Statisztika 2000 Molnár D. László

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Statisztika 2000 Molnár D. László"

Átírás

1 Statisztika 000 Molnár D. László Tartalom Megfigyelés, félig-kísérlet és kísérlet... Hatásvizsgálatok logikai háttere... 6 Hatásvizsgálatok típusai:... 6 Félig-kísérletek... 8 Érvényesség... 9 A belső validitást fenyegető főbb tényezők:... 9 Megbízhatóság Mintavétel Mintvétel típusai Mintavétel számítógépes szimulációja Kombinatorika Párok Elem-r-esek r golyó elhelyezése n dobozban Mintavétel a sorrend figyelembevételével Részsokaság és partíció Binomiális eloszlás Hipergeometrikus eloszlás Valószínűségelmélet és matematikai statisztika Definíciók és szabályok Valószínűségszámításnál a rendszer ismert... 0 Valószínűségszámítás alapjai... 0 Feltételes valószínűség... Teljes valószínűség tétele... Bayes-tétel... 3 Sztochasztikus vagy statisztikai függetlenség... 3 Differenciálás és integrálás... 4 Differenciálás... 4 Integrálás... 8 Leíró statisztika... 9 Eploratív adatelemzés alapvető módszerei Aszimptotikus és komputer-intenzív módszerek Többváltozós statisztikai módszerek Klaszter elemzés Főkomponens elemzés Lineáris regresszió. Elméleti megfontolások Lineáris regresszió. Gyakorlati szempontok Kereszttáblák elemzése Függetlenségvizsgálat Nominális változójú többdimenziós kereszttáblák elemzése Loglineáris modellek Ordinális változójú kereszttáblák elemzése Linear-by-linear asszociációs modellek CHAID-elemzés

2 Megfigyelés, félig-kísérlet és kísérlet A szociológiai kutatás egyik alapproblémája: a változók fölötti kontroll lehetősége megfigyelés, félig-kísérlet és kísérlet esetén. (Változóknak - más szóval valószínűségi változóknak - a véletlentől függő mennyiségeket nevezik. Gyakorlatilag változók a kérdőívben szereplő kérdések, például változó a kor, a nem, az iskolai végzettség, a foglalkozás stb.). A szociológiai kutatások rendszerint a megfigyelés és a kísérlet között, az ún. félig-kísérletek világában helyezkednek el. Módszertani szempontból a szociológiai kutatások egyik központi kérdése a változók kontrollálásának lehetősége, más szavakkal a külső zavaró hatások nagyságának megismerése, kiszűrése, kézben tartása, kontrollálása annak érdekében, hogy a kutatásból helyes, a valóságnak megfelelő következtetést lehessen levonni. Egyszerű megfigyelésnél a változók fölötti kontrollra lényegében nincs lehetőség, mert az események irányítják a megfigyelést, s a megfigyelő többnyire csupán passzív szereplője az eseményeknek. A megfigyelésből származó következtetések objektivitását növelheti, ha több helyen és több különböző időpontban időben történik a megfigyelés. Kísérletnél rendszereint a vizsgálati elrendezés biztosítja a következtetés objektivitását, de a társadalomtudományokban ilyen elrendezésre nem mindig van mód. A kísérletnél rendszerint két vagy több összehasonlítandó csoport van és tervszerűen a csoport egyik része részesül, másik része nem részesül valamilyen hatásban. Kísérletnél a csoportok tagjai véletlenszerűen kerülnek egyik vagy másik csoportba. A véletlen csoportba sorolás két alapvető módszere a 1. véletlen besorolás, random allocation vagy. véletlen kiválasztás, random sampling révén történhet. Véletlen besorolásnál adott személyek (például betegek egy csoportja)véletlenszerűen sorolódnak egyik vagy másik csoportba. Az egyik csoport kap gyógyszert, a másik nem. Véletlen kiválasztásánál a lakosságból véletlenszerűen kerül kiválasztásra minta, akiket kérdőív vagy más mérőeszköz segítségével megvizsgálnak. A kísérlet legegyszerűbb formájában csak egyetlen változóban van különbség a csoport(ok) között 1. példa: Állatkísérlet Egymáshoz hasonló állatokat véletlenszerűen egyik (A) vagy másik (B) csoportba soroljuk. Az (A) csoport tagjai kapnak, a (B) csoport tagjai nem kapnak valamilyen gyógyszert. A véletlen besorolás miatt minden más szempont (pl. súly, kor) szerint a két csoport lényegében véve megegyezik (nem különbözik szisztematikusan egymástól).

3 Kérdés, van-e hatása a gyógyszernek? Ha van különbség valamilyen mért paraméterben, például a vérnyomásban, akkor ez bizonyára a beavatkozás miatt volt, mert minden más tekintetben a két csoport azonos volt (nem különbözött szisztematikusan egymástól). példa: Kémiai kísérlet. Lombikba anyagokat teszünk, és várjuk a kémiai reakció eredményét. Több kísérletet végzünk, de mindegyik kísérletben csak egyetlen dolgot változtatunk, pl. az egyik anyag mennyiségét növeljük, vagy a hőmérsékletet csökkentjük. Kérdés: a lombikból kinyert anyag milyen tulajdonságú? Jó-e a keletkezett anyag a számunkra vagy nem jó? Ha a hőmérséklet növelésével a keletkezett anyag tulajdonságai javultak, akkor később talán magasabb hőmérsékleten érdemes az ipari termelést folytatni. A kísérlet bonyolultabb formájában egyszerre több paramétert változtatunk. 3. példa: Bonyolult kémiai kísérlet (Bo-Wilson módszer) Lombikba anyagokat teszünk, és várjuk a kémiai reakció eredményét. Több kísérletet végzünk úgy, hogy mindegyik kísérletben szisztematikusan több dolgot változtatunk, pl. egyszerre növeljük az egyik anyag mennyiségét és a hőmérsékletet csökkentjük. Több kísérlet alapján figyeljük a változás irányát, jellegét. Kérdés: a lombikból kinyert anyag milyen tulajdonságú? Legalább két ok miatt szükség van erre a bonyolult típusú kísérletre 1. Egyrészt olcsóbb, ha így esetleg kevesebb kísérletet kell elvégeznem.. Másrészt több tényező egyidejű megváltoztatása esetleg nem ugyanazt az eredményt adja, mint egy dologé. Több egyidejű hatás összefüggését kölcsönhatásnak, interakciónak is nevezik. Pl. A gyógyszernek van valamilyen hatása, B gyógyszernek is van valamiylen hatása, de ha a kettőt együtt beadjuk, új harmadik hatás jelentkezik (pl. fölerősítik, gyengítik egymás hatását, vagy méreg képződik). Ez felveti a később bemutatott többváltozós statisztikai módszerek alkalmazásának igényét. Félig-kísérletnél Félig-kísérletnél, mint amilyen a társadalomtudományos kutatások többsége, egyrészt egyszerű megfigyelést történik - etikai és technikai okok miatt valódi kísérlet nem mindig végezhető el, bár a diktatúrák és a különböző társadalmi berendezkedések is felfoghatók kísérletnek -, ugyanakkor a kísérleti elrendezéseknél használt módszereket is alkalmaznak a következtetések objektivitásának növelése érdekében. Mit jelent a megfigyelés? Például azt, hogy valamilyen kormányzati intézkedés (pl. családi pótlék intézményének bevezetése vagy összegének felemelése), vagy valamilyen piaci változás (pl. olajár emelkedés) rajtunk részben kívülálló hatásokat vált ki, s csupán az események regisztrálására van mód. Mi ezzel a probléma? 3

4 Például mi van akkor, ha nőtt a születésszám, és azt mondjuk, hogy ez az új családtámogatási rendszer következménye. Valaki azt mondja, hogy ez nem az új rendszer miatt van, hanem azért, mert közben csökkent az adó és emelkedett az életszínvonal, vagy egyidejűleg ilyen irányú szociálpolitikai kampány folyt. Mi van akkor, ha az olajár emelkedés ellenére nőtt az eladott gépkocsik száma? Lehet, hogy a géppark elöregedett és újakat kellett venni, vagy olcsóbb autók jöttek ki, vagy nőtt a GDP, a nemzeti jövedelem? Vagy csökkent az autó súlyadója? A probléma tehát az, hogy egyesek azt mondják, hogy valamilyen megfigyelt esemény ilyen és ilyen okok miatt volt, de mások esetleg azt mondják, hogy az más okok miatt következett be. Mit lehet ilyenkor tenni? A megfigyelésen alapuló vizsgálatokba a kísérletekre emlékeztető szisztematikus elemeket bevinni és így növelni a megfigyelés objektivitását. A fenti példában lehetséges, hogy felmérést (megfigyeléseket) végzünk a lakosság körében, majd pedig jövedelem, gépkocsi vásárlási magatartás, gépkocsi tulajdoni helyzet, gépkocsi súly és egyéb szempontok szerint szétválasztva elemezzük a kapott válaszokat. Azt a szisztematikus módszert, amellyel a megfigyelésbe a kísérletekre emlékeztető szisztematikus elemeket viszünk be, nevezzük a változók kontrollálásának. A változók kontrollálásának módszerei Ezek a módszerek sok ponton belépnek, így például már a mintavétel során megjelennek, és a kutatás végéig folytatódnak, különböző technikákkal. A változók kontrollálása történhet rétegzett mintavétellel, a vizsgálati elrendezés módjával (például eset-kontroll vizsgálattal, panel vizsgálattal), hatásvizsgálatokkal és statisztikai módszerekkel. Változók kontrollálása rétegzett mintavétellel Rétegzett minta esetén egy vagy több szempont szerint biztosítjuk bizonyos változók széleloszlását (marginális eloszlását). Például biztosítjuk, hogy ezer fős mintában pontosan 500 férfi és 500 nő legyen, vagy ezer emberből éves, éves, éves legyen, vagy pontosan 40 %-a városi lakos legyen, ha ezeket tartjuk fontosnak valamilyen ok miatt. Rétegzett a minta, ha budapesti vizsgálatnál biztosítjuk, hogy minden kerületből legyen a mintában véletlenszerűen kiválasztva 50 ember. Országos vizsgálatban fontosnak tarthatjuk, hogy a legnagyobb városokból legyen elég megkérdezett. Mivel Miskolc lakossága az ország lakosságának 1 százaléka, ha 10 millió lakosból egyszerű véletlen mintavétellel kiválasztunk ezer főt akkor a mintában várhatólag 10 miskolci személy lesz. Ezért, ha valamilyen (pl. pénzügyi, egyéb) ok miatt azt szeretnénk, hogy a nagyvárosokból több ember legyen a mintában, akkor a mintát rétegezni kell, tehát előre rögzíteni kell, hogy például Miskolcon kérdezzenek meg 50 embert. 4

5 Változók kontrollálása eset-kontroll vizsgálattal Például a mintavétel során előre rögzítésre kerül, hogy 100 buszvezető vérnyomását meg kell mérni, mert feltehető, hogy a buszvezetés emeli a vérnyomást. A buszvezetők körében mért vérnyomás értékek összehasonlíthatók más csoportok, vagy a lakosság körében végzett vizsgálatok eredményeivel. Ha a buszvezetők körében magasabb a vérnyomás, mint egy másik csoportnál, mit jelent ez? Valóban magasabb a buszvezetők vérnyomása, vagy a buszvezetők idősebbek, mert idősebb korban a vérnyomás emelkedik, és nem a buszvezetés, hanem az idősebb kor okozza a vérnyomás emelkedését? Vagy a buszvezetők már eleve ideges természetűek, és ez okozza a vérnyomás emelkedését, tehát nem a buszvezetés, hanem a buszvezetők sajátos tulajdonsága okozza a vérnyomás emelkedését? Látható, hogy itt már a célok, a vizsgálat célja is megjelenik, rejtett vagy nyílt formában. Amennyiben a buszvezetők vérnyomása magas, ez rizikótényezőt jelent, és balesetveszélyt okozhat, ha a magas vérnyomás talaján esetleg hirtelen szívinfarktust vagy agyvérzést kapnak. A közlekedés alapvető biztonságáról és minőségbiztosításról van szó, egyebek mellett. A vizsgálatot nem öncélúan végezzük, hanem valamilyen meghatározott cél érdekébe. Mégis, a vizsgálatot lehetőleg pártatlanul kell elvégezni. A tudományos módszer lényege az átláthatóság és megismételhetőség. Hogyan lehet eldönteni, hogy a buszvezetőknek valóban magasabb-e a vérnyomása, mint a lakosságnak? A megfigyelésen, mérésen alapuló felmérésbe a kísérletekre emlékeztető szisztematikus elemeket bevinni és kontrollálni a megfigyelést. Például úgy, hogy felmérést végzünk a véletlenszerűen kiválasztott buszvezetők (eset csoport) és a buszvezetőnek jelentkező, állásra váró jelentkezők (kontroll csoport) között. Ez az esetkontroll vizsgálat. (Megjegyzés: Olyan kontroll csoportot még nem találtak, amelyik mindenkinek egyformán megfelel.) Mi a mérés? Lényegében összehasonlítás. Ha valaki méter magas, ez azt jelenti, hogy az egységnek tekintett méterrudakat kétszer lehet mellette elhelyezni. Összehasonlítjuk a megfigyelést az etalonnal. A társadalomtudományos kutatásban például az egyik ember iskolai végzettségét és jövedelmét összehasonlítjuk a másik emberével. Változók kontrollálása panel vizsgálattal A panel vizsgálatoknál időben egymás után többször végzünk felméréseket ugyanazon személyek körében, és megfigyeljük, hogy van-e elmozdulás, változás valamilyen változó értékeiben, valamilyen mért paraméter szerint. Az esetleges változást megpróbáljuk összefüggésbe hozni bizonyos külső intézkedésekkel, eseményekkel. Változók kontrollálása hatásvizsgálattal A változók kontrollálásának egyik szisztematikus módszerét évek hosszú sora alatt a hatásvizsgálatok címszó alatt fogalmazták meg. 5

6 Változók kontrollálása statisztikai módszerekkel A változók kontrollálásának statisztikai módszereiről később, a többváltozós statisztikai módszerek tárgyalásánál esik szó. Hatásvizsgálatok logikai háttere Valamely program vagy kampány hatásosságának meg-állapításához a legfontosabb annak összehasonlítása, hogy mi történt a program vagy kampány után, összehasonlítva azzal, hogy mi történt volna, ha az nem valósul meg. Jóllehet rendszerint örökre homályban marad, hogy mi történt volna, ha az események másként zajlanak le (counterfactual: a tényekkel ellentétes esemény), a program kezdetekor végzett mérésekkel és indikátorok kiszámításával ezt becsülni lehet. Így a program hatékonyságának elemzése lehetséges a jelenségek program előtt és után végzett vizsgálatával. A hatásvizsgálat elméleti megalapozása megfogalmaz-ható úgy, mint elgondolások szigorú és lényegretörő elrendezése, amely a megbízható következtetések levonásához szükséges. Hatásvizsgálatok típusai: Jelölés: A: autonóm módon végzett vizsgálat (mintába került személyek kiválasztását nem befolyásolják a személyek tulajdonságai) C: a vizsgálat helyszínét központilag döntik el R: randomizáció (véletlen besorolás) T: esemény (kampány) időpontja E: kísérleti (eperimental) csoport C: kontroll (control) csoport Y: vizsgált paraméter (pl. viselkedés) X: egyéb változók (pl. demográfiai jellemzők) 1. Legegyszerűbb vizsgálatok: 1.1. Egyszerű, egyszeri alkalommal végzett eset-tanulmány (One-shot case study) T Y. Elemi félig-kísérleti elrendezések (Elementary quasy-eperimental designs):.1. Elemi félig-kísérleti előtte-utána vizsgálati terv (Elementary quasy-eperimental before-after design). Mérés a kampány előtt és után. Kontroll csoport nincs, háttérváltozók (demográfiai jellemzők) nincsenek: A / C : Y 1... T... Y 6

7 .. Elemi félig-kísérleti összehasonlító utánvizsgálat (Elementary quasy-eperimental comparative posttest design). Mint az előző, de van kontroll csoport: ( A ) : T Y A : Y C 3. Összetettebb félig-kísérleti elrendezések (Quasi-eperimental designs): E 3.1. Félig-kísérleti változást összehasonlító vizsgálati elrendezés (Quasy-eperimental comparative change design), az egyik gyakran alkalmazható típus. Mérés kampány előtt és után, kontroll csoport van, háttérváltozók (demográfiai jellemzők) is vannak: ( A ) / C : X 1 ( A ) / C : X E 1 C T Y Y E C 3.. Félig-kísérleti megszakított idősoros vizsgálat (Quasy-eperimental interrupted time series design). Több mérés kampány előtt és után, kontroll csoport nincs, háttérváltozók (demográfiai jellemzők) nincsenek: A / C : Y 1... T... Y T Több mérés kampány előtt és után, kontroll csoport van, háttérváltozók (demográfiai jellemzők) nincsenek (Quasy-eperimental comparative time series design): ( A ) / C : Y 1 ( A ) / C : Y E 1 C T Y Y ( T 1 ) E ( T 1 ) C 4. Megerősített elrendezések (fortified designs): 4.1. Hasonlítás vonatkoztatási csoporthoz (Criterion population design). Olyan, mint 3.1, de az összehasonlítás alapja nem egy másik minta (kontroll csoport), hanem valamilyen vonatkoztatási csoport, például népszámlálás adatok : ( A ) / C ( A ) / : C X : Y 1 E 1 CP T Y Y CP E 4.. Részcél elrendezés (Subobjective design). Előbb megtörténik a kampány, majd a részcél vizsgálata, majd a fő cél mérése; a három egymásutániságából szubjektív oksági összefüggés véleményezése) T S Y 7

8 5. Valódi kísérleti elrendezések (Eperimental designs) 5.1. Randomizált összehasonlító vizsgálat beavatkozást követően (R-comparative posttest design). Ez a legegyszerűbb hagyományos kísérlet. Randomizáció (véletlen besorolás) van, kísérleti és kontroll csoport kezdetben azonos, T beavatkozást követően a két csoport összehasonlítása történik meg az Y (például vérnyomás) paraméter szerint: R R : T : Y Y E C 5.. Randomizált összehasonlító vizsgálat beavatkozást követően háttérváltozók mérésével (R-comparative change design). Ez a fejlettebb hagyományos kísérlet. Randomizáció (véletlen besorolás) van, kísérleti és kontroll csoport kezdetben azonos, T beavatkozást követően a két csoport összehasonlítása történik meg az Y (például vérnyomás) paraméter szerint, de az adatok elemzése és az eredmények értelmezése jobban lehetséges a háttérváltozók mérésével és elemzésével: R R : X 1 : X E 1 C T Y Y E C Félig-kísérletek Az ún. félig-kísérletekben (quasi-eperiments) a személyek kiválasztása nem úgy történik, hogy a résztvevőket véletlenszerűen kísérleti és kontroll csoportba sorolják, mint az igazi kísérletekben, azonban az autonóm kiválasztási folyamat módját nem befolyásolják a résztvevők tulajdonságai. A személyek kiválasztása a program előtt és után véletlenszerűen történhet, ez azonban nem azt jelenti, hogy az emberekről véletlenszerűen eldöntik, hogy részesülnek vagy nem a hatásban. Részcélok, formatív és összegző hatásvizsgálat A végcélok a kampány tényleges végső céljára vonatkoznak, míg a részcélok közé azok a célok tartoznak, amelyeket el kell érni a kitűzött végső cél érdekében. A továbbiakban elsősorban azokat tekintjük részcélnak, amelyek eszköz jellegűek, tehát fontosak a kitűzött célok eléréséhez, de olyan célokkal is foglalkozunk, amelyek közvetett jellegűek vagy okokozati összefüggésekben a vizsgálat szempontjából nem játszanak szerepet, azonban mégis célszerű megvizsgálni egyéb okok miatt. Összegző hatásvizsgálat (summative evaluation) Ez a program eredetileg kitűzött végső céljait tekintve pusztán a végeredményt nézi valamilyen p-érték kiszámításával. Ha p értéke nagyobb, mint 0,05, akkor a programnak nincs hatása vagy az csupán a véletlennek tulajdonítható, látszólagos, ha pedig kisebb, mint 0,05, akkor az eredmény a programnak tulajdonítható. Példa Valamilyen kampányt tekintve a végcélok közé tartozik, hogy a válaszoló valamilyen kampány hatására többet tett-e a kampány végcéljának megvalósulása érdekében. 8

9 Formatív hatásvizsgálat (formative evaluation) A formatív hatásvizsgálat a részcélokat tekintve adhat információt a program hatásáról. Még akkor is, ha a program eredeti célja nem valósult meg, de sok olyan részcél igen, amely a jövőben további programok kiinduló pontja, összességében a program sikeresnek minősíthető. A formatív hatásvizsgálat (formative evaluation) eredményeként egyrészt bepillantást nyerhető az események közötti kapcsolatokba, a hatásmechanizmusokba és változtatások hajthatók végre a program folyamatában is. Ez hasznos lehet az eredmények általánosításánál más területeken vagy a programtól eltérő elrendezésekben is. Az eszköz jellegű részcélok közé tartozik, hogy látta a kampány képeit, elolvasta a hozzá kapcsolt feliratokat, sejtette, hogy mi volt a célja annak, hogy ezeket a képeket bemutatták, és arról is volt elképzelése, hogy kik rakhatták ki ezeket a képeket. A közvetett jellegű részcélok között említhető, hogy a válaszolót személy szerint érinti-e közvetlenül a kampány célja, és konkrétan hogyan, kedvezően vagy kedvezőtlenül érinti. Az is a közvetett részcélok közé tartozik, hogy megállapítsuk, mely médián keresztül lehet a kampány sikere érdekében az embereket legjobban elérni, és hogyan szegmentálható a lakosság a kampánnyal kapcsolatban. Érvényesség Érvényesség (validity) az, hogy vajon azt mérjük-e, amit mérni szeretnénk Tartalmi érvényesség (Content validity) definiálni kell, mit értünk a használt fogalmak alatt, vizsgálat elméleti megalapozása szükséges Névleges érvényesség (Face validity) a felszínen azt mérjük-e, amit kell Belső érvényesség (Internal validity) a vizsgálat logikus, oksági összefüggések feltárására alkalmas Külső érvényesség (Eternal or criterion validity) más vizsgálatokkal összhangban van a mérés Jósló érvényesség (Predictive validity) jövőbeli teljesítményre is vonatkozik a jelen mérési eredmény (predikció) Összehasonlító érvényesség (Concurrent validity) régi és új módszer azonos eredményt ad Összetétel szerinti érvényesség (Construct validity) a vizsgált szempont szerint két csoport jól elkülönül egymástól, és ez statisztikailag bizonyítható A belső validitást fenyegető főbb tényezők: Események (history) probléma: ha nincs kontroll csoport Külső események (eternal events) Tesztelés (testing) vizsgálat hatása Érés (maturation) belső fejlődés, minta szelektív változása Regresszió (regression) minta ciklikus vagy epizódikus változása Lemorzsolódás (attrition) minta szelektív csökkenése Kiválasztás (selection bias) probléma, ha nincsenek háttér változók Kísérleti és kontroll csoport kezdeti különbözősége Csoportok nem véletlenszerű kiválasztása (torzítások, reprezentativitás hiánya) Szennyezés (contamination) minta csoportokba olyanok is kerülnek, akik nem abba a csoportba valók, pl. kísérleti csoportba kontroll csoport tagjai Felejtés (recall bias) régi események 9

10 Megbízhatóság Megbízhatóság (reliability) megbízható egy mérés, ha ismételt mérés esetén hasonló eredményt kapunk Stabilitás vagy test-pretest reliability (újból mérésnél hasonló eredmény) Ekvivalencia vagy alternate-form reliability (split-halves method, ill. időben többször ismételt vizsgálat) Homogenitás vagy internal consistency az egyes tételek azonos dologra vonatkoznak, azonos dolgot mérnek Interobserver vagy interrater megbízhatóság (interobserver or interrater reliability) - egyes megfigyelők közötti különbségek nagysága Intraobserver vagy intrarater megbízhatóság (intraobserver or intrarater reliability)- egy megfigyelőn belül a különbségek nagysága Mintavétel Az erőforrások szűkössége miatt rendszerint nincs mód minden ember véleményét megtudakolni, hanem közülük véletlenszerűen vett mintán történik a mérés. Mintvétel típusai Nem véletlen minták 1..Kényelmes minta (convenience sampling) - bárki önkényesen a mintába kerülhet Példa: 1.1. "Tipikus kényelmes minta". Példa: ízlelés vizsgálat - összegyűjtenek valahonnan 0 embert, fele kóstolja az egyik anyagot, másik fele a másik anyagot (ez nemigen alkalmas tudományos kvöetkeztetésre) 1... "Nem tipikus kényelmes minta": véletlen besorolású minta - ez a helyes tudományos következtetés eszköze lehet, mert bár nem reprezentatív, de véletlenszerű! Példa: klinikai vizsgálat - 0 beteg van a belosztályon, véletlenszerűen osszuk őket két csoportba, az egyik csoport gyógyszert, a másik csoport placebot kap. Hólabda minta - kérdezett szóljon másoknak is vagy adjon ötletet hasonló személyek megtalálásához 3. Kvóta minta - "lasszóval" kerítsenek valahonnan 0 főiskolát végzett nőt és 0 főiskolát végzett férfit a mintába 4. Fókusz csoport - legyen valahonnan 0 ember és kérdezzük ki őket, beszélgessünk el velük strukturált interjú keretében Véletlen minták 1. Egyszerű véletlen mintavétel (generált valódi véletlen számok segítségével). Szisztematikus véletlen mintavétel (minden -ediket kiválasztva, például válasszuk ki egy listából minden századik embert) 3. Rétegzett minta (előre rögzített marginális eloszlások mentén, például előre rögzítjük, hogy minden kerületből egyenlő számú személyt kérdezünk meg) 10

11 4. Többlépcsős minta (először válasszunk településeket, másodszor a talapüléseken belül háztartásokat, harmadszor a háztartáson belül személyt) 5. Klaszter-minta (egész háztartás tagjainak megkérdezése) Véletlen minta két alapvető típusa: Véletlen kiválasztás Véletlen besorolás tulajdonsága: reprezentativitás van/lehetséges tulajdonsága: nincs reprezentativitás alkalmazás: szociológiai vizsgálat alkalmazás: klinikai vizsgálat Mintanagyság meghatározása Két csoport (például városi/vidéki vagy férfi/nő) és két lehetséges kimenetel (egy kérdésre adott válasz igen/nem) esetén: n p (100 E p ) ahol n=szükséges mintanagyság p=adott állapot előfordulásának valószínűsége, százalék (például az igen válaszok aránya 0 %) E=maiálisan megengedett standard hiba Mintavétel számítógépes szimulációja A mintavétel egyrészt csökkenti a költségeket (nem kell mindenkit megkérdezni), másrészt viszont hibaforrás lehet. A mintavételt és az azzal kapcsolatos hiba nagyságát számítógéppel szimulálni lehet. Példa Ezer ember, köztük 500 nő és 500 férfi lakik egy faluban. Ha 100 fős véletlen mintát veszünk, mekkora a valószínűsége, hogy a mintában mindenki nő lesz? Más szavakkal: Mekkora a valószínűsége annak, hogy ha egy urnában (edényben) 500 fehér és 500 fekete golyó van, és véletlenszerűen kihúzunk (egymás után kiveszünk) belőle visszatevés nélkül 100 golyót (a kivett golyót nem tesszük vissza; lásd Kombinatorika c. részt), mind a 100 golyó fehér lesz? 1. megoldás Hipergeometrikus eloszlás (l. később a Kombinatorika c. részben) - bonyolult képlet alkalmazásával..a. megoldás Fizikailag beteszünk egy urnába 500 fehér és 500 fekete golyót és kihúzunk belőle 100 golyót. Megismételjük ezt az eljárást ezerszer (kísérletek). Megnézzük, hogy az ezer kísérletből hány esetben fordult elő az az esemény, hogy pontosan száz fehér golyó van a kihúzott száz golyó között. Az előfordulások számát elosztjuk 1000-rel és így megkapjuk annak a valószínűségét, hogy ilyen körülmények között ez az esemény bekövetkezik. 11

12 .b. megoldás Mivel ez az eljárás nagyon munkaigényes, számítógéppel szimulálhatjuk ezt. A számítógép 5 másodperc alatt megadja az eredményt. Így nem kell bonyolultnak tűnő formulákkal bajlódni, sem rengeteg kísérletet kézzel elvégezni, mégis pontos eredményt kaphatunk. Ha nem elég pontos az eredmény, a szimulációk (mintavételek) számát növelhetjük, például ezerről tízezerre. A fentiek számítógépes szimulációjának lehetséges programlistája a következő: ' (idézőjel) jelöli a megjegyzéseket (kommentár), amelyek nem tényleges utasítások, a többi programutasítás. 1. Példa ' 'Programlista (Resampling stats): 'hiperge1.sta '500 fehér és 500 fekete golyóból kiveszünk 100-at visszatevés nélkül. Mi a valószínűsége, 'hogy mind a 100 fehér lesz? Az alábbi utasítás szerint egy urnába beteszünk 500 fehér és 500 'fekete golyót, más szavakkal legyen a olyan vektor (számsorozat), amelyben 500 db 1-es és '500 db 0 van, tehát a=(1,1,1,..,0,0,0), majd 1000-szer ismétlődő ciklus utasítás következik URN 500#1 500#0 a REPEAT 1000 shuffle a b take b 1,100 c COUNT c=1 d SCORE d z END HISTOGRAM z count z=100 k DIVIDE k 1000 kk PRINT KK '1000-szer ismételje END-ig 'keverje meg az a vektoban lévő 1000 db 1 és 0 számokat és 'a kevert számvektort tegye b-be 'így most b 1000 elemű számvektor, de a 0 és 1 'összekeverve van benne 'vegyen b-ből egy 100 elemű mintát visszatevés nélkül és 'az eredményt tegye a 100 elemű c vektorba 'számolja meg, hogy c-ben hány db 1-es van és az eredményt 'tegye d-be 'jegyezze meg d értékét, és őrizze meg z-ben az '1-től 10 ezerig tartó minden egyes kísérletben; 'z most 10 ezer elemű vektor 'készítsen hisztogramot z-ről 'számolja meg, hogy hányszor fordult elő a 10 ezer kisérlet közül, 'hogy pontosan 100 fehér golyó 'volt (100 db 1-es), 'az eredményt tegye k-ba 'ossza el ezt el a mintavételek számával, ezerrel nyomtassa ki az eredményt Eredmény: Kk=0 (Ennyi a fenti esemény valószínűsége) Az eredményt hisztogramon is megszemlélhetjük: 1

13 Látható, hogy nagyon kicsi tehát a nagyon rossz minta vételének a valószínűsége (Kk=0). A hisztogramon az is látható, hogy az esetek többségében a mintában a fehér golyók száma 40 és 60 (40-60 %) között mozog, ha ténylegesen 50 % a fehér golyó húzásának a valószínűsége az alapsokaságban (populáció), amiből a mintát vettük. Mivel a valóságra általában mintavétellel következtetek (még az egyszerű megfigyelés is annak tekinthető!) és ez valamiféle számlálást, strigulázást von maga után (ez a statisztika), kérdés, hogy mi van, ha a minta nagyobb?. Példa Az előbbi példánál maradva legyen most a kivett minta nagysága most nagyobb, 100 helyett 500. Vajon most is százalék között mozog az 1-esek aránya, tehát 0,40*500=00 és 0,60*500=300 között? Programlista: 'hiperge.sta (Resampling stats) '500 fehér és 500 fekete golyóból kiveszünk 500-at visszatevés nélkül. Mi a valószínűsége, 'hogy 00 fehér lesz? URN 500#1 500#0 a REPEAT 1000 shuffle a b take b 1,500 c COUNT c=1 d SCORE d z END HISTOGRAM z count z=00 k DIVIDE k 1000 kk PRINT KK '500 elemű mintavétel 13

14 Most az adatok többsége 30 és 70 (30/500=46 % és 70/500=54%) között mozog. Korábban % között mozgott. A minta nagyságának növekedésével tehát a becslés hibája csökken! Ez alapozza meg a mintanagyság meghatározásokat. Ha tudjuk, hogy mekkora hibát engedünk meg, és milyen a válaszok megoszlása (például 50 % igen, 50 % nem válasz várható), meghatározható, hogy mekkora mintára van szükség. Kombinatorika Párok Az a 1,, a m és a b 1 b n elemekből mn számú (a j, b k ) pár alkotható, amely mindkét csoportból egy-egy elemet tartalmaz. Bizonyítás: m sorból és n oszlopból álló táblázatban, az (a j, b k ) párt helyezzük el a j-edik sor és a k-adik oszlop kereszteződésében. Ekkor minden párnak egy és csak egy kocka felel meg. Példa: A 1 B 1 A 1 B 1 A 1 B 3 A B 1 A B A B 3 A 3 B 1 A 3 B A 3 B 3 Általánosítás: Elem-r-esek Vegyünk n 1 darab a 1,, a m1 elemet, és n darab b 1 b n1 elemet, végül n r darab b 1 b r1 elemet. Ezekből az elemekből n 1 n n r számú rendezett (a elem r-es alkotható, amely minden csoportból egy-egy elemet tartalmaz. 14

15 Bizonyítás: az állítás indukcióval bizonyítható minden r-re. Alkalmazás: Ha r lépésben választunk (döntünk) és az egyes lépésekben rendre n 1, n,, n r választásunk lehet, akkor n 1 n n r különböző döntés lehet. Példa: Tegyük fel, hogy az embereket nemük, családi állapotuk és foglalkozásuk szerint osztályozzák. A különböző lehetőségek az elemek. Ha 5 foglalkozási kategóriát és 4 családi állapotot adunk meg, akkor 4 5=40 osztályt kapunk (többdimenziós kontingencia tábla). r golyó elhelyezése n dobozban r különböző golyó n r féleképpen helyezhető el n dobozban. Helyezzünk el golyót (A-t és B-t) 4 dobozban. Először elhelyezzük az első golyót. Az összes lehetséges elrendezést (az első lépésre vonatkozó teljes eseményteret) mutatja a következő tábla. Elrendezés 1. doboz. doboz 3. doboz 4. doboz 1 A A 3 A 4 A Most mindegyik elrendezés mellé tegyük be a második golyót. Az összes lehetséges elrendezést (az első és második lépésre vonatkozó teljes eseményteret) mutatja a következő tábla. Elrendezés 1. doboz. doboz 3. doboz 4. doboz 1 AB A B 3 A B 4 A B 5 B A 6 AB 7 A B 8 A B 9 B A 10 B A 11 AB 1 A B 13 B A 14 B A 15 B A 16 AB Bizonyítás: az állítás indukcióval bizonyítható minden n-re és r-re. 15

16 Mintavétel a sorrend figyelembevételével Tekintsük az a 1, a,, a n elemekből álló halmazt vagy sokaságot. A sokaságból vett r számú elem, a j1, a j,, a jr bármely sorrendjét vagy elrendezését r elemű mintának nevezzük. Képzeljük el, hogy az elemeket egyenként választjuk ki. Ekkor két eljárás lehetséges. 1. Visszatevéses mintavétel esetén minden egyes elemet a teljes sokaságból vesszük ki, tehát ugyanaz az elem többször is kiválasztható. Visszatevéses mintavétel esetén az n elemű sokaságból n r számú r elemű minta vehető. Első lépésben az n elemű sokaságból n-féleképpen választható ki az első elem. Minden egyes kiválasztott elemhez második lépésben n-féleképpen választható ki a második elem, n elem mellé n-féleképpen rakható második, ez összesen n. És így tovább. (Lásd párok és elem-resek.). Visszatevés nélküli mintavétel esetén a kiválasztott elemet a sokaságból kivesszük, tehát a mintában egy elem sem ismétlődhet. Visszatevés nélküli mintavételnél az n elemű sokaságból (n) r =n (n-1) (n-r+1) számú r elemű minta vehető. Első lépésben az n elemű sokaságból n-féleképpen választható ki az első elem. Minden egyes kiválasztott elemhez második lépésben (n-1)-féleképpen választható ki a második elem, n elem mellé (n-1)-féleképpen rakható második, ez összesen n (n-1). És így tovább. (Lásd párok és elem-r-esek.) Ha r=n, akkor a visszatevés nélküli, n elemű minta a teljes sokaságból áll, és az elemek egy elrendezését (permutációját) jelenti. Ily módon n különböző elem összesen (n) n =n (n-1) 1 különböző módon rakható sorba. Az (n) n helyett az n! (n faktoriális) jelölést szokták használni. n elem közül kiválasztunk r elemet. Az n elemű sokaságból tehát n r számú visszatevéses (ismétléses variáció) és (n) r számú visszatevés nélküli (ismétlés nélküli variáció) r elemű minta vehető, ahol (n) r =n(n-1) (nr+1). Az utóbbi esetben, ha r=n, (n) n =n(n-1) 1 (permutáció). Példa 1. n elemű sokaságból visszatevéssel r elemű véletlen mintát veszünk. Mi a valószínűsége, hogy a mintában egyetlen elem sem fordul elő kétszer, tehát visszatevés nélkül is megkaphatnánk? p= (n) r /n r = n(n-1) (n-r+1)/ n r.. Mi a valószínűsége, hogy 3 véletlenül kiválasztott ember közül legalább kettő egy napon született? (n=365 napból 3 elemű mintát veszünk.) Annak a valószínűsége, hogy a 3 születésnap különböző: p= (n) r /n r = 365n(n-1) (n-r+1)/ n r. p= / ,5. Tehát annak a valószínűsége, hogy a 3 születésnap közül legalább egy azonos p 0,5. 16

17 Részsokaság és partíció Az n elemű sokaság kifejezés n elem összességét jelenti anélkül, hogy utalna az elemek sorrendjére. Így két sokaság csak akkor különböző, ha az egyik tartalmaz olyan elemet, melyet a másik nem. Tekintsük adott n elemű sokaság valamely r részsokaságát. Ha a részsokaság elemeit valahogyan megszámozzuk, akkor r elemű mintát kapunk. Mivel r elemnek r! különböző számozása lehetséges, ezért pontosan r!-szor annyi r-elemű minta van, mint ahány r elemű részsokaság. Tehát (n) r /r! számú r-elemű különböző részsokaság van. Ez akifejezés a binomiális együttható néven ismert, és a következő jelölést szokták használni: n ( n) r r! n Egy n elemű sokaságnak tehát különböző r elemű részsokasága van, ahol r n. Más r n szóval, n elemből különbözőféleképpen választhatunk ki r elemű részhalmazt. Minden r ilyen részhalmazt egyértelműen meghatároz a belőle kimaradó n-r elem, melyek n-r elemű sokaságot alkotnak. Következésképpen pontosan annyi r elemű részsokaság van, mint n-r elemű. Ezért, ha 1 r n, akkor n n r n r r n n közvetlen bizonyításhoz vegyük észre, hogy a r n r felírható az alábbi alakban is n n! r r!( n r)! ha n 0 1 továbbá 0!=1 és (n) 0 =1. n binomiális együttható r Binomiális eloszlás Legyen n kísérletből álló kétféle kimenetelű kísérletsorozatban p a jó és q=1-p a rossz eset valószínűsége. Annak a valószínűsége, hogy n kísérletek során k jó és n-k rossz eset következik be: p k r p k k q rk 17

18 Példa: Mivel az egy kézben lévő kártyák sorrendje nem fontos, bridzsben különböző leosztás kerülhet egy játékoshoz. 5 = Ha r 1, r, r k nemnegatív egész számok és r 1 +r + +r k =n, akkor az n elemű sokaság n! -féleképpen osztható k olyan részre, melyek közül az első r 1 számú, a második r r1! r!... rk! számú, elemet tartalmaz (multinomiális együttható). Hipergeometrikus eloszlás n elemű sokaságban n 1 elem piros és n elem fekete, n 1 +n =n. Válasszunk ki n-ből r elemet véletlenszerűen. Mi a valószínűsége, hogy r elem között pontosan k piros lesz? p k n k 1 n n r k n r 1 n A piros elemek 1 n n1, míg a feketék különböző módon választhatók ki, és bárhogy k r k is választunk ki k piros elemet, ezekhez bármelyik r fekete elem kiválasztható. Az így definiált valószínűségek alkotják a hipergeometrikus eloszlást. Példa: Állatok számának becslése az újra elfogott állatok számából. Tóból kifognak 1000 halat, és mindegyiket megjelölik piros ponttal, majd visszadobják a tóba. Később újra kifognak 1000 halat, és közülük 100-on találnak piros pontot. Hány hal van a tóban? 1. Heurisztikusan hígítási probléma: 10-szeres hígítás: hal van a tóban.. Lehet, hogy csak 1900 hal van a tóban. Ennek mennyi a valószínűsége? p Feladat p legnagyobb értékét megtalálni (maimum likelihood becslés). Ez a feladat azonban már statisztikai probléma! - adatokból a valóságra következtetni a valószínűségszámítás eszközeivel. 18

19 Valószínűségelmélet és matematikai statisztika A valószínűségek ugyanolyan számok, mint a távolságok vagy a tömegek. A valószínűséghez nem feltétlenül kell ismerni a számértékét, ugyanúgy, ahogy a távolság vagy a tömeg fogalmához sem feltétlenül kell konkrét számértéket rendelni. A valószínűség konkrét értékének tapasztalati meghatározása lehetséges a kedvező/összes esetek számának mérésével. Példa: Egy érmét 100-szor feldobunk és megszámoljuk a fejeket. A p valószínűség = a kedvező esetek száma/összes eset száma, tehát a fejek száma osztva a dobások számával. Igazából nem valódi érmére, hanem ideális, elképzelt, hibátlan, tökéletes érmére gondolunk, amelynél a fejek dobásának valószínűsége 0,5. A valódi érménél a fejek dobásánál a kedvező/összes eset aránya csak közelítőleg ad 0,5 értéket. Definíciók és szabályok Adott egy diszkrét (különálló pontokból álló) Ω eseménytér az E 1, E, E i, mintapontokkal. Tételezzük fel, hogy minden E i ponthoz hozzárendelünk egy számot, amelyet E i valószínűségének nevezünk és P(E i )-vel jelölünk. Ezek a számok nemnegatívak és teljesülniük kell rájuk a összefüggésnek. P(E 1 )+P(E )+ +P(E i )+ =1 Definíció: Bármely A esemény P(A) valószínűségén az A-ban lévő mintapontok valószínűségeinek az összegét értjük. P(Ω)=1 0 P(A) 1 P(A 1 A ) P(A 1 )+ P(A 1 ) P(A 1 A ) = P(A 1 )+ P(A 1 ) P(A 1 A ) Ha A 1 A = 0 (A 1 A diszjunkt, egymást kizáró események, akkor: P(A 1 A ) = P(A 1 )+ P(A 1 ) Példa: Kétszer feldobunk egy érmét. Eseménytér: FF, FI, IF, II Mindegyik elemi esemény valószínűsége ¼ A 1 = először fejet dobunk A = másodszor fejet dobunk P(A 1 A ) = ½ + ½ ¼ = ¾ (FF, FI, IF) P(A1 A) = ¼ (FF) Minden véges eseménytér pontjai egyformán valószínűek? Nem. Szabálytalan érme esetén P(A1) P(A) 19

20 Valószínűségszámításnál a rendszer ismert Példa: Van egy szabályos érme, s kétszer feldobjuk. Kérdés: Mi a valószínűsége, hogy két fejet kapunk? Válasz: Eseménytér=FF, FI, IF, II, tehát a FF valószínűsége ¼. Matematikai statisztika alkalmazásánál a rendszer nem ismert. Kevés megfigyelésből (minta) a valóságra következtetünk részben valószínűségszámítási módszerekkel Először rendszerint megfogalmazunk egy feltételezést (hipotézis), és statisztikával ellenőrizzük, hogy igaz-e. Példa: 100-szor feldobunk egy érmét, s 0 esetben kapunk fejet. Kérdés: szabályos-e az érme? Más szavakkal: mi a valószínűsége, hogy 100 feldobásból 0-szor fejet kapok, ha a fej valószínűsége 50 %? Hipotézis: az érme szabályos: p(fej)=p(írás)=0,5 Válasz: dobjunk fel egy szabályos érmét és nézzük meg, hogy! a fejek száma 0 vagy annál kevesebb vagy! 0-nál több. Ezt az eljárást ismételjük meg 1000-szer. Számoljuk meg, hányszor következett be!. Ha! ritkán következik be (p<0,05), elvetem a hipotézist, ha gyakran (p0,05), elfogadom. Valószínűségszámítás alapjai A valószínűségszámítás tapasztalati háttere Példa: Golyók elhelyezése két dobozban: 1 AB - 1 ABC - 1 ABCD - A B AB C ABC D 3 B A 3 AC B 3 ABD C 4 - AB 4 BC A 4 ACD B 5 A BC 5 BCD A 6 B AC 6 AB CD 7 C AB 7 AC BD 8 - ABC 8 AD BC 9 BC AD 10 BD AC 11 CD AB 1 A BCD 13 B ACD 14 C ABD 15 D ABC 16 - ABCD Ha a golyók száma r (, 3, vagy 4) és a dobozok száma n (), a lehetséges elrendezések száma n r. Az n r összes lehetséges elrendezés a teljes eseménytér. 0

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

KUTATÁSMÓDSZERTAN 4. ELŐADÁS. A minta és mintavétel

KUTATÁSMÓDSZERTAN 4. ELŐADÁS. A minta és mintavétel KUTATÁSMÓDSZERTAN 4. ELŐADÁS A minta és mintavétel 1 1. A MINTA ÉS A POPULÁCIÓ VISZONYA Populáció: tágabb halmaz, alapsokaság a vizsgálandó csoport egésze Minta: részhalmaz, az alapsokaság azon része,

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségszámítási alapok

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségszámítási alapok Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségszámítási alapok Bevezetés A tudományos életben vizsgálódunk pontosabb megfigyelés, elırejelzés, megértés reményében. Ha egy kísérletet végzünk, annak

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

Populációbecslések és monitoring

Populációbecslések és monitoring Populációbecslések és monitoring A becslés szerepe az ökológiában és a vadgazdálkodásban. A becslési módszerek csoportosítása. Teljes számlálás. Statisztikai alapfogalmak. Fontos lehet tudnunk, hogy hány

Részletesebben

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM.

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. STATISZTIKA 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. ANNA BÉLA CILI András hármas. Béla Az átlag 3,5! kettes. Éva ötös. Nóri négyes. 1 mérés: dolgokhoz valamely szabály alapján szám rendelése

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem.

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem. Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1 ROC elemzések Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás szóhasználatával A riasztóberendezés érzékeli, ha támadás jön, és ilyenkor riaszt. Máskor nem. TruePositiveAlarm:

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

Orvosi szociológia (1. szeminárium) KUTATÁSMÓDSZERTAN

Orvosi szociológia (1. szeminárium) KUTATÁSMÓDSZERTAN Orvosi szociológia (1. szeminárium) KUTATÁSMÓDSZERTAN (Babbie) 1. Konceptualizáció 2. Operacionalizálás 3. Mérés 4. Adatfeldolgozás 5. Elemzés 6. Felhasználás KUTATÁS LÉPÉSEI 1. Konceptualizáció 2. Operacionalizálás

Részletesebben

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés problémája a pedagógiában Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés fogalma Mérésen olyan tevékenységet értünk, amelynek eredményeként a vizsgált jelenség számszerűen jellemezhetővé, más hasonló jelenségekkel

Részletesebben

Példa a report dokumentumosztály használatára

Példa a report dokumentumosztály használatára Példa a report dokumentumosztály használatára Szerző neve évszám Tartalomjegyzék 1. Valószínűségszámítás 5 1.1. Események matematikai modellezése.............. 5 1.2. A valószínűség matematikai modellezése............

Részletesebben

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg?

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg? KOMBINATORIKA FELADATSOR 1 1. Hányféleképpen rendezhető egy sorba egy óvodás csoport ha 9 lány és 6 fiú van és a lányokat mindig előre akarjuk állítani? 2. Hány 6-jegyű telefonszám van ahol mind 35-tel

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

A biomatematika alapjai és a kapcsolódó feladatok megoldása számítógép segítségével Abonyi-Tóth Zsolt, 2005-2006 készült Harnos Andrea, Reiczigel Jenő zoológus előadásainak valamint Fodor János és Solymosi

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 21. lecke: A feltételes valószínűség, események függetlensége Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Részletesebben

Varianciaanalízis 4/24/12

Varianciaanalízis 4/24/12 1. Feladat Egy póker kártya keverő gép a kártyákat random módon választja ki. A vizsgálatban 1600 választott kártya színei az alábbi gyakorisággal fordultak elő. Vizsgáljuk meg, hogy a kártyák kiválasztása

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Centura Szövegértés Teszt

Centura Szövegértés Teszt Centura Szövegértés Teszt Megbízhatósági vizsgálata Tesztfejlesztők: Megbízhatósági vizsgálatot végezte: Copyright tulajdonos: Bóka Ferenc, Németh Bernadett, Selmeci Gábor Bodor Andrea Centura Kft. Dátum:

Részletesebben

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető!

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető! BGF KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály Budapest, 2012.. Név:... Neptun kód:... Érdemjegy:..... STATISZTIKA II. VIZSGADOLGOZAT Feladatok 1. 2. 3. 4. 5. 6. Összesen Szerezhető pontszám 21 20 7 22

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

Közösségi kezdeményezéseket megalapozó szükségletfeltárás módszertana. Domokos Tamás, módszertani igazgató

Közösségi kezdeményezéseket megalapozó szükségletfeltárás módszertana. Domokos Tamás, módszertani igazgató Közösségi kezdeményezéseket megalapozó szükségletfeltárás módszertana Domokos Tamás, módszertani igazgató A helyzetfeltárás célja A közösségi kezdeményezéshez kapcsolódó kutatások célja elsősorban felderítés,

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k. Az 1,, 3,, elemeknek hány permutációja van, amelynek harmadik jegye 1- es? Írjuk fel őket! Annyi ahányféleképpen

Részletesebben

Készítette: Ernyei Kitti. Halmazok

Készítette: Ernyei Kitti. Halmazok Halmazok Jelölések: A halmazok jele általában nyomtatott nagybetű: A, B, C Az x eleme az A halmaznak: Az x nem eleme az A halmaznak: Az A halmaz az a, b, c elemekből áll: A halmazban egy elemet csak egyszer

Részletesebben

A mintavétel szakszerűtlenségeinek hatása a monitoring-statisztikákra

A mintavétel szakszerűtlenségeinek hatása a monitoring-statisztikákra A mintavétel szakszerűtlenségeinek hatása a monitoring-statisztikákra Vörös Zsuzsanna NÉBIH RFI tervezési referens 2013. április 17. Egy kis felmérés nem kor Következtetések: 1. a jelenlevők nemi megoszlása:

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki.

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. Számítás:. Olvassuk be két pont koordinátáit: (, y) és (2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. 2. Olvassuk be két darab két dimenziós vektor komponenseit: (a, ay) és (b, by). Határozzuk

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

Az értékelés során következtetést fogalmazhatunk meg a

Az értékelés során következtetést fogalmazhatunk meg a Az értékelés során következtetést fogalmazhatunk meg a a tanuló teljesítményére, a tanulási folyamatra, a célokra és követelményekre a szülők teljesítményére, a tanulási folyamatra, a célokra és követelményekre

Részletesebben

Khi-négyzet eloszlás. Statisztika II., 3. alkalom

Khi-négyzet eloszlás. Statisztika II., 3. alkalom Khi-négyzet eloszlás Statisztika II., 3. alkalom A khi négyzet eloszlást (Pearson) leggyakrabban kategorikus adatok elemzésére használjuk. N darab standard normális eloszlású változó négyzetes összegeként

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

S atisztika 2. előadás

S atisztika 2. előadás Statisztika 2. előadás 4. lépés Terepmunka vagy adatgyűjtés Kutatási módszerek osztályozása Kutatási módszer Feltáró kutatás Következtető kutatás Leíró kutatás Ok-okozati kutatás Keresztmetszeti kutatás

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT I. 45 perc A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok

Részletesebben

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 8. Valószínűség-számítás II. Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) 24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

Posztanalitikai folyamatok az orvosi laboratóriumban, az eredményközlés felelőssége

Posztanalitikai folyamatok az orvosi laboratóriumban, az eredményközlés felelőssége Posztanalitikai folyamatok az orvosi laboratóriumban, az eredményközlés felelőssége Autovalidálási folyamatok Lókiné Farkas Katalin Az autovalidálás elméleti alapjai Az előző eredménnyel való összehasonlítás

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika

Valószínűségszámítás és statisztika Valószínűségszámítás és statisztika Programtervező informatikus szak esti képzés Varga László Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Matematikai Intézet Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai változók Adatok megtekintése

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai változók Adatok megtekintése Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai változók Adatok megtekintése Statisztikai változók A statisztikai elemzések során a vizsgálati, vagy megfigyelési egységeket különbözı jellemzık

Részletesebben

Sta t ti t s i zt z i t k i a 3. előadás

Sta t ti t s i zt z i t k i a 3. előadás Statisztika 3. előadás Statisztika fogalma Gyakorlati tevékenység Adatok összessége Módszertan A statisztika, mint gyakorlati tevékenység a tömegesen előforduló jelenségek egyedeire vonatkozó információk

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság Microsoft Excel 2010 Gyakoriság Osztályközös gyakorisági tábla Nagy számú mérési adatokat csoportokba (osztályokba) rendezése -> könnyebb áttekintés Osztályokban szereplő adatok száma: osztályokhoz tartozó

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MSc Órai Feladatok 1. Feladat (Diszkrét eloszlás) Ketten kosárlabdáznak. Az A játékos 0,4 a B játékos 0,3 valószínűséggel dob kosarat. A dobást A kezdi és felváltva dobnak egymás után.

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2010. Június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Dr. Király István Igazságügyi szakértő Varga Zoltán Igazságügyi szakértő Dr. Marosán Miklós Igazságügyi szakértő

Dr. Király István Igazságügyi szakértő Varga Zoltán Igazságügyi szakértő Dr. Marosán Miklós Igazságügyi szakértő Dr. Király István Igazságügyi szakértő Varga Zoltán Igazságügyi szakértő Dr. Marosán Miklós Igazságügyi szakértő Mintaterületek kijelölésének javasolt módjai kapás sortávú növényekre Miért is kell mintatér?

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Nemparametrikus tesztek. 2014. december 3.

Nemparametrikus tesztek. 2014. december 3. Nemparametrikus tesztek 2014. december 3. Nemparametrikus módszerek Alkalmazásuk: nominális adatok (gyakoriságok) esetén, ordinális adatok esetén, metrikus adatok esetén (intervallum és arányskála), ha

Részletesebben

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben

BIOMETRIA (H 0 ) 5. Előad. zisvizsgálatok. Hipotézisvizsg. Nullhipotézis

BIOMETRIA (H 0 ) 5. Előad. zisvizsgálatok. Hipotézisvizsg. Nullhipotézis Hipotézis BIOMETRIA 5. Előad adás Hipotézisvizsg zisvizsgálatok Tudományos hipotézis Nullhipotézis feláll llítása (H ): Kétmintás s hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H ) > = 1 Statisztikai

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI Gazdaságstatisztika 2. előadás Egy ismérv szerinti rendezés Kóczy Á. László KGK VMI Áttekintés Gyakorisági sorok Grafikus ábrázolásuk Helyzetmutatók Szóródási mutatók Az aszimmetria mérőszámai Koncentráció

Részletesebben

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR 1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben kitűzött

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 22. lecke: A teljes valószínűség tétele és a Bayes-tétel Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Részletesebben

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása Nyomaték (x 0 Nm) O k t a t á si Hivatal A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása./ A mágnes-gyűrűket a feladatban meghatározott sorrendbe és helyre rögzítve az alábbi táblázatban feltüntetett

Részletesebben

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli. Igaz-e, hogy tetszőleges A, B és C eseményekre teljesül a A B \ C =

Részletesebben

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS

Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS 1. Kihasználva a hosszasan elhúzódó jó időt, kirándulást szeretnénk tenni az ország tíz legmagasabb csúcsa közül háromra az elkövetkezendő

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL. Szóbeli vizsgatevékenység

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL. Szóbeli vizsgatevékenység KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL A vizsgarészhez rendelt követelménymodul azonosító száma, megnevezése: 2144-06 Statisztikai szervezői és elemzési feladatok A vizsgarészhez rendelt vizsgafeladat megnevezése:

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

A társadalomkutatás módszerei I. Outline. A mintaválasztás A mintaválasztás célja. Notes. Notes. Notes. 13. hét. Daróczi Gergely. 2011. december 8.

A társadalomkutatás módszerei I. Outline. A mintaválasztás A mintaválasztás célja. Notes. Notes. Notes. 13. hét. Daróczi Gergely. 2011. december 8. A társadalomkutatás módszerei I. 13. hét Daróczi Gergely Budapesti Corvinus Egyetem 2011. december 8. Outline 1 célja 2 Alapfogalmak 3 Mintavételi eljárások 4 További fogalmak 5 Mintavételi hiba számítása

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Magyarország kerékpáros nagyhatalom és Budapest minden kétséget kizáróan elbringásodott: egyre többen és egyre gyakrabban ülnek nyeregbe a fővárosban

Magyarország kerékpáros nagyhatalom és Budapest minden kétséget kizáróan elbringásodott: egyre többen és egyre gyakrabban ülnek nyeregbe a fővárosban Magyarország kerékpáros nagyhatalom és Budapest minden kétséget kizáróan elbringásodott: egyre többen és egyre gyakrabban ülnek nyeregbe a fővárosban 2014. június 30. A Magyar Kerékpárosklub legfrissebb,

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI

19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI 19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI Ebben a fejezetben aszimptotikus (nagyságrendi) alsó korlátot adunk az összehasonlításokat használó rendező eljárások lépésszámára. Pontosabban,

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

Magyarország 1,2360 1,4622 1,6713 1,8384 2,0186 2,2043

Magyarország 1,2360 1,4622 1,6713 1,8384 2,0186 2,2043 370 Statisztika, valószínûség-számítás 1480. a) Nagy országok: Finnország, Olaszország, Nagy-Britannia, Franciaország, Spanyolország, Svédország, Lengyelország, Görögország, Kis országok: Ciprus, Málta,

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 16. lecke: Kombinatorika (alapfeladatok) Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 3.1.

Részletesebben

2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar

2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar 2.3.2.2.1.2 Keresztirányú stabilitás nagy dőlésszögeknél A keresztirányú stabilitás számszerűsítésénél, amint korábban láttuk, korlátozott a metacentrikus magasságra való támaszkodás lehetősége. Csak olyankor

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a A merész játékok stratégiája A következő problémával foglalkozunk: Tegyük fel, hogy feltétlenül ki kell fizetnünk 000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a még

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben