1 Jenő. É-matek. É-matek:
|
|
- Antal Jónás
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 1 Jenő 1. Módszertani segédlet csak középiskolás diá koknak! Hogyan elemezzük ki a feladatot? Hogyan alkossunk önmagunk számára szemléletes modellt? Hogyan keressük meg a modell és a matematikai ismeretek kapcsolatait? É-matek Hogyan haladjunk lépésről lépésre a teljes megoldás felé? Ebben a sorozatban ötletek és eljárások sokasága szerepel, amelyek nem biztos, hogy a legjobbak, de hasznosak! Van egyáltalán legjobb ötlet? Akinek nincs egyetlen ötlete sem, annak biztosan segít ez a sorozat az önáll ó ö tlethez vezet ő út megtalálásában! Akinek van, az bővítheti ötlettárát! Minél több ö tletünk van egy-egy probléma megoldására, annál kreatívabbak lehetünk munkánk során! É-matek: Csak azoknak, akik a kudarcfélelem nélküli és sikeres Érettségi vizsgára készülnek! Példa (1) I. Egy iskolában 36 tanuló írt 3 feladatból álló dolgozatot. Húszan oldották meg jól az 1. és 3. feladatot, nyolcan a. és 3. feladatot. Csak az elsőt, illetve csak a másodikat - tanuló. Az 1. vagy a. feladatot viszont 9-en oldották meg jól. A harmadik feladat megoldása szintén 9 tanulónak lett jó. Hibátlan dolgozat három volt. a) Hányan oldottak meg pontosan két feladatot? b) Hozzájuk képest többen vagy kevesebben voltak, akik csak egy feladatot oldottak meg jól? c) Hány olyan tanuló van, akinek egyetlen megoldása sem jó? II. Ennek az iskolának az egyik fakultációs csoportjából négyen utazhatnak el jutalom-kirándulásra. Az egyik tanuló kiszámította, hogy a négy főt 495 féleképpen lehet kiválasztani. a) Hány tanulója van a fakultációs csoportnak? b) Hárman önként lemondanak a jutalom-kirándulásról közös barátjuk javára, ha ő mindenképpen utazhat. Ezt az csoport elfogadta. Így hányféleképpen lehet kiválasztani a jutalom-kirándulás résztvevőit? Ha egy feladatnak számodra hosszú a szövege, akkor részekre bontás nélkül nem érdemes a megoldást elkezdeni. Többnyire az első kérdés utáni részeket célszerű letakarni, vagy elrejteni a szemünk elöl, hogy ne zavarja a munka alá vont rész felfogását, feldolgozását, elemzését stb. Részekre bontás Az első részből, az első olvasás után biztosan megmaradt címszavak: 36 tanuló, dolgozat, három feladat, ezek közül oldottak meg a tanulók bizonyos számút. Vannak olyanok is, akik hibátlanul dolgoztak. Ha újból visszatérünk a szövegre, akkor észrevesszük, hogy a tanulók úgy vannak csoportosítva, hogy hány feladatot oldottak meg a háromból: 1. ÉS 3.;. ÉS 3.; CSAK az 1.; CSAK a.;1. VAGY.; a 3.feladatot; hibátlan, ami azt jelenti, hogy mind a hármat: 1. ÉS. ÉS 3. Kapcsolatteremtés Az ÉS, VAGY kötőszavak segítenek bennünket abban, hogy a halmazokkal kapcsolatos ismereteinket (metszet, unió) szedjük össze és pl. halmazábrákon szemléltessük a megadott adatokat. Legyen pl.: az 1. feladatot megoldó tanulók halmaza: {A}; a. feladatot megoldó tanulók halmaza: {B}; a 3. feladatot megoldó tanulók halmaza: {C}. Itt még nem a tanulók számáról van szó! Mivel vannak olyan tanulók, akik mind a három feladatot megoldották, ezért a három halmaznak van közös része is.
2 Jenő Az adatok szemléletess é tétele Ezt a vázlatos halmazábrát célszerű először elkészíteni pl. a következők szerint: {A}(1.) {B}(.) A tan ulók száma : 36 {C}(3.) Ha elkészült a vázlatos halmazábra, akkor a feladat szövege alapján a halmazábra megfelelő síktartományaihoz hozzárendelhetjük a számokat. (A halmazok abszolút értékét.) Beazonosítás a halmazműveletekkel A feladat szövege szerint haladva, pl.: Húszan oldották meg jól az 1. és 3. feladatot: A C 0 Nyolcan a. és 3. feladatot: B C 8 Csak az elsőt, illetve csak a másodikat - tanuló. Az 1. vagy a. feladatot viszont 9-en oldották meg jól: A B 9 A harmadik feladat megoldása szintén 9 tanulónak lett jó. C 9 Hibátlan dolgozat három volt. A B C 3 Fontos azt észrevenni, hogy ez a három fő már szerepel a megfelelő két-két halmaz metszetében is! Kezdjük ennek a számnak (3) a beírásával! Összefüggések megalkotása A {A}(1.) tan ulók száma : 36 V T S 3 P Q R {C}(3.) {B} (.) Mivel A B 9 ezért, A B C ( ) 4 A kérdésekre adand ó válaszok megfogalmazása Ennyien (33 fő) oldottak meg legalább egy feladatot!
3 3 Jenő Ezért a c) kérdésre könnyen válaszolhatunk elsőre: tanuló van, akinek egyetlen megoldása sem jó. a) Az ábráról jól leolvasható, hogy a pontosan két feladatot megoldók száma: fő. b) Az egyetlen feladatot megoldók száma: < Ha ismerjük és alkalmazzuk a logikai szita elvét három halmazra, akkor a kigyűjtött adatok egyszerű behelyettesítésével is megoldhatjuk a feladatot! Kiszámolhatjuk, hogy hányan oldottak meg legalább egy feladatot a háromból. A B C A + B + C A B A C B C + A B C Az előző adatok között nem szerepel: A + A C ; B + B C 10 Behelyettesítve: A B C Ezek után a kérdések megválaszolása az előzőhöz hasonló módon történhet. A feladatok egy része úgy van megszerkesztve hogy a részek eredményei (megoldásai) között nincs különösebb kapcsolat, az előző eredményeit nem kell felhasználni. Itt most egy ilyen példa szerepel! A feladat először történő olvasásakor ezt jó észrevenni, mert ilyenkor egymástól függetlenül is megoldhatók a részletek. Bontsuk most ki ezt a részletet is! Kapcsolatteremtés, beazonosítás.négy főt 495 féleképpen lehet kiválasztani. a) Hány tanulója van a fakultációs csoportnak? A csoport létszáma természetesen egy véges halmaz elemszáma. Ebből lehet kiválasztani négy fős csoportot 495 féleképpen. A feladat értelméből következik, hogy a 4 fős csoporton belüli megkülönböztetésnek, sorrendnek nincs szerepe. A kiválasztással és a sorba-rendezési problémákkal a kombinatorika (permutáció, variáció, kombináció) foglalkozik. Ennek tartalmát végiggondolva könnyen megállapítható, hogy valahány elem (pl. n ) ismétlés nélküli kombinációinak a száma 495. Összefüggések magalkotása, numerikus műveletek elvégzése Az ismert képletet alkalmazva: n 495; 4 n( n 1)( n n n! 4 4!( n 4)! )( n 3) n ( n 1) ( n 4 ) ( n 3) Az utóbbi egyenlet csak ügyeskedéssel oldható meg. Egy ilyen lehetőség, ha észrevesszük a következő összefüggéseket: n( n 3) n 3n; ( n 1)( n ) n 3n + ha n( n 3) a akkor ( n 1)( n igy az egyenlet : a( a + ) ) a 108 Visszahelyettesítve : n( n 3) 108 n 1 a +
4 4 Jenő A kérdésekre adand ó válaszok megadása Ez azt jelenti, hogy a fakultációs csoport létszáma 1 fő. (Ez volt az a) kérdés!).b) Hárman önként lemondanak a jutalom-kirándulásról közös barátjuk javára, ha ő mindenképpen utazhat. Ezt az csoport elfogadta. Így hányféleképpen lehet kiválasztani a jutalom-kirándulás résztvevőit? Ha a 1 -ből 3 fő lemond, akkor 9 fő marad. Ezek között van az az egy fő, akinek a javára lemondottak, aki biztosan utazik. Ez azt jelenti, hogy neki kell 3 társat választani az őt nélkülöző 8 fős csoportból. Kombinációs alapfeladat: Így a kirándulás résztvevőit 56 féleképpen lehet kiválasztani.
5 5 Jenő Példa () Egy autókereskedés parkolójában 1 5-ig számozott hely van. Minden beérkező autó véletlenszerűen kap parkolóhelyszámot. a) Az üres parkolóba elsőként beparkoló autó vezetőjének szerencseszáma a 7. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a kapott parkolóhelyszámnak van hetes számjegye, vagy a szám hétnek többszöröse? Május 10-én az üres parkolóba 5 kocsi érkezik: 1 ezüstszínű ötajtós, 4 piros négyajtós, piros háromajtós és 7 zöld háromajtós. b) Az üres parkolóba már beálltak a négy és ötajtós autók. Hányféleképpen állhatnak be az üresen maradt helyekre a háromajtósak? (Az azonos színű autókat nem különböztetjük meg egymástól.) A május 10-re előjegyzett 5 vevő az autó színére is megfogalmazta előzetesen a kívánságait. Négyen zöld kocsit rendeltek, háromnak a piros szín kivételével mindegyik megfelel, öten akarnak piros vagy ezüst kocsit, tízen zöldet vagy pirosat. Három vevőnek mindegy, milyen színű kocsit vesz. c) Színek szempontjából kielégíthető-e a május 10-re előjegyzett 5 vevő igénye az aznap reggel érkezett autókkal? A feladat végigolvasása után fontos azt észrevenni, hogy itt az előző részek kapcsolatban vannak a következőkkel! Ugyan arról a parkolóról, autókereskedőről és autókról van szó, színre és az ajtók számára vonatkozóan is. A feladat szövegezése önmagában tagolt, ezeket a részeket kell megtartani. Részenként keressük a kapcsolatokat: a)..véletlenszerűen kap parkolóhelyszámot. Ez azt jelenti, hogy nincs előre meghatározva, hogy milyen számú helyre állhat. Természetesen két autó nem kaphatja ugyanazt a számot!..üres parkolóba elsőként beparkoló autó vezetőjének szerencseszáma a 7. Ebből az következik, hogy ő a 5 hely közül választhat, mert üres parkolóba érkezik..a kapott parkolóhelyszámnak van hetes számjegye, vagy a szám hétnek többszöröse? Az 1-5 számok közül kell a feltételeknek megfelelő számokat, számjegyeket kiválogatni. Hetes számjegye van: 7; 17 számoknak. A hétnek többszörösei: 7; 14; 1. Ezek után a két halmaz metszetébe tartozó számok {7; 14; 17; 1} alkotják a vezető szerencseszámait. Beazonosítás a valószínűség-számítási fogalmakkal, összefüggések A kérdés megválaszolásához egy esemény valószínűségét kell meghatározni! Ehhez a valószínűségszámításnál tanultakat kell felidézni. Mivel ez a vezető a 5 hely közül bármelyiket választhatná, így az eseménytérnek 5 eleme van. Az a megszorítás, hogy a szerencseszáma a 7, azt eredményezi, hogy a {7; 14; 17; 1}, összesen 4 elemi esemény kedvező számára. Az ismert képlet alapján az a) kérdésre adand ó vá lasz: k 4 A) n 5 0,16
6 6 Jenő b) Kapcsolatkeresés. üres parkolóba 5 kocsi érkezik. Ha beállnak az autók, minden parkolóhelyet elfoglalnak. üres parkolóba már beálltak a négy és ötajtós autók. A feladat adatai alapján:1 ezüstszínű ötajtós, 4 piros négyajtós, összesen 16 autó. A fennmaradó helyek száma: Ezekre a helyekre kell beállni a piros háromajtós és 7 zöld háromajtós autónak, az-az ennyi helyet kell kiválasztani a 9 közül..(az azonos színű autókat nem különböztetjük meg egymástól.). Ez azt jelenti, hogy a piros és a zöld színű autókon belül a sorrend nem számít. Beazonosítás, összefüggések megalkotása Ha összegezzük az elemzésnél feltárt összefüggéseket (kiválasztás, a sorrend nem számít), akkor könnyen beazonosítható, hogy kombinációs alapproblémát kell megoldani. Pontosabban 9 elem hetedosztályú, vagy 9 elem másodosztályú kombinációinak a számát kell meghatározni. Az ismert képlet alapján: 9 9! 7 7!(9 7)! 9 9! 36!7! 9! 7!! A feltételek miatt bármelyik színű autók állnak be először a parkolóba, az utána beálló autóknak már nincs választási lehetőségük, mert pont annyi az autó, ahány a parkolóhely (azonos színűek között nem teszünk különbséget). Ezek után megadhatjuk a választ a kérdésre: b) a háromajtós autók 36 féleké ppen állhatnak be a fennmaradó helyekre vagy c) Kapcsolatkeresés Nagyon lényeges annak meglátása, hogy ugyanarról a 5 autóról van szó, mint amelyik a b) részben szerepel! Tehát:..,1 ezüstszínű ötajtós, 4 piros négyajtós, piros háromajtós és 7 zöld háromajtós., c) Színek szempontjából kielégíthető-e a május 10-re előjegyzett 5 vevő igénye az aznap reggel érkezett autókkal? Ez nyilvánvalóan azt jelenti, hogy olyan színű autót vesz át a vevő, amilyen a megrendelésben szerepel.,négyen zöld kocsit rendeltek, háromnak a piros szín kivételével mindegyik megfelel, öten akarnak piros vagy ezüst kocsit, tízen zöldet vagy pirosat. Három vevőnek mindegy, milyen színű kocsit vesz. Ha a számadatokat megvizsgáljuk, akkor az azonnal megállapítható, hogy annyi autó van, ahányat megrendeltek. Kérdés most az, hogy mindenkinek a színnel kapcsolatos igényét is ki tudják-e elégíteni. Engedjük szabadjára fantáziánkat, kreativitásunkat mert sablont itt nem találunk! Lehet pl. az alábbiak szerint gondolkodni, összefüggéseket konstruálni kizárásos alapon.
7 7 Jenő Ha például 8-an csak piros színű autót hajlandók átvenni, akkor nagyon egyszerű a válaszunk, hogy ezt nem tudják teljesíteni, mert összesen csak 6 piros színű autó van készleten. Itt azonban ilyen nem szerepel a megrendelésekben! A zöld színű kocsiknál szerepel egyedül, hogy 4-en csak ezt a színt jelölték meg. Ezen a színen lenne célszerű elindulni! A készletben zöld vagy piros autó összesen 13 darab van. Ebből ha teljesítik a 4 vevő igényét, akkor már csak 9 darab zöld vagy piros lehetőség marad (pontosan:3 zöld és 6 piros), az igény viszont 10 darab zöld vagy piros, az-az a 6 piros autó mellé 4 zöld színű kellene, melyből viszont csak 3 darab van. Ezért a zöld szín ű autókra vonatkoz ó igény biztosan nem elégíthet ő ki.
8 8 Jenő Példa (3) Számországban 40% a valószínűsége annak, hogy valaki szemüveges. Számország lakosságának 50%-a, egyáltalán nem fogyaszt gyümölcsöt. a)legfeljebb a lakosság hány százaléka ehet szemüvegben almát? b) A lakosság legalább hány százaléka ehet szemüveg nélkül gyümölcsöt? c) Ha kiderülne, hogy a szemüvegesek 1, 5%-a nem eszik gyümölcsöt, akkor a gyümölcsfogyasztók hány százalékáról állíthatnánk, hogy szemüveges! Részenként keressük a kapcsolatokat Először a feladat adatait, feltételeit értelmezzük, elemezzük Ezt követően keressük a kérdésekre a választ. Addig nincs értelme a kérdések megválaszolásával foglalkozni, mert csak összezavarhatja gondolatainkat!,40% a valószínűsége annak, hogy valaki szemüveges. Ez azt jelenti pl. hogy 100 emberből 40 szemüveges, 60 ember nem szemüveges. Ezzel azonos állítás, hogy 60% nem szemüveges. A százalékról áttérve 0,4 és 0,6 valószínűségekről beszélünk.(esemény és komplementerének a valószínűsége), 50%-a, egyáltalán nem fogyaszt gyümölcsöt. Ezzel azonos állítás, hogy 50% fogyaszt gyümölcsöt. a)legfeljebb a lakosság hány százaléka ehet szemüvegben almát? A legfeljebb pl. 30% azt jelenti, hogy 30%, vagy ennél kevesebb. A kérdésre adand ó válaszban minkét tulajdonságnak teljesülnie kell: szemüveges és almát eszik. A legfeljebb kitétel megengedi, hogy feltételezzük, mindenki, aki szemüveges almát eszik. Mivel 40% -a szemüveges, így előfordulhat, hogy a lakosság 40%-a, eszik szemüvegben almát. b), A lakosság legalább hány százaléka ehet szemüveg nélkül gyümölcsöt? A legalább pl. 0% azt jelenti, hogy 0%, vagy ennél több.(a kérdés nem teljesen egyértelmű, mert ha valaki szemüveges, nem feltétlenül szemüveget viselve fogyaszt gyümölcsöt, de ettől most tekintsünk el.) Mivel 50% fogyaszt gyümölcsöt és csak 40% a szemüveges akikről feltételezzük hogy eszik gyümölcsöt, akkor is legalább 50%-40% 10% olyan ember van, aki nem szemüveges é s ehet gyümölcsöt.
9 9 Jenő c),a szemüvegesek 1, 5%-a nem eszik gyümölcsöt. Szemüveges 40%, ennek a 1, 5%-a 0,4 0,15 0,05, az-az 5%-nak megfelelő érték. Ez azt jelenti, hogy ennyi szemüveges nem eszik gyümölcsöt. Természetesen azt is jelenti, hogy 40% 5% 35% szemüveges és eszik gyümölcsöt..gyümölcsfogyasztók hány százalékáról állíthatnánk, hogy szemüveges. A gyümölcsfogyasztók a lakosság 50%-a, ebből 35% szemüveges, és eszik gyümölcsöt.
10 10 Jenő Példa (4) Egy urnában csak piros, zöld és kék golyók vannak. A piros golyók száma 18. Egy golyó kihúzása esetén annak a valószínűsége, hogy nem piros golyót (azaz zöldet vagy kéket) húzunk 1 15 del kisebb, mint azé, hogy zöld vagy piros golyót húzunk. Annak a valószínűsége viszont, hogy kék vagy piros golyót húzunk mint annak a valószínűsége, hogy zöld vagy piros golyót húzunk. Hány zöld és hány kék golyó van az urnában? A megoldand ó probléma meghatározása, beazonosítása nagyobb, Nevezhetjük ezt a feladatot egy fordított feladatnak is. Bizonyos eseményekhez köthető valószínűségek értékei vannak megadva, ezekből kell visszafelé okoskodva az elemi események számát (zöld golyók száma; kék golyók száma) meghatározni. Mivel értékek közötti összefüggések az ismertek, ezért a kérdésre adandó válaszhoz ezeket az összefüggéseket kell értelmezni kibontani, a modellt megalkotni a valószínűség-számításnál tanultak felhasználásával. A feladat feltételeinek jelentése, azonosítása 11 szer 10,Egy urnában csak piros, zöld és kék golyók vannak. A piros golyók száma 18. Ha tudnánk, hogy pl. hány kék golyó van és összesen hány golyó van az urnában, akkor a zöld golyók számát egyszerű lenne megmondani. Mivel ilyen adatunk nincs, ezért két változó bevezetése szükséges: a zöld golyók száma legyen z, a kék golyók száma legyen k. Így az első megállapításunk az, hogy az urnában lévő golyók száma: 18 + z + k, ahol z és k pozitív egész számok. Részenként alkossuk meg az összefüggések adatokkal kifejezett modelljét,egy golyó kihúzása esetén annak a valószínűsége, hogy nem piros golyót húzunk.., Ez értelemszerűen azt jelenti, hogy zöldet, vagy kéket húzunk a 18 + z + k számú golyó közül. A valószínűség-számításnál megismert kombinatorikus összefüggést alkalmazva: A) kedvező összes z + k 18 + z + k, hogy zöld vagy piros golyót húzunk. A zöld vagy a piros is kedvező húzás 18 + z + k golyó közül. B) kedvező összes z z + k
11 11 Jenő, Egy golyó kihúzása esetén annak a valószínűsége, hogy nem piros golyót (azaz zöldet vagy kéket) húzunk 1 15 del kisebb, mint azé, hogy zöld vagy piros golyót húzunk. A feladat egyértelműen megadja, hogy 1 A) < B). Az-az P ( A) + B) Ezzel a feladat harmadik mondatában szereplő 15 összefüggéshez megalkottuk a problémát megoldó modell első egyenletét. A negyedik mondat összefüggéseiből megalkotott egyenlet, Annak a valószínűsége viszont, hogy kék vagy piros golyót húzunk.., Természetesen itt is a 18 + k + z számú golyó közül k + 18 C) 18 + k + z,annak a valószínűsége, hogy zöld vagy piros golyót húzunk z + 18 D) 18 + k + z,annak a valószínűsége viszont, hogy kék vagy piros golyót húzunk nagyobb, mint annak a valószínűsége, hogy zöld vagy piros golyót húzunk. A megadott összefüggés alapján D) < C), az-az 11 C) D) 10 Rendszerezzük az egyenleteket A megoldás modelljét a két egyenletből álló egyenletrendszert- ezek után a következőkben foglalhatjuk egységbe: 1 11 P ( A) + B) C) D) szer A) kedvező összes z + k 18 + z + k B) kedvező összes z z + k 1.) z + k 18 + z + + k 1 15 z z + k k + 18 C) 18 + k + z z + 18 D) 18 + k + z.) k k + z 11 z k + z 1,1( z + 18) 18 + k + z
12 1 Jenő Egyenletmegoldás, numerikus műveletek Az 1.) és.) egyenletekből álló egyenletrendszer megoldásához először törtmentes alakra hozzuk az egyenleteket: 1.) 16k + z 5.) k ,1 (z + 18) Ezek megoldásából kapjuk, hogy z 1 és k 15. Válasz a feladat kérdéseire A feladat szövege alapján a zöld golyók száma 1, a kék golyók száma 15. Összesen golyó van az urnában. Az eredmények ellenőrzése A megoldást ellenőrizhetjük is az adatok eredeti szövegbe történő visszahelyettesítésével! z + k A) 18 + z + k 7 45 z + 18 B) 18 + z + k B) A) k + 18 C) 18 + k + z z + 18 D) 18 + k + z C) D)
13 13 Jenő Példa (5) Az alábbi négyzetrács labirintus két átellenes pontjában, a kijáratoknál, egy egér illetve egy macska van. Mindketten adott jelre, ugyanakkora sebességgel, elindulnak a szemközti kijárat felé úgy, hogy minden lépésben közeledjenek a céljukhoz. Egymást nem látják, útválasztásuk az elágazásokban véletlenszerű.(ez azt jelenti, hogy amikor az elágazáshoz érnek, a lehetséges két irány közül egyenlő valószínűséggel választanak.) a) Hányféle úton juthat el az egér a P pontba? b) Hányféle úton juthat el a macska a Q pontba? c) Ha a macska nem állná útját, akkor hányféle úton juthatna el az egér a szemközti kijárathoz? d) Hányféle úton találkozhat az egér és a macska? e) Mekkora valószínűséggel találkoznak? A feladat feltételeinek jelentése, azonosítása Először a feltételeket értelmezzük nagyon figyelmesen, mert ez meghatározóan fontos!. a kijáratoknál. Ez azt jelenti, hogy itt lehet belépni a labirintusba, illetve kilépni a labirintusból, más rácspontoknál nem. Ezek egymással szemközti kijáratok., minden lépésben közeledjenek a céljukhoz. Ez nagyon lényeges, hiszen ez szab határt annak, hogy nem lehet cikázva haladni, hanem mindig közeledni kell a cél felé. Más szóval: ha pl. a P pontot akarja az egér megközelíteni és balra indul el, akkor a következő lehetőségnél már nem mehet jobbra, mert valamikor ismét balra kell vennie az útirányt stb., ami feleslegesen megtett út, nem szolgálta a cél felé való közeledést.
14 14 Jenő a) Hányféle úton juthat el az egér a P pontba? Összesen min dig 3" lépés" felfelé Kapcsolatkeresés Az ábra alapján azt kell megfigyelni, hogy összesen hány úton jut el az egér a megadott ponthoz. Az biztos, hogy ha pl. balra indul, akkor az első elágazásnál felfelé kell haladnia 3-t. Ebből már jól látható, hogy ha egy elágazás egy lépés, akkor összesen 4 lépés után jut el az egér a P pontba. Ezt a 4 lépést annyiféleképpen tudja megtenni, ahányféleképpen a balra lépést megteheti a négy lépés közül. Beazonosítás Ezek után gondolkodhatunk úgy, hogy a feladat kiválasztással kapcsolatos, a sorrend nem számít, ismételni az utat nem lehet. Az-az a 4 elem elsőosztályú, ismétlés nélküli kombinációinak a száma megadja, hogy az egér hányféle úton juthat el a P pontba. Az ismert összefüggést alkalmazva: n 1 4 C k n C4 4 k 1 Válasz a feladat kérdésére Ezek után a válasz a kérdé sre: az adott feltételek mellett az egér 4 -féle úton juthat el a P pontba. Kereshetünk más utat is Természetesen lehet más módon is számolni! A négy lépést egy halmazba sorolva, egy olyan halmazt kapunk, amelynek elemei: {balra, fel, fel, fel}. Annyi út létezik, ahány sorrendje van ennek a 4 elemnek. Így már permutációs alapprobléma, pontosabban az ismétléses permutációk számát kell az ismert képlettel meghatározni. 3;1 4! P4 4 3!1! Ilyen típusú feladatoknál a Pascal-háromszög is jól alkalmazható, de gondolom a bemutatott két lehetőség mindenki számára követhető és érthető!
15 15 Jenő b) Hányféle úton juthat el a macska a Q pontba? Ha az első kérdést ilyen részletességgel kielemeztük, akkor ennek a kérdésnek a megválaszolása már nem okoz különösebb nehézséget. összesen lefelé összesen jobbra Kapcsolatkeresés az előz ő megoldással Itt is 4 lépésről van szó! Ezek közül mindig jobbra, mindig lefelé történik, természetesen nem mindig ilyen sorrendben. Az-az itt is 4 elemből kell kettes csoportot kiválasztani, úgy, hogy a csoporton belüli sorrend nem számít. Ismét kombinációs alapfeladatra vezettük vissza: C 4 4!!! 4 Ezek után a válasz a kérdé sre: az adott feltételek mellett a macska 6 -féle úton juthat el a Q pontba. 6 Ha más megközelítést veszünk, akkor annyi úton közelítheti meg a macska a Q pontot, ahány sorrendje van a {jobbra, jobbra, lefelé, lefelé} halmaznak. Az ismétléses permutációk számát felhasználva: ; 4! P4 6!!
16 16 Jenő c) Ha a macska nem állná útját, akkor hányféle úton juthatna el az egér a szemközti kijárathoz? összesen 4 balra összesen 4 felfelé A feltételek jelentése, értelmezése A szemközti kijárat természetesen csak az lehet, ahol eredetileg a macska van. Az egérnek, ahhoz hogy ide eljusson összesen 4 lépést kell tennie felfelé és ugyanennyit balra is. Az-az összesen 8 lépést az eredetileg megadott feltételek mellett. Kapcsolatkeresés az előz ő megoldással A kérdés már ismerős, hiszen ismét arra kell válaszolni, hogy a 8 lépésből pl. a 4 balra lépést hányféleképpen lehet kiválasztani, hiszen minden kiválasztás egy-egy utat jelent. Természetesen itt a balra lépéseken belül a sorrend nem számít. Alapfeladat: a kombinációk számát kell meghatározni! C 8 4 8! 4!4! Ezek után a válasz a kérdé sre: az adott feltételek mellett az egér 70 -féle úton juthat el a vele szemközti kijárathoz. Ha más megközelítést veszü nk, akkor annyi úton közelítheti meg az egér a vele szemközti kijáratot, ahány sorrendje van a {balra, balra, balra, balra, felfelé, felfelé, felfelé, felfelé} halmaznak. Az ismétléses permutációk számát felhasználva: P 8! 4!4! 4;4 8 70
17 17 Jenő d) Hányféle úton találkozhat az egér és a macska? S R A T A feltételek jelentése, értelmezése Mivel a feladat szövege szerint egyenletes sebességgel haladnak, ez azt jelenti, hogy egy-egy lépést ugyanannyi idő alatt tesznek meg. Természetesen azt is jelenti, hogy ugyanannyi lépét ugyanannyi idő alatt tesznek meg. Pl. ha a P pontba való eljutást vizsgáljuk akkor az egér útvonala lehet 3 felfelé és egy balra. A macska eljutása ugyanebbe a pontba a következő útvonal lehet: 3 jobbra és egy lefelé. Mindketten 4 4 lépést tettek meg. Mivel azonos a sebességük, ezért ez egy találkozási pont lehet. Ha pl. az A pontot vizsgáljuk, akkor látható, hogy az egér 3 lépésben, a macska 5 lépésben tud oda eljutni. Mivel azonos a sebességük, így az ilyen tulajdonságú pontokban biztosan nem találkoznak. Kapcsolatkeresés Ezek után nem nehéz észrevenni, hogy csak a P és Q pontokat tartalmazó átlóra eső rácspontokban találkozhatnak, mivel mindketten azonos számú lépéssel juthatnak el ezekbe a pontokba. Az is igaz, hogy ugyanannyi út vezet ezekbe a pontokba ha a macska, vagy az egér szempontjából vizsgáljuk az utak számát. Az ábráról is jó leolvasható az egyes pontokba vezető utak száma, mivel a két pontba (P és Q) vezető utak számát az előzőekben meghatároztuk és Q a szimmetriaközéppontja ennek a labirintusnak: S: 1; P: 4; Q: 6; R: 4; T: 1. (A Pascal-háromszög negyedik sorának számai, binomiális együtthatók értékei!) A kérdés az, hogy hányféle ú ton találkozhatnak. Vegyük például a P pontot, és nézzük meg hányféle út megtételekor találkozhatnak. Az egér bármelyik utat választja a 4 közül, a macska az egér mindegyik választása esetén 4 különböző úton juthat el a P pontba. Ez azt jelenti, hogy féle úton találkozhatnak Így összesen: féle úton találkozhatnak.
18 18 Jenő e) Mekkora valószínűséggel találkoznak? Lényegében az előz ő adatok felhasználásával egyszerűen tudunk a kérdésre válaszolni. A macska és az egér is egyenként 70-féleképpen juthat ki a labirintusból. Ez azt jelenti, hogy összesen lehetőséggel kell számolnunk (összes elemi esemény). Ebből éppen hetvenszer találkoznak (kedvező elemi esemény). Az ismert kombinatorikus összefüggést felhasználva a keresett valószínűség: k 70 1 A) n ,0143
19 19 Jenő Példa (6) A 1.-es matematika-fakultáción 18-an tanulnak. Mindenki egy vagy két tantárgyat választott emelt szintű érettségire a matematika, a fizika és a történelem közül. 15-en választották a matematikát, 8- an a fizikát, 7-en a történelmet. a) Hányan választottak pontosan két tantárgyat? b) A történelem és a fizika emelt szintű érettségit senki nem választotta egyszerre. A csak történelmet választók kétszer annyian vannak, mint akik csak a fizikát választották. Ebben az esetben hányan vannak, akik a matematika mellé a fizikát, illetve a történelmet választották? Először a feltételeket vegyük sorra és azonnal rájövünk, hogy a választott tantárgyak száma (matematika + fizika + történelem) lényegesen több, mint a tanulók száma. Az első , a tanulók száma pedig 18. A feltételek részekre bontása. Mindenki egy vagy két tantárgyat választott.., ebből kiderül, hogy három tantárgyat egyetlen tanuló sem választott, csak egy vagy két tantárgyat, de mindenki választott legalább egyet. Kapcsolatkeresés a) Hányan választottak pontosan két tantárgyat? Ha mindenki csak egy tantárgyat választott volna, akkor az 18 tantárgy. Mivel , így ennyi tanul ó választott pontosan két tantárgyat. b a c Egy másik megközelítése lehet a megoldásnak, ha az ábra jelöléseit használva a-val, b-vel és c-vel jelöljük azoknak a tanulóknak a számát, akik pontosan két tantárgyat választottak. Ekkor a csoport létszámát megkapjuk, ha a 30-ból levonjuk az a + b +c összegét. Az-az 30- (a +b +c) 18. Ebből a + b + c 1.
20 0 Jenő b) A történelem és a fizika emelt szintű érettségit senki nem választotta egyszerre. A csak történelmet választók kétszer annyian vannak, mint akik csak a fizikát választották. Ebben az esetben hányan vannak, akik a matematika mellé a fizikát, illetve a történelmet választották? Modellezzü k a feladat adatait a halmazábrán, mielőtt az összefüggéseket megfogalmazzuk! a b 0 c 0..A történelem és a fizika emelt szintű érettségit senki nem választotta egyszerre. Ebből egyértelműen adódik, hogy az ábra jelölése szerint a c 0.. A csak történelmet választók.., Mivel történelmet választotta 7 fő, ebből történelmet és matematikát b fő, ezért a csak történelmet 7 b fő választotta., csak a fizikát választották.., Mivel a fizikát választotta 8 fő, ebből fizikát és matematikát a fő, ezért a csak fizikát választók száma 8 a fő..a csak történelmet választók kétszer annyian vannak, mint akik csak a fizikát választották. Ebből egyértelműen adódik, hogy 7 b (8 a), az-az, a- b 9. Másrészt az előző pont eredménye alapján a + b + c 1, de itt a c 0 miatt a + b 1. Ebben az esetben hányan vannak, akik a matematika mellé a fizikát, illetve a történelmet választották? Ennek az egyenletrendszernek a megoldásából adódik, hogy a 7 és b 5. Az-az 7 olyan tanul ó van, aki a matematika mell é a fizikát választotta, és 5 olyan tanul ó, aki a matematika mell é a történelmet.
1.1. Halmazok. 2. Minta - 5. feladat (2 pont) Adott két halmaz:
1.1. Halmazok 2009. május id. - 11. feladat (3 pont) A H halmaz elemei legyenek a KATALINKA szó betűi, a G halmaz elemei pedig a BICEBÓCA szó betűi. Írja fel a H U G halmaz elemeit! 2010. október - 1.
RészletesebbenHalmazok. A és B különbsége: A \ B. A és B metszete: A. A és B uniója: A
Halmazok Érdekes feladat lehet, amikor bizonyos mennyiségű adatok között keressük az adott tulajdonsággal rendelkezők számát. A következőekben azt szeretném megmutatni, hogy a halmazábrák segítségével,
RészletesebbenHALMAZOK 2. Feladat Év Kész Nem ment. 1) Egy osztály tanulói valamennyien vettek. 2) Egy 10 tagú csoportban mindenki beszéli az
HALMAZOK 2 Feladat Év Kész Nem ment 1) Egy osztály tanulói valamennyien vettek színházjegyet. Kétféle előadásra rendeltek jegyeket: az elsőre 18-at, a másodikra 24-et. 16 tanuló csak a második előadásra
RészletesebbenKombinatorika - kidolgozott típuspéldák
Kombinatorika - kidolgozott típuspéldák az összes dolgot sorba rakjuk minden dolog különböző ismétlés nélküli permutáció Hányféleképpen lehet sorba rakni n különböző dolgot? P=1 2... (n-1) n=n! például:
RészletesebbenValószínűség számítás
Valószínűség számítás 1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2. Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor mekkora
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen
RészletesebbenFPI matek szakkör 8. évf. 4. szakkör órai feladatok megoldásokkal. 4. szakkör, október. 20. Az órai feladatok megoldása
4. szakkör, 2004. október. 20. Az órai feladatok megoldása Most csak három önmagában nem nehéz feladatot kapsz, és a feladatot magadnak kell általánosítani, szisztematikusan adatot gyűjteni, általános
RészletesebbenKÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. október 21. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2008. október 21. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika
Részletesebben7! (7 2)! = 7! 5! = 7 6 5! 5 = = ből 4 elem A lehetőségek száma megegyezik az 5 elem negyedosztályú variációjának számával:
Kombinatorika Variáció - megoldások 1. Hány kétjegyű szám képezhető a 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyekből. ha minden számjegyet csak egyszer használhatunk fel? A lehetőségek száma annyi, mint amennyi 7 elem
RészletesebbenNyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 1. MA3-1 modul. Kombinatorika
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 1. MA3-1 modul Kombinatorika SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI.
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3
Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet
Részletesebben8. GYAKORLÓ FELADATSOR MEGOLDÁSA. (b) amelyiknek mindegyik számjegye különböző, valamint a második számjegy a 2-es?
8. GYAKORLÓ FELADATSOR MEGOLDÁSA 1. Az 1, 2,,,, 6 számjegyekből hány hatjegyű számot alkothatunk, (a) amelyiknek mindegyik számjegye különböző? (b) amelyiknek mindegyik számjegye különböző, valamint a
Részletesebbenaz Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára ; halmaz összes részhalmazát!
1. témakör: HALMAZELMÉLET A feladatok megoldásához használjuk a Négyjegyű függvénytáblázatot! Halmazok: 8-9. oldal 1. Sorold fel az a b x y halmaz összes részhalmazát!. AdottU alaphalmaz, és annak két
RészletesebbenMatematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus
Matematika szintfelmérő dolgozat a 018 nyarán felvettek részére 018. augusztus 1. (8 pont) Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 6 4 x 13 6 x + 6 9 x = 0 6 ( ) x 4 13 9 6 4 x 13 6
RészletesebbenSzámelmélet Megoldások
Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenK O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k
K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k. Az 1,, 3,, elemeknek hány permutációja van, amelynek harmadik jegye 1- es? Írjuk fel őket! Annyi ahányféleképpen
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 201. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 201. ősz Kombinatorika Diszkrét matematika 1. 201. ősz 2. Kombinatorika Kombinatorika
RészletesebbenJáték a szavakkal. Ismétléses nélküli kombináció: n különböző elem közül választunk ki k darabot úgy, hogy egy elemet csak egyszer
Játék a szavakkal A következőekben néhány szóképzéssel kapcsolatos feladatot szeretnék bemutatni, melyek során látni fogjuk, hogy egy ábrából hányféleképpen olvashatunk ki egy adott szót, vagy néhány betűből
Részletesebben(6/1) Valószínűségszámítás
(6/1) Valószínűségszámítás 1) Mekkora annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2) Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor
RészletesebbenDefiníció n egymástól megkülönböztethető elem egy sorrendjét az n elem egy (ismétlés nélküli) permutációjának nevezzük.
9. Kombinatorika 9.1. Permutációk n egymástól megkülönböztethető elem egy sorrendjét az n elem egy (ismétlés nélküli) permutációjának nevezzük. n elem ismétlés nélküli permutációinak száma: P n = =1 2
Részletesebben24. tétel. Kombinatorika. A grá fok.
2009/2010 1 Huszk@ Jenő 24. tétel. Kombinatorika. A grá fok. 1.Kombinatorika A kombinatorika a véges halmazokkal foglalkozik. Olyan problémákat vizsgál, amelyek függetlenek a halmazok elemeinek mibenlététől.
Részletesebben1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)
1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév kezdők III. kategória I. forduló
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/013-as tanév kezdők I II. kategória II. forduló kezdők III. kategória I. forduló Megoldások és javítási útmutató 1. Egy osztályban
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.
Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Halmazok, logika
Érettségi feladatok: Halmazok, logika 2005. május 10 18. Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először Ádám
RészletesebbenAzaz 56 7 = 49 darab 8 jegyű szám készíthető a megadott számjegyekből.
1 Kombináció, variáció, permutáció 1. Hányféleképpen rakhatunk be 6 levelet 1 rekeszbe, ha a levelek között nem teszünk különbséget és egy rekeszbe maximum egy levelet teszünk? Mivel egy rekeszbe legfeljebb
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
RészletesebbenSzerencsejátékok. Elméleti háttér
Szerencsejátékok A következőekben a Szerencsejáték Zrt. által adott játékokat szeretném megvizsgálni. Kiszámolom az egyes lehetőségeknek a valószínűségét, illetve azt, hogy mennyi szelvényt kell ahhoz
RészletesebbenFeladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3
Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;
RészletesebbenTananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,
// KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 17. lecke: Kombinatorika (vegyes feladatok) Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 3.1.
RészletesebbenTananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,
// KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 16. lecke: Kombinatorika (alapfeladatok) Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 3.1.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenKombinatorika. Permutáció
Kombinatorika Permutáció 1. Adva van az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegy. Hány különböző 9-jegyű szám állítható elő ezekkel a számjegyekkel, ha a számjegyek nem ismétlődhetnek? Mi van akkor, ha a szám
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenKörnyezet statisztika
Környezet statisztika Permutáció, variáció, kombináció k számú golyót n számú urnába helyezve hányféle helykitöltés lehetséges, ha a golyókat helykitöltés Minden urnába akárhány golyó kerülhet (ismétléses)
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. EMELT SZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. EMELT SZINT 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x x 4 log 9 10 sin x x 6 I. (11 pont) sin 1 lg1 0 log 9 9 x x 4 Így az 10 10 egyenletet kell megoldani,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I.
1) Adott két pont: A ; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 10. KÖZÉP SZINT I. és B 1; Írja fel az AB szakasz 1 1 F ; F ;1 ) Az ábrán egy ; intervallumon
RészletesebbenAz egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?
1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenAz egyszerűsítés utáni alak:
1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű
Részletesebben5. feladatsor megoldása
megoldása I. rész ( ) = 1. x x, azaz C) a helyes válasz, mivel a négyzetgyökvonás eredménye csak nemnegatív szám lehet.. A húrnégyszögek tétele szerint bármely húrnégyszög szemközti szögeinek összege 180.
RészletesebbenIsmétlés nélküli kombináció
Ismétlés nélküli kombináció Hányféleképpen lehet n különböz elembl kiválasztani k elemet úgy, hogy a sorrend nem számít, és minden elemet csak egyszer választhatunk? 0. Egy 1 fs csoportban hányféleképpen
RészletesebbenI. rész. 1. feladat Oldjuk meg a következő egyenletrendszert, illetve egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!
Paróczay József, 00. november Emelt szintű érettségi feladatsor és megoldása Összeállította: Paróczay József 00. november I. rész. feladat Oldjuk meg a következő egyenletrendszert, illetve egyenlőtlenséget
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Halmazok
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Halmazok 1) Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először
RészletesebbenKOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula
KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben
Részletesebben1. A kísérlet naiv fogalma. melyek közül a kísérlet minden végrehajtásakor pontosan egy következik be.
IX. ESEMÉNYEK, VALÓSZÍNŰSÉG IX.1. Események, a valószínűség bevezetése 1. A kísérlet naiv fogalma. Kísérlet nek nevezzük egy olyan jelenség előidézését vagy megfigyelését, amelynek kimenetelét az általunk
RészletesebbenAzonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2008. május 6. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2008. május 6. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM
RészletesebbenLogikai szita (tartalmazás és kizárás elve)
Logikai szita (tartalmazás és kizárás elve) Kombinatorika 5. előadás SZTE Bolyai Intézet Szeged, 2016. március 1. 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Halmazok
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Halmazok 1) Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat.
Részletesebben1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.
1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HLMZOK halmaz axiomatikus fogalom, nincs definíciója. benne van valami a halmazban szintén axiomatikus fogalom,
RészletesebbenDÖNTŐ MEGOLDÁSOK 5. OSZTÁLY
5. OSZTÁLY 1.) A páratlan számjegyek száma 5, közülük 1 db, illetve 3 db lehet a háromjegyű számunkban. Ha mindhárom számjegy páratlan, akkor az 5 lehetőségből választhatunk mindhárom helyiértékre. Így
RészletesebbenSorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
RészletesebbenIsmétlés nélküli permutáció
Ismétlés nélküli permutáció Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböz elemet úgy, hogy a sorrend számít? (Ezt n elem ismétlés nélküli permutációjának nevezzük.) Például hány féleképpen lehet sorba
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:
RészletesebbenSzínes érettségi feladatsorok matematikából középszint írásbeli
Színes érettségi feladatsorok matematikából középszint írásbeli I. rész 1. Mivel egyenlő ( x 3) 2, ha x tetszőleges valós számot jelöl? A) x 3 B) 3 x C) x 3 2. Mekkora az a és b szöge az ábrán látható
Részletesebben1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.
1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét
RészletesebbenHalmazműveletek feladatok
Halmazműveletek feladatok Soroljuk fel a {a; b; c} halmaz összes részhalmazát! Határozza meg az A és B halmazokat, ha tudja, hogy A B ={1;2;3;4;5}; A B ={3;5}; A\B={1}; B\A={2;4 A={-1; 0; 1; 2; 5; 7; 8}
Részletesebben4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont
I. 1. A páros számokat tartalmazó részhalmazok: 6 ; 8 ; 6 ; 8. { } { } { }. 5 ( a ) 17 Összesen: t = = a a Összesen: ot kaphat a vizsgázó, ha csak két helyes részhalmazt ír fel. Szintén jár, ha a helyes
Részletesebben1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI. = 6. Ezek a sorozatok a következők: ab, ac, ba, bc, ca, cb.
1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI Elméleti áttekintés Ismétlés nélküli variáció. Egy n elemű halmazból képezhető k elemű sorozatok száma, ha a sorozatok nem tartalmaznak ismétlődést n! (1 = n (n 1... (n k (n k
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. A: József Attila hosszú versei D: az osztály legokosabb tanulója
Megoldások 1. Melyik határoz meg halmazt az alábbiak közül? A: József Attila hosszú versei D: az osztály legokosabb tanulója B: az első tíz prímszám E: Debrecen általános iskolái C: néhány darab páros
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 29. KÖZÉPSZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 9. KÖZÉPSZINT 1) Mely x valós számokra igaz, hogy x I. 9? x 1 3. x 3. Összesen: pont ) Egy háromszög egyik oldalának hossza 10 cm, a hozzá tartozó magasság hossza 6 cm.
RészletesebbenA) 0 B) 2 C) 8 D) 20 E) 32
1. X és Y egyjegyű nemnegatív számok. Az X378Y ötjegyű szám osztható 72-vel. Mennyi X és Y szorzata? A) 0 B) 2 C) 8 D) 20 E) 32 2. Hány valós gyöke van a következő egyenletnek? (x 2 1) (x + 1) (x 2 1)
Részletesebben1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek
1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Határozza meg az (A B)\C halmaz elemszámát, ha A tartalmazza az összes 19-nél kisebb természetes számot, továbbá B a prímszámok halmaza
RészletesebbenHHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:
Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik
RészletesebbenKombinatorika gyakorló feladatok
Kombinatorika gyakorló feladatok Egyszerűbb gyakorló feladatok 1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? P = 3 2 1 = 6. 3 2. Hány különböző négyjegyű számot
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 1411 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. október 14. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:
RészletesebbenA matematikai feladatok és megoldások konvenciói
A matematikai feladatok és megoldások konvenciói Kozárné Fazekas Anna Kántor Sándor Matematika és Informatika Didaktikai Konferencia - Szatmárnémeti 2011. január 28-30. Konvenciók Mindenki által elfogadott
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT
) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat
RészletesebbenKombinatorika avagy hányféleképp? Piros, fehér zöld színekből hány ország számára tudunk különböző zászlókat készíteni?
Kombinatorika avagy hányféleképp? Piros, fehér zöld színekből hány ország számára tudunk különböző zászlókat készíteni? Kombinatorika avagy hányféleképp? Zsuzsi babájának négyféle színes blúza és kétféle
RészletesebbenMatematika érettségi emelt 2008 október. x 2 0. nem megoldás. 9 x
Matematika érettségi emelt 8 október ( ) lg( 8) 8 8 nem megoldás lg( 8) 8 9 ] ; [ ] ; [, M {;} Matematika érettségi emelt 8 október 6 I. eset II. eset ;[ ] 5 5 6 ;[ ], [ [; 5 5 6 [ [; 4, {;} M Matematika
RészletesebbenVALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA
VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események
RészletesebbenMinta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész
2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához
RészletesebbenJAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ
JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak
RészletesebbenHEXAÉDEREK. 5. Hányféleképpen lehet kiolvasni Erdős Pál nevét, ha csak jobbra és lefelé haladhatunk?
HEXAÉDEREK 0. Két prímszám szorzata 85. Mennyi a két prímszám összege? 1. Nyolc epszilon találkozik egy születésnapi bulin, majd mindenki kézfogással üdvözli egymást. Ha eddig 11 kézfogás történt, hány
RészletesebbenTananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,
// KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 21. lecke: A feltételes valószínűség, események függetlensége Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,
RészletesebbenI. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása
11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel
RészletesebbenTananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,
// KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 22. lecke: A teljes valószínűség tétele és a Bayes-tétel Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,
RészletesebbenA III. forduló megoldásai
A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak
Részletesebbensemelyik kivett golyót nem tesszük vissza később az urnába. Hányféle színsorrendben tehetjük ezt meg?
VIII. KOMBINATORIKA VIII.1. Kombinatorikai alapfeladatok 1. Példa. Egy urnában egy piros golyó P, egy fehér golyó F és egy zöld golyó Z van. Egymás után kihúzzuk a három golyót, semelyik kivett golyót
RészletesebbenPróbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc
PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május MATEMATIKA EMELT SZINT 240 perc A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben
RészletesebbenI. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)
MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,
RészletesebbenMegoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!
MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
Részletesebben1. Feladatsor. I. rész
. feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 113 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fontos tudnivalók
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Részletesebben3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek
. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.
RészletesebbenHALMAZOK. A racionális számok halmazát olyan számok alkotják, amelyek felírhatók b. jele:. A racionális számok halmazának végtelen sok eleme van.
HALMAZOK Tanulási cél Halmazok megadása, halmazműveletek megismerése és alkalmazása, halmazok ábrázolása Venn diagramon. Motivációs példa Egy fogyasztó 80 000 pénzegység jövedelmet fordít két termék, x
RészletesebbenFeladatok a MATEMATIKA. standardleírás 2. szintjéhez
Feladatok a MATEMATIKA standardleírás 2. szintjéhez A feladat sorszáma: 1. Standardszint: 2. Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazok Képes különböző elemek közös tulajdonságainak felismerésére.
RészletesebbenPRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA május-június EMELT SZINT. Vizsgafejlesztő Központ
PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA EMELT SZINT Vizsgafejlesztő Központ Kedves Tanuló! Kérjük, hogy a feladatsort legjobb tudása szerint oldja meg! A feladatsorban található szürke téglalapokat
Részletesebben2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget!
Matematika vizsga 014. 9. osztály Név: Az 1-1. feladatok megoldását a feladatlapra írd! A 1-19. feladatokat a négyzetrácsos lapon oldd meg! 1. Számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét! 0, = = p
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a 4 egyjegyű pozitív osztóinak halmazát! A keresett halmaz: {1 4 6 8}. ) Hányszorosára nő egy cm sugarú kör területe, ha a sugarát háromszorosára
RészletesebbenKombinatorika. I. típus: Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböző elemet úgy, hogy a sorrend számít? (Ismétlés nélküli permutáció)
Kombinatorika Az első n pozitív egész szám szorzatát n faktoriálisnak nevezzük és n! jellel jelöljük: n! := 1 2 3 4... (n 1) n 0! := 1 1! := 1 I. típus: Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböző
RészletesebbenARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY
Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.
RészletesebbenPRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA
PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2017. február 18. STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ MATEMATIKA EMELT SZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2017. február 18. Az írásbeli próbavizsga időtartama: 240 perc Kérjük, nyomtatott,
Részletesebbenegyenlőtlenségnek kell teljesülnie.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Részletesebben