Több mint egy változót jegyzünk fel a megfigyelési egységekről (objektumok).

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Több mint egy változót jegyzünk fel a megfigyelési egységekről (objektumok)."

Átírás

1 Többváltozós roblémák Több mint egy változót jegyzünk fel a megfigyelési egységekről (objektumok). Volt: Több magyarázó változó: többszörös regresszió, több faktoros ANOVA, ANCOVA. Most: több független változó, vagy több függő és független változó (vektor változók). l. 889 február.-én Rhode Island-en egy nagyvihar után 49 haldokló verebet vittek be a Brown Egyetem biológiai laboratóriumába. Ezek után a madaraknak kb a fele elusztult, és Hermon Bumus ezt egy jó alkalomnak találta a természetes szelekció hatásának vizsgálatára. A madarak 5 testmérete sorrendben: teljes hossz, szárnytávolság, csőr és fej hossz, felkar hossz, mellcsont hossza. Ezek a változók most egy vektorváltozót alkotnak. Eloszlás: általában többváltozós normális. Közéontja: centroid, várható érték vektor. Várható érték: μ x μ x μ= és ennek becslése a mintából: x = M M μ x 3

2 A szórás helyett kovariancia mátrix : cov(x,y)= μ{(x-μ(x))(y-μ(y))} Ha X=Y, akkor a kovariancia a változó varianciája. cov σ cov, X = M cov, ( ) ( X) ( X X) ( X X ) σ ( X ) cov,... ( X X ) σ ( X ) n n-ed rendű mátrix, szimmetrikus, és nincs negatív sajátértéke. A korrelációs mátrix, ha: n. R(X,Y) = μ{(x-μ(x))(y-μ(y))}/{σ(x)σ(y)}, RX R( X ) = M RXn A verebek esetén: teljes hossz (, X) (, X) szarnytavolsag csor es fej hossz felkar hossz mellcsont hossza ( X) RX,... Mean Variance

3 > var(vereb[,:6]) X X X3 X4 X5 X X X X X > cor(vereb[,:6]) X X X3 X4 X5 X X X X X Ha csoortokat alkotnak a megfigyelési egységek, akkor itt is lehet csoortok közötti (between grous) és csoortokon belüli kovariancia mátrixokról beszélni. A módszereknél általában feltétel a csoortokon belüli kovariancia mátrixok egyezősége. 5

4 Többváltozós roblémák. Verebek a viharban TULEL Grou Total nem elte tul a vihart tulelte a vihart Count Maximum Mean Median Minimum Std Deviation Count Maximum Mean Median Minimum Std Deviation Variance Count Maximum Mean Median Minimum Std Deviation Variance teljes csor es fej felkar mellcsont hossz szarnytavolsag hossz hossz hossza Variance Milyen kérdéseket lehet feltenni? Milyen kacsolatban vannak egymással a mért változók? Túlélők, nem túlélők átlagai, szórásai különböznek-e? (Variancia-analízis, F-róba, Levene róba) Ha a túlélők és nem túlélők különböznek a mért változók eloszlásai szemontjából, akkor lehetséges-e konstruálni egy olyan függvényét ezeknek a változóknak, amely szétválasztja a két csoortot. Ha ez nagy a túlélőkre és kicsi a nem túlélőkre, akkor ez lehetne a darwini fitnesszre egy index. 6

5 . Egyitomi koonyák Thébából származó férfi koonyák 5 korszakból. Mindegyikből darab.. Korai redinasztikus kor (4000 ie). Késő redinasztikus kor (3300 ie) dinasztia (850 ie) 4. Ptolemaioszi kor (00 ie) 5. Római kor (50 iu) Milyen kacsolatban van a 4 mért érték egymással? Van-e szignifikáns differencia a mintaátlagok illetve szórások között, és ha igen, akkor ez tükrözi-e fokozatos időbeli változást? Lehetséges-e konstruálni egy f függvényét a 4 változónak, amely valamilyen értelemben visszatükrözi a minták közti különbségeket? 7

6 DINASZT.00 Count X X X3 X Maximum Mean Minimum Std Err of Mean Std Deviation Variance Count Maximum Mean Minimum Std Err of Mean Std Deviation Variance Count Maximum Mean Minimum Std Err of Mean Std Deviation Variance Count Maximum Mean Minimum Std Err of Mean Std Deviation Variance Count Maximum Mean Minimum Std Err of Mean Std Deviation Variance

7 Alavető technika: eredeti változók olyan lineáris kombinációját létrehozni, ami összegzi az eredeti adathalmaz varianciáját. Az eredeti adatok: Objektum X X... X x x... x x x... x M n x n x n x n Zi = aix + aix aix Az ilyen függvényeket szokták diszkriminancia függvényeknek, főkomonenseknek, kanonikus függvényeknek, faktoroknak nevezni. analógia: regressziós függvény Időnként még egy lusz konstans is van benne, ekkor: Z = a + a X + a X a i i0 i i i X (Megj: ha az adatok standardizáltak, akkor a konstans 0.) A látens (extracted) változók általános tulajdonságai: az első magyarázza a variancia legnagyobb részét, a második a maradékból a legnagyobb részt, stb.; nem korreláltak, merőlegesek-függetlenek számuk = (a régi változók száma) megj.: csak néhányat tartunk meg belőlük. 9

8 Sajátértékek, sajátvektorok Eredeti össz variancia: S(cov(X))= λ. Ha a változók standardizáltak, akkor i= i λ =. i= Sajátvektorok: új változók együtthatói, az a ij -k. > eigen(cor(vereb[,:6])) $values [] $vectors [,] [,] [,3] [,4] [,5] [,] [,] [3,] [4,] [5,] Hogy lehet a sajátértékeket sajátvektorokat kiszámítani?. Asszociációs mátrix s.é.-ei, s.v.-ai: sektrál felbontás. Az eredeti vagy a standardizált adatmátrix szinguláris érték felbontásával. (Kontingencia táblákra is működik.) R-mode analízis: a változók cov vagy R mátrixából indulunk ki. szkór (score): új változókból számítjuk ki a megfigyelési egységekre. Q-mode analízis: a megfigyelési egységek cov vagy R mátrixából indulunk ki, az objektumok lin. komb.-jait kajuk. i 30

9 (mátrix algebrával összekacsolhatók) A Q-mode analízis különbségi mértékeken alaul (dissimilarity measures) s.é., s.v. számítás: kanonikus korreláció analízis, főkomonens analízis és korresondencia analízis Ha az objektumok csoortokat alkotnak, akkor úgy lehet kiszámítani a komonenseket, hogy azok a csoortok közötti különbségeket a leginkább kihangsúlyozzák: MANOVA, diszkriminancia elemzés. 3

10 Többváltozós exloratív elemzés Többváltozós grafikonok Szokásos egyváltozósak. Chernoff arcok, csillagok 3

11 >stars(vereb[,:6]) Szórásdiagram mátrix. >airs(vereb[,:6]) 33

12 Szórás diagram az új, látens változókkal. Kétváltozós boxlot 34

13 35

14 Töbváltozós távolságok, hasonlóságok Hasonlósági mértékek (similarity measures): mennyire hasonlóak az objektumok: korreláció Különbözőségi mértékek (dissimilarity measures): többváltozós távolság. Többváltozós roblémák - egyedi megfigyelések, minták, illetve oulációk közötti távolságok. Egyedi megfigyelések közti távolságok: Legegyszerűbb eset: n egyeden változót X, X,..., X mérünk. Az i-edik egyed mért értékei: xi, xi,..., xi, a j-ediké: xj, xj,..., xj. Ha =, akkor a két ont távolságát a Pitagorasz tétel alaján számíthatjuk: dij = ( xi xj) + ( xi xj) Több változó esetére is működik: ( ) d = x x ij ik jk k= Euklideszi távolság. Ha egy változó sokkal variabilisebb a többinél, akkor az dominálja a távolságot. Standardizálás.. 36

15 l. Thaiföldi rehisztorikus kutyák kb ie 3500-ból származó kutyacsontokat találtak. Nem világos, hogy honnan származtatható a rehisztorikus kutya, az arany sakáltól (Canis aureus), vagy a farkastól. Az eredet kiderítése végett méréseket végeztek az alsó állkaocs csontokon, illetve más fajták állkacsán. A mért változók: X - az állkaocs szélessége, X - az állkaocs magassága az első záfog alatt, X 3 - az első záfog hossza, X 4 - az első záfog szélessége, X 5 - az első és harmadik záfog közötti távolság (beleértve a záfogakat is), X 6 - az első és negyedik záfog közötti távolság (beleértve a záfogakat is). A mérések átlagai: X X X 3 X 4 X 5 X 6 Modern kutya Arany sakál Kínai farkas Indiai farkas Kujon Dingó Prehisztorikus kutya Forrás: Higham et al. (980). 37

16 A standardizált értékek X X X 3 X 4 X 5 X 6 Modern kutya Arany sakál Kínai farkas Indiai farkas Kujon Dingó Prehisztorikus kutya :Modern kutya :Arany sakal 3:Kinai kutya 4:Indiai kutya 5:Kujon 6:Dingo 7:Prehisztorikus kutya This is a dissimilarity matrix Proximity Matrix Euclidean Distance :Modern :Arany 3:Kinai 4:Indiai 7:Prehisztorikus kutya sakal kutya kutya 5:Kujon 6:Dingo kutya Ez is négyzetes mátrix, szimmetrikus és 0-ák vannak az átlóban. City-block (Manhattan) távolság: d ij = k= x ik x jk. Hasonló eredményt ad az előzőhöz, de nem olyan érzékeny az outlierekre. Csebisev (Chebychev) távolság: 38

17 Ha csak dimenzióban nézzük a különbséget. d ij = max x k ik x jk Hatvány (Power, Costumized) távolság:ha a növelni vagy csökkenteni akarjuk azoknak a dimenzióknak a súlyát, amelyek esetén különböznek az objektumok: d Az n és r értékét mi választhatjuk meg. ij = k= Az n az egyedi dimenziók közötti távolságokat súlyozza, az r edig az egyes megfigyelt egyedek közöttieket. Ha n = r, akkor Minkowsky távolságnak nevezzük. Bray-Curtis (Kulczynski): faj abudancia adatok esetén használatos. Gyakorisági értékek esetén: Chi-négyzet (Chi-square). A szokásos módon számolt χ -érték. Phi-négyzet (Phi-square) Az előző normalizálva. Jaccard e.h.: bináris skálán mért (rezencia, abszencia) adatokra. a a + b + c a azoknak a változóknak a száma, amelyek esetén egyik objektum értéke sem 0 b ahol az egyik 0, c ahol a másik 0. x ik y jk n r. 39

18 Gower e.h.: lehetnek folytonos és kategoriális változók is. Dissim. mértékek tulajdonságai: metrikusság: háromszög készíthető a 3 ont áronkénti távolságaiból. Általában ilyenek, Bray-Curtis nem. MDA-nál lényeges tulajdonság. 40

19 Mikor melyiket használjuk? Ha a változók hasonló skálán mértek és nincs 0 értékük, akkor Euklideszi, City-block. Ha nem hasonló a skála, akkor először standardizálni kell! Fajok abundanciája esetén olyan kell, amely maximális akkor, ha nincs közös faj a két mintavételi egységen: Bray-Curtis, Kulczynski jó. Távolsági mátrixok összehasonlítása Mantel-teszt l.: genetikus távolságok - földrajzi, időbeli távolságok. Távolságok oulációk és minták között Mahalanobis távolság: v rs D ij ri rj r= s= rs ( ) v ( si sj ) = μ μ μ μ, ahol a kovariancia mátrix inverzének az r-edik sorában és s- edik oszloában álló eleme. Máské: = μ μ C μ μj kvadratikus alak, ahol ( ) ( ) D ij i j i 4

20 μi μ i μi =, az i-edik ouláció várható érték vektora. C a M μ i kovariancia mátrix. Használható egy egyednek a ouláció közéontjától mért távolságának mérésére is: rs ( ) ( ) Dij = xr μr v xs μ s, r= s= ahol az egyeden mért értékek: x, x,..., x és a megfelelő ouláció átlagok: μ, μ,..., μ. Úgy tekinthető, mint az x megfigyelés többváltozós reziduuma, azaz, hogy milyen messze van x az összes változó eloszlásának közéontjától. Figyelembe veszi a változók közti korrelációt is. Ha a ouláció többváltozós normális eloszlást követ, akkor χ eloszlású szabadsági fokkal. Ha D értéke szignifikánsan nagy (P<0.00), akkor a megfigyelésünk vagy hibás, vagy egy extremális megfigyelés. A ouláció átlagokat és a kovariancia mátrixot a mintából becsülhetjük. D 4

21 l. Az egyitomi koonya minták közötti távolságok: Covarian Correlati X X X3 X4 X X X3 X4 Pooled Within-Grous a. The covariance matrix has 45 degrees X X X3 X E E E E a Grou Statistics DINASZT Total X X X3 X4 X X X3 X4 X X X3 X4 X X X3 X4 X X X3 X4 X X X3 X4 Std. Valid N (listwise) Mean Deviation Unweighted Weighted A Mahalanobis távolságok: 43

22 Dinasztia megj: Az ún. Mantel teszttel lehet mérni két távolság mátrix hasonlóságát. Ebben az esetben éldául azt, hogy a dinasztiák távolságainak mátrixa korrelál-e az időbeli távolságok mátrixával. (igen) 44

23 Standardizálás, transzformációk A transzformációk ugynúgy mennek, mint egyváltozós esetben. Itt még fontosabbak a linearitás miatt. Standardizálás átskálázás. Centrálás: kivonjuk minden változó átlagát, így az átlag 0 lesz. (Sektrál felbontás esetén tulajdonkéen a centrált adatok kovariancia mátrixával dolgozunk.) Standardizálás: korrelációs mátrix standardizált adatok kovariancia mátrixa. Relatív értékek (arányok): legnagyobb értékkel osztjuk az összeset. Megfigyelési egységeket is lehet standardizálni. Abundancia adatoknál fontos, ha a megfigyelési egységek mérete különböző. (arányok) 0,-é is lehet konvertálni. Sokszor hasznos lehet különböző módokon standardizálni és összehasonlítani az eredményeket: eredeti standardizált 0, eredeti: legnagyobb abundanciájú mit befolyásol 0, : rezencia, abszenciától mi függ. Asszociációs mértékek imlicit módon standardizáltak. 45

24 Az, hogy a kovariancia vagy korrelációs mátrixot használjuk attól függ, hogy a varianciák különbsége fontos-e biológiai szemontból. 46

25 Hiányzó adatok MCAR-missing comletely at random: független mind a megfigyelt adatoktól, mind a többi hiányzótól. Random részhalmaza az adatoknak. MAR lehet, hogy függ a csoorttól, hogy hiányzik-e. Mit tegyünk a hiányzó adatokkal?. Objektum törlése (deletion): legjobb megoldás, ha kevesebb, mint 5% hiányzik és MCAR Információ vesztés listwise deletion esetén. Ha az analízis áronkénti (airwise) asszociációkon alaul (kovariancia, korreláció), akkor airwise deletion. Csak akkor töröljük, ha éen azokkal a változókkal dolgozunk, amelyiknél hiányzik a megfigyelés. Imutáció Helyettesítés becsléssel. Módszerek:. átlaggal (változó értékeiből számolt\na) A varianciát alulbecsüli.. Regressziós modellel. Más változókkal becsüljük, l. a legjobban korrelált változót vagy változókat választjuk rediktornak.) 3. Hot-deck: Hasonló objektum értékével helyettesítjük. Problémák: függetlenség sérül; varianciát alulbecsli. 47

26 Maximum likelihood (ML) és EM becslés ML : araméter becslés a megfigyelt, nem teljes adatokból, majd a modellből becsüljük a hiányzó adatokat. Felhasználja a megfigyelt adatok eloszlását és a hiányzó adatok mintázatát. Iteratív imutáció + ML : Exectation Maximization ML araméter becslés hiányzó adatok ML araméterbecslés hiányzó adatok..., amíg nem konvergál. ML és EM feltétele a MAR. 48

27 Többváltozós adatelemzés SPSS-sel Előkészületek: Adatok megjelenítése: SPSS Grahics SPSS Frequency Hiányzó adatok elemzése (Missing data analysis) : Ellenőrizzük, hogy létezik-e mintázat (randomnak kell lennie) Kategoriális változó esetén: Ha Missing < 5%, List-wise otion Ha >=5%, akkor a hiányzó értékek kerüljenek egy új kategóriába Mért változó esetén: Ha Missing < 5%, List-wise otion 5% és 5% között : Transform>Relace Missing Value. (5%-nál kevesebb adat behelyettesítésének nincs túl komoly hatása Ha > 5%, akkor töröljük a változót, vagy a megfigyelési egységet (ismételt mérések esetén) Kiugró értékek ellenőrzése (Outlier-ek) : (Általában a statisztikai eljárások érzékenyek az outlier-ekre.) 49

28 Egyváltozós eset: boxlot Többváltozós eset: Mahalanobis távolság (Khi-négyzet statisztika), egy ont akkor outlier, ha a -érték <.00. o Az eset azonosítója (dummy variable) : Deendent, a többi változó: Indeendent o Save>Mahalanobis Kezelés: Töröljük az esetet Közöljünk két elemzést (egyet az outlier-rel, egyet edig nélküle) Normalitás: Egyváltozós normalitás tesztek: Q-Q lot Skewness és Kurtosis Tesztek Többváltozós normalitás tesztelése: A szórásdiagrammoknak ellitikusaknak kell lennie Minden változónak normálisnak kell lennie Linearitás: A linearitás ellenőrzése Reziduális lot regresszió esetén Szórásdiagrammok 50

29 Homoscedasticity: a kovariancia mátrixoknak a csoortokban meg kell egyeznie: Tesztelése: Box s M test Érzékeny a normalitásra Levene teszt: a csoort varianciák egyezőségének vizsgálata. Nem annyira érzékeny a normalitásra 5

30 Emlékeztető: ANOVA Az egyfaktoros ANOVA a o. átlagok egyezőségét teszteli Feltételek: független megfigyelések; normalitás; varianciák homogenitása Két faktoros ANOVA 3 hiotézis teszttel szimultán: Interakció a két faktor között A két faktor hatásának tesztelése Emlékeztető: ANCOVA A függő változó értéke folytonos független változótól (kovariáns) is függhet. Kovariánsok hatásának figyelembe vétele illetve becslése. A reguláris ANOVA feltételein túl követelmény még: Lineáris kacsolat a függő változó és a kovariánsok között MANOVA Tulajdonságok: Hasonló az ANOVÁ-hoz Több függő változó A függő változók korreláltak és a lineáris kombinációnak értelme van. Azt teszteli, hogy k oulációban a független változók egy lineáris kombinációjának átlagai különböznek-e. Alaötlet: találjunk egy olyan lineáris kombinációt, amely otimálisan szearálja a csoortokat, azaz olyat amely 5

31 maximalizálja a hiba (within grou) variancia/kovariancia mátrix és a hatás (between grou) variancia/kovariancia mátrix hányadosát. (Ez ugyanaz, mint amit a diszkriminancia elemzésnél használunk.) Ennek a kombinációnak a standardizált együtthatói megmondják, hogy melyik változó milyen súllyal szereel a szearálásban. Előnyök: Annak az esélye, hogy különbségeket találunk a csoortok között, nagyobb, ahhoz kéest, mintha minden változóra egyenként ANOVÁ-t csinálnánk. Nem inflálódik az elsőfajú hiba. Több ANOVA elvégzése nem veszi figyelembe azt, hogy a független változók korreláltak. Hátrányok: Bonyolultabb, Az ANOVA gyakran nagyobb hatóerejű. Sokkal komlikáltabb kísérleti elrendezést igényel. Kétségek merülhetnek fel, hogy valójában mely független változók mely függő változók értékét befolyásolják. Minden lusz függő változó szabadsági fokkal kevesebbet jelent. Feltételek: Független minták, Többváltozós normális eloszlás a csortokban A kovariancia mátrix homogenitása 53

32 Lineáris kacsolat a független változók között A MANOVA elvégzésének léései: Feltételek ellenőrzése Ha a MANOVA nem szignifikáns, sto Ha a MANOVA szignifikáns, egyváltozós ANOVÁk Ha az egyváltozós ANOVA szignifikáns, Post Hoc tesztek. Ha igaz a homoscedasticity, Wilks Lambda, ha nem Pillai s Trace. Általában mind a 4 statisztikának hasonlónak kell lennie. A MANOVA algoritmusa:. Az ANOVA négyzetösszegei helyett sums-of-squares-andcross-roducts (SSCP) mátrixok. Egy a hatásnak (between grous) megfelelő (H), egy edig a reziduális (within grous): E, és egy a teljesnek megfelelő (T).. Kiszámítjuk a HE - szorzatot (egyváltozós esetben ez az F érték). 3. Kiszámítjuk a HE - sektrál felbontását: sajátértékek, sajátvektorok. A s.é.-kek azt mutatják meg, hogy betweengrou varianciából a sajátvektorok vagy lineáris kombinációk mennyit magyaráznak. A s.v.-ok tartalmazzák a lineáris kombinációk együtthatóit. 4. Az a lineáris kombináció, amelyikhez a legnagyobb s.é. tartozik maximalizálja a between-grou/within-grou variancia hányadost. H 0 : a csoort centroidok megegyeznek. 54

33 Ez tesztelhető valamelyik variancia mérték segítségével (nyom, determináns:általánosított variancia). Wilk s lambda: E / T. A teljes variancia hányad része a reziduális. Minél kisebb, annál nagyobb a csoortok köztötti különbségek. Hotelling-Lawley trace: H / E. Ez ugyanaz, mint a HE - mátrix nyoma (sajátértékek összege). Nagyobb értékek nagyobb különbségeket indikálnak a csoort centroidok között. Pillai trace: A HT - nyoma, vagyis a between grous variancia. Roy s largest root: a HE - legnagyobb s.é.-e, vagyis ahhoz a lineáris kombinációhoz tartozó s.é. amely a between grous variancia-kovarianca legnagyobb részét magyarázza. Ezeknek a statisztikáknak az eloszlása nem teljesen ismert, közelítő F értékekké konvertálják ezeket. Két csoort esetén a Wilk s lambda, a Hotteling és Pillai féle érték megegyezik és megegyezik a Hotteling féle T statisztikával, ami a t-róba többváltozós kiterjesztése. Általában hasonló eredményeket rodukálnak több csoort esetén is. A Pillai trace a legrobosztusabb teszt. 55

34 MANCOVA Cél: Csoortok közötti különbség tesztelése független változók egy lineáris kombinációja alaján egy kovariáns figyelembe vételével. Példa: 3 területen élő őzek összehasonlítása a kor kovariáns figyelembe vételével. Reeated Measure Analysis Cél: csoortok közötti különbségek tesztelése, ha a megfigyelési egységeken többször mérünk. Feltétel: Független megfigyelések!! Helyette: Kevert modell 56

35 Diszkriminancia analízis Cél: egy olyan függvény létrehozása, amely alaján az egyedek két vagy több csoortba sorolhatók (a függvény értéke lényegesen változik csoortról csoortra). Később a függvényt új egyedek besorolására lehessen használni. l. verebek. A testméretek alaján besorolhatók-e a verebek a túlélők ill. nem túlélők közé (Mire emlékeztet ez a kérdés?!!): Lineáris diszkriminancia függvény: Z = ax + ax a X Ha Z értéke jelentősen változik csoortról csoortra, akkor a csoortok jól szearálhatók. Több függvény is konstruálható. A függvény úgy vetíti le a csoortokat egy alacsonyabb dimenziós térbe, hogy azok eloszlásai a legkisebb mértékben fedjék át egymást. A MANOVA inverze. A MANOVA ugyanezt a függvényt használja. Kétféle cél:. Prediktív diszkriminancia analízis (generáljunk egy szabályt, amely alaján csoortokba sorolhatunk).. Leíró analízis: a függő változó és a független változók kacsolatát vizsgáljuk. Hogyan működik?. Feltételezzük, hogy a célouláció egymást kizáró rész oulációkból áll.. Feltételezzük, hogy a független változóink többváltozós normális elsozlást követnek 57

36 3. Megkeressük azt a lineáris kombinációt, amely a legjobban szearálja a csoortokat. 4. Ha k csoortunk van, akkor k- diszkriminancia függvényt készítünk. 5. Minden függvényre kiszámítjuk a diszkriminancia szkórokat. 6. Ezeket a szkórokat használjuk a klasszifikáláshoz. Klasszifikálási módok: ML ahhoz a csoorthoz sorolja be, amelynek legnagyobb a valószínűsége. Fisher (lineáris) klasszifikáló függvény: abba a csoortba sorolja be, amely esetén a csoorthoz tartozó függvény szkórja a legnagyobb. Diszkriminálás Mahalanobis távolságokkal: Kiszámítjuk az egyedek Mahalanobis távolságát a csoort centroidoktól, és abba soroljuk be, amelyhez a legközelebb van. Megjegyzés: az SPSS a Maximum likelihood módszert használja. Logisztikus regresszió vagy diszkriminancia analízis? Ha a magyarázó változók normális eloszlásúak, akkor a DA jobb. Ha kategoriális változóink is vannak, akkor a DA akkor rosszabb, ha a kategóriák száma nagyon kicsi (, 3). Ezekben az esetekben a LR eredménye hasonló a DA-éhoz, legfeljebb egy kicsit rosszabb (ha a mintaelemszám aránylag kicsi). Ha a DA feltételei nem teljesülnek, mindenkéen a LR-t kell használni. Az LR nem eloszlás függő. 58

37 Őzes élda oututja: terület Árádhalom Babat Pitvaros Pooled within-grous Log Determinants Log Rank Determinant The ranks and natural logarithms of determinants rinted are those of the grou covariance matrices. Általánosított variancia logaritmusa. Ha közel egyenlőek, akkor valószínűleg nincs nagy gond. Test Results Box's M F Arox. df df Sig Tests null hyothesis of equal oulation covariance matrices. Function Eigenvalues Canonical Eigenvalue % of Variance Cumulative % Correlation.866 a a a. First canonical discriminant functions were used in the analysis. A HE - mátrix s.é.-ei és a megfelelő variancia hányadok. A Canonical correlation egy asszociációs mérték a diszkriminancia szkórok és a csoortok között. Wilks' Lambda Test of Function(s) through Wilks' Lambda Chi-square df Sig

38 A Wilks Lambda a varianciából a csoortok különbözősége által nem magyarázott hányad. A szignifikancia szint a diszkriminancia fv. szignifikanciáját mutatja. Z Canonical Discriminant Function Coefficients Function teljes hossz orrtól farok végéig marmagasság köröm végéig szív súlya jobb vese súlya ln_vesezsir (Constant) Unstandardized coefficients = 0.07 testh marm szivs 0.08 veses ln_ ve Ezekkel a fv.ekkel tudunk szkórokat számolni minden esethez. Functions at Grou Centroids terület Árádhalom Babat Pitvaros Function Unstandardized canonical discriminant functions evaluated at grou means A fv értékek a csoort centroidok esetén. Standardized Canonical Discriminant Function Coefficients teljes hossz orrtól farok végéig marmagasság köröm végéig szív súlya jobb vese súlya ln_vesezsir Function

39 Az egyes változók fontosságát? mutatják az egyes diszkriminancia függvényekben. (Nagyon korrelált változók esetén nehéz interretálni.) szív súlya teljes hossz orrtól farok végéig ln_vesezsir jobb vese súlya marmagasság köröm végéig Structure Matrix Function.753*.503.7*.50.58* * * Pooled within-grous correlations between discriminating variables and standardized canonical discriminant functions Variables ordered by absolute size of correlation within function. *. Largest absolute correlation between each variable and any discriminant function A diszkriminancia függvények és az eredeti változók korrelációi. Az első függvény a szívsúllyal, a teljes hosszal és a vesezsírral korrelál, míg a másik a jobb vese súlyával és a marmagassággal. Classification Function Coefficients terület Árádhalom Babat Pitvaros teljes hossz orrtól farok végéig marmagasság köröm végéig szív súlya jobb vese súlya ln_vesezsir (Constant) Fisher's linear discriminant functions A Fisher féle fv-ek. Amelyik csoort esetén a legnagyobb az értéke, abba sorolja be. 6

40 Original Count % terület Árádhalom Babat Pitvaros Árádhalom Babat Pitvaros Classification Results a Predicted Grou Membershi a. 76.7% of original groued cases correctly classified. Árádhalom Babat Pitvaros Total Canonical Discriminant Functions 4 terület Árádhalom Babat Pitvaros Grou Centroid Function 0 Babat Pitvaros Árádhalom Function 6

41 63

42 Adatredukció (Ordináció) Főkomonens analízis (PCA) Felfedező adatelemzésben használatos. Adathalmaz kényelmesebb és informatívabb ábrázolása, dimenziószám csökkentése, fontos változók beazonosítása. Cél: Van változónk: X, X,..., X és keressük ezeknek olyan Z, Z,..., Z kombinációit (főkomonensek), amelyek nem korreláltak. A korrelálatlanság azt jelenti, hogy az új változók az adatok különböző dimenzióit mérik. ( Z ) ( Z )... ( Z ) σ σ σ Remény: a legtöbb főkomonens szórása olyan kicsi, hogy elhanyagolhatók, így az adatokban meglévő változatosság néhány főkomonenssel jól leírható. Ha az eredeti változók egyáltalán nem korreláltak, az analízis semmit nem csinál. Legjobb eredmény: nagyon korrelált változók esetén. Adatok: Egyed X X... X x x... x x x... x M n x n x n x n 64

43 A főkomonensek: Zi = aix + aix aix a + a a = i i i ( ) ( ) ( ) és σ Z σ Z... σ Z. A főkomonensek varianciái az adatok kovariancia mátrixának sajátértékei (λ i ), az együtthatói edig a megfelelő sajátértékhez tartozó sajátvektor együtthatói. Ha a kovarianciamátrix: c c... c c c... c C =, M M M c c c akkor λ + λ λ = c + c c = σ ( X) + σ ( X ) σ ( X ) Céls zerű az adatokat standardizálni az analízis előtt. Ekkor a kovariancia mátrix megegyezik korrelációs mátrixszal. Feltételek: Normalitás nem feltétel, de a nagyon ferde eloszlás ronthatja az eredményt. A normalitás csak tesztek esetén szükséges. Linearitás. Ne legyenek outlierek. 65

44 Példa: Őzek: teljes súly teljes hossz orrtól farok végéig marmagasság köröm végéig törzs hossza ocak körkörös mérete hátsó láb hossza körömtől gerincig szív súlya lé súlya jobb vese súlya recés gyomor súlya kaja nélkül Communalities Initial Extraction Extraction Method: Princial Comonent Analysis. Azt mutatja meg, hogy a főkomonensek mennyit magyaráznak az egyes változókból. Az Initial azt jelenti, hogy az összes főkomonens együtt mennyit magyaráz, az Extraction edig azt, hogy az extraktolt főkomonensek mennyit. (A főkomonensek (magyarázó változók) és a megfelelő változó többszörös korrelációs együtthatójának négyzete.) Total Variance Exlained Initial Eigenvalues Extraction Sums of Squared Loadings Rotation Sums Comonent Total % of Variance Cumulative % Total % of Variance Cumulative % Total % of Extraction Method: Princial Comonent Analysis. A korrelációs/kovariancia mátrix s.é.-ei, és a megfelelő variancia hányadok. 66

Több mint egy változót jegyzünk fel a megfigyelési egységekről (objektumok).

Több mint egy változót jegyzünk fel a megfigyelési egységekről (objektumok). Többváltozós problémák Több mint egy változót jegyzünk fel a megfigyelési egységekről (objektumok). Volt: Több magyarázó változó: többszörös regresszió, több faktoros ANOVA, ANCOVA. Most: több független

Részletesebben

Hátrányok: A MANOVA elvégzésének lépései:

Hátrányok: A MANOVA elvégzésének lépései: MANOVA Tulajdonságok: Hasonló az ANOVÁ-hoz Több függő változó A függő változók korreláltak és a lineáris kombinációnak értelme van. Azt teszteli, hogy k populációban a függő változók egy lineáris kombinációjának

Részletesebben

Standardizálás, transzformációk

Standardizálás, transzformációk Standardizálás, transzformációk A transzformációk ugynúgy mennek, mint egyváltozós esetben. Itt még fontosabbak a linearitás miatt. Standardizálás átskálázás. Centrálás: kivonjuk minden változó átlagát,

Részletesebben

Diszkriminancia-analízis

Diszkriminancia-analízis Diszkriminancia-analízis az SPSS-ben Petrovics Petra Doktorandusz Diszkriminancia-analízis folyamata Feladat Megnyitás: Employee_data.sav Milyen tényezőktől függ a dolgozók beosztása? Nem metrikus Független

Részletesebben

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése 4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól

Részletesebben

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell Példa STATISZTIKA Egy gazdálkodó k kukorica hibrid termesztése között választhat. Jelöljük a fajtákat A, B, C, D-vel. Döntsük el, hogy a hibridek termesztése esetén azonos terméseredményre számíthatunk-e.

Részletesebben

Tárgy- és névmutató. C Cox & Snell R négyzet 357 Cramer-V 139, , 151, 155, 159 csoportok közötti korrelációs mátrix 342 csúcsosság 93 95, 102

Tárgy- és névmutató. C Cox & Snell R négyzet 357 Cramer-V 139, , 151, 155, 159 csoportok közötti korrelációs mátrix 342 csúcsosság 93 95, 102 Tárgy- és névmutató A a priori kontraszt 174 175 a priori kritérium 259, 264, 276 adatbevitel 43, 47, 49 52 adatbeviteli nézet (data view) 45 adat-elôkészítés 12, 37, 62 adatgyûjtés 12, 15, 19, 20, 23,

Részletesebben

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Factor Analysis

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Factor Analysis Factor Analysis Factor analysis is a multiple statistical method, which analyzes the correlation relation between data, and it is for data reduction, dimension reduction and to explore the structure. Aim

Részletesebben

Statisztikai szoftverek esszé

Statisztikai szoftverek esszé Statisztikai szoftverek esszé Dávid Nikolett Szeged 2011 1 1. Helyzetfelmérés Adott egy kölcsön.txt nevű adatfájl, amely információkkal rendelkezik az ügyfelek életkoráról, családi állapotáról, munkaviszonyáról,

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

Varianciaanalízis 4/24/12

Varianciaanalízis 4/24/12 1. Feladat Egy póker kártya keverő gép a kártyákat random módon választja ki. A vizsgálatban 1600 választott kártya színei az alábbi gyakorisággal fordultak elő. Vizsgáljuk meg, hogy a kártyák kiválasztása

Részletesebben

Faktoranalízis az SPSS-ben

Faktoranalízis az SPSS-ben Faktoranalízis az SPSS-ben = Adatredukciós módszer Petrovics Petra Doktorandusz Feladat Megnyitás: faktoradat_msc.sav Forrás: Sajtos-Mitev 250.oldal Fogyasztók materialista vonásai (Richins-skála) Faktoranalízis

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Petrovics Petra Doktorandusz Többváltozós lineáris regressziós modell x 1, x 2,, x p

Részletesebben

Gyakorlat 8 1xANOVA. Dr. Nyéki Lajos 2016

Gyakorlat 8 1xANOVA. Dr. Nyéki Lajos 2016 Gyakorlat 8 1xANOVA Dr. Nyéki Lajos 2016 A probléma leírása Azt vizsgáljuk, hogy milyen hatása van a család jövedelmének a tanulók szövegértés teszten elért tanulmányi eredményeire. A minta 59 iskola adatait

Részletesebben

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei 1. a. Egy- vagy kétváltozós eset b. Többváltozós eset 2. a. Becslési problémák, hipotézis vizsgálat b. Mintázatelemzés 3. Szint: a. Egyedi b. Populáció

Részletesebben

Egyszempontos variancia analízis. Statisztika I., 5. alkalom

Egyszempontos variancia analízis. Statisztika I., 5. alkalom Statisztika I., 5. alkalom Számos t-próba versus variancia analízis Kreativitás vizsgálata -nık -férfiak ->kétmintás t-próba I. Fajú hiba=α Kreativitás vizsgálata -informatikusok -építészek -színészek

Részletesebben

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA)

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Klaszteranalízis Hasonló dolgok csoportosítását jelenti, gyakorlatilag az osztályozás szinonimájaként értelmezhetjük. A klaszteranalízis célja A klaszteranalízis alapvető célja, hogy a megfigyelési egységeket

Részletesebben

Heckman modell. Szelekciós modellek alkalmazásai.

Heckman modell. Szelekciós modellek alkalmazásai. Heckman modell. Szelekciós modellek alkalmazásai. Mikroökonometria, 12. hét Bíró Anikó A tananyag a Gazdasági Versenyhivatal Versenykultúra Központja és a Tudás-Ökonómia Alapítvány támogatásával készült

Részletesebben

Korreláció és lineáris regresszió

Korreláció és lineáris regresszió Korreláció és lineáris regresszió Két folytonos változó közötti összefüggés vizsgálata Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi Fizika és Statisztika I. előadás 2016.11.02.

Részletesebben

Több valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció

Több valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció Tartalomjegzék Előszó... 6 I. Valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapok... 8 1. A szükséges valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapismeretek összefoglalása... 8 1.1. Alapfogalmak...

Részletesebben

2012. április 18. Varianciaanaĺızis

2012. április 18. Varianciaanaĺızis 2012. április 18. Varianciaanaĺızis Varianciaanaĺızis (analysis of variance, ANOVA) Ismételt méréses ANOVA Kérdések: (1) van-e különbség a csoportok között (t-próba általánosítása), (2) van-e hatása a

Részletesebben

STATISZTIKA I. Változékonyság (szóródás) A szóródás mutatószámai. Terjedelem. Forgalom terjedelem. Excel függvények. Függvénykategória: Statisztikai

STATISZTIKA I. Változékonyság (szóródás) A szóródás mutatószámai. Terjedelem. Forgalom terjedelem. Excel függvények. Függvénykategória: Statisztikai Változékonyság (szóródás) STATISZTIKA I. 5. Előadás Szóródási mutatók A középértékek a sokaság elemeinek értéknagyságbeli különbségeit eltakarhatják. A változékonyság az azonos tulajdonságú, de eltérő

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Matematikai geodéziai számítások 6. Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 6.: Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

Regresszió. Csorba János. Nagyméretű adathalmazok kezelése március 31.

Regresszió. Csorba János. Nagyméretű adathalmazok kezelése március 31. Regresszió Csorba János Nagyméretű adathalmazok kezelése 2010. március 31. A feladat X magyarázó attribútumok halmaza Y magyarázandó attribútumok) Kérdés: f : X -> Y a kapcsolat pár tanítópontban ismert

Részletesebben

Főkomponens és Faktor analízis

Főkomponens és Faktor analízis Főkomponens és Faktor analízis Márkus László 2014. december 4. Márkus László Főkomponens és Faktor analízis 2014. december 4. 1 / 34 Bevezetés - Főkomponens és Faktoranalízis A főkomponens és faktor analízis

Részletesebben

Minden az adatról. Csima Judit. 2015. február 11. BME, VIK, Csima Judit Minden az adatról 1 / 41

Minden az adatról. Csima Judit. 2015. február 11. BME, VIK, Csima Judit Minden az adatról 1 / 41 Minden az adatról Csima Judit BME, VIK, Számítástudományi és Információelméleti Tanszék 2015. február 11. Csima Judit Minden az adatról 1 / 41 Adat: alapfogalmak Adathalmaz elvileg bármi, ami információt

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

: az i -ik esélyhányados, i = 2, 3,..I

: az i -ik esélyhányados, i = 2, 3,..I Kabos: Adatelemzés Ordinális logisztikus regresszió-1 Többtényezős regresszió (az adatelemzésben): Y közelítése b 1 X 1 + b 2 X 2 +... + b J X J alakban, y n = b 1 x n,1 + b 2 x n,2 +... + b J x n,j +

Részletesebben

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Mi a modell? Matematikai statisztika. 300 dobás. sűrűségfüggvénye. Egyenletes eloszlás

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Mi a modell? Matematikai statisztika. 300 dobás. sűrűségfüggvénye. Egyenletes eloszlás ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 7. Előadás Egyenletes eloszlás Binomiális eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell /56 Matematikai statisztika Reprezentatív mintavétel

Részletesebben

Többtényezős regresszió (az adatelemzésben): log(ϑ i ) közelítése a i + b 1,i X 1 + b 2,i X b J,i X J alakban,

Többtényezős regresszió (az adatelemzésben): log(ϑ i ) közelítése a i + b 1,i X 1 + b 2,i X b J,i X J alakban, Kabos: Adatelemzés GLM példák-1 Többtényezős regresszió (az adatelemzésben): Y közelítése b 1 X 1 + b 2 X 2 +... + b J X J alakban, y n = b 1 x n,1 + b 2 x n,2 +... + b J x n,j + ε n, n = 1, 2,.., N, ahol

Részletesebben

Esetelemzések az SPSS használatával

Esetelemzések az SPSS használatával Esetelemzések az SPSS használatával 1. Tekintsük az spearman.sav állományt, amely egy harminc tehenet számláló állomány etetés- és fejéskori nyugtalansági sorrendjét tartalmazza. Vizsgáljuk meg, hogy van-e

Részletesebben

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October Biostatisztika VIII Mátyus László 19 October 2010 1 Ha σ nem ismert A gyakorlatban ritkán ismerjük σ-t. Ha kiszámítjuk s-t a minta alapján, akkor becsülhetjük σ-t. Ez további bizonytalanságot okoz a becslésben.

Részletesebben

Statisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 11. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Összefüggés vizsgálatok A társadalmi gazdasági élet jelenségei kölcsönhatásban állnak, összefüggnek egymással. Statisztika alapvető feladata: - tényszerűségek

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,

Részletesebben

H0 hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik)

H0 hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik) 5.4: 3 különböző talpat hasonlítunk egymáshoz Varianciaanalízis. hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik) hipotézis: Létezik olyan μi, amely nem egyenlő a többivel (Van

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Esetelemzés az SPSS használatával

Esetelemzés az SPSS használatával Esetelemzés az SPSS használatával A gepj.sav fileban négy különböző típusú, összesen 80 db gépkocsi üzemanyag fogyasztási adatai találhatók. Vizsgálja meg, hogy befolyásolja-e az üzemanyag fogyasztás mértékét

Részletesebben

Khi-négyzet eloszlás. Statisztika II., 3. alkalom

Khi-négyzet eloszlás. Statisztika II., 3. alkalom Khi-négyzet eloszlás Statisztika II., 3. alkalom A khi négyzet eloszlást (Pearson) leggyakrabban kategorikus adatok elemzésére használjuk. N darab standard normális eloszlású változó négyzetes összegeként

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok gyakorlat Pót zárthelyi dolgozat megoldás

Statisztikai programcsomagok gyakorlat Pót zárthelyi dolgozat megoldás Statisztikai programcsomagok gyakorlat Pót zárthelyi dolgozat megoldás A feladatok megoldásához használandó adatállományok: potzh és potolando (weboldalon találhatók) Az állományok kiterjesztése sas7bdat,

Részletesebben

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM.

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. STATISZTIKA 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. ANNA BÉLA CILI András hármas. Béla Az átlag 3,5! kettes. Éva ötös. Nóri négyes. 1 mérés: dolgokhoz valamely szabály alapján szám rendelése

Részletesebben

A magyarországi nonprofit szektorban dolgozók motivációjára káros hatások értékelésének elemzése többváltozós statisztikai módszerekkel

A magyarországi nonprofit szektorban dolgozók motivációjára káros hatások értékelésének elemzése többváltozós statisztikai módszerekkel A magyarországi nonprofit szektorban dolgozók motivációjára káros hatások értékelésének elemzése többváltozós statisztikai módszerekkel Kovács Máté PhD hallgató (komoaek.pte) Pécsi Tudományegyetem Közgazdaságtudományi

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft

Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft Gyak1: b) Mo = 1857,143 eft A kocsma tipikus (leggyakoribb) havi bevétele 1.857.143 Ft. c) Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft Gyak2: b) X átlag = 35 Mo = 33,33 σ = 11,2909 A = 0,16 Az

Részletesebben

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09 Orvosi

Részletesebben

Likelihood, deviancia, Akaike-féle információs kritérium

Likelihood, deviancia, Akaike-féle információs kritérium Többváltozós statisztika (SZIE ÁOTK, 2011. ősz) 1 Likelihood, deviancia, Akaike-féle információs kritérium Likelihood függvény Az adatokhoz paraméteres modellt illesztünk. A likelihood függvény a megfigyelt

Részletesebben

Klaszterelemzés az SPSS-ben

Klaszterelemzés az SPSS-ben Klaszterelemzés az SPSS-ben Petrovics Petra Doktorandusz Klaszteranalízis Olyan dimenziócsökkentő eljárás, amellyel adattömböket megfigyelési egységeket tudunk viszonylag homogén csoportokba sorolni, klasszifikálni.

Részletesebben

Ismételt méréses multifaktoriális varianciaanaĺızis (repeated measures MANOVA) 2012. szeptember 19.

Ismételt méréses multifaktoriális varianciaanaĺızis (repeated measures MANOVA) 2012. szeptember 19. Ismételt méréses multifaktoriális varianciaanaĺızis (repeated measures MANOVA) 2012. szeptember 19. Varianciaanaĺızis Adott egy parametrikus függő változó és egy vagy több kategoriális független változó.

Részletesebben

A vállalkozói aktivitást befolyásoló tényezők a kelet-közép-európai régiókban

A vállalkozói aktivitást befolyásoló tényezők a kelet-közép-európai régiókban A vállalkozói aktivitást befolyásoló tényezők a kelet-közép-európai régiókban tud. segédmunkatárs MRTT 13. vándorgyűlés Eger, 2015. november 19 20. A tanulmány elkészítésében az OTKA (NK 104985) Új térformáló

Részletesebben

Logisztikus regresszió

Logisztikus regresszió Logisztikus regresszió Bekövetkezés esélye Valószínűség (P): 0 és 1 közötti valós szám, az esemény bekövetkezésének esélyét fejezi ki. Fej dobásának esélye: 1:2 = 1 2 = 0,5. Odds/esélyérték (O): a tét

Részletesebben

Faktor- és fıkomponens analízis

Faktor- és fıkomponens analízis Faktor- és fıkomponens analízis Informatikai Tudományok Doktori Iskola Adatredukció Olyan statisztikai módszerek tartoznak ide, melyek lehetıvé teszik, hogy az adatmátrix méretét csökkentve kisebb költséggel

Részletesebben

Dr. Szőke Szilvia Dr. Balogh Péter: Nemparaméteres eljárások

Dr. Szőke Szilvia Dr. Balogh Péter: Nemparaméteres eljárások Dr. Szőke Szilvia Dr. Balogh Péter: Nemparaméteres eljárások Bevezetés A magas mérési szintű változók adataiból számolhatunk átlagot, szórást. Fontos módszerek alapulnak ezeknek a származtatott paramétereknek

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Regresszió Túlélésanalízis

Biometria az orvosi gyakorlatban. Regresszió Túlélésanalízis SZDT-09 p. 1/36 Biometria az orvosi gyakorlatban Regresszió Túlélésanalízis Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Logisztikus regresszió

Részletesebben

Döntési fák. (Klasszifikációs és regressziós fák: (Classification And Regression Trees: CART ))

Döntési fák. (Klasszifikációs és regressziós fák: (Classification And Regression Trees: CART )) Döntési fák (Klasszifikációs és regressziós fák: (Classification And Regression Trees: CART )) Rekurzív osztályozó módszer, Klasszifikációs és regressziós fák folytonos, kategóriás, illetve túlélés adatok

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Korreláció és Regresszió

Korreláció és Regresszió Korreláció és Regresszió 9. elıadás (17-18. lecke) Korrelációs együtthatók 17. lecke Áttekintés (korreláció és regresszió) A Pearson-féle korrelációs együttható Korreláció és Regresszió (témakörök) Kapcsolat

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

Korreláció és Regresszió (folytatás) Logisztikus telítıdési függvény Több független változós regressziós függvények

Korreláció és Regresszió (folytatás) Logisztikus telítıdési függvény Több független változós regressziós függvények Korreláció és Regresszió (folytatás) 12. elıadás (23-24. lecke) Logisztikus telítıdési függvény Több független változós regressziós függvények 23. lecke A logisztikus telítıdési függvény Több független

Részletesebben

Sztochasztikus kapcsolatok

Sztochasztikus kapcsolatok Sztochasztikus kapcsolatok Petrovics Petra PhD Hallgató Ismérvek közötti kapcsolat (1) Függvényszerű az egyik ismérv szerinti hovatartozás egyértelműen meghatározza a másik ismérv szerinti hovatartozást.

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12.

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12. 6. Előadás Visszatekintés: a normális eloszlás Becslés, mintavételezés Reprezentatív minta A statisztika, mint változó Paraméter és Statisztika Torzítatlan becslés A mintaközép eloszlása - centrális határeloszlás

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

Typotex Kiadó. Tartalomjegyzék

Typotex Kiadó. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék Bevezetés... 11 A hasznos véletlen hiba... 13 I. Adatredukciós módszerek... 17 1. Fıkomponens-elemzés... 18 1.1. A fıkomponens jelentése... 25 1.2. Mikor használjunk fıkomponens-elemzést?...

Részletesebben

Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok

Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás (7-8. lecke) Illeszkedés-vizsgálat 7. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok elemzésére Illeszkedés-vizsgálat Gyakorisági sorok

Részletesebben

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés problémája a pedagógiában Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés fogalma Mérésen olyan tevékenységet értünk, amelynek eredményeként a vizsgált jelenség számszerűen jellemezhetővé, más hasonló jelenségekkel

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból

Részletesebben

Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt

Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt Galbács Gábor KIUGRÓ ADATOK KISZŰRÉSE STATISZTIKAI TESZTEKKEL Dixon Q-tesztje Gyakori feladat az analitikai kémiában, hogy kiugrónak

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Paraméteres statisztikai próbák

Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Paraméteres statisztikai próbák Statisztikai hipotézisvizsgálatok Paraméteres statisztikai próbák 1. Magyarországon a lakosság élelmiszerre fordított kiadásainak 2000-ben átlagosan 140 ezer Ft/fő volt. Egy kérdőíves felmérés során Veszprém

Részletesebben

Több laboratórium összehasonlítása, körmérés

Több laboratórium összehasonlítása, körmérés Több oratórium összehasonlítása, körmérés colorative test, round robin a rendszeres hibák ellenőrzése, számszerűsítése Statistical Manual of AOAC, W. J. Youden: Statistical Techniques for Colorative Tests,

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság Microsoft Excel 2010 Gyakoriság Osztályközös gyakorisági tábla Nagy számú mérési adatokat csoportokba (osztályokba) rendezése -> könnyebb áttekintés Osztályokban szereplő adatok száma: osztályokhoz tartozó

Részletesebben

Biostatisztika Összefoglalás

Biostatisztika Összefoglalás Biostatisztika Összefoglalás A biostatisztika vizsga A biostatisztika vizsga az Orvosi fizika és statisztika I. fizika vizsgájával egy napon történik. A vizsga keretében 30 perc alatt 0 kérdésre kell válaszolni

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

Korreláció, regresszió. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet

Korreláció, regresszió. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Korreláció, regresszió Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Két folytonos változó közötti kapcsolat Tegyük fel, hogy 6 hallgató a következő válaszokat adta egy felmérés

Részletesebben

Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter

Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter 1. Adatállományok létrehozása, kezelése... 2 2. Leíró statisztikai eljárások... 3 3. Várható értékek (átlagok) vizsgálatára irányuló próbák... 5 4. Eloszlások vizsgálata...

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

Túlélés analízis. Probléma:

Túlélés analízis. Probléma: 1 Probléma: Túlélés analízis - Túlélési idő vizsgálata speciális vizsgálati módszereket igényel (pl. két csoport között az idők átlagait nem lehet direkt módon összehasonlítani) - A túlélési idő nem normális

Részletesebben

Variancia-analízis (folytatás)

Variancia-analízis (folytatás) Variancia-analízis (folytatás) 7. elıadás (13-14. lecke) Egytényezıs VA blokk-képzés nélkül és blokk-képzéssel 13. lecke Egytényezıs variancia-analízis blokkképzés nélkül Az átlagok páronkénti összehasonlítása(1)

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) VARIANCIAANAÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) Varancaanalízs. Varancaanalízs (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább ntervallum skálájú függő változó.

Részletesebben

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.08. Orvosi biometria (orvosi biostatisztika) Statisztika: tömegjelenségeket számadatokkal leíró tudomány. A statisztika elkészítésének menete: tanulmányok (kísérletek)

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető!

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető! BGF KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály Budapest, 2012.. Név:... Neptun kód:... Érdemjegy:..... STATISZTIKA II. VIZSGADOLGOZAT Feladatok 1. 2. 3. 4. 5. 6. Összesen Szerezhető pontszám 21 20 7 22

Részletesebben

Az OECD PISA adatbázis elemzése

Az OECD PISA adatbázis elemzése Az OECD PISA adatbázis elemzése A program Emlékeztető a múlt hétről A PISA val kapcsolatos honlapok tartalma és az online elérhető dokumentáció A PISA adatbázisának felépítése A PISA makróinak használata,

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

Minőség-képességi index (Process capability)

Minőség-képességi index (Process capability) Minőség-képességi index (Process capability) Folyamatképesség 68 12. példa Egy gyártási folyamatban a minőségi jellemző becsült várható értéke µ250.727 egység, a variancia négyzetgyökének becslése σ 1.286

Részletesebben

III. Kvantitatív változók kapcsolata (korreláció, regresszió)

III. Kvantitatív változók kapcsolata (korreláció, regresszió) III. Kvantitatív változók kapcsolata (korreláció, regresszió) Tartalom Változók kapcsolata Kétdimenziós minta (pontdiagram) Regressziós előrejelzés (predikció) Korreláció Tanuló Kétdimenziós minta Tanulással

Részletesebben

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely.

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely. Kiválasztás A változó szerint Egymintás t-próba Mann-Whitney U-test paraméteres nem-paraméteres Varianciaanalízis De melyiket válasszam? Kétmintás t-próba Fontos, hogy mindig a kérdésnek és a változónak

Részletesebben

Mesterséges Intelligencia I.

Mesterséges Intelligencia I. Mesterséges Intelligencia I. 10. elıadás (2008. november 10.) Készítette: Romhányi Anita (ROANAAT.SZE) - 1 - Statisztikai tanulás (Megfigyelések alapján történı bizonytalan következetésnek tekintjük a

Részletesebben

SPSS ALAPISMERETEK. T. Parázsó Lenke

SPSS ALAPISMERETEK. T. Parázsó Lenke SPSS ALAPISMERETEK T. Parázsó Lenke 2 Statistical Package for Social Scienses Statisztikai programcsomag a szociológiai tudományok számára 1968-ban Norman H. Nie, C.Handlai Hull és Dale H. Bent alkották

Részletesebben

Centura Szövegértés Teszt

Centura Szövegértés Teszt Centura Szövegértés Teszt Megbízhatósági vizsgálata Tesztfejlesztők: Megbízhatósági vizsgálatot végezte: Copyright tulajdonos: Bóka Ferenc, Németh Bernadett, Selmeci Gábor Bodor Andrea Centura Kft. Dátum:

Részletesebben

Elliptikus eloszlások, kopuláik. 7. előadás, 2015. március 25. Elliptikusság tesztelése. Arkhimédeszi kopulák

Elliptikus eloszlások, kopuláik. 7. előadás, 2015. március 25. Elliptikusság tesztelése. Arkhimédeszi kopulák Elliptiks eloszlások, kopláik 7. előadás, 215. márcis 25. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettdományi Kar Eötös Loránd Tdományegyetem Áringadozások előadás Sűrűségfüggényük

Részletesebben