Mechanika (FBL101E-1) Fizika tanári minor_l + Fizika BSc_L óra

Átírás

1 Mechanika (FBL11E-1) Fizika tanári minor_l + Fizika BSc_L +1 óra Előadó: Dr. Geretovszky Zsolt gero@physx.u-szeged.hu, Gyakorlatvezető: Dr. Horváth Zoltán z.horvath@physx.u-szeged.hu, Oktatás/Kurzusok menüpont Előadás 1. szeptember 17. P: október 1. P: október 15. P: november 5. P: november 19. P: óra/félév Fröhlich Pál tanterem Fröhlich Pál tanterem Fröhlich Pál tanterem Fröhlich Pál tanterem Fröhlich Pál tanterem Gyakorlat 1. november 19. P: óra/félév Fröhlich Pál tanterem Fröhlich Pál tanterem Fröhlich Pál tanterem Fröhlich Pál tanterem Fröhlich Pál tanterem ZH

2 A követelmények ismertetése. Információk A kurzus segédanyagai a internetcímen az Oktatás/Kurzusok link alatt találhatóak meg. Ajánlott irodalom a mechanika részhez: - Budó Ágoston: Kísérleti fizika I., Nemzeti Tankönyvkiadó (könyvtár, antikvár) - Erostyák János, Litz József: A fizika alapjai, Nemzeti Tankönyvkiadó, - Erostyák János, Litz József: Fizika I. Klasszikus mechanika, Nemzeti Tankönyvkiadó, 7 - Dialóg Campus Kiadó Általános Fizika sorozatának könyvei: Tasnádi Péter, Skrapits Lajos, Bérces György: Mechanika I. Tasnádi Péter, Bérces György, Skrapits Lajos, Litz József: Mechanika II. Hőtan A világhálón fellelhető anyagok legtöbbször NEM lektoráltak!! Követelmények A gyakorlaton való részvétel kötelező. A vizsgára bocsáthatóság feltétele a gyakorlat sikeres (legalább elégséges ()) teljesítése. A kollokvium írásbeli beugró dolgozatból és szóbeli vizsgából áll. A beugró dolgozat megírására 5 perc áll rendelkezésükre. A beugró kérdések 4 témakörből kerülnek ki. A beugró akkor sikeres, ha MINDEN (!!!) témakörből megszerezik az adható pontok legalább 5%-át. A beugró kérdéssora, valamint a tételsor a tanszéki honlapról letölthetőek:

3 A fizikai mennyiség x={x}[x] (számérték)(mértékegység) A mértékegység az azonos fajtájú mennyiségek halmazából kiválasztott vonatkoztatási mennyiségérték. Etalon: valamely mennyiség mértékegységét reprodukálható módon megtestesítő mérőeszköz. Koherens mértékegységrendszer: a mértékegységek zöme néhány definiált alapmennyiség egységeiből származtatható. Egy fizikai mennyiség definíciójával szemben támasztott a legfontosabb követelmény az, hogy egyértelműen megállapítható legyen belőle, hogy az illető mennyiséget hogyan kell mérni. Milyen a jój mértékegység? g? Elvileg a fizikai mennyiségekhez tetszőleges mértékegységet hozzárendelhetünk. Azonban a mértékegységeket célszerű úgy megválasztani, hogy segítségükkel a mindennapi élet tapasztalatai egyszerűen kifejezhetők legyenek. Továbbá az egységet időtálló módon rögzíteni a mértékegységeket lehetőleg természeti állandókra vagy jól reprodukálható jelenségekre kell alapítani, és a lehető legnagyobb körben egyezményesen elfogadtatni.

4 A mérés m és s hibája A mérés: a mérendő mennyiségnek az adott mennyiség egységével (etalonjával) történő összehasonlítása. Az abszolút hiba: x± x A relatív hiba: x/x A mértékegységek megválasztása (kellő mérési pontosság, időtállóság, kezdetben emberi lépték) Dimenzionális homogenitás A mértékegységredszer transzformációjával szembeni szimmetria. Az egyenletek ezen tulajdonságát a Fourier-feltétel rögzíti: Egy egyenletben szereplő minden tag dimenziójának azonosnak kell lennie. Az egyenletek felbonthatók külön a mérőszámok és külön a mértékegységek közötti kapcsolatokra. pl. az x 3 =ax 1 α1 x α egyenlet azt jelenti, hogy {x 3 }[x 3 ]={a}[a]{x 1 } α1 [x 1 ] α1 {x } α [x ] α, azaz egyszerre kell teljesüljön, hogy {x 3 }={a}{x 1 } α1 {x } α és [x 3 ]=[a][x 1 ] α1 [x ] α, azaz a mértékegységek egymástól nem függetlenek. A természettörvények objektívek, az őket leíró egyenletekben szereplő mennyiségek számértéke függ az etalon illetve a zéruspont megválasztásától, azaz szubjektív. Pl. F = ma egyenletben a fizikai mennyiségek közötti kapcsolat független a választott mértékegységtől. A mértékegységet csak akkor kell megadni, ha a képletben egy mértékegységgel rendelkező konstans is szerepel. Dimenzióanalízis Dimenzió nélküli kifejezések (sin (); e(); stb.)

5 Mértékrendszerek június az első tízes alapú mértékrendszer (Decimal Metric System); az első platina méter és kilogram etalonok elhelyezése a párizsi Archives de la Républiqueban Gauss megalkotja az első koherens mértékrendszert, melyben a kg-hoz és a m-hez hozzáveszi a csillagászatból vett másodpercet. Gauss meghatározza a Föld mágneses terének erősségét a milliméter, gramm and másodperc egységek segítségével. 186-as évek Maxwell és Thomson javasolja, hogy a koherens mértékrendszer álljon alap és származtatott mértékegységekből bevezetik a CGS rendszert, mely három mechanikai egységen a centiméteren, a gramon és a másodpercen alapul és a prefixumok közül bevezetik a mikrotól a megáig terjedőket május. Méter Konvenció, feladata az új méter és kilogram etalonok kidolgozása életbe lép az MKS rendszer az új méter és kilogram standardokkal és a bevezetésre kerülő csillagászati másodperccel. 191 Giorgi bebizonyítja, hogy a mechanikai mértékegységekhez az ampert, vagy ohmot hozzáváve koherens 4 elemű mértékrendszer alkotható. 191 a Méter Konvenció felülvizsgálata az MKSA rendszer bevezetése: a negyedik mértékegység az amper lesz bevezetésre kerül a kelvin és a candela, mint a termodinamikai hőmérséklet és a fényerősség egységei. 196 A hat elemű mértékrendszer a Système International d Unités (SI) nevet kapja az anyagmennyiség mértékegységének, a molnak a bevezetésével teljessé válik a jelenleg is érvényes 7 tagú SI mértékrendszer. Mars Polar Lander Spacecraft Dimensions 1.6 meters tall by 3.6 meters wide. Spacecraft Weight Total: 576 kg Propellant: 64 kg Mission Timeline 1993: Project started January 3, 1999: Launch December 3, 1999: LOST during landing Project Cost $11 million for spacecraft development, $1 million mission operations; total $1 million (not including launch vehicle or Deep Space microprobes).

6 Az SI alap mértm rtékegységeigei Mennyiség Név Jel Hosszúság Tömeg méter kilogram m kg Idő másodperc s Elektromos áram Termodinamikai hőmérséklet Anyagmennyiség amper kelvin mol A K mol Fényerősség kandela cd Az SI alapegységei gei A hosszúság mértékegysége a méter, jele m. A méter annak az útnak a hosszúsága, amelyet a fény vákuumban 1/ másodperc alatt tesz meg. A tömeg mértékegysége a kilogramm, jele kg. A kilogramm a Sévres-ben őrzött tömegetalon tömege. A idő mértékegysége a másodperc, jele s. Az alapállapotú cézium 133 atom két hiperfinom szintje közti átmenethez tartozó sugárzás periódusának időtartama. Az elektromos áramerősség mértékegysége az amper, jele A. Az amper olyan állandó elektromos áram erőssége, amely két egyenes, párhuzamos, végtelen hosszúságú, elhanyagolhatóan kicsiny körkeresztmetszetű és egymástól 1 méter távolságban, vákuumban levő vezetőben fenntartva, e két vezető között méterenként x1-7 N erőt hozna létre. A termodinamikai hőmérséklet mértékegysége a kelvin, jele K. A kelvin a víz hármaspontja termodinamikai hőmérsékletének 1/73,16-szorosa. Az anyagmennyiség mértékegysége a mól, jele mol. A mól annak a rendszernek az anyagmennyisége, amely annyi elemi egységet tartalmaz, mint ahány atom van,1kg szén-1 izotópban. A fényerősség mértékegysége a kandela, jele cd. A kandela az olyan fényforrás fényerőssége adott irányban, amely 54THz frekvenciájú monokromatikus fényt bocsát ki és sugárerőssége ebben az irányban 1/683-ad watt/szteradián.

7 SI prefixumok Faktor Név Jele 1 4 yotta Y 1 1 zetta Z 1 18 exa E 1 15 peta P 1 1 tera T 1 9 giga G 1 6 mega M 1 3 kilo k 1 hekto h 1 1 deka da Faktor Név Jele 1-1 deci d 1 - centi c 1-3 milli m 1-6 mikro µ 1-9 nano n 1-1 piko p 1-15 femto f 1-18 atto a 1-1 zepto z 1-4 yocto y Származtatott mértm rtékegységekgek

8 A hosszúság 1799: a Párizson áthaladó délkör hosszának 4 milliomod része (Cu mérőhasáb, levéltári méter ) 1889: nemzetközi méter etalon platina-irídium (9/1) ötvözetből, ősméter (hiba 1µm, relatív hiba: 1-6 ) 196: a kripton 86 izotóp egy átmenetének hullámhosszához rögzítik a métert 1 m = ,73 λ mérési eljárást adtak meg, relatív hiba: : A fény által vákuumban 1/ másodperc alatt megtett út. (relatív hiba: 1-15 ) A délkd lkör r 1 o -os szakaszának lemérése, Paris Jean Baptiste Joseph DELAMBRE Pierre François André MÉCHAIN

9 Az ősméter #7, USA ca NIST Museum Collection 6,6 6,6 1 Az ősmétert TRESCA francia fizikus tervezte, de a konstrukció kialakításában szerepe volt KRUSPÉR javaslatainak is. A jellegzetes, "X" keresztmetszetű szelvény 9% platina és 1% irídium ötvözetéből készült, így viszonylag kis lineáris hőtágulási együtthatóval rendelkezik. A rúd 1 mm hosszúságú. A métert két, az ún. semleges síkra (a-a) a hossztengelyre merőlegesen felvitt, 8 mm szélességű főkarcok közötti távolság reprezentálja. E karcoktól,5 mm-re mindkét oldalon egy-egy segédvonás található, ezek a célzómikroszkópos optikai komparátor könnyebb beállíthatóságát segítik elő. A semleges sík középvonalában egy kettős karc húzódik (a két vonal távolsága, mm). Ezek tűzik ki az etalon tengelyvonalát (b ábra). Az ősmétert a legkisebb lehajlást eredményező, ún. Bessel-féle alátámasztási pontokon, azaz a végektől számítva a teljes hossz /9-ed részének megfelelő távolságban kell alátámasztani, legalább 1 mm átmérőjű görgőkkel (c ábra). 3 db méterrudat készítettek, melyek közül a 6. rúd karctávolsága esett a legközelebb a levéltári méter hosszához, így ez lett a nemzetközi méter-etalon, az "ősméter. Az OMH a 14. sorszámút kapta ("nemzeti ősméter ), mely 1,3 µm-rel bizonyult rövidebbnek az alapmértéknél. Hosszúságm gmérő eszközök Méterrúd, mérőszalag Tolómérő nóniusz! Csavarmikrométer Lézeres távolságmérés és még sok speciális megoldás.

10 Az idő 18: másodperc a közepes szoláris nap 1/864 része 1956: A másodperc a tropikus év 1/ ed része 19 január 1 óra efemeris idő szerint. 1968: Az alapállapotú cézium 133 atom két hiperfinom szintje közti átmenethez tartozó sugárzás periódusának időbeli hossza. 1997: rögzítik, hogy a fenti definícióban az alapállapot K kinetikus hőmérsékletű nyugvó Cs atomot jelent. Érdekesség g az időmérés történetéből Decimális (!) idő mértékrendszer Kína, i.e. 1 Franciaország, október 5.

11 Időmérő eszközök k 1. Vízórák (i.e. 14) Homokórák... és még sok egyéb leleményes megvalósítás. Időmérő eszközök k. Mechanikus óraszerkezetek (kilincskerék, kronométer,1s/nap) Kvarc alapú időmérés (19-194) 1-4 s/nap

12 Időmérő eszközök 3. Atomórák történeti áttekintés : az első NH 3 alapú (Isidor Rabi) 195: NBS-1, az első Cs alapú 1955: az első, mely Cs nyalábot használ 1967: az SI másodperce atomórával definiált. 1989: Norman Ramsey, Hans Dehmelt és Wolfgang Paul fizikai Nobel díjat kap Atomórák folyt. 1999: NIST-F1 atomi szökőkút elvű atomóra, pontosság (5- ben) 5 x 1-16 vagy 1 másodperc 6 millió évben = lézeres hűtés ~K mikrohullámú gerjesztés ~x1s változó frekvenciával fluoreszcencia

13 4: Elkészül az első miniatűr atomóra Steve Jefferts és Dawn Meekhof a feltalálók Atomórák k pontossága

14 GPS Global Positioning System = globális helymeghatározó rendszer felépül az ameriaki NAVSTAR (Navigation System for Timing and Ranging) rendszer első fázisa (11 műhold) 198 pályára áll az orosz GLONASS rendszer első műholdja re bővül a NAVSTAR műholdak száma 7 Az EU saját rendszer kiépítése mellett dönt (Galileo: várható befejezés 1 (13)) Kezdetben a rendszer pontatlanságát az SA (selective availability) bekapcsolt állapotában mesterségesen megnövelték ±1 m-re. Az SA-t. május 1-én minden műholdon kikapcsolták, ezáltal a poziciók pontossága kb. 1 méter. (évenkénti megújítás!) NAVSTAR tszfm: 183km A legmodernebb műhold és annak egyik Rb-atomórája. A GPS működési m elve A trilateráció, vagy a 3 pontú helyzetmeghatározás Három egymást metsző gömb felületének két pontja közös. Általában a két metszéspont közül csak az egyik reális. Ha tehát az autó GPS-e ismeri legalább három műhold pontos helyzetét és az azoktól mért pontos távolságát, akkor meg tudja állapítani saját térbeli helyét.

15 A GPS működése m 1/ Angol: Magyar: Ha a vevőegységnek +,5s hibája van: Az ideális 1 metszéspont helyett (A pont), 3 metszéspontot (B pontok) kapunk.... kell egy negyedik műhold.

16 A GPS működése m / Hibaforrás Ionoszféra Ephemeris errors Műhold órája Többszörös visszaverődés Troposzféra Mérték ± 5 m ±.5 m ± m ± 1 m ±.5 m A kilogramm A harmadik, a mechanika szempontjából fontos SI alapegység. A Súlyok és Mértékek Nemzetközi Irodájában őrzött platinairídium henger tömegével egyenlő. (Az egyetlen SI-alapegység, amelyiknek a definíciója még mindig etalonon, és nem valamilyen alapvető fizikai állandón alapszik.)

17 Klasszikus mechanika A fizika azon ága, melynek feladata az anyagi testek mozgására vonatkozó törvényszerűségek megismerése, az azt leíró törvények felállítása. (Galilei és Newton érdemei) Galileo GALILEI Kinematika a mozgás leírásával foglalkozik Sir Isaac NEWTON Dinamika a mozgás okát keresi tömegpont pontrendszer merev test deformálható test Az anyagi pont kinematikája, alapfogalmak tömegpont: a vizsgált jelenségek szempontjából kiterjedés nélkülinek tekintett/tekinthető test (idealizáció) A kinematika a mozgások leírásával foglalkozik vonatkoztatási rendszer: a tömegpont helyzetének és mozgásának leírásához használt rögzített viszonyítási pontok helyvektor: a vonatkoztatási rendszer origójából a tömegponthoz mutató vektor pálya: a vonatkoztatási rendszer azon pontjai, melyeken az anyagi pont mozgása során áthalad út: a pálya két pontja közötti ívhossz (skalár) elmozdulás vektor: a test korábbi helyzetéből egy későbbi helyzetébe mutató irányított szakasz (vektor) a pálya relatív:

18 Egyenes vonalú egyenletes mozgás Egyenes vonalú pályán állandóan ugyanabban az irányban halad és egyenlő időközönként egyenlő utakat tesz meg. = x( t ) x= x( t) x = t ( t t ) x x = v x= v t v= x t a sebesség SI mértékegysége a m/s a sebesség mérése: (Video: MIT Physics Demo_Speed of a Bullet.mp4 ) Egyenes Vonalú Egyenletes Mozgás EVEM ( Kísérlet : Mikola-cső) a= s [m] 15 v [m/s] 15 1 a [m/s ] s = s(t=) = 1 m 5 1,,,4,6,8 1, t [s],,,4,6,8 1, t [s],,,4,6,8 1, t [s] s= s+ vt v=áll. a = Az út-idő görbe meredeksége a sebesség nagysága. A sebesség-idő görbe alatti terület nagysága a megtett utat adja.

19 A sebesség tetszés szerinti egyenes vonalú mozgásnál Egydimenziós probléma: x= x(t) Elmozdulás: x= x( t+ t) x( t) Átlagsebesség: a test által megtett s út és a megtételéhez szükséges t idő hányadosa (nem ad felvilágosítást a mozgás részleteiről!) v x = s s x = = t t t geometriai jelentés: az út-idő grafikon két pontjához tartozó szelő meredeksége Az anyagi pont t időpillanathoz tartozó sebessége (pillanatnyi sebesség): v x x dx( t) = lim = t t dt geometriai jelentés: az út-idő grafikon t időpontbeli meredeksége (iránytangense) A sebesség általános definíciója s görbevonalú mozgás pálya Bontsuk fel a mozgást rövid t időintervallumokra, melyek alatt a sebesség közel állandónak tekinthető. Mivel r s írhatjuk, hogy s lim = t t ds dt = v r r dr( t) r lim = = v t t dt A sebességvektor a helyvektor idő szerinti első differenciálhányadosa.

20 Szabadesés a gyorsulás fogalma A kísérletek (pl. ejtőzsinór, Galilei lejtő) azt mutatják, hogy a megtett út időfüggése: s t s= k t Ez esetben az átlagsebesség: (Film: MIT_free_fall.flv ) s k( t+ t) = t t kt = kt+ k t míg a (pillanatnyi) sebesség: v= kt A sebesség időbeli változását jellemezhetjük a t idő alatt bekövetkező v sebességváltozás segítségével: gyorsulás v k( t+ t) kt a= = = k t t Szabadon eső test gyorsulása állandó, mégpedig a nehézségi gyorsulás. m 1 a = g= 9.81 = áll. v= g t s= g t s A gyorsulás általános definíciója A tömegpont sebessége időben mind irány, mind nagyság szerint változhat. Ilyenkor a változást a sebességvektor idő szerinti változásával jellemezzük: r r v a= lim t t r dv( t) = dt r d ( t) = dt A gyorsulásvektor a sebességvektor idő szerinti első, vagy a helyvektor idő szerinti második differenciálhányadosa. Az egyenes vonalú egyenletes mozgás kivételével minden mozgás gyorsuló mozgás!

21 6 5 Egyenes Vonalú Egyenletesen Változó Mozgás, EVEV ( Kísérletek : 1) Galilei lejtő ) ejtőzsinór 3) marok-ejtőgép) 1 6 s = s(t=) = 5 m v = v(t=) = 5 m/s 1 5 a> 5 n 3 n 1 n s [m] 3 v [m/s] 6 4 a [m/s ] s [m] t [s] a s + t t [s] v [m/s] = s+ vt v v + at 5 t [s] t [s] a [m/s ] t [s] = a=áll. a< -3-4 s = s(t=) = 5 m v = v(t=) = 5 m/s t [s] -1 Körmozgások ( Kísérlet : egyenletes körmozgás légpárnás asztalon Circular_motion.mpg Film: circular_motion_acceleration.flv ) mindíg GYORSULÓ mozgások egyenletes körmozgás (kerületi sebesség, szögsebesség, periódusidő, centripetális gyorsulás) v v dϕ π v v., rω dt T r r kerületi = = áll ω= = áll., ω= =, acp = = v r

22 Körmozgások, folyt. egyenletesen változó körmozgás (szöggyorsulás, β) dω d ϕ β = = = áll ω ω β β dt dt., = ± t, aérintő = r, a= aérintő + acp (Film: angular_velocity_vector.flv) szögsebesség vektor v y r r r = xω, v = yω, v = ω x Harmonikus rezgőmozg mozgás pl. rugóra akasztott test ( ω + ) x( t) = Asin t ϕ körfrekvencia x = max A kezdőfázis amplitúdó (Film: simple_harmonic_motion_animation.flv ) dx( t) v( t) = = Aω cos( ωt+ ϕ) dt v max = Aω dv( t) a( t) = = Aω sinωt+ ϕ dt a = Aω max az egyenletes körmozgás vetülete is harmonikus rezgőmozgás ( ) A=3cm, ω=s -1, φ = rad kitérés sebesség gyorsulás (Film: harm-rezg-c.avi)

23 Az égitestek mozgásának leírása Numerikusan kezelhető Kepler törvények I. A bolygók ellipszis pályán keringenek, melyeknek egyik gyújtópontjában a Nap áll. II. A Naptól a bolygóhoz húzott rádiuszvektor egyenlő időközök alatt egyenlő területeket súrol. III. A bolygók keringési időinek négyzetei úgy aránylanak egymáshoz, mint az ellipszispályák nagytengelyeinek köbei. Valóban inverz négyzetes a függés? Az elmozdulások függetlenségének nek elve 1) Az elmozdulások vektoriális összegzéssel összetehetőek egyetlen (eredő) elmozdulássá, mely független a részelmozdulások sorrendjétől. ) Egyetlen elmozdulás, a vektori összegzés szabályainak betartása mellett, felbontható tetszőleges számú elemi elmozdulássá.

24 Hajítások Függőleges hajítás Vízszintes hajítás x= vt g y= t Ferde hajítás y= (Film: vízszintes hajítás komponensei, :5- MIT Physics Demo_Monkey and a Gun.mp4) g v x függőlegesen EVEV vízszintesen EVEM EVEM EVEV Dinamika a mozgás okát keresi MIÉRT mozog a test (épp úgy, ahogy mozog)?

25 Newton axiómák Az axióma olyan alapfeltevés, melyet bizonyítás nélkül igaznak fogadunk el. I. Létezik olyan viszonyítási rendszer, melyben minden test megtartja EVEM-át, vagy nyugalmi állapotát amíg más testek hatása ennek megváltoztatására nem kényszeríti. Erőhatás: Egy testnek egy másik testre gyakorolt olyan hatását, ami a test sebességének megváltozásában, azaz gyorsulásában nyilvánul meg erőhatásnak, vagy röviden erőnek nevezzük. II. Amennyiben egy testre erő hat, akkor gyorsulni fog, még pedig úgy, hogy a gyorsulás az erővel azonos irányba mutat, nagysága pedig az erő nagyságával egyenesen, a test tehetetlen tömegével pedig fordítottan arányos. r r F = ma A fizikai egyenletek iránya ok-okozati kapcsolatot fejez ki! Newton axiómák, folyt. III. Ha egy A testre B test F A,B erőt gyakorol, akkor az A test is hat B-re egy F A,B -vel azonos nagyságú, de azzal ellentétes irányú F B,A erővel. Kölcsönhatás, hatásellenhatás, akció-reakció elve. (Film: TeleKolleg_7.flv :4- MIT_Physics_Demo_Fire_Extinguisher_on_a_Tricycle.flv) IV. Két, ugyanabban a pontban támadó erő helyettesíthető egyetlen, paralelogrammam módszerrel meghatározott eredő erővel. Ha az anyagi pontra egyidejűleg több erő is hat, ezek együttes hatása egyenértékű vektori eredőjük hatásával. Az erőhatások függetlenségének elve. A szuperpozíció elve. Stevin tétel.

26 Mozgásegyenlet, vagy a dinamika alapegyenlete i F Newton II. és IV. axiómák egyesítése: d x i r F i r r d = ma= m dt ix = max = m, F ma m, F ma iy = y = iz = z = dt i dt i d y d z m dt Analitikus megoldása sokszor nehéz, numerikusan viszont egyszerű kezelni. A mozgásegyenlet megoldása Vizsgáljunk egy olyan tömegpont 1 dimenziós mozgását, melyre egy erő hat. d x ismert: F = max = m keressük: x( t) =? Ha egy időpillanatban (t ) ismerjük a test helyzetét (x ) és sebességét (v ), akkor elegendően kicsiny t idő múlva újabb helyzete (x 1 ) és sebessége (v 1 ) megbecsülhető: x v 1 1 = x = v dt + v t + a t= v + F m újabb t idő elteltével a folyamat ismételhető: x v = x = v v t 1 + a t= v + 1 F m t t A pálya pontjai tetszőleges pontossággal meghatározhatóak t csökkentésével.

27 a rugóerő: Pl.: lineáris erőtörv rvény F = Dx 3F = F 1 F1> F < O x 1 < x > x A mozgást 5 részre bontva ( t nagy) A mozgást 5 részre bontva ( t kicsi) Ez a konkrét probléma analitikusan is megoldható: d x( t) Dx ( t) = m dt az x(t) függvény olyan kell legyen, hogy idő szerinti második deriváltja önmagától csak egy konstansban térjen el D x( t) = A sin( ω t+ ϕ) = A sin( t+ ϕ) harmonikus rezgőmozgás m (Ism.: simple_harmonic_motion_animation.flv) Próbálkozzanak, programozzanak!!! A tömegvonzás: y r r K L F x F r m F y MmS mkl F F x = x r r mm F = γ r r r M S x F F x y = γ = γ mm ( x + y ) mm ( x + y ) 3/ 3/ x y Kíséreljék meg a bolygók mozgását a lineáris erőtörvényhez hasonló módon numerikusan modellezni!

28 Erőtörv rvények Gravitációs erőtörvény: r F gr mm 1 = γ r r r Nehézségi erő: r F = r mg Lineáris erőtörvény (rugók): F x = Dx... még bővül majd a paletta (közegellenállás, felhajtóerő, elektromos és mágneses terekben ébredő erők) A gravitáci ciós állandó mérése (Film: Cavendish kísérlet Cavendish_inga.mpg) Henry CAVENDISH Henry Cavendish,

29 Eötvös s Loránd horizontális variométer Eötvös-inga 1891, Ság-hegy 191, Balaton A tehetetlen és s súlyos s tömegt Arányuk függ-e az anyagi minőségtől? Newton: (inga) 1-3 pontosság Bessel: 1-5 pontosság (inga) Eötvös Loránd: 5x1-9 pontosság (az inga két K-Ny beállítását használva) NEM függ Braginsky és Panov: (módosított Eötvös-inga) 1-1 pontosság