Nem-egyensúlyi mágneses állapotok számítása szilárdtestekben

Átírás

1 Szakdolgozat Nem-egyensúlyi mágneses állapotok számítása szilárdtestekben Vida György József Témavezet : Szunyogh László Egyetemi tanár BME Fizika Intézet Elméleti Fizika Tanszék június 6. Budapest

2 1

3 Önállósági nyilatkozat Alulírott Vida György József, a Budapesti M szaki és Gazdaságtudományi Egyetem zika BSc szakos hallgatója kijelentem, hogy ezt a szakdolgozatot meg nem engedett segédeszközök nélkül, önállóan, a témavezet irányításával készítettem, és csak a megadott forrásokat használtam fel. Minden olyan részt, melyet szó szerint, vagy azonos értelemben, de átfogalmazva más forrásból vettem, a forrás megadásával jelöltem. Vida György József 2

4 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 2. S r ség funkcionál elmélet A HohenbergKohn tételek A feltételt tartalmazó KohnSham egyenlet Az önkonzisztens iterációs séma A teljes energia kényszerített iránytól való függése A kényszertér iteratív számítása Néhány számítási részlet Szimulációk, eredmények Tömbi vas rendszer nem-kollineáris mágnessége Az L1 0 FePt ötvözet mágneses viselkedésének vizsgálata Számolás kényszertér alkalmazása nélkül Számolás kényszertér alkalmazásával A FePt ötvözet mágneses anizotrópiájának vizsgálata Összefoglalás 29 Hivatkozások 30 3

5 1. Bevezetés A dolgozat célja kristályos anyagok nem-egyensúlyi mágneses viselkedésének vizsgálata zérus h mérsékleten. A vizsgálat eszköze az Elméleti Fizika Tanszékén fejlesztett sávszerkezet-számító programcsomag, melynek megfelel módosításával tudtuk a számolásokat elvégezni. A zikai probléma leírásához egy kölcsönható elektronrendszert kell tekintenünk. A feladat komplexitása miatt az egzakt számolás nem lehetséges. A s r ség funkcionál elmélet alkalmazásával egy közelít megoldás adható, azonban az elmélet csak a rendszer alapállapotának számítására alkalmas. Nem-egyensúlyi mágneses állapotok számításához az energia kifejezését egy Lagrange-multiplikátoros taggal egészítjük ki, mely az általunk kiszabott kényszert veszi gyelembe. Ha az energiakifejezést ezen kényszer mellett minimalizáljuk, akkor az így kapott megoldás a valós rendszer nem-egyensúlyi állapota lesz. A dolgozat els részében el ször áttekintjük a s r ség funkcionál módszer alapjait, majd nemrelativisztikus esetben levezetjük a feltételt tartalmazó KohnSham egyenletet. Ezek után utalást teszünk a KohnSham egyenlet relativisztikus kiterjesztésére, majd röviden összefoglaljuk az általunk alkalmazott numerikus eljárás f bb sajátosságait. A második részben el ször tömbi bcc vas rendszeren ellen rizzük a módszer numerikus implementációját. Vizsgálataink f tárgya az L1 0 szerkezet FePt rendezett ötvözet, kiemelt tekintettel a vas és platina atomok mágneses kölcsönhatására, valamint a rendszer mágneses anizotrópia energiájára. Dolgozatomat az eredmények összegzésével és a továbblépés lehetséges irányainak kijelölésével zárom. 4

6 2. S r ség funkcionál elmélet A s r ség funkcionál elmélet alapgondolata az, hogy a kölcsönható elektronrendszer alapállapoti tulajdonságait és jellemz mennyiségeit az elektronok s r ségével írja le. A következ kben röviden összefoglaljuk a s r ség funkcionál elmélet alapját jelent HohenbergKohn tételeket [1], majd ezek alkalmazásával felírjuk a KohnSham egyenleteket A HohenbergKohn tételek Az N kölcsönható elektront tartalmazó rendszer Hamilton-operátora: H = T + V + U = N i 2 2m 2 i + N V (r i ) i N U(r i r j ), (2.1) ahol T a kinetikus energia, V az ionok potenciálja és U pedig az elektron-elektron kölcsönhatás. Koordináta reprezentációban az id független antiszimmetrizált N-elektron hullámfüggvényt jelölje ψ(r 1,r 2,...,r N ). Ekkor az elektrons r séget a következ alakban írhatjuk: n(r) = d 3 r 2 i j d 3 r N ψ (r,r 2,...,r N )ψ(r,r 2,...,r N ). (2.2) A Hamilton operátor a V ( r) potenciál funkcionálja, H = H[V ], így a rendszer alapállapotának energiáját az kifejezés adja meg. E 0 [V ] = inf ψ d 3 r 1 d 3 r N ψ (r 1,...,r N )H[V ]ψ(r 1,...,r N ) (2.3) Az els HohenbergKohn tétel azt mondja ki, hogy az alapállapoti elektrons r ség és a V (r) potenciál között egyértelm a megfeleltetés. Ha a Hamilton-operátorban a V (r) potenciált egy konstanssal eltoljuk, az alapállapot nem változik, így a fenti megfeleltetés egy konstans erejéig bizonytalan. A tétel értelmében tehát az alapállapot potenciálfüggését át tudjuk transzformálni az alapállapoti elektrons r ségt l való függésre. A tétel csak olyan s r ségekre vonatkozik, melyekhez létezik valós küls potenciál, amelyb l lehet ket származtatni (v-reprezentálható s r ségek). A második HohenbergKohn tétel pedig kimondja, hogy az alapállapoti energiát meghatározhatjuk variációs módszerrel: az a s r ség, mely minimalizálja az energia funkcionált, az lesz az alapállapoti elektrons r ség. A fenti eredmények alapvet fontosságúak, azonban sem az elektrons r ségpotenciál megfeleltetést, sem a v-reprezentálható s r ségek halmazát nem ismerjük általános esetben. 5

7 2.2. A feltételt tartalmazó KohnSham egyenlet A HohenbergKohn tételeket egy speciális esetre fogjuk alkalmazni. El ször felírjuk a teljes energiát mint az elektrons r ség funkcionálját, majd variációs módszerrel megkeressük azt a s r séget, amely minimalizálja az energia kifejezését. Az így kapott összefüggés a KohnSham egyenlet [2]. A variálás során Lagrange-multiplikátorok segítségével két kényszerfeltételt fogunk alkalmazni. Ezek közül az egyik az állapotok normáltságát fogja kifejezni, a másik segítségével pedig el tudjuk érni azt, hogy az adott energiakifejezés minimuma a rendszer spin-mágnesezettségének rögzített irányához tartozzon, mely nem feltétlenül esik egybe az alapállapoti spin-mágnesezettség irányával. Jelölje ψ k (r) az egyelektron állapotokat, ahol -tel kétkomponens spinor függvényeket jelölünk. A sokelektron rendszer egy-determináns hullámfüggvénye ezek teljesen antiszimmetrikus kombinációjával írható fel. Az egyelektron hullámfüggvények segítségével az elektron s r ség a n(r) = k (occ.) és a spin-mágnesezettségi s r ség pedig a m(r) = k (occ.) ψ k (r) ψ k (r) (2.4) ψ k (r) σ ψ k (r) (2.5) alakban adható meg, ahol σ a Pauli mátrixokat jelöli és a Fermi-statisztikát a betöltött állapotokra vett (ε k ε F, ε F a Fermi energia) összegzéssel vettük gyelembe. Az egyszer ség kedvéért a (2.5) denícióban elhagytuk a /2 konstans szorzót. A rendszer teljes energiája k (occ.) E tot = E kin + E C + E xc, (2.6) ahol az els tag a mozgási energiának felel meg: E kin = ) d 3 r ψ k (r) ( 2 2m ψ k (r), (2.7) a második az elektronok és az atommagok, illetve az elektronok közötti Coulomb-kölcsönhatás, E C = e 2 Z n d 3 n(r) r r R n n + e2 d 3 r d 3 r n(r)n(r ), (2.8) 2 r r ahol Z n az R n helyen lév atom rendszáma. Az energia kifejezésében szerepl harmadik járulék a kicserél dési-korrelációs energia. A probléma az, hogy ez utóbbi tagnak nem ismerjük a konkrét alakját. Az ún. lokális s r ség közelítésben (LDA) azt feltételezzük, hogy az elektronok kicserél dési-korrelációs energiáját lokálisan a szabad elektrongáz kicserél dési-korrelációs energiájával lehet közelíteni. Ha ε xc [n,m] az n s r ség és 6

8 m spin-mágnesezettség homogén elektrongáz kicserél dési-korrelációs energias r sége, akkor E xc = d 3 r n(r)ε xc [n(r),m(r)]. (2.9) A kés bbiekben kihasználjuk, hogy az LDA közelítésben ε xc [n,m] független a mágnesezettség irányától. Az alapállapothoz, vagyis az energia minimális értékéhez tartozó egyelektron állapotokat a második HohenbergKohn tétel értelmében az határozza meg, hogy az energia ψ k (r) hullámfüggvények szerinti variációi elt nnek. A variálásnál azonban gyelembe kell vennünk azt, hogy az egyrészecske állapotok normáltak ( d 3 r ψ k (r) ψ k (r) = 1 ). Ezt az ε k Lagrange-multiplikátorok segítségével az energia kifejezésében egy ( ) ε k d 3 r ψ k (r) ψ k (r) 1 k additív taggal tudjuk megtenni. (2.10) Ezen a ponton tudjuk azt a feltételt is megadni, hogy a rendszernek nem az alapállapotát keressük, hanem egy olyan állapotot, ahol a mágnesezettség iránya el re adott. Ezt a kényszert az el z höz hasonlóan Lagrange-multiplikátorokkal vehetjük gyelembe. A mágnesezettség irányát rögzítsük úgy, hogy az az e con (r) irányvektorral legyen párhuzamos, vagyis m(r) e con (r) = 0. (2.11) Az l(r) Lagrange-multiplikátor függvénnyel az energia kifejezésében megjelen újabb additív tag, d 3 r l(r)(m(r) e con (r)) = d 3 r (e con (r) l(r)) m(r) = = d 3 r B con (r) m(r), (2.12) alakban írható, ahol bevezettük a jelölést. B con (r) = l(r) e con (r) (2.13) Összegezve tehát a kényszerfeltételeket tartalmazó energiakifejezés, E con = E kin +E C +E xc ( ) ε k d 3 r ψ k (r) ψ k (r) 1 + d 3 r B con (r) m(r), (2.14) k ami vagy közvetlenül, vagy a s r ségeken keresztül a ψ i (r) (vagy ψ k (r) ) spinor hullámfüggvények funkcionálja és meg kell oldanunk a δe con δ ψ i (r) 7 = 0, (2.15)

9 variációs feladatot. A (2.15) egyenletben a variálást tagonként elvégezve: ) δe kin [n(r)] = ( 2 δ ψ i (r) 2m ψ i (r), (2.16) [ δe C [n(r)] = δe C[n(r)] ψ i (r) = Z n e 2 ] δ ψ i (r) δn(r) r R n n + e2 d 3 r n(r ) ψ r r i (r), (2.17) δe xc [n(r),m(r)] δ ψ i (r) [ δ δ ψ i (r) k = δe xc[n(r),m(r)] ψ i (r) + δe xc[n(r),m(r)] σ ψ i (r) = δn(r) δm(r) [ = ε xc [n(r),m(r)] + n(r) δε ] xc[n(r),m(r)] ψ i (r) δn(r) + n(r) δε xc[n(r),m(r)] σ ψ i (r), (2.18) δm(r) ε k ( d 3 r ψ k (r) ψ k (r) 1) ] = ε i ψ i (r), (2.19) [ δ δ ψ i (r) ] d 3 r B con (r) m(r) = δ [ δm(r) ] d 3 r B con (r) m(r) σ ψ i (r) = = B con (r) σ ψ i (r). (2.20) A (2.18) egyenlet alapján érdemes deniálni a kicserél dési-korrelációs potenciált illetve a kicserél dési-korrelációs teret V xc (r) = ε xc [n(r),m(r)] + n(r) δε xc[n(r),m(r)], (2.21) δn(r) B xc (r) = n(r) δε xc[n(r),m(r)]. (2.22) δm(r) A (2.16)(2.20) összefüggéseket a (2.15) egyenletbe helyettesítve adódik a KohnSham egyenlet kényszert tartalmazó alakja: ) ( 2 2m + V e(r) + B e (r) σ ψ i (r) = ε i ψ i (r) (2.23) ahol az eektív potenciál: V e (r) = n és az eektív mágneses tér: Z n e 2 r R n + e2 d 3 r n(r ) r r + V xc(r), (2.24) B e (r) = B xc (r) + B con (r). (2.25) 8

10 Láthatjuk, hogy a kényszer bevezetése a KohnSham egyenletben csupán annyi változtatást jelent, hogy a kicserél dési-korrelációs tér helyett az eektív (mágneses) teret kell használni. Az eljárás lényeges eredménye az, hogy a rendszer nem-egyensúlyi mágneses állapotát úgy tudjuk számítani, mintha az egy küls, spinekre ható B con (r) térben lév rendszer alapállapota lenne. Így tehát a számolási módszer ugyanaz, mint az egyensúlyi állapotok esetében, csak a megoldás interpretációja más. 3. Az önkonzisztens iterációs séma Amennyiben nem használjuk a mágnesezettségre kiszabott feltételt (B con (r) = 0), akkor a megoldáshoz vezet önkonzisztens iteráció egy ciklusa a következ. Tegyük fel, hogy ismerjük az n(r) és az m(r) s r ségeket. Az els lépés, hogy a (2.21) és (2.22) összefüggések segítségével a (2.24) és a (2.25) egyenletek alapján meghatározzuk az eektív potenciált és az eektív teret meghatározzuk. Így már ismerjük a KohnSham egyenlet operátorát, vagyis a második lépés, hogy meghatározzuk az új ψ i (r) hullámfüggvényeket, illetve az ε i sajátértékeket. Az utolsó lépés pedig, hogy a (2.4) és a (2.5) összefüggések alapján kiszámítjuk az új s r ségeket A teljes energia kényszerített iránytól való függése A célunk az, hogy a kényszerteret is bele tudjuk foglalni a fenti iterációs sémába. Ehhez el ször megvizsgáljuk, hogy hogyan függ a kicserél dési-korrelációs tér a mágnesezettség irányától. Vezessük be a T = 0 h mérséklet egyrészecskés s r ségmátrixot, ρ(r) = ψ k (r) ψ k (r). (3.1) k(occ.) Ennek felhasználásával az elektron s r ségre n(r) = Tr (ρ(r)), a spin-mágnesezettségi s r ségre m(r) = Tr (ρ(r)σ) adódik, ahol a nyomot a spin térben képezzük. A két összefüggésb l, valamint a Tr(σ i σ j ) = 2δ ij azonosságból következik, hogy ρ(r) = 1 2 n(r)i m(r) σ. (3.2) 2 Hajtsunk végre egy unitér transzformációt úgy, hogy a s r ségmátrix diagonális legyen. Mivel a jelen tárgyalásban elhanyagoljuk a spinpálya kölcsönhatás szerepét, ez az unitér transzformáció megfelel annak, hogy a koordináta-rendszer z tengelyét a lokális spin-mágnesezettség irányába forgatjuk. A s r ségmátrix ekkor ( ) n (r) ρ d (r) = = 1 n (r) 2 n(r)i m(r)σ z (3.3) 9

11 alakú, és fennállnak a n(r) = n (r) + n (r) (3.4) m(r) = n (r) n (r) (3.5) összefüggések, ahol m(r) a mágnesezettségi s r ség nagysága, m(r) = m(r)e(r). Mint azt korábban említettük, a lokális s r ség közelítésben a kicserél dési-korrelációs energia nem függ a mágnesezettség irányától, azaz δe xc [n(r),m(r)] δe(r) = 0. (3.6) A kicserél dési-korrelációs tér deníció szerint, B xc (r) = δe xc[n(r),m(r)] δm(r) = δe xc[n(r),m(r)] δm(r) e(r) + 1 m(r) δe xc[n(r),m(r)], (3.7) δe(r) melyben felhasználva a (3.6) összefüggést, valamint a s r ségek közötti a (3.4) és a (3.5) megfeleltetéseket, a B xc (r) = δe xc[n (r),n (r)] e(r) δm(r) ( δexc [n (r),n (r)] δn (r) = δn (r) δm(r) + δe ) xc[n (r),n (r)] δn (r) e(r) δn (r) δm(r) ( δexc [n (r),n (r)] = δe ) xc[n (r),n (r)] e(r) δn (r) δn (r) := B xc (r) e(r) (3.8) kifejezéshez jutunk. A kicserél dési-korrelációs tér és a mágnesezettség iránya tehát LDA keretében párhuzamosak egymással. A (2.14) energiakifejezés mágnesezettség szerinti variációja, δe con [n(r),m(r),b con (r)] δm(r) = B xc (r) + B con (r), (3.9) amit a fentiek felhasználásával kifejezhetünk a következ képpen is: δe con [n(r),m(r),b con (r)] δm(r) = = δe con[n(r),m(r),b con (r)] δm(r) = B xc (r) + ( e(r) B con (r) ) e(r) + 1 e(r) + 1 m(r) δe con[n(r),m(r),b con (r)] δe(r) m(r) δe con[n(r),m(r),b con (r)]. (3.10) δe(r) 10

12 Kihasználva, hogy a kényszertér deníció szerint mer leges a feltételként megszabott irányra, valamint önkonzisztens állapotban ez utóbbi éppen a mágnesezettség irányával egyezik meg, a (3.10) kifejezés második tagja elt nik. A (3.9) és a (3.10) egyenleteket összehasonlítva adódik, hogy δe con [n(r),m(r),b con (r)] δe(r) = m(r)b con (r) (3.11) 3.2. A kényszertér iteratív számítása Összefoglalva eddig azt tudjuk, hogy a (3.8) egyenlet alapján minden iterációs lépésben igaz, hogy B xc (r) és m(r) párhuzamosak. Ezen felül ha a konvergencia fennáll, akkor a mágnesezettség iránya párhuzamos e con (r)-nal, illetve a mágneses momentumra vonatkozó kényszernek a (2.12) egyenlet szerinti alakjából láthatjuk, hogy m(r) és B con (r) egymásra mer legesek. Ezek alapján fel tudunk írni egy iterációs sémát a kényszertér számítására. Egy iterációs lépés KohnSham egyenletében szerepl kicserél dési-korrelációs teret jelöljük B xc,be (r)-rel, melyet mindig párhuzamosan veszünk fel e con (r)-rel, hiszen ezt várjuk az iterációs eljárás xpontjaként. Ezen iterációs lépésben alkalmazott kényszertér pedig legyen B con,be (r), mely mer leges e con (r)-re. A KohnSham egyenlet megoldásával kapott mágnesezettségi s r ség m ki (r) iránya általában eltér e con (r)-t l. Ezt a szituációt az 1. ábra mutatja. Az m ki (r) mágnesezettségi s r ség ismeretében kiszámolható az új B xc,ki (r) kicserél dési-korrelációs tér. Bontsuk fel ezt a kényszer iránnyal párhuzamos és arra mer leges komponensre (2. ábra): B xc,ki = B xc,ki, + B xc,ki, (r). (3.12) Az 1. ábráról láthatjuk, hogy B e,be, (r) = B con,be (r), (3.13) és, amint a 2. ábra illusztrálja, az adott iterációs lépést követ en, B e,ki, (r) = B con,ki (r) + B xc,ki, (r), (3.14) ahol B con,ki (r) egyel re ismeretlen. Az iteráció xpontját, B xc,ki, (r) = 0, átfogalmazhatjuk úgy, hogy az eektív tér, amelyet a KohnSham egyenletbe helyettesítünk, és az, amelyet az egyenlet megoldása után kapunk, megegyezzen. Az el z két összefüggés 11

13 1. ábra. Egy adott iterációs lépés KohnSham egyenletében használt B xc,be kicserél désikorrelációs tér és B con,be kényszertér, valamint a kett ered jeként deniált B e,be eektív tér. A számított m ki mágnesezettségi s r ség nem feltétlenül párhuzamos az e con kényszerített iránnyal. 2. ábra. Az adott iterációs lépésben számolt B xc,ki kicserél dési-korrelációs tér és felbontása az e con iránnyal párhuzamos és mer leges komponensekre. Az új B con,ki kényszertér kompenzálja B xc,ki mer leges komponensét. 12

14 alapján ez a B con,ki (r) = B con,be (r) B xc,ki, (r) = B con,be (r) B xc,ki + ( B xc,ki (r ) e con (r)) e con (r) (3.15) feltételt implikálja. A következ iterációs lépés KohnSham egyenletében tehát a fenti, kényszerirányra mer leges kényszerteret és a kicserél dési-korrelációs tér kényszeriránnyal párhuzamos komponensét, B xc (r) = B xc,ki, (r), (3.16) használjuk bemenetként. Konvergencia esetén a kényszertér bemeneti és kimeneti értékei megegyeznek, és a (3.15) egyenlet alapján láthatjuk, hogy a kicserél dési-korrelációs tér mer leges komponense elt nik, vagyis a momentum beáll a megfelel kényszerirányba. A tényleges számolásnál némi egyszer sítést alkalmazunk, ami konvergencia esetén azonban nem befolyásolja a végeredményt (xpontot). Felhasználva, hogy a kicserél désikorrelációs tér a mágnesezettség e ki (r) irányába esik, a (3.15) egyenlet a ( B con,ki (r) = B con,be (r) B xc,ki (r) e ki (r) ( e ki (r) e con (r) ) ) e con (r). (3.17) alakba írható. Tegyük fel, hogy a mágnesezettségi s r ség nagysága már jól konvergált, így az iteráció el tti és utáni kicserél dési-korrelációs tér nagysága is jó közelítéssel ugyanaz. Ekkor érdemes a kényszerteret is a kicserél dési tér nagyságában mérni B con (r) = B xc (r) c(r), (3.18) így behelyettesítve a (3.17) egyenletbe, majd B xc (r)-rel egyszer sítve adódik, hogy ( c ki (r) = c be (r) e ki (r) ( e ki (r) e con (r) ) ) e con (r). (3.19) Számítási módszerünkben (l. kés bb) alkalmazzuk még az ún. merev spin közelítést (RSA), melyben azt a feltételezést tesszük, hogy az egyes atomi cellákban a mágnesezettség iránya, így a kényszer iránya is helyfüggetlen (uniform). Ezek az irányok viszont celláról cellára különbözhetnek egymástól. Áttérve az e, e con és c jelölésekre, a két egymást követ iterációban bemenetként alkalmazott kényszertér, c be és c be,új, között algoritmikus kapcsolat, míg a kicserél dési-korrelációs térre a c be,új = c be (e ki ( ) ) e ki e con econ (3.20) B xc,új (r) = B xc,ki (r) (e ki e con ) (3.21) 13

15 iterációs eljárást alkalmazzuk. A fenti megfontolásokat összegezve a megoldást úgy keressük meg, hogy az önkonzisztens iteráció során a kényszerteret és a kicserél dési-korrelációs teret az egyes lépésekben a (3.20) és a (3.21) egyenletek alapján változtatjuk, majd ezek mellett oldjuk meg a KohnSham egyenletet. 4. Néhány számítási részlet A mágneses tulajdonságok megfelel tárgyalásához fontos a relativisztikus eektusok, különösképpen a spinpálya kölcsönhatás gyelembevétele. Ennek érdekében az ún. KohnShamDirac egyenletet oldjuk meg [3, 4]: ( icα + βmc 2 + V e (r) + µ B Σ B e (r) ) ψ i (r) = ε i ψ i (r) (4.1) ahol α = ( σ σ ), Σ = ( σ σ ), β = ( I2 I2 ) és az eektív potenciál a (2.24) egyenlethez hasonlóan, V e (r) = V (r) + V xc (r), (4.2) az eektív tér pedig B e (r) = B xc (r) + B con (r). (4.3) Ezek számításához szükséges elektrons r séget és spin-s r séget a és n(r) = i (occ.) m(r) = i (occ.) ψ i (r)βψ i (r), (4.4) ψ i (r)σψ i (r), (4.5) kifejezések deniálják. Megjegyezzük, hogy ψ i négykomponens hullámfüggvényeket jelöl és ψ i = ψ i β a hullámfüggvény Dirac-adjungáltja. A KohnShamDirac egyenletet a többszörös szóráselmélet vagy KorringaKohnRostoker (KKR) módszer keretében oldjuk meg. Ennek részletes ismertetését l eltekintünk, csupán Szunyogh László egyetemi jegyzetére [5] illetve a [4] könyvre utalunk. Meg kell azonban említeni a számítási módszerben alkalmazott lényeges közelítéseket. A szilárdtestet jellemz eektív potenciált feloszthatjuk diszjunkt cellatartományokon értelmezett potenciálok összegére. Legyen az i. elemi cellában a potenciál V i (r). Ha R i indexeli az egyes elemi cellák helyét, akkor a teljes rácspotenciál: V (r) = i V i (r R i ). (4.6) 14

16 Az általunk alkalmazott közelítés abban rejlik, hogy csupán a V i (r) potenciál gömbszimmetrikus komponensét vesszük gyelembe, valamint a szükséges térbeli integrálok elvégzésekor a cellatartományt helyettesítjük egy atomi gömbbel, melynek térfogata megegyezik a WiegnerSeitz-cella térfogatával. Ez az atomi gömb közelítés (ASA). A szomszédos gömbök átfedéséb l adódó hibát módszerünk nem próbálja korrigálni. További közelítést jelent, hogy a KohnShamDirac egyenlet megoldásait spinor-gömbharmonikus kifejtésben keresve, a perdület operátor l kvantumszámában a kifejtést praktikus okokból korlátoznunk kell. A dolgozat eredményei l max = 2 értékre vonatkoznak. Programcsomagunk kétdimenziós diszkrét transzlációs szimmetriával rendelkez rendszerek (felületek, határfelületek) tárgyalására alkalmas. A rendszer felületre mer leges végtelen kiterjedését a szóráselmélet alkalmas (árnyékolási) transzformációjával, lényegében egzakt módon kezelni tudjuk. Ezt a módszert nevezik Screened-KKR (SKKR) technikának, mely természetes módon lehet séget teremt tömbi (bulk) rendszerekre vonatkozó számításokra is. A számításokat el ször kétdimenziós hullámszám- ( k-) térben végezzük, majd a felületi Brillouin-zónában integrálva kapjuk meg a valóstérbeli s r ségeket. A felület pontcsoport szimmetriáját kihasználva a Brillouin-zóna integrálást csak egy irreducibilis szegmensben (IBZ) kell elvégezni, és a BZ többi szegmensét pontcsoport transzformációkkal lehet gyelembe venni. A számítási eredmények, pl. a rendszer energiája, érzékenyek a Brillouin-zóna integrálásra, így vizsgálni kell a k-pontok számára vonatkozó konvergenciát. Lényeges numerikus lépés még a s r ségek kiszámításakor a betöltött állapotokra történ összegzést jelent energiaintegrálás, mely alsó határa a valenciasáv alja, fels határa a Fermi-energia. Az integrálást, a Green-függvény analitikus tulajdonságát kihasználva, a fels komplex félsíkon egy félkör alakú kontúron, általában 16 energiapontot választva végezzük. 15

17 5. Szimulációk, eredmények A számításokat az Elméleti Fizika Tanszéken fejlesztett SKKR sávszerkezet számító programmal, a tanszéki számítógép-fürtön végeztük. A programmon el ször a megfelel módosításokat kellett elvégezni. A változtatások a KohnShamDirac egyenletet megoldó, illetve az egyes mennyiségeket számító rutinokba bemen mágneses tér kifejezését érintették. A programot kiegészítettük a kényszerteret számoló algoritmussal. A kényszertér kezdeti értékeinek és a kényszerirányok megadását egy új bemeneti fájlon keresztül oldottuk meg Tömbi vas rendszer nem-kollineáris mágnessége A program m ködését el ször a bcc vas rendszeren ellen riztük. Eredményeinket így össze tudtuk hasonlítani a [6] cikkben közöltekkel. A rendszer alapállapotában minden rácshelyen a mágnesezettség a (001) irányba mutat (l. 3a. ábra). A szimuláció során a kényszertér segítségével a 3b. ábra szerint csúcsokon lév atomok spinjeit a (001) irányban tartottuk, míg a 'térközepes' atomok mágnesezettségének irányát a (010) síkban az eredeti irányhoz képest ϑ szögben eldöntöttük. ϑ (a) (b) 3. ábra. A bcc vas alapállapoti mágneses rendez dése (a), illetve a kényszertérrel beállított mágnesezettség (b). Az iterációkat a [6] cikkben leírtakhoz hasonlóan nulla kényszerít térr l indítottuk. Az iteráció leállásának feltétele az volt, hogy a releváns zikai mennyiségek számolt értékeinek különbsége az iterációs lépések el tt és után kisebb legyen egy toleranciaszintnél. Ezt annak megfelel en választottuk meg, hogy az egyes mennyiségek változását a ϑ szög 16

18 függvényében megfelel pontossággal lássuk. A számolás során a komplex energiasíkon való integráláshoz 16 energiapontot, az irreducibilis Brillouin-zónában történ integráláshoz pedig 78 k-pontot használtunk. A ϑ szöget 5 -onként változtattuk. A megfelel adatfeldolgozás után az alábbi eredményeket kaptuk B con [mry] M Fe [ B ] [ ] 0 4. ábra. A bulk bcc vas rendszer atomjain a mágneses momentum, illetve a kényszertér nagysága. A kényszerteret a számolás egyszer sítése végett mry egységben mértük, így ha azokat összeszorozzuk a mágneses momentumok (Bohr-magnetronban mért) számértékével, akkor közvetlenül energia dimenziójú mennyiséget kapunk. A vizsgált problémában a vasatomok közötti kicserél dési kölcsönhatás dominál, míg a spinpálya kölcsönhatás szerepe elhanyagolható. Ennek megfelel en azt várjuk, hogy a két alrácson a mágneses momentum és a kényszertér nagysága jó közelítéssel megegyezik. Számítási eredményeink igazolták a várakozást, a megfelel értékek közötti relatív eltérés az el bbinél legfeljebb 0,007%, az utóbbi esetében pedig 0,01%. A 4. ábrán ezért csak az egyik atom adatait ábrázoltuk. Az ábrán láthatjuk, hogy a kényszertér a kollineáris állapotban (ϑ = 0) elt nik. Ez teljes mértékben konzisztens azzal, hogy ez a rendszer alapállapota. A kényszertér a szög növelésével monoton n. A mágneses momentumok nagysága kis szögekre (< 45 ) alig változik, majd kis mértékben csökken. A 4. ábrán látható eredményeink nagyfokú egyezést mutatnak a [6] cikkben közölt ábrával, ezért azt állíthatjuk, hogy újonnan installált programunk megfelel en m ködik. Az 5. ábrán ábrázoltuk az egy elemi cellára (egy csúcsbeli és egy térközepes atomra) jutó teljes energiának az alapállapoti energiához viszonyított értékét (E tot ). Jól láthat- 17

19 E tot [mry] E bc [mry] ,2 0,4 0,6 0,8 1 cos( ) E tot [mry] E bc [mry] [ ] 0 5. ábra. A kényszerített tömbi bcc vas rendszer egy elemi cellájára jutó teljes energia az alapállapothoz viszonyítva (E tot ), illetve a mágneses momentum és a kényszertér szorzatának ϑ szerinti integrálja a térközepes atomra (E bc ). A kis képen ugyanezt a két görbét cos ϑ függvényében is ábrázoltuk. juk, hogy ennek a minimuma a ϑ = 0 -ban van, megfelel en annak, hogy ez a rendszer alapállapota. Az energia a szög növelésével monoton n. Erre kvalitatív magyarázatot a Heisenberg-modell alapján adhatunk: mivel a vasatomok közötti csatolás ferromágneses, így azzal, hogy egyre nagyobb szögkülönbséget kényszerítünk a két alrácsra, egyre nagyobb a Heisenberg-kölcsönhatásból származó energiajárulék. Ennek megfelel en az energia szögfüggése jó közelítéssel arányos cos(ϑ)-val (l. 5. ábra, kis kép). Egy elemi cellára a teljes energia különbség az alapállapot és a 90 -hoz tartozó állapot között 30,2 mry, mely a [6] cikkben kb. 36 mry. A két eredmény kielégít egyezést mutat. A különbség oka többféle lehet: a számítások nem teljesen pontos konvergenciája, illetve az, hogy a két számolás némiképp eltér rácsállandóval történt. A (3.11) összefüggést felhasználva a kényszertér és a mágneses momentumok alapján ki lehet számítani a teljes energia különbségét két ϑ szög között [7]. Az egyik szöget 0 nak választva, E con (ϑ) E con (0 ) = ahol a vas mágneses momentuma ϑ M Fe = 0 de con = Fe gömb 18 e(ϑ) e(0 ) de( ϑ)m Fe ( ϑ)b con ( ϑ), d 3 r m(r). (5.1)

20 Felhasználva, hogy az önkonzisztens számítás eredményeként B con párhuzamos de-vel: E bc (ϑ) = E con (ϑ) E con (0 ) = d ϑm Fe( ϑ)b con( ϑ). (5.2) 0 A fenti numerikus integrálásból kapott adatokat is az 5. ábra tartalmazza. Az ábra két adatsora nem fedi egymást, közöttük a relatív különbség kb. 1520%. Ennek oka lehet az, hogy a k-integrálás konvergenciája nem megfelel, de ugyanakkor az ASA közelítés is okozhatja az eltérést. Erre vonatkozóan részletesebb vizsgálatot az fejezet számolásainál végeztünk. ϑ 5.2. Az L1 0 FePt ötvözet mágneses viselkedésének vizsgálata Nagy mágneses momentuma és mágneses anizotrópiája (koercitív tere) miatt az L1 0 szerkezet FePt ötvözet a nagys r ség mágneses adattárolás már gyakorlatban is használt eszköze. A FePt rendszer kristályrácsa egy olyan lapközepes kockarács, melyben a platina és a vas atomok által alkotott rétegek egymást követik. Ennek a rendszernek az alapállapota ugyancsak a (001) irányú kollineáris mágneses állapot (6a. ábra). Több korábbi számolás is rámutatott, hogy a ferromágneses alapállapotot az indukált Pt momentumok által közvetített Fe-Fe csatolás stabilizálja. Ezt a jelenséget O. Mryasov és mtsi. részletesen vizsgálták és a spin-dinamika szimulációk számára hasznos eektív spinmodellt vezettek be [8, 9]. Mi most a Pt atomok mágneses momentum irányának változtatásával nyert eredményeket próbáljuk meg reprodukálni. A vas atomok mágnesezettségének irányát rögzíteni fogjuk a (001) irányában, a platina momentumokat pedig az 5.1. fejezetben leírtakhoz hasonlóan fogjuk változtatni (l. 6b. ábra). Kétféleképpen fogunk számolni: el ször egy kényszerteret nem tartalmazó önkonzisztens iterációs sémát alkalmazva, másodszor pedig az el bbiekben részletesen tárgyalt algoritmussal. Számításaink célja annak vizsgálata, hogyan változik a rendszer teljes energiája, illetve a platina atomok mágneses momentuma a vas és platina momentumok relatív beállása függvényében Számolás kényszertér alkalmazása nélkül Ebben a részben a tárgyaltnál egyszer bb iterációs módszert alkalmazunk, mely éppen ezért elterjedt az irodalomban. Nem kényszertér alkalmazásával fogjuk elérni azt, hogy az egyes momentumok a megfelel irányba álljanak, hanem egy 'ad hoc' önkonzisztens megoldást vezetünk be. Legyen m be egy iterációs lépés bemeneti mágnesezettségi s r sége a Pt atomon, melyr l feltételezzük, hogy az e con kényszerített irányba mutat. 19

21 ϑ (a) (b) 6. ábra. Fe (szürke) és Pt (zöld) atomok a FePt rendezett ötvözetben: (a) mágneses alapállapot, (b) ϑ szöggel elforgatott Pt momentumok. A KohnSham egyenlet megoldása után a kimeneti mágnesezettségi s r ség, m ki, ett l eltér irányú lesz, ahogy azt a 7. ábra illusztrálja. A vas atomok kollektív hatását kvalitatíven átlagtér közelítésben tárgyalhatjuk: a z irányú vas momentumok a platina rácshelyeken egy z irányba mutató Weiss-teret hoznak létre. Ez az eektív tér a platina mágnesezettségi s r ségét a saját irányával párhuzamosan próbálja beállítani. Mi azonban a kényszerített iránnyal párhuzamos beállást szeretnénk elérni, így az új iteráció m új bemeneti mágnesezettségi s r ségét úgy állítjuk el, hogy az m ki vektort levetítjük a kényszerirányra: m új = m = (m ki e con )e con B xc,új e con, (5.3) azaz a következ iterációs lépés KohnSham egyenletének bemeneti kicserél désikorrelációs tere is párhuzamos a kényszertérrel. Ez abban különbözik a 3.2. fejezetben leírtaktól, hogy itt a B xc,ki mer leges komponensét nem kompenzáljuk, hanem egyszer en lenullázzuk. Az iteráció xpontja így az lesz, mikor két egymás utáni ciklusban a mágnesezettségi s r ség (kicserél dési-korrelációs tér) e con irányú vetülete megegyeznek. Ezzel a módszerrel önkonzisztens számításokat végeztünk a ϑ szög változtatásával. A számítások során az energiaintegrálban 16 pontot, a k-összegzésben 78 pontot használtunk. A rendszer teljes energiájának szögfüggését a 8. ábra mutatja. A jellemz energiatartomány, amelyet a platina momentumok relatív szögének változtatásával bejárunk kb. 1,5 mry. A számolt értékek szinte tökéletesen ttelhet k egy sin 2 ϑval arányos görbével. A vas momentumok nagysága gyakorlatilag nem függ a platina momentumok szög- 20

22 7. ábra. Egy iterációs lépés bemeneti és kimeneti mágnesezettségi s r ségei egy Pt rácshelyen a kényszertér nélküli iterációs sémában. A Pt rácshelyeken a vas atomok által keltett Weiss-tér jóval nagyobb, mint a Pt saját kicserél dési-korrelációs tere, így m ki közelít leg a z irányba mutat. A következ iterációs lépésben m ki kényszeriránnyal párhuzamos komponensével (m ) számolunk. E tot [mry] 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0, [ ] 8. ábra. A FePt rendszer nem-egyensúlyi mágneses állapotainak (l. 6b. ábra) kényszerfeltétel nélkül számolt, egy elemi cellára jutó teljes energiája az alapállapoti energiához viszonyítva, valamint az illesztett sin 2 ϑ függvény. 21

23 M Fe Fe, [ B ] 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 Fe [ ] (a) M Pt Pt, [ B ] 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 Pt [ ] (b) 9. ábra. A vas (a), illetve a platina (b) atomok mágneses momentuma (telt négyzet), illetve a momentumok vetülete a kényszerirányra (üres négyzet). A fekete görbe a platina momentumok vetületére illesztett cos ϑ-val arányos függvény. beállásától (9a. ábra), és azok nem is hajlanak ki a kényszerített irányból. A platina momentumok azonban er sen változnak (9b. ábra). Láthatjuk, hogy a ϑ szöget növelve M Pt és M Pt, közötti különbség egyre nagyobb. A vas momentumok irányára mer leges beállás (ϑ = 90 ) esetén M Pt, = 0, jóllehet M Pt 0.26µ B és párhuzamos a z iránnyal. Az 'ad hoc' iterációs eljárás ugyan konvergált, de a KohnShamDirac egyenlet megoldásából számolt és az új iterációs ciklus bemenetén használt mágnesezettségek nem azonosak. A fenti számítást 21 és 136 k-pont mellett is elvégeztük. A teljes energia alapállapottól számított különbsége a 21 k-pontos számolás során átlagosan 3,3%-kal, míg a 78 k-pontos számolás során 1,1%-kal tért el a legpontosabbnak tekintett 136 k-pontos eredményekhez képest. A spin-momentumok megfelel relatív eltérése a vas atomon 1%, illetve 0,2%, a platina atomon pedig 0,8%, illetve 0,6% volt. Ezek alapján megállapíthatjuk, hogy a 78 k-pontos számolások megfelel mértékben konvergáltak, a numerikus pontosság kielégít Számolás kényszertér alkalmazásával Vizsgáljuk meg, hogy milyen eredményeket kapunk akkor, ha a 3.2. fejezetben ismertetett, kényszerteret alkalmazó iterációval számolunk. E számolások során is 16 energia és 78 k-pontot használtunk. A kényszertérnek nulla kezdeti értéket adtunk. A 90 -hoz tartozó futás nem konvergált, mivel ott a Pt kicserél dési-korrelációs tere lényegében zérus, így a maximális szög, melyre az adatok megbízhatóak, 85. A 10. ábráról leolvasható, hogy az a teljes energia különbség, amelyet a platina momentum irányának megváltoztatásával bejárunk, 9 mry. Ez mintegy hatszorosa a kényszertér nélküli számításból adódó energiakülönbségnek. 22

24 E tot [mry] [ ] 10. ábra. A FePt rendszer nem-egyensúlyi mágneses állapotainak (l. 6b. ábra), kényszerfeltétellel számolt, egy elemi cellára jutó teljes energiája az alapállapoti energiához viszonyítva (E tot ). A 11. ábra alapján a vas mágneses momentum nagyon kis mértékben függ a platina momentumok irányától, annak értéke 0,004 µ B szórással végig 2,808 µ B. A platina momentum szögfüggése a kényszertér nélküli számolással ellentétben itt nem közelíthet egy els fokú koszinuszos függvénnyel, azonban egy másodfokú koszinuszos polinom már megfelel pontossággal illik rá. Ennek egyenlete: M Pt (ϑ) = (0,458 ± 0,003)[µ B ] cos(ϑ) + ( 0,138 ± 0,004)[µ B ] cos 2 (ϑ). (5.4) Láthatjuk, hogy a vas és a platina momentumok igen eltér módon viselkednek. A platina momentum nagysága közel egy nagyságrenddel kisebb mint a vasé: akkor a legnagyobb, mikor párhuzamos a vas momentummal, és elt nik a ϑ = 90 -os beállásnál. Ezek alapján arra következtethetünk, hogy a platina momentumokat a vas momentumok indukálják. Az (5.4) összefüggés alapján az indukált Pt momentum és a Weiss-tér kapcsolata nem-triviális. Próbáljuk meg pontosabban megérteni a számolás eredményeit! A platina atomok mágneses momentumát a vas atomok Weiss-tere, a kicserél dési-korrelációs tér és a kényszertér együttes hatása alakítja. Adott kényszerirány mellett az önkonzisztens állapotot az deniálja, ha ennek a három térnek az ered je a kényszerirányba esik, vagyis ha a kényszertér kompenzálja a vas Weiss-terének mer leges vetületét (l. 12a. ábra). Mivel a vas momentuma független a ϑ szögt l, a vas Weiss-tér nagyságát és irányát is konstansnak 23

25 M Fe [ B ] 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 Fe [ ] (a) M Pt [ B ] 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 Pt [ ] (b) 11. ábra. A FePt rendszer nem-egyensúlyi mágneses állapotában (l. 6b. ábra) kényszerfeltétellel számolt mágneses momentumok: vas (a), platina (b). A momentumok vetületét itt nem ábrázoltuk, hiszen azok párhuzamosak a kényszeriránnyal. A platina momentum szögfüggésére egy másodfokú koszinuszos polinom megfelel pontossággal illik (fekete görbe). tekinthetjük. A 12b. ábrán láthatjuk a Pt atomon számított kényszertér nagyságát. Az el z megfontolásoknak megfelel en erre jó közelítéssel illik egy sin ϑ-val arányos görbe. A ϑ = 90 -nál a kényszertérnek a teljes vas Weiss-teret kompenzálnia kell, így a 12b. ábra illesztett görbéjének tengelymetszetéb l a vas Weiss-tér nagyságára a 49,26 ± 0,17 mry becslést adhatjuk. Jelent s a különbség a kényszertér nélkül és az annak alkalmazásával elvégzett számolások között. Az energiaskálák között fél nagyságrend, az egyes mennyiségek szögfüggése között pedig lényegi eltérések vannak. Ismételten kiemeljük, hogy a kényszertérrel elvégzett számolásnál a momentumok ténylegesen a kényszerirányba mutatnak, ellentétben az els módszerrel, ahol a momentumok és vetületeik között jelent s a különbség. Az eredmények kvantitatív eltérése miatt, a szakmában elterjedt tévhit ellenére, a helyes számolások elvégzéséhez mindenképpen szükséges a kényszertér használata. Összevetve az itt kapott eredményeket a [8, 9] cikkek megfelel eredményeivel, azt tapasztaljuk, hogy az energiaskála és a teljes energia szögfüggése igen jó egyezést mutat akkor, ha a mi kényszertér nélküli számolásainkat vesszük alapul (l. 13. ábra). Ezt támasztja alá a vas momentum állandósága és a platina momentum vetületének cos ϑ-függése is. Így felmerül a kétely, hogy állításukkal szemben, a [8, 9] cikkek szerz i számításaikat valóban kényszerfeltétel alkalmazásával végezték-e. 24

26 50 40 B con [mry] [ ] (a) (b) 12. ábra. (a) A vas Weiss-tér kényszerített irányra való mer leges vetületét a kényszertér kompenzálja. (b) A Pt atomon számított kényszertér szögfüggése és az illesztett sin ϑ görbe (fekete vonal). E tot ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 [ E tot [mry] Isotropic Energy (mry/f.u.) 2 a) FePt angle (in π units) (a) (b) 13. ábra. (a) Az általunk két különböz módszerrel számolt teljes energia különbség. (b) Az egyszer összehasonlíthatóság végett átemeltük a [9] cikkben közölt megfelel ábrát. Az ide vonatkozó adatsort az 1-es görbe mutatja A FePt ötvözet mágneses anizotrópiájának vizsgálata A mágneses anizotrópia jelensége az, hogy a mágneses rendszer energiája függ a globális mágnesezettség irányától. Ennek két eltér oka lehet: az egyik a magnetosztatikus energia miatt a minta alakja, a másik pedig a spinpálya kölcsönhatás. A mi célunk az utóbbi jelenség vizsgálata, ugyanis bulk rendszerekben az el bbi elhanyagolható. Az izotróp Heisenberg-modell keretében ez a jelenség nem magyarázható, hiszen az az összes spin együttes elforgatására nézve invariáns. A jelenség csak relativisztikusan 25

27 értelmezhet : a mágneses momentumok a spinpálya kölcsönhatáson keresztül csatolódnak a kristálytérhez ill. az kristályrács kitüntetett irányaihoz. Így ennek a problémának a leírásához elengedhetetlen a relativisztikus KohnShamDirac egyenlet használata. Számításainkat ismételten az L1 0 szerkezet FePt rendezett ötvözetre végeztük. Az alapállapothoz (6a. ábra) képest itt a vas és platina momentumokat egymással párhuzamosan forgattuk el ϑ szöggel a 14. ábrának megfelel en. A számolásokban 16 energia és 78 k-pontot használtunk és a ϑ szöget itt is 5 -onként változtattuk. A kapott eredményeket a 15. és a 16. ábra mutatja. 14. ábra. A FePt rendszer mágneses momentumainak iránya a mágneses anizotrópia számolás során. 0,15 B con [mry] 0,10 0,05 0, [ ] 15. ábra. A platina ( ) és vas ( ) atomok mágneses momentumaira ható kényszertér. A 15. ábrán látható, hogy 0 -os és 90 -os állásban mind a vas és a platina atomokon 26

28 elt nik a kényszertér. Ez azt jelenti, hogy ezek a rendszer mágneses egyensúlyi állapotai, mert teljes energia deriváltja (gradiense) nullává válik. Mint az látni fogjuk, 90 -os állásban az energia a maximumát veszi fel, ezért ez egy instabil egyensúlyi állapot. Érdekes, hogy a vas momentumok kényszertere majdnem szimmetrikus a ϑ = 45 szögre nézve, a platina momentumok kényszertere viszont jelent s aszimmetriát mutat. Mivel számításainkban a kényszerterek iterációs hibája (konvergenciája) közel két nagyságrenddel kisebb volt, mint az ábrán látható eltérések, ez az aszimmetria nem tekinthet numerikus hibának. Az is elgondolkodtató, hogy a vas és platina momentumok párhuzamos beállása ellenére a platina atomokon nem t nik el a kényszertér. Ezt úgy értelmezhetjük, hogy a vas momentumok egy meghatározott nem-egyensúlyi iránybeállása esetén az indukált platina momentumok (feltételes) egyensúlyi állapota nem párhuzamos ezzel az iránnyal. E bc [mry] 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0, [ ] 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 E tot [mry] 16. ábra. A rendezett FePt ötvözet egy cellára vett teljes energiája (E tot ) az alapállapothoz viszonyítva a ϑ szög függvényében (l. 14. ábra) és a kényszertér alapján számolt energiakülönbség (E bc ). A teljes energia ϑ = 0 és 90 -os értékének különbsége deniálja a mágneses anizotrópia energiát (MAE). Ez a 16. ábra alapján E MAE = 0,124 mry(= 1,69 mev). A MAE számolásának egyik leggyakrabban használt módszere az ún. 'magnetic force theorem' [10], melyben az alapállapotban önkonzisztensen meghatározott potenciálokat és eektív tereket 'befagyasztjuk' és a nem-egyensúlyi mágneses állapotokban nem végzünk további önkonzisztens számolást. Az LDA energia funkcionál stacionaritását felhasználva, ekkor a teljes energia helyett a sávenergia (egyrészecske energia) különbségét képezzük és ezt azonosítjuk a rendszer mágneses anizotrópia energiájával. Ezzel a módszerrel is megha- 27

29 tároztuk a FePt ötvözet mágneses anizotrópia energiáját, ami 1,91 mev-nak adódott. Ez a teljes energia számításhoz képest 12% relatív eltérés, ami kielégít egyezés, bár f ként a BZ integrálás javításával az egyezés valószín leg még pontosabbá tehet. A (3.11) egyenlet alapján ki lehet számolni a kényszerterek segítségével a mágneses anizotrópia energiát is. Tekintsük a teljes energiát, mint a vas és a platina mágnesezettség (001) irányhoz vett szögének függvényét, E tot (ϑ Fe,ϑ Pt ). Ekkor ennek az energiának a teljes megváltozását felírhatjuk a következ alakban: de tot (ϑ Fe,ϑ Pt ) = E tot ϑ Fe dϑ Fe + E tot ϑ Pt dϑ Pt = ( Etot ϑ Fe + E ) tot dϑ, (5.5) ϑ Pt ahol felhasználtuk azt, hogy a számolás során ezt a két szöget ugyanakkorának tartottuk. Ezeket a parciális deriváltakat a vas és platina atomokon számított kényszerterekkel, B con,fe és B con,pt, felírva, majd szög szerint integrálva megkapjuk a teljes energia különbséget: ϑ E bc (ϑ) = d ϑ 0 ( Etot ϑ Fe + E ) tot ϑ Pt ϑ = d ϑ ( M Fe ( ϑ)b con,fe ( ϑ) + M Pt ( ϑ)b con,pt ( ϑ) ). (5.6) 0 Az integrált elvégezve kaptuk a 16. ábrán szerepl másik görbét. Ezen számolás alapján a mágneses anizotrópia energiára 0,151 mry-et (2,06 mev-ot) kapunk. Az eredmény jól egyezik f ként a 'magnetic force theorem' számolásból adódó értékkel, de a teljes energia különbségt l több mint 20%-kal eltér. A MAE 67 nagyságrenddel kisebb, mint a teljes energia, így az utóbbi mennyiség viszonylag kis relatív pontatlansága is jelent s hibát eredményezhet a számolt MAE értékben. A kívánt pontosság ugyan a FePt esetében elérhet, de meg kell vizsgálni az energiakülönbség konvergenciáját is a Brillouin-zóna integrálással szemben, ami nehéz numerikus feladat. Ezzel szemben a kényszerterek az egyensúlyi állapotokban elt nnek, így azok nem tartalmaznak egy nagy konstans tagot. Emiatt ezek relatív pontosságra elég egy jóval kisebb (kb ) értéket el írni. Ezek alapján gondolhatjuk azt, hogy a k-pontok számára a kényszertér kevésbé érzékeny, mint a teljes energia, így érdemesebb azzal számolni. Ahhoz, hogy a MAE három különböz módszerrel való számításából kvantitatív következtetéseket tudjunk levonni és megállapítsuk a módszerek numerikus stabilitását, további gondos számítássorozatok elvégzésére van szükség. 28

30 6. Összefoglalás A dolgozat els részében röviden áttekintettem a s r ség funkcionál elméletet, mely segítségével a legtöbb szilárdtest elektronrendszerének alapállapota hatékonyan leírható. Az elmélet keretében Lagrange-multiplikátorokat használva elértük azt, hogy a módszert alkalmazni lehessen olyan rendszerek számítására, ahol a mágnesezettség irányát el re rögzítettük. Az irányok megfelel választásával a vizsgált rendszerek mágneses kölcsönhatásainak mélyebb részleteibe nyerünk bepillantást. A számítások elvégzéséhez a Tanszéken fejlesztett SKKR sávszerkezet számító programot módosítottuk. A bcc vas rendszeren végzett ellen rz számítás igen jó egyezést mutatott a [6] cikk eredményeivel. A továbbiakban a technológiai szempontból jelent s L1 0 FePt rendezett ötvözettel foglalkoztunk. Két különböz iterációs módszerrel (kényszertér alkalmazásával és anélkül) végeztünk számolásokat annak vizsgálatára, hogy a platina mágneses momentuma hogy függ a vas momentumokhoz viszonyított relatív beállástól. Ennek eredményeként nyilvánvalóvá vált, hogy valóban szükséges a kényszertér alkalmazása. Megállapítottuk, hogy a vas momentum nagysága gyakorlatilag független a platina momentumok állásától, a platina momentum nagysága viszont er s irányfüggést mutat. Az indukált platina momentumoknak a vas atomok által keltett Weiss-tért l való függésére jó közelítéssel kvadratikus alakot kaptunk. A kényszerített s r ség funkcionál módszerrel vizsgáltuk a FePt ötvözet mágneses anizotrópiáját is. Az elvégzett számítások kvalitatíve megfelel és a szemlélettel egyez eredményeket adnak, de a numerikus pontosság még nem kielégít. A további munkában a program fejlesztése és a további számítások elvégzése szükséges. A nagy számítási igény miatt az itt elvégzett módosításokat a párhuzamosított algoritmusra is alkalmazni kell, hogy a nagyobb felbontású számítások is még kezelhet id alatt lefussanak. Hasonló számításokat tervezünk más indukált momentumokkal rendelkez rendszerekre, mint pl. FeRh vagy Fe 2 P, melyek ún. magnetokalorikus eektust mutatnak. 29

31 Hivatkozások [1] P. Hohenberg and W. Kohn. Inhomogeneous electron gas. Phys. Rev., 136(3B):B864 B871, [2] W. Kohn and L. J. Sham. Self-consistent equations including exchange and correlation eects. Phys. Rev., 140(4A):A1133A1138, [3] Helmut Eschrig. The Fundamentals of Density Functional Theory. Tuebner Verlag, [4] J. Zabloudil, R. Hammerling, L. Szunyogh, and P. Wienberger. Electron Scattering in Solid Matter: A Theoretical and Computational Treatise. Springer, [5] Szunyogh László. Introduction to multiple scattering theory. bme.hu/%7eszunyogh/elszerk/kkr-slides.pdf. [6] B. Újfalussy, Xin-Dong Wang, D. M. C. Nicholson, W. A. Shelton, G. M. Stocks, Yang Wang, and B. L. Györy. Constrained density functional theory for rst principles spin dynamics. J. Appl. Phys., 85(4A): , [7] P. H. Dederichs, S. Blügel, R. Zeller, and H. Akai. Ground states of constrained systems: Application to cerium impurities. Phys. Rev. Lett., 53(26), [8] O. N. Mryasov, U. Nowak, K. Y. Guslienko, and R. W. Chantrell. Temperaturedependent magnetic properties of fept: Eective spin hamiltonian model. Europhys. Lett., 69(5):805811, [9] O. N. Mryasov. Magnetic interactions and phase transformations in FeM, M=(Pt,Rh) ordered alloys. Phase Transitions, 78(13):197208, [10] H. J. F. Jansen. Magnetic anisotropy in density-functional theory. Phys. Rev. B, 59:4699,