Tantárgy neve Analízis I.

Átírás

1 Tantárgy neve Analízis I. Tantárgy kódja MTB006, MTB007 Meghirdetés féléve 2 Kreditpont 3+2 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Számonkérés módja K+G Előfeltétel (tantárgyi kód) MTB002 Tantárgyfelelős neve Tantárgyfelelős beosztása Főiskolai tanár. A tantárgy általános célja és specifikus célkitűzései A tantárgy általános célja, hogy megismertesse a hallgatót a matematikai analízis alapvető fogalmaival és eredményeivel. Tegye képessé arra, hogy önállóan gondolgodva tudjon feladatokat megoldani, olyanokat, melyek illeszkednek az előadás anyagához. A tárgy megalapozza a hallgató további matematikai tanulmányait. Általában véve is felkészíti a hallgatót az önálló matematikai, elemző gondolgodásra. 2. A tantárgy tartalma Halmazok és halmazelméleti műveletek. A halmazelméleti műveletek tulajdonságai. Algebrai struktúrák. Csoport, gyűrű, test. Relációk, függvények. Relációk összetétele és inverze. Függvények tulajdonságai. Ekvivalencia és rendezési reláció. Valós számok és tulajdonságaik. Topológiai alapismeretek a számegyenesen. Számsorozatok. Bolzano-Weierstrass tétel, Cauchy-féle konvergencia kritérium. Műveletek konvergens számsorozatokkal. Speciális sorozatok. Számsorok, részletösszeg. Konvergencia és divergencia tételek számsorokra. Műveletek konvergens számsorokkal. Valós függvények határértéke és folytonossága, a folytonos függvények alapvető tulajdonságai. Egyenletes folytonosság. Folytonos függvények korlátos és zárt intervallumokon. A határérték és a folytonosság kapcsolata. Határérték és műveletek függvényekkel. Függvénysorozatok és függvénysorok. Abszolút konvergencia. Egyenletes konvergencia. Konvergens abszolút numerikus majoráns. Hatványsorok, konvergencia sugár, Cauchy-Hadamard tétel.

2 Elemi függvények, az exponenciális, a trigonometrikus és hiperbolikus függvények tulajdonságai. 3. Évközi ellenőrzés módja vizsga és gyakorlati jegy 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai nincsen 5. A kötelező ill. ajánlott irodalom Császár Ákos: Valós analízis I. Tankönyvkiadó, Budapest, 984. Lajkó Károly: Analízis I. Egyetemi Kiadó, Debrecen, Leindler László, Schipp Ferenc: Analízis I. Tankönyvkiadó, Budapest, 999. Leindler László, Analízis jegyzet, Polygon, 200. Babcsányi I.-Wettl F. Matematikai feladatgyűjtemény I. Műegyetemi Kiadó 998. B.P. Gyemidovics: Matematikai analízis feladatgyűjtemény, Tankönyvkiadó, Budapest, 987. S. Hildebrandt, Analysis. 2nd corr. ed. (German), Springer-Lehrbuch. Berlin: Springer, S. Ramanan, Global calculus. (English) Graduate Studies in Mathematics 65. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS), R. Godement, Analysis I. Convergence, elementary functions. Transl. from the French by Philip Spain. (English) Universitext. Berlin: Springer R. Godement, Analyse mathématique I. Convergence, fonctions élémentaires. (Mathematical analysis I. Convergence, elementary functions). 2čme éd. corrigée. (French) Berlin: Springer, 200. F. Klein, Elementary mathematics from an advanced standpoint. Arithmetic, algebra, analysis. Translated from the third German edition by E. R. Hedrick and C. A. Noble. Reprint of the 932 translation. (English) Mineola, NY: Dover Publications, M. Koecher, Klassische elementare Analysis. (Classical elementary analysis). (German) Basel - Boston: Birkhäuser Verlag, 987. R.E. Edwards, A formal background to mathematics. 2a, 2b. A critical approach to elementary analysis. (English) Universitext. New York - Heidelberg - Berlin: Springer-

3 Verlag Kenneth A. Ross, Elementary analysis: The theory of calculus. (English) Undergraduate Texts in Mathematics. New York - Heidelberg - Berlin: Springer-Verlag, 980. M. Eisen, Elementary combinatorial analysis. (English) Notes on Mathematics and its Applications. New York - London - Paris: Gordon and Breach Science Publishers, 969. A. Keith, A. W.J. Donaldson, Elementary calculus. (English) London: Robert Gibson & Sons LXXII, 952. L. Murti, Elementary calculus, for intermediate students. (English) Guntur: Rao Brothers, XXIII, A tantárgy tárgyi szükségletei és ellátása a tantárgynak jellemzően nincsenek tárgyi szükségletei. Azonban néhány előadás esetében komputeralgebrai szoftver használata igen hasznos és kívánatos. Következésképpen notebook és projektor mint tárgyi eszközök szükségesek a tárgy látványosan reprezentálható részeihez.

4 Vizsga tételsor az Analízis I cím tantárgyhoz () Halmazok és halmazelméleti m veletek. A halmazelméleti m veletek tulajdonságai. (2) Algebrai struktúrák. Csoport, gy r, test. (3) Relációk, függvények. Relációk összetétele és inverze. Függvények tulajdonságai. Ekvivalencia és rendezési reláció. (4) Valós számok és tulajdonságaik. Topológiai alapismeretek a számegyenesen. (5) Számsorozatok. Bolzano-Weierstrass tétel, Cauchy-féle konvergencia kritérium. (6) M veletek konvergens számsorozatokkal. Speciális sorozatok. (7) Számsorok, részletösszeg. Konvergencia és divergencia tételek számsorokra. M veletek konvergens számsorokkal. (8) Valós függvények határértéke és folytonossága, a folytonos függvények alapvet tulajdonságai. Egyenletes folytonosság. (9) Folytonos függvények korlátos és zárt intervallumokon. A határérték és a folytonosság kapcsolata. Határérték és m veletek függvényekkel. (0) Függvénysorozatok és függvénysorok. Abszolút konvergencia. Egyenletes konvergencia. Konvergens abszolút numerikus majoráns. () Hatványsorok, konvergencia sugár, Cauchy-Hadamard tétel. (2) Elemi függvények, az exponenciális, a trigonometrikus és hiperbolikus függvények tulajdonságai. A tételek közül a vizsgázó egy f és egy melléktételt kap. A f tételt részletesen ki kell dolgozni. Ebb l a részb l a vizsgáztató részletekbe men en kérdezi, ideértve a f tételhez tartozó tételek bizonyítását is. A melléktételt a vizsgázónak nem kell részletekbe men en tudnia, ami azt jelenti, hogy az egyes deniciók és tételek pontos megfogalmazása és kimondása elvárható, de az idetartozó tételek bizonyítását nem kell elmondania a vizsgázónak. A vizsga érdemjegye jeles, ha a vizsgázó a f tételéhez tartozó összes deniciót, tételt és bizonyítást tudja, a melléktételéhez tartozó összes deniciót, tételt tudja. És a félévi anyagot összefüggéseiben is látja. Ha a vizsgán a hallgató egyetlen tétel bizonyítását sem tudja, ez még önmagában nem ok a sikertelen vizsgára, de jeles, vagy jó érdemjegyet már nem kaphat. A vizsga írásban történik. A rendelkezésre álló id 45 perc.

5 Analízis I minta zárthelyi dolgozat. zh Dátum: Név, szak (nyomtatott bet kkel): () Legyenek az A i (i I), B halmazok tetsz lgesek. Igazolja, hogy ( ) A i B = (A i B). i I i I (2) Legyen A R tetsz leges halmaz. Igazolja, hogy A bels pontjainak halmaza nyílt halmaz. (3) Legyen A R tetsz leges halmaz. Igazolja, hogy A A = R \ ext(a). (4) Határozza meg a következ hatványsor konvergencia sugarát! ( ) n x n. n! n=0 A zárthelyi dolgozat érdemjegye a jól megoldott feladatol száma plusz egy. Részmegoldásokra kapnak pontot. A megoldásra 45 perc áll rendelkezésre. Aki befejezte a munkát el bb is elhagyhatja a termet, miután a dolgozatát beadta. A dolgozat írása közben kérdésekre válaszolni nem áll módomban. Jó munkát kívánok!

6 Analízis I minta zárthelyi dolgozat 2. zh Dátum: Név, szak (nyomtatott bet kkel): () Határozza meg a kövekez határértéket! cos(x) lim x 0 x 2 (2) Határozza meg a kövekez sorozatok határértékét! ( ) 3n 2n + 3, 2n2 + n 2n 2n 2 n. (3) Legyen a >, a := a, a n+ := 2 (a n + a a n ). Vizsgálja meg az (a n ) sorozatot monotonitás szempontjából! (4) Legyen f, g két seholsem folytonos függvény. Lehetséges-e, hogy függény mindenhol folytonos? h(x) := max {f(x), g(x)} (x R) A zárthelyi dolgozat érdemjegye a jól megoldott feladatol száma plusz egy. Részmegoldásokra kapnak pontot. A megoldásra 45 perc áll rendelkezésre. Aki befejezte a munkát el bb is elhagyhatja a termet, miután a dolgozatát beadta. A dolgozat írása közben kérdésekre válaszolni nem áll módomban. Jó munkát kívánok!

7 Tantárgy neve Analízis II. Tantárgy kódja MTB03, MTB04 Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 3+2 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Számonkérés módja K+G Előfeltétel (tantárgyi kód) MTB006 Tantárgyfelelős neve Tantárgyfelelős beosztása Főiskolai tanár. A tantárgy általános célja és specifikus célkitűzései A tantárgy általános célja, hogy az analízis I tanulmányokat folytatva bővítse hallgató ismereteit a matematikai analízis alapvető fogalmaival és eredményeivel. Bővítse és fejlessze képességeit, hogy még jobban legyen képes önállóan gondolkodva feladatokat megoldani, olyanokat, melyek illeszkednek az előadás anyagához. A tárgy megalapozza a hallgató további matematikai tanulmányait. Általában véve is felkészíti a hallgatót az önálló matematikai, elemző gondolgodásra. Kialakítja a hallgatókban azt a képességet, hogy a gyakorlati alkalmazásokban felmerülő különféle optimalizálási problémákra matematikai modelleket tudjanak megadni és vizsgálni. 2. A tantárgy tartalma Valós függvények differenciálszámítása. Elemi függvények differenciálhányadosai, differenciálási szabályok, középértéktételek. Magasabbrendű deriváltak, Taylor polinomok. A hibatagra vonatkozó Taylor tétel. A Taylor tétel alkalmazása. Taylor sorok. Függvényvizsgálat a differenciálszámítás eszközeivel. Függvény deriváltjának előjele és monotonitása közötti kapcsolat. Függvények konvexitása és konkavitása. A második derivált és a konvexitás kapcsolata. Az inflexiós pont definiciója, illetve meghatározására. Primitív függvény, módszerek a primitív függvények meghatározására. Valós függvények Riemann integrálja. Integrálhatósági feltételek. Integrálási szabályok. A Riemann integrál alapvető tulajdonságai. A Newton-Leibniz formula. Az integrálfüggvény folytonossága, differenciálhatósága. A Riemann integrálra vonatkozó egyenlőtlenségek. A Riemann integrálra vonatkozó középértéktételek. A Riemann integrál néhány alkalmazása. Az improprius integrál. Függvények közötti műveletek és az improprius integrál kapcsolata.

8 3. Évközi ellenőrzés módja vizsga és gyakorlati jegy 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai nincsen 5. A kötelező ill. ajánlott irodalom Császár Ákos: Valós analízis II. Tankönyvkiadó, Budapest, 984. B.P. Gyemidovics: Matematikai analízis feladatgyűjtemény. Tankönyvkiadó, Budapest, 987. Lajkó Károly: Analízis II. Egyetemi jegyzet, Debrecen, Lajkó Károly: Kalkulus I-II példatár. Egyetemi jegyzet, Debrecen, Pál Jenő, Schipp Ferenc, Simon Péter: Analízis II. Tankönyvkiadó, Budapest, 998. Kenneth A. Ross, Elementary analysis: The theory of calculus. (English) Undergraduate Texts in Mathematics. New York - Heidelberg - Berlin: Springer-Verlag, 980. A. Keith, A. W.J. Donaldson, Elementary calculus. (English) London: Robert Gibson & Sons LXXII, 952. L. Murti, Elementary calculus, for intermediate students. (English) Guntur: Rao Brothers, XXIII, 95. M. Koecher, Klassische elementare Analysis. (Classical elementary analysis). (German) Basel - Boston: Birkhäuser Verlag, 987. R.E. Edwards, A formal background to mathematics. 2a, 2b. A critical approach to elementary analysis. (English) Universitext. New York - Heidelberg - Berlin: Springer- Verlag A tantárgy tárgyi szükségletei és ellátása a tantárgynak jellemzően nincsenek tárgyi szükségletei. Azonban néhány előadás esetében komputeralgebrai szoftver használata igen hasznos és kívánatos. Következésképpen notebook és projektor mint tárgyi eszközök szükségesek a tárgy látványosan reprezentálható részeihez.

9 Vizsga tételsor az Analízis II cím tantárgyhoz ().Valós függvények dierenciálszámítása. Elemi függvények dierenciálhányadosai. (2) Dierenciálási szabályok, középértéktételek. (3) Magasabbrend deriváltak, Taylor polinomok. A hibatagra vonatkozó Taylor tétel. A Taylor tétel alkalmazása. Taylor sorok. (4) Függvényvizsgálat a dierenciálszámítás eszközeivel. Függvény deriváltjának el jele és monotonitása közötti kapcsolat. (5) Függvények konvexitása és konkavitása. A második derivált és a konvexitás kapcsolata. Az inexiós pont deniciója, illetve meghatározására. (6) Primitív függvény, módszerek a primitív függvények meghatározására. (7) Valós függvények Riemann integrálja. Integrálhatósági feltételek. Integrálási szabályok. (8) A Riemann integrál alapvet tulajdonságai. A Newton-Leibniz formula. Az integrálfüggvény folytonossága, dierenciálhatósága. (9) A Riemann integrálra vonatkozó egyenl tlenségek. A Riemann integrálra vonatkozó középértéktételek. (0) A Riemann integrál néhány alkalmazása. Az improprius integrál. Függvények közötti m veletek és az improprius integrál kapcsolata. A tételek közül a vizsgázó egy f és egy melléktételt kap. A f tételt részletesen ki kell dolgozni. Ebb l a részb l a vizsgáztató részletekbe men en kérdezi, ideértve a f tételhez tartozó tételek bizonyítását is. A melléktételt a vizsgázónak nem kell részletekbe men en tudnia, ami azt jelenti, hogy az egyes deniciók és tételek pontos megfogalmazása és kimondása elvárható, de az idetartozó tételek bizonyítását nem kell elmondania a vizsgázónak. A vizsga érdemjegye jeles, ha a vizsgázó a f tételéhez tartozó összes deniciót, tételt és bizonyítást tudja, a melléktételéhez tartozó összes deniciót, tételt tudja. És a félévi anyagot összefüggéseiben is látja. Ha a vizsgán a hallgató egyetlen tétel bizonyítását sem tudja, ez még önmagában nem ok a sikertelen vizsgára, de jeles, vagy jó érdemjegyet már nem kaphat. A vizsga írásban történik. A rendelkezésre álló id 45 perc.

10 Analízis II minta zárthelyi dolgozat. zh Dátum: Név, szak (nyomtatott bet kkel): () Határozza meg a kövekez függvény deriváltját! f(x) := x2 sin(x 2 + ) cos(sin(x)) (x R). (2) Vizsgálja meg, hogy a kövekez függvény hol növekszik és hol csökken! f(x) := x log(x) (x > 0). (3) Adja meg a kövekez függvény x = 0 pont körüli T 2 Taylor polinomját! Adjon fels becslést a hibatagra! f(x) := sin(x 2 ) (x [0, π/2]). (4) Legyen f, g két mindenhol dierenciálható függvény. Igaz-e, hogy ekkor az függény is mindenhol dierenciálható? h(x) := max {f(x), g(x)} (x R) A zárthelyi dolgozat érdemjegye a jól megoldott feladatol száma plusz egy. Részmegoldásokra kapnak pontot. A megoldásra 45 perc áll rendelkezésre. Aki befejezte a munkát el bb is elhagyhatja a termet, miután a dolgozatát beadta. A dolgozat írása közben kérdésekre válaszolni nem áll módomban. Jó munkát kívánok!

11 Analízis II minta zárthelyi dolgozat 2. zh Dátum: Név, szak (nyomtatott bet kkel): () Határozza meg a kövekez függvény hatátozatlan integrálját! f(x) := x2 + 2x +. 2x (2) Határozza meg a kövekez Riemann integrálokat! π 0 x 2 sin(x)dx, 4 0 2x + dx. (3) Legyen f(x) = 2x 3/2, ahol x [0, ]. Számolja ki a görbe ívhosszát! (4) Határozza meg a kövekez improprius integrált! + 2 x 2 + x + dx. A zárthelyi dolgozat érdemjegye a jól megoldott feladatol száma plusz egy. Részmegoldásokra kapnak pontot. A megoldásra 45 perc áll rendelkezésre. Aki befejezte a munkát el bb is elhagyhatja a termet, miután a dolgozatát beadta. A dolgozat írása közben kérdésekre válaszolni nem áll módomban. Jó munkát kívánok!