1. Formalizálás. Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 6. gyakorlat. 1. Jelöljék a következő nemlogikai konstansok a következőket:

Átírás

1 Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 6. gyakorlat 1. Formalizálás 1. Jelöljék a következő nemlogikai konstansok a következőket: p Aladár gőgös. q Aladár zsémbes. r Bea gőgös. s Bea zsémbes. t Aladár szereti Beát. u Bea szereti Aladárt. Formalizálja ezek segítségével a következő mondatokat: (a) Aladár gőgős és szereti Beát. Megoldás: p t (b) Aladár nem gőgös, de szereti Beát. Megoldás: p t (c) Bea zsémbes, de Aladár szereti őt. Megoldás: s t (d) Ha Bea gőgös, akkor Aladár szereti őt. Megoldás: r t (e) Ha Aladár gőgös, akkor Bea nem szereti őt. Megoldás: p u (f) Vagy Aladár gőgös, vagy Bea zsémbes és szereti őt. Megoldás: p s u (g) Albert csak akkor gőgös és zsémbes, ha Bea nem szereti őt. Megoldás: p q u (h) Ha Albert vagy gőgös vagy zsémbes, akkor nem szereti Beát. Megoldás: (p q) t (i) Ha Albert gőgös vagy zsémbes, akkor nem szereti Beát. Megoldás: (p q) t

2 INBK gyakorlat 2/15 2. Formalizálja a következő mondatot: Megeszed a spenótot, vagy kapsz egyet! Megoldás: Jelölje p: Megeszed a spenótot. és q: Kapsz egyet.. A megoldás: p q. 3. Formalizálja a következő mondatot: Ha nem eszed meg a spenótot, kapsz egyet! Megoldás: Jelölje p: megeszed a spenótot és q: kapsz egyet. A megoldás: p q. 4. Formalizálja a következő mondatot: Akár esik, akár nem, elmegyek futni. Megoldás: Jelölje p: esik és q: elmegyek futni. A megoldás: p p q. 5. Formalizálja a következő mondatot: Ha esik, nem megyek futni. Megoldás: Jelölje p: esik és q: elmegyek futni. A megoldás: p q. 6. Formalizálja a következő mondatot: Ha vénasszonyok potyognak az égből, akkor megeszem a kalapom, de nem megyek futni Megoldás: Jelölje p: vénasszonyok potyognak az égből, q: megeszem a kalapomat és r: elmegyek futni. A megoldás: p q r. 7. Formalizálja a következő mondatot: Ha vénasszonyok potyognak az égből, amíg futok, akkor megeszem a kalapomat. Megoldás: Jelölje p: vénasszonyok potyognak az égből, q: megeszem a kalapomat és r: elmegyek futni. A megoldás: p r q Logikai következménye? 8. Formalizálja az alábbi állításokat, és ezek után döntse el, hogy premisszák logikai következménye-e a konklúzió! 1. Vagy Anna, vagy Balázs bűnös. 2. Ha Balázs bűnös, akkor Anna is. 3. Ezért Anna bűnös. Megoldás: Jelölje p, hogy Anna bűnös, és q, hogy Balázs bűnös. Az állítások formalizált alakja ezek után a

3 INBK gyakorlat 3/15 1. p q 2. q p 3. p p q p q q p p Az egyetlen interpretációban, ahol a premisszák igazak, igaz a konklúzió is. Így a konklúzió a premisszák logikai következménye. 9. Formalizálja az alábbi állításokat, és ezek után döntse el, hogy premisszák logikai következménye-e a konklúzió! 1. Vagy Cecil hazudik, vagy Dia otthon van. 2. Ha Emesének igaza van, akkor Cecil hazudik. 3. Így vagy Emesének nincs igaza, vagy Dia otthon van. Megoldás: Jelölje p, hogy Cecil hazudik; q, hogy Dia otthon van, és r, hogy Emesének igaza van. Az állítások formalizált alakja ezek után a 1. p q 2. r p 3. r q Tekintsük azt az ρ interpretációt, amikor p ρ = r ρ = 1 és q ρ = 0. Ekkor a premisszák igazak, míg a konklúzió hamis. Így a konklúzió nem logikai következménye a premisszáknak. 10. Formalizálja az alábbi állításokat, és ezek után döntse el, hogy premisszák logikai következménye-e a konklúzió! 1. Ha Feri nem játszott, akkor Gabi sem. 2. Gabi játszott. 3. Ezért Feri és Gabi is játszott. Megoldás: Jelölje p, hogy Feri játszott, és q, hogy Gabi játszott. Az állítások formalizált alakja ezek után a 1. p q 2. q 3. p q

4 INBK gyakorlat 4/15 p q p q q p q Az egyetlen interpretációban, ahol a premisszák igazak, igaz a konklúzió is. Így a konklúzió a premisszák logikai következménye. 11. Formalizálja az alábbi állításokat, és ezek után döntse el, hogy premisszák logikai következménye-e a konklúzió! 1. Ha Hugó hazament, akkor Imi is. 2. Ha Imi hazament, akkor Jancsi is. 3. Ha Jancsi hazament, akkor Imi nem. 4. Ezért se Imi, se Hugó nem ment haza Megoldás: Jelölje p, hogy Hugó hazament, p, hogy Imi hazament, és r, hogy Jancsi hazament. Az állítások formalizált alakja ezek után a 1. p q 2. q r 3. r q 4. p q p q r p q q r r q p q Abban a két interpretációban, ahol a premisszák igazak, igaz a konklúzió is. Így a konklúzió a premisszák logikai következménye. 12. Formalizálja az alábbi állításokat, és ezek után döntse el, hogy premisszák logikai következménye-e a konklúzió! 1. Ha Károlynak van kocsija, akkor Lajosnak is. 2. Ha Lajosnak van kocsija, akkor Miklósnak is. 3. Ha Miklósnak van kocsija, akkor Károlynak nincs. 4. Ezért se Lajosnak, se Károlynak nincs kocsija.

5 INBK gyakorlat 5/15 Megoldás: Jelölje p, hogy Károlynak van kocsija; q, hogy Lajosnak van kocsija,és r, hogy Miklósnak van kocsija. Az állítások formalizált alakja ezek után a 1. p q 2. q r 3. r p 4. q p Tekintsük azt az ρ interpretációt, amikor q ρ = r ρ = 1 és p ρ = 0. Ekkor a premisszák igazak, míg a konklúzió hamis. Így a konklúzió nem logikai következménye a premisszáknak. 13. Formalizálja az alábbi állításokat, és ezek után döntse el, hogy premisszák logikai következménye-e a konklúzió! 1. Vagy Nóra gazdag, vagy Ottót átejtették. 2. Ha Ottót átejtették, akkor Nóra hazudott. 3. Nóra nem hazudott és nem gazdag. 4. Ezért Ottónak el kell hagyni Nórát Petráért. Megoldás: Jelölje p, hogy Nóra gazdag; q, hogy Ottót átejtették; r, hogy Nóra hazudott; és s, hogy Ottónak el kell hagynia Nórát Petráért. Az állítások formalizált alakja ezek után a 1. p q 2. p r 3. r p 4. s Könnyű belátni, hogy az első három formulából álló formulahalmaz kielégíthetetlen, ezért belőle bármely formula következik. Így a konklúzió a premisszák logikai következménye. 14. Formalizálja az alábbi állításokat, és ezek után döntse el, hogy premisszák logikai következménye-e a konklúzió! 1. Ha Batman képes, és hajlandó lenne megmenteni bennünket a gonosztól, akkor megtenné. 2. Ha Batman nem képes megmenteni bennünket a gonosztól, akkor tehetetlen. 3. Ha Batman nem hajlandó megmenteni bennünket a gonosztól, akkor rosszindulatú. 4. Batman nem ment meg bennünket a gonosztól. 5. Ha Batman létezne, akkor nem lenne sem tehetetlen, sem rosszindulatú. 6. Ezért Batman nem létezik. Megoldás: Jelölje p, hogy Batman képes megmenteni bennünket a gonosztól; q, hogy Batman hajlandó megmenteni bennünket a gonosztól; r, hogy Batman nem ment meg bennünket a gonosztól; s, hogy Batman tehetetlen; t, hogy Batman rosszindulatú; és u, hogy Batman létezik. Az állítások formalizált alakja ezek után a

6 INBK gyakorlat 6/15 1. p q r 2. p s 3. q t 4. r 5. u s t 6. u A hat állítás miatt 64 soros igazságtáblára lenne szükség, így egy más módszert használunk. Tekintsük a premisszákat elemi diszjunkciókként: (1) p q r (2) p s (3) q t (4) r (5) u s és u t A konklúzió tagadása az egyszerűsítés után az u formula, melyre (6)-ként hivatkozunk. Bővítéssel kapjuk a következő elemi diszjunkciókat (7) p q, bővítéssel (1) és (4) állításokból (8) q s, bővítéssel a (2) és (7) állításokból (9) s t, bővítéssel a (3) és (8) állításokból (10) u t, bővítéssel a (5a) és (9) állításokból (11) u, bővítéssel a (5b) és (10) állításokból A (11)-es formula a (6) tagadása, így a teljes formula ellentmondást tartalmaz, így kielégíthetetlen, azaz a konklúzió valóban logikai következménye a premisszáknak. 15. Formalizálja az alábbi állításokat! A. Ha Béla busszal megy, akkor lemarad a találkozóról, ha a busz késik. B. Béla nem jön haza, ha lemarad a találkozóról és szomorú lesz. C. Ha Béla nem kapja meg a munkát, akkor szomorú lesz, és nem jön haza. Döntse el, hogy az előbbi premisszáknak a következő konklúziók közül melyik lesz logikai következménye! 1. Ha Béla busszal megy, akkor Béla megkapja a munkát, ha a busz késik. 2. Béla megkapja a munkát, ha lemarad a találkozóról és nem jön haza. 3. Ha a busz késik, Béla szomorú lesz és hazajön, akkor nem busszal megy. 4. Béla nem busszal megy, ha a busz késik és nem kapja meg a munkát. 5. Ha Béla nem marad le a találkozóról, akkor nem jön haza és nem kapja meg a munkát. 6. Béla szomorú lesz, ha a busz késik, vagy Béla lemarad a találkozóról.

7 INBK gyakorlat 7/15 7. Ha Béla busszal megy, a busz késik és Béla hazajön, akkor megkapja a munkát. 8. Ha Béla busszal megy, de nem kapja meg a munkát, akkor vagy a nem késik a busz vagy Béla nem jön haza. Megoldás: Jelölje p, hogy Béla busszal megy; q, hogy Béla lemarad a találkozóról; r, hogy a busz késik; s, hogy Béla szomorú lesz; t, hogy Béla megkapja a munkát; és u, hogy Béla hazajön. A premisszák formalizált alakja ezek után a A. p r q B. q s u C. t s u 1. p r t 2. q u t 3. r s u p 4. r t p 5. q u t 6. r q s 7. p r u t 8. p t (r u) A három premissza elemi diszjunkcióra átalakítva a következő formulákat szolgáltatja: (a) p r q (b) q s u (c 1 ) t s (c 2 ) t u A bővítést alkalmazva a (a) és (b) formulákra, p r s u formulát adja, ami pontosan a 3. konklúzió elemi diszjunkcióra átírva. Erre, és a (c 1 ) formulára alkalmazva a bővítést, a p r t u formulát kapjuk, ami pedig a 7. konklúzió elemi diszjunktív alakja. Ezek alapján a premisszáknak csak a 3. és 7. konklúzió a logikai következménye. Könnyű ellenőrizni, hogy az alábbi interpretációk esetén a premisszák mind igazak, míg a megfelelő konklúzió hamis. Ekkor a konklúzió nem teljesül. formula p q r s t u Aki nem akarja az igazságtáblázat mind a 64 sorát kiszámolni, az alkalmazhatja a következő módszert, melyet csak az első konklúzió esetén mutatunk meg.

8 INBK gyakorlat 8/15 Ahhoz hogy belássuk, hogy a konklúzió a premisszák logikai következménye, elegendő azt belátni, hogy a konklúzió tagadását a premisszákhoz véve ellentmondáshoz jutunk. Tekintsük azt az interpretációt, melyben a premisszák igazak, és az első konklúzió hamis! p r t akkor lesz hamis, ha p igaz, és r t hamis, azaz r igaz és t hamis. Ezekből és az (a) formulából azt kapjuk, hogy q igaz. t hamisságából és (c 1 )-ből adódik, hogy s igaz, míg hasonlóképpen (c 2 )-ből, hogy u hamis. Az interpretációt meg tudtuk adni az összes nemlogikai konstansra, és ebben az interpretációban a premisszák igazak, míg a konklúzió hamis. Így az nem lehet a premisszák logikai következménye Craig felügyelő feljegyzéseiből Ezek a feladatok R. M. Smullyan Mi a címe ennek a könyvnek könyve alapján készültek. A megoldásokban formalizálja a leírásban szereplő állításokat, és annak segítségével válaszolja meg a feladat kérdését! 16. Hatalmas mennyiségű árút loptak el egy áruházból. A tettes (vagy tettesek) autóval szállította (vagy szállították) el a zsákmányt. Három jól ismert bűnözőt vittek be a Scotland Yard-ra kihallgatni, P -t, Q-t és R-t. A következők derültek ki: 1. P -n, Q-n és R-n kívül senki nem vehetett részt a rablásban. 2. R sosem dolgozik P (és esetleg más) tettestársak nélkül. 3. Q nem tud autót vezetni. P bűnös, vagy ártatlan? Megoldás: Jelölje p, q és r, hogy a megfelelő személy bűnös.. Az állítások formalizált alakja ezek után a 1. p q r 2. r p 3. q (p r) Írjuk fel a premisszák igazságtáblázatát! p q r p q r r p q p r Ebből látható, hogy pontosan akkor igaz mindhárom feladatban szereplő állítás, ha p értéke igaz. Így ezen premisszák logikai következménye a p konklúzió, azaz P bűnös. 17. Egy másik egyszerű eset, megint rablás. P -t, Q-t és R-t kihallgatták, és a következők derültek ki: 1. P -n, Q-n és R-n kívül senki nem vehetett részt a rablásban.

9 INBK gyakorlat 9/15 2. P sohasem dolgozik legalább egy bűntárs nélkül. 3. R ártatlan. Q ártatlan vagy bűnös? Megoldás: Jelölje p, q és r, hogy a megfelelő személy bűnös. Az állítások formalizált alakja ezek után a 1. p q r 2. p q r 3. r p q r p q r p q r r Két olyan interpretáció is van, melyben mind a három premissza igaz, és mindkét interpretációban a q is igaz. Így a Q konklúzió logikai következménye a premisszáknak. 18. Három jól ismert bűnözőt hallgattak ki, P -t, Q-t és R-t. P és Q történetesen egypetéjű ikrek, és kevés ember tudja őket megkülönböztetni. Mindhárom gyanúsítottnak volt már priusza, és sok mindent meg lehetett tudni róluk és a szokásaikról. Az ikrek például meglehetősen félénkek voltak, és egyikük sem mert soha bűntárs nélkül dolgozni. Q viszont igen merész volt, és mindig egyedül dolgozott. Néhányan tanúsították, hogy a rablás idején az ikrek egyikét inni látták Doverben egy bárban, de hogy melyiket, azt nem tudták. Feltéve, hogy P -n, Q-n és R-en kívül más nem vehetett részt a rablásban, ki ártatlan és ki bűnös? Megoldás: Jelölje p, q és r, hogy a megfelelő személy bűnös. Az állítások formalizált alakja ezek után a 1. P -n, Q-n és R-en kívül más nem vehetett részt a rablásban: p q r 2. Az ikrek nem mernek bűntárs nélkül dolgozni: (p q r) (r q p) 3. Q mindig egyedül dolgozott: q p r 4. Az ikrek egyikét látták egyedül inni: p r p q r p q r (p q r) (r q p) q p r p r

10 INBK gyakorlat 10/15 Látható, hogy csak egy olyan interpretáció van, melyben a premisszák mind igazak. Ekkor q igaz, míg p és r hamis, így csak Q bűnös, a többiek ártatlanok. 19. Mire következtethet ezekből a tényekből? kérdezte Craig felügyelő McPherson őrmestert. 1. Ha P bűnös, és Q ártatlan, akkor R bűnös. 2. R sosem dolgozik egyedül. 3. P sosem dolgozik R-rel. 4. P -n, Q-n és R-n kívül senki más nem vehetett részt a bűntényben, és legalább az egyikük bűnös. Az őrmester megvakarta a fejét, és így szólt: Attól tartok uram, hogy nem sokra. Ön meg tudja állapítani ennyiből, hogy ki ártatlan és ki bűnös? Nem. válaszolta Craig, de ahhoz ennyi is elég, hogy egyikük ellen vádat emeljünk. Melyikük az, aki biztosan bűnös? Formalizálja az alábbi állításokat, és ezek után döntse el, hogy premisszák logikai következménye-e a konklúzió! Megoldás: Jelölje p, q és r, hogy a megfelelő személy bűnös. Az állítások formalizált alakja ezek után a 1. p q r 2. r p q 3. (p r) 4. p q r p q r p q r r p q (p r) p q r Abban a három interpretációban, melyben a premisszák mind igazak, a q formula is igaz. Ez viszont nem mondható el a p és r formulákról. Így a premisszáknak csak a q konklúzió logikai következménye. Tehát a Q biztosan bűnös. 20. Mr. McGregor, egy londoni boltos, felhívta a Scotland Yardot, hogy kirabolták a boltját. Három gyanúsítottat hallgattak ki, P -t, Q-t és R-t. A következők derültek ki: 1. P, Q és R mindegyike jár a boltban a rablás napján, és senki más nem volt aznap a boltban. 2. Ha P bűnös, akkor pontosan egy bűntársa volt. 3. Ha Q ártatlan, akkor R is az. 4. Ha pontosan két tettes volt, akkor P az egyik.

11 INBK gyakorlat 11/15 5. Ha R ártatlan, akkor Q is az. Vajon kit vádolt Craig felügyelő? Megoldás: Jelölje p, q és r, hogy a megfelelő személy bűnös. Az állítások formalizált alakja ezek után a 1. p q r 2. p ( q r) 3. q r 4. (p q q) (p q r) ( p q r) p 5. r q p q r p q r p ( q r) q r (p q r) (p q r) ( p q r) p r q A premisszák halmaza kielégíthetetlen, így a feltételek ellentmondásosak. Ezért Craig felügyelő McGregor-t vádolta biztosítási csalással, amit az hamarosan be is ismert. 21. Ezúttal négy gyanúsítottat hallgattak ki egy rablással kapcsolatban, P -t, Q-t, R-t és S-et. Biztos volt, hogy legalább az egyikük bűnös, és hogy négyükön kívül senki más nem vehetett részt a rablásban. A következők derültek ki: 1. P biztosan ártatlan. 2. Ha Q bűnös, akkor pontosan egy bűntársa volt. 3. Ha R bűnös, akkor pontosan két bűntársa volt. Craig felügyelőt főleg az érdekelte, hogy vajon S ártatlan vagy bűnös, mivel S különösen veszélyes bűnöző volt. Szerencsére a fenti tények elegendőek ennek eldöntéséhez. Bűnös D vagy nem? Megoldás: Jelölje p, q, r és s, hogy a megfelelő személy bűnös. Az állítások formalizált alakja ezek után a 1. p 2. q (p r s) ( p r s) ( p r s) 3. r (p q s) (p q s) ( p r s) 4. p q r s (négyükön kívül más nem vehetett részt a rablásban)

12 INBK gyakorlat 12/15 p q r s p q r p q r s Most a következők derültek ki: 1. Hármójuk közül legalább az egyik bűnös. 2. Ha P bűnös és Q ártatlan, akkor C bűnös. Ennyi bizonyíték nem elég ahhoz, hogy bármelyiküket is bűnösnek nyilvánítsuk, de ezek alapján ki tudunk választani két embert úgy, hogy ezek egyike biztosan bűnös. Melyik kettőt? Megoldás: Jelölje p, q és r, hogy a megfelelő személy bűnös. Az állítások formalizált alakja ezek után a 1. p q r 2. p q r p q r p q r p q r Az igazságtáblázatból leolvasható, hogy a két premisszának a q r konklúzió lesz a logikai következménye. Így Q vagy R egyike biztosan bűnös. 23. Ebben a még érdekesebb esetben négy vádlott szerepel, P, Q, R és S. A következők derültek ki:

13 INBK gyakorlat 13/15 1. Ha P és Q mindketten bűnösek, akkor R bűntárs. 2. Ha P bűnös, akkor Q és R közül legalább az egyik bűntárs. 3. Ha R bűnös, akkor S bűntárs. 4. Ha P ártatlan, akkor S bűnös. Kik azok, akik biztosan bűnösek, és kik azok, akiknek kétséges a bűnösségük? Megoldás: Jelölje p, q, r és s, hogy a megfelelő személy bűnös. Az állítások formalizált alakja ezek után a 1. p q r 2. p q r 3. r s 4. p s p q r s p q r p q r r s p s Ha alaposabban megfigyeljük az igazságtáblázatot, amikor a négy premissza igaz, akkor az s is igaz. Viszont vannak olyan interpretációk, amikor a premisszák igazak, és p igaz, de olyan is, hogy ekkor p hamis. Hasonló állítás igaz q-ra és r-re. Így S biztosan bűnös, a többiek bűnössége kétséges. Másik megoldás: írjuk fel a premisszákat elemi diszjunkciókként! Majd nézzük ezekből a bővítés szabályával nyert további elemi diszjunkciókat! (1) p q r (2) p q r (3) r s (4) p s (5) q r s, (1) és (4) formulákból (6) q s, (3) és (5) formulákból

14 INBK gyakorlat 14/15 (7) p q s, (2) és (3) formulákból (8) p s, (6) és (7) formulákból (9) s, (4) és (8) formulákból Mivel az (1)-(9) tagok diszjunkciója adja ki feladatot leíró formula konjunktív normál formáját, a ez a formula pontosan akkor lesz igaz, amikor minden elemi diszjunkciója azaz ha a premisszák együtt igazak, akkor s is. 24. Ebben az esetben ismét négy vádlott szerepel P, Q, R és S. A következők derültek ki. 1. Ha P bűnös, akkor Q bűntárs. 2. Ha Q bűnös, akkor vagy R bűntárs vagy P ártatlan. 3. Ha S ártatlan, akkor P bűnös és R ártatlan. 4. Ha S bűnös, akkor P is az. Ki ártatlan és ki bűnös. Megoldás: Jelölje p, q, r és s, hogy a megfelelő személy bűnös. Az állítások formalizált alakja ezek után a 1. p q 2. q (r p) 3. s p r 4. s p p q r s p q q (r p) s p r s p A táblázat alapján egy interpretációban igaz az összes premissza. Ekkor mindegyik nem logikai konstans igaz értékkel rendelkezik, így mindegyikük bűnös.

15 INBK gyakorlat 15/ P -t, Q-t és R-t rablásban való részvétellel vádolták. Ezúttal a következő két tényre derült fény: 1. Ha P ártatlan, vagy Q bűnös, akkor R bűnös. 2. Ha P ártatlan, akkor R ártatlan. Megállapítható-e valamelyikük bűnössége? Megoldás: Jelölje p, q és r, hogy a megfelelő személy bűnös. Az állítások formalizált alakja ezek után a 1. p q r 2. p r p q r p q r p r A táblázat alapján amikor két premissza igaz, akkor p is igaz. Így P bűnössége megállapítható. Q és R lehet bűnös is és ártatlan is. Más megoldás. Abból a feltételezésből kiindulva, hogy P ártatlan, egyrészt azt kapjuk, hogy R bűnös, másrészt azt, hogy R ártatlan. Az ellentmondás kiküszöbölhető azzal, hogy azt tételezzük fel, hogy P bűnös.