Kúpszeletek. Az ellipszis érintője

Átírás

1 Kúpszeletek Az ellipszis Az ellipszis azon pontok geometriai helye, melyeknek két adott ponttól (F 1 és F pontoktól) mért távolságuk összege egy adott távolsággal egyenlő, a két adott pont az ellipszis fókusza (gyújtópont), az ellipszis pontjainak a fókuszoktól való távolságai a pontok vezérsugarai. Legyen F 1 és F egy ellipszis fókuszai. Ha az F 1 F távolság középpontjából, O-ból felmérjük az adott távolság felét az F 1 F egyenesre, akkor A és B az ellipszisnek pontjai; mert AF 1 +AF =AF 1 +F 1 B=AB és BF 1 + BF =BF 1 +AF 1 =AB. Ha a két fókuszból az adott távolság felével kört írunk, akkor ezek C és D metszéspontjai is az ellipszisnek pontjai, minthogy ezek vezérsugarainak összege az adott távolsággal egyenlő. A CD egyenes az O pontban merőleges az AB-re. Az OF 1 C derékszögű háromszögben a CF 1 oldal az átfogó, amely egyenlő az OA-val, ezért OC<OA. Az AB szakaszt az ellipszis nagytengelyének, a CD szakaszt az ellipszis kistengelyének nevezzük; az AB távolságot a-val, a CD távolságot pedig b-vel jelöljük. A, B, C, D az ellipszis csúcsai. Az ellipszis tetszőleges pontjának szerkesztéséhez az AB szakaszon felveszünk egy tetszőleges osztópontot, az ábra jelölésével ez legyen az 1 pont. Ekkor az F 1 körül A1 sugárral, F körül 1B sugárral köríveket rajzolunk, ezek metszéspontjai az ellipszisnek pontjai. Az egyiket jelöli a P 1. Ha az F körül A1 sugárral, F 1 körül 1B sugárral köríveket rajzolunk, ezek metszéspontjai az ellipszis újabb két pontját adják. A fókuszok távolságát felező O pontot az ellipszis középpontjának nevezzük. A középpontnak a gyújtópontoktól való távolságát az ellipszis excentricitásának nevezzük, és c- vel jelöljük. Az olyan szakaszt, mely az ellipszis két pontját összeköti, húrnak nevezzük, az olyan húrt, amely a középponton keresztül megy, átmérőnek nevezzük. Az átmérő egyenesét is röviden átmérőnek mondjuk. Az ellipszis érintője Legyen F 1 és F az ellipszis két fókusza, A és, B a nagytengelyének két végpontja. Az ellipszis tetszőleges P pontjának két vezérsugara közül az egyiket, pl. R 1 =PF 1 -et rámérjük az r meghosszabbítására a P ponton túl az E pontig. Ekkor az EF szakasz egyenlő hosszúságú az AB-vel. Legyen Q az EF 1 szakasz felezőmerőlegesének P-től különböző tetszőleges pontja. Ekkor EQ=F 1 Q, következőleg F 1 Q+F Q=EQ+F Q; de EQ+F Q>EF, 1

2 tehát F 1 Q+F Q>EF (ami azt is jelenti, hogy F 1 Q+F Q>AB), amiből kitűnik, hogy Q az ellipszisen kívül fekszik. Eszerint az EF 1 szakasz M felező pontján és a P ponton áthaladó egyenesnek nincs a P ponton kívül más közös pontja az ellipszissel; az ilyen egyenest az ellipszis érintőjének, az ellipszissel közös pontját érintési pontnak nevezzük. Az EPF 1 háromszög egyenlőszárú, az ellipszis érintője felezi az érintési ponthoz húzott vezérsugarak mellékszögét. Az E pontot, mely F 1 pontnak az érintőre vonatkozó tükörképe, az F 1 fókusz ellenpontjának is nevezik a PM érintőre vonatkozólag. Az F 1 fókusznak az ellipszis érintőire vonatkozó ellenpontjai az F körül AB sugárral írt körön vannak; ezt az ellipszis ellenkörének (vagy vezérkörének) nevezzük. Az ellipszisnek két vezérköre van. A P pont körül PF 1 sugárral írt kör az E pontban érinti a vezérkört. Megfordítva: az F 1 ponton áthaladó és a vezérkört annak egy tetszőleges pontjában érintő kör P középpontja, az ellipszisnek pontja. Mondhatjuk ezért, hogy az ellipszis azon körök középpontjainak geometriai helye, melyek egy kört érintenek és egy a kör belsejében fekvő és ennek középpontjától különböző ponton keresztülmennek. Minthogy M az EF 1 szakasznak és O az F 1 F szakasznak a felezőpontja, OM az F E távolságnak, vagyis a nagytengelynek a felével egyenlő. Ennélfogva a fókuszból az érintőre állított merőleges talppontja olyan körön van, melynek középpontja az ellipszis középpontja és sugara a fél nagytengellyel egyenlő; ezt az ellipszis főkörének nevezzük. Érintési feladatok Egy adott ellipszishez egy K külső pontból két érintő húzható, melyeket a következőképpen határozhatunk meg: Felhasználjuk az egyik vezérkört, ennek sugara egyenlő a nagytengely hosszával, középpontja az F 1 és F gyújtópontok közül az egyik, pl. F. Az érintő tetszőleges P pontja az F 1 -től (mely nem középpontja a vezérkörnek) és az F 1 -nek az érintőre vett ellenpontjától egyenlő távolságra van (az érintő éppen ezt a szakaszt merőlegesen felezi), meg kell keresnünk a vezérkörnek azokat a pontjait, melyek az adott ponttól ugyanakkora távolságra vannak, mint az F 1 pont. Vagyis a K pontból, mint középpontból az F 1 fókuszon keresztül kört kell húznunk. Ez a kör a vezérkört az E 1 és E pontokban metszi. Az E l F 1 és E F 1 szakaszok felezőmerőlegesei keresztülmennek a P ponton, a keresett érintők. Ezeken a T l és T érintési pontot az E l és E pontokhoz húzott vezérkör sugarak metszik ki. E szerkesztés alapján világos, hogy az ellipszishez a rajta kívül fekvő bármely pontból két érintő húzható. Egy g egyenessel párhuzamos érintő szerkesztésénél F 1 -bő1 az adott g egyenesre merőlegest bocsátunk, ez a merőleges az F középpontú vezérkört két pontban metszi. Az E l F 1 és E F 1 szakaszok felezőmerőlegesei lesznek a keresett érintők. Ezeken a T l és T érintési pontot az E l és E pontokhoz húzott vezérkör sugarak metszik ki.

3 Az F 1 gyújtópontot összekötve a T l és T pontokkal, az F 1 T 1 F T négyszög paralelogramma lesz. Ugyanis az E l E F és E 1 F 1 T 1 háromszögek hasonlóak, mert ezek egyrészt egyenlőszárú háromszögek - az előbbi azért, mert két oldala a vezérkör sugara, az utóbbi pedig azért, mert az E 1 F 1 alapot merőlegesen felező t l egyenesen van a harmadik csúcsa -, másrészt pedig E 1 -nél közös szögük van. Így tehát T 1 F 1 párhuzamos F E -vel, illetve F T -vel. Hasonlóképpen kimutatható, hogy F 1 T párhuzamos T 1 F -vel. De ekkor a T 1 T és F 1 F szakaszok, mint egy paralelogramma átlói, felezik egymást, és így a T l és T pontok az ellipszis O középpontjára nézve szimmetrikusak. Egyenes és ellipszis metszéspontjai Ha egy ellipszis és egy egyenes metszéspontjait keressük, akkor a feladatot így is fogalmazhatjuk: Keresendők olyan pontok, melyek az adott g egyenesen vannak, és amelyek körül az egyik fókuszon keresztül húzott kör érinti a másik fókuszból húzott vezérkört. Minden kör, melynek középpontja a g egyenesen van és keresztülmegy az F 1 és F fókuszok közül az egyiken, pl. F 1 -en, keresztülmegy ennek a g egyenesre vonatkozó tükörképén, F-en is. Ha az F 1 és F pontokon keresztül tetszés szerinti k kört húzunk, amely az F középpontú vezérkört a J és K pontban metszi, akkor az FF l és JK egyenesek H metszéspontjából a vezérkörhöz húzott érintők E l és E érintéspontjai a keresett köröknek a vezérkörrel való érintéspontjai. A g egyenesen keresett pontokat az E 1 F és E F egyenesek metszik ki, ezek a P 1 és P. Ha a g egyenes keresztülmegy az F ponton, akkor az FF l és JK egyenesek nem metszik egymást. Ilyenkor a keresett pontokat a g egyenes és a vezérkör E l és E metszéspontjainak F- től való távolságát merőlegesen felező egyenesek metszik ki a g egyenesből. E szerkesztés alapján világos, hogy a sík bármely egyenese az ellipszist legfeljebb két pontban metszi. 3

4 A hiperbola A hiperbola azon pontok geometriai helye, melyeknek két adott ponttól való távolságuk különbsége nagyságra nézve egy adott távolsággal egyenlő. A két adott pont a hiperbola fókusza (gyújtópont), a hiperbola pontjainak a fókuszoktól való távolságai a pontok vezérsugarai. Legyenek F 1 és F egy hiperbola fókuszpontjai. Ha az F 1 F szakasz O felezőpontjából felmérjük az adott távolság felét az F 1 F egyenesre, akkor az A és B pontokat kapjuk, melyek a hiperbola pontjai; mert AF -AF 1 =AF -BF =AB és BF 1 -BF =BF 1 -AF 1 =AB. Az AB szakaszt a hiperbola valós tengelyének (főtengelyének), ennek A és B végpontjait a hiperbola csúcsainak nevezzük. Az AB távolságot a-val jelöljük. Ha magát a hiperbola görbéjét akarjuk megszerkeszteni, a fókuszokon áthaladó egyenesen az egyik fókusztól kifelé osztáspontokat veszünk fel. Legyen egy ilyen osztáspont az 1. Az F 1 fókuszból az A1 távolsággal, mint sugárral körívet rajzolunk, melyet az F középpontú B1 sugarú ívvel metszünk el. Majd ehhez hasonlóan az F 1 középpontú, B1 sugarú és az F középpontú, A1 sugarú íveket is elmetsszük. Ily módon minden osztáspont segítségével a hiperbolának négy pontját kapjuk; ezeket a pontokat folytonos görbével kötjük össze. A szerkesztés alapján világos, hogy a hiperbola fókuszain áthaladó egyenes és az F 1 F pontok felezőmerőlegese a hiperbola szimmetria-szimmetriatengelye, a fókuszok távolságának felezési pontja a hiperbola szimmetria-középpontja. Az F 1 F pontok felezőmerőlegesén nincs a hiperbolának pontja; ugyanis ezen egyenesnek bármely P pontjára PF 1 =PF, így PF 1 -PF =0. A felezőmerőleges egyik vagy másik oldalán fekvő hiperbolapontok egy-egy hiperbolaágat alkotnak. Az O pontot a hiperbola középpontjának nevezzük. A középpontnak a fókuszoktól való távolságát a hiperbola excentricitásának nevezzük, és c-vel jelöljük. A hiperbola két pontját összekötő szakaszt húrnak, az olyan húrt, mely a középponton keresztül megy, átmérőnek nevezzük. A hiperbola érintője Legyen F 1 és F a hiperbola két fókusza, A és B a hiperbola két csúcsa. A hiperbola tetszőleges P pontjának két vezérsugara közül az egyiket, pl. r 1 = PF 1 -et, P-től kezdve rámérjük az r egyenesére F felé. A kapott pontot jelölje E. A Q az EF 1 szakasz felezőmerőlegesének P-től különböző tetszőleges pontja. Ekkor QE=QF 1. A P az F 1 F szakasz felezőmerőlegesének azon az oldalán fekszik, mint pl. F 1 (vagyis PF 1 <PF ), akkor a QEF háromszögben QF -QE<EF, vagyis QF -QF 1 <PF -PE, azaz QF - QF 1 <PF -PF 1. Emiatt a Q pont a hiperbolán kívül fekszik. Eszerint az EF 1 szakasz M felezőpontját P-vel összekötő egyenesnek P-n kívül minden pontja a hiperbolán kívül fekszik; 4

5 az ilyen egyenest a hiperbola érintőjének és ennek a hiperbolával közös pontját érintési pontnak nevezzük. Minthogy az EPF 1 háromszög egyenlőszárú, a hiperbola érintője felezi az érintési ponthoz húzott vezérsugarak által bezárt szöget. Az E pontot, mely F 1 pontnak az érintőre vonatkozó tükörképe, az F 1 fókusz ellenpontjának is nevezik a PM érintőre vonatkozólag. Az F 1 fókusznak a hiperbola érintőire vonatkozó ellenpontjai az F fókusz körül AB sugárral írt körön vannak; ezt a hiperbola vezérkörének (ellenkörének) nevezzük. A hiperbolának két vezérköre van. A P pont körül PF 1 sugárral írt kör az E pontban érinti a vezérkört. Megfordítva: az F 1 ponton áthaladó és a vezérkört, annak egy tetszőleges pontjában, érintő kör P középpontja a hiperbolának egy pontja. Mondhatjuk ezért, hogy a hiperbola azon körök középpontjainak geometriai helye, melyek egy kört érintenek és egy ezen a körön kívül fekvő ponton keresztülmennek. Minthogy M az EF 1 szakasznak és O az F 1 F szakasznak a felezőpontja, OM az F E távolságnak, vagyis a valós tengelynek a felével egyenlő. Ennélfogva a fókuszból az érintőre húzott merőleges M talppontja olyan körön van, melynek középpontja a hiperbola középpontja és sugara a valós tengely felével egyenlő; ezt a hiperbola főkörének nevezzük. A hiperbola aszimptotái A hiperbola A és B csúcsán keresztül a valós tengelyre merőleges egyeneseket csúcsérintőknek nevezzük. Az O középpontú, az F 1 és F fókuszokon áthaladó kör és az A- beli csúcsérintő 1 és 4 metszéspontjait a középponttal összekötő egyeneseket a hiperbola aszimptotáinak, vagy végérintőinek nevezzük. (Ezek az aszimptoták áthaladnak a másik csúcsérintő és az előbbi kör és 3 középpontjain is.) Ezek alapján hiperbola csúcsérintői az aszimptotákat egy 134 téglalap csúcspontjaiban metszik. Ezen négyszögnek a csúcsérintőkkel párhuzamos CD középvonalát a hiperbola képzetes tengelyének (melléktengelyének) nevezzük; a CD távolságot b-vel jelöljük. Ha a képzetes tengely hossza akkora, mint a valós tengelyé, akkor a hiperbolát egyenlő oldalúnak hívjuk. Az F 1 és A pontok a képzetes tengely ugyanazon az oldalán fekszenek, és az O1 szakasz a hiperbola főkörét a K pontban metszi, akkor O1=OF 1, OA=OK és KOF 1 =AO1, következőleg az OA1 és OKF 1 háromszögek egybevágók, tehát OKF 1 =OA1. Ennélfogva ha a hiperbola fókuszából az aszimptotára merőlegest állítunk, akkor a merőleges talppontja a főkörön van; a hiperbola aszimptotái keresztülmennek a hiperbola fókuszából a főkörhöz húzott érintők érintési pontjain. Ha T a hiperbola F körüli vezérkör F 1 -ből húzott érintőjének érintési pontja, akkor az F 1 T és F T egyenesek merőlegesek egymásra és F T az AB főtengellyel egyenlő. S minthogy F 1 F = OF 1, F T=AB= OA, azért az O középpontból F 1 T-re bocsátott merőleges K talppontja felezi az F 1 T szakaszt, és az O ponttól OA távolságra van. Ennélfogva ha az egyik fókusz körül írt vezérkörnek a másik fókuszból húzott érintőjét és arra a hiperbola középpontjából merőlegest állítunk, akkor a hiperbola aszimptotáját kapjuk; és a hiperbola fókuszának az aszimptotára vonatkozó tükörképe a másik fókuszból húzott vezérkörön van. 5

6 Érintési feladatok A különböző érintési feladatok megoldása lényegében ugyanolyan, mint az ellipszisnél. Egy K külső pontból az érintőt úgy határozhatjuk meg, hogy K középponttal az F 1 fókuszon keresztül körívet húzunk; ez a vezérkört az E 1 és E pontokban metszi. Az FE l és FE szakaszok felezőmerőlegesei a keresett érintők, az érintéspontok pedig az F E l illetőleg F E egyenesen fekvő T l és T pontok. Ha az adott K pont nem középpontja a hiperbolának, akkor a feladatnak két megoldása van. A hiperbola középpontjából, O-ból, OF sugárral leírt kör az F 1 középpontú vezérkört az F 1 - ből ezen körhöz húzott érintők érintéspontjában metszi, ezeknek F 1 -től való távolságát merőlegesen felező egyenesek a hiperbola aszimptotái. Ha tehát az aszimptotákat is az érintők közé számítjuk, akkor mondhatjuk, hogy a hiperbolához a rajta kívül fekvő bármely ponton keresztül két érintő húzható. Egy egyenessel párhuzamos érintő szerkesztésénél az F 1 fókuszból (mely nem középpontja a vezérkörnek) az adott egyenesre merőlegest állítunk; ez az vezérkört E l és E pontokban metszi, az FE l és FE szakaszok felezőmerőlegesei a keresett érintők; az érintéspontok az F E l és F E egyenesen fekvő T l és T pontok. Míg az ellipszisnél az F 1 fókuszon keresztülmenő minden egyenesnek van a vezérkörrel két metszéspontja, azaz az ellipszisnek minden lehetséges iránnyal van párhuzamos érintője, addig a hiperbolánál az olyan egyenesnek, mely a fókuszból a vezérkörhöz vont érintők által képezett szögön belül fekszik, két metszéspontja van az vezérkörrel, de már az olyan egyenesnek, mely e szögön kívül esik, egy sincs. Ebből azt látjuk, hogy a hiperbola érintői valamennyien nagyobb szöget zárnak be a főtengellyel, mint az aszimptoták. Hiperbola és egyenes metszéspontja Egy egyenesnek a hiperbolával való metszéspontjai, ugyanúgy, mint az ellipszisnél, az egyenesnek azon pontjai, amelyekből az egyik fókuszon keresztül húzott kör érinti a másik fókuszból húzott vezérkört. A már ismertetett meggondolás alapján az adott egyenesre az F 1 fókuszt tükrözzük, ekkor az F* pontot kapjuk. Az F 1 és F* pontokon olyan kört vezetünk át, amely belemetsz az F körül írt vezérkörbe. A metszéspontokat jelölje J és K. A JK és F 1 F* egyenesek H metszéspontjából az F 1 és F*-ra illesztett körhöz érintőket húzunk. Az érintési pontokon H középponttal kört írunk. Ezek E l és E érintéspontján keresztül F -ből húzott egyeneseken lesznek a keresett M l és M metszéspontok. (Mivel a JK egyenes a vezérkör és az F 1 és F*-ra illesztett kör 6

7 hatványvonala, azt is mondhatnánk, hogy H-ból érintőket húzunk a vezérkörhöz. Az érintési pontok E 1 és E.) Ha az adott egyenes keresztülmegy az F ponton, akkor az adott egyenes és a vezérkör E l és E metszéspontjait maghatározva az F 1 E 1 és F 1 E szakaszok felezőmerőlegesén lesznek. A hiperbola aszimptotáival párhuzamos egyenes egyetlenegy pontban metszi a hiperbolát; a metszéspont az egyenest két részre osztja: az egyik rész a hiperbolán belül fekszik, a másik rész a hiperbolán kívül esik. Az előbbiek alapján mondhatjuk, hogy a hiperbolát a sík bármely egyenese legfeljebb két pontban metszi. A hiperbola társátmérői Két olyan hiperbolát, melyeknek aszimptotái közösek, s mindegyiknek a főtengelye a másiknak melléktengelye, konjugált hiperboláknak nevezünk. Az ábrán az egyik hiperbola AB valóstengelyű és CD képzetes tengelyű (F 1 és F fókuszok.). A másik hiperbola CD valós és AB képzetes tengelyű (F 3 és F 4 fókuszok.). A hiperbolák fókuszai egy O középpontú körön helyezkednek el. A hiperbola párhuzamos húrjait felező pontok az eredeti hiperbolának egy átmérőjén fekszenek, ha a hiperbola egyik ágán lévő pontokat kötik össze a húrok. A hiperbola párhuzamos húrjait felező pontok a hozzá konjugált hiperbolának egy átmérőjén fekszenek, ha a húrok a hiperbola különböző ágán lévő pontokat kötik össze. Mindkét esetben igaz, hogy ezen átmérő végpontjaiban az érintő párhuzamos az átmérő által felezett húrokkal. Két olyan átmérőt, melyek kölcsönösen felezik a másik átmérővel párhuzamos húrokat, konjugált átmérőknek nevezünk. A hiperbola tengelyei is konjugált átmérők, melyek egymásra merőlegesek. 7

8 A parabola A parabola azon pontok geometriai helye, amelyek egy adott ponttól és egy adott egyenestől egyenlő távolságra vannak. Az adott, pont a parabola fókusza (gyújtópont), az adott egyenes pedig a parabola vezérvonala (direktrix); a parabola pontjainak a fókusztól való távolsága a pontok vezérsugara. Az F fókuszból a vezérvonalra bocsátott DF merőlegest a parabola tengelyének mondjuk. A DF szakaszt az A pont felezi, ezért az A pont a fókusztól és a vezérvonaltól egyenlő távolságra van, a parabolának pontja. Az A pontot a parabola csúcsának nevezzük. Az ábrán a parabola egy pontjának szerkesztése is leolvasható: a tengelyen A-tól kifelé f osztáspontokat veszünk fel, most egy ilyen pont az 1. Ezen keresztül a vezéregyenessel párhuzamost húzunk, és azt a D1 távolsággal, mint sugárral az F középpontból elmetsszük. Egy lépésben mindig két pontot lehet szerkeszteni, melyek a parabola tengelyére nézve szimmetrikusan helyezkednek el. Az olyan szakasz, mely a parabolának két tetszés szerint választott pontját összeköti, a parabolának húrja. A parabolának azt a húrját, mely a tengelyére merőleges és a fókuszán megy keresztül, a parabola paraméterének (góchúr) nevezzük, hosszát p-vel jelöljük. A parabola tengelyével párhuzamosan húzott bármely egyenest a parabola átmérőjének nevezzük. Megjegyezés: Az összes parabola hasonló egymáshoz. A parabola érintője Legyen a parabola tetszőleges P pontjából a vezérvonalra bocsátott merőleges talppontja E. Legyen Q az EF szakasz felező merőlegesének P-től különböző pontja, és G a Q pontból a vezérvonalra bocsátott merőleges talppontja. Ekkor QF=QE, de QG<QE, tehát QG<QF, így Q a parabolán kívül fekszik. Eszerint az EF szakasz M felezőpontján és a P ponton keresztülmenő egyenesnek minden pontja, az egyetlen P pontot kivéve, a parabolán kívül fekszik; az ilyen egyenest a parabola érintőjének és ennek a parabolával közös pontját érintéspontnak nevezzük. Minthogy az EPF háromszög egyenlőszárú, a parabola érintője felezi az érintési pont vezérsugara és a pontból a vezérvonalra bocsátott merőleges által bezárt szöget. Az E pontot, mely F pontnak az érintőre vonatkozó tükörképe, a fókusz ellenpontjának is nevezik a PM érintőre vonatkozólag. A mondottak szerint a fókusznak a parabola érintőire vonatkozó ellenpontjai a vezéregyenesen vannak. Az EF szakasz M felezőpontja a parabola A csúcsán keresztül a vezéregyenessel párhuzamosan húzott egyenesen, az úgynevezett csúcsérintőn van. Ennélfogva a fókuszból az érintőkre húzott merőlegesek talppontja a parabola csúcsérintőjén fekszenek 8

9 A P pontból az F fókuszon keresztül húzott kör az E pontban érinti a vezérvonalat, mert PF=PE. Megfordítva: az F ponton áthaladó és a vezérvonalat annak egy tetszőleges pontjában érintő kör P középpontja a parabolának pontja. Mondhatjuk ezért, hogy a parabola azon körök középpontjainak geometriai helye, melyek egy egyenest érintenek és az egyenesen kívül fekvő ponton áthaladnak. Érintési feladatok Az érintési feladatok megoldásánál kis különbséggel alkalmazható az ellipszisnél, ill. hiperbolánál használt eljárás. Egy K külső pontból húzható érintőket a következőképpen határozhatjuk meg: K-ből KF sugárral kört írunk, ez a kör a vezérvonalat az E l és E pontoknak metszi. Az FE 1 és FE szakaszokra K-ból merőlegest bocsátva, nyerjük a keresett érintőket. Az érintési pontok, T l és T az E 1 -ből, ill. E -ből a parabola tengelyével párhuzamosan húzott egyenesen fekszenek. A parabolához a rajta kívül levő bármely pontból két érintő húzható. Ha egy g egyenessel párhuzamos érintőt keresünk, akkor az F fókuszból a g-re merőlegest bocsátunk, mely a vezérvonalat az E pontban metszi. Ezen pontnak F-től való távolságát merőlegesen felező egyenes a keresett érintő. A T érintéspont E-ből a tengellyel párhuzamosan húzott egyenesen fekszik. E szerkesztéssel bármely egyeneshez (hacsak nem párhuzamos a parabola tengelyével) egy és csak egy érintőt nyerünk. A parabola párhuzamos húrjait felező pontok a parabola egyik átmérőjén fekszenek; ezen átmérő és a parabola metszéspontjában húzott érintő párhuzamos az átmérő által felezett húrokkal. Ezt az átmérőt a felezett húrokhoz vagy ezek irányához konjugált átmérőnek nevezzük. Bármely irányhoz, hacsak nem esik össze a parabola tengelyének irányával, egy-egy konjugált átmérő tartozik. Ez keresztülmegy a parabolához az adott irányban húzott érintő érintési pontján. 9

10 Egyenes és parabola metszéspontjai Egy egyenesnek egy parabolával való metszéspontjai az egyenesnek azon pontjai, amelyekből a fókuszon keresztül húzott kör érinti a vezérvonalat. Legyen F* az F tükörképe a g egyenesre nézve. Az F és F* pontokon tetszőleges kört vezetünk. Az FF* egyenes elmetszi a vezéregyenest a H pontban, H középponttal akkora sugarú kört írunk, amekkora érintőszakasz húzható H-ból és az F és F* pontokon áthaladó körhöz. A leírt körnek a vezérvonallal való metszéspontjai: E l és E, ezekben a vezérvonalra állított merőlegesek egy M l és M pontban metszik az adott egyenest. Az M l és M a keresett metszéspontok. Ha az adott egyenes párhuzamos a parabola tengelyével, akkor csak egy metszéspont van, mely ezen egyenes és a vezérvonal metszéspontjának a fókusztól való távolságát merőlegesen felező egyenesen fekszik. A sík bármely egyenese a parabolát legfeljebb két pontban metszi. 10

11 Görbék differenciálgeometriai értelmezése A térben (síkon) mozgó pont által leírt alakzatot görbének nevezzük. Ha a mozgás minden t pillanatában meghúzzuk az O origóból a P-ben tartózkodó ponthoz az OP vektort és ezt r(t)-vel jelöljük, akkor egy I véges vagy végtelen intervallumon értelmezett vektorfüggvényhez jutunk. Egy r(t) vektorfüggvény által létrehozott leképezés általában nem kölcsönösen egyértelmű, mert előfordulhat kettőspont (vagy többszörös pont) is, azaz a görbe metszi önmagát. Az ilyen esetek kizárására kölcsönösen egyértelmű vektorfüggvényeket vizsgálunk. Ezen leképzésektől célszerű lesz megkövetelni a mindkét irányú folytonosságot is. Ez azt jelenti, hogy ha az I intervallum egy t n sorozata konvergál a t 0 I-hez, akkor r(t n ) -nek az r(t 0 )-hoz kell konvergálnia, és fordítva. Egy ilyen kölcsönösen egyértelmű és mindkét irányban folytonos leképezést topológikusnak nevezünk. Definíció Egy (differenciál geometriai értelemben vett) görbén olyan alakzatot értünk, amely előállítható egy I intervallumon értelmezett r(t) vektorfüggvény helyzetvektorainak végpontjaiként, ha a) az r(t) által létrehozott leképezés topológikus b) az r(t) folytonosan differenciálható c) az r(t) differenciálhányados vektora az I intervallumon seholsem tűnik el. Az r(t) vektorfüggvény a görbe egy előállítása, de egy görbe olyan vektorfüggvénnyel is előállítható, amely nem felel meg a definícióban felsorolt feltételeknek. Példák 1) Az rt ()= r0 + t vegy egyenes egyenlete, ahol r 0 (a, b, c) az egyenes egy adott pontjába mutató helyzetvektor, a v(v 1, v, v 3 ) az egyenes egy irányvektora. Koordinátafüggvényekkel megadva: x(t) = a + t v y(t) = b + t v z(t) = c + t v 1 3. ) Az rt () = r0 + R(coste 1+ sin te ) egy kör egyenlete, ahol r 0 a kör középpontjába mutató helyzetvektor, a kör síkját az r 0 -ból kiinduló {e 1, e } ortonormált bázis feszíti fel, R a kör sugara és 0 t < π. Speciálisan az origó középpontú, R sugarú kör egyenlete az e 1 (1,0), e (0,1) ortonormált bázisban koordinátafüggvényekkel megadva: xt () = Rcost yt () = Rsin t. 11

12 3) Az rt () = Rcoste 1+ Rsinte + cte 3 egy hengeres csavarvonal egyenlete, az {e 1, e, e 3 } ortonormált bázisban, c pedig az emelkedési konstans. Az e 1 (1,0,0), e (0,1,0), e 3 (0,0,1) koordináták felhasználásával: xt () = Rcost yt () = Rsint zt () = ct. Egy r(t) vektorfüggvény egyértelműen előállít egy görbét, de egy görbe nem határoz meg egyértelműen egy (a feltételeknek megfelelő) vektorfüggvényt. Ha a görbepontokon növekvő t paraméter szerint haladunk végig, akkor ez a görbén egy orientációt határoz meg. Ha egy görbe minden pontja egy síkban fekszik, akkor síkgörbének, ellenkező esetben térgörbének nevezzük. Egy koordinátasíkon lévő síkgörbe két koordinátafüggvénnyel adható meg, mint ahogy azt a ) példában láttuk. Egy térgörbe vagy egy általános helyzetű síkra illesztett síkgörbe megadásához három koordinátafüggvény szükséges. Az érintő értelmezése Tekintsünk egy r(t) görbét és rögzítsük annak egy t 0 paraméterértékű P 0 pontját. Legyen t n (t n t 0 ) egy t 0 -hoz konvergáló sorozat, P n az ennek megfelelő pontsorozat a görbén. Az r(t) görbe P 0 érintőjén a P 0 P n szelők határegyenesét értjük, ha ez a t 0 -hoz konvergáló t n sorozattól függetlenül létezik. Az r(t) görbének minden t 0 paraméterértékű pontjában van érintője és ez a P 0 -on átmenő r& (t) irányvektorú egyenes. Ezek alapján a görbe r(t 0 )-beli érintőjének paraméteres egyenlete: x(u) = r(t 0 ) + ur(t & 0). Minden olyan síkot, amely tartalmazza a görbe valamely érintőjét, a görbe érintősíkjának nevezzük. Az olyan síkot, amely az adott görbepontban merőlegesen metszi az ottani érintőt, a görbe adott pontbeli normálsíkjának nevezzük. 1

13 A simulósík értelmezése Legyen az r(t) görbe kétszer folytonosan differenciálható. P 0 legyen tetszőleges pont a görbén és P 0 -ban az & r (t 0 ) nem tűnik el. Tekintsük a görbén a P 1, P, P 3 nem kollineáris pontokat (t 1 <t <t 3 ), melyek mindegyike a P 0 -hoz tart. A három pont minden helyzetben egy síkot határoz meg. A P 1, P, P 3 pontokra illeszkedő síkok sorozata egy a sorozattól független, csak a görbétől és a P 0 -tól függő határsíkhoz tart, melyet a P 0 -beli r& (t 0 ) és & r (t 0 ) feszít fel. Ezt a síkot simulósíknak nevezzük. A síkgörbék esetében a görbe síkja bármely pontban a simulósík is. A térgörbék esetében pontról pontra változik a simulósík. Gyakran a simuló síkot a következőképpen definiálják: Adott az r(t) görbe P 0, P 1, P egymástól különböző és nem kollineáris pontja. A P 1, P pontokkal egymástól függetlenül tartunk a P 0 -hoz. Ekkor a P 0, P 1, P pontokra illeszkedő síkok határhelyzetét nevezzük simulósíknak. Ebben az esetben is igaz az, hogy a síksorozattól független a simulósík, csak a görbétől és a kiválasztott görbeponttól függ. A görbület értelmezése A görbe jellemezhető aszerint, hogy mennyire görbül, azaz mennyire tér el az egyenestől. Ezt úgy kell érteni, hogy azt fogjuk mérni minden pontban, hogy az ottani érintő egyenestől mennyire válik el a görbe. Fontos, hogy ezt minden egyes pontban különkülön kell megvizsgálni, azaz általában egy görbe mentén folyamatosan változni fog a görbület. Legyen az r(s) kétszeresen folytonosan differenciálható görbe. A P 0 =r(s 0 ) pontban az érintővektor t 0, a P=r(s) pontban pedig t. Bevezetjük a következő jelöléseket: α= (t, t 0 ) és s= s-s 0. Ekkor a P ponttal tartsunk α minden határon túl a P 0 -hoz. A κ( s0) = lim határértéket a görbe P 0 -beli görbületének s s0 s nevezzük. Bármely egyenes görbülete azonosan zérus, azaz itt az érintőtől egyáltalán nem válik el a görbe. És fordítva is igaz: ha egy görbe görbülete azonosan eltűnik, akkor az csak egyenes lehet. Az R sugarú kör görbülete a sugarának a reciproka: R 1, és igazolható, hogy minden el nem tűnő konstans görbületű síkgörbe kör. Mindez szemléletesen azt jelenti, hogy egy kör annál jobban görbült (annál hamarabb válik el az érintőegyenesétől), minél kisebb a sugara. A térgörbék közül konstans görbületű a hengeres csavarvonal. 13

14 A simulókör értelmezése Legyen az r(t) görbe kétszer folytonosan differenciálható. P 0 legyen tetszőleges pont a görbén és P 0 -ban az & r (t 0 ) nem tűnik el. Tekintsük a görbén a P 1, P, P 3 nem kollineáris pontokat (t 1 <t <t 3 ), melyek mindegyike a P 0 -hoz tart. A három pont minden helyzetben egy kört határoz meg. A P 1, P, P 3 pontokra illeszkedő körök sorozata egy a sorozattól független, csak a görbétől és a P 0 -tól függő határkörhöz tart, melyet az r(t) görbe P 0 -beli simulókörének nevezzük. A simulókör a P 0 -beli simulósíkban fekszik, P 0 -ban érinti a görbét és sugara a P 0 -beli görbület 1 1 reciproka:. A simulókör középpontját görbületi középpontnak, a ρ 0 = sugarát κ 0 κ 0 görbületi sugárnak nevezzük. A görbe minden pontjában a simulókör éppen annyira görbül, mint abban a pontban maga a görbe. A kísérő háromél értelmezése A görbe minden pontjához egy megadható egy ortonormált háromél (triéder), melyben a vektorokat egy koordinátarendszer egységvektorainak választva a görbe vizsgálata jelentősen egyszerűsödik. Legyen az r(s) görbe kétszeresen folytonosan differenciálható, az & r& (s) sehol se tűnjön el. A r(s) & keresett háromél első vektora legyen az egységnyi hosszúságú t(s) = érintővektor. r(s) & A másik két vektor az adott pontbeli normálsíkban fekszik, az egyiket a főnornális vektornak, a másik a binormális vektornak nevezzük. A főnormális vektor a simulókör középpontja felé mutat. Az érintő-, a főnormális- és a binormális vektorok ilyen sorrendben jobbrendszert alkotnak. Ezek alapján a binormális vektor merőleges a simulósíkra, azaz a háromél r(s) & && r(s) harmadik vektora b(s) =. A r(s) & && r(s) főnormális vektor f (s) = b(s) t(s). A ts () és fs () által felfeszített sík a simulósík, az f() s és bs ()síkja a normálsík, míg a ts () és bs () síkja a rektifikáló sík. Ha egyes pontokban, vagy egy intervallumban& r (s) = 0, akkor ott a kísérő háromél nem képezhető. 14

15 A torzió értelmezése Egy síkgörbe mentén a simulósíkok éppen a görbe síkjával egyeznek meg. Ezalapján binormális vektorok egymással párhuzamosak. A binormálisok irányváltozása a síkgörbétől való eltérést jellemzi. Legyen az rs () ívhossz paraméterre vonatkoztatott háromszor folytonosan differenciálható görbe. A P0 = r( s0) pontban a binormális b 0, a P = r() s pontban pedig b. Bevezetjük a következő jelöléseket: β= (b, b 0 ) és s= s-s 0. Ekkor a P ponttal tartsunk minden határon túl a P 0 -hoz. β Ekkor a τ( s0) = lim s s0 s határértéket a görbe s 0-beli torziójának nevezzük. A torzió eltűnése a síkgörbéket jellemzi. A térgörbék esetében általában azt mondhatjuk, hogy a torzió pontról pontra változik. Az is előfordulhat, hogy a görbe mentén minden pontban pontosan ugyanakkor mértékű a torzió, azaz a torzió konstans. A korábban már említett hengeres csavarvonal torziója konstans. Egy görbét nagyon jól jellemzi a görbülete és a torziója. (A görbe minden pontjában véve ezeket a görbületi és torzió függvényeket kapjuk.) Ha két görbének a görbülete és a torziója megegyezik és a görbületük sehol sem tűnik el, akkor a két görbe csak mozgásban tér el egymástól. 15

16 A görbék konstruktív geometriai származtatása A mozgó pont pályáját görbének nevezzük. A görbe vonal síkgörbe, ha összes pontja egy síkban van, különben pedig térgörbe. A görbe tehát, mint a mozgó pont különböző helyzeteinek geometriai helye, végtelen sok pont folytonos egymásutánjából áll. Célunk a görbe vonalak alaki viszonyainak jellemzése adott pontjuk környezetében. Valamely P pont környezetén azon pontok összességét értjük, melyeknek P-től való távolsága egy bizonyos - tetszés szerint kicsinynek választható - távolságnál kisebb. Ha a görbét leíró pont ugyanazon a helyen ismételten nem halad át, a görbét ívnek nevezzük; az ív végpontjait összekötő szakasz az ív húrja. Az A és B végpontú ívet, ha félreértéstől tartani nem kell, AB ívnek mondjuk. Máskülönben megadjuk a görbeívnek egy közbülső pontját is, és pl. AMB ívről beszélünk. A görbe két, P és Q pontján keresztül húzott egyenest a görbének szelőjének nevezzük. Síkgörbe érintője Legyen PQ a körnek egy tetszőleges szelője. Felezzük meg a metszéspontok közé eső húrt, és kössük össze a felezőpontot a kör középpontjával: az így kapott egyenes merőleges lesz a húrra. Ha a Q pont minden határon közeledik a P ponthoz, a felezőpont mindig közöttük marad, tehát a PQ szelő határhelyzete a P pontban az OP sugárra emelt merőleges, azaz a kör érintője a P pontban. Ennek az elemi ténynek általánosítása a következő meghatározás: Az AB görbeívnek legyen P egy közbenső pontja. M az AP íven egy belső pont, amely minden határon túl megközelíti a P pontot. Ekkor a PM szelő határhelyzete a PT félegyenes. A PT félegyenes a görbe félérintője a P pontban. Tekintsük a PB ívet, melynek N egy olyan belső pontja, amely minden határon túl megközelíti a P pontot. Ekkor a PN szelő határhelyzete a PT félegyenes, amely az előbbiek szerint egy másik félérintő a P pontban. Ha az AB görbeív valamely közbülső P pontjában a görbe AP és PB darabjának van egy PT és PT' félérintője és ezek egy egyenesbe esnek, akkor ezen egyenest a görbe érintőjének és a P pontot érintéspontnak nevezzük. A görbe végpontjában csak egy félérintő lehet, ebben a pontban érintőnek az az egyenes tekintendő, melyet az érintő félegyenes a meghosszabbításával alkot. Az érintési pontban az érintőre emelt merőleges a görbe normálisa az illető pontban. 16

17 Ha a görbe valamely P pontjához tartozó PT, PT félérintők nem esnek egy egyenesbe, akkor a P pont a görbének szögpontja. A k és k' görbék a P pontban akkora szögben metszik egymást, amekkora szöget a P-ben k-hoz és k'-höz húzott t és t' érintők egymással bezárnak. Néhány tétel olyan görbékről, melyeknek minden pontjában két ellentétes irányú félérintőjük van 1. Az olyan AB ívnek, melynek minden belső pontjában két ellenkező irányú félérintője van, mindig van az AB húrral párhuzamos érintője. Ha ugyanis P a görbe olyan pontja, melynek az AB egyenestől való h távolsága a lehető legnagyobb, akkor ezen a ponton keresztül az AB húrral párhuzamosan húzott p egyenes a görbe érintője, mert különben volna a görbének a p egyenes mindkét oldalán pontja, vagyis p is szelő lenne.. Ha valamely O pontból húzott körnek két, M és N közös pontja van egy görbével, melynek minden belső pontjában két ellentétes irányú félérintője van, akkor a görbe MN ívdarabjának van egy olyan P közbülső pontja, amelyhez tartozó normális keresztülmegy az O ponton. Ha a görbe MN részének minden pontja a körvonal pontja, akkor állításunk nyilvánvaló. Ezért feltehetjük, hogy a görbe MN részének van a körvonal pontjaitól különböző pontja. Ha e pont a körön belül fekszik, akkor kell, hogy legyen az MN ívdarabnak egy olyan P pontja, mely az O-tól a lehető legkisebb távolságra van. E pontban a görbének és az O pontból a P ponton keresztül húzott körnek közös érintője van, tehát OP a görbe normálisa. Ha viszont az MN ívdarab egyetlen pontja sem fekszik a körön belül, akkor ezen ívdarabnak mindig van legalább egy olyan pontja, melynek O-tól való távolsága a lehető legnagyobb; e pontban a görbe normálisa az OP egyenes. Az egyszerű ív Az AB görbeívet egyszerű ívnek nevezzük, ha 1. a végpontjaiban egy-egy meghatározott félérintője van, amelyek metszik egymást;. minden egyes közbülső pontjában két ellentétes irányú félérintője van; 3. miközben a mozgó pont A-tól B-ig leírja a görbe vonalat, az A-ból B-be vezető haladási irányhoz tartozó félérintő irányát folyton változtatja, de forgási értelmét megtartja. 17

18 Ez utóbbi alatt pontosabban azt értjük, hogy egy tetszés szerinti O pontból kiindulva az AB ív félérintővel egyezőállású félegyeneseket veszünk. Legyen M egy közbenső pont az AB íven, melyben m a félérintő. Ekkor az m-hez az O-n áthaladó m 1 -t rendeljük hozzá. Az m 1 mindig az a 1 és b 1 között van. Ha N az MB íven egy kiválasztott pont, akkor az n 1 az m 1 és b 1 között van. (Ha konyhanyelven szeretnénk mindezt megfogalmazni, akkor az a és b érintők metszéspontjából nézve a görbe vagy homorúnak vagy domborúnak látszik, de nem hullámzik!!) Az értelmezésből következik, hogy az egyszerű ívnek legfeljebb egy olyan pontja van, melyben az érintő párhuzamos egy adott egyenessel. Ebből következik: a) Az egyszerű ív bármely érintőjének csak egy közös pontja van az ívvel. (mert ha az M érintési ponton kívül még egy N közös pontjuk volna, akkor az ív MN darabjának egy olyan közbülső pontja volna, melyben az érintő párhuzamos az adott érintővel.) b) Egy egyenesnek legfeljebb két közös pontja van az egyszerű ívvel (mert ha három egymás után következő M, N és P közös pontjuk volna, akkor a görbe MN és NP ívdarabjának egy-egy olyan közbülső pontja volna, melyben az érintő párhuzamos az adott egyenessel.) Az egyszerű ívre a következő állítások igazak még (igazolás nélkül): a ) Az egyszerű ívnek bármely ívdarabja is egyszerű ív. b) Bármely ponton keresztül legfeljebb két érintőt lehet az egyszerű ívhez húzni. c) Az egyszerű ív összes pontjai, az érintési pont kivételével, bármely érintőnek ugyanazon oldalán fekszenek. d) Ha egy félegyenes ama szög szárai közé esik, melynek csúcsa a félegyenes kezdőpontja és szárai párhuzamosak és egyirányúak valamely egyszerű ív végpontjaiban ugyanazon haladási irányhoz tartozó félérintőkkel, akkor a görbének van egy o1yan pontja, melyben az adott haladási irányhoz tartozó félérintő párhuzamos és egyirányú az adott félegyenessel. e) Ha az egyszerű ív végpontjai egy egyenes különböző oldalaira esnek, akkor az egyenes csak egy pontban metszi az ívet. f) Az egyszerű ív bármely P pontja az ebben a pontban és a görbe egy változó Q pontjában a görbéhez húzott érintők metszéspontjának határhelyzete, ha Q minden határon túl közeledik P-hez. g) Az egyszerű ív bármely P pontjában az érintő a görbéhez egy változó Q pontjában húzott érintő határhelyzete, ha Q minden határon túl közeledik P-hez. (Az egyszerű ívnek az érintésponttal folytonosan változó érintője van.) h) Az egyszerű ív valamely P pontjában az érintő a görbén tetszés szerint felvett két, M és N ponton keresztül húzott egyenes határhelyzete, ha M és N minden határon túl közeledik P-hez. 18

19 Az aszimptota A görbénk végtelen távoli pontját az a egyenes jellemzi, azaz az a egyenes végtelen távoli pontja a P. A görbe tetszőleges P pontját összekötjük a P ponttal, azaz párhuzamost húzunk az a egyenessel. Ha a görbének a végtelenbe nyúló ágán a P minden határon túl távolodik és a P ponton keresztül az a-val párhuzamos egyenes egy végesben fekvő egyeneshez, mint határhelyzethez közeledik, akkor azt mondjuk, hogy ezen határhelyzetű egyenes a görbének a végtelenben fekvő pontjához tartozó érintője. (Az a-val párhuzamos egyenesek olyan szelők, melyek közös pontja végtelen távoli, vagyis a végtelen távoli pontban alkalmaztuk az érintő korábbi meghatározását.) Az olyan egyenest, amely a görbét a végtelenben érinti, a görbe végérintőjének, aszimptotájának nevezzük. Ha viszont az a-val párhuzamos egyenes a P-vel együtt végtelen távolba jut, akkor a görbének a végtelen távoli pontjához tartozó érintője a végtelenben van. (Ezt tapasztaljuk a parabola esetén.) Az aszimptota meghatározásából következik, hogy a görbe pontjai mindig közelebb és közelebb jutnak az aszimptotához, ha a pontokat, bizonyos kezdeti helyzettől a görbe végtelenben fekvő pontja felé haladva, egyre távolabb választjuk. Egyszerű görbék Az eddig megismert egyszerű ívek megfelelő illesztésével egyszerű görbéket kapunk. Az (összefüggő) síkbeli görbe vonalat egyszerű görbének mondjuk, ha (a végtelenben fekvő pontokat is beleértve) a görbének 1. mindegyik végpontja a görbe egy egyszerű ívének végpontja,. minden más pontja a görbe két egyszerű ívének közös végpontja és 3. ezen pontban a két ívnek közös érintője van. A görbe két szomszédos egyszerű ívének közös végpontja vagy közönséges pont, ha a pontban találkozó két görbeágnak két ellentétes irányú félérintője van, és az ágak az érintő ugyanazon oldalán fekszenek vagy pedig kivételes (szinguláris) pont. Ezek a kivételes pontok a következők: Ha a pontban találkozó két görbeágnak két ellentétes irányú félérintője van, de az ágak az érintő különböző oldalaira esnek, akkor a görbepont ún. inflexiós (áthajló-) pont, a benne vont érintő pedig inflexiós érintő. Az inflexiós ponthoz tartozó érintő egyúttal metszi is a görbét. 19

20 Ha viszont a pontban találkozó két görbeág félérintői egybeesnek, akkor a görbepont ún. visszatérő pont vagy csúcspont, mégpedig közönséges vagy elsőfajú csúcspont, ha a görbe két ága a közös csúcsponti érintő különböző oldalain fekszik, illetve másodfajú csúcspont, ha a két ág az érintő ugyanazon oldalára esik. A visszatérő pont neve abban leli magyarázatát, hogy ha a görbén haladunk, a P pontban nem megyünk át mint közönségesen a normális ellenkező oldalára, hanem visszatérünk ugyanazon félsíkba, melyből a P-be érkeztünk. Ezekhez a kivételességekhez hozzászámítjuk még a többszörös pontokat, továbbá a többszörös érintőket. A k-szoros ponton a görbe k-szor, illetőleg a görbének k különböző ága egyszerűen megy keresztül. A k-szoros pont alakilag egymástól különböző fajokra oszlik aszerint, amint e pontban a rajta keresztülmenő görbeágakhoz vont érintők különbözők, vagy pedig közülük többen összeesnek. Ha k=, akkor a pont kettős pont vagy dupla pont. A kettős pont különböző fajai: a) a közönséges kettős pont vagy csomópont, ha a két érintő különböző; b) az önérintkezési pont, ha a két érintő összeesik. Többszörös, mégpedig k-szoros érintő olyan egyenes, mely valamely görbét k, általában egymástól különböző helyen érint. 0

21 A kúpszeleteknél olyan egyenest nevezünk érintőnek, amelynek egyetlenegy közös pontja van a görbével, és minden más pontja a görbén kívül van. Könnyen beláthatjuk, hogy az ilyen egyenes az érintő általános meghatározása szerint is a görbe érintőjének nevezhető. Kör Legyen P és Q a kör két tetszőleges pontja. A PQ pontokat összekötő f egyenes a kör egy szelője, a PQ szakasz felezőmerőlegese az m egyenes. Az m egyenes, mint húr felezőmerőlegese áthalad a kör O középpontján és a kört a P és Q között az S pontban metszi. A P-beli érintőt szeretnénk meghatározni. Vizsgáljuk a határhelyzeteket, ha Q minden határon túl megközelíti a P pontot. Ha Q a P-hez tart, akkor az S pont is minden határon túl megközelíti a P-t. Ekkor az m egyenes határhelyzete az OP=n. Minden pillanatban az f egyenes az m-re P-ből állított merőleges, ezért az f egyenes határhelyzete a P-ből az n-re (mint az m határhelyzetére) állított merőleges. Ez pedig nem más, mint az e egyenes, amely ezek szerint merőleges az érintési pontba húzott sugárra. (Ez éppen az érintő egy korábbi definiáló tulajdonsága.) Ellipszis Legyen P és Q az ellipszis két tetszőleges pontja. A P 1 és Q 1 pontok a P és Q ellenpontjai az F középpontú vezérkörön. (A PF és QF egyenesek metszik ki a vezérkörből.) Az F 1 P 1 és F 1 Q 1 egyenesek az ellipszis főkörét az M és N pontokban metszik. A PQ pontokat összekötő t egyenes az ellipszis egy szelője. A főkört a t szelő az M és N között az S pontban metszi. A P-beli érintőt szeretnénk meghatározni. Vizsgáljuk a határhelyzeteket, ha Q minden határon túl megközelíti a P pontot. Ha Q a P- hez tart az ellipszisen, akkor a Q 1 a P 1 -hez tart a vezérkörön és az N pont az M-hez tart a főkörön. Mivel minden pillanatban S az M és N között van, ezért S is minden határon túl megközelíti az M pontot. Azaz a PQ szelő határhelyzete a PM egyenes. Parabola Legyen P és Q egy parabola két pontja. Ezen pontokból az F fókuszon keresztül húzott körök egy G és H pontban érintik a parabola vezérvonalát. A körök metszéspontjait összekötő egyenes merőleges a PQ egyenesre, és a vezérvonalat az M pontban metszi. A P- beli érintőt szeretnénk meghatározni. Vizsgáljuk a határhelyzeteket, ha Q minden határon túl megközelíti a P pontot. Ha Q a P-hez tart a parabolán, akkor H a G-hez tart 1

22 a vezéregyenesen. Mivel az M mindig a H és G között van, ezért M is a G-hez tart és az MF egyenes határhelyzete az FG. Minden pillanatban a PQ és az MF egyenesek egymásra merőlegesek a P-ben. Ekkor a PQ szelő határhelyzete a P pontból az FG egyenesre húzott merőleges lesz. (Igazolható, hogy a felhasznált M pont felezi a GH szakaszt. A két kör közös szelője a két kör közös hatványvonala, egy tetszés szerinti pontjából a körökhöz húzott érintőszakaszok egymással egyenlők, tehát MG=MH.) Hiperbola Legyen P és Q a hiperbola két tetszőleges pontja. A P 1 és Q 1 pontok a P és Q ellenpontjai az F 1 középpontú vezérkörön. (A PF 1 és QF 1 egyenesek metszik ki a vezérkörből.) Az F P 1 és F Q 1 egyenesek a hiperbola főkörét az M és N pontokban metszik. A PQ pontokat összekötő egyenes a hiperbola egy szelője. A főkört a szelő az M és N között az S pontban metszi. A P-beli érintőt szeretnénk meghatározni. Vizsgáljuk a határhelyzeteket, ha Q minden határon túl megközelíti a P pontot. Ha Q a P-hez tart a hiperbolán, akkor a Q 1 a P 1 -hez tart a vezérkörön és az N pont az M-hez tart a főkörön. Mivel minden pillanatban S az M és N között van, ezért S is minden határon túl megközelíti az M pontot. Azaz a PQ szelő határhelyzete a PM egyenes.

23 Síkgörbék görbülete Az érintőkör, a simulókör Ha két görbe közös pontjában közös az érintő, akkor azt mondjuk, hogy a két görbe a közös pontban érinti egymást. Két érintkező görbének a közös pontban közös normálisa van. A görbe valamely P pontjához tartozó normális tetszőleges O pontjából a P ponton keresztül húzott kör a görbét a P pontban érinti, mert a görbe és a kör közös P pontjában közös a normális. A görbének valamely P pontjához végtelen sok érintőkört húzhatunk. A görbét a P pontban érintő körök között mindig van olyan is, amely a görbe további Q pontján halad át. Ezen kör középpontját a PQ szakasz felezőmerőlegese metszi ki a görbe P pontbeli normálisából. Ha a Q pontot a görbén változtatjuk, akkor változik a P pontban érintkező és a Q ponton átmenő kör középpontja és sugara. Ha a Q ponttal minden határon túl megközelítjük a P pontot, akkor PQ felezőmerőlegesének határhelyzete az n normális. Ha a görbével P-ben érintkező és a Q ponton áthaladó körök sorozatának van határhelyzete Q P esetben, akkor a határhelyzetként előálló kört a görbe P-beli simulókörének nevezzük. A P-beli simulókör középpontja az n normális a PQ felezőmerőleges O metszéspontjának határhelyzete. A síkgörbe P pontját a görbén általában két oldalról közelíthetjük meg. Ha e kétféle megközelítés mellett az érintőkör határhelyzete mindig ugyanaz a kör, akkor ez a görbe simulóköre a P pontban. Ha a Q-t a P-hez közelítve a változó kör középpontja a P-beli normálison minden határon túl távolodik, akkor azt mondjuk, hogy a görbe P pontjában a simulókör az érintővel azonos egyenesbe megy át; ha pedig vég nélkül közeledik P-hez, akkor azt mondjuk, hogy ebben a pontban a simulókör sugara nulla. A görbe valamely P pontjában a simulókör sugarát a következőképpen határozhatjuk meg: A görbe tetszés szerinti Q pontjából merőlegest bocsátunk a P-beli érintőre, ennek talppontját T-vel jelöljük. A görbét a P pontban érintő és a Q ponton áthaladó kör még a Q 1 pontban metszi a QT egyenest. Ekkor a T pont körre vonatkozó hatványát felírva: PT =TQ TQ 1, melyből PT TQ = 1 TQ. Ha Q egyre közelebb jut P-hez, akkor TQ 1 a simulókör átmérőjéhez közeledik. Eszerint a simulókör átmérője TQ 1 határértéke, ezért a simulókör sugara 1 PT ρ = lim. Q P TQ 3

24 Simulókör az ellipszis csúcspontjában 1. Nagytengely végpontjában a simulókör meghatározása Vegyünk egy olyan kört, amely az ellipszissel a P pontban érintkezik és az ellipszissel van még közös pontja. Ez a közös pont legyen Q. (Szimmetria okok miatt van egy másik közös pont is, de ezt most nem használjuk fel.) Q-ból merőlegest állítunk a P-beli ellipszisérintőre. A merőleges talppontja T, a QT egyenes az előbbi kört a Q 1 pontban metszi. A Q pontból az ellipszis nagytengelyére merőlegest állítunk, a merőleges talppontja K és a QK egyenes az ellipszis főkörét az L pontban metszi. A PLA háromszög derékszögű, ezért a PK KA=KL. A PQA háromszög szintén derékszögű, ezért a PK KA =KQ. Az ellipszis és a főkör között tengelyes affinitás létesíthető, melynek az aránya: a KQ =. b KL Ekkor az előbbiek ismeretében: a KQ PK KA' KA' = = =. b KL PK KA KA Most a Q ponttal tartsunk a P felé, ekkor a berajzolt kör a P-beli simulókörhöz tart. A K és T pont határhelyzete a P, és a lim KA=a és a lim KA =ρ. (ρ a simulókör sugara) a lim KA' ρ b lim b = =, melyből ρ =. lim KA a a. Kistengely végpontjában a simulókör meghatározása Vegyünk egy olyan kört, amely az ellipszissel a P pontban érintkezik és az ellipszissel van még közös pontja. Ez a közös pont legyen Q. (Szimmetria okok miatt van egy másik közös pont is, de ezt most nem használjuk fel.) Q-ból merőlegest állítunk a P-beli ellipszisérintőre. A merőleges talppontja T, a QT egyenes az előbbi kört a Q 1 pontban metszi. A Q pontból az ellipszis kistengelyére merőlegest állítunk, a merőleges talppontja K és a QK egyenes az ellipszis kistengelye fölé írt kört az L pontban metszi. A PLA háromszög derékszögű, ezért a PK KA=KL. 4

25 A PQA háromszög szintén derékszögű, ezért a PK KA =KQ. Az ellipszis és a kistengely fölé írt kör között tengelyes affinitás létesíthető, melynek az aránya: b KL =. a KQ Ekkor az előbbiek ismeretében: b KL PK KA KA = = =. a KQ PK KA' KA' Most a Q ponttal tartsunk a P felé, ekkor a berajzolt kör a P-beli simulókörhöz tart. A K és T pont határhelyzete a P, és a lim KA=b és a lim KA =ρ. (ρ a simulókör sugara) b lim KA b a lim a = =, melyből ρ =. lim KA' ρ b Szerkesztés: Az ellipszis A és C tengelyvégpontjaiban húzott érintők X metszéspontjából az AC húrra merőlegest állítunk az X pontból. Ez a merőleges a nagytengelyt Y-ban, a kistengely egyenesét a Z pontban metszi. Y az A-beli, Z a C-beli simulókör középpontja. Bevezetjük a következő jelöléseket: AY=r, és CZ=R. Az XAY és AOC háromszögek b a hasonlóságából: =. r b Az XCZ és COA háromszögek R a hasonlóságából: =. a b Ezen arányokból: b r = és a a R =. b 5