásra adja a fejét. A lista korántsem teljes, ám ennyi elég kell legyen

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Hibridspecifikus tápanyag-és vízhasznosítás kukoricánál csernozjom talajon

Hibridspecifikus tápanyag-és vízhasznosítás kukoricánál csernozjom talajon Hibridspecifikus tápanyag-és vízhasznosítás kukoricánál csernozjom talajon Karancsi Lajos Gábor Debreceni Egyetem Agrár és Gazdálkodástudományok Centruma Mezőgazdaság-, Élelmiszertudományi és Környezetgazdálkodási

Részletesebben

Telefonszám(ok) +36-93-502-916 Mobil +36-30-396-8675 Fax(ok) +36-93-502-900. Egyetem u. 10., 8200 Veszprém. Tehetséggondozás (matematika)

Telefonszám(ok) +36-93-502-916 Mobil +36-30-396-8675 Fax(ok) +36-93-502-900. Egyetem u. 10., 8200 Veszprém. Tehetséggondozás (matematika) Europass Önéletrajz Személyi adatok Vezetéknév(ek) / Utónév(ek) Bujtás Csilla Telefonszám(ok) +36-93-502-916 Mobil +36-30-396-8675 Fax(ok) +36-93-502-900 E-mail(ek) Szakmai tapasztalat bujtas@dcs.vein.hu

Részletesebben

2. Local communities involved in landscape architecture in Óbuda

2. Local communities involved in landscape architecture in Óbuda Év Tájépítésze pályázat - Wallner Krisztina 2. Közösségi tervezés Óbudán Óbuda jelmondata: Közösséget építünk, ennek megfelelően a formálódó helyi közösségeket bevonva fejlesztik a közterületeket. Békásmegyer-Ófaluban

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben