Szavazó ágensek racionális versengő ágensek egyvéleményű közössége. Intelligens Elosztott Rendszerek BME-MIT, 2018

Átírás

1 Szavazó ágensek racionális versengő ágensek egyvéleményű közössége

2 Szociális választás elmélete (Social choice theory) - Szociális választás mechanizmusa, Implementációelmélet (Social Choice Function, Social Welfare Function, (Valószínűleg) versengő preferenciák korrekt, kielégítő aggregálása egy közösségi döntésbe (szociális kimenetel). szavazás, erőforrás hozzárendelés, koálició formálás tetszési indexek számítása, kollaboratív szürés, Lényegi komponensek autonóm ágensek (szavazók) N = {1,, n} alternatívák (kimenetelek, jelöltek) = { 1, 2, } preferenciák (kiemenetelek rendezése) ( ) (csoport)profil ( ) ( ) aggregáló függvény társadalmi választási függvény társadalmi jóléti függvény f: ( ) ( ) f: ( ) ( ) ( )

3 Fontos kérdések Mi a (egyéni/csoportos) racionális döntés értelmezése? Milyen formális tulajdonságokkal kell rendelkeznie egy jó aggregáló függvénynek? E tulajdonságok közül melyek azok, amelyek egyidejűleg biztosíthatók? Milyen nehéz lehet egy közösségi választás kiszámítása? Profitálhatnak-e a szavazók, ha a preferenciáiról nem őszinte módon nyílatkoznak?

4 Ágensek racionalítása Preferenciák tranzitivitása: humán racionalitás alapvető aspektusa, helyes világfelfogás kifejezése Tranzitív preferencia x i y, y i z x i z legalább olyan jó indifferens Ha: alma János körte, körte János szilva elvárt, hogy alma János szilva Ha: alma évfolyam körte, körte évfolyam szilva elvárt, hogy alma évfolyam szilva (???) x i y x I i y Ordinális v. kardinális preferencia mennyire? x János y x y x y ordinális csak rangsorolás kardinális finomabb, precízebb? J. Nash (1950), J. Harsányi (1955) a szavazási mechanizmusok többsége ordinális

5 Legelterjedtebb Többségi szavazás (plurality rule) (TB): az a győztes, akinek legtöbb szavazata van (a semleges szavazó nem számít) i N : x i y i N : y i x -ből következik x P y Minősített többségi szavazás (majority rule) (MT): az a győztes, akié a szavazatok több, mint a fele (csak a mellette szavazat számít, aki semleges, az ellene van) i N : x i y n/2 -ből következik x M y May tétel: Ha 2 jelölt van, a TB egyetlen olyan döntési folyamat, ami az alábbi 3 alapfeltétellel konzisztens (Kenneth May, 1952): - anonimitás: minden szavazónak egyenlő a súlya - semlegesség: átcímkézés egyéni preferenciákban = u.a. átcímkézés az eredményben - (pozitívan reagáló) erősen monoton: holtversenyben, ha egy szavazó x-nek kedvező módon megváltoztatja a preferenciáit, akkor x lesz a győztes, gyengén monoton: ha x a győztes és egy szavazó még inkább jobban felértékeli, akkor x marad a győztes.

6 MT szabály 2 jelölt esetén OK, de tendencia több jelöltre alkalmazni. Tipikus kiterjesztések: - tiszta többségi szavazás: az győz, akinek legtöbb szavazata van (de akár 50%). - két fordulós (run-off, RO): győztes, ha minősített többséget kap, ha nincs ilyen, akkor a legjobb kettő egymással szemben, sima többséggel. 1 cs 2 cs 3 cs 4 cs z y x w 2. x z y z 3. y x z x 4. w w w y Többségi szavazás furcsasságai TB: w győz 30 szavazattal (kisebbségi jelölt!) w egyenkénti felmérésben mindenkivel szemben alulmarad, mégis győz. Kétfordulós: nincs minősített többségi győztes, a két legjobb jelölt: w (30), x (26) 2-ik fordulóban: x (70), w (30), x a győztes. Akik a z mellett vannak, joggal panaszkodhatnak, hogy miért éppen x, ha a többségnél z i x!? x miért nyert?

7 Többségi szavazás baja közismert, 1700 körül, francia akadémiai körök Jean-Charles de Borda súlyozott rendezés (Borda-szabály) De arte eleccionis, blessed Ramon Llul, Marie Jean Antoine Nicolas Caritat, Marquis de Condorcet páronkénti győztes (Condorcet-kritérium) Elveszett irásait 2001-ben fedezték fel (Ars notandi, Ars eleccionis, ) Llul ismerte már a Borda-szabályt és a Condorcet-kritériumot is

8 2003 kaliforniai kormányzó választások - Akarod-e elmozdítani a hivatalából Gray Davis kormányzót? - ha igen 50% felett, akkor a 150 db induló jelöltből TB szavazással kerül ki a győztes. 55,4% ellene (azaz 44,6% burkoltan Davis mellett szavazott) a győztes tényleges a többségi győztes? Arnold Schwartzenegger 48,6%...

9 Súlyozott rendezett szavazás - Borda szavazás (BC) - k alternatíva, integer minősítés, mindenki rangsorol, a legrosszabb alternatíva 0, a legjobb (k-1) (semleges = azonos súly) - alternatívánként összegzés - eredmény az alternatívák teljes, tranzitív szociális rendezése BC 1. w w x x y y w w = x x y y z z x x = y y z z w w y y = z z w w x x z z = 6

10 Borda szavazás (BC) furcsasságai/1 Probléma győztesből vesztes paradoxon y BC x BC w BC z Tegyük fel, hogy z érvénytelen! Tegyük z-t utolsónak, a rendezés marad! y, x és w versenyében z egy irreleváns alternatíva. Sérül a irreleváns alternatívától való függetlenség elve. A döntés nem logikus, manipulálható BC 1. w w x x y y w w = x x y y z z x x = y y z z w w y y = z z w w x x z z = 6 w BC x BC y Intelligens Elosztott Rendszerek BME-MIT, BC 1. w w x x y y w w = 8 2. x x y y w w x x = 7 3. y y w w x x y y = 6

11 Borda szavazás (BC) furcsasságai/2 A győztes a vesztessel szembeni páronkénti megmérettetésben alulmarad: x i y 5 y i x 2 Condorcet győztes: páronként mindenkinél jobb (többségi gráf): w y x z BC 1. w w z x x w = 9 2. x x y z y x = y z w w w y = 5 4. z y x y z z = 6 w a Condorcet győztes A fenti példában sérül az un. Condorcet kritérium (ha van Condorcet győztes, akkor az algoritmusnak őt kell megválasztani!)

12 Szekvenciális páronkénti összehasonlítás furcsasságai TB kieséses bajnokság A TB szabály intranzitivitása ha x1 M x2, x2 M x3, de x3 M x1! akkor x1 x3 x2 2. x2 x1 x3 3. x3 x2 x1 x1 x2 x1 x3 x1 x3 x3 x2 x3 x2 x1 x3 x2 x3 x2 x2 x1 x1

13 Szekvenciális páronkénti összehasonlítás furcsasságai Hogyan szervezzük a kieséses bajnokságot, hogy mindegyik jelöltet bajnoki győztes pozicióba hozhassunk, az adott többségi gráf esetében? w x y z

14 Furcsasságok, folyt.köv. Ki a győztes, ha a szavazás többségi? Borda (Szlovénia, egyetemek, Euróvizió Dalverseny)? szekvenciális többségi (legyen a,b,c,d,e) (US kongresszus)? kétfordulós (Instant-runoff, IRV, Single Transferable Vote, STV) (Ausztrália, Írország, Málta, Oscar)? -a jelöltek törlése a legkisebb szavazati számtól kezdve, amíg van törlendő alternatíva kétfordulós (Plurality with runoff) (Franciao., Magyaro., Lengyelo.)? ld. előbb és ki a Condorcet győztes?

15 Szavazási paradoxonok (1) Értelmes algoritmusok és értelmes kritériumok nemigen futnak együtt. (2) Az egyéni preferenciák tranzitivitása ellenére a többségi szavazásból adódó közösségi preferencia nem mindig az (többségi gráf ciklusa). Tranzitív preferencia a racionális gondolkodás, a cselekvés alapvető követelménye. Döntésképes, racionális egyén/ágens tranzitív. Mi a helyzet a közösséggel? Nem lenne az? TB, MT szabályok alapja: - May tétel - ciklusok ritkák Pl. 3 szavazó, 3 jelölt: 216 típ. közösség, ciklusok csak 12-ben = 5.6% Ha szavazószám, jelöltszám nő, a ciklusok valószínűsége 1-hez tart. (szimuláció)

16 Condorcet megközelítés körforgó körmérkőzés Páronkénti összehasonlítás, mindenki mindenkivel Condorcet kritérium - ha van Condorcet győztes ez legyen a győztes - de ha nincs, milyen legyen a létező információ kiaknázása?

17 erős gyenge 1. Smith kritérium Nem kívánatos alternatívák eliminálása. A legyőzhetetlen alternatívák keresése. Smith halmaz: az alábbi 2 halmaz kisebbike (Top Cycle Set) a. az összes alternatívák X halmaza b. egy olyan A X, hogy A minden eleme győz az X-A minden elemével szemben ha x A és y X-A, akkor x P y

18 2. Győzelem-veszteség mérleg (Copeland szabály) alternatíva súlya = győzelem - veszteség (minden él = 1) ha ciklus van, sok döntetlen helyzet várható 3. Aggregált páronkénti szavazás (AP) ciklus ellenére tranzitív sorrendezés, nincs semleges szavazó x aggregált szavazata: i N : x i y + i N : x i z +... a. aggregált szavazás Condorcet győztest soha sem rangsorol utolsónak. b. aggregált szavazás Condorcet vesztest soha sem rangsorol elsőnek. Problémák: páronkénti összehasonlítás és az aggregált sorrend, pl. x P y, y P z, x P z, és x AP y AP z rendben van, nincs anomália x P y, y P z, x P z, és y AP x AP z de itt nem, anomália x P y, y P z, x P z, és z AP y AP x lehetetlen (x = Condorcet győztes) stb. Nagyjából csak az esetek kevesebb, mint a fele lehetséges (ezen belül anomáliák)

19 4. Schultze-féle módszer (1997, 2003) (SM) Cloneproof Schwartz Sequential Dropping, Beatpath Method ( , internet posting) döntéshozatal Debian Linux projektben, - ha létezik Condorcet győztes, SM azt választja meg - semlegesség, anonimitás, monotonitás, klón-függetlenség,... - Smith-IIA: ha egy jelöltet hozzáadunk, csak akkor lehet befolyással, ha benne van a Smith halmazban. Szavazó: rangsorolás tetszőleges számú (nem szükségképpen az összes) jelöltről, nem rangsoroltak felcserélhetők, a rangsoroltak mögé kerülnek Tranzitív győzelem: x tranzitíve győz y-nal szemben, ha létezik x P...,...,... P y lánc (annak ellenére, hogy pl. közvetlenül y P x) Lánc erőssége: min győzelmi margó a láncbeli két alternatívája között P x,y az x-től y-ig a legerősebb lánc erőssége Cél: olyan, a legerősebb láncokkal rendelkező alternatívát megtalálni, ami minden más alternatívát legyőz: ha P x,y P y,x, x kizárja y-t.

20 A nem kizárt alternatívák a potenciális győztesek halmaza - egy, OK - több, valamilyen más döntési eljárás Pl. 3 csapat, hány szavazó kit gondol jobbnak P OU,AU = 22 P OU,USC = 18 P AU,OU = 18 P AU,USC = 18 P USC,OU = 44 P USC,AU = 22 P USC,OU P OU,USC, USC kizárja OU-t P USC,AU P AU,USC, USC kizárja AU-t USC a győztes

21 Schwartz szekvenciális szavazás (Cloneproof Schwartz Sequential Dropping CSSD) (előbbivel ekvivalens iteráció) avagy a: Schultze módszer = szekvenciális jelölt-erősség mérése - gyengék eliminálása - újbóli értékelés (un. Schwartz halmaz újraszámítása) Smith halmaz (S) a legfontosabb győztesek ciklus halmaza Schwartz halmaz = Smith halmaz javított változata Schwartz halmaz eleme: - páronkénti összehasonlításban legyőzhetetlen (győzelem, v. döntetlen), vagy - tranzitíve győz minden olyan mással szemben, ami tranzitíve fenyeget (avagy Schwartz halmaz elemei minden mást elemet elérnek). x S, ha minden olyan y-ra, amire P y,x 0, P x,y 0. y S, ha van olyan x, amire P x,y 0, de P y,x = 0. Ha nincsenek páronként döntetlen szavazatok: Smith h. = Schwartz h. Ha vannak, Schwartz halmaz Smith halmaz

22 Schwartz Smith Smith (szaggatott = döntetlen) Smith

23 Pl. leggyengébb győzelemből döntetlen új Schwartz halmaz (gyakorlat) BC w x y z Intelligens Elosztott Rendszerek BME-MIT, 2017

24 Schwartz szekvenciális szavazás CSSD: (iteratív, teljes) 1. Szavazatok begyűjtése (egy szavazó: összes alternatívára, v. csak néhányra, semleges szavazat is). Eredmény: x P y, x I P y, vagy y P x (számítása) 2. Kizárások permanens eliminálása Schwartz halmaz számítással. 3. A maradó jelöltek értékelése: A. csak egy: ez a győztes B. ha mindenki döntetlenre áll, ld. 4. lépés. C. a leggyengébb győztes keresése: Schwartz halmaz számítása, egyéb jelöltek permanens eliminálása, ehhez iteratívan a legrosszabb él törlése döntetlenre alternatíva min. győzelmi szavazattal (vagy margó): győzelem törlése: : x P y x I P y ha több ilyen, akkor törlés annál, aminél többen szavaztak a vesztesre ha belőle is több van, egyforma törlés. Vissza 2-höz. 4. Potenciális győztesek halmaza, döntetlen helyzet eldöntése. egy véletlenül kiválasztott szavazó véleménye: - ha minden jelölt rendezett, akkor megvan a győztes - ha nem, akkor amire van eredmény, pl. x Schultze y, eltesszük (lefixált) - újra véletlen mintavételezés (az előbbi rendezések lefixálásával), amíg minden páronkénti összehasonlítás nem lesz minősítve. - ha a szavazatok kifogytak és nincs rangsorolás, véletlen rangsorolás.

25 Pl. Schwartz szekvenciális szavazás (gyakorlat)

26

27

28 Schultze módszer kikerüli a BC paradoxonját. Ellenérv: túlságosan komplikált elvi szempont gyakorlati szempont politikai szempont Szavazó szempontjából ugyanolyan egyszerű

29 Schultze módszer részvételi kritérium sérül Részvételi kritérium: ha a szavazás eldőlt, és olyan szavazókat adunk hozzá, akik a győztest preferálják egy másik alternatívával szemben, akkor az a másik alternatíva nem lehet az újbóli számlálásnál a győztes. x a győztes, és x Schultze y +: szavazók, akiknél: x i y az eredmény nem lehet: y Schultze x

30 u u u u v w w x y z z z u 2. v v y y z x x y w u u y y 3. w z v z u v v w x v v x z 4. x x z v w y z u v w x v w 5. y y w w x z y v z x y w v 6. z w x x y u u z u y w u x Szavazás 1-12: u a győztes, szavazás 1-13: x a győztes

31 Részvételi kritériumok és Condorcet-konzisztens szavazás No Show Paradox nem elmenni szavazni előnyösebb a jelöltünknek, mint rá szavazni. Twin paradox ha a győztesre szavazó további szavazó csatlakozik, a győztes jelölt veszít. Pl a b, majd a győztes c páronkénti mérkőzés, ha döntetlen: lexikális sorrend c c a a c b b b b b b a c c a a c c b a a szavaz: b győz, és mi van, ha az 1. szavazó nem jön? szavaz: c győz, és mi van, ha a c-re szavazó 1-es csatlakozik? Megerősítés paradoxon: egy jelöltre külön szavazó két szavazóhalmaz együtt már nem ezt a jelöltet válassza meg. Young (1974): minden Condorcet-konzisztens szabály megsérti a megerősítés axiómát (azaz előjöhet a paradoxon). Moulin (1988): Ha 4-nél több a jelölt és 25-nél több a szavazó, nincs olyan Condorcet-konzisztens szavazó szabály, amely teljesítene a részvételi kritériumot.

32 Páronkénti összehasonlítás furcsasságai - Pareto kritérium Ha minden szavazó x jelöltet jobbnak tartja y jelöltnél, a szavazó módszernek nem lenne szabad y-t győztesként kihozni. Szekvenciális mérközés sérti a Pareto kritériumot. Az alábbi agendában győz a d, pedig b-t mindenki jobbnak tart a d-nél. a c a d c d a c b b a d d b c b c d a

33 Egy szavazatú választási rendszerek virtuális több fordulós (VT) Single Transferable Vote (STV) Szavazás: alternatívák rangsorolása Értékelés: virtuális több forduló Győztes: kvóta = minősített többség ( szavazó +1) / 2 1. (M) Többségi győztes OK. 2. Nincs (m) többségi győztes. Legkisebb szavazattal rendelkező jelölt eliminálása. A szavazatok átemelése a másodiknak rangsorolt jelöltnek. Vissza 1-hez.

34 z y y x w 2. x z x y z 3. y x z z x 4. w w w w y x y y x w 2. y x x y x 3. w w w w y 1. w=9, x=6, y=6, z=5 2. z eliminált x=11, w=9, y=6 2. y eliminált 1. x=17, w=9, x a győztes. 1. x x x x w 2. w w w w x

35 Sérül: - Condorcet győztes megválasztása (ha van) nincs garantálva - nem monoton: Monotonitási kritérium: Ha valamelyik szavazó meggondolja magát és egy alternatívát jobban értékel, akkor ez e alternatíva esélyeit kell, hogy segítse, vagy legalább ne rontsa z y x x w 2. x z y y z 3. y x z z x De most tegyük előbbre x-t a 3-as csoportnál. 1. w=9, x=8, y=4, z=5 2. y eliminált z z x x w 2. x x z z z 3. w w w w x 1. x=8, w=9, z=9 2. x eliminált 4. w w w w y 1. z z z z w 2. w w w w z 1. w=9, z=17, z a győztes

36 Heurisztika a javából: Hibrid Condorcet szavazás Black módszer: Condorcet konzisztens vegyes szavazás (1) Ha van Condorcet győztes azt válasszuk (2) Különben Borda szabály Teljesít: Pareto kritérium, Condorcet kritérium, monotonitási kritérium,

37 Konklúziók Arrow tétel (Kenneth J. Arrow, 1963) Nincs olyan szavazási rendszer, ami azt teljesítené, ami minimális alapvető követelménynek tűnik. Tegyük fel, hogy egy választási rendszer rendelkezik: Nemdiktatorikus: a szociális preferencia nem tükrözhet valamelyik egyéni preferenciát, a többi szavazó preferenciájától függetlenül. Pareto-elv: ha minden szavazó egy alternatívát jobbnak tart másnál, akkor a szociális preferenciának ezt tükröznie kell. Ha egy választási rendszer nemdiktatorikus és teljesiti a Pareto-elvet, akkor található olyan választói halmaz, ahol a szociális preferencia intranzitiv (szavazási ciklus), és/vagy sérül az irreleváns alternatíva függetlensége. (biz.: ha tranz., Pareto és IIA, akkor van diktátor) Melyik választási rendszer problémái legkevésbé zavarók az adott közösség gyakorlatában?

38

39 Condorcet hatékonyság Feltételes valószínűsége annak, hogy a szavazás Condorcet győztest választ, feltéve, hogy az létezik. Borda szavazás maximális Condorcet hatékonyságú. Condorcet győztes közelítése - Dodgson szabály (1874) Szavazás, ahol nincs Condorcet győztes. Jelölt, aki legközelebb lenne a Condorcet győzteshez: legkisebb számú változás szavazói preferenciákban, hogy egy jelölt Condorcet győztes legyen John Kemeny (1959) Charles Dodgson (Lewis Carroll) Szavazás, ahol nincs teljes tranzitív rangsorolás: a szavazási eredményhez illeszkedő legközelebbi tranzitív rangsorolás. Minden tranzitív rendezés: páronkénti összehasonlítás a szavazati profillal. Margók összegzése, ahol eltérés tapasztalható. Min. összegű sorrend a Kemény sorrendezés.

40 Condorcet győztes közelítése - Dodgson szabály B a győztes (majdnem Condorcet győztes) Kemény szabály tranzitivitás közelítése Súly = 2+8 = 10 Súly = 8 ez van legközelebb, A a győztes Minden más sorrend Súly = + 16 = nagyobb

41 Preferenciák 10 hallgató: rózssz., zöld, kék, piros 8 hallgató: kék, zöld, piros, rózssz 3 hallgató: zöld, kék, piros, rózssz 2 hallgató: piros, kék, zöld, rózssz Tanár: többségi szavazás: rózssz a győztes. X. hallgató nem szeret rózssz-t, tiltakozik. Két fordulós szavazást szeretne (kék a győztes). De lehetne Borda is (zöld a győztes). 10 hallgató: rózssz., zöld, kék, piros 8 hallgató: kék, piros, zöld, rózssz - hazudnak preferenciáiról! 3 hallgató: zöld, kék, piros, rózssz 2 hallgató: piros, kék, zöld, rózssz Most Borda győztes a kék.

42 Létezik-e alkalmas manipulálás (hazúg szavazás, tactical voting) minden értelmes szavazási algoritmusnál? (lényegében igaz) Milyen (számítástechnikailag) nehéz az alkalmas manipulálási precedurát kitalálni? Worst case-ben? Átlagos helyzetben? Pl. Borda (heurisztikus) stratégiai manipulálása Ha a szavazó x-et szeretne és azt hiszi, y a legveszélyesebb vetélytárs, az y megválasztásának esélyét minimalizálni lehet az y-t az utolsó preferencia helyre helyezve.

43 Konklúziók Gibbard Satterthwaite tétel (1973) A > 3: az alábbi feltételek egyike minden szavazási módszerre igaz: - a szabály diktatórikus (egyetlen szavazó meghatározza a győztest), vagy - van olyan jelölt, aki a szabályt alkalmazva soha nem győzhet, vagy - a szabály manipulálható (tactical voting): bizonyos feltételek mellett egy szavazó, a szabály és mások preferenciái ismeretében, nem a tényleges preferenciái szerint szavazva, befolyásolhatja a szavazás kimenetelét. stb.

44 Hibrid szavazási protokollok és manipulálás komplexitás elmélete Manipulálás szoftver ágensek több veszély, több lehetőség Egyszeri algoritmus tervezés, másolás nagy számú ágensnek = stratégiai szavazás esélye, sikeressége nőhet = nem befolyásolják emóciók, irracionalitás Több számítási kapacitás, könnyebb hatékony manipulálást megtalálni Ágens szavazás megnövelt anonimitás, kevesebb fenntartás a közösségi megtorlással szemben Manipulálás: - A manipuláló információja a nem manipulálókról: nem teljes, teljes - Ki manipulál: egyén, koalíció - Súlyozott, nem súlyozott szavazók - Manipulálás célja konstruktív: győzelemre vinni valakit destruktív: vesztésre vinni valakit Manipulálás számítási nehézsége

45 Hibrid protokollok, manipulálás komplexitás elmélete Manipulálás - elkerülhetetlen - akkor legyen legalább exp. nehéz Kutatás: szavazási sémák polinom,..., NP manipulálhatók STV manipulálni NP-nehéz Borda, STV, Maxmin, többségi NP-nehéz, ha az első körben páronkénti mérkőzésekben elimináljuk a jelöltek felét Legyen n szavazó, m jelölt, V = {v 1, v 2,, v n }, C = {c 1, c 2,, c m } Komplexitás n, m-ben mérve! C összes permutációja: Π(C), i-edik szavazó preferenciája π i Π(C) Szavazási protokoll: leképzés P: (Π(C), Π(C),..., Π(C)) C Kezelt protokollok: - többségi - Borda - STV (Single Transferable Vote) - Maxmin (páronkénti mérkőzéseknél a mellette szavazók számának a minimuma) - BC (Binary Cup) páronkénti mérkőzés

46 Hibrid protokollok, manipulálás komplexitás elmélete Manipulálás modellje: v j szavazó manipulálhatja a P protokollt, ha van olyan permutáció π' j Π(C), hogy bizonyos π i Π(C), i=1,, n értékekre: 1. P(π 1, π 2,, π n ) = c 2. P(π 1, π 2,, π j-1, π' j, π j+1,..., π n ) = c' c 3. v j a c'-t a c-nél jobbnak tartja. (konstruktív manipulálás). Egy szavazó hatékonyan manipulál, ha a π' j konstruálása π 1, π 2,, π n ismeretében polinomiális komplexitású algoritmussal lehetséges. Manipulálási komplexitás növelése - Hibrid szavazási protokoll: Hyb(X k,y) - szavazat leadás x 1 - k lépés X protokollal, k db. jelölt eliminálása - Y protokoll alkalmazása a maradék jelöltre. Pontozásos protokolloknál a legrosszabb jelölt eliminálása, pontozás átszámítása nélkül.

47 Hibrid protokollok, manipulálás komplexitás elmélete Tétel: Végtelen sok k értékre: Hyb(STV k,y), Hyb(X k,stv) ahol STV Single Transferable Vote, X, Y = TB, Borda, BC, STV, Hyb(Borda k,tb), Hyb(Maxmin k, TB), Hyb(Borda k,borda), Hyb(Maxmin k,borda) NP-manipulálható. Pareto opt.: aki mindenkinél vesztes, sohasem nyer. Condorcet konzisztens. Monoton: ha más jelöltek relatív sorrendje változatlan, feljebb (lejjebb) minősíteni a jelöltet, bukását (győzelmét) nem okozhatja. Erősen Pareto opt.: aki mindenkinél rosszabbul áll, korábban eliminálódik. Erősen monoton: feljebb minősíteni egy jelöltet nem hozhatja előbbre az eliminálását és nem befolyásolhatja más jelöltek relatív eliminálási sorrendjét. Tétel: Minden X, Y, k, ha X, Y teljesíti Condorcet kr.-t, akkor a Hyb(X k,y) is. Ha X erősen monoton (Pareto opt.), Y monoton (Pareto opt.), akkor a Hyb(X k,y) is monoton (Pareto opt.). Tétel: De pl. polinomiálisan konstruktíve manipulálható Hyb(TB k,y), ahol Y = TB, Borda, BC, Maxmin.