Fizika 2. Beleške/ Jegyzet 2013.

Átírás

1 Fizika. Beleške/ Jegyzet 13.

2 .1 Podsetnik/Emlékeztető: z = x + iy = ρ exp(iφ), z = x iy = ρ exp( iφ) (1) ρ = x + y, φ = arctg y () x z = ρ = x + y = zz (3) N i= x = Re(z) = ρ cos φ, y = Im(z) = ρ sin φ (4) x = 1 (z + z ), y = 1 i (z z ) = i (z z ) (5) exp(iα) + exp( iα) = cos α (6) exp(iα) exp( iα) = i sin α (7) q i = 1 + q + q q N = 1 qn 1 q exp x e x (9) sin x x, x 1 (1) x 1 + x, x 1 (11) exp x 1 + x, x 1 (1) cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β (13) ( ) ( ) α + β α β cos α + cos β = cos cos (14) Kronekerov simbol / Kronecker-szimbólum { 1, i = j δ i,j = (15), i j Simbol Levi-Čivita/ Levi-Civita-szimbólum 1, (i, j, k) {(x, y, z), (y, z, x), (z, x, y)} ɛ i,j,k = 1, (i, j, k) {(x, z, y), (z, y, x), (y, x, z)}, u ostalim slučajevima / egyébként (8) (16) (cf) = cf, c = const (17) (f + g) = f + g (18) (fg) = f g + fg (19) f(g(x)) = f (g(x))g (x) ()

3 .1. PODSETNIK/EMLÉKEZTETŐ: 3 L ôpital-ovo pravilo: pod pretpostavkom da sve navedene granicne vrednosti postoje, važi: L ôpital-szabály: amennyiben az összes szóban forgó határérték létezik, igaz, hogy: f(x) lim x x g(x) = lim f (x) x x g (x) (1) dy dx = ay y = y() exp(ax) () d y dx + a y = y = A exp(iax) + B exp( iax) (3) sin a sin b = 1 (cos(a b) cos(a + b)) (4) cos a cos b = 1 (cos(a b) + cos(a + b)) (5) sin a cos b = 1 (sin(a + b) + sin(a b)) (6) skalarni proizvod dve kompleksne funkcije - dva kompleksna vektora két komplex függvény - két komplex vektor skalárszorzata f, g : R 3 Z (7) f, g = f (x, y, z)g(x, y, z) dx dy dz (8)

4 4 1.8 cos(x) cos (x) Figure 1: cos(x), cos (x)

5 Chapter 1 Geometrijska optika Geometriai optika Indeks prelamanja svetlosti n neke sredine je jednak odnosu brzine svetlosti u vakuumu, (c), i odnosu brzine svetlosti u datoj sredini, (v). Egy közeg törésmutatója n egyenlő a vákuumbeli fénysebesség (c) arányával az adott közegben mért fénysebességgel (v). n = c v (1.1) 1.1 Fermaov princip Fermat-elv Ukoliko je sredina optički nehomogena i indeks prelamanja se menja od tačke do tačke, optičku dužinu (l) puta računamo po obrascu (1.3). Amennyiben a ko zeg optikailag inhomogén és a törésmutató pontonként változik, az (l) optikai úthosszt a (1.3) egyenlet határozza meg. dl = n( r)ds (1.) l = n( r)ds (1.3) Integral računamo duž putanje svetlosnog zraka. ds je infinitezimalni element putanje svetlosnog zraka. 5

6 6 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA Az integrált a fénysugár mentén számoljuk. ds a fénysugár infinitezimális szakasza. Fermaov princip: Fermat-elv: Svetlosni zrak se prostire tako, da mu je optička dužina puta najkraća moguća. A fénysugár úgy terjed, hogy az optikai úthossza a lehető legrövidebb legyen Zakon prelamanja svetlosti A fénytörés törvénye Kao primer primene Fermaovog principa izvešćemo zakon prelamanja svetlosti. A Fermat-elv alkalmazási példájaként levezetjük a fénytörési törvényt. Dve sredine 1 i, s indeksima prelamanja n 1 i n graniče se jednom ravni. Tačka A je u sredini 1, tačka B je u sredini. Kako se prositre svetlosti zrak izmedju tačaka A i B? Két egymással határos közeg, 1 és, egy sík mentén érintkezik egymással. A megfelelő törésmutatók n 1 és n. Az A pont az 1-es közegben van, a B pont a pedig a -es közegben. Hogyan terjed a fénysugar a két pont között? A y 1 α s1 α n1 x β d x n s β y B Figure 1.1: Dužina optičkog puta izmedju tačaka A i B. közötti optikai úthossz. A és B pontok

7 1.1. FERMAOV PRINCIP FERMAT-ELV 7 l = n 1 s 1 + n s (1.4) s 1 = x + y 1, s = (d x) + y (1.5) l = n 1 x + y 1 + n (d x) + y (1.6) Uslov za minimum optičkog puta l, (1.6), je dl dx =. Az l, (1.6), optikai úthosz minimumának a föltétele dl dx =. dl dx = n 1 1 x x + y1 1 n x (d x) + y = (1.7) Na osnovu (1.7) uslov za minimum je / (1.7) alapján a minimum föltétele: Zakon prelamanja svetlosti A fénytörés törvénye x x n 1 = n x + y1 (d x) + y x d x n 1 = n s 1 s n 1 sin α = n sin β (1.8) sin α sin β = n n 1 = n,1 (1.9) Primer / Példa Odredite vrednost graničnu vrednost ugla prelamanja ako su indeksi prelamanja dve sredine n 1 i n, n > n 1. (1.1.1) Határozza meg a törési szög határértékét, ha a közegek törésmutatói rendre n 1 és n, n > n 1. (1.1.1) Rešenje / Megoldás α = π, sin α = 1, sin β = n 1 n.

8 8 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA n 1 α n β Figure 1.: Granični ugao. Határszög. 1. Svetlovod / Fényvezető Pretpostavljamo da indeks prelamanja svetlosti svetlovoda zavisi samo od rastojanja od ose svetlovoda, r. z osa se poklapa sa osom svetlovoda. Föltételezzük, hogy a fényvezető törésmutatója csak a fényvezető tengelyétől mért távolságtól függ. A z tengely megegyezik a fényvezető tengelyével. Uglove merimo u odnosu na osu svetlovoda, videti sl A szögeket a fényvezető tengelyéhez mérjük, ld. az 1.3. ábrát. Zakon prelamanja svetlosti na tankom sloju debljine r glasi: α z r α r z z+ z Figure 1.3: Svetlovod. / Fényvezető

9 1.. SVETLOVOD / FÉNYVEZETŐ 9 A fénytörés törvénye r vastagságú (esetunkben vékonyságú) rétegen: n(r) cos α = n(r + r) cos(α + α) ( = n(r) + r dn ) dr +... (cos α cos( α) sin α sin( α)) ( n(r) + r dn ) (cos α ( α) sin α) dr n(r) cos α n(r) sin α α + cos α dn r +... (1.1) dr (1.1) tg α α r = 1 dn n(r) dr tg α = r z α z = 1 dn n(r) dr tg α α r z = 1 dn (1.11) n(r) dr U slučaju da debljina sloja r na kome se svetlost prelama teži, uvrštavajući graničnu vrednost leve strane izraza (1.11) dobijamo diferencijalnu jednačinu koja opisuje prostiranje svetlosnog zraka kroz svetlovod: Amennyiben r (annak a rétegnek a vastagsága amelyen megtörik a fénysugár) -hoz tart, vegyük a (1.11) kifejezés baloldalának a határértékét, és megkapjuk a fényvezetőben terjedő fénysugár terjedésének a differenciálegyenletét: d r dz = 1 dn n(r) dr (1.1) Rešenje jednačine (1.1) je r(z), što je udaljenost svetlosnog zraka od optičke ose u tačci z. A (1.1) egyenlet megoldása r(z), ami a fénysugár távolsága az optikai tengelytől a z pontban Primer / Példa Neka je svetlovod poluprečnika r izradjen od materijala čiji se indeks prelamanja svetlosti menja po zakonu: Tételezzük föl, hogy az r sugarú fényvezető törésmutatója a követező módon függ a fényvezető tengelyétől mért távolságtól: ( ) n(r) = n 1 ar (1.13)

10 1 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA gde smo pretpostavili da važi ar 1. ahol föltételeztük, hogy ar 1. n n(r) Figure 1.4: Zavisnost indeksa prelamanja od r. A törésmutató r-függése. n = 1.4, a =.1. r dn dr 1 dn n(r) dr = n ar = ar 1 ar ar (1.14) Na osnovu jendnačine (1.14) jednačina koja opisuje prostiranje svetlosnog zraka u tankom svetlovodu je: A (1.14) egyenlet alapján a vékony fényvezetőben terjedő fénysugár egyenlete: čije rešenje je (vidi sliku 1.5): melynek megoldása (ld. a 1.5. ábrát): d r + ar = (1.15) dz r(z) = A cos ( az ) + B sin ( az ) (1.16)

11 1.. SVETLOVOD / FÉNYVEZETŐ 11 Lako je uvideti da je a kvadrat talasnog broja. Könnyen belátható, hogy a a hullámszám négyzete. Značenje konstanti A i B možemo odrediti iz početnih uslova. r r(z) z Figure 1.5: Putanja svetlosnog zraka u svetlovodu. A fénysugár fényvezetőbeli pályája. A =., B = 1. Az A és B állandók jelentését a kezdeti föltételek alapján határozhatjuk meg. dr() r() = A, = B a (1.17) dz tj. A je početna udaljenost svetlosnog zraka od ose svetlovoda, a B a je tangens ugla koji u početnoj tačci svetlosni zrak zaklapa sa osom svetlovoda. vagyis A a fénysugár kezdeti távolsága a fényvezető tengelyétől, míg B a a kezdeti pontban a fénysugár és a fényvezető tengelye közötti szög tangense. Zadatak / Föladat Rešenje jednačine (1.15) je moguće napisati (i) u obliku: A (1.15) egyenlet megoldása fölírható a következő alakban (is): r(z) = A cos ( az + φ ) Odredite značenje konstanti A i φ. Határozza meg az A és φ állandók jelentését. (1.18)

12 1 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA 1.3 Gausova optika Gauss-féle optika Posmatrajmo sočivo, i opišimo prostiranje svetlosnih zraka kao transformaciju ulaznih podataka u izlazne, p i = T (p u ). Vizsgáljuk meg a lencse fénytörését, írjuk fel a fénysgarak terjedését mint a bemenő adatok transzformációit kimenő adatokká, a k = T (a b ). Paraksijalna aproksimacija znači da posmatramo samo svetlosne zrake bliske optičkoj osi. To znači da su svi uglovi mali, odnosno da su sve tačke blizu optičke ose. Nadalje pretpostavljamo da je debljina sočiva svuda prbližno ista. A paraksziális közelítés (approximáció) azt jelenti, hogy azokat a fénysugarakat vesszük figyelembe amelyek közel vannak az optikai tengelyhez. Ez azt jelenti, hogy az összes szöget kicsinek tekintjük, hogy az összes pont közel van az optikai tengelyhez, illetve, hogy a lencse vastagsága közelítőleg állandó. α je ugao koji svetlosni zrak zaklapa sa optičkom osom, r 1 i r su poluprečnici krivina površina sočiva. α a fénysugár és az optikai tengely közötti szög, r 1 és r a lencsefelületek görbületi sugarait jelöli. U tačci P 1 svetlosni zrak se prelomi na prelazu iz sredine 1 u sredinu. Možemo da primenimo zakon prelamanja svetlosti (1.8) u specijalnom slučaju malih upadnih i prelomljenih uglova. A P 1 pontban a fénysugár megtörik a két közeg határán. Alkalmazhatjuk a (1.8) fénytörési törvényt abban a speciális esetben amikor a beeső és a törési szög egyaránt kicsi. θ 1 = α 1 + φ, θ = α + φ (1.19) sin φ = x r 1 1 φ (1.) n 1 sin θ 1 = n sin θ (1.1) sin θ i 1 θ i (1.) ( (1.1, 1., 1.) n 1 α 1 + x ) ( = n α + x ) (1.3) r 1 r 1 Imamo sledeće ulazne veličine: n α = n 1 α 1 + n 1 n x r 1 (1.4) x 1 = x (1.5)

13 1.3. GAUSOVA OPTIKA GAUSS-FÉLE OPTIKA 13 φ n 1 n n 3 P P 1 α 3 α =α1 α φ 1 x r 1 x = x 1 1 x 3 α 1 φ Figure 1.6: Prelamanje svetlosti na sočivu / A lencse fénytörése.

14 14 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA optičke osobine sredine, n 1, n, n 3 oblik sočiva, r 1, r, podaci o upadnom zraku, α, x A következő bemenő változók kal van dolgunk: a közeg optikai tulajdonságai, n 1, n, n 3 a lencse alakja r 1, r, a bemenő fénysugár adatai Podatke koji opisuju svetlosni zrak predstavljamo sledećim vektorom: A fénysugárt leíró adatokat a következő vektorral ábrázoljuk: ( nα x ) (1.6) Ulazne i izlazne podatke koji opisuju svetlosni zrak povezuje matrica čiji elementi zavise od oblika sočiva i od optičkih osobina sredine. A fénysugár bemenő és kimenő adatait egy matrix kapcsolja össze, a mátrix elemei a lencse alakjától és a közeg optikai tulajdonságaitól függnek. U tačci P 1 važe sledeće relacije izmedju ulaznih i izlaznih parametara: A P 1 pontban a bemenő és kimenő adatok közötti kapcsolat a következő: ( ) ( ) ( ) n α 1 n 1 n = r n1 α 1 (1.7) x 1 x 1 } {{ } =M 1 Izmedju tačaka P 1 i P svetlosni zrak ne menja pravac prostiranja, menja se njegovo rastojanje od optičke ose. Važe sledeće relacije izmedju ulaznih i izlaznih parametara: A P 1 és P pontok között a fénysugár nem változtatja a terjedési irányát, ami változik az az optkai tengelytől való távolság. A bemenő és kimenő adatok közötti kapcsolat a következő: ( ) ( ) ( ) n α 1 n α = x n 1 x } {{ } =M (1.8)

15 1.3. GAUSOVA OPTIKA GAUSS-FÉLE OPTIKA 15 U tačci P važe sledeće relacije izmedju ulaznih i izlaznih parametara: A P pontban a bemenő és kimenő adatok közötti kapcsolat a következő: ( ) ( ) ( ) n3 α 3 1 n n 3 = r n α (1.9) x 3 1 x } {{ } =M 3 Uvedimo sledeće oznake: Vezessük be a következő jelölést: k 1 = n 1 n r 1, k 3 = n n 3 r (1.3) Primetimo da je determinanta sve tri matrice jednaka jedinici, tako da je i determinanta njihovog proizvoda 1. Vegyük észre, hogy mindhárom mátrix determinansa egy, ezért a szorzatuk determinánsa is 1. Matrica M koja opisuje prelamanje svetlosti na sočivu je proizvod tri matrice (obratite pažnju na redosled matrica u proizvodu!): A lencse fénytörését leíró M mátrix fölírható mint három mátrix szorzata (vegye észre a mátrixok sorrendjét a szorzatban!): M = M 3 M M ( 1 ) ( 1 k3 1 = 1 n 1 = = ) ( 1 k n k 3 k 1 + k 3 + k 1 k 3 n n 1 + n k 1 ( a b ) c d ) (1.31) (1.3) det M = 1 (1.33) Veličine a, b, c i d nazivamo Gausovim parametrima sočiva. Az a, b, c és d mennyiségek a lencse Gauss-paraméterei. Iz (1.33) sledi da Gausovi parametri (1.3) nisu nezavisni, znajući bilo koja tri može se izraziti četvrti. (1.33)-ből következik, hogy a Gauss-paraméterek (1.3) nem függetlenek, bármely három ismeretében meghatározható a negyedik. Postavimo predmet na rastojanju l 1 od sočiva. Sočivo će prelomiti svetlosne zrake koje dolaze sa predmeta i stvoriće sliku ili lik predmeta na rastojanju

16 16 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA l 3 od sočiva. Helyezzünk el egy tárgyat l 1 távolságra a lencsétől. A lencse megtöri a tárgyról jövő fénysugarakat és a lencsétől l 3 távolságban megalkotja a tárgy képét. Opišimo optičku transformaciju predmeta u njegov lik. Koordinatni početak optičke ose je unutar sočiva. Írjuk le a tárgy-kép optikai transzformációt. Az optikai tengely origója a lencsében van. n 1 n n 3 h 1 h3 l 1 l3 Figure 1.7: Sočivo, predmet (razmera h 1, na rastojanju l 1 ) i lîk (razmera h, na rastojanju l ). Lencse, (h 1 méretű) tárgy (l 1 távolságon) és (h méretű) kép (l távolságon).

17 1.3. GAUSOVA OPTIKA GAUSS-FÉLE OPTIKA 17 ( n3 α 3 h 3 ) } {{ } lîk / kép = ( 1 ) ( a ) ( b 1 ) l 3 n 3 1 c d l 1 n } {{ } } {{ } 1 1 } {{ } od sočiva lencsétől sočivo lencse do sočiva lencséig ( n1 α 1 ) h 1 } {{ } predmet / tárgy (1.34) ( n3 α 3 h 3 ) a b l ( ) 1 = n 1 b ( ) l 1 n 1 d + b l 3 n 3 + c + a l 3 n 3 b l n1 α 1 3 n 3 + d h 1 } {{ } =T (1.35) Na osnovu jednačine (1.35) napišimo eksplicitno odnos izmedju veličina h 1 i h 3. Az (1.35) egyenlet alapján írjuk le a h 1 és h 3 mennyiségek közti kapcsolatot. [ ( ) ] [ ] h 3 = l 1 n 1 d + b l 3 n 3 + c + a l 3 n 3 n 1 α 1 + Uvećanje sočiva se definiše kao: / A lencse nagyítása: N = h [ 3 = l ( 1 d + b l ) 3 + c + a l ] 3 h 1 } n 1 n 3 {{ n 3 } = n 1 α 1 h 1 + b l 3 n 3 + d [ b l ] 3 + d n 3 h 1 (1.36) (1.37) Uslov za postojanje oštre slike je da uvećanje ne zavisi od ugla pod kojim zrak sa predmeta pada na sočivo. Az éles kép létezésének föltétele, hogy a nagyítás ne függjön a tárgyról a lencsébe érkező fénysugár szögétől. Dalje, znamo da je determinanta matrice T jednaka 1 i da je jednaka proizvodu elemenata na dijagonali. Iz jednačine (1.36) znamo da je element u donjem desnom uglu uvećanje sočiva. Iz navedenih činjenica sledi da matricu T možemo da napišemo kao: Tudjuk, hogy a T mátrix determinánsa 1 és, hogy egyenlő az átlón levő elemek szorzatával. Az (1.36) egyenlet alapján tudjuk, hogy a mátrix jobb alsó sarkában levő elem a lencse nagyítása. Mindezek alapján a T mátrixot a következő alakban írhatjuk: ( ) 1 b T = N (1.38) N

18 18 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA Kardinalni elementi sočiva A lencse kardinális elemei Veza izmedju uvećanja sočiva i Gausovih parametara je sledeća: A lencse nagyítása és a Gauss-paraméterek közötti kapcsolat a következő: Glavne ravni / Fősíkok 1 N = a b l 1 n 1, N = b l 3 n 3 + d (1.39) Nadjimo ravan koja se preslika kroz sočivo bez uvećanja, N = 1. Iz jednačina (1.39) nalazimo: Találjuk meg azt a síkot amelyik nagyítás nélkül vetül át a lencsén, N = 1. Az (1.39) egyenletek alapján: l 1 = n 1 b (a 1), l 3 = n 3 (1 d) (1.4) b Fokalne-žižne ravni / Fokális síkok Jedna žižna ravan je odredjena uslovom 1 =, a druga uslovom N =. Na N osnovu jednačina (1.39) nalazimo: Az egyik fokális síkot az 1 = -, a másikat pedig az N = föltétel határozza N meg. N = = a b l f 1 a l f1 = n 1 n 1 b N = = b l f 3 d + d l f3 = n 3 n 3 b (1.41) (1.4) Žižno rastojanje je po definiciji: / A fókusztávolság definíció szerint: f 1 = l f1 l 1 = n 1 b f 3 = l f3 l 3 = n 3 b (1.43) (1.44) Ukoliko je n 1 = n 3, nalazimo značenje parametra b, to je dioptrija, tj. optička moć sočiva. Što je dioptrija sočiva veća, tim se više menja pravac svetlosnog zraka prilikom prolaska kroz sočivo.

19 1.3. GAUSOVA OPTIKA GAUSS-FÉLE OPTIKA 19 Amennyiben n 1 = n 3, könnyen értelmezzük a b paramétert, az a dioptria. A dioptria egy lencse optikai törőképességét méri, minél nagyobb a lencse dioptriája, a lencsén áthaladó fénysugár annál inkább megváltoztatja a haladási irányát. Koristeći metode Gausove optike i paraksijalnu aproksimaciju moguće je rešiti problem prostiranja svetlosnog zraka kroz bilo koji osno simetrični optički sistem. A Gauss-optika módszereit- és a paraksziális közelítést használva bármilyen tengelyszimmetrikus optikai rendszerben megoldható a fénysugár terjedésének a problémája Sočivo, drugi put / Lencse, másodszor Možemo da rešimo problem prelamanja svetlosnog zraka na sočivu i egzaktno. Pontosan is meghatározhatjuk a lencse fénytörését. Koristeći jednačine (1.19, 1.) i (1.1) u tačci P 1, (slika 1.6) nalazimo: Az (1.19, 1.) és (1.1) egyenletek alapján a P 1 (1.6-as ábra) pontban a fénytörés: ( ( n1 α = arcsin sin α 1 + arcsin x )) 1 n r 1 arcsin x 1 r 1 (1.45) Predznaci / Előjelek U primenama moramo paziti na značenje predznaka. Ukoliko je površina sočiva u odnosu na pravac prostiranja svetlosnog zraka konveksna, poluprečnik krivine sočiva je pozitivan, u surotnom slučaju je negativan. Indeks prelamanja ogledala je jednak negativnom indeksu pelamanja sredine ispred ogledala. Ukoliko se svetlosni zrak odbije npr. od površine ogledala i kreće se u suprotnom pravcu, odgovarajuće predjeno rastojanje je negativno. Az alkalmazásokban figyelembe kell venni az előjelek jelentését. Amennyiben a fénysugár haladási irányából nézve a lencse felülete domború, annak görbületi sugara pozitív, fordított esetben negatív. Egy tükör törésmutatója megegyezik a tükör előtti közeg törésmutatójának negatív értékével. Amenynyiben a fénysugár visszaverődik, pl. egy tükörtől és visszafelé kezd haladni, a megfelelő-megtett távolság negatív lesz.

20 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA Zadatak / Föladat Znajući ugao pod kojim svetlosni zrak pada na sočivo i njegovu udaljenost od optičke ose u tačci u kojoj ulazi u sočivo odredite udaljenost svetlosnog zraka od optičke ose u tačci u kojoj svetlosni zrak izlazi iz sočiva. Ismervén a fénysugár beesési szögét és azt az optikai tengelytől mért távolságot amelyen a fénysugár behatol a lencsébe, határozza meg azt az optikai tengelytől mért távolságot amelyen a fénysugár elhagyja a lencsét. Rešenje / Megoldás Tačke na površini sočiva leže na dve sfere čiji su centri su na medjusobnom rastojanju r 1 + r, (slika 1.6). Tačka P 1 ima koordinate (z 1, x 1 ) a tačka P ima koordinate (z, x ). A P 1 pont koordinátái (z 1, x 1 ), a P pont koordinátái (z, x ). A lencse felületén levő pontok két olyan gömb felületén vannak amelyek középpontjai egymástól r 1 + r távolságon vannak (1.6 ábra). Takodje važi jednakost: / Továbbá igaz, hogy: tg α = x x 1 z z 1 (1.46) gde smo pretpostavili da se optička osa poklapa sa z osom koordinatnog sistema. Neka je centar druge sfere u koordinatnom početku. U preseku sfera sa xz ravni imamo: ahol föltételeztük, hogy az optikai tengely megegyezik a z koordináta tengelylyel. Legyen a második gömb középpontja az origóban. A gömbök és az xz sík metszetében igaz, hogy: z + x = r, (z 1 u) + x 1 = r 1, u = r 1 + r (1.47) Na osnovu jednačina (1.46) i (1.47) nalazimo (kvadratnu) jednačinu čije rešenje (koje?) odredjuje x : Az (1.46) és (1.47) egyenlet alapjan meghatározhatjuk azt a másodfokú egyenletet, amelynek (melyik?) megoldása x : (1 + tg α )x (x 1 + tg α ( r 1 + r + )) r1 x 1 x +y1 + tg α (r 1 + r + r1 x 1 ) +x 1 tg α (r 1 + r + r1 x 1 rtg α = (1.48) )

21 1.3. GAUSOVA OPTIKA GAUSS-FÉLE OPTIKA Jednačina sočiva / Lencseegyenlet Neka se ispred i iza sočiva nalaze sredine sa istim indeksom prelamanja n 1, r 1 i r su poluprečnici krivine, a je debljina sočiva. Relativan indeks prelamanja sočiva je n,1 = n n 1. Znajući značenje Gausovog parametra b, (1.43, 1.44), definiciju dioptrije, i vezu parametra b sa geometrijom sočiva (1.31, gornji desni ugao matrice) i indeksima prelamanja, uvrštavanjem nalazimo jednačinu (debelog) sočiva. Legyenek a lencse előtti és mögötti közegek törésmutatói egyenlök n 1 -el. A lencse görbületi sugarai r 1 és r, a lencse vastagsága. A lencse relatív törésmutatója n,1 = n n 1. Ismerve a dioptria definícióját, a b Gauss-paraméter jelentését (1.43, 1.44), és kapcsolatát a lencse alakjával és a törésmutatókkal (1.31, mátrix jobb fölső sarka), egyszerű behelyettesítéssl megkaphatjuk a (vastag) lencse egyenletét. ( 1 1 f = (n,1 1) (n ),1 1) r 1 r n,1 r 1 r (1.49) Sledeća jednačina važi za sočiva i ogledala. Neka je f žižna daljina sočiva, p udaljenost predmeta a l udaljenost lika. 1 f = 1 p + 1 l (1.5) A következő egyenlet egyaránt igaz lencsékre és tükrökre. Legyen f a lencse fókusztávolsága, t a tárgytávolság és k a képtávolság. 1 f = 1 t + 1 k (1.51)

22 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA

23 Chapter Talasna optika / Hullámoptika.1 Elektromagnetni talasi Elektromágneses hullámok Amplituda ravnog talasa koji se kreće ka pozitivnom kraju x ose je data u jednačini (.1). Az x tengely pozitív vége felé haladó síkhullám amplitúdója a (.1)-es egyenletben van megadva. E(x, t) = E cos(ωt kx + φ) = E Re (exp(ωt kx + φ)) = Re (E exp(ωt kx + φ)) (.1) ω je kružna frekvencija talasa / ω a hullám körfrekvenciája. ω = πν = π T (.) k je talasni broj / k a hullámszám. k = π λ (.3) φ je početna faza / a kezdeti fázis. Φ je faza talasa / Φ a hullám fázisa. Φ = ωt kx + φ (.4) 3

24 4 CHAPTER. TALASNA OPTIKA / HULLÁMOPTIKA Figure.1: Podela i osobine elektromagnetnih talasa. Az elektromágneses hullámok osztályozása és alaptulajdonságaik. [5] I(x, t) = E(x, t)e (x, t) je intenzitet svetlosti / a fény intenzitása. Intenzitet svetlosti u nekoj tačci je proporcionalan gustini energije elektormagnetnog talasa u toj tačci. Potencijalna energija (tačnije gustina potencijalne energije u datoj tačci) EM talasa je proporcionalna kvadratu amplitude talasa U E, a kinetička energija (tačnije gustina kinetiče energije u datoj tačci) je proporcionalna kvadratu izvoda amplitude po vremenu, E k Ė = ω E, te je gustina ukupne energije talasa proporcionalna kvadratu amplitude, to jest intenzitetu. A fény intenzitása egy adott pontban arányos az elektormágneses hullám energiasűrűségével ugyanabban a pontban. Az elektormágneses hullám helyzeti energiája (pontosabban annak sűrűsége az adott pontban) a- rányos az amplitudó négyzetével, U E, a mozgási energiája (pontosabban annak sűrűsége az adott pontban) pedig arányos az amplitudó időszerinti deriváltjának a négyzetevel, E k Ė = ω E, azaz a hullám össz energia sűrűsége az amplitúdó négyzetevel arányos, vagyis az intenzitással. I(x) = I(x, t) je prosečni intenzitet svetlosti / I(x) = I(x, t) a fény átlagos intenzitása. označava usrednjavanje po vremenu / az idő szerinti átlagolást jelöli.

25 .1. EM TALASI / EM HULLÁMOK 5 Figure.: Osnovna podela elektromagnetnih talasa. Az elektromágneses hullámok alaposztályozása. [6]

26 6 CHAPTER. TALASNA OPTIKA / HULLÁMOPTIKA cos(.t.5x) E(x,t) t x cos(t x) E(x,t) t x cos(t 3x) E(x,t) t x Figure.3: Primeri ravnih harmonijskih elektromagnetnih talasa, E = 1. Sík harmonikus elektromágneses hullámok példái, E = 1.

27 .. IZBIJANJE / LEBEGÉS 7 Brzina elektromagnetnog talasa je odredjena relacijama (.5). Brzina svetlosti u vakuumu je c = 1 8 m/s. Az elektromágneses hullám sebességét a (.5) összefüggések határozzák meg. A fénysebesség vákuumban c = 1 8 m/s. v = λ T = λν = πν π λ = ω k (.5) Kada koristimo izraz intenzitet svetlosti u najvećem broju slučajeva mislimo na prosečan intenzitet. Amikor az intenzitás kifejezést használjuk, az esetek döntő többségében az átlagos intenzitásra gondolunk..1.1 Zadatak / Föladat Izračunajte brzine talasa i odgovarajuće indekse prelamanja svetlosti iz primera prikazanog na slici Fig..3. Brzine talasa će biti neuobičajeno male, a vrednosti indeksa prelamanja će biti neuobičajeno velike, ali ne i nemoguće! Számolja ki a Fig..3. ábrán szemléltetett síkhullámok sebességeit és a megfelelő törésmutatókat. A sebesség értékei meglepően kicsik lesznek, a törésmutatóké meglepően nagyok, de ezek az értékek nem lehetetlenek!. Izbijanje / Lebegés Razmotrimo superpoziciju dva ravna talasa jednakih amplituda i različitih frekvencija, odnosno talasnih dužina koji osciluju duž istog pravca. Vizsgáljuk meg két síkhullám szuperpozicióját amelyek amplitúdója egyforma, de a frekvenciájuk és hullámhosszuk nem. E 1 = E cos(ω 1 t k 1 x) (.6) E = E cos(ω t k x) (.7) E = E 1 + E ( ) (ω1 + ω )t (k 1 + k )x = 14 E cos ( ) (ω1 ω )t (k 1 k )x cos

28 8 CHAPTER. TALASNA OPTIKA / HULLÁMOPTIKA ( ωt = E cos kx ) cos (ωt kx) (.8) } {{ } Obvojnica - Burkoló ( ( ω1 + ω =.5 E cos t x )) ( ( ω1 ω cos t x )) (.9) v v cos(.5t.5x) cos(t 3x) E(x,t) t x Figure.4: Izbijanje. Lebegés.

29 .3. STOJEĆI TALASI / ÁLLÓHULLÁMOK 9 cos(.5t.5x) E(x,t) t x Figure.5: Obvojnica - sporo promenljivi deo talasa. Burkoló - a hullám lassan változó része..3 Stojeći talasi / Állóhullámok Neka se duž x ose u jednom pravcu prostire talas amplitude E 1 a u suprotnom pravcu talas amplitude E. Az x tengely mentén egy irányban E 1 amplitúdójú-, az ellentétes irányban pedig E hullám terjed. E 1 = E cos(ωt kx), E = E cos(ωt + kx + δ) (.1) E = E 1 + E = 14 E cos kx + δ } {{ } prostorno modulirana amplituda térben modulált amplitúdó ( ) ( ) cos ωt + δ (.11) Kao rezultat superopozicije dobili smo stojeći talas. A szuperpozíció eredménye állóhullám. Čvorovi stojećeg talasa se nalaze u tačkama gde je maksimalna amplituda.

30 3 CHAPTER. TALASNA OPTIKA / HULLÁMOPTIKA Az állóhullám csomói azokban a pontokban vannak, ahol a maximális amplitúdó. cos ( kx + δ ) = kx + δ = π (m + 1) x = 1 λ (π(m + 1) δ) = (π(m + 1) δ) (.1) k 4π π π/4 π+π/4 3π/8 π+3π/8 9π/16 π+9π/16 8,5π/16 π+8,5π/ Figure.6: Stojeći talas, prikazan za razne vrednosti ωt+ δ. Na slici se jasno vide čvorovi talasa. Állóhullám amplitúdója ωt + δ külölnböző értékeire. Az ábrán egyértelműen láthatók az állóhullám csomói.

31 .3. STOJEĆI TALASI / ÁLLÓHULLÁMOK 31 1 A t 4 5 x Figure.7: Stojeći talas. Uz izvestan napor na slici se vide čvorovi talasa kao prave linije normalne na x osu. Állóhullám amplitúdója. Némi erőfeszítéssel az ábrán egyértelműen láthatók az állóhullám csomói mint az x tengelyre merőleges egyenesek.

32 3 CHAPTER. TALASNA OPTIKA / HULLÁMOPTIKA E(x,t) t 8 1 cos(t+1)cos(x+1) x 1 Figure.8: Stojeći talas još jednom, prikazane su konturne linije. Ljubičaste prave linije normalne na x osu odgovaraju čvorovima talasa. Állóhullám mégegyszer, föl vannak tüntetve a szintvonalak. Az x tengelyre merőleges lila egyenesek felelnek meg a csomópontoknak.

33 .4. POLARIZACIJA POLARIZÁCIÓ 33.4 Polarizacija Polarizáció Dva ravna talasa osciluju normalno jedan na drugi. Két síkhullám egymásra merőlegesen oszcillál. Neka je α deo faze talasa koji zavisi od frekvencije i talasne dužine. Legyen α a hullám fázisának a frekvencia- és hullámhossz-függő része. Prvi talas osciluje u ravni xz, a drugi u ravni yz. Rezultujući talas se kreće duž z ose. Az első hullám az xz síkban-, a második pedig az yz síkban oszcillál. Az eredő hullám a z tengely mentén halad. Iz (.13) nalazimo / (.13)-ből kifolyólag E 1,xz = E 1 cos(α) (.13) E,yz = E cos(α + φ) (.14) cos α = E 1,xz E 1 (.15) Na osnovu (13) transformišimo (.14) / (13) alapján írjuk föl (.14)-t mint E,yz E ( E,yz E ( E,yz E ( E,yz E E,yz E = cos α cos φ sin α sin φ E = cos α cos φ 1 cos α sin φ = E ( ) 1,xz E1,xz cos φ 1 sin φ (.16) E 1 E 1 E ( ) 1,xz E1,xz cos φ = 1 sin φ/ E 1 E 1 ) E (,yz E 1,xz E1,xz cos φ + E 1 ) E,yz E ) E,yz E E 1,xz E 1 cos φ + E 1,xz E 1 cos φ + E 1 ( E1,xz E 1 ( E1,xz E 1 ) ( cos φ = 1 ( ) ) E1,xz E 1 ) (cos φ + sin φ ) = sin φ } {{ } =1 sin φ ) = sin φ (.17)

34 34 CHAPTER. TALASNA OPTIKA / HULLÁMOPTIKA Dobili smo eliptički polarizovan talas. (.17) je jednačina elipse koja je zarotirana za ugao φ u odnosu na vertikalnu osu. Az eredmény egy elliptikusan polarizált hullám. (.17) egy a függőleges koordinátatengelyhez viszonyítva φ szöggel elfordított ellipszis egyenlete Figure.9: Eliptička polarizacija. Elliptikus polarizáció..4.1 Zadatak / Föladat Diskutujte razne vrednosti fazne razlike φ u (.17). Elemezze a φ fáziskülönbség különböző értékeit (.17)-ban.

35 .5. INTENZITET SVETLOSTI / FÉNYINTENZITÁS 35.5 Intenzitet svetlosti / Fényintenzitás Frekvencija vidljive svetlosti je reda veličine 1 15 Hz. Da bi smo bili u mogućnosti da merimo trenutnu vrednost amplitude elektromagnetnog talasa, mora li bi da raspolažemo instrumentom koji može da prati mereni signal, tj. koji je u stanju da osciluje frekvencijom koja ima bar istu frekvenciju kao i svetlost. Takvi uredjaji ne postoje. Ako je signal brži nego instrument koji ga meri, onda uredjaj meri srednju vrednost signala u nekom vremenskom intervalu. Pošto se elektromagnetni talasi često menjaju po harmonijskom zakonu, srednja vrednost merenog signala jako (tačnije neverovatno) brzo teži nuli. Znači kada registrujemo svetlost mi merimo nešto drugo, a to je srednja vrednost kvadrata amplitude - intenzitet svetlosti. U daljem ćemo koristiti činjenicu da je srednja vrednost kvadrata kosinusa (sinusa) u intervalu dužine π jednaka 1. A látható fény frekvenciája 1 15 Hz nagyságrendű. Ahhoz, hogy mérhessük az elektromágneses hullám amplitudójának pillanatnyi értékét, olyan mérőberendezéssel kellene rendelkeznünk, amely legalább olyan frekvencián tud oszcillálni mint a fény. Ilyen mérőberendezés nem létezik. Amennyiben a mért jel gyorsabban változik mint a mérőműszer állapota, a mérőműszer nem a jelet, hanem annak egy időintervallumbeli átlagát méri. Mivel az elektromágneses hullámok gyakorta harmonikus törvény szerint változnak, ezért a mért jel átlaga nagyon (pontosabban hihetetlenül) gyorsan tart a nullához. Tehát amikor fényt érzékelünk, akkor nem az amplitúdót, hanem valami mást érzékelünk. Ez a valami az amplitudó négyzetnek időbeli átlaga - a fényintenzitás. A továbbiakban gyakran használjuk azt a tényt, hogy a koszinusz (színusz) négyzetének átlaga π hosszúságú intervallumon 1. Φ = ωt kx + φ (.18) E(x, t) = E cos Φ, I(x, t) = E (x, t) = E cos Φ (.19) I t = E cos Φ = E cos Φ = E } {{ } = 1 (.)

36 36 CHAPTER. TALASNA OPTIKA / HULLÁMOPTIKA cos(x) cos^ (x) 4 4 Figure.1: cos(x), cos (x)..6 Interferencija/Interferencia Interferencija se javlja ukoliko su izvori svetlosti koherentni, tj. ukoliko je razlika faza dvaju (ili više) talasa konstantna veličina. Koherenciju nije moguće postići u slučaju nezavisnih izvora svetlosti. Zato se elektromagnetni talas iz jednog izvora deli ili takoreći,umnožava na razne načine, da bi se dobilo više koherentnih talasa. Može se deliti intenzitet ili front talasa. Interferencia akkor lép fel, amikor a fényforrások koherensek, azaz a két (vagy több) hullám fáziskülönbsége állando mennyiség. A koherencia nem lehetséges egymástól független fényforrások esetén. Ezért az egy fényforrásból származó elektromágneses hullámot úgymond megosztjuk,megtöbszörözzük, hogy egymással koherens hullámokat kapjunk. Az intenzitás és a front osztása egyarant lehetséges. Primeri interferencije su prikazani na slici.11. Az interferencia néhány kisérleti példája a.11 ábrán látható. Polaznu tačku za traženje informacija o interferenciji možete naći ovde []. Az interferencia tárgyú keresés egyik kezdőpontja itt található []. Odredimo intenzitet svetlosti u slučaju dva ravna talasa čija je fazna razlika δ. Határozzuk meg a fény intenzitását két síkhullám esetén, amennyiben a

37 .6. INTERFERENCIJA/INTERFERENCIA 37 Figure.11: Primeri interferencije talasa. Az interferencia megvalósításának néhány példája.

38 38 CHAPTER. TALASNA OPTIKA / HULLÁMOPTIKA fáziskülönbségük δ. E = E cos( ωt kx + φ ) = Re(E } {{ } exp(iφ)) (.1) =Φ I = Re(E)Re(E) = E cos Φ = 1 Re(E E) = 1 E (.) E i = E i cos Φ i, I i = 1 E i, i = 1, ; Φ Φ 1 = δ (.3) E = E 1 + E (.4) I = Re(E 1 + E )Re(E 1 + E ) = 1 Re((E 1 + E )(E 1 + E )) = 1 Re(E 1E 1 ) + 1 Re(E E ) + 1 Re(E 1E ) + 1 Re(E E 1 ) = I 1 + I + 1 E 1E {Re [exp (i(φ Φ 1 ))] + Re [exp ( i(φ Φ 1 ))]} = I 1 + I + 1 E 1E cos δ = I 1 + I + I 1 I cos δ (.5) Ako je prethodni dokaz isuviše apstraktan, rezultujući intenzitet se može izračunati i drugačije. Ha az előző bizonyítás túlságosan elvont (lenne), az eredő intenzitást másképpen is ki lehet számolni. I = (E 1 + E ) = E 1 + E + E 1 E = E 1 cos Φ 1 + E cos Φ + E 1 E cos Φ 1 cos Φ = I 1 + I + E 1 E cos Φ 1 cos(φ 1 + δ) = I 1 + I + E 1 E cos Φ 1 (cos Φ 1 cos δ sin Φ 1 sin δ) = I 1 + I + E 1 E (cos δ cos Φ 1 sin δ cos Φ 1 sin Φ 1 ) } {{ } } {{ } = 1 = = I 1 + I + E 1 E cos δ = I 1 + I + I 1 I cos δ (.6) Uslov konstruktivne interferencije, maksimuma intenziteta, pojave svetle pruge je dat jednačinom (.7). A konstruktív interferencia föltételét, az intenzitás maximumát, a világos

39 .6. INTERFERENCIJA/INTERFERENCIA 39 csík megjelenésének föltételét a (.7)-es egyenlet adja meg. cos δ = 1 I = I max = I 1 + I + I 1 I (.7) Uslov destruktivne interferencije, minimuma intenziteta, pojave tamne pruge je dat jednačinom (.8). A destruktív interferencia föltételét, az intenzitás minimumát, a sötét csík megjelenésének föltételét a (.8)-es egyenlet adja meg. cos δ = 1 I = I min = I 1 + I I 1 I (.8) Vidljivost je odredjena kontrastom izmedju svetlih i tamnih linija, (.9). A láthatóságot a világos és sötét csíkok közötti kontraszt határozza meg, (.9). C = I max I min = I1 I (.9) I max + I min I 1 + I C I I Figure.1: Vidljivost, Láthatóság

40 4 CHAPTER. TALASNA OPTIKA / HULLÁMOPTIKA.6.1 Jangov eksperiment Young-féle kísérlet Prorezom smatramo otvor koji je tako uzan, da iz njega ne mogu da izadju dva paralelna svetlosan zraka. Prorez se ponasa kao tačkast izvor svetlosti. A reś olyan szűk nyílás, amelyből két kulonböző fénysugár nem tud egymással párhuzamosan kilépni. A rés pontszerű fényforrásként viselkedik. Proučimo slučaj dva proreza na medjusobnom rastojanju d. Pretpostavimo da je rastojanje izmedju proreza i reflektujućeg sloja l, (videti sliku.13). Vizsgáljuk meg két, egymástól d távolságban levő rés esetét. Tételezzük föl, hogy a rések és a fényvisszaverő felület közötti távolság l, (ld. a.13. ábrát). označava razliku optičkih puteva svetlosnih zraka koji prolaze kroz proreze 1 i. az 1-es és -es résen áthaladó fénysugarak optikai úthosszainak különbségét jelöli. ( = l l 1 = l + x + d ) ( l + x d ( ) ( ) x + d = l x d l 1 + ( = 1 l l ( ) x + d 1 + l x + d ) ( x d l ( x d l ) ) ) = dx l (.3) δ = k (.31) δ označava faznu razliku zraka 1 i. δ az 1-es es -es sugarak közötti fáziskülönbséget jelöli. Na osnovu (.5,.7) uslov pojave svetle pruge je dat jednačinom (.3). (.5,.7) alapján a világos csík megjelenésének föltételét a (.3) egyenlet adja meg.

41 .6. INTERFERENCIJA/INTERFERENCIA 41 l1 P d l x l Figure.13: Jangov interferometar/young-féle interferométer δ = mπ, π λ dx l = mπ (.3) Na osnovu (.5,.8) uslov pojave tamne pruge je dat jednačinom (.33). (.5,.8) alapján a sötét csík megjelenésének föltételét a (.33) egyenlet adja meg. δ = (m + 1)π, π λ dx l = (m + 1)π (.33) Izgled interferencionih pruga u Jangovom eksperimentu možete videti na slici.14. A Yang-féle intereferenciós csíkok a.14 ábrán láthatók..6. Jangov eksperiment sa više proreza Young-féle kísérlet több réssel U slučaju da imamo N > proreza koji su na istovetnom medjusobnom rastojanju, fazna razlika dva svetlosna zraka koji dolaze iz uzastopnih proreza iznosi δ (videti (.31)), kao i u slučaju interferencije na dva otvora.

42 4 CHAPTER. TALASNA OPTIKA / HULLÁMOPTIKA x y Figure.14: Interferencione pruge u Jangovom eksperimentu. Yang-féle intereferenciós csíkok. Amennyiben nem kettő, hanem N > egymástól egyforma távolságban levő réssel van dolgunk, a két egymást követő résen áthaladó fénysugarak fáziskülönbsége δ, (ld. (.31)), ugyanúgy mint a két résen történő interferencia esetén. Rezultujuću jačinu električnog polja možemo predstaviti kao zbir geometrijskg reda, svaki član reda se od prethodnog člana razlikuje za istu fazu. Az eredő elektromos térerősséget egy geometriai sor összegeként ábrázolhatjuk. Az összeg minden egyes tagjának a fázisa állandó fáziskülönbségű a sor előző tagjához viszonyítva. E = E + E exp(iδ) + E exp(iδ) E exp(niδ) = E (1 + exp(iδ) + exp(iδ) exp(niδ)) } {{ } (8)

43 .6. INTERFERENCIJA/INTERFERENCIA 43 = E 1 exp(inδ) 1 exp(iδ) exp( inδ = E ) sin exp( iδ) sin ( δ = E exp( inδ ) exp( iδ ) ( ) Nδ i sin( Nδ ),(7) { ( )}} ){ exp inδ ( inδ exp ( exp iδ ) ( ) iδ exp } {{ } i sin( δ ),(7) ) (.34) Za intenzitet interferencionih pruga dobijamo: Az interferenciós csíkok intenzitása: ( ) sin Nδ I(δ) = EE = I sin ( ) (.35) δ Grafik funkcije intenziteta svetlosti (jednačina (.35)) je predstavljen na slici.15: A fény intenzitását ((.35) egyenlet) a.15 ábrán lehet látni. Intenzitet svetlosti je uvek konačan! Za vrednost fazne razlike δ = πm gde je m ceo broj primenom L ôpitalovog pravila (1) nalazimo: Az intenzitás mindég véges! A fáziskülömbség δ = πm értékeire ahol m egész szám, L ôpital-szabályt alkalmazva (1): lim I(δ) = I lim sin ( ) Nδ δ mπ δ mπ sin ( ) δ sin ( ) Nδ cos ( ) Nδ N = I lim δ mπ sin ( ) = I δ lim δ mπ cos ( δ 1 ) = N I (.36) U praksi razlikovanje primarnih i ostalih maksimuma intenziteta nije jednostavno, potrebna je velika moć razlučivanja, (videti sliku.16 i uporedite sa slikom.15). A gyakrolatban elég nehéz az elsődleges és sokadlagos maximumok szétválasztása, ez csak nagy felbontóképességű műszerekkel lehetséges, (lásd a.16 ábrát és vesd össze a.15 ábrával).

44 44 CHAPTER. TALASNA OPTIKA / HULLÁMOPTIKA 5 N= N=3 N=4 N= Figure.15: sin (Nδ)/ sin δ.6.3 Interferencija na planparalelnom sloju Interferencia planparalell rétegen Razmotrimo interferenciju na planparalelnom sloju indeksa prelamanja n i debljine d, u sredini sa indeksom prelamanja n 1. Vizsgáljuk meg az n törésmutatójú, d vastagságú planparalell lemezen történő interferenciát n 1 törésmutatójú közegben. Razliku optičkih puteva označimo sa. Az optikai úthosszak különbségét -val jelöljük. = n s n 1 s 1 (.37) sin α sin β = n (.38) n 1 cos β = d s s = d cos β = d 1 sin β (.39)

45 .6. INTERFERENCIJA/INTERFERENCIA Figure.16: Intenziteti svetlosti u slučaju, 3 i 4 proreza. A fény intenzitása, 3 és 4 rés esetén. I = 1.3

46 46 CHAPTER. TALASNA OPTIKA / HULLÁMOPTIKA n1 α α s 1 n d β a s β Figure.17: Razlika dužina optičkih puteva u slučaju interferencije na planparalelnom sloju. Optikai úthosszak különbsége planparalell rétegen történő interferenciánál. tg β = a d a = d tg β = d sin β 1 sin β sin α = s 1 a s sin β 1 = a sin α = d sin α 1 sin β n d = 1 n 1, sin α n 1d sin αn 1, sin α 1 n 1, sin α (.4) (.41) = d 1 n 1, sin α (n n 1 n 1, sin α) = dn 1 n 1, sin α (1 n 1, sin α) = dn 1 n 1, sin α = d n n 1 sin α (.4) Zbog refleksije zraka koji prolazi kroz planparalelni sloj faza mu se promeni za π, te je ukupna fazna razlika dvaju zraka: Mivel a rétegen áthaladó fénysugár visszaverődik, annak fázisa π-vel megváltozik,

47 .6. INTERFERENCIJA/INTERFERENCIA 47 ezért a két fénysugár fáziskülönbsége: δ = 4π λ dn 1 n 1, sin α + π (.43) Uslov konstruktivne interferencije je: / A konstruktív interferencia föltétele: cos δ = πm (.44) što daje uslov na ugao pod kojim svetlost treba da pada na planparalelni sloj: ami föltételt szab a fénysugár beesési szögére: ( ) λ sin α = n,1 1 (m 1) (.45) 4dn Vidimo da ceo broj m ne može da ima proizvoljnu vrednost, jer važi nejednakost sin α 1. Látjuk, hogy az m egész szám nem vehet föl tetszőleges értékeket, mivel igaz, hogy sin α 1. Na sličan način nalazimo i uslov destruktivne interferencije. Hasonlóképpen megkaphatjuk a destruktív interferencia föltételelét is..6.4 N-tostruka interferencija na planparalelnom sloju N-szeres interferencia planparalell rétegen U kranjoj desnoj tačci () na slici.18 imamo superpoziciju N svetlosnih zraka, takvih da je fazna razlika dva uzastopna zraka k, gde je zadato jednačinom (.4). Rezultujuće električno polje je zbir geometrijskog reda. A.18 ábra jobb szélső pontjában () N fénysugár szuperpoponálódik, két egymást követő fénysugár fáziskülönbsége k, ahol -t a (.4) egyenlet határozza meg. Az eredő elektromos térerősség egy geometriai sor összege. E = E + E ρ exp(iδ) + E ρ exp(iδ) E ρ N exp(niδ) = E (1 + ρ exp(iδ) + ρ exp(iδ) ρ N exp(niδ)) = E 1 ρ N exp(niδ) 1 ρ exp(iδ) (.46)

48 48 CHAPTER. TALASNA OPTIKA / HULLÁMOPTIKA N N 1 Figure.18: Planparalelan sloj, N-tostruka interferencija. Planparalell lemez, N-szeres interferencia.

49 .6. INTERFERENCIJA/INTERFERENCIA 49 Intenzitet svetlosti je : / A fény intenzitása: I = EE 1 ρ N exp(inδ) 1 ρ N exp( inδ) = E E 1 ρ exp(iδ) 1 ρ exp( iδ) cos(nδ),(6) { }} { 1 ρ N (exp(inδ) + exp( inδ)) +ρ N = I 1 ρ (exp(iδ) + exp( iδ)) +ρ } {{ } cos δ,(6) = I 1 ρ N cos(nδ) + ρ N 1 ρ cos δ + ρ (.47) I δ N= ρ Figure.19: N = 1, δ [, π], ρ [, 1].6.5 Interferencije u primeni Interferencia a gyakorlati alkalmazásban Prilikom projektovanja mobilne telefonske mreže potrebno je optimalno pokriti odredjenu oblast. To je najčešće izvodivo samo sa više primopredajnika. Da bi medjusobno bliski primopredajnici što je moguće manje ometali jedni druge, oni rade na što je moguće različitijim frekvencijama, odnosno medjusobno udaljeni primopredajnici mogu da rade na bliskim frekvencijama. Ovo je jedan od razloga zbog kojih mobilna telefonija radi u frekventnom opsegu, a ne na nekoj frekvenciji.

50 5 CHAPTER. TALASNA OPTIKA / HULLÁMOPTIKA Amikor mobiltelefon hálózatot terveznek, legtöbbször egy adott terület lefedése csak több adóvevővel lehetséges. Hogy a szomszédos adóvevők minél kevésbé zavarják egymást, azokat egymástól minél távolabbi frekvencián célszerű üzemeltetni, illetve térben egymástól távol levő adóvevők működhetnek egymáshoz közeli frekvencián. Ez is egy ok, amiért a mobiltelefon hálózat nem egy frekvencián, hanem frekvenciasávban üzemel.

51 .7. DIFRAKCIJA/DIFFRAKCIÓ 51.7 Difrakcija/Diffrakció Kod difrakcije je otvor kroz koji prolaze svetlosni zraci dovoljno širok da kroz njega mogu proći paralelni svetlosni zraci. Zbog toga da bi smo uočili difrakcione šare ispred svetlosnih zraka moramo postavitu sočivo, i reflektujuću površinu u žižnu ravan sočiva (zašto?). Polaznu tačku za traženje informacija o difrakciji možete naći ovde [3]. Diffrakció esetén a nyílás elég tág ahhoz, hogy azon keresztül párhuzamosan át tudjanak haladni a fénysugarak. Ezért ahhoz, hogy láthassuk a diffrakciós mintázatot, lencsét kell helyeznünk a fénysugarak elé és annak a fokális síkjába kell helyeznünk a fényvisszaverő felületet (miért?). A diffrakció tárgyú keresés egyik kiindulási pontja itt található [3]. Primer difrakcije na uzanom prorezu, slika.. Ravni talasi nakon prolaska kroz uzan prorez se ponašaju kao da su potekli iz tačkastog izvora. Szűk nyíláson történő diffrakció,. ábra. Miután a síkhullámok áthaladtak a résen úgy viselkednek, mintha azok egy ponszerű forrásból erednének..7.1 Dugačak prorez širine b / Hosszú, b szélességű rés k označava talasni broj, označava razliku optičkih puteva a δ je fazna razlika. k a hullámszámot jelöli, az optikai úthosszak különbsége, δ pedig a fáziskülönbség. δ = k = π λ }{{} k x sin φ } {{ } (.48) Ukoliko zraci kroz prorez izlaze pod uglom φ, koristeći princip superpozicije možemo izračunati rezultujuću jačinu električnog polja. E φ dobijamo sabirajući sve amplitude koje iz proreza izlaze pod uglom φ i razlikuju se u fazi za δ od zraka koji prolazi kroz sredinu proreza. Umesto da sabiramo amplitude samo nekoliko zraka sa datim faznim razlikama, sada sabiramo beskonačno mnogo amplituda svetlosnih zraka sa datim faznim razlikama, otuda imamo odredjeni integral. E je maksimalna amplituda jednog zraka. Amennyiben a nyíláson a fénysugarak φ szög alatt haladnak át, a szuperpozíció elve alapján kiszámolhatjuk az eredő elektromos teret. E φ -t úgy

52 5 CHAPTER. TALASNA OPTIKA / HULLÁMOPTIKA Figure.: Difrakcija talasa na vodi, [11], [1]. Vízhullámok diffrakciója, [11], [1].

53 .7. DIFRAKCIJA/DIFFRAKCIÓ 53 b x φ Figure.1: Difrakcija na dugačkom prorezu. / Diffrakciós rés.

54 54 CHAPTER. TALASNA OPTIKA / HULLÁMOPTIKA kaphatjuk meg, hogy összeadjuk a résen φ szög alatt áthaladó összes fénysugár amplitúdóját, amelyek a rés közepén áthaladó fénysugártól fázisban δ-val különböznek. Eddig azt láttuk, hogy véges sok fénysugár amplitúdóját adtuk össze, most végtelen sok amplitúdót adunk össze, melyek fázisban δ-val különböznek, ezért van határozott integrállal dolgunk. E egy fénysugár maximális amplitúdóját jelöli. E φ = E b b b = E b b exp(iωt) exp i (ωt π ) λ x sin φ dx b exp ( i π ) λ x sin φ dx ( b = E exp i πx sin φ) λ exp(iωt) b i π sin φ λ b ( = E πb b exp(iωt)sin sin φ) λ ( πb sin (.49) λ φ) ( sin πb sin I = E φ Eφ φ) λ = I ( πb sin λ φ) (.5) Na osnovu jednačine (.5) uslov minimuma intenziteta difrakcionih linija je: A (.5)-es egyenlet alapján a diffrakciós csíkok minimális intenzitásának föltétele: πb λ sin φ = mπ, mλ sin φ = b (.51) Na osnovu jednačine (.5) uslov maksimuma intenziteta difrakcionih linija je: A (.5)-es egyenlet alapján a diffrakciós csíkok maximális intenzitásának föltétele: πb λ sin φ = mπ, mλ sin φ = b (.5)

55 .7. DIFRAKCIJA/DIFFRAKCIÓ sin(x)/x (sin(x)/x) Figure.: sin(x)/x, sin (x)/x Figure.3: Izgled difrakcionih linija u slučaju jednog otvora. Diffrakciós csíkok egy nyílás esetén.

56 56 CHAPTER. TALASNA OPTIKA / HULLÁMOPTIKA.7. Difrakciona rešetka / Diffrakciós rács Jednačinu za intenzitet svetlosti (.5) rezonom istovetnom onom izloženom u odeljku.6. modifikujemo da uzmemo u obzir uticaj N proreza. Pretpostavimo da je svaki prorez širine b, a da su prorezi na medjusobnom rastojanju a, što znači da difrakciona rešetka ima period d = a + b. A (.5)-es egyenletet a.6. részben kifejtett meggondolás alapján módosíthatjuk, hogy figyelembe vegyük az N rés hatását. Tételezzük föl, hogy minden rés szélessége b, és, hogy az egymást követő rések közötti távolság a, ekkor a diffrakciós rács periódusa d = a + b. ( sin πb sin φ) λ I = I ( πb sin λ φ) sin ( Nπd sin φ) λ sin ( πd sin (.53) λ φ) N=4, d = b 16*(sin(x)/x)** Figure.4: (.53), N = 4, a = b, d = b Izgled difrakcionih linija u slučaju rešetke sa četiri otvora, (slike.4,.5). Diffrakcios csíkok négy vonalas rács esetén, (.4,.5 ábrák). Uslove maksimuma intenziteta u slučaju difrakcije daju: Diffrakciós maximumok föltételei: Nπd λ sin φ = kπ, sin φ = kλ Nd (.54)

57 .7. DIFRAKCIJA/DIFFRAKCIÓ Figure.5: (.53). N = 4, b = 1, d = 3, I = 1.3. D = dφ dλ (.55).7.3 Primena difrakcije u ispitivanju osobina materijala A diffrakció alkalmazása anyagtulajdonsági vizsgálatokban Važna klasa eksperimntalnih metoda u ispitivanju osobina materijala su nedestruktivne metode, tj. one metode u kojima se materijal koji se ispituje ne uništava. A kísérleti anyagvizsgálati módszerek között fontosak azok a vizsgálati módszerek, amelyekben az anyagminta a vizsgálat során nem semmisül meg. Az ilyen vizsgálatok az ún. nemdestruktív vizsgálatok. Struktura čvrstih tela je često kristalna, na primer: poluprovodnici, legure čelika,.... A szilárd testek legtöbbször kristályrácsszerkezetűek, pl. félvezetők, acél ötvözetek.... Čvorovi kristalne rešetke su neprohodni za talase, dok je prostor izmedju

58 58 CHAPTER. TALASNA OPTIKA / HULLÁMOPTIKA čvorova rešetke prohodan. Time kristalna rešetka čini jednu složenu strukturu centara rasejanja i otvora kroz koje talasi mogu da se prostiru. U praksi se za ispitivanje materijala koriste rendgenski zraci ili elektronski snop, što samo po sebi ne menja prirodu difrakcije. Na slici.6 se vidi primer difrakcije elektronskog snopa na kristalnoj rešetci. Iz difrakcionog obrasca se mogu izvući važni zaključci o strukturi ispitivanog materijala. Difrakcioni metodi mogu date važne informacije i o materijalima čija struktura nije pravilna kristalna rešetka. A kristályrács csomói a hullámok számára áthatolhatatlanok, a csomók közötti rések viszont a hulámok számára átjárhatók. Ezzel a kristályrács egy olyan összetett szerkezetet alkot, amelyben egyaránt jelen vannak a szórócentrumok és az átjárható térrészek. Az anyagvizsgálati gyakorlatban sokszor Röntgen-sugarakat illetve elektron nyalábot szokás használni, ami a diffrakció jelenségén semmit sem változtat. A.6 ábrán egy elektronnyaláb kristalyrácson történő diffrakciója látható. A diffrakciós mintázatokból fontos következmények vonhatók le a vizsgált minta anyagtulajdonságairól. A diffrakciós módszerek olyan anyagokról is fontos informaciót adhatnak, melyek szerkezete nem szabályos kristályrács.

59 .7. DIFRAKCIJA/DIFFRAKCIÓ 59 Figure.6: Difrakcija elektronskog snopa na kristalnoj rešetci. Elektronnyaláb diffrakciója kristályrácson. [13]

60 6 CHAPTER. TALASNA OPTIKA / HULLÁMOPTIKA Figure.7: Difrakcija rendgenskih zraka. Držač ispitivanog uzorka se vidi u beloj boji. Röntgen-sugarak diffrakciója. A vizsgált minta tartója fehér színben látszik. [14]

61 Chapter 3 Kvantna teorija Kvantumelmélet 3.1 Uvod / Bevezető Kvantna mehanika se često (potpuno pogrešno!) isključivo vezuje za objašnjenje pojava u mikrosvetu. Postoje mnoge pojave vidljive golim okom(!) koje nije moguće objasniti bez kvantne mehanike, npr. supertečljivost, [9], [1]. Fenomen superprovodljivosti (proticanje električne struje bez otpora) je takodje vidljiv golim okom, i to na sledeći način: znamo da superprovodnik iz sebe istiska linije magnetnog polja. Na običan provodnik postavimo magnet i počnemo da hladimo provodnik. U trenutku kada provodnik postane superprovodan, istisnuće iz sebe linije magnetnog polja, i one će pogurati magnet, koji počinje da lebdi, [15]. Isto tako, bez kvantne mehanike nije moguće razumeti ni temperaturnu zavisnost toplotnog kapaciteta čvrstih tela, [7]. A kvantumechanikát sokan (teljesen tévesen!) kizárólag a mikrovilág megértéséhez szükséges tudománynak tekintik. Sok szabad szemmel látható(!) jelenséget nem lehet kvantummechanika nélkül megmagyarázni, ilyen például a szuperfolyékonyság, [9], [1]. A szupravezetés (ellenállás nélküli áramvezetés) is szabad szemmel észlelhető jelenség, amennyiben tudjuk, hogy a szupravezető kilöki magából a mágneses teret. Egy közönséges vezetőre mágnest helyezünk és elkezdjük hűteni a vezetőt. Amikor a vezető szupravezetővé válik, kilöki magából a mágneses teret, az meg lebegésre bírja a mágnest, [15]. Ugyanúgy, kvantummechanika nélkül nem lehet megérteni a szilárd testek hőkapacitásának hőmérsékleti függését sem, [7]. 61

62 6 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMÉLET 3. Energija elektromagnetnih talasa Az elektromágneses hullámok energiája Energija elektromagnetnih talasa zavisi od frekvencije odnosno talasne dužine. Planck je izveo ovaj zaključak prilikom izvodjenja zakona zračenja apsolutno crnog tela. Az elektromágneses hullámok energiája a frekvenciától, illetve a hullámhossztól függ. Planck erre akkor jött rá, amikor levezette az apszolút fekete test sugárzásának törvényét. E = hν = hc λ = h π πν }{{} = hω (3.1) =ω }{{} = h h = (9) 1 34 J s, (3.) h = (47) 1 34 J (3.3) h je Plankova konstanta, h je redukovana Plankova konstanta. h a Planck-állandó, h a redukált Planck-állandó. 3.3 Plankov zakon zračenja apsolutno crnog tela Az abszolút fekete test sugárzása, Plancktörvény Apsolutno crno telo ne reflektuje elektromagnetno zračenje, ali ga može emitovati. Az abszolút fekete test nem veri vissza az elektromágneses sugárzást, viszont sugározhat. P označava snagu kojom jedinična površina apsolutno crnog tela zrači elektromagnetne talase. P az abszolút fekete test teljesítményét jelöli, amellyel elektromágneses hullámokat sugároz. P = ρ ω dω = ρ λ dλ (3.4)

63 3.3. PLANKOV ZAKON / PLANCK TÖRVÉNY 63 ρ λ (ρ ω ) označava snagu kojom apsolutno crno telo emituje elektromagnetne talase na talasnoj dužini λ (frekvenciji ω). ρ λ (ρ ω ) az abszolút fekete test teljesítményét jelöli λ hullámhosszúságon (ω frekvencián). ρ je spektralna gustina (zračenja) apsolutno crnog tela. ρ az abszolút fekete test (sugárzásának) spektrális sűrűsége. Eksperimentalni model apsolutno crnog tela može da se ostvari kao šupljina sa malim prorezom. Prorez se ponaša kao apsolutno crno telo, 3.1. Az abszolút fekete test kísérleti modelljét egy olyan üreggel valosíthatjuk meg, amelyen szűk rést nyitunk. Ekkor a rés viselkedik úgy mint a fekete test, 3.1. Figure 3.1: Eksperimentalni model apsolutno crnog tela, šupljina sa prorezom. Az abszolút fekete test kísérleti modellje, üreg réssel. [18].

64 64 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMÉLET Na osnovu eksperimenata znamo da spektralna gustina apsolutno crnog tela ne zavisi od vrste materijala ok koga su sačinjeni zidovi šupljine. Spektralna gustina zavisi samo od apsolutne temperature zidova šupljine. Kísérleti mérések alapjan tudjuk, hogy az abszolút fekete test spektrális sűrűsége nem függ attól, hogy milyen anyagból vannak az üreg falai. Az abszolút fekete test spektrális sűrűsége kizárólag az üreg falainak abszolút hőmérsékletétől függ. U daljnjem tekstu ce mo cesto koristiti Bolcmanovu konstantu, koja je odredjena kao: A továbbiakban gyakran fogjuk használni a Boltzmann-állandót, melynek definíciója és értéke: k = R N A = 1, (13) 1 3 J K 1 (3.5) gde je R univerzalna gasna konstanta, a N A Avogadrov broj. ahol R az univerzális gázállandó és N A az Avogadro-szám Rejli-Džinsov zakon/rayleigh-jeans-törvény Približna zavisnost spektralne gustine od kružne frekvencije, približenje važi u slučaju niskih frekvencija. A spektrális sűrűség közelítő alakja, a közelítés kis frekvenciák esetén érvényes Vinov zakon / Wien-törvény ρ ω = ω kt π c 3 (3.6) Približna zavisnost spektralne gustine od kružne frekvencije, važi u slučaju visokih frekvencija. A spektrális sűrűség közelítő alakja, a közelítés nagy frekvenciák esetén érvényes ρ ω = hω3 hω π c 3 e kt (3.7)

65 3.3. PLANKOV ZAKON / PLANCK TÖRVÉNY Plankov zakon zračenja Planck-féle sugárzási törvény Maks Plank je na osnovu termodinamičkog razmatranja (kopiju originalnog članka možete naći ovde [16], a njegov prevod na engleski možete naći npr. ovde, [17]) zaključio da je spektralna gustina zračenja apsolutno crnog tela: Termodinamikai megfontolások alapján Max Planck kiszámolta a pontos spektrális sűrűséget, (az eredeti cikk másolatát megtalálhatja itt [16], annak angolnyelvű fordítása pedig megtalálható pl. itt: [17]): ρ ω = hω3 π c 3 1 e hω kt 1 (3.8) Termodinamika je primenljiva zato, što se unutar šupljine nalazi gas fotona, tj. kvanata elektromagnetnog polja. Fotonski gas je u stanju termodinamičke ravnoteže sa zidovima šupljine, zato im je i temperatura jednaka. Znači da je T istovremeno i temperatura zidova šupljine i temperatura fotonskog gasa unutar šupljine. Jednačina stanja fotonskog gasa je data jednačinom (3.9). Na primer, može se izračunati srednji broj fotona u šupljini zapremine V, rezultat je dat jednačinom (3.1). A termodinamika azért alkalmazható, mert az üregben fotongáz van, a foton az elektromágneses tér kvantuma. A fotongáz termodinamikai egyensúlyban van az üreg falával, ezért T egyszerre az üreg falának a hőmérséklete és egyben az üregben levő fotongáz hőmérséklete. A fotongáz állapotegyenletét a (3.9) egyenlet adja meg. Például, kiszámolható a V térfogatú üregben az átlagos fotonszám, az eredményt a (3.1) összefüggés. pv = ζ(4) NkT, 9NkT (3.9) ζ(3) ( ) 16πζ(3)k 3 N = V T 3 (3.1) c 3 h 3 gde je / ahol ζ(3) = , ζ(4) = π4 1, Primetimo da jednačina stanja fotonskog gasa neverovatno liči na jednačinu stanja idealnog gasa (3.11). Razlog je u tome što fotoni medjusobno ne interaguju, kao ni molekuli idealnog gasa. Vegyük észre, hogy a fotongáz állapotegyenlete hihetetlenül hasonlít az ideális gáz állapotegyenletére, (3.11). A hasonlóság oka abban rejlik, hogy a fotonok

66 66 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMÉLET nem hatnak kölcsön egymással, mint ahogyan az ideális gáz molekulái sem. pv = NkT (3.11) Iz (3.8) slede zakoni zračenja Rejli-Džinsa i Vina. (3.8)-ből következnek a Rayleigh-Jeans és Wien sugárzási törvények. hω kt 1 e hω kt hω kt 1 = kt hω te iz (3.8) sledi (3.6). / ez alapján (3.8)-ból következik (3.6). (3.1) hω kt 1 e hω kt 1 hω e kt (3.13) te iz (3.8) sledi (3.7). / ez alapján (3.8)-ból következik (3.7). Plankov zakon zračenja izražen preko talasnih dužina možemo dobiti na sledeći način. Primetimo da ukupna snaga zračenja ne može da zavisi od toga da li spektralnu gustinu izražavamo preko talasnih dužina ili frekvencija, što prevedeno na jezik matematike znači da površina ispod krive ρ λ mora da bude ista kao i površina ispod krive ρ ω. A Planck-féle sugárzási törvényt ki tudjuk fejezni a hullámhosszak segítségével is a következő módon. Vegyük észre, hogy a sugárzás összteljesítménye nem függhet attól, hogy azt a hullámhosszakkal, vagy a frekvenciákkal fejezzük ki. Ez az állítás lefordítva a matematika nyelvére annyit tesz, hogy a ρ λ görbe alatti felület megegyezik a ρ ω görbe alatti felülettel. c = νλ = πν λ π = ω λ π ω = πc λ, dω ρ ω dω = ρ λ dλ ρ λ = ρ ω πc λ dλ ρ λ = 8πhc 1 λ 5 e hc λkt 1 dω = πcdλ (3.14) λ (3.15) (3.16)

67 3.3. PLANKOV ZAKON / PLANCK TÖRVÉNY x** (x**3)*exp( x) (x**3)/(exp(x) 1) Figure 3.: ρ ω : Rejli-Džinsova kriva, Vinova kriva, Plankova kriva. Rayleigh- Jeans-görbe, Wien-görbe, Planck-görbe. 7 6 x**( 5)/(exp(1/x) 1) x**( 5)/(exp(.8/x) 1) x**( 5)/(exp(1./x) 1) Figure 3.3: ρ λ

68 68 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMÉLET Vinov zakon pomeranja Wien-féle elmozdulási törvény Poznavanje talasne dužine na kojoj apsolutno crno telo zrači maksimalnom snagom omogućava odredjivanje temperature apsolutno crnog tela i obrnuto. Annak a hullámhossznak az ismerete amelyen az abszolút fekete test a legnagyobb teljesítménnyel sugároz meghatározza az abszolút fekete test hőmérsékletét és fordítva. dρ λ dλ = ( ) ) 1 dρ λ hc dλ = 8πhc 5λ (exp 6 1 λkt ( ) ( ) hc hc hc +λ (exp 5 1) exp λkt λkt λ kt 8πhc = ( ( ) ) λ 6 exp hc 5 + exp ( ) hc λkt λkt 1 exp ( hc ) hc λkt 1 λkt } {{ } = uvedimo sledeću zamenu / vezessük be a következő változócserét x = hc (3.17) λkt sledeću jednačinu je potrebno rešiti po x a következő egyenletet x szerint kell megoldani = 5 + xex e x 1 Rešenje jednačine 3.18 je / Az 3.18 egyenlet megoldása: (3.18) x 4, 965 (3.19) (3.17, 3.19) λ max T =.9 mk (3.)

69 3.3. PLANKOV ZAKON / PLANCK TÖRVÉNY x*exp(x)/(exp(x) 1) Figure 3.4: Grafičko rešenje jednačine (3.18). megoldása. A (3.18) egyenlet grafikus Štefan-Bolcmanov zakon Stefan-Boltzmann-féle törveny Ukupna snaga P po jedinici površine kojom apsolutno crno telo zrači proporcionalna je četvrtom stepenu temperature. Az abszolút fekete test egységnyi felületének P sugárzási összteljesítménye a hőmérsékletének negyedik hatványával arányos. P = σt 4 (3.1) P = = hω 3 1 ρ ω dω = π c 3 e hω kt 1 dω [ x = hω ] ω = x, dω = dx kt kt h kt h ( ) 4 h kt x 3 π c 3 h e x 1 dx } {{ } = π4 15

70 7 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMÉLET = π k 4 } 15 {{ c 3 h 3 } =σ,(3.1) T 4 k 4 σ = π 15 c 3 h 3 (3.) Primena zakona zračenja Sugárzási törvények alkalmazása Jako visoke temperature nije moguće neposredno meriti, na primer temperaturu tečnog gvoždja, izlivene lave.... Zato se takve temperature mere posredno, tačnije meri se spektar zračenja koje takva tela emituju. Na sličan način je moguće izmeriti temperaturu Sunca, odnosno termometri za merenje telesne temperature koji mere temperaturu u ušnoj šupljini rade na istom pricnipu. Pri tome treba imati na umu kada neko telo može da smatra apsolutno crnim telom, a kada ne, odnosno kada se tela koja zrače nalaze u termodinamičkoj ravnoteži. A nagyon magas hőmérsékletű testek hőmérsékletét nem lehet közvetlenül megmérni, pl. a folyékony vasét, vagy a kiömlő láváét.... Ezért az ilyen hőmérsékleteket közvetetten mérjük, pontosabban, az ilyen testek által kibocsájtott sugárzás teljesítményét mérjük. Hasonló módon lehetséges a Nap hőmérsékletének a meghatározása, illetve a fülüregben-hallójáratban mérő hőmérők hasonló elvek alapján mérik a testhőmérsékletet. Ezzel együtt, ügyelni kell arra, hogy egy test mikor tekinthető abszolút fekete testnek, illetve a sugárzó test mikor van termodinamikai egyensúlyban. 3.4 Borov model atoma Bohr-féle atom modell Borov model atoma opisuje atom vodonika i vodoniku slične, višestruko jonizovane atome. A Bohr-atom modell a hidrogén és hidrogénszerű többszörösen ionizált atomok modellje. Borovi postulati / Bohr posztulátumok: Moment impulsa elektrona u stacionarnoj kružnoj orbiti može biti samo

71 3.4. BOROV MODEL ATOMA BOHR-FÉLE ATOM MODELL 71 Figure 3.5: Primer diskretnih spektara. Gornja tri spektra su emisiona a donji spektar je apsorpcioni. A diszkrét spektrum néhány példája. A fölső három sugárzási (emmissziós) spektrum, a legalsó pedig abszorpciós (elnyelési) spektrum.

72 7 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMÉLET nenegativan celobrojni umnožak redukovane Plankove konstante. 1. Az elektron impulzusmomentuma stacionáris körpályán csak a redukált Planck-állandó nemnegatív egész számú többszöröse lehet.. n je (glavni) kvantni broj. n a (fő) kvantumszám. J = n h (3.3) Elektroni ne zrače niti apsorbuju elektromagnetne talase dok se nalaze u stacionarnim orbitama. Az elektronok nem sugároznak és nem nyelnek el sugárzást a stacionáris állapotaikban. Iz prvog Borovog postulata da se elektroni kreću po kružnim putanjama sledi da su Kulonova sila (koja deluje na elektron i vezuje ga za jezgro) i centrifugalna sila jednake po intenzitetu. Bohr első posztulátumából következik, hogy az eletronok körpályákon mozognak és az, hogy az elektronra ható vonzó Coulomb-erő intenzitása megegyezik a centripetális erő intenzitásával. m e v r m ev = 1 4πɛ Ze r (3.4) = 1 Ze 4πɛ r φ je elektrostatički potencijal atomskog jezgra. φ az atommag elektrostatikus potenciálja. φ = 1 Ze 4πɛ r Potencijalna energija elektrona je eφ, az elektron helyzeti energiája eφ, U = φe = 1 Ze 4πɛ r (3.5) (3.6) (3.7) 1 Uporedite ovo tvrdjenje sa svojstvenim vrednostima operatora kvadrata momenta impulsa, 3.19 Vesse össze ezt az állítást az impulzusmomentum-négyzet operátorának sajátértékeivel, 3.19

73 3.4. BOROV MODEL ATOMA BOHR-FÉLE ATOM MODELL 73 Ukupna energija elektrona koji kruži oko jezgra je zbir kinetičke i potencijalen energije: Az elektron össz energiája a mozgási és a helyzeti energia összege: E = m ev + U = 3.5,3.7 1 Ze 8πɛ r (3.8) Intenzitet momenta impulsa (m e vr) na osnovu prvog Borovog postulata (3.3) je Az impulzusmomentum intenzitása (m e vr) Bohr első posztulátuma alapján m e vr = n h v = n h m e r (3.9) Uvrstimo v u (3.5). Helyettesítsük be v-t a (3.5). m e ( ) n h = 1 Ze m e r 4πɛ r (3.3) Izrazimo r iz jednačine (3.3). Nalazimo: Fejezzük ki az (3.3) egyenletből r-t, a következő eredményre jutunk: r = 4πɛ h n = an (3.31) m e Ze } {{ } =a a je Borov radijus. a a Bohr-féle rádiusz (sugár). Uvrstimo ovako dobijen izraz za r u izraz za energiju (3.8). Az így kapott r-t helyettesítsük be az energiát meghatározó kifejezésbe ((3.8)- ba). E n = 1 Ze 8πɛ 4πɛ h m eze n meze4 = 3π ɛ h } {{ } =E 1 n = E n (3.3) Ukupna energija elektrona je negativna, jer je elektron vezan za jezgro. Kako n, tako E n od dole. Nasuprot vezanog elektrona slobodan elektron može da ima bilo koju nenegativnu energiju, ne postoji nikakvo ograničenje na njenu vrednost. Az elektron összenergiája negatív, (mivel) az elektron az atommaghoz van

74 74 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMÉLET /x** Figure 3.6: Energija elektrona u atomu vodonika. Na vodoravnoj osi je predstavljen glavni kvantni borj n, na uspravnoj osi je predstavljena energija u jedinicama E. Elektron energiája hidrogén atomban. A vízszintes tengelyen n, a főkvantumszám van ábrázolva, a függőleges tengelyen pedig az energia, E egységekben.

75 3.4. BOROV MODEL ATOMA BOHR-FÉLE ATOM MODELL 75 kötve. Ahogy n, úgy alulról E n. A szabad elektron energiája a kötött elektronnal ellentétben bármilyen nemnegatív energia lehet, nincs semmiféle korlát-tiltás annak lehetséges értékeire. Energija jonizacije je ona najmanja energija koju je potrebno saopštiti elektronu da bi se elektron otkinuo od jezgra, tj. da mu ukupna energija ne bude negativna, tj. da postane jednaka nuli - ona je jednaka po apsolutnoj vrednosti energiji osnovnog stanja, samo ima suprotan predznak. Az ionizációs energia az a legkisebb energia amelyet az elektronnal kell közölni ahhoz, hogy az elszakadjon az atommagtól, vagyis az az energia amelyet az elektronnak el kell nyelnie, hogy az összenergiája ne legyen negatív - azaz annak abszolút értéke egyenlő az alapállapot energiájával, csak az előjele ellentétes. Iz (3.3) sledi da je energija jonizacije vodonikovog atoma (3.3)-ból következik, hogy az elektron ionizációs energiája E i = E (3.33) Objašnjenje linijskih spektara A vonalspektrumok magyarázata Neka su m i n kvantni brojevi koji odredjuju energiju stanja elektrona. Ako je m > n, onda je E m > E n, pa iz zakona održanja energije sledi, da u slučaju prelaza elektrona iz stanja sa kvantnim brojem m u stanje sa kvantnim brojem n važi Legyenek m és n az elektron állapotát, annak energiáját meghatározó kvantumszámok. Ha m > n, akkor E m > E n, ezért az m.-dik állapotból az n.-dik állapotba való átmenetkor az energiamegmaradási törvényből következik E m = E n + hν m,n (3.34) Frekvencija elektromagnetnog zračenja u prelazu m n iznosi Az m n átmenetben észlelhető elektromágneses frekvencia ν m,n = 1 h (E m E n ) = E h ( 1 n 1 m ) (3.35)

76 76 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMÉLET 3.5 Šredingerova jednačina Schrödinger egyenlet Kvantna fizika se bavi merljivim veličinama. Uprošteno govoreći, ponovljena merenja fizičkih veličina se razlikuju od slučaja do slučaja, zato fizičke veličine identifikujemo veličinama koje možemo pripisati skupu merenja, takva veličina je na primer srednja veličina izmerenih vrednosti. Kvantum fizika a mérhető mennyiségeket tanulmányozza. Leegyszerűsítve, egy fizikai mennyiség megismételt mérései méréstől függően esetenként más és más értéket adnak, ezért a fizikai mennyiségeket a méréssorozathoz társítható mennyiségekkel azonosítjuk, ilyen pl. a mért mennyiség átlagos értéke. Važno je imati na umu, da postoje fizičke veličine koje imaju smisla i u klasičnoj i u kvantnoj fizici, takva je npr. ukupna energija, odnosno da postoje fizičke veličine koje nemaju svoj klasični ili kvantni analogon. Na primer brzina, ugaona brzina, ubrzanje, sila... imaju smisla u klasičnoj fizici, ali su besmislene i neprimenljive veličine u kvantnoj fizici. Isto tako, parnost je npr. veličina koja odredjuje mnoge kvantne sisteme, ali takva veličina ne postoji, nije smislena u slučaju klasičnih sistema. Fontos tudni, hogy vannak olyan fizikai mennyiségek amelyek egyaránt értelmesek a klasszikus és a kvantum fizikában, ilyen pl. az össz energia, illetve vannak olyan fizikai mennyiségek amelyeknek nincsennek, nem léteznek klasszikus vagy kvantum megfelelőik. Példaul, a sebesség, szögsebesség, erő,... értelmes mennyiség(ek) a klasszikus fizikában, de a kvantum fizikában tökéletesen értelmetlenek és használhatatlanok. Ugyanígy, pl. a paritás sok kvantum rendszer meghatározó mennyisége, de ez a mennyiség nem létezik, nem értelmezhető a klasszikus fizikában. Uprošćeno govoreći, (u primerima koje ćemo obraditi), kvantna mehanika opisuje ponašanje objekata male mase (npr. molekula, atoma, elementarnih čestica). Isto tako, postoje brojne makroskopske pojave čije je objašnjenje kvantnomehaničke prirode. Takva su npr. objašnjenja toplotnog kapaciteta čvrstih tela, dobre provodnoste metala, itd. Nadalje, sva makroskopska tela ispoljavaju kvantnomehaničke osobine, ukoliko se dovoljno ohlade. Zbog navedenih razloga je potpuno pogrešno shvatanje da kvantna mehanika isključivo opisuje pojave u mikrosvetu. Već u bliskoj budućnosti rezultati kvantne mehanike će se sve više primenjivati i na naš, makroskopski svet. Leegyszerűsítve, az általunk ismertetett esetekben, a kis tömegű objektumok (molekulák, atomok, elemi részecskék) viselkedését csak a kvantum-

77 3.5. ŠREDINGEROVA JEDNAČINA SCHRÖDINGER EGYENLET 77 mechanika képes leirni. Továbbá, sok makroszkopikus jelenséget is csak a kvantummechanika tudta megfelelő módon megmagyarázni, ilyen pl. a szilárd testek hőkapacitása vagy a fémek jó vezetőképessége. Minden makroszkopikus test kifejti kvantummechanikával magyarázható tulajdonságait, amennyiben azt elégge lehűtjük. Ezért téves a kvantummechanika érvényességét kizárólag a mikroszkopikus világra korlátozni. A közeljövőben a kvantummechanika egyre inkább éreztetni fogja hatását a mi, makroszkopikus világunkban is. Dajmo primer naizgled neuobičajenog ponašanja mikročestica. U Jangovom eksperimentu (poglavlje.6.1) talasni front nakon prolaska kroz dva tanka proreza interferira sa samim sobom i kao rezultat vidjamo interferencione pruge. Slične interferencione pruge možemo da izmerimo i u slučaju npr. elektrona, iako smo navikli da na elektron mislimo kao na česticu. Izvor elektrona šalje elektrona na pregradu sa dva proreza. Iza proreza se nalazi scintilaciona površina - detektor. Kada elektron udari u detektor, to mesto nakratko zrači svetlost. U eksperimetnu se beleže mesta sa kojih se emitovala svetlost i tako se vremenom iscrtaju interferencione pruge, pogledajte sliku 3.7. Zaključujemo da se prolazeći kroz dva otvora elektron ponaša kao talas, i interferira sam sa sobom. Da bi stvar bila interesantnija pomenimo i sledeće. Pošto znamo da je elektron i čestica, tj. ima i čestične osobine, možemo merenjem da odredimo kroz koji prorez je prošao elektron. Merenje daje i odgovor, jer elektron je (i) čestica koja prolazi kroz dati otvor, te shodno tome ne može ni da interferira, u ovom slučaju interferencioni obrazac nestaje! Adjunk egy példat arra, hogy milyen (látszólag) szokatlan módon viselked(het)nek a részecskek. A Young-féle kísérletben (.6.1 fejezet) miután a hullámfront áthaladt két résen, önmagával interferál és ezért látjuk az intereferenciós csíkokat. Hasonló jelenséget észlelhetünk pl. elektronok esetén is, holott megszoktuk, hogy elektronra mint részecskére gondoljunk. Az elektronforrás elektronokat lövel ki egy feluletre amelyen két rés van. A rés mögött egy szcintilláló felület - detektor van. Amikor az elektron becsapódik a detektorba, az rövid ideig a becsapódas helyén fényt bocsát ki. A kísérletben eltárolják az elektronbecsapódások helyeit és így kirajzolódnak az interferenciós csíkok, (nézzék meg a 3.7 ábrát). Arra következtetünk, hogy az elektron két résen keresztül haladt át és hullámként viselkedett, ezért tudott önmagával interferálni. Hogy még érdekesebb legyen a helyzet, megemelítjük a következő érdekességet is. Mivel az elektron részecske (is), megmérhetjük, hogy melyik résen haladt át. A mérés erre választ (is) ad, az elektron olyan

78 78 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMÉLET Figure 3.7: Interferencione pruge u Jangovom eksperimentu izvedenom sa (naizgled) česticama. (Látszólag) részecskékkkel kivitelezett Yang-féle kísérletben mért interferenciós csíkok. részecske amelyik az adott résen haladt át, ezért képtelen önmagával interferálni, ebben az esetben eltűnik az interferenciós mintázat! Osnovni pojmovi Alapfogalmak Ψ = Ψ( r, t) je uobičajena oznaka talasne funkcije 3. Vrednost talasne funkcije je kompleksan broj! U opštem slučaju talasna funkcija zavisi i od vremena i od prostornih koordinata. Znajući talasnu funkciju nekog kvantnog sistema moguće je odrediti sve veličine koje odredjuju taj kvantni sistem. Pomoću talasne funkcije računamo verovatnoće i očekivane vrednosti fizičkih veličina. Cilj nam je je da na osnovu fizičkih osobina sistema odredimo talasnu funkciju kojom mogu da se opišu - predvide rezultati merenja datog sistema. Ψ = Ψ( r, t) a hullámfüggvény megszokott jelölése. 4. A hullámfüggvény értéke komplex szám! Általános esetben a hullámfüggvény függ az időtől és a térbeli koordinátáktól. Egy kvantumrendszer hullámfüggvényének ismeretében meghatározható az adott kvantumrendszert jellemző összes fizikai mennyiség. A hullámfüggvény segítségével kiszámolhatók a fizikai mennyiségek valószínűségei és várható értékei. 3 Veliko slovo Ψ će označavati talasnu funkciju koja zavisi i od prostora i od vremena. Malo slovo ψ će označavati talasnu funkciju koja zavisi samo od prostornih koordinata. 4 Nagy Ψ betűvel jelöljük a tér- és időfüggő hullámfüggvényt, kis ψ betűvel jelöljük azt a hullámfüggvényt amelynek csak térbeli függése van.

79 3.5. ŠREDINGEROVA JEDNAČINA SCHRÖDINGER EGYENLET 79 Az a célunk, hogy a fizikai rendszer tulajdonságai alapján meghatározzuk azt a hullámfüggvényt, mely segítségével leírhatjuk - megjósolhatjuk a rendszeren elvégzett mérések eredményeit Operatori, očekivane vrednosti, i kako do njih Operátorok, várható értékek, és hogyan érjuk el azokat Talasna funcija je normirana, tj. možemo je tretirati kao vektor koji ima dobro definisanu dužinu. Verovatnoće elementarnih dogadjaja se sabiraju u jedinicu, što je verovatnoća sigurnog dogadjaja. Skalarni proizvod dve talasne funkcije (dva vektora) je definisan kao integral njihovog proizvoda. Kao što je poznato, skalarni proizvod vektora sa samim sobom daje kvadrat njegove dužine. Znači da je normiranost talasne funkcije istovredno tvrdjenju da je ona jedinični vektor. A hullámfügvény normált, azaz olyan vektornak tekinthetjük amelyenk jóldefiniált hossza van. Az összes elemi esemény valószínűsége eggyé adódik össze, ami a biztos esemény valószínűsége. Két hullámfüggvény (két vektor) skalárszorzata mint azok szorzatának határozott integrálját definiáljuk. Mint azt már tudjuk, egy vektor önmagával vett skalárszorzata megadja a vektor hosszának a négyzetet. Tehát a hullámfüggvény normáltsága egyenértékű azzal az állítással, hogy az egy egységvektor. Ψ = Ψ Ψ dx dy dz = 1 (3.36) Merljiva fizička veličina A je  - očekivana ili srednja vrednost operatora  (3.37). Operator je objekat koji deluje na talasnu funkciju kao ÂΨ. Merljive fizičke veličine su istovremeno i svojstvene vrednosti odgovarajućih operatora. Stanja fizičkih sistema se opisuju pomokaoću svojstvenih vektora odgovarajućih operatora. A mérhető A fizikai mennyiség az  operátor  várható vagy átlagos értéke, (3.37). Az operátor olyan objektum amely a hullámfüggvényre a következőképpen hat: ÂΨ. A mérhető A fizikai mennyiségek egyben bizonyos operátorok sajátértékei. A fizikai rendszer állapota operátorok sajátvektoraival fejezhetők ki.  = Ψ ÂΨdx (3.37)

80 8 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMÉLET Moramo da znamo koliko dobro srednja vrednost merenja opisuje merenu veličinu. Ukoliko merene vrednosti malo odstupaju od srednje vrednosti, srednja vrednost dobro opisuje - karakteriše merenu vrednost. Ukoliko je rasturanje/odstupanje od srednje vrednosti veliko, srednja vrednost ne daje puno informacije o merenoj veličini. Odstupanje merene vrednosti od srednje vrednosti je  Â. Ukupno kvadratno odstupanje (Â) od srednje vrednosti možemo oceniti kao srednju vrednost kvadrata odstupanja od srednje vrednosti: Illik tudni, hogy az átlagos érték milyen jól írja le a mért mennyiséget. Amennyiben a mért értékek kevéssé térnek el/szóródnak az átlagos érték körül, az átlagos érték jól írja le a mért mennyiséget. Amenyiben az átlagos érték körüli szórás nagy, az átlag nem ad sok információt a mért mennyiségről. A mért érték eltérése az átlagértéktől  Â. Az össz négyzetes eltérés becslése az átlagos négyzetes eltérés: (Â) = (  ) (3.38) Ocenu ukupnog odstupanja daje kvadratni koren srednjeg kvadratnog odstupanja: Az átlagos eltérés becslése az atlágos négyzetes eltérés négyzetgyöke: (Â) = (Â) = (  ) (3.39) Što je (Â) manje, rasturanje merenih vrednosti veličine A oko srednje vrednosti  su manje, i merenje je tačnije. Ukoliko je (Â) veliko, rasturanje oko srednje vrednosti je veliko, tako da srednja vrednost ne daje mnogo informacije o merenoj veličini. Znači da veličinu (Â) možemo identifikovati sa apsolutnom tačnošću merenja veličine A. Minél kissebb (Â), annál kisseb az A mennyiség  átlag körüli szórása, és a mérés pontosabb. Minél nagyobb (Â), annál inkább szóródnak a mért mennyiség az átlag körül, és az átlag egyre kevesebbet mond a mért mennyiségről. Ezért (Â)-t a mérés abszolut pontosságával azonosítjk. Energija kretanja je izraziva preko impulsa, tako da imamo načina da je izrazimo preko veličine koja je smislena i u klasičnoj i u kvantnoj fizici. A mozgási energia kifejezhető az impulzus segítségével, amely egyaránt értelmes a klasszikus és a kvantum fizikában. E k = mv = mv m m = m v m = (mv) m = p m (3.4)

81 3.5. ŠREDINGEROVA JEDNAČINA SCHRÖDINGER EGYENLET 81 U kvantnoj fizici je smislen i pojam potencijalne energije, s tim da joj je značenje u izvesnom smislu prošireno u odnosu na klasičnu fiziku. Pošto u kvantnoj fizici ubrzanje i sila nemaju smisla interakcije uzimamo u obzir pomoću potencijalne energije. Ukoliko postoji interakcija izmedju delova sistema ili sistema i njegove okoline, interakcije utiču na potencijalnu energiju sistema. Kvantum fizikában értelmes a helyzeti energia (fogalma), azzal az észrevétellel kiegészítve, hogy bizonyos értelemben a helyzeti energia fogalma bővül a klasszikus fizikához viszonyítva. Mivel kvantum fizikában a gyorsulás és erő értelmetlen fogalmak, a kölcsönhatást a helyzeti energia segítségével vesszük figyelembe. Ha a rendszer különböző részei egymással kölcsönhatnak, vagy a rendszer kölcsönhat a környezetével, ezek a kölcsönhatások meghatározzák a rendszer helyzeti energiáját. Hamiltonov operator Ĥ je operator koji odredjuje ukupnu energiju kvantnog sistema. Kao i u klasičnoj fizici, i u kvantnoj fizici ukupna energija sistema se sastoji od kinetičke i potencijalne energije. Ĥ a Hamilton operátor, mely a kvantum rendszer teljes energiáját meghatározó operátor. Mint a klasszikus fizikában, a kvantum fizikában is az össz energia a mozgási és helyzeti energiákból tevődik össze. Ĥ = ˆ p m + Û (3.41) U izrazu (3.41) ˆ p = (ˆp x, ˆp y, ˆp z ) je operator impulsa, shodno tome ˆ p je operator kinetičke energije a Û je operator potencijalne energije. m A (3.41) kifejezesben ˆ p = (ˆp x, ˆp y, ˆp z ) az impulzus operátor, ennek megfelelően ˆ p a mozgási energia operátora, Û pedig a helyzeti energia operátora. m Talasna funkcija je rešenje (vremenski zavisne) Šredingerove jednačine, (3.4). A hullámfüggvény a(z időfüggő) Schrödinger egyenlet (3.4) megoldása. ĤΨ = i h Ψ t (3.4) Strogo govoreći, Šredingerova jednačina se ne može izvesti. Ona se postulira, i na osnovu nje se mogu vršiti teorijska predvidjanja koja je moguće eksperimentalno proveriti. U ovom smislu je logički status Sredingerove jednačine u kvantnoj fizici sličan statusu Njutnovih zakona u klasičnoj fizici. Šredingerova jednačina daje tačan opis fizičkih sistema ukoliko u njima nisu

82 8 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMÉLET bitne spinske interakcije odnosno ukoliko su brzine objekata od interesa male u odnosu na brzinu svetlosti. 5 Szigorúan véve, a Schrödinger-egyenletet nem lehet levezetni. Azt posztuláljuk, és annak alapján elméleti jóslásokat tehetünk, amelyeket kisérletileg ellenőrizhetünk. Ebben az értelemben a kvantum elméletben a Schrödingeregyenlet logikai státusza hasonlít a Newton-törvények státuszához a klasszikus fizikában. A Schrödinger-egyenlet pontosan írja le a fizikai rendszereket, amennyiben azokban a spin kölcsönhatás elhanyagolható, illetve amennyiben a szóban forgó objektumok sebességei kicsik a fénysebességhez képest. 6 Zarad jednostavnosti, u najvećem broju slučajeva ograničićemo se na proučavanje jednodimenzionalnih kvantnih sistema. Az egyszerűség kedvéért a továbbiakban sok esetben csak az egydimenziós kvantum rendszereket tárgyaljuk. Operator impulsa deluje na talasnu funkciju kao diferencijalni operator, (3.43). Az impulzus operátor differenciál operátor ként hat a hullámfüggvényre, (3.43). ˆp x Ψ(x, t) = i h Ψ(x, t), ˆp x i h x x (3.43) Odredimo operator kinetičke energije, tj. njegovo dejstvo na talasnu funkciju. Határozzuk meg a kinetikus energia operátorát, azaz annak hatását a hullámfüggvényre. ) ( ) Ψ(x, t) Ψ(x, t) ˆp xψ = ˆp x (ˆp x Ψ(x, t)) = 3.43 ˆp x ( i h = i hˆp x x x = 3.43 (i h) Ψ(x, t) = h Ψ(x, t), x x ˆp x = h x ˆp Ê k = x m = h (3.44) m x Operator položaja je primer multiplikativnog operatora - ovaj operator jednostavno množi talasnu funkciju, (3.45). 5 Pažljivi Čitalac će primetiti kontradikciju u dosadašnjem tekstu! 6 A figyelmes Olvasó ellentmondást fedezhet fel az eddig leírtakban!

83 3.5. ŠREDINGEROVA JEDNAČINA SCHRÖDINGER EGYENLET 83 A helyzet operátor az un. multiplikatív operátor ok példája, (3.45). Az ilyen operátorok egyszerűen szorozzák a hullámfüggvényt. ˆxΨ(x, t) = xψ(x, t) (3.45) ˆ r = (ˆx, ŷ, ẑ) (3.46) Zapamtimo da je operator potencijalne energije multiplikativni operator (ko se seća Fizike 1, taj/ta zna, da potencijalna energija ne zavisi od brzine. Zašto je ovo važno?). Jegyezzük meg, hogy a helyzeti energia operátora multiplikatív operátor (aki emlékszik a Fizika 1-ben tanultakra az tudja, hogy a helyzeti energia nem függ a sebességtől. Ez miért fontos?) Šredingerova jednačina, bis Schrödinger egyenlet, bis Sada smo u mogućnosti da čitkije napišemo Šredingerovu jednačinu koja opisuje fizičke osobine jednodimenzionalnog kvantnog sistema. Most olvashatóbb formában is leírhatjuk az egydimenziós kvantumrendszer Schrödinger egyenletét. h Ψ + U(x)Ψ = i h Ψ m x t (3.47) Jednačina (3.47) je parcijalna diferencijalna jednačina, jer nepoznata funkcija Ψ zavisi od dve nezavisne promenljive, x i t, čije makar i približno rešavanje predstavlja složen problem. Az (3.47) egyenlet parciális differenciálegyenlet, mert az ismeretlen Ψ függvény ket független változotól függ, x-től és t-től. Ennek az egyetlenek még a közelítő megoldása is igen bonyolult probléma. Ukoliko se kvantna čestica kreće u tri dimenzije, Šredingerova jednačina je data jednačinom (3.48). Amennyiben a kvantum részecske három dimenzióban mozog, annak Schrödinger egyenlete (3.48)-ben van megadva. ( h ) Ψ m x + Ψ y + Ψ + U(x, y, z)ψ z = i h Ψ t (3.48)

84 84 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMÉLET Da bi smo rešili Šredingerovu jednačinu potrebno je poznavati početne uslove, tj. Ψ(x, ), nadalje neophodno je poznavanje graničnih uslova, tj. Ψ(x, t) gde x označava koordinate graničnih tačaka dostupnih sistemu. Ahhoz, hogy megoldjuk a Schrödinger egyenletet, szükséges a kezdeti föltételek-, Ψ(x, ), továbbá a határföltételek ismerete, Ψ(x, t), ahol x a rendszer által hozzáférhető térrész határpontjait jelöli Stacionarna Šredingerova jednačina Stacionáris Schrödinger egyenlet Često puta, ukoliko ne menjamo uslove pod kojim držimo sistem, pre ili kasnije njegovo stanje će postati stacionarno. Potražimo stacionarno rešenje Šredingerove jednačine, tj. ono rešenje, koje opisuje ona stanja sistema kod kojih se srednje vrednosti fizičkih veličina ne menjaju tokom vremena. Još preciznije, potražimo onu jednačinu čija rešenja opisuju stacionarna stanja sistema. Gyakran megtörténik, hogy amennyiben nem változtatjuk azokat a körülményeket amelyek kihatnak a rendszerre, annak állapota előbb-utőbb stacionárissá válik. Ezért keressük meg a Schrödinger egyenlet stacionáris megoldásait, vagyis azokat a megoldásokat amelyek a rendszer azon állapotait írják le, amelyekben a fizikai mennyiségek várható értékei időben nem változnak. Még pontosabban, keressük meg azt az egyenletet, amelynek megoldásai leírják a rendszer stacionáris állapotait. Razdvojimo zavisnost od prostora od vremenske zavisnosti. Potražimo rešenje jednačine (3.47) obliku Ψ(x, t) = f(t)ψ(x). Válasszuk szét az időbeli függést a térbelitől. Keressük meg az (3.47) egyenlet megoldását a Ψ(x, t) = f(t)ψ(x) alakban. Ψ t = ψ df (3.49) dt Ψ x = f d ψ (3.5) dx / h m f d ψ df + Ufψ = i hψ : fψ (3.51) dx dt 1 ( h d ) ψ ψ m dx + Uψ = i h 1 df = const = E (3.5) f dt

85 3.5. ŠREDINGEROVA JEDNAČINA SCHRÖDINGER EGYENLET 85 i hψ df dt ( df = fe dt = iē h f f = exp i Et h ) (3.53) Jedini parametar sistema od koga zavisi funkcija f je energija E. Što je energija sistema veća, funkcija f brže osciluje. f a rendszert meghatározo egyetlen fizikai paramétertől függ, annak energiájától. Minél nagyobb a rendszer energiája, az f függvény annál gyorsabban oszcillál. ff = 1 (3.54) ( Ψ(x, t) = exp i Et ) ψ(x) (3.55) h Ψ(x, t) Ψ(x, t) = ψ(x) ψ(x) (3.56) Iz jednačine (3.5) sledi da prostorna zavisnost talasne funkcije zadovoljava stacionarnu Šredingerovu jednačinu: A (3.5) egyenletből következik, hogy a hullámfüggvény térfüggő része kielégíti a stacionáris Schrödinger egyenletet: ( h d ) m dx + U ψ = Eψ(x) (3.57) } {{ } =Ĥ ili drugačije napisano / masképpen fölírva h d ψ + Uψ = Eψ(x) (3.58) m dx ili formalno / vagy formálisan Ĥψ = Eψ (3.59) Jednačina 3.59 formalno liči na svojstvenu jednačinu matrice M, gde je λ svojstvena vrednost matrice M a x je svojstveni vektor matrice M koji odgovoara svojstvenoj vrednosti λ: A (3.59) egyenlet formálisan megfeleltethető egy mátrix sajátegyenletének, amelyben M a mátrix, λ a mátrix sajátértéke és x az M mátrix λ sajátértékének megfelelő sajátvektora. Mx = λx (3.6)

86 86 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMÉLET Matrici M odgovara Hamiltonov operator Ĥ, energija sistema/tela je svojstvena vrednost operatora Ĥ, a talasna funkcija je svojstveni vektor operatora Ĥ. Az M mátrix megfelelője a Hamilton operátor, a rendszer energiája a Hamilton operátor sajátértéke és a hullámfüggvény az operátor sajátértékének megfelelő sajátvektor. Bez ulaženja u detalje, možemo reći da vezanim stanjima sistema odgovara prebrojivo mnogo svojstvenih vrednosti (svojstvenih vektora) energije, koja su jednoznačno odredjena kvantnim brojevima. Nagy vonalakban kijelenthetjük, hogy a rendszer kötött állapotainak megszámlálhatóan sok energia sajátérték (sajátvektor) felel meg, ezeket egyértelműen meghatározzák a kvantumszámok. Posmatrajmo sistem u kome se kretanje vrši duž jedne, recimo x ose. Neka energiju sistema opisuje Hamiltonov operator Ĥ, neka njegove svojstvene vrednosti odredjene kvantnim broje(vi)m(a) n budu E n i neka su odgovarajući svojstveni vektori ψ n. Tada su očekivane vrednosti energije, koje su ujedno i svojstvene vrednosti Hamiltonovog operatora: Tekintsünk egy olyan rendszert amelyben a részecske egy, pl. az x tengely mentén mozoghat. Legyen Ĥ a rendszer energiáját meghatározó Hamiltonoperátor, E n annak n kvantumszámokkal meghatározott sajátértékei, és az annak megfelelő sajátvektorok pedig legyen ψ n. Ekkor a rendszer energiájának várható (egyben saját)értékei: E n = ψ n(x)ĥψ n(x)dx (3.61) Ukoliko su ψ 1 i ψ dva različita rešenja Šredingerove jednačine kojima odgovaraju dva različita fizička stanja posmatranog sistema, verovatnoća prelaza P sistema iz stanja 1 u stanje odredjeno je na sledeći način: Amennyiben ψ 1 és ψ a Schrödinger egyenlet két különböző megoldása amelyek a rendszer két különböző fizikai állapotát írják le, akkor P annak a valószínűsége, hogy a rendszer az 1-es állapotból átmenjen a -es állapotba, a következő módon határozható meg: Ukoliko je sistem u mešanom stanju, tj. P(1 ) = ψ1(x)ψ (x)dx (3.6)

87 3.5. ŠREDINGEROVA JEDNAČINA SCHRÖDINGER EGYENLET 87 Amennyiben a rendszer kevert allapotban van, vagyis m ψ(x) = α i ψ i (x) (3.63) i=1 gde su α koeficijenti mešanja, verovatnoća nalaženja sistema u čistom stanju n je α n. ahol az α-k a keverési együtthatók, akkor annak valószínűsége, hogy a rendszert az n.-dik tiszta állapotban találjuk α n. Prirodu uvedenih pojmova ćemo objasniti/približiti kroz primere. A továbbiakban a bevezetett fogalmakat, azok természetét példákon keresztül ismerjük meg Svojstvene vrednosti i svojstveni vektori Sajátértékek és sajátvektorok Ponovićemo nekoliko osnovhih pojmova vezanih za svojstvene vrednosti i svojstvene vektore. Neka je M matrica n n. Rešavanje svojstvenog problema matrice M je nalaženje svih (svojstvenih) vektora x i njima odgovarajućih (svojstvenih) vrednosti λ, tako da je zadovoljena svojstvena jednačina (3.64). Uslov koji matrica M mora da zadovolji da bi joj sve svojstvene vrednosti bile realne (tj. da odgovaraju merljivim fizičkim veličinama) je dat jednačinom (3.65). Megismétlünk néhány sajátértékekkel és sajátvektorokkal kapcsolatos tényt és fogalmat. Az M mátrix sajátproblémája azt jelenti, hogy meg kell találnunk az összes olyan x (saját)vektort es az összes olyan λ (saját)értéket, hogy igaz legyen a (3.64) sajátegyenlet. Ahhoz, hogy egy M mátrixnak az összes sajátértéke valós legyen (azaz, hogy azokat mérhető fizikai mennyiségeknek feleltethessük meg) a mátrixnak eleget kell tennie a (3.65) föltételnek. M x = λx (3.64) M,T = M (3.65) Rešavanje svojstvene jednačine je moguće predstaviti i na sledeći način, gde I označava jediničnu matricu. A sajátérték problémát a következőképpen lehet megoldani, ahol I az egységmátrixot jelöli. Mx = λx = λix (M λi)x = (3.66)

88 88 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMÉLET Gornji (homogeni) sistem ima netrivijalno rešenje 7 samo ako je determinanta sistema jednaka nuli, tj.: A fönti (homogén) egyenletrendszernek csak akkor van nemtriviális megoldása 8, ha a rendszer determinánsa nulla, azaz: det (M λi) = (3.67) Tako dobijamo polinom n-tog stepena po λ, i rešavanje svojstvene jednačine se svodi na traženje onih vrednosti λ za koje polinom ima vrednost. Így n-d foku polinomot kapunk λ-ra, és a sajátérték probléma megoldását visszavezettük azoknak a λ értékeknek a megtalálására, amelyekre a polinom értéket vesz föl. Jednačina (3.67) ima n rešenja, od kojih neka mogu biti jednaka. Ukoliko se neko rešenje javi više puta, kažemo da je ta svojstvena vrednost degenerisana, i to onoliko puta, koliko puta se ponavlja. U suprotnom slučaju kažemo da je svojstvena vrednost nedegenerisana. Nedegenerisanim svojstvenim vrednostima odgovaraju svojstveni vektori - tj. jednodimenzionalni vektorski prostori, a degenerisanim svojstvenim vrednostima svojstveni potprostori čija je dimenzija jednaka degeneraciji. Az (3.67) egyenletnek n megoldása van, ezek közül lehetnek egyenlőek is. Amennyiben egy megoldás többször fordul elő, azt mondjuk, hogy a megfelelő sajátérték elfajult, ahol az elfajulás foka az előfordulasok száma. Amenynyiben a megoldás csak egyszer fordul elő, azt mondjuk, hogy a sajátérték nemelfajult. A nemelfajult sajátértékeknek megfeleltethetők a sajátvektorok - azaz egydimenziós vektorterek, az elfajult sajátértékeknek pedig saját alterek felelnek meg, amelyek dimenziója egyenlő az elfajulás fokával. Posmatrajmo jednu nedegenerisanu svojstvenu vrednost λ i njoj pripadajući svojstveni vektor x λ. Sada možemo jednostavno da damo odgovor na pitanje: Šta je geometrijsko značenje svojstvene vrednosti i njoj odgovarajućeg svojstvenog vektora? Množenje svojstvenog vektora x λ matricom M odgovara množenju svojstvenog vektora skalarom! Svojstveni vektor množenjem ne menja svoj pravac, ali u zavisnosti od svojstvene vrednosti može da menja dužinu odnosno smer. Vegyünk egy elfajulatlan λ sajátértéket és az annak megfelelő x λ sajátvektort. 7 Homogeni sistem jednačina uvek ima trivijalno rešenje, ukoliko su sve nepoznate (koordinate) jednake nuli. 8 A homogén egyenletrendszernek triviális megoldása mindég van, ha az összes ismeretlen (koordináta) nulla.

89 3.5. ŠREDINGEROVA JEDNAČINA SCHRÖDINGER EGYENLET 89 Most egyszerűen megválaszolhatjuk a következő kérdést: Mi a sajátérték és a sajátvektor geometriai értelmezése? Az x λ vektor M-el való szorzása egy λ skalárral való szorzással egyenértékű! A mátrixszal való szorzás nem változtatja meg x λ irányát, hanem λ-tól függően megváltoztatja x λ hosszát, esetleg irányítását. U primenama je neobično važna sledeća činjenica: Svojstveni vektori koji odgovaraju različitim svojstvenim vrednostima su medjusobno normalni! Az alkalmazásokban rendkívül fontos a következő tény: Különböző sajátértékeknek megfelelő sajátvektorok merőlegesek egymásra! Uzmimo primer matrice, u kojoj su a, b, c, d realni ili brojevi. Vegyünk egy mátrixot, amelyben a, b, c, d valós, vagy komplex számok. M = [ a b ] c d Svojstvena jednačina matrice / A mátrix sajátegyenlete a λ c b d λ = (a λ)(d λ) bc (3.68) = λ (a + d)λ + ad bc = (3.69) Svojstvene vrednosti matrice/ A mátrix sajátértékei λ 1, = a + d ± (a + d) 4(ad bc) = a + d ± (a d) + 4bc (3.7) Primetimo, da su svojstvene vrednosti matrice (u skladu sa uslovom (3.65)) uvek realne ako važi b = c za realne brojeve, odnosno b = c za kompleksne brojeve. Vegyük észre, hogy a mátrix sajátértékei (a (3.65) föltétellel összhangban) mindég valósak amenyiben b = c valós számok esetén, illetve b = c komplex számok esetén. Svojstveni vektori / Sajátvektorok x λ = (x, y) T λ (3.71)

90 9 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMÉLET [ a b c d ] [ x y ax + by = λx cx + dy = λy (a λ)x + by = cx + (d λ)y = ] } } = λ [ x y ] (3.7) (3.73) + (3.74) (a + c λ)x + (b + d λ)y = (3.75) y = a + c λ b + d λ x (3.76) Jedno partikularno rešenje je npr.: Egy partikuláris megoldás pl.: x λ = b + d λ (3.77) y λ = (a + c λ) (3.78) Veza izmedju x i y koordinate vektora odredjuje pravu koja prolazi kroz koordinatni početak 9, koeficijent pravca prave je dat jednačinom (3.76). Sva netrivijalna rešenja dobijamo tako, da npr. x izaberemo potpuno proizvoljno, a y na osnovu relacije (3.76). Znamo, da su dve prave normalne, ukoliko im je proizvod koeficijenata pravca jednak -1. Proverimo koliki ugao zaklapaju dva svojstvena vektora matrice M, (3.79). Az x és y koordináták közötti kapcsolat alapján tudjuk, hogy az egy origón áthaladó egyenest határoz meg 1 melynek együtthatóját az (3.76) egyenlet határozza meg. Az egyenletrendszer nemtriviális megoldásait úgy kaphatjuk meg, hogy pl. x -et tetszőlegesen megválasztjuk, y-t pedig a (3.76) kapcsolat alapján. Tudjuk, hogy két egyenes akkor merőleges egymásra, ha az együtthatóik szorzata egyenlő 1-gyel. Ellenőrizzük, hogy az M mátrix két sajátvektora milyen szöget zár be, (3.79). λ 1 + λ = a + d λ 1 λ = ad bc 9 Jednačina prave u dve dimenzije je y = ax + b, gde je a koeficijent pravca, tj. a je tangens ugla koji prava zaklapa sa pozitivnim krajem x ose. Ukoliko je b =, prava prolazi kroz koordinatni početak. 1 Egy egyenes egyenlete két dimenzióban y = ax+b, ahol a az egyenes irányát határozza meg, vagyis annak a szögnek a tangensét, amelyet az egyenes az x tengely pozitív végével zár be. b = azt jelenti, hogy az egyenes az origón keresztül halad át.

91 3.5. ŠREDINGEROVA JEDNAČINA SCHRÖDINGER EGYENLET 91 ( a + c λ 1 b + d λ 1 ) ( ukoliko / amennyiben a + c λ ) b + d λ = λ 1λ (a + c)(λ 1 + λ ) + (a + c) λ 1 λ (b + d)(λ 1 + λ ) + (b + d) c(a + c b d) = b(b + d a c) = c (3.79) b a + c b d (3.8) Za vežbu slučaj b = c = razmotrite sami. Gyakorlatképpen vizsgálják meg a b = c = esetet. Nalazimo, da su svojstveni vektori normalni, ukoliko važi b = c ili u slučaju kompleksne matrice b = c i zahtev da dijagonalni elementi matrice budu realni, uz uslov (3.8). Normiranost talasne funkcije odgovara tome, da je dužina (izabranog) svojstvenog vektora jednaka 1. Amennyiben igaz, hogy b = c, vagy komplex mátrix esetén b = c, és a mátrix átlós elemei valósak, valamint igaz a (3.8) követelmény, akkor a két vektor egymásra merőleges. A hullámfüggvény normálása azzal egyenértékű, hogy a (kiválasztott) sajátvektor hossza 1. Primer / Példa Kvantni računari operišu kvantnim bitovima, koji su uopštenja klasičnih bitova. Kvantni računari su važni, pošto mnogo efikasnije rešavaju klase problema pred kojima su klasični računari praktično bespomoćni, odnosno postoje klase problema koje kvantni računari rešavaju neuporedivo brže od klasičnih računara. Ukoliko imamo kvantni sistem sa dva stanja, označimo ih sa ψ i ψ 1. Kvantni bit ψ (3.8) je stanje kvantnog sistema predstavljeno kao linearna kombinacija dva osnovna stanja, gde su α i β kompleksni brojevi, za koje važi uslov (3.81). Tačnije, to je fizička realizacija kvantnog bita. Ukoliko se ovaj pojam čini apstraktnim, razmislite koliko je apstraktna fizička realizacija jednog klasičnog bita. Kvantni bitovi se mogu uopštiti na kvantne ditove (3.83), koji su realizovani pomoću d različitih osnovnih stanja, sa koeficijentima koji zadovoljavaju uslov (3.84). A kvantumszámítógépek kvantum bittekkel operálnak, amelyek a klasszikus bitek általánosításai. A kvantum számítógépek azért fontosak, mert sokkal hatékonyabban bírkóznak meg olyan feladatokkal, amelyekkel a klasszikus számítógépek nem tudnak, illetve vanak olyan probléma osztályok, amelyeket a klasszikus számítógépeknél nagyságrendekkel gyorsabban oldanak meg. Amennyiben két állapotú rendszerrel van dolgunk, annak alapállapotait jelöljük ψ val és ψ 1 el. Egy ψ kvantum bit a két alapállapot olyan lineáris

92 9 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMÉLET kombinációja (3.8), amelynél az együtthatókra teljesül a (3.81) föltétel. Pontosabban ez a kvantum bit fizikai megvalósítása. Amennyiben ez a fogalom apsztraktnak tűnik, gondolkozzanak el azon, hogy mennyire apsztrakt egy klasszikus bit fizikai megvalósítása. A kvantum bitek kvantum ditekké általánosíthatók (3.83), amelyeket egy kvantum rendszer d egymástól független alapállapotával valósítunk meg. Ekkor a lineáris kombináció együtthatói kielégítik a (3.84) föltételt. α + β = 1 (3.81) ψ = αψ + βψ 1 (3.8) d ψ = α k ψ k (3.83) k= d α k = 1 (3.84) k= Primer: Slobodna čestica / Példa: Szabad részecske Slobodna čestica (u jednoj dimenziji) / szabad részecske (egy dimenzióban) x (, ), Nema interakcije / nincs kölcsönhatás U = h ψ = Eψ (3.85) m x h / ψ m x + Eψ = m h (3.86) ψ x + me } h {{ ψ = (3.87) } k E = h k m (3.88) ψ x + k ψ = (3.89) ψ(x) = 3 A exp (ikx) + B exp ( ikx) (3.9) ( Ψ(x, t) = 3.55 exp i Et ) ψ(x) h = A exp ( i(ωt kx)) + B exp ( i(ωt + kx)) (3.91)

93 3.5. ŠREDINGEROVA JEDNAČINA SCHRÖDINGER EGYENLET 93 Kao rešenje dobijamo superpoziciju dva ravna talasa koji se kreću u suprotnim smerovima duž x ose. Primetimo da nemamo nikakvo ograničenje na energiju koju slobodna čestica može da ima. A megoldás két, az x tengely mentén ellentétes irányban haladó síkhullám szuperpozíciója. Vegyük észre, hogy a szabad részecske energiájára nincs semmiféle korlátozás Primer: Slobodna čestica u kutiji / Példa: Bedobozolt szabad részecske Čestica je i dalje slobodna, ali ne može da se kreće duž cele x ose, nego samo unutar intervala [ a, a], tj. imamo neprobojne zidove na granicama intervala. (I dalje) Važe jednačine ( ) i granični uslov: A részecske továbbra is szabad, de nem mozoghat az egész x tengelyen, hanem csak az [ a, a] intervallumon belül, azaz az intervallum határain a részecske számára áthatolhatatlan falak vannak. (Továbbra is) Érvényesek a ( ) egyenletek és a határföltétel: Detaljnije / részletesebben ψ( a) = ψ(a) = (3.9) A exp (ika) + B exp ( ika) = A exp ( ika) + B exp (ika) = } (3.93) Iz prethodnog sistema jednačina želimo da odredimo amplitude A i B. Az előző egyenletrendszerből meg akarjuk határozni az A és B amplitúdókat. Uslov postojanja netrivijalnih amplituda A i B je postojanje netrivijalnog rešenja homogenog sistema jednačina. Nemtriviális A és B amplitúdók létezésének föltétele egy homogén egyenletrendszer nemtriviális megoldásának létezésével egyenértékű. exp (ika) exp ( ika) exp ( ika) exp (ika) = (3.94) exp (ika) exp ( ika) = 7 i sin ka = (3.95)

94 94 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMÉLET (3.95) ka = nπ k = nπ a (3.96) π h E = am n (3.97) Uvrstimo k iz (3.96) u (3.9). U nekoliko koraka dolazimo do veze izmedju amplituda i kvantnog broja n. (3.96)-ból helyettesítsük be k-t (3.9)-be. Néhány lépésben megkapjuk az amplitúdók és az n kvantumszám közötti kapcsolatot. mivel pošto in, (3.98) Uvrstimo rezultat (3.99) u (3.9). (3.99)-ból helyettesítsünk be (3.9)-be. ( ψ(x) = A exp i nπ = = ( A exp i nπ ) ( a a + B exp i nπ ) a a = ( A exp i nπ ) ( + B exp i nπ ) = ( A exp i π ) n ( + B exp i π ) n = Ai n + B( i) n = i n (A + B( 1) n ) = (3.98) { A = B, n = m A = B, n = m + 1 ) ( a x + B exp i nπ ) a x A ( exp ( i nπ a x) exp ( i nπ a x)) n = m A ( exp ( i nπ a x) + exp ( i nπ a x)) n = m + 1 ia sin ( nπ a x) n = m A cos ( nπ a x) n = m + 1 (3.99) (3.1) Iz uslova normiranja talasne funkcije (3.36) može se odrediti konstanta A. A hullámfüggvény normálási (3.36) föltételéből meghatározható az A állandó. Na primer / Például: a ( ) nπ 4A cos a a x dx = 1

95 3.5. ŠREDINGEROVA JEDNAČINA SCHRÖDINGER EGYENLET 95 a a A = cos ( nπ a x ) dx = (5) a = A = 1 ( a nπ a cos a x) dx a 1 ( 1 nπ ) cos() + cos } {{ } a x dx =1 1 a + a ( ) nπx nπ sin a a a = a } {{ } = 1 a Konačni oblik parnih i neparnih talasnih funkcija je: A páros és páratlan hullámfüggvények végső alakja tehát: (3.11) ψ(x) = 1 a sin ( nπ a x) n = m 1 a cos ( nπ a x) n = m + 1 (3.1) Dobijeni rezultat je kvantni analogon treperenja strune čiji su krajevi fiksirani. Ako struna treperi, na njoj se formirao stojeći talas. Struna može da treperi samo na odredjenim frekvencijama / talasnim dužinama, i to takvim, da na dužini strune može da stane samo celobrojni umnožak polovine talasne dužine stojećeg talasa. A kapott eredmény a rögzített végű rezgő húr kvantum megfelelője. Ha a húr rezeg, akkor rajta egy állóhullám alakult ki. A húr csak bizonyos frekvenciákon - hullámhosszakon rezeghet, a húr hossza csak a fél hullámhossz egész számú többszöröse lehet. U slučaju dvodimenzionalne slobodne čestice zatvorene u pravougaonu oblast stranica a i b rešavanje Šredingerove jednačine je potpuno identično jednodimenzionalnom slučaju. Pošto je kretanje duž x ose potpuno nezavisno od kretanja duž y ose, rešenje se može svesti na jednodimenzionalni slučaj, uz opasku: Kétdimenziós, téglalap alakú, a és b oldalú tartománybe zárt szabad részecske Schrödinger egyenletét az egydimenziós esettel teljesen analóg módon lehet megoldani. Mivel az x tengely menti mozgás független az y tengely menti mozgástól, a megoldás visszavezethető az egydimenziós esetre, a következő

96 96 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMÉLET tények figyelembevételével: E = h k (3.13) m k = kx + ky (3.14) k x = n xπ (3.15) a k y = n yπ (3.16) b Pošto je rešenje Šredingerove jednačine odredjeno sa dva kvantna broja (n x, n y ), razlikujemo sledeća četiri slučaja: (paran, paran), (paran, neparan), (neparan, paran), (neparan, neparan). Mivel a Schrödinger egyenlet megoldását két kvantumszám határozza meg, (n x, n y ), a következő négy esetet különböztetjük meg: (páros, páros), (páros, páratlan), (páratlan, páros), (páratlan, páratlan). Na seldeće tri slike 3.8 su prikazane gustine verovatnoća za rešenja odredjena kvantnim brojevima (1, 1), (1, ) i (, ). Stranice pravougaonika su a = 1 i b =. A következő három ábrán 3.8 az (1, 1), (1, ) és (, ) kvantumszámoknak megfelelő valószínűség sűrűségfüggvények vannak ábrázolva, a téglalap oldalai a = 1 és b =. Vidimo da n x broji grbe, tj. maksimume duž x ose, a n y broji maksimume duž y ose. Dokažite! Látjuk, hogy n x az x tengely menti púpokat azaz a maximumokat számlálja, hasonlóképpen n y az y tengely menti maximumokat számlálja. Bizonyítsák be! Zadatak / Föladat Ako skalarni proizvod dve funkcije definišemo kao odredjeni integral njihovog proizvoda na intervalu [ a, a], (3.17) koristeći relacije (4, 5, 6) proverite da li su talasne funkcije date jednačinom (3.1) normalne jedne na druge. Rezultate uporedite sa odeljkom Amennyiben két függvény skalárszozatát úgy definiáljuk mint a szorzatuk határozott integrálját a [ a, a] intervallumon, (3.17), az (4, 5, 6) összefüggéseket kihasználva ellenőrizze, egymással milyen szöget zárnak be a (3.1) egyenletben meghatározott hullámfüggvények. Vesse össze az eredményeket a fejezettel. ψ 1 ψ = ψ 1, ψ = a a ψ 1 (x)ψ (x)dx (3.17)

97 3.5. ŠREDINGEROVA JEDNAČINA SCHRÖDINGER EGYENLET y y x.5 x y x.5 1 Figure 3.8: ψ 1,1 (x, y), ψ 1, (x, y), ψ, (x, y)

98 98 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMÉLET Matrični elementi operatora / Operátor mátrixelemei Kako izgleda operator (matrica) koja opisuje položaj slobodne čestice? Matrične elemente nalazimo na osnovu definicije (3.37). x m,n = = a a ψ m (x)xψ n (x)dx (3.18) 1 a a a sin ( mπ a x) x sin ( nπ a x) dx ; m, n parno páros 1 a a a cos ( mπ a x) x cos ( nπ a x) dx ; m, n neparno páratlan 1 a a a sin ( mπ a x) x cos ( nπ a x) dx ; m parno páros, n neparno (3.19) páratlan 1 a a a cos ( mπ a x) x sin ( nπ a x) dx ; m neparno páratlan, n parno páros 3.6 Hajzenbergove relacije neodredjenosti Heisenberg határozatlansági relációi U kvantnoj mehanici merenje neke fizičke veličine uvek menja vrednost merene ili neke druge fizičke veličine. Ovaj efekat ne može da se zanemari i nije vezan za tehničke poteškoće niti za nesavršenost mernog aparata, nego je inherentna osobina kvantno-mehaničkih veličina. Sličnu pojavu imamo i u klasičnoj fizici 11, ali se u slučaju merenja klasičnih veličina ovaj efekat može učiniti proizvoljno malim, dok u slučaju kvantno-mehaničkih veličina to nije moguće. Precizna formulacija ovih činjenica rezultuje u Hajzenbergovim relacijama neodredjenosti. Kvantum-mechanikában egy fizikai mennyiség mérése mindég megváltoztatja annak vagy egy másik fizikai mennyiségnek az értékét. Ez a jelenség nem elhanyagolható és nem kapcsolódik méréstechnikai nehézségekhez vagy a mérőberendezés tökéletlenségéhez, hanem a kvantum-mechanikai mennyiségek a- laptulajdonsága. Hasonló jelenséggel találkozhatunk a klasszikus fizikában is 1. Míg a klasszikus esetben ez az effektus elvileg tetszőlegesen kicsivé 11 Pomislite na termometar, koji pre početka merenja npr. ima višu temperaturu od temperature sredine koju meri. Merenjem temperature u ovom slučaju ujedno i povisujemo temperaturu merene sredine. 1 Gondoljunk pl. arra a hőmérőre, amelynek a hőmérséklete a mérés kezdetén magasabb mint annak a közegnek a hőmérséklete, amely közeg hőmérsékletét mérjük. Ebben az

99 3.6. HAJZENBERGOVE RELACIJE / HEISENBERG-RELÁCIÓK 99 tehető, addig kvantum-mechanikai esetben ez nem lehetséges. Ezeknek a tényeknek a pontos megfogalmazása eredményezi Heisenberg határozatlansági relációit.  je (apsolutna) greška merenja operatora Â.  az  operátor (abszolút) mérési hibája.  =   (3.11) Primetimo da izraz (3.11) daje očekivanu vrednost odstupanja od očekivane vrednosti. Vegyük észre, hogy a (3.11) kifejezés a várható értéktől való eltérés várható értéke. Komutator operatora  i ˆB je /  és ˆB operátorok kommutátora [Â, ˆB] =  ˆB ˆB (3.111) Primetimo da za komutator važe sledeće jednakosti: Vegyük észre a kovetkező komutátorra vonatkozó egyenlőségeket: [Â, Â] = (3.11) [Â, ˆB] = [ ˆB, Â] (3.113) Opšti oblik Hajzenbergove relacije neodredjenosti glasi, (3.114): A Heisenberg határozatlansági reláció általános alakja, (3.114):  ˆB 1 [Â, ˆB] (3.114) Dve fizičke veličine je moguće istovremeno meriti sa proizvoljnom tačnošću samo ukoliko ime je komutator jednak nuli. U suprotnom slučaju povećanje tačnosti merenja jedne veličine uzrokuje smanjenje tačnosti merenja druge veličine. Ova pojava je povezana s činjenicom da komutator meri nezavisnot fizičkih veličina. Nezavisne fizičke veličine je moguće istovremeno meriti sa proizvoljnom tačnošću, dok u slučaju zavisnih fizičkih veličina to nije moguće. Két fizikai mennyiséget egyidejűleg tetszőleges pontosságal csak akkor lehet mérni, ha a kommutátoruk nulla. Ellenkező esetben az egyik fizikai menynyiség mérési pontosságának a növelése a másik fizikai mennyiség mérési pontosságának a csökkenését eredményezi. Ez a jelenség azzal függ össze, esetben mérésünkkel megemeljuk a közeg hőmérsékletét.

100 1 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMÉLET hogy a kommutátor azt fejezi ki, mennyire függetlenek egymástól a fizikai mennyiségek. Független fizikai mennyiségeket egyidejüleg tetszőleges pontosságal lehet mérni, egymástól függő mennyiségeket pedig nem. Postoji i relacija neodredjenosti energije i vremena (3.115) koja je formalno slična, ali je priroda te relacije vrlo različita od relacije (3.114), iz prostog razloga što ne postoji kvantno-mehanička veličina 13 koja odgovara klasičnom pojmu vremena. Relaciju (3.115) interpretiramo na sledeći način: greška merenja energije sistema je povezana sa tačnošću kojom poznajemo ono vreme, koje sistem provede u datom stanju. Manja greška u merenju energije zahteva da vreme koje sistem provede u datom stanju bude duže. U graničnom slučaju, merenje bez greške zahteva da sistem u nekom stanju provede beskonačno dugo vremena, i da isto toliko dugo traje i merenje e- nergije. To npr. znači da je merenje energije nestabilnih - kratkoživućih stanja moguće samo uz (pricnipijelno!) ograničenje tačnosti merenja. Létezik az energia-idő határozatlansági reláció is (3.115), amely formálisan nagyon hasonlít a már ismertetett (3.114) határozatlansági relációra, viszont ez a határozatlansági relácio teljesen más jellegű, annál az egyszerű oknál fogva, hogy a klasszikus idő fogalmának nem feleltethető meg valamilyen kvantum-mechanikai változó. Adjuk meg a (3.115) reláció egy lehetséges értelmezését. Egy rendszer energiájának mérési pontossága összefügg annak az időnek a mérési pontosságával, amely ideig a rendszer az adott energiájú állapotban van. Az energia pontosabb mérése akkor lehetséges, amikor az adott állapotban eltöltött idő hosszabb. Határesetben, az energia pontos mérése azt követeli meg, hogy a rendszer végtelen ideig tartózkodjon az adott állapotban, és ezzel együtt a mérés is végtelen ideig tart. Ez. pl. azt jelenti, hogy a rövid életű-instabil állapotok energiája (elvileg is!) csak véges pontossággal mérhető. E t h (3.115) Prethodna relacija se može napisati i u obliku koji još više podseća na relaciju (3.114) na sledeći način. Neka je ˆB fizička veličina koja zavisi od vremena, ˆB d ˆB njena vremenski zavisna greška, i neka je brzina promene vremenski zavisne greške. Relacija neodredjenosti energije i vremenske zavisnosti dt veličine ˆB je: Az előző összefüggést következőképpen lehet fölírni olyan alakban, amely még 13 tačnije formulisano: opservabla

101 3.6. HAJZENBERGOVE RELACIJE / HEISENBERG-RELÁCIÓK 11 jobban emlékeztet az eredeti (3.114) összefüggésre. Legyen ˆB egy időfüggő fizikai mennyiség, ˆB d ˆB annak időfüggő mérési hibája és az a sebesség, dt amellyel a mérési hiba változik. Ekkor az energia és ˆB időfüggésének határozatlansági relációja: E ˆB d ˆB dt h E ˆB 1 hd ˆB dt (3.116) = 1 [Ĥ, ˆB] 1 [Ĥ, ˆB] (3.117) Primetimo da ovako formulisana relacija neodredjenosti energije i vremena ne zavisi eksplicitno od vremena! Vegyuk észre, hogy az így megfogalmazott energia-idő határozatlansági reláció nem függ explicit módon az időtől! Naizgled uznemiravajuću činjenicu da je mogućnost za tačna merenja minimalna, kvantna mehanika u primenama može da preokrene u nevidjenu prednost. Npr. rad kvantnih računara je duboko povezan sa merenjem kvantnomehaničkih veličina i sa fenomenima opisivim relacijama neodredjenosti. Abból a látszólagosan nyugalanító tényből, hogy a pontos mérések megvalósításának lehetősége gyakorlatilag minimális, a kvantummechanika alkalmazásaiban hihetetlen előnyt lehet kovácsolni. Pl. a kvantumszámítógépek működése mélyen összefügg a kvantummechanikai mérésekkel, ezzel együtt azokkal a jelenségekkel is, amelyeket a határozatlansági relációk fejeznek ki. Slične nejednakosti postoje i drugde, npr. u teoriji informacija ili u obradi signala, gde na primer znamo da nije moguće istovremeno imati podjednako dobru rezolucija signala u vremenu, odnosno po frekvenciji. Hasonló egyenlőtlenségek más területeken is léteznek, pl. az információelméletben vagy a jelfeldogozásban, ahol tudjuk, hogy egy jelben lehetetlen egyszerre elérni a jó időbeli- és frekvenciabeli fölbontást. Izračunajmo komutator operatora ˆx i ˆp x. Számoljuk ki ˆx és ˆp x kommutátorát. [ˆx, ˆp x ]Ψ = ( ˆx(ˆp x Ψ) ˆp x (ˆxΨ) = ˆx i h Ψ ) ˆp x (xψ) x } {{ } } {{ }

102 1 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMÉLET = i h x Ψ ( + i h Ψ + x Ψ ) = i hψ (3.118) } {{ x} x } {{ } ,3.43 Iz (3.114) i (3.118) sledi da je nemoguće istovremeno izmeriti sa proizvoljnom tačnošću položaj i impuls čestice/kvantnog sistema. (3.114)-ből és (3.118)-ből következik, hogy lehetetlen egyszerre, tetszőleges pontossággal megmérni egy részecske/vagy kvantum rendszer helyzetét és impulzusát. [ˆx, ˆp x ] = [ŷ, ˆp y ] = [ẑ, ˆp z ] = i h (3.119) [ˆx, ŷ] = [ˆx, ẑ] = [ŷ, ẑ] = (3.1) [ˆp x, ˆp y ] = [ˆp x, ˆp z ] = [ˆp y, ˆp z ] = (3.11) [ˆx j, ˆp k ] = i h δ j,k15 (3.1) ˆx j ˆp k h δ j,k (3.13) Primer / Példa Odredimo rad koji je potrebno uložiti da bi se slobodna čestica lokalizovala unutar inervala dužine x. Határozzuk meg azt a munkát amelyet ahhoz kell befektetni, hogy egy szabad részecskét x hosszúságú intervallumba zárjunk. A = E k = p m, x p h p h x, p p E k ( ) h x m = h (3.14) 8m( x) Operator momenta impulsa Impuzusmomentum operátor Operator momenta impulsa se definiše analogno klasičnom momentu impulsa: Az impulzusmomentum operátort a klasszikus impulzus momentummal analóg

103 3.6. HAJZENBERGOVE RELACIJE / HEISENBERG-RELÁCIÓK 13 módon definiáljuk: ˆ L = ˆ r ˆ p = (ˆx, ŷ, ẑ) = ( ( i h x, i h y, i h ) z = (ˆLx, ˆL y, ˆL z ) (3.15) y i h z z i h y, z i h x x i h z, x i h y y i h x ) (3.16) Izraz (3.16) uporedite sa klasičnim izrazom za moment impulsa. Hasonlítsa össze (3.16)-t az impulzus-momentum klasszikus alakjával. Za operator momenta impulsa važe sledeće komutacione relacije (proverite!): Az impulzusmomentum operátorra igazak a következő kommutációs relációk (ellenőrizze azokat!): [ˆLi, ˆL j ] = i hɛ i,j,k16 ˆLk (3.17) Na osnovu (3.17) i (3.114) zaključujemo da je nemoguće istovremeno izmeriti sve komponente momenta impulsa sa proizvoljnom tačnošću. (3.17) és (3.114) alapján arra következtetünk, hogy lehetetlen egyszerre megmérni az impulzusmomentum mindhárom komponensét. Može se (lako) dokazati, da kvadrat momenta impulsa L ˆ = ˆL x + ˆL y + ˆL z komutira sa bilo kojom projekcijom momenta impulsa (dokažite!). (Könnyen) bebizonyítható, hogy az impulzus momentum operátor négyzete ˆ L = ˆL x + ˆL y + ˆL z kommutál az impulzumomentum bármelyik vetületével (bizonyítsa be!). [ ˆ L, ˆL z ] = (3.18) Na osnovu (3.18) zaključujemo da je moguće istovremeno izmeriti kvadrat intenziteta vektora momenta impulsa i jednu njegovu projekciju sa proizvoljnom tačnošću. (3.18) alapján arra következtetünk, hogy lehetséges az impulzusmomentum négyzetének és egy vetületének az egyidejű, tetszőleges pontosságú mérése. Mogu se dokazati sledeće dve jednakosti. Bebizonyítható a következő egyenlőségpár. ˆ L ψ = l(l + 1) h ψ, l =, 1,,... (3.19) ˆL z ψ = m hψ, m = l, l + 1,..., 1,, 1,... l 1, l (3.13)

104 14 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMÉLET l je orbitalni, a m magnetni kvantni broj. l az orbitális, m pedig a maǵneses kvantum szám. Uporedite (3.3) i (3.19), ove dve jednačine se ne slažu. Bor nije bio u pravu kada je pretpostavio da je intenzitet momenta impulsa celobrojni umnožak od h. Za velike vrednosti orbitalnog kvantnog broja dve vrednosti se približno slažu, ali za male vrednosti ne, l(l + 1) l. Hasonlítsa össze (3.3)-t és (3.19)-t, a két egyenlet nem egyezik egymással. Bornak nem volt igaza, amikor azt föltételezte, hogy az impulzusmomentum h-nak az egész számú többszöröse. Az orbitális kvantumszám nagy értékeire a két kifejezés közelítőleg egyenlő, de l kis értékei esetén nem, l(l + 1) l Kvantni rotator Kvantum rotátor Kinetička energija rotacije u klasičnoj fizici iznosi: Klasszikus fizikában a forgómozgás kinetikus energiája: E k = Iω (3.131) gde I označava moment inercije a ω ugaonu brzinu. ahol I a tehetetlenségi momentum és ω a szögsebesség. Pošto ugaona brzina nema smisla u kvantnoj mehanici, potrebno je na drugačiji nacin izraziti kinetičku energiju rotacije. Mivel a szögsebesség kvanummechanikában értelmeltlen fogalom, másképpen kell kifejezni a forgómozgás energiáját. E k = Iω I I = I ω I =L = ( {}}{ Iω) I = L I (3.13) gde L označava moment impulsa. ahol L az impulzusmomentumot jelöli. Znači da je operator kinetičke energije u slučaju rotacionog kretanja jednak: Tehát a kinetikus energia operátora forgómozgás esetén: Ê k = ˆ L I (3.133)

105 3.6. HAJZENBERGOVE RELACIJE / HEISENBERG-RELÁCIÓK 15 Stacionarna Šredingerova jednačina koja opisuje kvantni rotator je: A kvantum rotátor stacionáris Schrödinger egyenlete: ˆ L ψ = Eψ (3.134) I Jednačina (3.134) se rešava prelaskom na sferne koordinate. A (3.134)-s egyenletet kézenfekvő gömbi koordinátákban megoldani. Prostorna rotacija je opisiva sa dva ugla, φ i θ. A térbeli forgás két szöggel írható le, φ-vel és θ-val. Kinetičku energiju rotacije izražava sledeći operator: A forgómozgás energiáját a következő operátorral fejezhetjük ki: Ĥ = h I ( 1 sin θ θ ( sin θ θ ) + 1 ) sin θ φ (3.135) Znajući (3.19) i (3.13) Šredingerova jednačina kvantnog rotatora glasi: Ismervén (3.19)-t és (3.13)-t a kvantum pörgetyű Schrödinger egyenlete: h I ( 1 sin θ ( sin θ ) + 1 θ θ sin θ ) ψ = Eψ (3.136) φ Energiju kvantnog rotatora dobijamo prostim uporedjivanjem: A kvantum pörgetyű energiája egyszerű összehasonlítással adódik: E l = h l(l + 1) (3.137) I Rešenja jednačine (3.136) zovu se sferni harmonici, u oznaci Yl m (θ, φ) i klasifikuju se pomoću orbitalnog i magnetnog kvantnog broja. A (3.136)-s egyenlet megoldásait gömbharmonikus függvényeknek hívjuk és Yl m (θ, φ)-vel jelöljük, és az orbitális és mágneses kvantum számokkal osztályozhatók. Y m l (θ, φ) = l + 1 (l m)! 4π (l + m)! exp(imφ)p l m (cos θ) (3.138) Funkcija Pl m za negativne vrednosti orbitalnog kvantnog broja m se računa na sledeći način:

106 16 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMÉLET A Pl m függvényt negatív mágneses kvantum szám esetén a következőképpen számoljuk: Pl m m (l m)! (x) = ( 1) (l + m)! P l m (x) (3.139) Navodimo nekoliko prvih sfernih harmonika: Fölsorolunk néhány gömbharmonikust: P = 1 (3.14) P 1 = cos θ (3.141) P 1 1 = sin θ (3.14) P = 1 (3 cos θ 1) (3.143) P 1 = 3 sin θ cos θ (3.144) P = 3 sin θ (3.145) [4], [8] Na slikama 3.9, 3.1. prikazujemo primere sfernih harmonika za vrednost l = 4 orbitalnog kvantnog broja, i za vrednosti m = ± magnetnog kvantnog broja. A (3.9, 3.1).-as ábrákon bemutatjuk az l = 4 orbitális kvantumszámú és m = ± mágneses kvantumszámú gömbfüggvényeket. Y4 m (φ, θ) = π exp(imφ)( cos (θ)) sin (θ) (3.146) z x y.15 z y x Figure 3.9: Y m 4, Re (Y 4 ).

107 3.7. KVANTNA I KLASIČNA FIZIKA / KVANTUM ÉS KLASSZIKUS FIZIKA z x y z x y Figure 3.1: Im (Y4 ), Im ( ) Y Veza izmedju kvantne i klasične fizike A kvantum és klasszikus fizika közötti kapcsolat Dokazaćemo da iz kvantne mehanike sledi da drugi Njutnov zakon važi za usrednjene veličine. Bebizonyítjuk, hogy a kvantum mechanikaból következik Newton második törvénye az átlagolt mennyiségekre. Znamo, da za tela nepromenljive mase važi m a = d p, odnosno, da potencijalne sile možemo napisati preko gradijenta potencijalne energije dt F = ( U, U, ) U x y z. Tudjuk, hogy az állando tömegű testek esetében m a = d p, illetve azt is dt tudjuk, hogy a potenciálos erőket felírhatjuk mint a helyzeti energia gradiensét F = ( U, U, ) U x y z. Primetimo sledeću važnu činjenicu. Ako talasna funkcija zadovoljava Šredingerovu jednačinu Vegyük észre a következő fontos tényt. Ha a hullámfüggvény kielégíti a Schrödinger egyenletet Ψ(x, t) ĤΨ(x, t) = i h t (3.147) onda transponovanjem i kompleksnim konjugovanjem sledi, da kompleksno konjugovana talasna funkcija Ψ zadovoljava sledeću jednačinu: akkor transzponálással és komplex konjugálással belátjuk, hogy Ψ, a komplex konjugált hullámfüggvény a következő egyenletet elégíti ki: Ψ (x, t)ĥ = i h Ψ (x, t) t (3.148)

108 18 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMÉLET Neka je Â+ = (A ) T = (A T ). Iskoristili smo (bez dokaza) činjenicu, da važi: Legyen Â+ = (A ) T = (A T ). Bizonyítás nélkül használtuk fel a következő tényt: Ĥ + = Ĥ (3.149) Znači, drugi Njutnov zakon možemo da napišemo u sledećem obliku: Tehát, Newton második törvényét felírhatjuk a következő alakban: m a = F d p ( U dt = x, U y, U ) = U (3.15) z Primetimo da: Vegyük észre, hogy: tˆ p Û (3.151) Znači, da ne postoji (formalna) veza medju veličinama opisivim Šredingerovom jednačinom i kao u slučaju veličina opisivih drugim Njutnovim zakonom u klasičnoj fizici. Vagyis, nincs olyan (formális) kapcsolat a Schrödinger-egyenlet által leírt mennyiségek között amely megfeleltethető lenne Newton második törvénye által szolgáltatott kapcsolathoz a klasszikus mennyiségek között. Dokažimo sledeću relaciju izmedju srednjih veličina: Bizonyítsuk be, hogy az átlagos értékek között igaz a következő kapcsolat: ˆ p = Û (3.15) t Znači, da klasična jednačina kretanja važi za usrednjene veličine, tj. klasična fizika važi u srednjem. Tehát, a klasszikus mozgásegyenlet az átlagolt mennyiségekre igaz, vagyis a klasszikus fizika átlagban igaz. Da se ne bismo izgubili u matematičkoj notaciji dokaz ćemo izvesti za slučaj jednodimenzionalnog sistema. Za trodimenzionalni slučaj dokaz je potpuno analogan. Hogy ne vesszünk el a matematikai jelölésekben, a bizonyítást egydimenziós rendszer esetében végezzük el. Háromdimenziós rendszer esetében a bizonyítas teljesen analóg módon végezhető el. dˆ p = ˆ p dt t = x t ˆp x = Ψ (x, t)ˆp x Ψ(x, t)dx t x

109 3.7. KVANTNA I KLASIČNA FIZIKA / KVANTUM ÉS KLASSZIKUS FIZIKA19 = Ψ (x, t) i h (Ψ(x, t)) dx t } {{ x} =ˆp x Zarad preglednosti umesto Ψ(x, t) pisaćemo Ψ. Az áttekinthetőség kedvéért Ψ(x, t) helyett Ψ-t írunk. ( Ψ = t i h Ψ x + ( Ψ i h Ψ )) dx t x ( ) ( ) = i h Ψ Ψ + Ψ ( i h Ψ ) dx t x x t } {{ } } {{ } = = ĤΨ =ĤΨ ( ( = ĤΨ ) Ψ x + (ĤΨ ) ) Ψ dx x = Ψ ĤΨ ( (ĤΨ ) ( ) ) Ψ Ψ } {{ } x + ĤΨ dx x = (( h m Ψ x + UΨ ) Ψ x + ( Ψ x ) ( h )) Ψ m x + UΨ dx

110 11 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMÉLET

111 Chapter 4 Radioaktivni raspad Radióaktív bomlás 4.1 Elementarne činjenice o strukturi materije Elemi tények az anyagszerkezetéről Zavisno od skale na kojoj posmatramo materiju, možemo smarati da se ona na malim skalama organizuje u molekule, atome, odnosno elementarne čestice. Dimenzije atoma su reda veličine 1 1 m, red veličine masa ime je u rasponu od 1 7 kg do 1 5 kg. Najmanji po veličini je atom vodonika, sa povećanjem rednog broja elementa (broj protona u jezgru i/ili broj elektrona u elektronskom omotaču) razmere atoma rastu. Atom možemo grubo opisati kao sferu koja ima razlivenu površinu, tj. ne postoji oštra granica koja deli atom od njegove okoline 1. Atom je električno neutralan, tj. sadrži istu količinu pozitivnog i negativnog električnog naboja. Atom ima svoju strukturu, koju čine elektronski omotač i atomsko jezgro. Atomska fizika proučava elektronski omotač, dok nuklearna fizika proučava atomsko jezgro. Attól fügően, hogy milyen skálán vizsgálódunk, azt mondhatjuk, hogy kis léptékben az anyag molekulákba, atomokba, illetve elemi részecskékbe szerveződik. Az atomi méretek nagyságrendje 1 1 m, az atomi tömegek 1 Nešto slično postoj i u svakodnevnom iskustvu, gledano iz daljine znamo gde se nalazi oblak, kako mu se približavamo granica oblaka postaje sve neodredjenija. 111

112 11 CHAPTER 4. RADIOAKTIVNI RASPAD RADIÓAKTÍV BOMLÁS nagyságrendje 1 7 kg-tól 1 5 kg-ig terjed. Legkisebb méretű a hidrogénatom, az elem rendszámának (protonok száma az atommagban, vagy az elektronok száma az elektron burokban) növelésével az atom mérete is növekszik. Az atomot durván ugy lehet leírni mint egy elmosódott peremű gömböt, azaz nem létezik éles határ amely elválasztaná az atomot annak környezetétől. Az atom elektromosan semleges, azaz ugyanolyan mennyiségű pozitív ill. negatív elektromos töltéssel rendelkezik. Az atom szerkezetét az elektron burok és az atommag képzik. Az atomfizika az elektron burkot, a magfizika pedig az atommagot tanulmányozza. Postoji velik broj reakcija koje mogu da se odigraju u atomskom jezgru. Uslovno možemo reći da reakcije koje zovemo radioaktivni raspad čine jednu podgrupu nuklearnih reakcija koje se spontano odvijaju. Az atommagban nagyszámú reakció mehet végbe. Föltételesen állíthatjuk, hogy a rádióaktív bomlás az ilyen reakciók részhalmazát alkotják, mégpedig azt, amelyben a reakciók spontán módon mennek végbe. 4. Elementarne činjenice o atomskom jezgru. Elemi tények az atommagról Atomsko jezgro je neverovatno malo u odnosu na veličinu atoma (od m za jezgro vodonika do otprilike m za jezgro urana) i sadrži praktično ukupnu masu atoma, što povlači za sobom činjenicu da je atomsko jezgro izuzetno gusto ( kg ). U jezgru ima više vrsta čestica, m 3 za nas su najvažnije dve, pozitivno naelektrisani proton i eletrično neutralni neutron. Protone i neutrone zbirnim imenom zovemo nukleoni. U atomskom jezgru se znači na veoma malom rastojanju nalaze brojna istoimena naelektrisanja. Pošto medju njima deluje neverovatno jaka odbojna Kulonova sila, jezgro drži na okupu interakcija koja je jača od ovog odbojnog medjudejstva, i ta interakcija je šta više u stanju da drži na okupu i električno neutralne neutrone. Tu interakciju zovemo jakom nuklearnom interakcijom. Masa elektrona je otprilike (tačnije 1836) puta manja od mase pro- Valami hasonló létezik a mindennapi tapasztalunkban is. Pl. messziről nézve tudjuk, hogy hol van egy felhő, viszont ahogyan közeledünk egyre bizonytalanabbá válik a felhő határa.

113 4.. O ATOMSKOM JEZGRU. AZ ATOMMAGRÓL 113 tona ( (74) 1 7 kg), i iznosi (4) 1 31 kg dok su mase neutrona i protona otprilike iste, s opaskom da je masa neutrona ( (74) 1 7 kg) malo veća od mase neutrona. Elementarni naboj elektrona je negativan, a protona pozitivan i iznosi (35) 1 19 C. Primetimo da postoje i makroskopski objekti koji imaju neke osobine vrlo slične atomskom jezgru, to su tzv. neutronske zvezde (koje tipično imaju prečnik od svega 1 km). Njihov gradivni materijal i fizičke osobine možemo opisati kao vrlo sličan onome unutar atomskog jezgra. Pored svih sličnosti vredni pomenuti i bitnu razliku, a to je mehanizam koji drži jezgro, odnosno neutronsku zvezdu na okupu. U prvom slučaju to je jaka nuklearna interakcija, a u drugom sila gravitacije. Az atommag mérete rendkívül kicsi az atom méretéhez viszonyítva (hidrogen esetén m-től az uránium atommagig, amely kb m méretű), miközben az atom tömege gyakorlatilag teljes mértékben az atommagba tömörül. Ebből az is következik, hogy az atommag sűrűsége rendkívül nagy, ( kg ). Az atommagban többféle részecske van, m 3 számunkra legfontosabbak a pozitív proton és az elektromosan semleges neutron. A proton és neutron gyűjtőneve nukleon. Tehát az atommagban pozitív töltésű részecskék sokasága egymáshoz rendkívül közel helyezkedik el. Mivel közöttük a taszító Coulomb-kölcsönhatás rendkívül erős, ez azt jelenti, hogy az atommagot még ennél is erősebb kölcsönhatás tartja egyben, mely ráadásul az elektromosan semleges neutronokra is hat. Ezt a kölcsönhatást erős nukleáris kölcsönhatásnak nevezzük. Az elektron tömege (4) 1 31 kg ami kb. -szer (pontosabban 1836-szor) kisebb mint a proton tömege ( (74) 1 7 kg). A proton és neutron tömegek kb. egyenlőek, azzal a megjegyzéssel, hogy a neutron tömege ( (74) 1 7 kg) egy kicsit nagyobb mint a protoné. Az elektron elemi töltése negatív, a protoné pozitív, melynek értéke (35) 1 19 C. Vegyük észre, hogy léteznek olyan makroszkopikus fizikai objektumok, ún. neutroncsillagok (melyek jellemző átmérője nagyjábol csak 1 km), amelyek sok értelemben nagyon hasonlítanak az atommagra. Építőanyagukról bizton állíthatjuk, hogy fizikai tulajdonságaiban és összetételében nagyon hasonlít az atommagra. Minden hasonlóság ellenére fontos megemlíteni egy nagy különbséget is, az pedig az atommagot, illetve neutroncsillagot egyben tartó mechanizmus. Az első esetben az az erős kölcsönhatás, a másodikban pedig a gravitáció. Neka jezgra su stabilna, a neka nisu i raspadaju se. Procesi raspada jezgara u kome nestabilna jezgra nestaju (i postepeno prelaze u stabilna jezgra), se

114 114 CHAPTER 4. RADIOAKTIVNI RASPAD RADIÓAKTÍV BOMLÁS zbirnim imenom zovu procesi radioaktivnog raspada. U ovim procesima se održava broj nukleona i električni naboj. Vannak stabil atommagok, és vannak olyanok amelyek nem azok és ezért elbomlanak. A bomlási folyamatok gyűjtőneve radióaktív bomlás. Ezekben a folyamatokban eltűnnek és fokozatosan átalakulnak az instabil atommagok. Ezekben a folyamatokban megmarad a nukleonok száma és az elektromos töltés. U daljnjem tekstu Z X A označava element X koji sadrži Z protona (i isto toliko elektrona), odnosno ima A nukleona u jezgru. Znači da je broj neutrona odredjen razlikom N = A Z. Čest je slučaj, da imamo jezgra sa istim rednim bojem, tj. istim brojem protona, ali različitim brojem nukleona. Takva jezgra se razlikuju po broju neutrona i zovemo ih izotopima elementa odredjenog rednim bojem Z. Npr. u jezgru atoma vodonika (Z = 1) možemo naći nijedan, jedan ili dva neutrona. Hemijski sva tri jezgra su vodonik, ali se mase izotopa vodonikovih jezgara znatno razlikuju, pa samim tim i njihove osobine važne za opis hemijskih reakcija, atomi veće mase su manje pokretljivi. Neki izotopi mogu biti stabilni, a neki nestabilni. A kovetkezőkben Z X A az X elem jele, melynek Z protonja és A nukleonja van. Tehát a neutronok számát az N = A Z különbség határozza meg. Gyakran előfordul, hogy ugyanolyan rendszámú elemből olyan atommagokat találunk, amelyeknek különbözik a nukleonszámja. Ez csak úgy lehetséges, hogy ezekben az atommagokban különböző számú neutron van. Ezeket az atommagokat ugyanannak a Z rendszámú elemnek a különböző izotópjai. Pl. a hidrogén atommagban (Z = 1) lehet semennyi-, egy- vagy két neutront találni. Mindhárom izotóp kémialilag hidrogén, de a tömegük igencsak különbözik, ezért kémiai reakciókban is másképpen viselkednek, mert a nagyobb tömegű atomok kevésbé mozgékonyak. Egy adott elem valamely izotópja lehet stabil vagy instabil. Radioaktivno zračenje se obično/često javlja u prirodi u obliku kosmičkog zračenja, odnosno kao posledica radioaktivnog zračenja čiji je izvor u zemljinoj kori. Legtöbbször/sűrűn észlelhetünk rádióaktív sugárzást a természetben, kozmikus sugárzás formájában, vagy olyan rádióaktív sugárzás formájában melynek forrása földkéregben van. Nukleoni u atomskom jezgru popunjavaju dozvoljena stanja na način sličan kao i elektroni u elektronskom omotaču. U stabilnim jezgrima broj neutrona je jednak ili veći od broja protona u jezgru. Kako redni broj elementa raste,

115 4.3. ZAKON RADIOAKTIVNOG RASPADA / BOMLÁSTÖRVÉNY 115 tako raste i prosečan broj neutrona po protonu. Kao što ima slučajeva vrlo stabilnih elektronskih omotača (slučaj idealnih gasova), tako ima i vrlo stabilnih nukleonskih konfiguracija. Navodim primer tzv. magičnih brojeva,, 8,, 8, 5, 8,.... Jezgra u kojima je broj protona ili neutrona magičan su vrlo stabilna. Ukoliko je i broj protona i broj neutrona magičan, imamo slučaj dvostruko magičnih jezgara, He 4, O 16, Ca 4, Ca 48, Ni 48, i P b 8 koja su neobično stabilna. A nukleonok az atommagban hasonlóképpen töltik meg a lehetséges állapotokat mint ahogyan azt az elektronok az elektronhéjban teszik. Stabil atommagokban a neutronok száma legalább akkora mint a protonoké. A rendszám növekedésével a protonkénti átlagos neutronszám növekedik. Mint ahogyan léteznek kifejezetten stabil elektronhéj szerkezetek (gondoljanak a nemes gázokra), ugyanúgy léteznek nagyon stabil nukleon elrendezések is. Ezzel összefüggésben megelmlítjük az ún mágikus számokat,, 8,, 8, 5, 8,.... Azok az atommagok amelyekben a proton- vagy a neutronszám mágikus, nagyon stabilak. Amennyiben mint a proton-, mint a neutronszám mágikus, kétszeresen mágikus atommagokrol (He 4, O 16, Ca 4, Ca 48, Ni 48, i P b 8 ) beszélünk, ezek kifejezetten stabilak. Obilje informacija o radioaktivnosti može se naći u Wikipediji [1]. Rengeteg információ található a rádióaktivitásról a Wikipédiában, [1]. 4.3 Broj neraspadnutih jezgara Az elnembomlott atommagok száma Broj neraspadnutih jezgara se stalno smanjuje, odredimo kako se taj broj menja tokom vremena. Az elnembomlott atommagok száma folyamatosan csökken. Határozzuk meg az időbeli változását. A je aktivnost. / A az aktivitás. N označava broj neraspadnutih jezgara. N a még el nem bomlott atommagok száma. λ je konstanta aktivnosti. λ az aktivitási állandó.

116 116 CHAPTER 4. RADIOAKTIVNI RASPAD RADIÓAKTÍV BOMLÁS dn A = dt (4.1) Aktivnost je proporcionalna broju neraspadnutih jezgara, tj. što je broj neraspadnutih jezgara veći, veća je i verovatnoća da u nekom vremenskom intervalu uočimo raspad. Vezu izmedju verovatnoće i broja neraspadnutih jezgara daje kofecijent aktivnosti. Az aktivitás az elnembomlott atommagok számával arányos, azaz, minél nagyobb az elnembomlott magok száma, annál nagyobb az a valószínűség, hogy adott időintervallumban rádióaktív bomlást észlelünk. A valószínűség és az elnembomlott atommagok száma közötti kapcsolatot az aktivitási állandó határozza meg. dn dt = λn (4.) () N = N() exp( λt) (4.3) Jedinica akivnosti je Bekerel, što je broj raspada u jednici vremena. Az aktivitás mértékegysége Bequerel, ami az egységnyi idő alatti bomlások száma. Zadatak / Föladat Ukoliko element A radioakivnim raspadom predje u element B, i broj neraspadnutih jezgara elementa A se menja po zakonu (4.) odnosno (4.3), odredite po kom zakonu se menja broj jezgara elementa B, ukoliko ih u početku nije bilo. Amennyiben valamilyen rádióaktív bomlási folyamatban egy A elem B elemmé bomlik, és az A elem elnembomlott magjainak a száma (4.) illetve (4.3) alapján változik, határozzák meg, milyen törvényszerűség szerint változik a B elem magjainak a száma, amennyiben a kezdeti pillanatban nem léteztek B típusú atommagok Vreme poluraspada / Felezési idő Neka je τ 1/ vreme za koje se početni broj neraspadnutih jezgara prepolovi. Uvrstimo ovu informaciju u zakon radioaktivnog raspada, (4.3).

117 4.4. POZADINSKO ZRAČENJE HÁTTÉRSUGÁRZÁS 117 Legyen τ 1/ az az idő ami alatt a kezdeti atommagok száma a felére csökken. Helyettesítsük be ezt az információt a rádióaktív bomlás törvényébe, (4.3). N = N exp( λτ 1/ ) / : N (4.4) 1 = exp( λτ 1/ ) / ln (4.5) / ln = λτ 1/ ( 1) (4.6) Nalazimo vezu izmedju vremena poluraspada i konstante aktivnosti Ezek alapján a felezési idő és az aktivitási állandó közötti összefüggés λτ 1/ = ln (4.7) Pošto se aktivnost relativno lako meri, ova veza je važna za odredjivanje vremena poluraspada onih jezgara za koje je to vreme veoma dugačko. Npr. na osnovu ove relacije znamo da je vreme poluraspada 38 U više nego 4 milijarde godina. Mivel az aktivitás aránylag könnyen mérhető, ez az összefüggés nagyon fontos a nagy felezési idejű elemek felezési idejének a meghatározásához. Pl. ez alapján tudjuk, hogy a 38 U felezési ideje meghaladja a 4 milliárd évet. 4.4 Pozadinsko zračenje Háttérsugárzás U prirodi smo praktično svuda u većoj ili manjoj meri izloženi zračenju. Dva glavna izvora zračenja kojima smo izloženi su Svemir, kao izvor kosmičkog zračenja, odnosno zemljina kora, kao izvor radioaktivnog zračenja. Primarne kosmičke zrake čine naelektrisane čestice velike energije, koje u sudarima sa česticama atmosfere mogu da stvore sekundarne kosmičke zrake. Kosmički zraci najveći uticaj imaju u blizini Zemljinih magnetnih polova. Tu se često može uočiti interakcija kosmičkih zraka sa Zemljinim magnetnim poljem u vidu polarne svetlosti. U zemljinoj kori u većoj ili manjoj koncentraciji postoje nestabilni izotopi, koji svojim raspadom postaju izvor radioaktivnog zračenja. Ima mesta na zemljinoj kugli gde je intenzitet pozadinskog radioaktivnog zračenja izuzetno visok, navešćemo primere Ramsara u Iranu, odnosno priobalnih područja u indijskoj državi Kerala.

118 118 CHAPTER 4. RADIOAKTIVNI RASPAD RADIÓAKTÍV BOMLÁS A természetben ki vagyunk téve a sugárzasnak. A természeti sugárzásnak két fő forrása a Világűr, mint a kozmikus sugárzás forrása és a földkéreg, mint a radióaktív háttérsugárzás forrása. Az elsődleges kozmikus sugarak nagy energiájú töltött részecskék, amelyek másodlagos részecskéket kelthetnek a földi légkör részecskéivel ütközve. A kozmikus sugarak hatásait leginkább a Föld mágneses pólusai közelében észlelhetők. Gyakran megfigyelhető a sarki fény, amely a kozmikus sugarak és a Földi mágneses tér kölcsönhatásának a következménye. A földkéregben kisebb vagy nagyobb mértékben instabil izotópok is léteznek, amelyek bomlásukkal radióaktív forrásokká válnak. A földkerekségen vannak olyan helyek, ahol a háttérsugárzás inteznitása rendkívül magas, példaként felsoroljuk az iráni Ramsar-t és Kerala indiai állam partmenti részeit. 4.5 Vrste radioaktivnog zračenja A rádioaktív sugárzás osztályozása Prilikom radioakivnog raspada javlja se više vrsta zračenja. Grubom podelom zračenja možemo razvrstati na α, β i γ zračenje. Radióaktív bomlásnál többféle sugárzás észlelhető. Durva osztályozás alapján α, β és γ sugárzást különböztetünk meg Klasifikacija radioaktivnih raspada A radióaktív bomlások osztályozása Atomska jezgra u procesima radioaktinih raspada prelaze iz nestabilnih u stabilne izotope. Dato jezgro može da predje u druga jezgra na više različitih načina, npr. s verovatnoćom p 1 u procesu Π 1 i s verovatnoćom p u procesu Π, uz uslov p 1 + p = 1. Az atommagok rádióaktív bomlási folyamatokban kevésbé stabil izotópokból stabil izotópokká alakulnak át. Egy adott atommag többféleképpen alalkulhat át másmilyen atommaggá. Pl. p 1 valószínűséggel valamilyen Π 1 folyamatban és p valószínűséggel valamilyen Π folyamatban, azzal, hogy p 1 + p = 1.

119 4.5. α, β, γ ZRAČENJE / α, β, γ SUGÁRZÁS 119 α raspad / α bomlás U procesu α raspada jezgro elementa X izbaci iz sebe helijumovo jezgro, pri tome mu se atomski broj umanji za 4, a redni broj za. α bomlási folyamatban az X elem atommagja kivet magából egy hélium atommagot, eközben az atomszáma 4-el, a rendszáma pedig -vel csökken. β raspad / β bomlás ZX A Z Y A 4 + He 4 (4.8) U procesu β raspada jezgro elementa X izbaci iz sebe jedan elektron, pri tome mu se atomski broj ne menja, a redni mu se broj se uveća za 1. β bomlási folyamatban az X elem atommagja kivet magából egy elektront, eközben az atomszáma nem változik, a rendszáma pedig 1-el növekszik. ZX A Z+1 Y A + e + ν e (4.9) ν e označava elektronski antineutrino, česticu koja oseća samo gravitacionu i slabu silu, i vrlo slabo interaguje sa običnom materijom. ν e az elektron antineutrínó, egy olyan részecske amelyik csak a gravitációs és gyönge kölcsönhatást érzi, ezért a közönséges anyaggal alig van kölcsönhatásban. β + raspad / β + bomlás U procesu β + raspada jezgro elementa X izbaci iz sebe jedan antielektron, česticu koja ima masu elektrona i pozitivan naboj, i pri tome mu se atomski broj ne menja, a redni mu se broj se smanji za 1. β + bomlási folyamatban az X elem atommagja kivet magából egy antielektront, egy eletron tömegű, pozitív töltetű részecskét és eközben az atomszáma nem változik, a rendszáma pedig 1-el csökken. ZX A Z 1 Y A + e + + ν e (4.1) ν e označava elektronski neutrino, česticu koja oseća samo gravitacionu i slabu silu, i vrlo slabo interaguje sa običnom materijom.

120 1 CHAPTER 4. RADIOAKTIVNI RASPAD RADIÓAKTÍV BOMLÁS ν e az elektron neutrínó, egy olyan részecske amelyik csak a gravitációs és gyönge kölcsönhatást érzi, ezért a közönséges anyaggal alig van kölcsönhatásban. Antineutrino je antičestica neutrina. Az antineutrino a neutrino antierészecskéje. Prikaz radioaktivnih raspada u N-Z ravni. Rádióaktív bomlási csatornák ábrázolása N-Z síkban. rozpadu promieniotworczego.svg 4.5. Nuklearna fisija i fuzija Nukleáris físzió és fúzió Nuklearne reakcije u kojima se teška atomska jezgra raspadaju na lakša jezgra zovu se zbirnim imenom nuklearna fisija (cepanje jezgara). Nuklearne reakcije u kojima se lakša jezgra spajaju i grade teža jezgra zove se nuklearna fuzija (stapanje jezgara). Spontano se odvijaju sledeće reakcije: fisija teških i fuzija lakih jezgara.

121 4.5. α, β, γ ZRAC ENJE / α, β, γ SUGA RZA S 11 Prikaz nizova radioaktivnih raspada. Ra dio aktı v bomla si sorozatok a bra zola sa. decay chains diagram.svg

122 1 CHAPTER 4. RADIOAKTIVNI RASPAD RADIÓAKTÍV BOMLÁS Azokat a nukleáris reakciókat amelyekben nehéz atommagok könnyebb atommagokká bomlanak nukleáris físziónak hívjuk (maghasadás). Azokat a nukleáris reakciókat amelyekben könnyű atommagok olvadnak össze nehéz atommagokká nukleárisfúziónak hívjuk. Spontán módon a nehéz atommagok físziója és a könnyű magok fúziója megy végbe. Reakcije nuklearne fisije se koriste za dobijanje energije u nuklearnim centralama. Reakcija fuzije se odvija u zvezdama, to je npr. mehanizam u kojem se oslobadja energija kojom Sunce greje Zemlju. A maghasadást nukleáris reaktorokban használják áramtermelésre. Nukleáris fúzió az a mechanizmus amellyel a csillagok energiát termelnek, pl. ilyen mechanizmus által termelődik az az energia amelyet a Nap sugároz a Földre. Energija koja se oslobodi u nuklearnim reakcijama potiče od razlike u energiji veze po nukleonu. Npr. u nuklearnoj fisiji se po jedinici mase oslobodi nekoliko stotina miliona puta više energije nego u oksidacionim reakcijama. Energija po jedinici mase koja se oslobodi u nuklearnoj fuziji je višestruko veća od energije (po jedinici mase) koja se oslobodi u nuklearnoj fisiji. Oslobodjena energija se javlja kao kinetička energija produkata fisije i kao energija oslobodjnog (elektrmagnetnog) zračenja. A magreakciókban felszabaduló energia a nukleonkénti átlagos kötesi energiák közti különbségből ered. Pl. maghasadásnál egységnyi tömegből néhány száz milliószor nagyobb mennyiségű energia szabadul föl mint okszidációs folyamatokban. A (mag)fúzióban (egységnyi tömegként) felszabaduló energia többszöröse a maghasadásban felszabaduló energiának. A felszabaduló energia a bomlási termékek mozgási energiájában és (elektromágneses) sugárzási energiában nyilvánul meg. Zbir masa mirovanja (m p ) produkata fisione reakcije je manja(!) od (početne) mase mirovanja (m g ) fisionog materijala (goriva) - javlja se defekt mase m = m g m p >! Na osnovu Ajnštajnove relacije koja povezuje masu i energiju (4.11) zaključujemo da defektu mase odgovara oslobodjena energija (veze), mc. Amennyiben összeadjuk a maghasadás végtermékeinek (nyugalmi) tömegeit (m vt ), az összeg kisebb(!) lesz mint a kezdeti hasadó anyag (nyugalmi) tömege (müa ). A hiányzó tömeg ( m = müa m vt >!) a felszabaduló kötési energia ( mc ), a kettőt Einstein tömeg és energia közötti kapcsolata (4.11) köti össze. E = mc (4.11)

123 4.5. α, β, γ ZRAČENJE / α, β, γ SUGÁRZÁS 13 Energija veze po nukleonu je prikazana na slici 4.1. Vidimo da ima maksimum u blizini jezgra gvoždja, i da kriva strmije raste s leva nego s desna. To je i razlog zašto se u fuziji oslobodi veća količina energije nego u fisiji. A nukleonkénti kötési energia görbéjét a 4.1 ábra szemlélteti. Látjuk, hogy a görbe maximuma a vas körul van, továbbá a görbe balról sokkal gyorsabban növekedik mint jobbról. Ez az oka annak, hogy fúzióban nagyobb energia szabadul föl mint maghasadásban. U praksi za dobijanje energije reakcijom nuklearne fisije dolazi u obzir Figure 4.1: Energija veze po nukleonu. Nukleonkénti kötési energia. cepanje jezgara urana ili torijuma. Tehnologija uranijumskih reaktora je razradjena, dok se torijumski reaktori upravo razvijaju. A gyakorlati alkalmazásban energiaforrásként uránium és thórium hasítása jöhet szöba. Az urániumos reaktorok technológiája már létezik, a thóriumos reaktorokat mostanában fejlesztik. Cepanje jezgra U 35 se odvija u sledećoj reakciji (vidi sl. 4.): Az U 35 mag hasadása a következő reakcióban megy végbe (ld. a 4. ábrát):

124 14 CHAPTER 4. RADIOAKTIVNI RASPAD RADIÓAKTÍV BOMLÁS U 35 + n U 36 Kr 9 + Ba n (4.1) Krajnje pojednostaljeno, jezgro urana 35 može da zahvati neutron samo ukoliko je neutron dovoljno spor. Nakon zahvatanja neutrona nastaje izuzetno nestabilno jezgro urana 36 koje se praktično trenutno raspada (najčešće) na izotope kriptona i barijuma i dodatno se oslobadjaju tri neutrona. Ukoliko postoji medijum (npr. teška voda) koji može da uspori novooslobodjene neutrone reakcija cepanja jezgara urana 35 se nastavlja. A végsőkig leegyszerűsítve, a 35 uránium izotóp csak a lassú neutronokat tudja befogni. A befogott neutron egy nagyon instabil uránium izotópot hoz létre, az uránium 36-ost, amely gyakorlatilag pillanatszerűen fölbomlik. A bomlási termék leggyakrabban egy kripton és egy bárium izotóp és további három neutron. Amennyiben van egy megfelelő közeg, (pl. nehéz víz) amely lelassíthatja a kiszabadult neutronokat, az uránium 35 hasadása folytatódhat. Da bi se reakcija fisije odvijala kontrolisano, od tri oslobodjena neutrona po cepanju svakog jezgra U 35 potrebno je zahvatiti (barem) dva. Hogy a maghasadás szabályozottan mehessen végbe, minden U 35 mag hasadásánál fölszabadult három neutronból (legalább) kettőt be kell fogni. Na slici 4.3 je predstavljena reakcija nuklearne fuzije vodonika u helijum (jednačine ) koja se odigrava u mladjim zvezdama sličnim suncu. Vezano stanje protona (p) i neutrona (n) je jezgro teškog vodonika ili deuterijuma (D), e + je pozitron, γ je foton. A 4.3 ábrán a naphoz hasonló, aránylag fiatal csillagokban végbemenő hidrogénből héliumot termelő fúziós reakció ( egyenletek) van bemutatva. Egy proton (p) és egy neutron (n) kötött állapota a nehéz hidrogén avagy deutérium (D) mag, e + a pozitron, γ pedig foton. p pn +e + + ν (4.13) }{{} D D + p ppn +γ (4.14) }{{} He 3 He 3 He 4 + p (4.15)

125 4.5. α, β, γ ZRAČENJE / α, β, γ SUGÁRZÁS 15 Figure 4.: Šematski prikaz cepanja jezgra urana 35, [19]. A 35-os uránium atommag hasadásának sematikus ábrázolása, [19]. Primetimo da se u pretposlednjem koraku sudaraju dva izotopa helijuma, He 3. Mesečeva prašina (regolit) je bogata tim izotopom, i to je jedan od osnovnih razloga zbog koga mnoge zemlje razmišljaju o ponovnim ili novopokrenutim misijama na Mesec. Taj izotop helijum će biti vrlo verovatno biti korišćen kao gorivo u budućim fuzionim reaktorima. Vegyük észre, hogy az utolsó előtti lépésben két hélium izotóp ütközik, nevezetesen He 3. A holdpor ebben az izotópban igen gazdag. Ez a legfőbb oka annak, hogy néhány ország miért tervezi felújítani illetve elkezdeni a holdprogramját. Ezt a héliumizotópot nagy valószínűséggel üzemanyagként fogják használni a közeljövőben kifejlesztendő fúziós reaktorokban. Ukoliko u zvezdama pored vodonika 3 postoji i mala količina ugljenika, azota i kiseonika, nuklearna fuzija se paralelno odvija i u drugoj reakciji, tzv. Be- 3 U Suncu i Suncu sličnim zvezdama vodonik čini više od 95 % ukupne mase.

126 16 CHAPTER 4. RADIOAKTIVNI RASPAD RADIÓAKTÍV BOMLÁS Figure 4.3: Nuklearna reakcija pretvaranja vodonika u helijum. Hidrogénből héliumot termelő magreakció.

127 4.5. α, β, γ ZRAČENJE / α, β, γ SUGÁRZÁS 17 teovom ciklusu, u kojoj navedena jezgra imaju ulogu katalizator a, tj. u Beteovom ciklusu se količina ugljenika, azota i kiseonika ne menja. Šematski prikaz Beteovog ciklusa može se videti na slici 4.4. Amennyiben a csillagokban hidrogén 4 mellett jelen van a szén, nitrogén és oxigén, a magreakció az előző reakcióval párhuzamosan is végbemehet úgy, hogy a felsorolt elemek abban katalizátor ként viselkednek, azaz a Betheciklusban a szén, nitrogén és az oxigén mennyisége nem változik. Ezt a reakciót hívjuk Bethe-ciklusnak. A Bethe-ciklus ábrázolása a 4.4 ábrán látható. Figure 4.4: Beteov ciklus. Bethe-ciklus. 4 A Nap és Napszerű csillagok tömegének több mint 95%-a hidrogén.