A kísérletek ismétlése. Randomizálás = Véletlenítés. A tervezés kezdeti lépései. A faktoriális tervezés. Kísérlettervezés

Átírás

1 Matematikai statisztika elıadás. éves elemzı szakosoknak 11. elıadás Kísérlettervezés A legfontosabb off-line módszer a mőködés hatékonyabbá tételére. Cél: az otimális beállítások megtalálása. Szemontok egyértelmő eredmények minimális költség elegendı informatívitás lehetıleg kis méret világos cél meghatározott érvényességi terület valós viszonyok (labor - termelés) A kísérletek ismétlése A válasz változékony azonos faktorbeállítás mellett is. Ez a kísérleti hiba.. A hiba forrása a zaj-faktorok jelenléte.. A végsı eredmények és konklúziók ontosságának növelésére a kísérleteket ismételjük. Az ismétlés segít meghatározni a kísérleti hibát a hatások ontosabb becslését adja növeli a költségeket Randomizálás = Véletlenítés Szisztematikus hibák is elıfordulhatnak a kísérletek során, úgy, hogy a kísérletezı ennek nincs tudatában. Felléhetnek fel nem ismert faktorok. A nem ( vagy költségesen) befolyásolható faktorok is hatnak a kísérletben Ezen nem kívánt hatások kiküszöbölésére randomizáljuk A kísérletek sorrendjét A kísérletek allokációját A kísérletben felhasznált anyagot A faktoriális tervezés Az ellenırzött faktorok kívánt és meghatározott szintjét a kísérlethez beállítjuk majd lefolytatjuk a kísérletet. Ennek kimeneteleként kajuk, ill. mérjük a faktorbeállításra adott választ. Ha a faktorszintbeállítások összes lehetséges kombinációjára végrehajtjuk a kísérleteket akkor teljes faktoriális, míg ha csak bizonyos szintbeállitásokat vizsgálunk, akkor részleges faktoriális kísérletekrıl beszélünk. Ha sok faktorunk van, akkor célszerő ezek csökkenteni, és csak a fontosabbakat megtartani. számát A nem fontos,, a nehezen vagy csak nagy költséggel beállítható faktorokat a zaj-faktorok közé soroljuk, és hatásukat lehetıleg limitáljuk a kísérletek során. A tervezés kezdeti léései A faktorok meghatározása A válaszok meghatározása A szintek számának meghatározása A szintek nagyságának meghatározása A szintkombinációk beállítása Véletlen sorrendbeállítás 1

2 Szintek és hatások 2 szint - lineáris hatás vizsgálatára 3 szint - kvadratikus hatás vizsgálatára k+1 szint - k-adfokú hatás vizsgálatára A szintek számának növelésével hatványozottan nı az elvégzendı kísérletek száma Sok esetben 2 szint is elegendı ( esetleg némi kiegészítéssel) nemlineáris hatások figyelembevételére vagy közelítésére. Néha a lineáris közelítés nagyon félrevezetı is lehet, ezért jogos voltát ellenırizni kell. Kétszintő kísérleteknél a közéont beiktatása elegendı lehet a linearitás ellenırzésére. Kétszintő kísérletek Minden faktornak csak két (magas és alacsony) értéke lehet. Használhatjuk: Líneáris hatás kimutatására Bilineáris kölcsönhatások vizsgálatára Standard gyártásbeállítás megváltoztatására A standard beállítás a közéontba kerül Szokás: : a standard ± 10% A beállítások kódolása szintek kódolása: magas: : +1 alacsony: -1 beállítások kódolása: Négyzet, kocka, hierkocka csúcsontjai Gyakran az origót (minden faktorra ra az átlag) hozzávesszük A kocka minden belsı ontja egy-egy (meg nem valósított) faktorbeállításnak felel meg. nteroláció Nem csuán a csúcsontokban kívánunk információt kani a válaszról A kocka teljes belsejére interolálunk Az interoláció hibája ne legyen túl nagy: linearitás jó közelítéssel teljesüljön a csúcsontok nem túl távoliak Az extraoláció veszélyes Nemlinearitás A közéontot használjuk fel a linearitás ellenırzésére. A közéontban ismételjük a kísérleteket Csúcsbeli válaszok átlaga = közéonti válaszok átlaga Szignifikáns eltérés esetén nemlinearitás Nemlinearitás esetén további kísérletek Kölcsönhatások A faktorok a legritkább esetben hatnak egymástól függetlenül. Az egyik hatás beállításának megváltoztatása után a másik hatás teljesen megváltozhat. Ezért kell együtt változtatni az összes faktort és nem egyesével keresni az otimumot. Pl. A, B, C hatások esetén AB, BC, CA és ABC együttes hatását is figyelembe kell venni. A magasabb rendő kölcsönhatások gyakran elhanyagolhatóak, csak a áronkéntit vizsgáljuk. Kétszintő kísérlettel csak a bilineáris kölcsönhatásokat tudjuk figyelembe venni (a bilinearitást nem szokás tesztelni), kvadratikus ill. magasabb rendőt nem. 2

3 Blokkolás Ha l. az ABC együttes hatás elhanyagolható, de a kísérletet l. 2 na alatt végezzük akkor célszerő ezt úgy tennünk, hogy az elsı na azokat a kísérleteket végezzük, amelyben ABC +1 kódot ka, míg a második na végezzük a -1 kódúakat. Ezzel a naok hatását is elemezhetjük. Hasonláan járhatunk el, ha valamelyik faktort nehéz átállítani, ekkor sem véletlen sorrendben (eszerint a faktor szerint) futtatjuk le a kísérleteket, hanem blokkokban. Két faktor esete Két faktor esetén a következı négy hatást tudjuk a 4 kísérletbıl figyelembe venni. Átlagos szint Az elsı faktor hatása A második faktor hatása A két faktor kölcsönhatása Ezek segítségével, ezek függvényeként adjuk meg az u.n. válaszfüggvényt. Több faktor esete Több faktor esetén a következı tíusú kölcsönhatások léhetnek fel: Átlagos hatás Fıhatások Páronkénti kölcsönhatások Magasabb rendő kölcsönhatások Ezek összes száma: n n n = 2 k k= 0 kísérlet Hatások száma faktor - fıhatás áronkénti, többszörös kölcsönhatás Táblázatok elemzése A számokat legjobban osztással tudjuk összehasonlítani. (Figyelem: különbség-, illetve összegkézés csak akkor értelmes, ha ez a halmazokra is értelmes). Mérıszámok tíusai (százalékban csak a hasonló ismérvekbıl számított hányadosokat értelmes kifejezni): 100*Részhalmaz/teljes halmaz (nık aránya, havi bevétel részaránya) Hasonló ismérvekre: 100*(ismérv A)/(ismérv B) Példák: társasutazáson résztvevık/ egyéni utazók, adózás utáni eredmény/adó. Táblázatelemzés/2 Különbözı ismérvek hányadosa: egy fıre esı gékocsik száma, GDP/fı stb. Mérıszám-sorozatok: Bázisindex: idısor számait ugyanahhoz a bázisidıonthoz hasonlítjuk (egyszerő súlyozatlan index) n Bi 100 n = Láncindex: idısor egymás utáni számait hasonlítjuk egymáshoz Lin n n 1 0 3

4 Mérıszám-sorozatok, élda Év Bázisindex Láncindex A táblázat harmadik oszloa az éves áremelkedést mutatja. Ez egy láncindex, mert a bázis mindig más. A 2. oszlo a bázisindex, ahol mindig 1995 a viszonyítási ala n Bin 0 n 1 j= 1 ( Li /100) j n j= 1 j 1 j Egy konkrét táblázat Magyarországi adatok Adjunk éldát különbözı arányszámokra! Néesség (Millió) 10,35 10,70 10,37 10,17 Születésszám (ezer) Autók száma (Millió) 0,031 0, ,96 Egy aradoxon Megoldás: Standardizálás 2 vállalkozás adatai Hol keresnek jobban az alkalmazottak? Adjuk meg mindkét cégnél az átlagkereseteket! Tehát óvatosnak kell lennünk a kevert oulációknál. B Bank G Gyár Nık Férfiak Nık Férfiak Havi fizetés Szám A hatásokat el kell különíteni: A részhalmazok adatai közötti eltérés hatása: B s : standardsúlya (gyakorisága) az osztályoknak V: megfigyelt értéke osztályonként A részhalmazok megoszlásának eltérésébıl adódó hatás: B: eloszlás osztályonként, V s : standard értékek osztályonként. BsjVj1 V = B sj B sj j0 V=(90*250+10*350)/100- -(90*200+10*300)/100= =50 ezer Ft Bj1Vsj Bj0Vsj V = Bj1 Bj0 V=(90*250+10*350)/100- -(10*250+90*350)/100= =-80 ezer Ft B V sj ndexszámok ndexszámok: Két hasonló ismérv adatát osztjuk el egymással. Egyszerő indexek A kacsolódó számok közvetlenül a táblázatból származnak, valódi mennyiségekrıl szólnak. (Összetett) indexszámok A hasonlítandó értékek számok, amiket súlyozott átlagként kaunk meg. Összetett indexek Összetett iacok idıbeni változását jellemzik (átlagos ár- és mennyiségváltozás) A súlyok lényegesek, mert a termékek eltérı részt kéviselnek a forgalomban. Két lehetıség: 1. Laseyres index : súlyok a bázisévbıl 2. Paasche index : súlyok a beszámolási idıszakból 4

5 Példa a saját taasztalatunkból Heti kiadás, 2006: 1 mozijegy, 14 zsemle, 3 hamburger. Összár (érték): *50+3*300=2400 Ft Heti kiadás, 2007: 0,5 mozijegy, 10 zsemle, 7 hamburger. Összár (érték): 0,5* *60+7*300=3300 Ft, tehát egy 37,5%(=100*3300/2400)-os emelkedés. Ez egy értékindex, az ár- és mennyiségi változásokat nem különítettük el. Folytatás: árösszehasonlítás Egy indexet keresünk, nemcsak egyszerő összehasonlításokat akarunk (50%,20%,0% az árunkénti árváltozás). A vásárlói kosár valódi összetételét kell figyelembe venni. A 2006-os mennyiségek alaján: 100*(1* *60+3*300)/ (1*800+14*50+3*300)=100*2940/2400=122,5%, tehát 22,5%-os áremelkedés. A 2007-es mennyiségek alaján: 100*(0,5* *60+7*300)/ (0,5*800+10*50+7*300)=100*3300/3000=110l%, tehát 10%-os volt az áremelkedés ebben az esetben. Alacsonyabb, mert kevesebbet fogyasztottunk a drágábbá vált áruféleségekbıl. Folytatás: mennyiségek összehasonlítása Figyelembe kell venni a fogyasztói kosár elemeinek árait. A 2006-os árak alaján: 100*(0,5*800+10*50+7*300)/ (1*800+14*50+3*300)=100*3000/2400=120%, tehát 20%-kal nıtt a mennyiség ebben az esetben. A 2007-es árak alaján : 100*(0,5* *60+7*300)/ (1* *60+3*300)=100*3300/2940=112%, tehát 12%-kal nıtt a mennyiség ebben az esetben. Alacsonyabb, mert kevesebbet fogyasztottunk a megdrágult árukból. Példa Belföldi csoortos utak Külföldi csoortos utak Utazási iroda adatai 2004-bıl és 2005-bıl. Év Menynyiség Menynyiség Átlagár ( ezer Ft) Átlagár ( ezer Ft) Egyéni utak (menetjegyek) Laseyres-féle árindex L =100( )/( )= =57120/51768=110,3 Tehát 10,3%-os áremelkedés volt ezen a iacon 2005-ben 2004-hez kéest, ha a súlyok a bázisévbıl (2004) származnak. Laseyres-féle mennyiségi index M, L =100( )/( )= =52428/51768=101,3 Tehát 1,3%-os mennyiségi növekedés volt ezen a iacon 2005-ben 2004-hez kéest, ha a súlyok a bázisévbıl (2004) származnak. 5

6 Paasche féle árindex P =100( )/( )= =57676/52428=110,0 Paasche-féle mennyiségi index M, P =100( )/( )= =57676/57120=101,0 Tehát 10%-os áremelkedés volt ezen a iacon 2005-ben 2004-hez kéest, ha a súlyok a beszámolási évbıl (2005) származnak. Tehát 1%-os mennyiségi növekedés volt ezen a iacon 2005-ben 2004-hez kéest, ha a súlyok a beszámolási évbıl (2005) származnak. Tulajdonságok Mindkét index a minimális és maximális (ár, illetve mennyiségi) változás-arány között helyezkedik el. Emelkedés ndex > 100% Ha minden ár/mennyiség ugyanúgy változik, akkor az index is ezt a hányadost adja. dıbeni változást nem tudjuk az indexek szorzatával megkani, hanem csak indexsorokat tudunk kiértékelni. (egyszerőbb a Laseyres-indexre). Tulajdonságok Laseyres index Egyszerőbb számolni Alkalmas indexsorok elıállítására Hajlamos a túlbecslésre Paasche index Ár/mennyiség-aktuális Hajlamos alulbecslésre Komromisszum: Fischer-féle ideális index: geometriai közé a Paasche és a Laseyres indexbıl. M, F 0,1 = M, P M, L 0,1 F 0,1 = P L 0,1 Értékindex =100( )/( )= =57676/51768=111,4 Azt jelenti, hogy a iacon 11,4%-os növekedés volt megfigyelhetı 2005-ben 2004-hez kéest. 6