A CINDERELLA PROGRAM HASZNÁLATA A GEOMETRIA TANÍTÁSÁBAN

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A CINDERELLA PROGRAM HASZNÁLATA A GEOMETRIA TANÍTÁSÁBAN"

Átírás

1 A CINDERELLA PROGRAM HASZNÁLATA A GEOMETRIA TANÍTÁSÁBAN Nagyné Kondor Rita DE MFK Ipari Menedzsment és Mûszaki Informatika Tanszék Absztrakt: A számítógépes rajzolóprogramok új lehetõségeket nyitnak meg a geometria tanításában: gyorsan, pontosan, a bemeneti adatokat rugalmasan változtatva lehet rajzok sokaságát elõállítani, megkönnyítve ezzel a geometria felfedezésének útját. Az elõadás célja rámutatni a dinamikus geometriai rendszerek alkalmazási lehetõségeire az általános- és középiskolában, valamint a távoktatásban. E rendszerek általános jellemzõje, hogy a szerkesztés lépéseit raktározzák, mely lépéseket a bemeneti adatok változtatása után is végrehajtanak. Az alkalmazások bemutatásához a Cinderella programot választottuk.

2 A Cinderella program használata a geometria tanításában A geometria az a mûvészet, mely rossz ábrákból jó következtetéseket von le. Pólya György a hagyományos matematikatanárról A gondolkodás iskolája c. könyvében 1. Bevezetés Az USA-ban már az 1970-es évek közepére kiderült, hogy a tanulók a tudásszintjüket és neveltségüket tekintve messze elmaradnak az elõzõ generációtól. A neveléstudomány szakemberei keresték az utat, hogyan lehetne a tanulást az eddiginél jóval hatékonyabbá tenni. A kutatásnak nagy lendületet adott a számítógépek megjelenése és rohamos elterjedése. A számítógépes programok elterjedése az oktatásban egy szemléletváltást kényszerít ki: át kell gondolnunk azt, hogy mit tartunk fontosnak: leértékelõdik a formális tudás (a számítógép ezt gyorsabban és jobban tudja) és felértékelõdik a problémamegoldás képessége. [13] A geometriai problémamegoldás útja a rajzoknál kezdõdik, hiszen a helyes következtetéshez pontos rajzok szükségesek. Példaként tekintsük a közismert tételt, amely szerint bármely háromszögben a magasságvonalak egy pontban metszik egymást. Azért, hogy meggyõzzük a tanulókat ezen egyszerû állítás érvényességérõl, egy diákkal felrajzoltatunk egy példát errõl a tételrõl. Sajnos a gyakorlatban a legtöbb esetben a három egyenes nem fog egy közös pontban találkozni. Elegendõ egy kis pontatlanság és a magasságvonal elcsúszik kissé. Ez nemhogy tanulságos nem lesz a gyerekeknek, hanem inkább összezavarja õket. Tehát az oktatásban és a gyakorlatban nélkülözhetetlen a korrekt ábra. A számítógépes rajzoló programok ezt a célt támogatva segítenek a szerkesztéseknél, új lehetõségeket nyitnak meg a geometria tanításában: gyorsan, pontosan, a bemeneti adatokat rugalmasan változtatva lehet rajzok sokaságát elõállítani, megkönnyítve ezzel a geometria felfedezésének útját. A dolgozat célja rámutatni a dinamikus geometriai rendszerek alkalmazási lehetõségeire az általános és középiskolában. Ehhez alapul a Cinderella programot választottuk, amely természetesen nem az egyedüli választási lehetõség lenne (Euklides, Cabri, Euklid,...). Minden alkalmazási lehetõséget egy-két kidolgozott példával illusztrálunk. 2. A dinamikus geometriai rendszerek fõ jellemzõi A dinamikus geometriai rendszer (DGS) nem egyszerûen komputerrel támogatott rajzeszköz, mely egy konkrét statikus ábra elkészítését teszi lehetõvé, hanem az ábrákat dinamikus egységnek tekinti. E rendszerek általános jellemzõje, hogy a szerkesztés lépéseit raktározzák, mely lépéseket a bemeneti adatok változtatása után is végrehajtják. A bevezetésben említett példára visszatérve képesek leszünk ellenõrizni a három magasságvonal egy pontra való illeszkedésére vonatkozó tényt nem csupán egy háromszögre, hanem a háromszögek egy igen nagy halmazára is. Így el lehet kerülni, hogy az ábra egyes részei között olyan szembeötlõ összefüggések legyenek, melyeket a feladat nem ír elõ. A DGS-el szemben támasztott követelmény egy fontos kérdést vet fel: mennyire marad elvégezhetõ a szerkesztés a bemeneti adatok változtatása után. A Cinderella válasza erre a kérdésre, két példával illusztrálva: Tekintsük a következõ esetet: Rajzoljunk két kört, amelyek egymást metszik két pontban. E két pontot kössük össze egy egyenessel, (ez lesz a két kör hatványvonala). A körök mozgatásakor ez az egyenes is elmozdul, de mindig merõleges lesz a két kör középpontját összekötõ egyenesre. De vajon mi történik, ha a két kör középpontja a két sugár összegénél

3 távolabb kerül egymástól? A két metszéspont eltûnik, és az egyenes is? Vagy ami még rosszabb: a program nem engedi meg a két kör ilyen mozgatását? A Cinderella ekkor is megszerkeszti a hatványvonalat, mert a számolásokat komplex számokkal végzi el, s a két kör (nem végtelen távoli) metszéspontjait és az ezekre illeszkedõ (már valós) egyenest ekkor is megtalálja. (1. ábra) Ez a példa mutatja, hogy a komplex számokkal való számolás bevezetése igen leegyszerûsíti a geometriai szerkesztéseket az eltûnõ metszéspontok kiküszöbölésével. 1. ábra. Hatványvonal szerkesztése. Az euklideszi síkon két egyenes metszi egymást, ha nem párhuzamosak. Két metszõ egyenes lehet, hogy párhuzamos lesz, ha a szerkesztés néhány elemét elmozdítjuk. Ez a következõ problémához vezethet: Mi lesz azokkal az egyenesekkel, amelyeket ez a metszéspont és egy másik pont határozott meg? Az ilyen egyeneseknek párhuzamosaknak kellene ezután lennie a két adott egyenessel, de ehelyett eltûnnek, mivel a meghatározó pontjai többé már nem

4 határozzák meg õket. Hogyan kerülhetjük el ezt a helyzetet? A Cinderella a projektív síkon végzi a számításokat, ezért a két párhuzamos egyenes végtelen távoli metszéspontját tudja értelmezni homogén koordinátákkal. A harmadik egyenest ezekkel párhuzamosan fogja megrajzolni, az adott végtelen távoli ponton keresztül. (2. ábra) 2. ábra. Metszõ egyenesek euklideszi és projektív síkon. Az alkalmazó szempontjából a fontos megállapítás az, hogy a Cinderella a számításokat a komplex projektív síkon végzi. Didaktikai szempontból ez lehet zavaró (az elõzõ szerkesztés elvégezhetõsége egy középiskolásnak is problémát okozhat). Az alkalmazó tanárnak a felhasználás tervezésekor ezt figyelembe kell venni, s az így felmerülõ problémákat el kell kerülni. [5], [6], [7] 3. Alkalmazási lehetõségek A Cinderellának a geometria oktatásban való alkalmazási lehetõségei közül a következõket vizsgáltuk: Ponthalmazok keresése (egyszerû halmazkeresés; feltételek elhagyásának módszere). Diszkusszió, a határesetek vizsgálata. Automatikus tételellenõrzés. A szerkesztõeszközök korlátozása. Az összehasonlító geometria. Web-alapú oktatás (tanári irányítással; Internet alapú távoktatás e-learning). Minden alkalmazási lehetõséget egy-két kidolgozott példával illusztrálunk. 4. A kreativitás fejlesztésének néhány eszköze A tanulók kreativitásá nak fejlesztése az egyik legerõsebben tanár-függõ területe a matematikai nevelésnek. E területen eredményes lehet a Cinderella a tanulók fejlesztésében.

5 4.1. Ponthalmazok keresése Halmazkeresés A Cinderella lehetõséget ad a ponthalmaz megtalálására akkor is, ha nem körrõl vagy egyenesrõl van szó, mivel a program a kúpszeletet is felismeri. Meg kell adnunk, hogy melyik pont mozogjon, melyik objektumon és ennek hatására melyik pont mozgását rajzolja meg a program. A Cinderella ponthalmazok keresésére a középiskolában lehet alkalmazható, miután a tanulók tisztában vannak a kúpszeletek fogalmával. Célunk a sejtéshez juttatás. Ha dinamikus ábrát szeretnénk, lehetõségünk van animációk készítésére akár html formátumban is. 1. Példa. Adott egy kör és a belsejében az M pont. Egy M csúcsú derékszög szárai a kört az A és B pontokban metszik. Mi az AB szakasz felezõpontjának mértani helye, ha a derékszög körbefordul az M pont körül? (KöMaL november, B 3588.) (3. ábra) A feltételek elhagyásának módszere 3. ábra. B A feltételek elhagyásának módszere gyakran használt megoldástípus a geometriában. Ha több feltételt kielégítõ pontok halmazát kell megkeresnünk, akkor sorban külön-külön megkeressük az egyes feltételeknek megfelelõ ponthalmazokat, majd azok közös részét képezzük. Pólya klasszikus feladata: a gótikus ablak (Az AB szakasz és két körív, AC és BC háromszögletû idomot zár be. Az egyik kör középpontja A, a másiké B, és mindkét kör átmegy a másik középpontján. Írjunk a háromszögletû idomba mind a három határvonalat érintõ kört.) A feltételek elhagyásának módszerével a feladat az az érdekes probléma, hogy találjunk két feltételt teljesítõ kört (tehát amely érinti az egyik kört és a szakaszt). Ha megadjuk az érintési pontot, mondjuk a körön, a Cinderella segítségével, középpontos hasonlósággal megszerkeszthetõ a keresett kör. Ha ezen a problémán a diák túl van, akkor kerestetheti a programmal a megoldások halmazát, miközben az érintési pont mozog a körön. Nemcsak a kapott ábra alapján sejtheti, hogy paraboláról van szó, hanem a szerkesztési lista kiíratásával fel is ismerheti a parabola egyenletét. (4. ábra)

6 4. ábra. A gótikus ablak feladat és a szerkesztési lista Diszkusszió, a határesetek vizsgálata Egy geometriai feladat megoldása során gondolnunk kell arra is, hogy a kiindulási adatoktól függõen módosulhatnak a szerkesztési eljárások vagy maga a szerkeszthetõség. Tehát a szerkesztési feladatok megoldása gondos elemzést kíván. Szükséges megvizsgálni, hogyan alakul a feladat megoldása, megoldhatósága, ha nem általános, hanem speciális eseteket tekintünk. Ezen egérvezérelt interaktív geometriai program segítségével a szerkesztés befejezése után egy kiválasztott alapelem az egér segítségével tetszõleges irányba elmozdítható, és az egész szerkesztés következetesen változik ennek hatására. Így lehetõvé válik a rajz dinamikus viselkedésének a vizsgálata akár az általános iskola 8. osztályától kezdve. 1. Példa. Az oldalfelezõ merõlegesek metszéspontja a háromszög köré írt kör középpontja. E középpont elhelyezkedése hogyan függ a háromszög legnagyobb szögétõl. (8. osztály) (5. ábra) Diszkuss zió: Ha a háromszög hegyesszögû, akkor a köré írt kör középpontja a háromszögön belül van; ha derékszögû, akkor a köré írt kör középpontja az átfogó felezõpontja és ha tompaszögû, akkor a pont a háromszögön kívül van. 5. ábra. A háromszög köré írt kör középpontjának elhelyezkedése.

7 4.3. Automatikus tétel ellenõrzés A bizonyítások tanítása során három fázist különböztetünk meg: tételek megsejtése; bizonyítási ötlet megtalálása, bizonyítási stratégiák, módszerek alkalmazása; bizonyítás rögzítése, leírása; reflexió. [1] Az illeszkedésre vonatkozó tételek érvényességérõl meggyõzõdhetnek a diákok a Cinderellába beépített automatikus tételellenõrzõ funkció révén. A Cinderella fõként a bizonyítás elsõ fázisában használható az általános iskola 8. osztályától kezdve, tehát a program használatával a célunk a sejtéshez juttatás. 1. Példa. Bármely háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. (6. ábra) 6. ábra. A háromszög magasságvonalai. 2. Példa. Desargues-tétel: ha két háromszög oldalaira nézve perspektív, akkor csúcsaira nézve is az. (7. ábra) 7. ábra. Desargues-tétel.

8 4.4. A szerkesztõeszközök korlátozása A kreativitás fejlesztésének egyik eszköze az ismert problémák újfajta szabályok szerinti megközelítése. Jó példa erre a geometriában a szerkesztés szabályainak megváltoztatása, például a szerkesztõeszközök korlátozása. Példaként nézzünk három lehetõséget: a) a szerkesztésnél csak a vonalzó használatát engedjük meg; b) a régi, ismert szerkesztéseket végezzük el csak körzõvel (Mascheroni-féle szerkesztés); c) egy körvonal adva van a középpontjával együtt, és csak vonalzó használatát engedélyezzük (Steiner-féle szerkesztés). Csak vonalzóval olyan szerkesztések végezhetõk el, amelyek pontoknak egyenesekkel való összekötését és egyenesek metszéspontjainak meghatározását kívánják meg. Az utóbbi két szerkesztésfajtával az euklideszi szerkesztéssel megoldható feladatok mindegyike megoldható, eltekintve attól, hogy természetesen nem szerkeszthetünk az elsõvel egyenest, a másodikkal pedig kört (Mohr-Mascheroni tétel; Poncelet-Steiner tétel). Az interaktív feladatok kitûzésekor a tanár szabályozhatja a rendelkezésre álló szerkesztõeszközöket a Cinderellában és akár 8. osztálytól kezdve használható a kreativitás fejlesztésére. A célunk a szerkesztés elvégzése a program segítségével. Fontosabb (szerkesztõ)eszközök: (8. ábra) Mozgatás. Pont felvétele. Egyenes felvétele két ponttal. Egyenes felvétele pont és irány segítségével. Kör szerkesztése középpontjával és egy pontjával. Távolság felmérése. Metszéspont kijelölése. Párhuzamos szerkesztése adott ponton át. Merõleges szerkesztése adott ponton át. Utolsó szerkesztési lépés visszavonása. Segítség kérése. Feladat újrakezdése. 8. ábra. Szerkesztõeszközök. Az összes igénybe vehetõ eszközt a pont felvételére és a körzõre korlátoztuk.

9 1. Példa. Adott az AB szakasz F felezõpontjával és a P pont. Szerkesszünk a P ponton át párhuzamost az AB egyenessel, csak vonalzóval. [12] (9. ábra) 9. ábra. P-n át párhuzamos szerkesztése AB-vel, csak vonalzóval. Ez az ábra egyúttal azt is mutatja, hogy miképp lehet vonalzóval megszerkeszteni az AB szakasz felezõpontját, ha adva van az AB egyenessel párhuzamos egyenes. 2. Példa. Napoleon-feladat: négyzet szerkesztése körbe csak körzõvel. (10. ábra) 4.5. Az összehasonlító geometria 10. ábra. Napoleon-feladat. Az összehasonlító geometria a matematika többszempontú megközelítését kívánja megvalósítani. Az iskolában tanult euklideszi geometriáról is teljesebb, pontosabb képet kapunk,

10 ha bepillantunk egyéb geometriai rendszerekbe is. A Magyarországon folyó összehasonlítógeometriai oktatási kísérletek néhány középiskolában tanórán illetve szakköri foglalkozásokon vizsgálták az euklidészi geometriában tanultak érvényességét, a gömbi geometriában és a hiperbolikus geometriában (Horváth Jenõ, Kálmán Attila, Lénárt István, Schwenner Katalin, Tarcsay Tamás,...). A tanulók kedvezõen nyilatkoztak a tanultakról. A Cinderella lehetõséget nyújt szerkesztések elvégzésére gömbön (egyszeres elliptikus geometriában) és Poincare-féle körmodellben (hiperbolikus geometriában) is a fent említett oktatási kísérletekhez hasonlóan akár 8. osztálytól. Célunk itt a sejtéshez juttatás. 1. Példa. Két különbözõ egyenesnek hány közös pontja lehet? (11. ábra) Az euklideszi geometriában legfeljebb 1. A hiperbolikus geometriában legfeljebb 1. Az (egyszeres) elliptikus geometriában ábra. Két különbözõ egyenes közös pontja. 2. Példa. A háromszög belsõ szögeinek összege. (12. ábra) Az euklideszi geometriában 180. Az elliptikus geometriában 180 -nál nagyobb. A hiperbolikus geometriában 180 -nál kisebb. 12. ábra. A háromszög belsõ szögeinek összege.

11 5. Web-alapú oktatás 5.1. Tanári irányítással Mivel minden szerkesztés kimenthetõ interaktív weblapként, lehetõsége nyílik a tanulóknak a szerkesztések gyakorlására és a számonkérés is megvalósítható ilyen módon. A tanár beállíthatja a kiinduló objektumok és a kívánt objektumok halmazát a szerkesztéshez. Ezután kimentheti a feladatot a szerkesztõeszközök korlátozott halmazával. (Például ha egy olyan feladatot szeretne adni a diákoknak, amelyben a merõleges szerkesztését egy körzõ vel és egy vonalzóval kell elvégezni, akkor ehhez egy interaktív feladatlapot kell csak elkészítenie.) Így tanulóknak szóló feladatok, útmutatások, szerkesztési segítségek készíthetõk. Az útmutatásoknak kettõs célja van. Az elsõ: segítséget nyújtani a diáknak egy bizonyos feladat megoldásában. A második: fejleszteni a diák abbeli készségét, hogy a jövõben önállóan tudjon feladatokat megoldani. [9] Az útmutatások az általunk készített oktatási segédanyagban elõször általánosak, éppen csak irányt adnak és elég tennivalót hagynak a diák számára. Ha szükséges, áttér részletesebb és konkrétabb útmutatásokra. Fokozatosan következnek a speciálisabb útmutatások, hogy a munkának minél nagyobb részét a tanuló végezhesse el. Lehetõség van a szerkesztési feladatok megoldásának automatikus ellenõrzésére is. Példa: Az ábrázoló geometriából a Monge-projekció szerkesztéseit gyakoroltató saját fejlesztésû oktatócsomag. Az oktatócsomag témakörei: A kétképsíkos ábrázolásmód; pont és egyenes ábrázolása (1.-7. feladat) Síkábrázolás ( feladat) Metszési feladatok ( feladat) 1. Példa. Adottak az a és b általános helyzetû kitérõ egyenesek, az a egyenesre illeszkedõ A pont és egy v elsõ vetítõegyenes. Szerkessz olyan e egyenest, amely metszi mind a három adott egyenest és átmegy az A ponton. I/6. feladat (13. ábra) 2. Példa. Adott az ABCDEF hatszög második képe és az A, B, C csúcsok elsõ képe is. Határozd meg a D, E, F csúcsok elsõ képét úgy, hogy benne legyenek az ABC síkban. II/10. feladat (14. ábra) A feladatok megoldásánál azonban nemcsak a végeredmény a fontos, hanem tanulságos a gondolkodásnak az az útja is, amely a megoldáshoz vezetett. Ennek elemzése fejleszti a gondolkodókészséget. Mivel az elkészített feladatlapoknál lehetõség van a megoldási lépések visszavonására, illetve újbóli elvégeztetésére, nyomon követhetõ a megoldás menete, így e programot az iskolában oktatási segédeszközként használhatjuk anélkül, hogy korlátoznánk a tanulókat a kreativitásban.

12 13. ábra. I/6. feladat és a hozzá tartozó szerkesztési segítségek.

13 14. ábra. II/10. feladat és a hozzá tartozó szerkesztési segítségek.

14 5.2. Internet alapú távoktatás e-learning A tudásalapú társadalom követelményeire válaszul az oktatás és képzés iránti kereslet folyamatosan nõ. Mindez a hagyományos oktatás oldaláról az egyénre szabott oktatás irányába történt elmozdulásként összegezhetõ. Az internet alapú oktatás egy kommunikációs folyamat, mely túlnyomórészt internetes eszközökön keresztül zajlik, átviteli közegként az internet ill. intranet hálózatok szolgálnak. A tanulási folyamat a tanár személyes jelenlétére már csak kis mértékben alapoz. Az igazi távoktatás két fontos elemet tartalmaz: az egyik, hogy a tananyag nem csupán egy könyv vagy egy CD, hanem egy olyan módon elkészített anyag, melybe a tanár úgymond be van építve. Az anyagot úgy olvashatjuk el, hogy közben feladatokat kell teljesítenünk és lehetõséget kapunk saját elõrehaladásunk ellenõrzésére is. A kommunikációs folyamat szinkron vagy aszinkron jellegû. A szinkron távtanulás egyidõben, különbözõ helyen a tanulási folyamat azon formáját jelenti, amikor az oktató és a diák közvetlen kapcsolatban áll egymással. A tananyag elsajátítása az oktatásszervezõk ütemezésében történik. Szinkron távtanulási eszközök például a videokonferencia, az alkalmazás megosztás, csevegés. Az aszinkron távtanulás különbözõ idõben, különbözõ helyen egyidõben egymástól független, lekérdezhetõ eseményekre épül. Az aszinkron e-learning esetében egy adott szerver gépen elhelyezett elektronikus tananyag önállóan is feldolgozható, egyéni ütemezésben. Aszinkron távtanulás fontos elemei például az elektronikus levelezés, a dokumentum letöltés. Mindkét kommunikációs formára igaz, hogy a folyamat során az oktatótól a diák felé irányuló információ dominál, azonban a visszairányú és a diákok közötti kommunikáció megfelelõ minõsége és gyakorisága is kulcsfontosságú. Példa: az elõbb említett feladatok. A példánál a kommunikációs folyamat az oktató és a diák között lehet akár szinkron, akár aszinkron jellegû, célja a felnõttoktatás segítése. 6. A matematikai programcsomagok alkalmazásának haszna és veszélyei Lehetõségünk volt a dolgozat egyes részeinek kipróbálására egy általános iskola 8. osztályában (4.3. fejezet). Tapasztalatok szerint a diákok szívesen fogadják a számítógépes matematika gyakorlatot. A diákoknak lehetõségük volt elõzõ órán (szakköri foglalkozáson) a programmal ismerkedni, ezért nem okozott gondot az, hogy a program angol nyelvû. Tapasztalatunk szerint a számítógépes gyakorlat elõkészítése jóval idõigényesebb és költségesebb a hagyományos gyakorlatokénál, de a sikerélmény lehetõségét hordozza magában mind a tanár, mind a tanuló részére. Ahhoz, hogy a diákok nagyrészt önállóan dolgozhassanak megfelelõ útmutatókat kellett készíteni a feladatokhoz. Az útmutató részletesen tartalmazta a diák tevékenységét, és azt is, hogy mit miért csinál. Az útmutató készítésénél figyelembe kellett venni, milyen számítógépi ismerete van már a tanulóknak. A feltételek is adottak voltak az iskolákban, megfelelõ számú és minõségû számítógép. A tanárnak sikerült megtalálni közelítõleg az elmélet és az alkalmazás helyes arányát. Nyilvánvaló, hogy nemcsak a számítógéppel segített oktatás megszervezése, hanem az így született alkotások értékelése is sajátos szakértelmet igényel, de a számítógéppel modellezett tanulási környezetben az értékelés életszerûbb: a tanuló tudásáról nem csak azt tudjuk meg, menynyire gazdag és pontos, hanem azt is, használható-e és elõhívható-e, ha az életben szükség van rá. [4] A számítógépre tervezett taneszközök és oktatási rendszerek bemutatóin szükségszerûen kevés szó esett a lehetséges hátrányokról, a módszer buktatóiról. Abban többnyire megegyeznek

15 a szakértõk, hogy nem sok értelme van az új eszközökkel a régi céloknak való megfelelést keresni, ehelyett a gyorsan változó világ követelményeihez kellene igazodnia az oktatásnak is. A felmerülõ elméleti viták eldöntésének legjobb módja a kísérleti kipróbálás. Megfelelõen használva a matematikai szoftverek a tényleges matematikai ismeretek elsajátításában segíthetnek. Igen pontos, szép és látványos ábrázolási lehetõségeikkel jól segíthetik a megértést (kézzel táblán vagy papíron csak idõtrabló módon és pontatlanul tudunk ábrázolni, szemléltetni), így a matematikai ismeretek oktatásában is jól használhatók. [3]

16 Felhasznált irodalom [1] Ambrus András. Bevezetés a matematikadidaktikába. ELTE Eötvös Kiadó, [2] Kálmán Attila. Nemeuklideszi geometriák elemei. Nemzeti Tankönyvkiadó, [3] Kárpáti Andrea. Számítógéppel segített tanulás. Iskolakultúra, 1997/12. [4] Kis Piroska. A matematikai programcsomagok alkalmazása, haszna és veszélyei. [5] Ulrich H. Kortenkamp. Euklidische und Nicht-Euklidische Geometrie in Cinderella. Institut für Theoretische Informatik Zürich, [6] Ulrich H. Kortenkamp. Foundations of Dynamic Geometry. PhD thesis, Swiss Federal Institute of Technology Zürich, [7] Ulrich H. Kortenkamp, Jürgen Richter-Gerbert. Geometry and education in the internet age. [8] Lénárt István. Sík és gömb. Nem-euklideszi kalandok a rajzgömbön. Munkalapok a síkgeometria és a gömbi geometria összehasonlításához [9] Pólya György. A gondolkodás iskolája. Gondolat, [10] Pólya György. A problémamegoldás iskolája. Tankönyvkiadó, [11] Reiman István. Ábrázoló geometria (gimnáziumi fakultatív tárgy tankönyve). Tankönyvkiadó, [12] Szõkefalvi Nagy Gyula. A geometriai szerkesztések elmélete. Akadémiai Kiadó, [13] Tarcsay Tamás. A számítógép és az Internet felhasználása a matematika oktatásában.

Ageometriai problémamegoldás útja a rajzoknál kezdõdik, hiszen a helyes következtetéshez

Ageometriai problémamegoldás útja a rajzoknál kezdõdik, hiszen a helyes következtetéshez Iskolakultúra 2003/12 Nagyné Kondor Rita Dinamikus geometriai rendszerek a geometria oktatásában A számítógépes rajzolóprogramok új lehetőségeket nyitnak meg a geometria tanításában: gyorsan, pontosan,

Részletesebben

ÖSSZEHASONLÍTÓ GEOMETRIA BEVEZETÉS

ÖSSZEHASONLÍTÓ GEOMETRIA BEVEZETÉS Nagyné Kondor Rita ÖSSZEHASONLÍTÓ GEOMETRIA BEVEZETÉS Az élő, korszerű matematikaoktatás legfontosabb feladata, hogy önálló gondolkozásra, a döntéshelyzetek megismerésére és megoldására nevelje a fiatalokat.

Részletesebben

Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal-

Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Fazekas Gabriella IV. matematika-informatika Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Jelen tanulmány a fent megjelölt fogalmak egy lehetséges

Részletesebben

VI.1. NEVEZETESSÉGEK HÁROMSZÖGORSZÁGBAN. A feladatsor jellemzői

VI.1. NEVEZETESSÉGEK HÁROMSZÖGORSZÁGBAN. A feladatsor jellemzői VI.1. NEVEZETESSÉGEK HÁROMSZÖGORSZÁGBAN Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai: szögfelező, oldalfelező merőleges, magasság, beírt kör és középpontja, körülírt kör

Részletesebben

Egy feladat megoldása Geogebra segítségével

Egy feladat megoldása Geogebra segítségével Egy feladat megoldása Geogebra segítségével A következőkben a Geogebra dinamikus geometriai szerkesztőprogram egy felhasználási lehetőségéről lesz szó, mindez bemutatva egy feladat megoldása során. A Geogebra

Részletesebben

Feuerbach kör tanítása dinamikus programok segítségével

Feuerbach kör tanítása dinamikus programok segítségével Feuerbach kör tanítása dinamikus programok segítségével Buzogány Ágota IV. Matematika-Angol Fejezetek a matematika tanításából Kovács Zoltán 2004-12-10 2 A Feuerbach körnek többféle elnevezése is van,

Részletesebben

A DINAMIKUS GEOMETRIAI RENDSZEREK ÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA

A DINAMIKUS GEOMETRIAI RENDSZEREK ÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA A DINAMIKUS GEOMETRIAI RENDSZEREK ÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA NAGYNÉ KONDOR Rita Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék 4028 Debrecen, Ótemető u. 2 4. rita@mk.unideb.hu KIVONAT A GeoGebra

Részletesebben

Dinamikus geometriai programok

Dinamikus geometriai programok 2010. szeptember 18. Ebben a vázlatban arról írok, hogyan válhatnak a dinamikus geometriai programok a matematika tanítás hatékony segítőivé. Reform mozgalmak a formális matematika megalapozását az életkjori

Részletesebben

Dinamikus geometriai programok

Dinamikus geometriai programok 2011. február 19. Eszköz és médium (fotó: http://sliderulemuseum.com) ugyanez egyben: Enter Reform mozgalmak a formális matematika megalapozását az életkjori sajátosságoknak megfelelő tárgyi tevékenységnek

Részletesebben

A dinamikus geometriai rendszerek használatának egy lehetséges területe

A dinamikus geometriai rendszerek használatának egy lehetséges területe Fejezetek a matematika tanításából A dinamikus geometriai rendszerek használatának egy lehetséges területe Készítette: Harsányi Sándor V. matematika-informatika szakos hallgató Porcsalma, 2004. december

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói A matematikai feladatok és megoldások konvenciói Kozárné Fazekas Anna Kántor Sándor Matematika és Informatika Didaktikai Konferencia - Szatmárnémeti 2011. január 28-30. Konvenciók Mindenki által elfogadott

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 15. modul SÍKIDOMOK. Készítette: Vidra Gábor

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 15. modul SÍKIDOMOK. Készítette: Vidra Gábor Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 15. modul SÍKIDOMOK Készítette: Vidra Gábor MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 15. modul: SÍKIDOMOK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

2016/2017. Matematika 9.Kny

2016/2017. Matematika 9.Kny 2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 4. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

A MATEMATIKAI SZOFTVEREK ALKALMAZÁSI KÉSZSÉGÉT, VALAMINT A TÉRSZEMLÉLETET FEJLESZTŐ TANANYAGOK KIDOLGOZÁSA A DEBRECENI EGYETEM MŰSZAKI KARÁN

A MATEMATIKAI SZOFTVEREK ALKALMAZÁSI KÉSZSÉGÉT, VALAMINT A TÉRSZEMLÉLETET FEJLESZTŐ TANANYAGOK KIDOLGOZÁSA A DEBRECENI EGYETEM MŰSZAKI KARÁN A MATEMATIKAI SZOFTVEREK ALKALMAZÁSI KÉSZSÉGÉT, VALAMINT A TÉRSZEMLÉLETET FEJLESZTŐ TANANYAGOK KIDOLGOZÁSA A DEBRECENI EGYETEM MŰSZAKI KARÁN Dr. Kocsis Imre DE Műszaki Kar Dr. Papp Ildikó DE Informatikai

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2. 1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

Síklapú testek. Gúlák, hasábok Metszésük egyenessel, síkkal

Síklapú testek. Gúlák, hasábok Metszésük egyenessel, síkkal Síklapú testek Gúlák, hasábok Metszésük egyenessel, síkkal Az előadás átdolgozott részleteket tartalmaz a következőkből: Gubis Katalin: Ábrázoló geometria Vlasta Szirovicza: Descriptive geometry Síklapú

Részletesebben

A tér lineáris leképezései síkra

A tér lineáris leképezései síkra A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása

Részletesebben

SZERZŐ: Kiss Róbert. Oldal1

SZERZŐ: Kiss Róbert. Oldal1 A LOGO MindStorms NXT/EV3 robot grafikus képernyőjét használva különböző ábrákat tudunk rajzolni. A képek létrehozásához koordináta rendszerben adott alakzatok (kör, téglalap, szakasz, pont) meghatározó

Részletesebben

DIGITÁLIS KOMPETENCIA FEJLESZTÉSE TANÍTÁSI ÓRÁKON

DIGITÁLIS KOMPETENCIA FEJLESZTÉSE TANÍTÁSI ÓRÁKON DIGITÁLIS KOMPETENCIA FEJLESZTÉSE TANÍTÁSI ÓRÁKON Juhász Gabriella A digitális kompetencia fogalma A digitális kompetencia az elektronikus média magabiztos és kritikus alkalmazása munkában, szabadidőben

Részletesebben

VII.4. RAJZOLGATUNK II. A feladatsor jellemzői

VII.4. RAJZOLGATUNK II. A feladatsor jellemzői VII.4. RAJZOLGATUNK II. Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Axonometrikus rajzok készítése megadott szempontok alapján, meglévő rajzok kiegészítése, azokban való tájékozódás. Előzmények Arányos számítások,

Részletesebben

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET)

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10 14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) Kosztolányi József - Mike János MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10-14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK **

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Telepítő programok Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Súgó Menü Súgó Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Dinamikus geometriai rendszerek jellemzõi

Dinamikus geometriai rendszerek jellemzõi Dinamikus módszerek alkalmazása a geometriaoktatás különbözõ területein Árki Tamás SzTE JGYTFK Matematikai Tanszék Ebben a cikkben a dinamikus geometriai rendszerek tipikus szolgáltatásainak módszertani

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

SZERZŐ: Kiss Róbert. Oldal1

SZERZŐ: Kiss Róbert. Oldal1 A LEGO MindStorms NXT/EV3 robot grafikus képernyőjét és programozási eszközeit használva különböző dinamikus (időben változó) ábrákat tudunk rajzolni. A képek létrehozásához koordináta rendszerben adott

Részletesebben

Fontos a pontosság. Miklós Ildikó Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok

Fontos a pontosság. Miklós Ildikó Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok Fontos a pontosság Miklós Ildikó Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok miklosildiko@komal.hu Amikor egy geometriai feladathoz megpróbálunk ábrát rajzolni, elıfordulhat, hogy nehézségekbe ütközünk:

Részletesebben

MATEMATIK A 9. évfolyam. 1. modul: HALMAZOK KÉSZÍTETTE: LÖVEY ÉVA

MATEMATIK A 9. évfolyam. 1. modul: HALMAZOK KÉSZÍTETTE: LÖVEY ÉVA MATEMATIK A 9. évfolyam 1. modul: HALMAZOK KÉSZÍTETTE: LÖVEY ÉVA Matematika A 9. évfolyam. 1. modul: HALMAZOK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok Halmazokkal

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Orbán Béla EGY CSEPP GEOMETRIA

Orbán Béla EGY CSEPP GEOMETRIA Orbán Béla EGY CSEPP GEOMETRIA A matematikai feladatok egy része olyan szellemi erőfeszítést igénylő rejtvényként fogható fel, amelynek megoldása jóleső érzést (sikerélményt) biztosít. Fokozott mértékben

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

VI.3. TORPEDÓ. A feladatsor jellemzői

VI.3. TORPEDÓ. A feladatsor jellemzői VI.. TORPEDÓ Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Tengelyes és középpontos tükrözés, forgatás, eltolás és szimmetriák. Előzmények A tanulók ismerik a tengelyes tükrözést, középpontos tükrözést, 0 -os pont

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 14. modul GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK. Készítette: Vidra Gábor

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 14. modul GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK. Készítette: Vidra Gábor Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 14. modul GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK Készítette: Vidra Gábor MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 14. modul: GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Óratípusok. Dr. Nyéki Lajos 2016

Óratípusok. Dr. Nyéki Lajos 2016 Óratípusok Dr. Nyéki Lajos 2016 Bevezetés Az oktatási folyamatban alkalmazott szervezeti formák legfontosabb komponense a tanítási óra. Az ismeret-elsajátítás alapegysége a témakör. A tanítási órák felosztása,

Részletesebben

Hogyan lehet a nappali tagozatos hallgatókat éjjel is tanítani?

Hogyan lehet a nappali tagozatos hallgatókat éjjel is tanítani? Hogyan lehet a nappali tagozatos hallgatókat éjjel is tanítani? Dr. Létray Zoltán Egyetemi docens EIK igazgató Széchenyi István Egyetem Az előadás tartalma: E-learning rendszer bevezetése a Széchenyi István

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22. osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői

XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői XI.5. LÉGY TE A TANÁR! Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Algebrai, geometriai, kombinatorikai és valószínűségszámítási tipikus gondolkodási hibák, buktatók. Előzmények Mérlegelv, másodfokú egyenletek

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT I. 45 perc A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z 146/1 147/2 1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z b) 0; H; I; N; O; S; X; Z c) 0; O; H; I; X; Z a) kőr dáma b) pikk jumbo; kőr dáma.; káró

Részletesebben

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat 3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 11. évfolyam 2. félév ESZKÖZÖK Matematika A 11. évfolyam 6. modul 6.1 kártyakészlet 6.1 kártyakészlet leírása A kártyákon pontok koordinátáit találjuk. A tanulók

Részletesebben

Távoktatási tananyagok. fejlesztése

Távoktatási tananyagok. fejlesztése Távoktatási tananyagok 1 fejlesztése se Kérdések 1. Miért választotta a tárgyat? 2. Mire akarja használni a megtanultakat? 2 A tárgyról Célja, bemutatni: a távoktatás módszerét, rendszerét, a tananyagfejlesztés

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló

Részletesebben

Matematika 5. osztály Téma: Geometriai vizsgálatok, szerkesztések

Matematika 5. osztály Téma: Geometriai vizsgálatok, szerkesztések Matematika 5. osztály Téma: Geometriai vizsgálatok, szerkesztések Az óra címe: Testek ábrázolása Az órát tartja: Tóth Zsuzsanna Előzetes ismeretek: Ponthalmazok síkban és térben (pont, vonal, egyenes,

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

A MŰSZAKI ÁBRÁZOLÁS E-ELARNING ALAPÚ OKTATÁSA A SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEMEN

A MŰSZAKI ÁBRÁZOLÁS E-ELARNING ALAPÚ OKTATÁSA A SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEMEN A MŰSZAKI ÁBRÁZOLÁS E-ELARNING ALAPÚ OKTATÁSA A SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEMEN E-LEARNING BASED INSTRUCTION OF TECHNICAL DRAWING AT SZECHENYI ISTVAN UNIVERSITY Kovács Miklós, kovacsm@sze.hu Széchenyi István

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x

Részletesebben

Munkaformák. Dr. Nyéki Lajos 2016

Munkaformák. Dr. Nyéki Lajos 2016 Munkaformák Dr. Nyéki Lajos 2016 Az oktatás munkaformái Az oktatási folyamat szervezésében a szervezeti formák mellett további differenciálás is lehetséges, attól függően, hogy a tanár a tanítási-tanulási

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2013. április 8. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. Jelöljük x-szel az adott hónapban megkezdett 100 kb-s csomagok számát. Az első szolgáltatónál

Részletesebben

Tanulás egy életen át

Tanulás egy életen át Tanulás egy életen át A számítógépes technológia alkalmazása annyi, mint megtalálni a helyes csavarkulcsot, amit ráerőltethetünk a helyes csavarra. (ismeretlen szerző) Készítette: Kovácsné Vereb Katalin

Részletesebben

V.9. NÉGYZET, VÁGOD? A feladatsor jellemzői

V.9. NÉGYZET, VÁGOD? A feladatsor jellemzői V.9. NÉGYZET, VÁGOD? Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Geometriai megközelítésen keresztül a mértani sorozat tulajdonságaival, első n tagjának összegképletével való ismerkedés. Előzmények Téglalap területe,

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Szerkesztések Csorba Ferenc, Győr

Szerkesztések Csorba Ferenc, Győr Szerkesztések Csorba Ferenc, Győr A geometriai szerkesztések elmélete a geometria legklasszikusabb kérdései közé tartozik. Az előadásomban szerkesztésekkel (ill. szerkesztéselméleti problémákkal) foglalkozom,

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT II. 135 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT II. 135 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT II. 135 perc A feladatok megoldására 135 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II/B

Részletesebben

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont I. 1. A páros számokat tartalmazó részhalmazok: 6 ; 8 ; 6 ; 8. { } { } { }. 5 ( a ) 17 Összesen: t = = a a Összesen: ot kaphat a vizsgázó, ha csak két helyes részhalmazt ír fel. Szintén jár, ha a helyes

Részletesebben

HELYI TANTERV / INFORMATIKA

HELYI TANTERV / INFORMATIKA Célok és kompetenciák Alap és legfontosabb cél INFORMATIKA TANTERV A GIMNÁZIUM 9. ÉVFOLYAMAI SZÁMÁRA A tanuló képes legyen a modern információs társadalom előnyeit kihasználni, veszélyeit kikerülni. Legyen

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

II. ADATLAP - Programmodul részletes bemutatása

II. ADATLAP - Programmodul részletes bemutatása II. ADATLAP - Programmodul részletes bemutatása 1. A programmodul azonosító adatai 1.1. Program megnevezése Webszerkesztés, a web programozás alapjai 1.2.. A modul sorszáma 1 1.3. A modul megnevezése Web

Részletesebben

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges

Részletesebben

18. modul: STATISZTIKA

18. modul: STATISZTIKA MATEMATIK A 9. évfolyam 18. modul: STATISZTIKA KÉSZÍTETTE: LÖVEY ÉVA, GIDÓFALVI ZSUZSA MODULJÁNAK FELHASZNÁLÁSÁVAL Matematika A 9. évfolyam. 18. modul: STATISZTIKA Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret

Részletesebben

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK MATEMATIK A 9. évfolyam 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 009/00-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben