Pszeudovéletlen sorozatok és rácsok
|
|
- Rezső Farkas
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Mérai László Pszeudovéletlen sorozatok és rácsok cím doktori értekezés tézisei Matematikai Doktori Iskola Vezet : Laczkovich Miklós Elméleti Matematikai Doktori Program Vezet : Sz cs András Témavezet : Sárközy András Budapest, 2010.
2 1. Bevezetés Véletlen elemek generálása több alkalmazásban is központi szerepet játszik, különösen a kriptográában és a numerikus analízisben. Mivel valódi véletlen elemek sorozatának el állítása költséges, így a gyakorlatban nem valódi, hanem pszeudovéletlen értékeket használnak. A pszeudovéletlenségnek azonban több lehetséges denícióját is adták ben Mauduit és Sárközy [11] a valódi véletlen sorozatok alapvet tulajdonságait alapul véve, egy új, kvantitatív követelményrendszert állított fel sorozatok véletlenségének vizsgálatához. Nevezetesen bevezették a véletlenség különböz mértékeit: 1. Deníció. Adott E N = {e 1,..., e N } {+1, 1} N sorozat eloszlás mértéke: W (E N ) = max U(E t 1 N, a, b, t) = max e a+jb, a,b,t a,b,t ahol a maximum olyan a, b, t N számokra fut, melyekre 1 a a + (t 1)b N. Az E N sorozat l-ed rend korrelációs mértéke: C l (E N ) = max V (E M N, M, D) = max e n+d1 e n+d2... e n+dl, M,D M,D ahol a maximum olyan D = (d 1,..., d l ) l-eseken és M N számokon fut, melyekre d 1 < d 2 < < d l, M + d l N. Ha E N egy valódi véletlen sorozat, akkor mértékei kicsik (W (E N ) N log N, illetve C l (E N ) l N log N, ld. [1]). Így egy E N sorozatot jó pszeudovéletlen tulajdonságokkal rendelkez sorozatnak tekinthetünk, ha mértékeire log N hatványtól eltekintve hasonló korlát adható, legalább kis l korrelációs rendekre. Goubin, Mauduit és Sárközy [4] a Legendre szimbólum segítségével deniált jó pszeudovéletlen sorozatot (kiterjesztve Mauduit és Sárközy [11] konstrukcióját): 1. Konstrukció (Goubin, Mauduit, Sárközy). Legyen p egy prímszám, f F p [x] és deniáljuk az E p = {e 1,..., e p } sorozatot a következ képpen: ( ) f(n), ha p f(n), p 1, ha p f(n), ( ahol p ) a Legendre szimbólum. Kés bb Mauduit, Rivat és Sárközy [10] könnyen számolható konstrukciót vizsgált: 2 n=1 j=0
3 2. Konstrukció (Mauduit, Rivat, Sárközy). Legyen p egy prímszám és f F p [x]. Deniáljuk az E p = {e 1,..., e p } sorozatot a következ képpen: { +1, ha f(n) {1, 2,..., p 1 2 } 1, máskülönben. Megmutatták, hogy a konstrukció csak er s megszorításokkal mondható pszeudovéletlennek. Nevezetesen, ha a polinom foka nagyobb, mint a korreláció rendje, akkor a korrelációs mérték lehet nagy. Ezt a hiányosságot küszöbölte ki Mauduit és Sárközy, lecserélve az f polinomot annak multiplikatív inverzével: 3. Konstrukció (Mauduit, Sárközy). Legyen p egy prímszám és f F p [x]. De- niáljuk az E p = {e 1,..., e p } sorozatot a következ képpen: { +1, ha f(n) 0 és f(n) 1 {1, 2,..., p 1 2 } 1, máskülönben, ahol a 1 (a 0) az a F p elem multiplikatív inverzét jelöli. 2. Pszeudovéletlen bináris sorozatok általános konstrukciója Az eddig felsorolt konstrukciókat mind a következ általános konstrukció speciális eseteiként kapjuk: 4. Konstrukció. Legyen p prímszám, ψ additív, χ multiplikatív karaktere F p -nek, F (x), Q(x) F p (x) racionális törtfüggvények. Ekkor deniáljuk az E p sorozatot a következ módon: { ( ) +1 ha arg ψ (F (n)) χ (Q(n)) [0, π) és n S 1 máskülönben. Világos, hogy ha az F függvényt konstansnak és a χ karaktert a kvadratikus karakternek választjuk, akkor visszakapjuk az 1. konstrukciót. Másrészr l, ha a χ karaktert úgy választjuk, hogy χ(g) = e p 1, 2πi ahol g generátor F p -ben akkor Gyarmati [5] és Sárközy [16] diszkrét logaritmus segítségével deniált konstrukcióját kapjuk. Továbbá, ha a Q függvény konstans, akkor visszakapjuk a 2. illetve a 3. konstrukciót, amennyiben az F függvény egy polinom vagy annak multiplikatív inverze. Pszeudovéletlen bináris sorozatok konstrukcióját ilyen általánosságban el ször Oon tanulmányozta [14, 15]. Vizsgálta a 4. konstrukció azon speciális esetét, mikor az F függvény konstans. Bebizonyította, hogy a konstrukció jó, ha a karakter rendje 3
4 nagy: Ω(p 1/2 ). Abban az esetben, amikor a karakter rendje kicsi (nagyságrendileg o(p 1/2 )) és páratlan, akkor nem várhatunk nemtriviális korlátot (ld 3. fejezet 1. példa). El ször azt vizsgáltam, hogy lehet-e jó korlátot adni abban az esetben, mikor a karakter rendje kicsi (nagyságrendileg o(p 1/2 )) és páros. A megfelel tétel kimondása el tt deniálni kell a megengedhet ség fogalmát, amely karakterizálja, mely Q függévnyek esetén adható jó fels korlát a mértékekre. 2. Deníció. A (k, l, m) számhármas d-megengedhet (k, l < m), ha nem létezik a következ követelményeknek eleget tev A, B multihalmaz: (i) A = k, B = l; (ii) A és B minden elemének multiplicitása kisebb, mint d, és A minden elemének multiplicitása relatív prím d-hez; (iii) az A + B összegben minden elem d-szeresen van reprezentálva, azaz az a + b = c, a A, b B egyenletnek a megoldásszáma minden c esetén osztható d-vel. (Itt A az A multihalmaz különböz elemeinek a számát jelöli.) Továbbá a (k, l, G) hármas megengedhet, ha minden A, B G halmaz esetén, melyre A k, B l létezik olyan c G elem, hogy az a + b = c a A, b B egyenletnek pontosan egy megoldása van. 3. Tétel ([M1]). Ha az E p sorozatot a 4. konstrukció deniálja, ahol a χ multiplikatív karakter d rendje páros, Q F p [x] polinom, ami nem d-hatvány, és az F függvény konstans, akkor ahol s a Q gyökeinek számát jelöli. W (E p ) 36sp 1/2 log p log d + s, Továbbá ha a Q minden gyökének multiplicitása vagy relatív prím d-hez, vagy azzal osztható, és az (s, l, p) hármas d-megengedhet, akkor C l (E p ) 9 4 l lsp 1/2 log p(log d) l + ls. Ha az F függvény nem konstans, akkor a χ karakter rendje lehet páratlan is: 4. Tétel ([M3]). Legyen ψ ψ 0 additív, χ χ 0 d-ed rend multiplikatív karaktere F p -nek, F (x) = f(x) q(x), Q(x) = F g(x) r(x) p(x) olyan racionális törtfüggvények, melyekre 4
5 (g(x), f(x)) = 1, (q(x), r(x)) = 1 és sem f-nek, sem g-nek nincs többszörös gyöke, Q pedig nem d-hatvány. Ha az E p sorozatot a 4. konstrukció deniálja, akkor W (E p ) (deg F + z) p 1/2 (log p) 2, ahol z jelöli q és r különböz gyökeinek számát. Továbbá, ha l N teljesíti az alábbi feltételek valamelyikét: (i) l = 2; (ii) (4 deg g) l < p, (4 deg Q) l < p; (iii) g(x) = (x + a 1 )(x + a 2 )... (x + a k ) ( a i a j, i j ) és l deg g < p 2, akkor (4 deg Q) l < p, C l (E p ) (l + 1)(deg F + d deg Q) p 1/2 (log p) l+1. Hasonlóan bizonyítható az az eset is, mikor a Q függvény konstans [M2]. Ekkor a tételben szerepl korlátok megfelel i érvényesek. 3. Pszeudovéletlen bináris rácsok Az alkalmazásokban a pszeudovéletlen sorozatok mellet komoly igény mutatkozott pszeudovéletlen rácsok iránt is. Ezért Hubert, Mauduit és Sárközy kiterjesztette a pszeudovéletlen bináris sorozatok fogalmát több dimenzióra [9]. Legyen IN n a következ halmaz: I n N = { x = (x 1,..., x n ) : x 1,..., x n {0, 1,..., N 1} }. Ekkor a bináris rácsot mint az I n N halmazon értelmezett bináris függvényt deniáljuk: η : I n N { 1, +1}. Az egydimenziós esethez hasonlóan deniálhatjuk a mértékeket. Ehhez legyen el ször u 1,..., u n n darab lineárisan független vektor, melyeknek n 1 koordinátája nulla. Legyenek t 1,..., t n olyan egészek, melyekre 0 t 1,..., t n < N. Ekkor B n N (vagy röviden B) tégla rácsot (box lattice) a következ képpen deniáljuk: B n N = {x = x 1 u x n u n : 0 x i u i t i, i = 1,..., n}. 5. Deníció. Az η sorozat l-ed rend véletlenségi mértéke a Q l (η) = max η(x + d 1 )... η(x + d l ) B,d 1,...,d l, x B ahol a maximum az összes d 1,..., d l I n N és B téglarácsra fut, melyre B + d 1,..., B + d l I n N. 5
6 Huber, Mauduit és Sárközy szintén vizsgálta, hogy hogyan viselkednek ezen mértékek valódi véletlen esetben. Bebizonyították, hogy ha η : IN n { 1, +1} egy valódi véletlen rács, akkor Q l (η) l N n log N n (ld. [9]). Ezek alapján egy η rácsot jó pszeudovéletlen tulajdonságokkal rendelkez rácsnak tekinthetünk, ha mértékeire nagyságrendileg hasonló korlát adható, legalább kis l rendekre. Mauduit és Sárközy [13] példát mutatott jó pszeudovéletlen rácsra: 5. Konstrukció (Mauduit és Sárközy). Legyen q = p n prímhatvány, γ a kvadratikus karaktere F q -nak, f(x) F q [x]. Ekkor deniáljuk az η rácsot a következ képpen: η(x) = { γ(f(x1 b x n b n )) ha f(x 1 b x n b n ) 0, 1 máskülönben, ahol b 1,..., b n F q egy bázisa F p fölött és x = (x 1,..., x n ). jó: Bebizonyították, hogy ha f kielégít bizonyos feltételeket, akkor ez a konstrukció Q l (η) < deg f l(q 1/2 (1 + log p) n + 2). Megjegyezem, hogy mind a bináris rács fogalmát, mind a mértékeket ki lehet terjeszteni több szimbólumú esetre, ld. [M5]. Az 5. konstrukciót a sorozatokhoz hasonlóan kiterjeszthetjük általános multiplikatív karakter segítségével: 6. Konstrukció. Legyen q = p n prímhatvány, f(x) F q [x], χ multiplikatív karaktere F q -nak. Ekkor deniáljuk az η rácsot a következ képpen: η(x) = { +1 ha arg ( χ(f(x1 b x n b n )) ) [0, π), 1 máskülönben, ahol b 1,..., b n F q egy bázisa F p fölött és x = (x 1,..., x n ). A következ tétel alapján ez egy jó konstrukció: 6. Tétel ([M4]). Deniálja az η rácsot a 6. konstrukció. Legyen a χ multiplikatív karakter d rendje páros, f(x) F q [x] olyan polinom mely nem d-hatvány, és minden gyökének multiplicitása vagy osztható d-vel, vagy ahhoz relatív prím. továbbá, hogy a (deg f, l, F q ) hármas megengedhet. Ekkor Q l (η) 4 l l deg f(log d) l q 1/2 (1 + log p) n l deg f. Tegyük fel 6
7 4. Pszeudovéletlen bináris sorozatok és rácsok elliptikus görbék felett Kriptográai alkalmazásokban el szeretettel használnak elliptikus görbéket, azok véletlen viselkedése miatt. Elliptikus görbék segítségével el ször Hallgren deniált sorozatot a következ módon [8]: Adott E elliptikus görbe és P, P 0 E pont esetén legyen s 0 = P 0 és s n = P s n 1 = np P 0. Chen [2], illetve kés bb Chen, Li, és Xiao [3] tanulmányozta az ebb l a sorozatból származtatható bináris sorozatokat, ahol a bináris sorozatot a Legendre szimbólum, illetve véges testek fölötti diszkrét logaritmus segítségével származtatták. Az általános konstrukciót a következ képp deniálhatjuk: 7. Konstrukció. Legyen p > 3 prímszám, E elliptikus görbe F p fölött, G E(F p ) T -ed rend elem, f F p (E), χ d-ed rend multiplikatív karaktere F p -nek. Ekkor deniáljuk az E T = {e 1,..., e T } sorozatot a következ képpen: { ( ) +1, ha ng Supp(f) és arg χ(f(ng)) [0, π), 1, máskülönben. Hasonlóan a korábbiakhoz, ha χ a Legendre szimbólum, akkor visszakapjuk Chen konstrukcióját [2]. Másrészr l, ha χ p 1-ed rend karakter, akkor megkapjuk Chen, Li és Xiao diszkrét logaritmuson alapuló konstrukcióját [3]. 7. Tétel ([M7]). Ha az E T = {e 1,..., e T } sorozatot a 7. konstrukció deniálja, ahol a χ karakter rendje páros, f F p (E) nem d-hatvány F p (E)-ben és G T -ed rend pont, akkor W (E T ) 4 Supp(f) p 1/2 (1 + log T ) log d + Supp(f). Továbbá, ha f gyökeinek és pólusainak multiplicitása vagy d-vel osztható, vagy ahhoz relatív prím, l N olyan egész, melyre a ( Supp(f), l, T ) hármas d-megengedhet, akkor C l (E T ) 4 l Supp(f) p 1/2 (1 + log T )(log d) l + l Supp(f). További jó konstrukciót deniálhatunk racionáls törtfüggvény maradékával is: 8. Konstrukció. Legyen p > 3 prímszám, E elliptikus görbe F p fölött, G E(F p ) T -ed rend elem, f F p (E). Ekkor deniáljuk az E T következ képpen: { +1, ha f(ng) {0, 1,..., p 1 2 }, 1, máskülönben. 7 = {e 1,..., e T } sorozatot a
8 8. Tétel ([M8]). Legyen p > 3 prímszám, f F p (E) nem konstans függvény. Ha az E T = {e 1,..., e T } sorozatot a 8. konstrukció deniálja, akkor Ha feltesszük továbbá, hogy (i) deg f < p(t ) és l = 2; (ii) deg f < p(t ) és (4 deg f) l < p(t ), W (E T ) << deg f p 1/2 log p log T. ahol p(t ) a T legkisebb prímosztója, akkor C l (E T ) << l deg fp 1/2 (log p) l log T. Végül megmutatom, hogy elliptikus görbék segítségével jó pszeudovéletlen rács is deniálható. 9. Konstrukció. Legyen p > 3 prímszám, χ multiplikatív karaktere F p -nek, E elliptikus görbe F p fölött, f F p (E) és P 1,..., P n E(F p ) olyan gyengén független pontok, melyek rendje nem nagyobb N-nél. Ekkor deniáljuk az η : IN n { 1, +1} rácsot a következ módon: +1 ha x 1 P 1 x n P n Supp(f) η(x 1,..., x n ) = és arg ( χ(f(x 1 P 1 x n P n )) ) [0, π), 1 máskülönben. 9. Tétel ([M6]). Legyen p > 3 prímszám, χ d-ed rend multiplikatív karaktere F p -nek, melynek rendje páros. Legyen továbbá f F p (E), mely nem d-hatvány F p (E)-ben, és az f gyökeinek és pólusainak rendje vagy osztható d-vel, vagy d-hez relatív prím. Ha az η : IN n { 1, +1} rácsot a 9. konstrukció deniálja, és a ( Supp(f), l, E(F p )) hármas megengedhet, akkor Q l (η) 2 3 n (2d) l ld deg(f)p 1/2 (log E(F p ) ) n (log d) l + l Supp(f). 5. Megengedhet ség A következ kben elégséges feltételeket adok d-megengedhet ségre, illetve megengedhet ségre. 10. Tétel ([M7]). Egy m szám legkisebb prímosztóját jelölje p(m). Ekkor (i) Ha k, m, d N, k < p(m), akkor a (k, 2, m) hármas d-megengedhet. (ii) Ha k, m, d N, k < p(m), továbbá (4l) k < p(m), akkor a (k, l, m) hármas d-megengedhet. 8
9 (iii) Ha m egy prímszám, d minden prímosztója primitív gyök modulo m, akkor minden k, l < m esetén a (k, l, m) hármas d-megengedhet. 11. Tétel ([M6]). Legyen G = Z d1 Z ds tetsz leges véges Abel csoport, és p(g) a csoport rendjének legkisebb prímosztója. Legyen k, l N melyek az alábbi feltételek valamelyikét teljesítik: (i) k < p(g), l = 2; (ii) 4 s(k+l) < p(g). Ekkor a (k, l, G) hármas megengedhet. Az értekezés a szerz alábbi cikkeit dolgozza fel [M1] L. Mérai, Construction of large families of pseudorandom binary sequences, The Ramanujan Journal 18 (2009), [M2] L. Mérai, A construction of pseudorandom binary sequences using rational functions, Unif. Distrib. Theory, 4 (2009), no. 1, [M3] L. Mérai, A construction of pseudorandom binary sequences using both additive and multiplicative characters, Acta Arith. 139 (2009), [M4] L. Mérai, Construction of pseudorandom binary lattices based on multiplicative characters, Periodica Math. Hungar. 59 (2009) [M5] L. Mérai, On nite pseudorandom lattices of k symbols, Monatsh. Math. 161 (2010), no. 2, [M6] L. Mérai, Construction of pseudorandom binary lattices using elliptic curves, Proc. Amer. Math. Soc. 139 (2011), [M7] L. Mérai, Construction of pseudorandom binary sequences over elliptic curves using multiplicative characters, beküldve [M8] L. Mérai, Construction of pseudorandom binary sequences over elliptic curves, beküldve További hivatkozások [1] N. Alon, Y. Kohayakawa, C. Mauduit, C. G. Moreira and V. Rödl, Measures of pseudorandomness for nite sequences: typical values, Proc. Lond. Math. Soc. (3) 95 (2007) no. 3,
10 [2] Z. Chen, Elliptic curve analogue of Legendre sequences, Monatsh. Math. 154 (2008) no. 1, 110. [3] Z. Chen, S. Li, G. Xiao, G. Construction of pseudorandom binary sequences from elliptic curves by using discrete logarithm, Lecture Notes in Comput. Sci., 4086, Springer, Berlin, (2006) [4] L. Goubin, C. Mauduit, and A. Sárközy, Construction of large families of pseudorandom binary sequences, J. Number Theory 106 (2004), [5] K. Gyarmati, On a family of pseudorandom binary sequences, Periodica Math. Hungar. 49 (2004) [6] K. Gyarmati; C. Mauduit; A. Sárközy: Constructions of pseudorandom binary lattices. Unif. Distrib. Theory 4 (2009), no. 2, [7] K. Gyarmati; A. Sárközy; C. L. Stewart: On Legendre symbol lattices. Unif. Distrib. Theory 4 (2009), no. 1, [8] S. Hallgren, Linear congruential generators over elliptic curves, Tech. Report CS , Carnegie Mellon Unv., [9] P. Hubert, C. Mauduit and A. Sárközy, On pseudorandom binary lattices, Acta Arith. 125 (2006), [10] C. Mauduit, J. Rivat and A. Sárközy, Construction of pseudorandom binary sequence using additive characters, Monatshefte Math. 141 (2004), [11] C. Mauduit, A. Sárközy, On nite pseudorandom binary sequences I: Measures of pseudorandomness, the Legendre symbol, Acta Arith. 82 (1997), [12] C. Mauduit, A. Sárközy, Construction of pseudorandom binary sequences by using the multiplicative inverse, Acta Math. Hungar. 108 (2005), [13] C. Mauduit, A. Sárközy, On large families of pseudorandom binary lattices, Unif. Distrib. Theory 2 (2007), no. 1, [14] S. M. Oon, Construction des suites binaires pseudo-aléatories, PhD dolgozat, Nancy, [15] S. M. Oon, On pseudo-random properties of certain Dirichlet series, Ramanujan J. 15 (2008), no. 1, 1930 [16] A. Sárközy, A nite pseudorandom binary sequence, Studia Sci. Math. Hungar. 38 (2001),
Bináris rácsok implementációjának id analízise
Bináris rácsok implementációjának id analízise Diplomamunka Írta: Kodila Tamás Alkalmazott matematikus szak Témavezet k: Gyarmati Katalin, egyetemi adjunktus Algebra és Számelmélet Tanszék Sárközy András,
RészletesebbenK szimbólumból képezett pszeudovéletlen sorozatok
K szimbólumból képezett pszeudovéletlen sorozatok BSc Szakdolgozat Deák Attila Alkalmazott matematikus szak Témavezet : Sárközy András, Professzor Emeritus és Gyarmati Katalin, adjunktus Algebra és Számelmélet
RészletesebbenPolinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós
Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
RészletesebbenGyarmati Katalin, Sárközy András
Pszeudovéletlenség A számítógépes számelmélet tárgy Neal Koblitznek A Course in Number Theory and Cryptography című könyvére épülő anyagának kiegészítése Gyarmati Katalin, Sárközy András Eötvös Loránd
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenEgész pontokról racionálisan
Egész pontokról racionálisan Tengely Szabolcs 2008. április 16. Intézeti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 1 Algebrai görbék Algebrai görbék Legyen f Q[X, Y ], C(R) = {(x, y) R 2 : f(x, y) = 0}. génusz
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
RészletesebbenFELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY III. FÉLÉVÉHEZ. ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest
FELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY III. FÉLÉVÉHEZ ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest 2007-07-25 A 2. és a 4. fejezet feladatai megoldva megtalálhatók a Testb vítés, véges testek;
RészletesebbenData Security: Public key
Nyilvános kulcsú rejtjelezés RSA rejtjelező El-Gamal rejtjelező : Elliptikus görbe kriptográfia RSA 1. Véletlenszerűen választunk két "nagy" prímszámot: p1, p2 2. m= p1p2 φ ( ) = ( p -1)( p -1) m 1 2 3.
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
RészletesebbenVéletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31
Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 1 / 31 Véletlen bolyongás Márkus László 2015. március 17. Modell Deníció Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 2 / 31 Modell: Egy egyenesen
RészletesebbenRekurzív sorozatok oszthatósága
Debreceni Egyetem Természettudományi Kar Matematikai Intézet Szakdolgozat Rekurzív sorozatok oszthatósága készítette: Barta Attila Matematika BSc szakos hallgató témavezet : Dr Tengely Szabolcs egyetemi
RészletesebbenKövetkezik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.
Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges
Részletesebben1. A k-szerver probléma
1. A k-szerver probléma Az egyik legismertebb on-line probléma a k-szerver probléma. A probléma általános deníciójának megadásához szükség van a metrikus tér fogalmára. Egy (M, d) párost, ahol M a metrikus
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
RészletesebbenVéletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT
Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT Mi a véletlen? Determinisztikus vs. Véletlen esemény? Véletlenszám: számok sorozata, ahol véletlenszerűen követik egymást az elemek Pszeudo-véletlenszám
RészletesebbenHibadetektáló és javító kódolások
Hibadetektáló és javító kódolások Számítógépes adatbiztonság Hibadetektálás és javítás Zajos csatornák ARQ adatblokk meghibásodási valószínségének csökkentése blokk bvítése redundáns információval Hálózati
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
Részletesebben3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
RészletesebbenAlgoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)
Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
Részletesebben2018, Diszkre t matematika. 10. elo ada s
Diszkre t matematika 10. elo ada s MA RTON Gyo ngyve r mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tansze k Marosva sa rhely, Roma nia 2018, o szi fe le v MA RTON Gyo ngyve r 2018,
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenWaldhauser Tamás december 1.
Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. december 1. Tizedik házi feladat az előadásra Hányféleképpen lehet kiszínezni az X-pentominót n színnel, ha a forgatással vagy tükrözéssel egymásba
RészletesebbenFüggvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány
RészletesebbenDiMat II Végtelen halmazok
DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy
RészletesebbenTÖRTénet EGÉSZ pontokról
TÖRTénet EGÉSZ pontokról Tengely Szabolcs 2008. március 21. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 1 Algebrai Algebrai Elliptikus Legyen f É [X, Y ], C(R) = {(x, y) R 2 : f(x, y) = 0}. génusz
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenMatematikai problémák vizsgálata a Maple programcsomag segítségével
Matematikai problémák vizsgálata a Maple programcsomag segítségével Tengely Szabolcs tengely@science.unideb.hu http://www.math.unideb.hu/~tengely Tengely Szabolcs 2014.04.26 Matematikai problémák és a
RészletesebbenMátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22
Mátrixfüggvények Wettl Ferenc 2016. április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények 2016. április 28. 1 / 22 Tartalom 1 Diagonalizálható mátrixok függvényei 2 Mátrixfüggvény a Jordan-alakból 3 Mátrixfüggvény
RészletesebbenKódelméleti és kriptográai alkalmazások
Kódelméleti és kriptográai alkalmazások Wettl Ferenc 2015. május 14. Wettl Ferenc Kódelméleti és kriptográai alkalmazások 2015. május 14. 1 / 11 1 Hibajavító kódok 2 Általánosított ReedSolomon-kód Wettl
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenTartalom. Algebrai és transzcendens számok
Nevezetes számelméleti problémák Tartalom 6. Nevezetes számelméleti problémák Számok felbontása hatványok összegére Prímszámok Algebrai és transzcendens számok 6.1. Definíció. Az (x, y, z) N 3 számhármast
RészletesebbenA matematika nyelvér l bevezetés
A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások
RészletesebbenPolinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós
Polinomok (előadásvázlat, 2012 október 21) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: gyűrű, gyűrű additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja,
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
RészletesebbenFüggvények növekedési korlátainak jellemzése
17 Függvények növekedési korlátainak jellemzése A jellemzés jól bevált eszközei az Ω, O, Θ, o és ω jelölések. Mivel az igények általában nemnegatívak, ezért az alábbi meghatározásokban mindenütt feltesszük,
RészletesebbenRSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...
RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten KOMPLEX SZÁMOK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Történeti bevezetés
RészletesebbenAz univerzális gráf. 1. Bevezet. Maga Péter, Pongrácz András
Az univerzális gráf Maga Péter, Pongrácz András 1. Bevezet A véletlen gráfok elméleti és gyakorlati jelent sége egyaránt számottev. Az ismeretségi hálózatok, az internetes weboldalak kapcsolatrendszere
RészletesebbenGy ur uk aprilis 11.
Gyűrűk 2014. április 11. 1. Hányadostest 2. Karakterisztika, prímtest 3. Egyszerű gyűrűk [F] III/8 Tétel Minden integritástartomány beágyazható testbe. Legyen R integritástartomány, és értelmezzünk az
Részletesebben2. Tétel (Az oszthatóság tulajdonságai). : 2. Nullát minden elem osztja, de. 3. a nulla csak a nullának osztója.
Számelmélet és rejtjelezési eljárások. (Számelméleti alapok. RSA és alkalmazásai, Die- Hellman-Merkle kulcscsere.) A számelméletben speciálisan az egész számok, általánosan a egységelemes integritási tartomány
Részletesebben1. Polinomfüggvények. Állítás Ha f, g C[x] és b C, akkor ( f + g) (b) = f (b) + g (b) és ( f g) (b) = f (b)g (b).
1. Polinomfüggvények Behelyettesés polinomba. Definíció Legyen b komplex szám. Az f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n polinom b helyen felvett helyettesítési értéke f (b) = a 0 + a 1 b + a 2 b
RészletesebbenBevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Additív számelméleti függvények eloszlása
Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Additív számelméleti függvények eloszlása Doktori értekezés tézisei Germán László Témavezető Prof. Dr. Kátai Imre akadémikus Informatika Doktori Iskola vezető:
Részletesebben1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása Példa 223 = 7 31+6. Visszaszorzunk Kivonunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a,b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q,r Z, hogy a = bq +
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenJulia halmazok, Mandelbrot halmaz
2011. október 21. Tartalom 1 Julia halmazokról általánosan 2 Mandelbrot halmaz 3 Kvadratikus függvények Julia halmazai Pár deníció Legyen f egy legalább másodfokú komplex polinom. Ha f (ω) = ω, akkor ω
Részletesebben1. Online kiszolgálóelhelyezés
1. Online kiszolgálóelhelyezés A probléma általános deníciójának megadásához szükség van a metrikus tér fogalmára. Egy (M, d) párost, ahol M a metrikus tér pontjait tartalmazza, d pedig az M M halmazon
RészletesebbenDiszkrét matematika II. feladatok
Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1.1. Könnyebb 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot! 2. Van-e olyan (legalább kétpontú) gráf, melyben minden
RészletesebbenAnalízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. március 24. Irreducibilitás 3.33. Definíció. A p T [x] polinom irreducibilis, ha legalább elsőfokú, és csak úgy bontható két polinom szorzatára, hogy az
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenGAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE
GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Első rész 1. Bevezetés Tekintsük az ak + b számtani sorozatot, ahol a > 0. Ha a és b nem relatív prímek, akkor (a,b) > 1 osztója
RészletesebbenPolinomok maradékos osztása
14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik
RészletesebbenKongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás
RészletesebbenA N : {a 1,...,a N } E N : {e 1,...,e N } F N : {f 1,...,f N }
È Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò ÓÖÓÞ ØÓ Ö Ó Ó ØÓÖ È º ºµ ÖØ Þ Å Ö Ä ÞÐ Å Ø Ñ Ø Ó ØÓÖ Á ÓÐ Î Þ Ø Ä Þ ÓÚ Å Ð ÐÑ Ð Ø Å Ø Ñ Ø Ó ØÓÖ ÈÖÓ Ö Ñ Î Þ Ø ËÞò Ò Ö Ì Ñ Ú Þ Ø Ë Ö ÞÝ Ò Ö Ý Ø Ñ Ø Ò Ö ØÚ ÄÓÖ Ò ÌÙ ÓÑ ÒÝ Ý Ø Ñ Ì ÖÑ Þ ØØÙ
RészletesebbenKonvex optimalizálás feladatok
(1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenDr. Tóth László Hány osztója van egy adott számnak? 2008. április
Hány osztója van egy adott számnak? Hány osztója van egy adott számnak? Dr. Tóth László http://www.ttk.pte.hu/matek/ltoth előadásanyag, Pécsi Tudományegyetem, TTK 2008. április. Bevezetés Lehetséges válaszok:
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
RészletesebbenMatematikai logika. 3. fejezet. Logikai m veletek, kvantorok 3-1
3. fejezet Matematikai logika Logikai m veletek, kvantorok D 3.1 A P és Q elemi ítéletekre vonatkozó logikai alapm veleteket (konjunkció ( ), diszjunkció ( ), implikáció ( ), ekvivalencia ( ), negáció
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenSapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék.
Kriptográfia és Információbiztonság 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2017 Miről volt szó az elmúlt előadáson? A Crypto++
RészletesebbenMagyary Zoltán Posztdoktori beszámoló előadás
Magyary Zoltán Posztdoktori beszámoló előadás Tengely Szabolcs 2007. november 9. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 1 Eredmények Eredmények Chabauty (T.Sz.): On the Diophantine equation
RészletesebbenAlgoritmuselmélet 18. előadás
Algoritmuselmélet 18. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Május 7. ALGORITMUSELMÉLET 18. ELŐADÁS 1 Közelítő algoritmusok
Részletesebben1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!
1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +
RészletesebbenKomplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal.
Komplex számok Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal. 1. Komplex számok A komplex számokra a valós számok kiterjesztéseként van szükség. Ugyanis már középiskolában el kerülnek olyan másodfokú
RészletesebbenFunkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér
Funkcionálanalízis Gyakorló feladatok 2017 március 22 Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér N1 Metrikát deniálnak-e R-en az alábbi függvények: (a) d(x, y) = x y (b) d(x, y) = x y (c) d(x, y) =
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
Részletesebbenilletve a n 3 illetve a 2n 5
BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE 1. Határozzuk meg azokat az a természetes számokat ((a, b) számpárokat), amely(ek)re teljesülnek az alábbi feltételek: a. [a, 16] = 48 b. (a, 0) = 1 c. (a, 60) = 15 d. (a, b)
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
RészletesebbenPolinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu
Polinomgy r k Dr. Vattamány Szabolcs 1. Bevezet Ezen jegyzet célja, hogy megismertesse az olvasót az egész, a racionális, a valós és a komplex számok halmaza fölötti polinomokkal. A szokásos jelölést használjuk:
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
Részletesebben1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenHamming-kód. Definíció. Az 1-hibajavító, perfekt lineáris kódot Hamming-kódnak nevezzük. F 2 fölötti vektorokkal foglalkozunk.
Definíció. Hamming-kód Az -hibajavító, perfekt lineáris kódot Hamming-kódnak nevezzük. F fölötti vektorokkal foglalkozunk. Hamming-kód készítése: r egész szám (ellenırzı jegyek száma) n r a kódszavak hossza
RészletesebbenA valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
RészletesebbenDeníciók és tételek a beugró vizsgára
Deníciók és tételek a beugró vizsgára (a szóbeli viszgázás jogáért) Utolsó módosítás: 2008. december 2. 2 Bevezetés Számítási problémának nevezünk egy olyan, a matematika nyelvén megfogalmazott kérdést,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenSE EKK EIFTI Matematikai analízis
SE EKK EIFTI Matematikai analízis 2. Blokk A számelmélet a matematikának a számokkal foglalkozó ága. Gyakran azonban ennél sz kebb értelemben használják a számelmélet szót: az egész számok elméletét értik
RészletesebbenElemi matematika szakkör
Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 5. 1.1. Feladat. Egy pozitív egész számot K tulajdonságúnak nevezünk, ha számjegyei nullától különböznek és nincs két azonos számjegye. Határozd meg az
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
Részletesebben1. Fuggveny ertekek. a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I. x = arcsin(x) ha 1 x 0 x = 1, arctg(x) ha 0 < x < + a) f (x) = 4 x 2 x+log
1. Fuggveny ertekek 1 Szamtsuk ki az alabbi fuggvenyek erteket a megadott helyeken! a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I b) f (x) = sin x 1 x = π 2, π 4, 3 3 2π, 10π I arcsin(x) ha 1 x 0 1 c) f
Részletesebben1. A Horner-elrendezés
1. A Horner-elrendezés A polinomok műveleti tulajdonságai Polinomokkal a szokásos módon számolhatunk: Tétel (K2.1.6, HF ellenőrizni) Tetszőleges f,g,h polinomokra érvényesek az alábbiak. (1) (f +g)+h =
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
Részletesebben1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3
Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenHaladók III. kategória 2. (dönt ) forduló
Haladók III. kategória 2. (dönt ) forduló 1. Tetsz leges n pozitív egész számra jelölje f (n) az olyan 2n-jegy számok számát, amelyek megegyeznek az utolsó n számjegyükb l alkotott szám négyzetével. Határozzuk
Részletesebben