A BACKMAN-FÜGGVENY ALKALMAZÁSA KISS REZSŐ KOCSÁNYOS TÖLGY FATERMÉSI TÁBLÁJÁRA
|
|
|
- Kinga Király
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Király László Gémesi József A BACKMAN-FÜGGVENY ALKALMAZÁSA KISS REZSŐ KOCSÁNYOS TÖLGY FATERMÉSI TÁBLÁJÁRA Ma már ismeretes tény, hogy a kor és a növedékértékek fü ggvényszerű ösz szefüggését kifejező növekedés- és növedékgörbéknek meghatározott alakja van, amelyek az organikus növekedésre általánosságban jellemzőek. A növekedésnek ezt a törvényszerűségét Backman svéd kutató az alábbi függvénynyel írja le: log y' = k 0 + k x Iog t + k 2 log 2 1 ahol t az életkor y' aí életkorban a folyónövedék k 0, k x, k 2 paraméterek Vatkovszkij 0. Sz.,,A Backman-függvény használatának lehetőségeiről a faállományok növekedésének tanulmányozásakor" (1972) című tanulmányában bebizonyítja, hogy a Backman-függvény nemcsak a folyó-, hanem az átlagnövedékre is használható, s ez jelentősen megnöveli alkalmazhatóságénak lehetőségeit. Ezt a tulajdonságát kihasználva tűztük ki célul, hogy a jelenleg érvényben levő egyik legjobb i táblát, amelyet Kiss B. a mageredetű kocsányos tölgyre készített, függvényesítsük. (Választásunkat indokolta az a körülmény is, hogy Vatkovszkij is tölgyre alkalmazta a függvényt.) Első lépésben a fafaj átlagos növekedési viszonyait kifejező III. i osztály általunk kiválasztott alapadatsoraira illesztettük rá a Backmanfüggvényt, amely a következő alakban írható le: ahol Y=yjt átlagnövedék t életkor y függvényérték h, d, v, ö h átlagmagasság d átlagátmérő v főállomány ö összes a, b, c paraméterek A paraméterek meghatározására két pontot használtunk, egy célszerűen megválasztott P 1 (T 1 ; t-f) pontot és a függvény szélsőérték pontját P m (T m, t m ). A paraméterek meghatározásának levezetése: 2^1 ej(lní 1-lní m)+c(ln2í 1-ln2í m) ^ A fenti hányados logaritmusa Y t I ln-=^-=51n-i+cln-ilníií m.., (3)
2 A függvény szélsőértéke ott van, ahol a deriváltja nulla. Tehát 6= 2clní m Behelyettesítve a (4)-es egyenletet a (3)-ba kapjuk, hogy (4) ln^-=cln^-(lníií m -21ní M ) = cln a -^- (5) Így a paraméterek a következők: (6) 'b= 2clní OT (7) a = ln Y m blntm cln 2 t m (8) A paramétereket valamennyi alapadatsorra kiuk, majd az illesztés pontosságát ellenőriztük. Ha nem értünk el megfelelő pontosságot, az illesztési pontokat módosítottuk s az egész eljárást megismételtük. Számítógépet a számításhoz nem vettünk igénybe, csupán egy kis, programozható HP-25-ös zsebszámológéppel dolgoztunk. A kapott állomány jellemző függvények (az index a i fokra, az össz maximális átlagnövedékének 0,865-szorosára utal. Ez ugyanis itt m 3 /év) : magasság T _, In i In 2 t, Q. átmérő j. -3, ,348lní-0,183 la 2 í / 1 A. cl = te () főállomány. -2,871+2,5131ní-0,3411n 2 í (H) v = te összes fatermós, -2,855+2,713 In (-0,347 In 2 1 / l c >. o =íe (12). A törzsszámra valamivel bonyolultabb összefüggést választottunk, mivel szükséges volt, hogy a függvénynek helyi szélsőértéke legyen. w ,2-2,3 ln í+0,2951n2«/ 1 0* e =,rr i][m (A későbbiek során ezt a függvényt az átmérő függvényéből fogjuk levezetni.) Az alakszámot már a fenti egyenletekből számoltuk az /= d2^ n h összefüggés alapján. ( 13 ) f _ 1 1,047-0,327 In í+0,2 In 2 t / _ y r e ( ' A képlettel alakszámok jól illeszkednek a táblából alakszámokhoz. Az alakszámhoz hasonlóan elkészíthető bármely származtatott állományjellemző (pl. körlapösszeg, átlagos termőterület) függvénye a fenti függvények alapján. A fenti egyenletek extrapolálhatók és interpolálhatok,
3 tehát megfelelnek bármilyen időbeosztású és bármilyen időszakra vonatkozó i tábla összeállításához. Az 1. táblázat összehasonlítja a táblabeli és a függvény által értékeket. Utolsó sorában a értékek szórásszázaléka olvasható ki. Törzsszám esetében a szórásszázalékot a fatömeggel súlyozva uk ki. A második lépésben a többi i osztályra a III. i osztályra elkészült függvények ismeretében egy általános egyenletet állítottunk fel, amely az összes i osztályra vonatkozó adatokat a kor függvényében előállítja. Az egyenlet általános alakja a következő: A = A 1 0 [l + (^-)p^^-0,0192lj] (15) d = d [l + {k-){ ^y -0,02592Jj (16) v = v \l + (k-){-^?~-0,02359)] (17) ö = ö 1 0 [l + ( - )( -0,03162)] (18) ahol k az adott termőhelynek, ill. az adott (t, h) értékpárnak megfelelő i fok (az össz átlagnövedékének 0^865-szerese). A törzsszám esetében az re-heznem sikerült kielégítőé" illeszkedő n(t) függvényt találni. Ezért az n=r'd s ill. az lnn = r+s Ina! (19) összefüggést felhasználva (Sopp L. tanácsa alapján) fejeztük ki a törzsszámot az átmérő függvényében (r, s a meghatározandó paraméterek): w = ell,3 12-l,612In d ( 2 Q ) A kapott általános egyenletekkel előállított adatok a táblabeli értékekhez jól illeszkednek. Ennek igazolására közöljük az I., II., IV., V., VI. i osztály táblabeli és adatait (2 6. t?blázat). A i táblák pontosságát ismerve az elért illesztési pontosságot megfelelőnek tartjuk. Összefoglalva megállapítható, hogy a Backman-függvény hazai kocsányos tölgyeseinkre alkalmazható. Segítségével előállítottuk a mageredetű kocsányos tölgy III. i osztályának jellemző adatait, amelyek megfelelő pontossággal illeszkednek a i tábla adataihoz. A függvény extrapolálható és interpolálható. A III. i osztály függvényeiből előállítottunk egy olyan általános függvényt, amely mind a hat i osztály adatait magában foglalja. A faállomány-jellemzők kiszámításához összesen 23 paraméter szükséges. A i függvényrendszer használatához adott független változónak tételezzük fel a kor (t), bvz. átlagmagasság (h), a termőhelyvizsgálat alapján becsült i fok (k 0 ) és a vágásérettségi kor (s) értékeket. Első lépésként kiszámítjuk a h, d, v, ö értékeket a (9) (12)-es függvények alapján. Azután meghatározzuk a tani alapon becsült i fok (k t ) értékét a z., = h-h, M0.356(lní-0,01921)] T K ' összefüggés alapján.
4 k=\0 i fok.,' év j m ' cm db m 3 m 3 4, ,4 25, ,1 29,7 3,8, , ,0 28,8 29,0 ' 3,9 9,4 15, , , ,7 9,6 15, ,0,6 35,0 38, , Szórás % 0,8 ' 0,9. 1,5D '. 1,0 0,9 ; ' ' A törzsszám szórása a fatömeggel súlyozva 13,857 i fok I. i osztály 2. táblázat átlag - magassága. év in cm db m 3 m 3 7,5 15,3 21,6 26,3 29,8 32, ,8 36,5 5,8 14,7 21,6 26.6,1 32.7,34, ,0 13,5.7 27, , ,5 5,7 13,4,8 27,6 33, ,6 52,0 55, : Ó ' ' Szórás% 1,0 0,4 3,1 4,2 1,9
5 k= 11,885 i fok év m cm db m 3 m 3 6,2 13,0 18,8 23,3 26, , , ,9 23, ^ ,1 32,3 5,0 11,4 18, ,8 34,8 39,0 43,0 46,8.3 4,7 11,5.18,2 24,3 29,5 34,5 39,3 42,9 47,1 49, Szórás % - 2,6 1,0 ' 2,6D 1,0 1,3 A törzsszám szórása fatömeggel súlyozva, = 8,122 i fok IV. i osztály 4. táblázat év m cm db m 3 m 3, 3,6 8,4 13,3 17, ,9 25,0 25,8 26,3 2,8 8, ,4,2 22,4 23, ,9 7, ,0 22,7 26.9,6 34,0 37,2,0 2,7 7, ,5 26,7,7 33,9 37,5, ' Szórás% 0,9 1,0 2,5D 1,8 1,3
6 = 6,142 i fok év m cm db m 3 m 3 2,3 6,1, ,1 19, ,9 1,8 6,5.8 14, ,0,4 21,2 22,0 22,4 1,8 5,4,2 14, , , ,3 14,8 18,7 22,6 26,3 29,2 32,6 35, Szórás% 2,7 1,7, ' 2,1Q 0,1 0,2 A törzsszám szórása a fatömeggel súlyozva x 6. táblázat VI. i osztály & = 4,256 i fok v év m cm db m 3 in 3 1,0 3,8 7,8 11,3 13,9 15, , ,8 4,4 8,1 11,4 13, , ,3 7,5 11,8 15, , ,9 7,8 11,6 15, ' ' ) : Szórás% 3,0 v 2,6 l,í,6 '. 5,6
7 Dinamikus bonitálással meghatározzuk a véghasználatkor várható i fokot (k s) a h = ko + h (22) s -s.. összefüggés segítségével. Végül meghatározzuk az egyes állományjellemzők értékét a (15) () függvényekből a k = k t és a t, h, d, v, ö 1 0 értékek alapján. Ha prognosztikai célokra akarjuk felhasználni a függvényt, pl. adott p korra (ahol f <p=ss), akkor t p és, _. _s p p t k kp kt -f-, kg s t s t értékeket, valamint a t=p korra a (9) (12) függvények alapján ki ^io> ^io> v 'ia> öio értékeket helyettesítjük be a (15) () függvényekbe. A továbbiakban szeretnénk kipróbálni függvényünket a többi fafajra is, hogy egységes metodikájú viszonylag egyszerű matematikai alapokon nyugvó i függvényrendszer valamennyi fafajra, a számítógépes programozás számára közvetlenül felhasználható formában rendelkezésünkre álljon. Kupaü Jl., FeMeiuu ti.: HCnOJlbBAHHE (DYHKUHH BAKMAHA AJM TABJlHUbI XOflA POCTA ÍIYBA qepeuwatoro, COCTABJIEHHOB P. KMLUUIEM ^TIocjTe npobepkh BO3MO>KHOCTH ncnojibbahhíi (pyhkuhh EaKjwaHa HJIÍJ ny6a Mepenma-roro no Me-rony O. C. BaTKOBCKOro, yaa-nocb pa3bephytb chctemy (fcyhkimü njiíí onpenejiehhíi Bcex ochobhbix napametpob jrpebocroeb. CHcreMa <i>yhku,níí nojib3yetc«23 napametpamh H npenoctabjr?iemah eio woflejib űpebechoíí npoíiykiuih MO>keT 6biTb HenocpencTBeHHO HcnojrbBaHa pjw H3r0T0BjieHHH nporpammh Ha BbwHCnHTejibHOM juanmhe. Király, L. Gémesi, J.: THE APPLICATION OF THE BACKMAN-EQUATION ON R. KISS' YIELD TABLE EOR QUERCUS ROBUR The development of a system of equations applicable for all major eharacteristies of tree stands beeame possible, and it was tested for Éuercus robur, by using the Backman-equation according to O.S. Vatkoyskij. 23 parameters have been involved in the system of equations, and its resultant model of timber yield can be directly applied for preparing a computer program. A lapban megjelent tanulmányok szerzői: Fialka Géza osztályvezető, Agrártudományi Egyetem Munkaszervezési és Munkavédelmi Intézete, Gödöllő; Gémest József erdőmérnök', Állami Erdőrendezőségek Műszaki Irodája, Budapest; Húszamé Székely Gizella tud. munkatárs, Erdészeti Tudományos Intézet, Gödöllő; Király László osztályvezető, Állami Erdőrendezőségek Műszaki Irodája, Budapest; dr. Schmidt Ernő vezérigazgató, Nyugatmagyarországi Fagazdasági Kombinát; dr. Sólymos Rezső tud. főosztályvezető, Erdészeti Tudományos Intézet, Budapest; Szántó Gábor igazgató, Erdőrendezőség, Kaposvár; dr. Toda Ryookiti tudómányos kutató, Erdészeti Kutató Intézet, Tokió; dr. Walz Géza tud. főmunkatárs, Agrártudományi Egyetem, Gödöllő.
Faállományok fatermőképességének vizsgálata a termőhely függvényében
Faállományok fatermőképességének vizsgálata a termőhely függvényében Bidló András, Heil Bálint, Kovács Gábor, Patocskai Zoltán Nyugat-Magyarországi Egyetem, Termőhelyismerettani Tanszék Földhasználati
ö á á ö á ü á í á ö ü í ö ö ő ö á á ó ö á á á í ó á á á ő ő ú ú á á ó ó ó ő ö ü ö ö ü ö Ö á ő á á Ö á Í á ó á ő ü á ö á á ü ö ö á ö á á ö ó ü ú ő á í
ö á ő ü ó ü ö á á ó ö Ö á á ő ü á ö á ó ó ó ö á í ö á ó ő ó ö á ü í á í á á á ó ó ó á á á ó ó ő ő ö ő ő á ó Á á ü ö á á ö á ü ó á ü ő á á á ő ő á á á ö Ö á Í á Ö á ö á á Í ü á ű á í á á ó ö ő á á í ó ö
HÁRS FATÖMEG- ÉS FATERMÉSI VIZSGÁLATOK
634.0.613 Tilia HÁRS FATÖMEG- ÉS FATERMÉSI VIZSGÁLATOK DR. SOPP LÁSZLÓ Vizsgálat az EFE Erdőtelepítési és Fásítási Tanszék (Dr. Tompa Károly) Erdészeti növénynemesítés" c. téma keretén belül indult be.
A magyarországi jelentősebb Cedrus atlantica Manetti állományok fatermése
A magyarországi jelentősebb Cedrus atlantica Manetti állományok fatermése Barna Tamás KEFAG R.T. Erdészeti Szaporítóanyag Termesztési Központ Kecskemét Kivonat Magyarországon csak néhány hektár Cedrus
AKÁCFAJTÁK FATERMÉSÉNEK VIZSGÁLATA
630*653 AKÁCFAJTÁK FATERMÉSÉNEK VIZSGÁLATA LESSÉNYI BÉLA DR. RÉDEI KÁROLY Az országban egyre több helyen létesült, ill. létesülnek akácfajtákból termesztési kísérletek. Ezek kiértékelése során, valamint
ö ó ú ó é é ó ö ó é ó á í é ő í ö íá ó ó í í é ó á í é é á ó á á é í é ó á é ó ó á á á é á ó ö á é ű é í é ó é ó á íű ó é ö é ó í ó é á á é é íá é Á á á ö é ö é á é á á á í é ó á é ó ö ó á Ü é Á á ű ó
A KŐRISÁLLOMÁNYOK ERDŐNEVELÉSI MODELLJE
Ö4.0.4/4 Fraxinus A KŐRISÁLLOMÁNYOK ERDŐNEVELÉSI MODELLJE KOVÁCS FERENC Magyarország erdőterületének,6%-át kőrisek foglalják el. A kőris a hegyvidéki bükkösök legfontosabb elegyfája. A kőris a síkvidéken,
é ő é ó á é ő ó í á á é ö é á é í é á á é é ű á é ö ö ö ó é ü ö ö ő é ó é ő á í á é í é é á á é í ű ö é Í é ü ö é ó é ü á ű é á ö á Í é ő é á á ó ő é
É Ö É Á í É Ó Á ö é é ö ö é é é é ó ü ö ü ö ö ő é ó é ó á í í á ó Í é á ö é ü é ó ő ő ő á é á é é í é é í á ö é é í é é á í ú é á á ő í é á é Í é é ü ö ö ő ű á á á ó á Íü é é í é ü ő ö é é ó ó í á á á
ö Á É ö ö í Á É í
ö Á É ö ö í Á É í ő Í É ő É í í ö ö ü ü ö ü Í ö ö í í ö í ü ő í í ö ö ö ü ő ö ü í ő ö ö í Í ö ő ö í ö í ü ő í ö Í ö ú ő í ÍÉ ö í ö í ö ö ü ő ö í ü ü ö ü ö ö ö Í ö ü ö ö ö ö ö í ö É Í Í ü ö ö ő ö ö ő Ő
ű ó ú ó ú ó ó ú ó ó ó ó Í ó ó ő ű ő ó ő ő ó ö ó ó ö ő ú ó ü ó ó ó ó ó ó ó ó ó ú ó ó ó ó ú ó ó ó ö ú óíö ó ö ű ó ó ü ú ö ó ó ó ú ó ö ö ő ű ő ü ő ó ű ő
ü ő ő ű ó ó ű ú ö ü ö ö ú ő ö ö ő ú ó ú ú ő Í ű ó ú ó ú ó ó ú ó ó ó ó Í ó ó ő ű ő ó ő ő ó ö ó ó ö ő ú ó ü ó ó ó ó ó ó ó ó ó ú ó ó ó ó ú ó ó ó ö ú óíö ó ö ű ó ó ü ú ö ó ó ó ú ó ö ö ő ű ő ü ő ó ű ő ő ü ó
Akáctermesztési modellek
számára. Díszfaként a szélsőségesen száraz és a felszínig nedves termőhelyek kivételével mindenütt ültethető. Salix álba cv. 'Sárvár V fűz. Az ERTI sárvári kísérleti állomása szelektálta.. Koronája keskeny,
ö ú í á á í ö á á í á í őí á í á á őí á á ő á ó ü ő á á í á í á ő á á ő ő á ű ő ö ú ú ő ő ö ő á á á í ó ö ő ő ö á ó á á í á ó á á ű ó ü á á ő ö á á á
Ö É Á Áű Á Á ö ú Á í Á ö ö á ó á ú ó ű ű ü í á ó ó ő í ó í ó ó í ó ő ú ö ü á ü ü ó ö ó í ű ö ú ö á á í ö ó í á á í á á á ú ö ü ü á á íá á ú ö á ö ó á ö ú í í á á ó á ú ó ó ö í ú á ő á á ő ő í á í á ö í
ó í ó é é ó ö é ö ű ó é é é á é é é ú ő é á é ó ö á é é é é á á ö ú ő é é í é á ő é ú Ö í ö á á ú é é á á ö ú ő é á á á é é ó ö ú ő é ö ű ő é ő ó ű ő
ó ú á á ő é ó ó ó á é é á é ú á Ö á á ú ó é á é ó ö á ö é é é é é é é ő é ő ú á ö ö ű ő é é ó ö á á é é ő é ö é é ö ö ó É é ö á ú á í á é ó é ú Ö ö á á ú é é á é á é ú é é á ö á é ö é é ó á á á ó ö ú ő
á ő á ó á á ö á ö ő á á ő á á á á ő ő ö ö ö á ú á á ű ö á á á ü ó á á á ö ű á á á á á á ü ö Á í á á á ó á ö ű á í ü á É í á ó ü á á á á ó á ó ö ő ó á
Á Á ó É Á ü ö ö Á ó É É Á Á ü á ó ő í á ü á á ö í í ü á á á á á á á á ó á á á ö ú á ó á á ű í ú á á ó ó á á á á á ü ö á á ú á á ö á ö á ö ó ü ö ö ő ő á á á á ó ö á á á á ó ü ú á á á ó ü ü á ó á á ó ó ó
é á áí ő ö é á á á á á á á á é ő ú í á á á é á á ö é é ö é őí á é é í é é ó ö é é ü é é é ő á ű ö é é é é é ű é ö é é á ú á é é í ő ö ö é á ó é é í ő
Ó É ö ó É é ö í á ó á é é é é ü ó á ó ó á ó é í é á ő á ő é ü é ú á á í é á é ő ő ö é á í á ó é ö é ö é ő ó ú é é á á ő é é í á ó ö é é é ó é é ö é á á ő é ö ö á é é í ű ö é á ó é ö é ő é á á é á á ó é
ű ö ú ű őí ő ő ú ű ű ő ű ő ű ő ü ő ű ő ü ő í ú ű ű ü ő ú ű ü ű ö ű í ú ű ö ü ű ú ő ö ö ű ö ú í Í ű ú ű ű ű ő í ú ü ő ő ő ő ő
ű ú ű ő íí ú ű ő í ő í í ú í í ő Ó ö ő ú ű ő ú ű ű í í í Ú ő ű í í í í ö ö ö ú ű í ü ö ü í ö ü ő ű ö ü ő ű ö ú ű őí ő ő ú ű ű ő ű ő ű ő ü ő ű ő ü ő í ú ű ű ü ő ú ű ü ű ö ű í ú ű ö ü ű ú ő ö ö ű ö ú í Í
ő ő ű í ó ú í ű í ó ő ő ő ő í í Á í ü ó É í í ő ő í ó ő ő ő ő ő ú ú ú í ő Á Ö ő ő ó
ő ő ű í ó ő ú ő ü ő ü ő ő ó ó ü ü ü ü ü ü ó í ü í ó ü ü ő ó ő ó ő ő í ő ó ó ő ő ű í ó ú í ű í ó ő ő ő ő í í Á í ü ó É í í ő ő í ó ő ő ő ő ő ú ú ú í ő Á Ö ő ő ó ő ő ű í ó ú í ü ű í ó ő ő ő ő í ő ő ő ő í
Á Í Á Ó É ö á í á ő á á Á ő ő á ő á í á ő á á á á í ő ö í á á í á á ö ő á í ő áí á á ő á í í á ú ü ö á ú ö á í á á á ö á á ő á á á ő á ő á ú ü á ő á í ő ő ő áí á á ö ő á ő á á ő ő á í á ő á ő á á á ü ő
EGYESÜLETI KÖZLEMÉNYEK.
fokkal (sűrűséggel stb.) beérhetjük. Ezeket az adatokat grafikusan ábrázolva a vezérgörbékhez simulva megvonhatjuk a 7 cm-nél vastagabb fatömegre vonatkozó és a magassági görbéket. Ha a két szélső görbe
ö ü ö ó Á ó ö ö ü ö ő ö ő ö ö ó í í ú ö ü ü ö ű ö ü ó ó í ü ö ö í ü ó Íö ú ú ő ö ó ó Á ö ü í ó ó ő í ő ő ő ó Í ő í ó ú í ö ű ő ó ó ó ó ő ő ő ó í ö öí ő ó ö ö í ö ö ö í ö í ö ó í ó ó ü ó ö ö í ú ö ő ő ó
á á ő ö á ő á ő ő őí á á á ő ö í í á ó ő í ó ó ö á á á á ó ö ö í á ő ö á ó í ő á á ű í á á ó á á í ó ó ö ü ö í ő ű í á ő á á á á á ó ö ö á á á ő ö ő ő
ö ő á ő É ő É Á ő ö ú á ó á á á á á ő á ő Á Ú í ő á á ó á á ú á ó á á á ü ő ő á á ü ő ő ö ö í ő ő á ő ő ö í ő á ő ö ő ő ő ö á á ö á ü ő ö ú ö ő á á ú ú í á á á á á á á ő á ő ő áí á á ő á á ú ő á ő ö á
A kálium-permanganát és az oxálsav közötti reakció vizsgálata 9a. mérés B4.9
A kálium-permanganát és az oxálsav közötti reakció vizsgálata 9a. mérés B4.9 Név: Pitlik László Mérés dátuma: 2014.12.04. Mérőtársak neve: Menkó Orsolya Adatsorok: M24120411 Halmy Réka M14120412 Sárosi
á ü ö ó á ö ó üí á á ö ó á ó á ó Í ö í á ű ö ő á ű á á ó á á á á ű ő á á ó ő á á ű ö í őí ö üí á á ű á öí ó ó í á ö ö ö ö í ő í á Í ü ö ö ő á í ú ö üí
Ó á á ű ö ú ö ó ó á á á á ü á á ű ö ö ö á á ű í á á ű á ö ú á ú í ű ö ü ö ö ő ö ű í ű á ű ö ö á ó ö ő á ü ö á ü ö ö ő á á ó üí á ő ö ö á ű ő í Á ő ö ö ú ö ő á ó ó ü ö ö ő ó ó ü ö á á Í Í ü ö ü ö ü ö ő
ő ü ü í Á í ü ő í í í ű í í ű í í ű í ú í í ű í ű ű í í
Á íí ű ő ü ő í ü Íő ő í í ő ő í ő ő ü É ő ííí ő ő ü ő ő ő ő ő ú ű í ő í Á Á ő ü ü ő ű ő í ő ü ű í ű í ü í í ü Í ő ü ü í Á í ü ő í í í ű í í ű í í ű í ú í í ű í ű ű í í ű ü ú Ó í Á í í Á Á í ű ü í í ű ü
ö É Á É É Ú Ö É Á
É É Á ö ó ó ó ó ö í ó ö ó í ű ö ó Á Á ó í í ö É Á É É Ú Ö É Á Á Á Á Á í ó Á Á É ő Ö ő ö ő ő ő ő őí ő ö ö Á Ó Ö Ö Ő É ÁÍ Á Ö Á Á Ö ő ö Á ú Á ó Í É í í Ő Í Á Ü ő í Ü ő ö ő ö Ü É Ö Ó É Á Á É Á ü ö ö ü ő ö
FIZIKAI KÉMIA II. házi dolgozat. Reakciókinetikai adatsor kiértékelése (numerikus mechanizmusvizsgálat)
FIZIKAI KÉMIA II. házi dolgozat Reakciókinetikai adatsor kiértékelése (numerikus mechanizmusvizsgálat) Készítette: () Kémia BSc 2008 évf. 2010 1 A numerikus mechanizmusvizsgálat feladatának megfogalmazása
3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
í ó ö é é í ó ó é í í ó ö ü ő ö ö é ő é í é é í é ő í ü é é é Í é ő í ó í é ő é í ü í ő ő é ú í ó é é ö é ö é é é é ú í ó é í ü í é ú ú ö ö é é ú í ő
í ó Ö Á Á É í ó ü é ó é é ű í Ó é ű ó ü é é ú Ö é í é ű Ő ó ö é é é é í é ö ő í é í ó í é ő ő Ö é ő ó í é ű Á é ü ö í é ü ö ö ő í ű ö ő ű é é é é é é ó é é é ó ó í ó ö é é í ó ó é í í ó ö ü ő ö ö é ő é
ő ó ű í ú é é é ö é é ő ü ű Ö ő é ő ű é é ő ó ü é é Ő í í ó ö ó é ö é ő ű ö é é é ö é í é é é ő é é é ő é é ű ö é é Ó Ó é é é ó í ü ú í é é é é é í ö
ó Á ú í é é é ö é Ö ő é é ő é ű ó ö é é é é é é ö é é é é ú ö é é é é ő é ő é ö é í ó é é Ö é ö é é ő é é é é ö ő é é é é é Íé ő ö é é ő ő é é í é ó ö ő é é é ó ö é é í ő ö é ú ö ö é ó ó Á í ü ő ö é ü
Ó É Ö ő ü ü Ö ő ü ó í ó ő í ő ó ü ő ő í ő Ü Ö ő ü ü Ö ő ü ó í ó ő ü Ö ő ü ő ü ó ó ó Á ő ő ő Ö ó í í ü Ö ő Ö Ö ű ő ü ó ü í ó ő Ö Ö í Ö ő í ó í ő í ó ü Ö Ö í íő ő ő ő Ó Ó ó í ü ő Ö ó í ő ő ü ő ő ó í ó
íő ö Ú ö ö ő í ű í ű í í ű ö í ö Ü ö
ő ö É Á Ő Á Á ő ű ö ő Ü Á ő ű ő ű ő ö ö í ő í ő íő ö Ú ö ö ő í ű í ű í í ű ö í ö Ü ö ő ö ű ö ü ö ö ö ö í Ü ű ö ő ö ő ü í ö ü ő ő ő í Ü í Ú Ü ő ö ő ö ő ű ö ő ő ü ő ő ő Á ő ő ö ö ő ő ő ő ö ő í ő í í ő ő
á á á ö ö ü á á á ő á ó á á ő í á í á ú á ö ó á á ó á ó á á ó í á á á á á ó ő á ő ú á á á á ü á í í á ó ü ű ó ó ő á á á ö á á á ü á á ú á á ö ő á á í
ó Á ó ó ü ü ó á á á á ó á ü ő á ö á ó ó ö á á á ö á á á ó ö á ó á á á á ő ö ö Á á ö ö á á á á ő á ó á á á ő ö á á ü ő á í ö ő á í á ö á á ö á ó ü í á á á á á í á á á á á á á í á ű ő á á ő á á ü á á ő ú
4. Tematikus csoport: Termőhely változásának hatása a fatermésre
4. Tematikus csoport: Termőhely változásának hatása a fatermésre Koordinátor: Bidló András Sorszám Cím Résztvevő intézmények D.1 Az erdőállományok növekedésmenetének és NymE EVGI természeti kockázatainak
É ö É ó Á É ó ü Á Ő Ö ü ö Ö ő ü ö ő Ü ű ő ó ő ó ő ő ő í ö ö ö í ő ü ü ő ü ü ő ö ó ő ő ú ő ő ö ö ő ő ő ú ő ő ü ú
Ő Ö ö Á ö Á Á ó É ö É ó Á É ó ü Á Ő Ö ü ö Ö ő ü ö ő Ü ű ő ó ő ó ő ő ő í ö ö ö í ő ü ü ő ü ü ő ö ó ő ő ú ő ő ö ö ő ő ő ú ő ő ü ú ő ú ő ö Ö ö ö ö ő ú ö ü ő ú ő ö ő ő ö ő ö ó ő ö ö ö ő ó ö ü ö ü ő ű í ű ó
ó ú ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ü ó ü ö ü ó Á Á Ő ű ü ó ó ó Í ó ü ú ü Á Á ű ö ó ó ó ó ö ü
ö Ö Í Ú ú Í ó ú Ó ó Ú ú ö Ö ü ú ó ü ö ö ö ó ö ö ó ó ó ö ó ó ó ó ö ö ö ó ö ü ü ű ö ú ó ü ű ö ó ó ó Ú ú ö ű ö ó ó ú ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ü ó ü ö ü ó Á Á Ő ű ü ó ó ó Í ó ü ú ü Á Á ű ö ó ó ó ó ö ü Ö ö Í ö ű
ű ű í ó ő ő ő ő í Ö Ö í Á Í ó ó Ö Ü É íí í ő Ö Ö Ö Á ő ó ó í Á ó ő Ó É ő ó Í Ú Í ú ú Ó í ő Á Ö ó ő ó ó
ő ő ű í ó ü ő ü ü ü ü ü ü ü ü ő ő ó ó Ü í ű Ü Ü óú Í Ö ü ü ú ő ó ő í ó ő ő í Á É óú ő ó ó ű ű í ó ő ő ő ő í Ö Ö í Á Í ó ó Ö Ü É íí í ő Ö Ö Ö Á ő ó ó í Á ó ő Ó É ő ó Í Ú Í ú ú Ó í ő Á Ö ó ő ó ó ő ű í ó
ö ő ö ő ó ó ö ó ü í ő í í í ő ü ó ü ö ő ó ü ő í ő ő ő ú ú ó ú ú ő ü ő ü ö ő ó ü ö ü ő í ó í ő í ő ő ö ö ú í ü ó ű ö ü ú ő ö ő ö í í ó ő ö ű ő ö ö ö ó
ö Ö ő ü ö Ö ö ő ö ő ó ó ö ó ü í ő í í í ő ü ó ü ö ő ó ü ő í ő ő ő ú ú ó ú ú ő ü ő ü ö ő ó ü ö ü ő í ó í ő í ő ő ö ö ú í ü ó ű ö ü ú ő ö ő ö í í ó ő ö ű ő ö ö ö ó í ó ó ő ó ö ú ö ő ó ű ö ú ú ú ő ö ő ü í
í ő í ö í ő ó í í í ó í í í í ő ó ö ú ő í ó ó ö ö ű í ő ó ö ö í ő ó ő ö őő ő í ó ö ú í ö Ö ö ö őő ő Ö ö ó ő ö í í ó ö ő í ö ö í ő í ö Ö ö ö Ö ó ö ó ó
É Ú í ö Ö Á ó ö Ú í í ő ó ó í ó ó ó ö ő ó ő ö í ő ö ő őí ö ő ő í í ő ó ó ó ó ó ó ö ö í ó ö ű ö ö í ó ó ő ö ö ö í ö ó íí í í ó ó ö ó ő ó ú ő ő í ó ó ó ő ó ő ő ő ő ö ő í ó ő ő ú ó í ó ó ö í í ő í ö í ő ó
11. gyakorlat megoldásai
11. gyakorlat megoldásai Lokális szélsőértékek F1. Határozza meg az alábbi kétváltozós függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = 4x 2 + 2xy + 5y 2 + 2, (b) f(x, y) = y 4 3y + x 2 y + 2xy, (c) f(x,
ú ü ú ö ú í ü í ű ö ü ü ú ú ö ú ö íö í ú ü
í ú ü ú ö ú í ü í ű ö ü ü ú ú ö ú ö íö í ú ü ö í ú ú í ü ü í í ö í ö í Ö í ű ü ü ö ú í ű í í ú í ö ö ú í ö ö ö í ü í ö ö í ű ű ö ö ü í í ű ö í í ü ö ü ü ö ö ö ö í í ü ö ö ö ö ü ü í í ű í ö ö ö ú ú í ű
Differenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:
ö ö Í ő ú ü Í ú ő ö ü ő ő ú ö ü ő ö ú ő ö ő ő
ö Ö ő ü ö ö ö ő Í ö Í ö Í ö ö ö ö ö Ú ő öí Í ö ö ö ö Í ö ő ö ő ú ő ö Í ú ö ú ő ö ő ö ö ú ő ö ő ö ö Í ő ú ü Í ú ő ö ü ő ő ú ö ü ő ö ú ő ö ő ő ö ö ő ű ö ú ű ö Ö ű ö ö ő Í ö Í ö ü ö ö Ö Ö ű ö ú ö Í ú ü ü
É Ü ő ú ú ó ö ő ö ő ő Í ú ó ö ö ő ó ő ó í ü ö ö ö ő ő ő ö ö ú ő ó í ö ó ó ó ó ü ő ó í ú ó í ő ö ü ö ö ö ó í ő ó ő ü ö ö
É ó ó Ö É É Ú É Ú Ú É É Í É ö ö ó ö ö ö ö ő ő ü ó ó ü ő ó ő ő ő ó ó ó ö ó ú ü ú É É ű ő ó í í É Ü ő ú ú ó ö ő ö ő ő Í ú ó ö ö ő ó ő ó í ü ö ö ö ő ő ő ö ö ú ő ó í ö ó ó ó ó ü ő ó í ú ó í ő ö ü ö ö ö ó í
í ű í í í ű ö ü ü ö ú ű ú ö ö í í í ű ö ü ü ö ö ö ö í í í ű ö ü ü ö ü ö í í í ű í ö í ö ö ű í ü ü ö í ö ö ö ü í í ű í ú ö ö ö ü ö ö ú ö ö ö ü ö ö ö ö
ö í ű ü ú ü ü ü ö ü ö ö ö í Ő É ö ö ö ü ö ö í í ö ü í ö ö í í É ö ö ű í Á É É ö ö í ö í í ü ö í É í í í ú ú í ű í í í ű ö ü ü ö ú ű ú ö ö í í í ű ö ü ü ö ö ö ö í í í ű ö ü ü ö ü ö í í í ű í ö í ö ö ű í
Ú ú ö é ö é Ú ú ö ű ö ö ű ö é ö ö é í í Ö ö í í Á Á Ó é ű ü é é ü ú é ü é ű ü é
ö é Ö í é ü Ú ú é Í Ú ú ö é Ö é ü é ü ö ö ö ü ö ö é é ö é é é é é ö ö ö ö é í ü é ü ö ü ü ú é ü Ú ú ö é Ö ö é é Ú ú ö é ö é Ú ú ö ű ö ö ű ö é ö ö é í í Ö ö í í Á Á Ó é ű ü é é ü ú é ü é ű ü é Á Á Ú ú ö
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
ö ő ő ő ö í ü Á ű ü í Ü í ű Á ö Ö ű ú ü ú í ö ö í í É É Ü ö ö ö ö ö í ü ö ö ö ö ü í ö í ü ö ö í ü
í í í Ú ő ö ö ő ő ő ö í ü Á ű ü í Ü í ű Á ö Ö ű ú ü ú í ö ö í í É É Ü ö ö ö ö ö í ü ö ö ö ö ü í ö í ü ö ö í ü í í í ö ö í ő ő É ö ö ö Á Ö É ö ö í ö ö ö É É Í ű ü íú í ö í É Ö Ö ő ö í ö í í ő í Ö Ö Á Ö
Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása
l--si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása evezetés Farkas János 1, Dr. Roósz ndrás 1 doktorandusz, tanszékvezető egyetemi tanár Miskolci Egyetem nyag- és Kohómérnöki Kar Fémtani Tanszék
Á ú ú ű ű ú ú Í ú ú Ö ű Ö ű Ö Ö ű ű ú ÍÍ Í ú Í Í Í Í Í ú ú
ú Á ú ű ú ú ű ú ű ű Ö Í ű ű Í ú Í ú Á Í ú ú ú Á ú ú ű ű ú ú Í ú ú Ö ű Ö ű Ö Ö ű ű ú ÍÍ Í ú Í Í Í Í Í ú ú Ö Í ű ű Í ű Ö Í Í Í ű Í ű Í ú ű ú Í Í ú ú ú ú Í ú Ü Á ú ű ú ű ű Í Í Í ű ú Ö ú ű ű Í Í Í Í ű ű Í
11. gyakorlat megoldásai
11. gyakorlat megoldásai Lokális szélsőértékek F1. Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = 4x 2 + 2xy + 5y 2 + 2, (b) f(x, y) = y 4 y + x 2 y + 2xy, (c) f(x,
á ö á Ö á á ő ü á á ö á ó ő ő ö á ö á á á ö á ö á ő í á ű ő ü á ö á ő á á á á ó ó Ó ö ö á ő á ő ö á á ö á ő á ő ö á á á á á á ű ő ö á áá ü ő á Ó á í ü
á á á ő ő ö ö á á á ő á ű á á á í É á ő á á á á á á ü á á á á ó ó ó ö á á á ö á ő á ő ö á á á ű á á ö ő ő á á á á ö á ő á ő ö á á á ő ü á á á ű ő ö ö á á á ő á á ü á á á á ö ő á Ö á á ő á Ö á ő ó á ő á
ú Ó ő Á Ü ú ú ő ú í Í É ő í ö ü ö ő ö í ö í ő ö ö Ö ö ö ö í Í ö Í É í ö í ö Í ö ö ö É í ö ö ő ő ú ő ö í í í í ő ő ö í ö ú Í ö ö í í ö ö ú É í ö ö Í ő
ö ö í í í Ú ÍÖÍ í ö ö í í ü ú Í Í í í ő Í Í ú íü ő ú Í Á í ú Ó ő Á Ü ú ú ő ú í Í É ő í ö ü ö ő ö í ö í ő ö ö Ö ö ö ö í Í ö Í É í ö í ö Í ö ö ö É í ö ö ő ő ú ő ö í í í í ő ő ö í ö ú Í ö ö í í ö ö ú É í
A mérési eredmény megadása
A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű
ú ő í ö ő ő í ő ö ö í í ő ó ó í ó ó ő ő ü ü ü ó ű ő ö ő ő ö ő ő ő ó ő í ő ő í ó ó ú ű ö ö ő ő ő ó ö ő ő í ó ó ú ű ó í ó ő ő ó ő ű ő ö ö ó ő ö ö ó í í
Á Á Ű ő ó Á ö ó ó ü ő ö ű ű ő í ö ő ő ö í ű ó ű í ő ő ő í ő ű ű ő ó ö ö í í ö í í ö ő ő ó ú ő í ö ő ő í ő ö ö í í ő ó ó í ó ó ő ő ü ü ü ó ű ő ö ő ő ö ő ő ő ó ő í ő ő í ó ó ú ű ö ö ő ő ő ó ö ő ő í ó ó ú
í í í á ó ó ö ö í á Í í ü á ő á ő á Á á óö í á ő ó ó ó á ö ő ő á á á á í á ö ö ó á í ó ó óí á ö ö ő í ő í á í ó ó í ú í Í ő ó ó ú ó ó ó í Í ó ó í í ó
É É É É Á Á Í Á É Á É É Ö Á Ő ó ő ő ő á í á ű í ő á ö ö ö á íüí ő ö á á ü ő á á á á ó ö ö ö á ó á ö ú ö í á ő á á á í ő á á ö ü ő í ő ő á á ó á á í á í í ő í ó ó á í á Íó Í ü í Í ő í ó í ó Í ó ó ő á ó
A HOMOKI ERDEIFENYVESEK TÖRZSSZÁMA ÉS FATERMÉSE
634.0.241. Pinus A HOMOKI ERDEIFENYVESEK TÖRZSSZÁMA ÉS FATERMÉSE DR. SÓLYMOS REZSŐ A nagyalföldi erdőssztyepp klímájú futóhomok és gyengén humuszos homok talajokon létrehozott erdeifenyö fiatalosok fatermése
Í Í Á Í ÍÍ Ö ő Í í Ó ö Á íí ő ú Ó ö í í ö Í í ö Á í ő ő Í Í Í Á Á Ö ö ű ö ü ö ü ö ö ü Í ö í í í É í í í ö ö í É Á ü ű Í í í ö ö ÍÍ í Ü ö í í í ö ö ő ö ö í Í ö Ó Ó ü í ő Ó í Ó Á í í í ü ö í ú í ő ü Í ö
í í ü ő ű í í íí ü ü Á ü ő í ő ő ő ú ő í ü ü í í ú Á ü ú ú í É í ü
Á Ü Ó Á Á í Á ü ü í í ú ű ő ú ő ő ő ü ü í ü ü ü ü í í ü ü ő ú Á í í ü ő ű í í íí ü ü Á ü ő í ő ő ő ú ő í ü ü í í ú Á ü ú ú í É í ü ú É ű ő ü ő í í ű ü í í í í ü í ő ü ő í ő ú ü í í ú í ű í ü í í í ü í
Ó É É Ó Á Á É É Á É ő é á é é ö é ú á ú áí í á Í á Íó ü Í í é ú í á é é ú á á á é é á ő é é ű á á í é é ü é é é ó í á á ó é é ő é ú á é ö é ó á á á í
Ó É É Ó Á Á É É Á É ő é é é ö é ú ú Í í Í Íó ü Í í é ú í é é ú é é ő é é ű í é é ü é é é ó í ó é é ő é ú é ö é ó í é é é őí ö é í é é É ő é ű í é ö ö é é é ö é íí é é é é ö í é é é ó í ö ő ü ö ó é ő ü
é é é í ű é é ú ü é é ú é é ü é ő é ú é é ő ő é é é é ő é í ő í ő í ü é é é é ú í í é ő é é é ü é é é é é ú é é ü é é é ü í í í é é é é é é é é ő é é
ü é í é é é í ű é é ú ü é é ú é é ü é ő é ú é é ő ő é é é é ő é í ő í ő í ü é é é é ú í í é ő é é é ü é é é é é ú é é ü é é é ü í í í é é é é é é é é ő é é é í é ú ő í ü ő é í ú í í é í é ű é í ű é ő é
ü ö ő ü í ü ú íő ő ö ü ö ö Ö ö ö ö ö ő ö ő ö ő ö ö ö ü ő ü ü ö ő í í ő ü ü ő ő ű í ú ú ö Ö ő ü í ü ő ü ö í ő ő Á ú í ő ö ö í ő ő ő ö í ő ö É ö í ő ú ő
Á ö É ö Á É ű É ö í ü ü ő ö ő Á ú í ö ö í ő ő ü ö ő ü í ü ú íő ő ö ü ö ö Ö ö ö ö ö ő ö ő ö ő ö ö ö ü ő ü ü ö ő í í ő ü ü ő ő ű í ú ú ö Ö ő ü í ü ő ü ö í ő ő Á ú í ő ö ö í ő ő ő ö í ő ö É ö í ő ú ő ő ü
ő í í ü í ö ú í ö ú ö í ú ő í Ó ő ü í Í ö ö Í í í í í Í í ű ő ö í ő ö ö íá í íí í ő ö ő Í ö Ó ö ö ü ö ö ö ő É í í Í ő ő ő ő ő ő ő ő ö ú ő ú ú ő ö ö ú ú ö ú í ő Ó ö ő Í í ü í ö ú ő ö ő ú ő í ő ö ü Í í ö
ö Á í Ú í ó í ó ó ó í ő ö ő Á Ö í ó Á É í í í ő ő ő ü í í í ú ó É ö ó Á ó Ú Á É É ó ó í ó í ó ő ö Ö í Á ő Ö Ö ő Á í ő ő Á ú ő í ó ö ö í ö ö ü í ó ő ő ö ö ő ő ú ó ű ú í ő í ó ő í í ó í ú ü ö ó í ű ö ü
Í Í Í ű Í ö Ú Ú ö ö É ö ö Í É ö ö ő Á Ö ő ő Ü Í Í É Í Í É Í ö ú ö ú ö Í Á Á Ö Í
ÍÜ ű Í Í Í Í ű Í ö Ú Ú ö ö É ö ö Í É ö ö ő Á Ö ő ő Ü Í Í É Í Í É Í ö ú ö ú ö Í Á Á Ö Í Ú ö Í Á ű Í ö Ü Í Í Í ű Ú Í ő ü Í ö ő É Í É ü ÉÍ ő Ü Ú É Í ő Í ű ü Í É Ü Ü Í Á Á Í Ü Í É Í Í É É É öí Í Í ö ú Í ú
Žłť š ęŕ ż ł ę ť ň ó ľ ľ ö ő Ą ť ľ ł ł ł ę Łô ý Č Ŕ Ą Ą Ŕ ł ę ł Ą ł í ó ó ł ź ő ü ó ľ ś Á ľ ľ ü ő ň Á É í Ęö ó ľ Á ö ź ó ő Ę ľ ť ä ľ ŕš ľ ł ľ ó Í Ĺ ä ä ł ľ ľ ů žäň í ÍÍ ľä ä Ę Ĺ íäŕ ä Ĺ ääľ Ĺ ą ę ź ľ ó
Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!
Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.
É ö ü ü Í í É Í ö ö í ó í í ü ü ö ó ó ó ü ö ó í ü ö ö ü ú Í ű ó ö ó Í ó ö ö í ó ü ü ö ü ü ü ó ö ü ó ü í ó ó ó ü ö ö í í ó ö ó í í ó í ó ó ö ú ö ó í ó ó ö í ó í í ü ó ö ö ö ó í ö í ö ó ö ó ö ó ó í ú ó í
ő ö ö ő ó ö ü Ö ö ő í í ő ő ű ö ö ú ö ö ö ő ő ö ö ö ö ő ő ö ő ű í Á ó ó ö ő ö ü ö ö í ű ő ö ö í ö í ü ö ü ü ö ö ö ö ő ö ü í í ő ö ö ű ö ö ó ő ö ö ü ó
ö ő ö ő ó Ö ó ó í í ó ő ó ó ö ő ö Ö ő ó ő ű ö ó ű í ó Ü í ő í ó ó ő ő ö ó ö ó ü ő ö í ő ő ö ő ó ó ó ö ü ö ö Í ö ó ö ö ö ő ú ö í ö ö ö ö ö í í ö ő ő ő ö ő ö ő ő ö ő ö ő ö ö ő ó ö ü Ö ö ő í í ő ő ű ö ö ú
Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg
LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott
Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt
ő ő ü ö ö ü ő ő ö ő ö ő ö ö ó ö ő ő ö í Ö ö í őí ö ö ó ö ö ő ö í Ö ő ő ö ö í í ő í ö ó ő ö ó í ó í Ö Í ó ö í ó ó ö Í Ö ő Í ő ő ó ö ő í ó ö í í í ü ö í
Ö Á Á ó É ö ő ö Ö ó ó ó Ö ő ö í ű ö ő ó ó ő í ő ö ó ö ó ö ö ő Ö ö ő ö ö ó ö ö ü ü í í í ö ö ő ő ó ö ő ó ö ő ö ó ö ű ó ő ó ó ó ő ö ő ő ö ó ó ö ó ó ó ó ö ö ö Í ö ő ö ö ó ö ö í ö ü ö í ü ö ő ö í ö ó ö ó ó
ó Í Ó ó ö ö ó ö ó ó ó ö ó ü ö ó ó Í ó ó ó í Í ó ö í í ó Í ó ö ó í í í ó ö ó ó í ó Í Í ö ö Í ö ó ó ó ö ö ó í ü í ó Í ó ö ó ó í ó ö Í Í
É Á Í ó ö É ó Á Á ó ó ü ó ö ú ű í Í ó Ü ó í ó ó ó ö Í ó í ó ö ö ö ó ö ö ö ü ö ö ó ó ó ö í É Í Í ó ó ü Á í Í Í í ö ü ó Í Ó ó ö ö ó ö ó ó ó ö ó ü ö ó ó Í ó ó ó í Í ó ö í í ó Í ó ö ó í í í ó ö ó ó í ó Í Í
É ü É É É
É ü É É É É í ö É í ö É Á í Ó ü í ű ö ő ö í ö ö ü ö ö ö ú ü ú ü ü ü í í ö ö ö ö ö ü ö ő ő í ö ö í ő í ő í ő ö ö í ö ő ö ö ü í ö ő ü í ö í ö ü í í ü í í í ő í ü ö ü ü ö ú ö ö ö í ü ü í Í í í ö ö ő ú í ö
í ó ó ő ő ő Íő í ó í ó ó ő ő ó ő Íő í ó ú ő í í ó ö ő ő í ő ő í ó ü ö í ő ő ó ú ő ő ő ó ő í ő Í ő í ó í ü ő í í ü í í ó ö í ő í í ö í í őí ö í ü í ó ö
Á Í Á É ö ú ö ó ő ő í ú ó ó ű í í í ó Ü í ó ö ö í ö ő í ó ő ő í ő í ö ő Í ó ő ó ő ő í ő ő ő í ö ő ó ő ő ő Í ő ó í ó ő ó ö ő í ü ő í í ó ü í ú í Í í ó ó ú ő ő ü ö ó ü ő ő í ó ö í í í í ó ü ü í Í ő í í ü
ó Á Ö É É É É Ő Ü Ő É ó Í Á Á Ü ö ü ü ű ö ö ö í í í ü ó ü í ó í ó ú ó ó í ó ó ó í í í ö ó ö ű ű ö ü í í ö í í í ü í í ó ó í í ó í ö ö í ö ö í í ó ü ö ö ü ó ü ö í ű ö ó ü ö í ű ö ó í í ű ó ö ö ú ö ó ü ö
ö ő ó í ő ü ő ö ő ő ö í ő ó ő ü ú ő ö í ő ő ö ő ü ó ő ó ű ü ó ő ó ó ü ü ő ő ó ó Á í Ő ó ő ő ó í ő ó ó ő Ó ó ö ö Ö ó ő ó ő ö Ö ő ü ő ó ő ö ő ó í
ü ö ö ő ü ó ü ő ü ö Ö ó ő ő ő ő ő ó í ő Á ő ó í Ó Á ö ö ö ő ő ó ő ü í ü ü ő ó ő ő ő ö ő ő Ő ó ő ü ő ó ő ó ű ü ó ő ó ó ü ü ő ő ó ó Á í Ó ó ő ő ó ő ó ó ő ó ó ö ö Ö ő ő ó ő ö Ö ő ü ő ó ő ö ő ó í ő ü ő ö ő
= x + 1. (x 3)(x + 3) D f = R, lim. x 2. = lim. x 4
Bodó Beáta Differenciálszámítás. B Írja fel az f() = függvény az a = és az helyekhez tartozó különbségi hányadosát. f() f(a) a = = (+)( ) = +. B Számolja ki az f() = függvény a = 3 helyhez tartozó differenciálhányadosát!
Gyors fatömegbecslés akácállományokban.
Sur la régénération naturelle, par le Dr L. Haracsi. L'Auteur recomiait la légitimité de la coupe á blanc étoc, mais s'appuyant sur des recherohes récentes il donne la préflérence á la régénération naturelle,
ú ő ú Ö ú ú ő ő Ó ő ő ő ő
ő Ö Ö ő ő ő Ó ő ő ú ú ő ő ő ő ű ő ú Ő ű ő ű ú ú ú ő Í ú ú ő ú Ö ú ú ő ő Ó ő ő ő ő ő ő ú ű ű ú Ö ű ű Ö ú ű ű ű ú Ö ő ű ú ú ú ő ű ű ű ű ű Ö ő ő ő ű ú ű ú ő ú ő ű ő ű ú ő ő Ö ő Ó ű Ó ú ő Ó Ö ú ő ű ű Í Ü
ö á á á í á áá í ü í á á öá ü á í á á á ö ü áí á ó í á í ő í ü á ö ú á á á ö ó ó á í á á í á ü á ö ó ö ő í á ü í á ü á ó í ó á ü í ű á á á á á á áá á
ö á ó á ö Ö á á ő ü ö á ó ó ó ó üá á á á ö ö á á í á á ö í á Á á ö á ö ü ő ó ö ö ó ü ó á ü ü á á á á ó á ü á á á á á ó á ó óá ü áí á ü á ö ü ő á á í á í á ö ü á á ö ü á ü ö ö ú á ö á á ö ö á ú ö ü ü á
Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető!
BGF KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály Budapest, 2012.. Név:... Neptun kód:... Érdemjegy:..... STATISZTIKA II. VIZSGADOLGOZAT Feladatok 1. 2. 3. 4. 5. 6. Összesen Szerezhető pontszám 21 20 7 22
É í ű ö ő ü ú ö ü ö ó ö ü í ő ó ú ő ű ú í ő ö ú ő ű ü í ő ó ü ö í ő í ö í ó ó í ó í ó ű ö ö ú í ő ú í í ó í ő í ő ó í ó ó í ó ó í í í í ó ö ö ü ó í ó
Ö É É É ö É Á ö Á ú ó É ó ö ó í ö ö ő í ő ő ő ö í ú ő ó ó ó ó ő ő ü ú ő ő ő ö ö ü ú ö ó ö ö í ö ö í ű ö ö ü ö ü ó ú í ú É ü í ő ő í ő ó í ú í ó ű ú í í ó ö ö ő ú ú í ő ó í É í ű ö ő ü ú ö ü ö ó ö ü í ő
ű ü Á
ű ü Á ó é ó ö é é Á é ó í ú Á ő íö ü ö üó é ü ü ú ö ó ü ó ü ó ü ü é í ü Ó ú íí Ó é é Ó ü ó ó ü ó ü ü ü ö ó óü ó ó ó í ü ö ü í ó ü ü É ú ú ü É í É ó ü ó ó ü ü é Á ó Á ó ó é ü ó Á é ü í é ó ö üé ó ó ó ü
Ó É Í É í Í í é é é ö é é é ó ú Í ó é é é é í é é é éí ő é ó é é ő ú é Í ű ó ö ő ó ő ő é é é é ó é É í É é Í é í é é í ó í ő é ü ö ö ó ó öí é í ó é é é ó ó ö ó ü ö ő é ú ó é ú Í é Ú Ö ó é ó é ő é í ó ű
ó ó É ö ó ó é á á ö ü ű ó ö ö ő é é é ű ó á é é é ű ó é á á é ö é í é á ő é á íí ó é á á í á ő é ü á ó ő á é ó é á á á ó é é ü ő ú é é ő ó ó ő á é é ő
ó ó É ö ó ó á á ö ü ű ó ö ö ő ű ó á ű ó á á ö í á ő á íí ó á á í á ő ü á ó ő á ó á á á ó ü ő ú ő ó ó ő á ő ó á í ó í á á á ó ö í ö ö ö ö ó á ö ú ö á í á á í í ó ő á í á á ö í ü ö ó ó í á á ő á ő ü ő ö
ő ő Á Á ó ü ő ó Í ő ö í ö ö óú óú ő ú í ő ú ó ó ó ü ö ö ü ö í ő ö ő ó ü ö ö ü ő í ő ő ó í ó ó ő ő ő ő ü Í ó É ü Ö í ö ő Í Í ő Í ő
ő Ú ó ó Á ó ő ó ü ő í Á ű Á ü ő í í í ó ó ő ő ő ó í ő ő í ö ü í ú ú ü ö í ó ő ő ő ó í ú ú ó ó ö ő Í ú í ó ő ö ö ő ö ö ö ő ö í ö ö ő ó ő ö ö ü ú ú ó Ó ő ő ő í ú ú ó ő ő ő Á Á ó ü ő ó Í ő ö í ö ö óú óú ő
é é ó ó ó é ö é é é ó é é é é é é é é é é é é é ú ó é ó ö é é ó é ö é ó é éú é ú ó é é é é é é é é ö é é é ö é Ö é é ö ó é ö é é é é ű é ö ö ü é ö é Í
é ü é ö é é é ú Í ö é Íó ö ü é ü é ö é ó é ü ö ö ü é ö é é é ö ú ö é é ó ú é ü é ö é é é é é é é é é é ö ü é ö é é é ö ú ö é é é ö é Ö é ü ö é é ö ö é é é é é é é é é é ü é ú ó é é ú ú é ó ó é é é ó ö
Í Í í ú Í ü í ő í ö ö ö ü í Í Í Í ü í í ü í ő ő
Á Ö É Á É Ő Ü É ü ő ő ö Í Í ő ö í ő ü ü í í í ü í í í Í Í í ú Í ü í ő í ö ö ö ü í Í Í Í ü í í ü í ő ő í í ő Í Í ú í ő í ő í ö í ő É ő Íő ő Í í Ö ö ő ü ő ő É ő ö ö ő ő ö ö ö í ü ő ö ö ő ő ő ő ö í ő ő ú
ü ö ű ö ű ö Ö ö ú ü Á ü ü ö
ü ö ű ö ű ö Ö ö ú ü Á ü ü ö ö Í ú ö ú Ó ü ö ö ű ü ű ö ü ö Í Í ö ö ű ö ö ű ű Á Á Ő Á Á ú ú É Íö Í Í ö ö Í ö ü ö Í ö ö Í ö ö ö ű Í Í ö Í ű Á É Á ú É ü Á Á É ü Á Á É ü ö ö ö ö ö ö ű ú ö Í ö ö ű ö ö ü ö ö
ö ő őö ő ö ö ő í ő í í í ú ő ő ű ö ű ö ö í ú ő Í ú ő
ö ő í ő í ö ő íő ú ő ő ő ű ö ű ö ö í í ú ő í í ö ö ő őö ő ö ö ő í ő í í í ú ő ő ű ö ű ö ö í ú ő Í ú ő í ö ő ö ő ü í ü ü ő ű ö ö ö í ö ö ö ő í ö ö ö ű ö ö ő ú ö ú É ö É í ő ö ő í í í ő ú ö ö í ü ő ő ú ő
á ő ü á á ó ó ő ü ő ó ő á í á ó á í ü á á ó á á ö í á ó á ó í á á á á ó á ú ö ó ö ö á ü á á ő á á á ó á á á ó ö ö ö íö í á á ú ö ö á á ó á á á ó ű á ó
É É É Ó ó Á ó Ö á í ő ó á ú á ű ö ő ő á íó á ö ő á É ó í ö í ó á á ő í á í í ö á á á á á ü ö í ö á ó á ó á ö á ő ü ö ö ó ü á á ő ó ó ó ö ű ü ü ó ó ö ő á á á á í ó ö ü ó í á á ö ó ü á ó á í ő á í á á ú
í ű ű ö í ö í ű í ú ű ű ű í Í í ö í Í ÍÍ ö ü ö í ű í ö ö ö ű í í ö í ö í ü ö í í í ű í ű ö ö ö í ű ö ö ű ü ö ö ö í ú ü ű ö ú í ö ö í ü ö ö í í í í í í
É Á Ú Ö É É É É Ü É ú ö í ü ö ú ö í Ü ü ü ö ö Ő ú í ú ö í ü Á í ű Í í í ú ü ö í í ű í Í ű ü ű í ü ü í ű ú ö Á ö ö ú ö í ű ű ö í ö í ű í ú ű ű ű í Í í ö í Í ÍÍ ö ü ö í ű í ö ö ö ű í í ö í ö í ü ö í í í
í ő ő Ü Ü Ü Ó í őí Ü ő ű í í ú í ő Ú ő Ü í ő í Ó ő ü í í ú ü Ü ü
ő í É í Ő É ő ü ő ő í Ü í ü ú ú Ú ő ő Ü ő í í Ó Ü ű ü ő Ó Ó Ó ő ő Ü Ü ű ü őí ő ű í Ó í ő ő Ü Ü Ü Ó í őí Ü ő ű í í ú í ő Ú ő Ü í ő í Ó ő ü í í ú ü Ü ü í ü ő í Á Ö í ő ő ő ő í ú í Ó ú í ő í ő Ó í í ő ő ü
í ö ü ö í ó ü ó ó ö í ó ó ó ó ó ó í ü ó ó ö ü ó ó ü ó ó É í ó ö í í ó ó í ö ó ö í ö ö ó í í ó ö í ó ú í ó í ó ü ö ó í ö í ű í ű ó ö í ú í ó ú ö ü í ó
ö Ö ü ü ö Ö ü ó ö ü ö í ó ö ö ö ü í ü ö í í ö í ü ü ö í í ö ü ö í ú ó ö ü ó ü ű ö ü ö í ó ó ó ö ö í ó ö ó ü ó ü í ö ü ö í ó ü ó ó ö í ó ó ó ó ó ó í ü ó ó ö ü ó ó ü ó ó É í ó ö í í ó ó í ö ó ö í ö ö ó í
ő É ű ű ö ő ű ű ö í ű ö ő ő ő őí ö í í ű ö ő ő ő ő ö í ó ö í Ű ő ü ő í ó ó ó ő ű í ó í ó í ö í ó ő ü ő ö ó ö ö ó ó í ű ő ö ó í í ő ő ű ö í ő ő ü ő í í ő ó í ó í ó ú Ö í ó ö í ő ő ó ó ó ő ó ó ő ö í ő ó
ö é é é ö é é í ó á á í é üé é á á á é é á á á é é ő é é í é ő ü á é é é é ó á é ó á ú é á é ü á é é á ó á ü á á á ö é ü á á í é á é ó é ó á é ó é ó ó
é ú á á ő é é ő ü ú é ó á á é ő ü ö á á á ó ó í é á ó ó ó ö á á í ö á í í á á ó á é ü é Ü á á á á á á á é ö ü ö í á ó é ö ü á ö á é é á á ö é í é é é ö é é ó ö á á á é é ö á á ö ö é ő é é ö é ő é é á á
ú í ü ö ú ö ö ő í ö ü ö ő ö ü ö í í ü ö í ü ő ö ú ú ő ő ő ő ő ő ö ö ő ő ü ö ü ő ő ö í ő ő ü ü ö í ü Á ő í í ő
ü ú í ü ö ú ö ö ő í ö ü ö ő ö ü ö í í ü ö í ü ő ö ú ú ő ő ő ő ő ő ö ö ő ő ü ö ü ő ő ö í ő ő ü ü ö í ü Á ő í í ő ö ő í í ü ő ő ő í ö ö ö ü ö ő í ü ő ö í ő ü ö í í ö í ü ő ú ü ö ü ő ő ő ő í ő ö ő ő ő ö őí
É Í ó Í Í ó Íó ó ó Á ó ú ö ű ü ú Á Í ó ó
Í Í Í Í ó ó ó ú ó ő É ú ö ü ú Á Ú ő ö ó ó ó ó ő ő ó ü ő Á ö ű ü É Í ó Í Í ó Íó ó ó Á ó ú ö ű ü ú Á Í ó ó ő ó ú Á ő ü Á ő ú Í É ö Í ö Á Í Á ő ó ő ó ó Á ó ó ó ó ó Íő Á ü ö ó ó ő ó ó Í ö ó ő ú ó Í ö ő ö ó
ó á Í ő á á á á á á á á ó ö ö ö ó ő í á á á ó á á á Í ő ő á á á ó á á ó á ó í ő Í ő ő ü ő ó á á á á ó á ő á ö ö ó ű í ó á á á Í ő ű ö á á á á ú ó í á
Ö Á Á É ő á Í ő á á Ü ö ő á ü á á ü á á ó ő ú ö á á í Í ő ííó á á í í ő á ő Íáú á Í ő Í ő á ő í í ó á í ö ü á ú ö Í í á ő ú íó á í ó ü á ő ű ö á á Í ö á á á ó í á ő ű ö áí á Í ö á á á í ő ü ö ó ó á Íá