Merev testek mechanikája

Átírás

1 Egyensúly Perdület Forgómozgás 9. évfolyamon egész tanév során mechanikával foglalkoztunk. k. Először olyan ségeket vizsgáltunk, amelyekben a testek jelen- pontszerűnek tekinthetők. thetők. A tömegpontmodell használata megkönnyíti a testek mozgásának leírását, át, valamint a mozgást leíró fogalmak kö zötti kapcsolatokat táró törvények megfogalmazását. Később a tömegpont mozgásának és nyugalmi fel- helyzetének okát is megismertük. Több tömegpontból álló rendszer (pontrendszer) dinamikai leírását is elsajátítottuk. Testek viszont lehetnek olyan helyzetben is, amelyben a tömegpontmodell használata nem vezet et eredményre. A kiterjedt testek számos jelenség során viselkedhetnek merev ev testként. 9. folyamon megfogalmaztuk már a év- merev test egyensúlyának lét, most a dinamikájával fogunk feltéte- megismerkedni. Merev testek mechanikája

2 1. lecke A merev test egyensúlya (Ismétlés) A Formula 1-es versenyautókat a mérnökök a lehető legkönnyebbre tervezik. Ezután nehezékeket rögzítenek a legalacsonyabban lévő helyekre. Mi lehet ennek az oka? Merev test fogalma, egyensúlyának feltételei Számos jelenség lefolyásakor a kiterjedt testek mérete, alakja, tömegeloszlása nem változik. Ilyen jelenségek során a kiterjedt testet merev testnek nevezzük. Egy kiterjedt testet merev testnek tekinthetünk, ha a rá ható erők hatására sem mérete, sem alakja, sem tömegeloszlása nem változik meg jelentősen. Másképp fogalmazva: kölcsönhatásban a test pont jainak egymástól való távolsága nem változik. Merev test a haladás szempontjából akkor van egyensúlyban, ha a rá ható erők vektori eredője nulla: F = 0 Merev test forgás szempontjából akkor van egyensúlyban, ha a rá ható forgatónyomatékok előjeles összege (tetszőleges vonatkoztatási pontra vonatkoztatva) nulla: Mi a helyes módja nehéz tárgyak helyes emelésének? M = 0 Összefoglalva, egy merev test egyensúlyának feltételei: F = 0, M = 0 Fontos megjegyezni, hogy az egyensúly és a nyugalom nem ugyanazt jelenti. Egy test mozgásállapota nem változik, amikor egyensúlyi helyzetben van. Egyensúlyi helyzetben sem haladási, sem forgási mozgásállapota nem változik. F = 0 v = állandó M = 0 ω = állandó Tehát a nyugalomban lévő test egyúttal egyensúlyban is van, de az egyensúlyban lévő test nem feltétlenül van nyugalomban is.

3 1. A merev test egyensúlya (Ismétlés) Egyensúlyi helyzetek vizsgálata Felfüggesztett, vagy alátámasztott testre csak két, azo nos hatásvonalú erő hat, a nehézségi erő és a tartó erő. A test súlya a tartóerő ellenereje (ilyenkor a felfüggesztésre, vagy alátámasztásra ható erő a súly). 0 S S 0 S = 0 A nyugalomban lévő testre ható nehézségi erő és a tartóerő közös hatásvonalát súlyvonalnak nevezzük. Minden testnek végtelen sok súlyvonala lehet, de mind egy ponton, a súlyponton halad át. Homogén nehézségi erőtérben a súlypont és az úgynevezett tömegközéppont megegyezik, ez a pont a testre ható nehézségi erő támadáspontja. A súlypont (illetve a tömegközéppont) úgy viselkedik, mintha a merev test összes tömege benne lenne koncentrálva. Merev test súlyvonalai egy ponton haladnak át Merev test egyensúlyi helyzeteit a következő módon osztályozhatjuk. A testet egyensúlyi helyzetéből kissé kimozdítjuk, majd magára hagyjuk. Ekkor a test visszatérhet az egyensúlyi helyzetébe, de az is lehet, hogy még messzebbre kerül az előző egyensúlyi állapotától. Egy merev test lehetséges egyensúlyi helyzetei: Stabil (biztos): A testet egyensúlyi helyzetéből kissé kimozdítva, majd magára hagyva, a test visszatér eredeti helyzetébe. Labilis (bizonytalan): A testet egyensúlyi helyzetéből kissé kimozdítva, majd magára hagyva, a test a kitérítés irányában tovább mozog. Indifferens (közömbös): A testet egyensúlyi helyzetéből kissé kimozdítva, majd magára hagyva, a test a kimozdított helyzetében marad egyensúlyban. S Hogyan változik a test helyzeti energiája, ha kitérítjük egyensúlyi helyzetéből? KIDOLGOZOTT FELADAT Egyenletes anyageloszlású hosszú pálcát támasztunk a nagyon sima falnak. Mekkora a pálca és a vízszintes padló közötti tapadási súrlódási együttható, ha a pálca a fallal legfeljebb 40 -os szöget zárhat be megcsúszás nélkül? MEGOLDÁS Adatok: α = 40. μ 0 =? Készítsünk ábrát, és rajzoljuk be a pálcára (merev testre) ható erőket! A pálcára négy erő hat: nehézségi erő: mg, a sima (súrlódásmentes) faltól származó nyomóerő: K 1, a talajtól származó nyomóerő: K, a talajtól származó tapadási súrlódási erő: F tap. α K 1 mg F tap K (A ) A pálca egyensúlyban van, ezért a rá ható erők eredője nulla: F = 0 Vízszintes irányban: K 1 = F (1) tap Függőleges irányban: K = mg () 9

4 A merev test egyensúlya (Ismétlés) Egyensúly esetén bármely (a talajhoz képest álló) vonatkoztatási pontra nézve a forgatónyomatékok előjeles összege is nulla: M = 0 Vonatkoztatási pontnak olyat célszerű választani, amelyen a meghatározandó erő halad át, így egyszerűbb lesz a megoldásunk. Válasszuk vonatkoztatási pontnak a pálcának talajjal érintkező (A ) pontját. Ezen a ponton két (K, F tap ) ismeretlen nagyságú erő hatásvonala is átmegy. Az A-pontra vonatkoztatva az mg nehézségi erő erőkarja l sin α, a K 1 erőé l cos α. Ezek után írjuk fel az A pontra a forgatónyomatékok előjeles összegét! mg l sin α K 1 l cos α = 0 (3) Statikai ismeretek a hétköznapokban Távolra vető ostromgép a középkorból Mit jelent a szerpentin elején lévő speciális közlekedési táblán olvasható 1%? Használjuk fel a (3) egyenletben az (1) egyenletet: mg l sin α F tap l cos α = 0 Egyszerűsítsünk, majd használjuk fel, hogy a tapadási súrlódási erő kényszererő, valamint a () egyenletet: mg l sin α F tap max cos α = μ 0 K cos α = = μ 0 mg cos α Újabb egyszerűsítést és rendezést követően megkapjuk a pálca és a vízszintes padló közötti tapadási súrlódási együttható értékét: μ 0 = tg α = tg 40 0,4 Olvasmány Arkhimédész (Kr. e. III. évszázad) görög természettudós alapozta meg a statikának (vagyis a testek egyensúlyának) a tudományát. Bevezette a tömegpont fogalmát, emelőket, csigasorokat alkotott. A legenda szerint Szürakusza védelmére olyan daruszerű valószínűleg csigasorokat tartalmazó szerkezeteket készített, amelyek egész hajókat képesek voltak felborítani. Neki tulajdonítjuk a következő kijelentést: Adjatok egy fix pontot, és én kifordítom sarkaiból a világot. Gyorsan változó világunkban is fontos szerep jut a nyugalomnak, vagy a bővebben értelmezett egyensúlynak. Gyermekkorunkban mérleghintázás során megtapasztalhattuk az egyensúlyi helyzet feltételét. Szinte mindennap használunk olyan erőátviteli eszközt, egyszerű gépet, amely alkalmas egy erő irányát kedvezőbbé tenni vagy nagyságát csökkenteni. Emelőrendszerű gépek közé tartozik az egyoldalú emelő (feszítővas, talicska, sörnyitó, diótörő) és a kétoldalú emelő (gémes kút, karos mérleg, sorompó, villás evezőlapát, állócsiga, mozgócsiga, hengerkerék, csigasorok). A lejtőrendszerű gépek a lejtő, az ék és a csavar. Mindegyikre számtalan további példát tudunk még sorolni. Az egyszerű gépek többségét már az ókorban is ismerték, de használatuk manapság is nélkülözhetetlen. Az egyszerű gépek mai modern eszközeinkben is jelen vannak, azonban sokszor nem látjuk őket, mert valamilyen borítás rejti el látványukat a szemünk elől. Néha nem is sejtjük, milyen bonyolult szerkezeteket alakítanak ki egyszerű gépek kombinációjából. Például a zongora billentyűjét leütő erőt emelőkből álló bonyolult rendszer közvetíti a húrt megütő kalapácsig. Az edzőtermekben lévő gépek nagy részénél több alkatrész mellett csigák is vannak, amelyek egyrészt a kifejtendő erő irányát hivatottak megváltoztatni (álló csigák), másrészt változtatható velük az erő nagysága is (mozgó csigák). 10

5 1. (Ismétlés) A Formula 1-es versenyautókat a mérnökök a lehető legkönnyebbre tervezik. Ezután nehezékeket rögzítenek a legalacsonyabban lévő helyekre, hogy a jármű súlypontja minél közelebb legyen a talajhoz, mert ekkor a kocsi jobban fekszik az úton, nehezebben borul fel. Azt gondolhatnánk, hogy a mechanika területén már nincs lehetőség új ismeretek felfedezésére. Erre cáfolt rá két magyar kutató, Domokos Gábor és Várkonyi Péter, akik 007-ben fedezték fel a gömböcöt. A gömböc egy olyan konvex, homogén anyagú test, ami pontosan azt tudja, amit az inhomogén anyageloszlású keljfeljancsi. A gömböcnek egy stabil és egy instabil egyensúlyi helyzete van. Gömböcszerű formát találunk a természetben is. Vannak olyan szárazföldi teknősfajok, amelyek páncélzata hozzávetőlegesen gömböc alakú. Ez a forma segíti a teknősöket a hátukról a hasukra fordulni. A Gömböc és egy teknősbéka A gömböc és a gömböc alakú teknős Nap mint nap előfordulhat, hogy nehezebb tárgyakat kell megemelni. Nagyon fontos szabály, hogy nyújtott lábbal, előrehajolva ne emeljünk nehéz tárgyat! Ilyenkor olyan erők jelennek meg a gerincoszlopunkban, amelyek a csigolyák közötti porckorongot (kocsonyás anyag) kigyűrik a helyéről. A gerincünket egyenesen tartva, térdünket behajtva nyúljunk le a felemelendő tárgyért. A tárgyak helyes emelésére már fiatalon érdemes odafigyelni. Az építészet alaptudománya a statika. Lenyűgöző a hatalmas épületeink látványa. Megtervezésük, megépítésük a természet törvényeinek ismerete nélkül nem lenne lehetséges. Tárgyak emelésének helytelen és helyes módja Lakóépület Montrealban 11

6 A m (Ismétlés) Európa legnagyobb rágcsálói, a folyóparton élő hódok által kidöntött fák többnyire a víz felé esnek. Mi lehet ennek az oka? A híd negyedénél megáll egy 1 tonnás kamion. Mekkora többletterhelést okoz ez a híd végeinél lévő pilléreknek? 3 Mekkora tömegű gyerek ül a 3 m hosszú, egyensúlyban lévő, 1 kg tömegű mérleghinta egyik végén, ha az alátámasztási ponttól 1, m távolságra lévő másik végén összesen 4 kg tömegű gyerekek helyezkednek el? Kérdések és feladatok 4 Legalább mekkorának kell lennie egy homogén anyageloszlású kocka lapjának és a vízszintes asztallap közötti tapadó súrlódási együtthatónak, hogy a kockát a felső lapjára ható vízszintes erővel megcsúszás nélkül felboríthassuk? 5 A 10 kg tömegű létrát a teljesen sima falnak támasztjuk úgy, hogy a létra 30 -os szöget zár be a fallal. A létra és a padló közötti tapadási súrlódási együttható 0,5. Legfeljebb a létra mekkora hosszán lépkedhet végig egy 80 kg-os szobafestő annak megcsúszása nélkül? 6 Négy azonos méretű könyvet helyezz el egymáson a képen látható módon az asztal szélén! El lehet úgy helyezni őket, hogy a L legfelső könyv teljes egészében az asztallapon túlra lógjon? (d > L) Megfigyelési tapasztalatodat ellenőrizd számítással d is!

7 . lecke A forgómozgás kinematikai leírása Milyen pályán mozog a haladó kerékpár szelepsapkája? Megismertük a kiterjedt testek egyik modelljét, a merevtest-modellt. Azt is tudjuk már, hogy mik a merev test egyensúlyának feltételei. Vajon hogyan mozognak a merev testek, amikor nincsenek egyensúlyban? Merev test tengely körüli forgómozgása Egy merev test akár egyensúlyi helyzetében is a haladó mozgása mellett akár forgómozgást is végezhet. Egy merev test forgómozgást végez, ha a test minden pontja egy-egy körmozgást végez egy adott egyenes körül, amely egyenest forgástengelynek nevezünk. A rögzített tengely körül forgó test legyen egyensúlyban! (Ennek az a feltétele, hogy valamely vonatkoztatási pontra nézve a testre ható forgatónyomatékok előjeles összege nulla legyen.) Ekkor a test minden pontja egyenletes körmozgást végez. A körpályák R sugarai ugyan lehetnek különbözőek, de a mozgás több jellemzője ugyanaz: a T periódusidő, f frekvencia, ω szögsebesség. Ezeket a jellemzőket a forgómozgás jellemzőinek is tekintjük. Érdemes felidézni a fenti mennyiségek közötti kapcsolatokat: f = 1 T, ω = π T = π f Az egyenletes forgómozgást végző merev test pontjainak kerületi sebessége és centripetális gyorsulása is arányos a körpálya sugarával: v ker = ω R, a cp = ω R v 1 T ( f; ω) R 1 R v Kétszer nagyobb sugár esetén hányszoros lesz a kerületi sebesség? 13

8 . A forgómozgás kinematikai leírása miatt a menetiránnyal ellentétesen mutató v ker kerületi sebessége is van. A két sebesség vektori eredőjének nullának kell lennie, így lehet igaz az, hogy a kerék talajjal érintkező pontja a talajhoz képest áll: v = v 0 + v ker = 0 R ω v 0 A mai elektronikus zenében ismét divatba jött a mikrobarázdás (helyesen vinilből, és nem bakelitből készült) hanglemezek használata. Járj utána, hogy ki, mikor és hol fejlesztette ki a mikrobarázdás hanglemezt! Kerék tisztán gördülése Mechanikai problémák vizsgálatánál gyakran előfordul olyan, hogy egy jármű kerekeken mozog. Vizsgáljuk meg alaposabban egy kerék sík talajon való egyenletes mozgását! A talajhoz képest csak a kerék tengelye mozog egyenletesen v 0 sebességgel. A kerék többi pontja a tengely körül egyenletes körmozgást végez. Így a kerék többi pontjának sebességét a tengely állandó v 0 és a folyton változó irányú v ker kerületi sebesség együtt alakítja ki: v = v 0 + v ker v 0 v ker v 0 A kerék pontjai összetett mozgást végeznek Egy kerék tisztán gördül a sík talajon, ha a kerék nem csúszik meg, nem pörög ki, azaz a kerék talajjal érintkező pontja a talajhoz képest áll. Vizsgáljuk meg a kerék tisztán gördülésének feltételét! A jelenség fenti megfogalmazásából érdemes kiindulni. A kerék legalsó pontja mint a többi is összetett mozgást végez: Egyrészt a tengely v 0 állandó nagyságú, menetirányba mutató sebességével rendelkezik. Másrészt a tengely körüli forgása v v ker A kerék tisztán gördül v 0 Mivel a két sebesség ellentétes irányú, ezért a nagyságuk azonos kell legyen: v 0 = v ker (= ω R) Egy kerék tisztán gördül a sík talajon, ha a kerék sebessége (tengelyének sebessége) és a kerék kerületi pontjának sebessége azonos nagyságú. KIDOLGOZOTT FELADAT Kerék v 0 állandó nagyságú sebességgel tisztán gördül a vízszintes talajon. Add meg az ábrán jelölt (A, B, C, D) pontok talajhoz viszonyított sebességeit! v 0 C R MEGOLDÁS B A Adatok: v 0. v A =?; v B =?; v C =?; v D =? ω A kerék tisztán gördülése miatt fennáll a következő kapcsolat: v 0 = ω R A pont sebessége: v 0, hiszen a kerék sebességét a tengelyének sebességével azonosítjuk. v A = v 0 B pont sebessége: 0, a tisztán gördülés pont ezt jelenti. v B = 0 C pont sebessége: v 0, v C = v 0 D 14

9 . A forgómozgás kinematikai leírása Igazolás (1. módszer): A kerék legfelső (C) pontja összetett mozgást végez: v = v 0 + v ker. Mindkét sebességkomponens azonos nagyságú (v 0 ) a tisztán gördülés miatt, és mindkettő menetirányba mutat. Igazolás (. módszer): Tisztán gördülés során a kerék talajjal érintkező pontja a talajhoz képest áll. A kerék minden más pontja e pont körül végez ω szögsebességű körmozgást. Azt mondhatjuk, hogy a kerék talajjal érintkező pontja pillanatnyi forgástengelyként viselkedik. Ezek alapján a C pont sebessége a talajhoz képest: v c = ( R) ω = (R ω) = v 0 D pont sebessége: v 0 Igazolás (1. módszer): A kerék szélének a tengellyel azonos magasságában lévő (D) pontja is összetett mozgást végez: v = v 0 + v ker Mindkét sebességkomponens azonos nagyságú (v 0 ) a tisztán gördülés miatt, és merőlegesek egymásra. Igazolás (. módszer): Használjuk fel ismét, hogy a kerék talajjal érintkező pontja pillanatnyi forgástengelyként viselkedik. Ezek alapján a D pont sebessége a talajhoz képest: v D = ( R) ω = (R ω) = v 0 v ker C A v 0 D v 0 v A = v 0 B v B = 0 Igazolás 1. módszere R C Igazolás. módszere v C = v 0 v A = A v = R 0 ω B v B = 0 v ker v 0 v D = v 0 v C = R ω = v 0 D v D = R ω = v 0 A sík talajon tisztán gördülő kerék egyik kerületi pontját jelöljük meg! A kerék tisztán gördülése során a megjelölt pont által rajzolt görbét (csúcsos) cikloisnak nevezzük. Érdemes végiggondolni azt is, hogy milyen cikloist rajzol ki a megjelölt pont, ha távolsága a tengelytől kisebb, illetve nagyobb a sugárnál. Tisztán gördülő R sugarú kerék kerületi pontja által rajzolt ciklois. Milyen távol van egymástól a két szomszédos csúcs? A szöggyorsulás A továbbiakban azt fogjuk vizsgálni, hogyan mozog egy tengellyel ellátott merev test, ha nincs egyensúlyban, azaz a rá ható forgatónyomatékok előjeles összege nem nulla: M 0 KÍSÉRLET A forgómozgás kísérleti vizsgálatára alkalmas eszköz tárcsájára tekert fonalat egy állócsigán átvetjük, és a végére egy nehezéket akasztunk. Forgómozgás vizsgálata TAPASZTALAT A fonál végére erősített nehezéket elengedve, az egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgást végez a gyorsulással. 15

10 16. A forgómozgás kinematikai leírása KÖVETKEZTETÉS Amennyiben a fonál nem csúszik a tárcsán, úgy a nehezék a gyorsulása megegyezik a tárcsa kerületi pontjainak érintőirányú (tangenciális) gyorsulásával: a tg A körpályán mozgó tömegpontnak kétféle gyorsulása lehet: Az a cp centripetális gyorsulás a kör középpontja felé mutat, és a kerületi sebesség irányának megváltozásáért felelős. Az a tg tangenciális gyorsulás a kör érintőjének irányába mutat, és a kerületi sebesség nagyságának megváltozásáért felelős. A gyorsulást a két komponens eredőjeként kapjuk, amelynek abszolút értéke: a = a cp + a tg Az egyenletesen változó körmozgás (forgómozgás) kinematikai leírása nem véletlenül hasonlít a haladó mozgás leírásához: α(t) = 1 β t ; ω(t) = β t, ha kezdetben ω 0 = 0 Amennyiben ω 0 0, a változó körmozgás (forgómozgás) kinematikai leírása: α(t) = ω 0 t + 1 β t ; ω(t) = ω 0 + β t a tg a a cp Változó körmozgás gyorsulása Írjuk fel egymás alá a szögelfordulást és szögsebességet megadó egy-egy összefüggést, majd használjuk fel a tömegpont kinematikájánál megismert törvényeket (s = 1 at, v = a t): a = Δi R = 1 a tg t R ω = v R = a tg t R a tg 1 = t R a tg = t R Az a tg kifejezésnek önálló jelentése van: szöggyorsulás: β = a tg R R Egy pont (merev test) szöggyorsulásának számértéke megmutatja, hogy mennyit változik a pont (merev test) szögsebessége másodpercenként. A szöggyorsulás jele: β. Mértékegysége: 1 s. β = Δω Δt Hány fordulatot tesz meg a kis kerék, míg a nagy egyet, ha a nagy kerék sugara R n, a kis kerék sugara R k? Tömegpont és merev test kinematikájának összehasonlítása Tömegpont haladó és merev test forgómozgását leíró fogalmak és a fogalmak közötti kapcsolatokat feltáró összefüggéseket tartalmazza a következő táblázat: Haladó mozgás Forgómozgás Fogalmak t, r, v, a t, α, ω, β Törvények v(t) = v 0 + a t r (t) = r 0 + v 0 t + 1 a t A haladó és forgómozgás kinematikáját összefoglaló táblázat ω(t) = ω 0 + β t α(t) = α 0 + ω 0 t + 1 β t 16

11 . A forgómozgás kinematikai leírása 1 Mikrobarázdájú hanglemez lejátszási fordulatszáma A barázdák legnagyobb 3 min átmérője 9,5 cm, a legkisebb 15,5 cm. a) Mekkora a korong forgásának periódusideje, szögsebessége? b) Mekkora a tű lemezhez viszonyított legnagyobb és legkisebb sebességének aránya? A Földet modellezhetjük a következőképpen: R = 6370 km sugarú gömb, forgási periódusideje 4 óra. Budapest a 47,5 szélességi körön van. a) Mekkora az egyenlítői pont kerületi sebessége? b) Melyik szélességi körön van az a pont, amelynek sebessége az a) feladatrészben kapottnak éppen a fele? c) Mekkora Budapest kerületi sebessége? 3 Egy kerék v állandó sebességgel tisztán gördül a vízszintes talajon. Hol vannak a keréken azok a pontok, amelyeknek a sebessége szintén v? Kérdések és feladatok 4 Egy kerékpár kereke tisztán gördül a vízszintes talajon. Mekkora v sebességgel halad egyenletesen a vizsgált (sárvédő nélküli) kerékpár, ha R = 35 cm sugarú első kerekének legfelső pontjáról egy kis sárdarab válik le, majd az úttestre eső kis sárdarab éppen a keréknek ugyanarra a pontjára tapad vissza, amelyikről lerepült? 5 Járj utána szakkönyvekben, interneten a ciklois görbe tulajdonságainak! km 6 Egy autó sebessége egy pillanatban 7 h, gyorsulása m s. Mekkora a gyorsulása a 70 cm átmérőjű kerék legfelső pontjának? 7 A patak vizét elterelve, az addig 3 másodperces periódusidővel forgó vízikerék egyenletesen lassulva 6 másodperc alatt megáll. Hány fordulatot tesz meg a vízikerék a megállásig? 17

12 3. lecke A forgómozgás alapegyenlete A kerekes kút hengerére tekert kötél végén egy vízzel telt vödör függ. A kút kerekére általunk kifejtett megfelelő erő forgatónyomatéka biztosítja a vödör egyensúlyát (nyugalmát, illetve egyenletes fel-le mozgását). A kereket elengedjük, a vödör gyorsulva zuhan, a kerék gyorsulva forog. Mitől függ a kerék gyorsuló forgása? Forgatónyomaték és szöggyorsulás Ismerjük a rögzített tengely körül elforgatható tömegpont egyensúlyának feltételét. Amennyiben a tömegpontra ható forgatónyomatékok előjeles összege nulla, akkor a test forgási állapota nem változik: M = 0 Δω = 0 Ezek után feltételezhető: amennyiben a tömegpontra ható forgatónyomatékok előjeles összege nem nulla, akkor a test forgási állapota változik: M 0 Δω 0 GONDOLATKÍSÉRLET M Milyen mozgást végez a hófödte lejtőn leguruló hógolyó? le Vizsgáljuk azt a merev testet, mely áll egy rögzített tengelyből, egy erre merőlegesen erősített r hosszúságú rúdból, valamint a rúd másik végén lévő m tömegű pontszerű testből! A tengely és a rúd tömege elhanyagolható, valamint a tengely körüli forgás súrlódásmentes. Hasson az m tömegű pontszerű testre folyamatosan állandó nagyságú, érintőirányú F erő! r m F β Tömegpont gyorsítása körpályán TAPASZTALAT A test egyenletesen változó körmozgást fog végezni. Newton II. törvényét használva: F = m atg A fenti egyenletből nyert skaláregyenlettel dolgozzunk tovább, valamint használjuk fel a tangen- fiz-1e_1-51.indd :43:46

13 3. A forgómozgás alapegyenlete ciális gyorsulás, a szöggyorsulás és körpálya sugara között lévő a tg = r β összefüggést: F = m a tg F = m r β Az F erőnek a tengelyre vonatkoztatott erőkarja r, így forgatónyomatéka: M = F r Ezt felhasználva: M = mr β KÖVETKEZTETÉS Rögzített tengely körül forgatható tömegpont állandó forgatónyomaték hatására egyenletesen gyorsuló forgómozgást végez. Az M forgatónyomaték és a β szöggyorsulás hányadosa állandó. Az arányossági tényezőt a tömegpont m tömege és a tengelytől való r távolsága határozza meg. M β = m r = állandó Forgómozgás alapegyenlete Most térjünk át a rögzített tengely körül forgatható merev test dinamikájának vizsgálatára! Ismerjük a rögzített tengellyel rendelkező merev test egyensúlyának feltételét. Amennyiben a merev testre ható forgatónyomatékok előjeles összege nulla, a test forgási állapota nem változik: M = 0 Δω = 0 Ezek után most is feltételezhető: amennyiben a merev testre ható forgatónyomatékok előjeles összege nem nulla, akkor a test forgási állapota változik: M 0 Δω 0 GONDOLATKÍSÉRLET Vizsgáljuk a rögzített tengely körül súrlódásmentesen forgatható merev testet! Hasson a testre egy állandó nagyságú (tengelyre vonatkoztatott) M forgatónyomaték! β M Merev test gyorsuló forgása TAPASZTALAT A merev test a rá ható M forgatónyomaték hatására β szöggyorsulású egyenletesen változó forgómozgást fog végezni. Osszuk fel az m tömegű testet N darab olyan kicsi részre, hogy a kicsi részek már pontszerűnek tekinthetők legyenek: m = m 1 + m + + m i + m N, illetve ezt röviden jelölve: m = N m i. β Az m i tömegrész távolságát a forgástengelytől jelöljük r i -vel! r i m i Merev test felosztása sok pici részre Mindegyik m i tömegrész ugyanakkora β szöggyorsulású egyenletesen változó körmozgást fog végezni. Az előző részben megismertük, hogy az m i tömegrész β szöggyorsulásáért M i forgatónyomaték a felelős: M i = m i r i β Használjuk fel, hogy az egyes m i tömegrészekre ható M i forgatónyomatékok összege a merev testre ható M forgatónyomatékot adja: M = N M 1 + M + + M N = = m 1 r β + m r 1 β + + m N r N β M = (m 1 r + m r + + m r ) 1 N N β = N M i m i r Rögzített tengely körül forgó merev test állandó M forgatónyomaték hatására állandó β szöggyorsulással forog. Az adott testre ható M forgatónyomaték és az általa okozott β szöggyorsulás egyenesen arányos egymással, így hányadosuk állandó: M β = állandó Amennyiben a merev testre egyidejűleg több forgatónyomaték hat, úgy a testre ható forgatónyomatékok előjeles összege okozza a test szöggyorsulását: M β i 19

14 3. A forgómozgás alapegyenlete KÖVETKEZTETÉS Amennyiben a rögzített tengely körül forgatható merev testre ható forgatónyomatékok előjeles összege nem nulla, akkor a test egyenletesen gyorsuló forgómozgást végez. A test szöggyorsulása egyenesen arányos a testre ható forgatónyomatékok előjeles összegével, valamint fordítottan arányos a test egy tulajdonságával, a tehetetlenségi nyomatékával: M = Θ β Ezt az összefüggést a forgómozgás alaptörvényének nevezzük. A tehetetlenségi nyomaték jele: Θ (théta, görög betű), kiszámítása: Θ = N Mértékegysége: kg m m i r i Néhány test tehetetlenségi nyomatéka A továbbiakban néhány egyszerű merev test tehetetlenségi nyomatékát határozzuk meg a tehetetlenségi nyomaték fogalmának felhasználásával: Θ = N m i r a) Pontszerű test tehetetlenségi nyomatéka A pontszerű testet nem tudjuk további részekre osztani, így annak tehetetlenségi nyomatéka: Θ tömegpont = N m i r i = m r Θ tömegpont = m r ω r Pontszerű test tehetetlenségi nyomatéka a test tömegétől és a forgástengelytől mért távolságtól függ b) Vékony abroncs tehetetlenségi nyomatéka a szim metriatengelyére vonatkozóan Az abroncsot osszuk fel N darab olyan kicsi részre, hogy a kicsi részek már pontszerűnek tekinthetők m legyenek: m = m 1 + m + + m i + + m N. Alkalmazzuk a tehetetlenségi nyomaték definícióját, és vegyük figyelembe, hogy mindegyik m i tömegrész távolsága a forgástengelytől r, valamint hogy a részek tömegeinek összege m: Θ abroncs = N m i r i = N Θ abroncs = m r ω m i r = ( N Az abroncs tehetetlenségi nyomatéka a test tömegétől és a henger sugarától függ m i) r = m r Másképp is gondolkodhatunk. Induljunk ki a pontszerű test tehetetlenségi nyomatékából: Θ = m r Ennek a tömegpontnak a tömegét kenjük szét az r sugarú kör mentén. Az így kialakult test részeinek tengelytől mért távolsága nem változott, így a tehetetlenségi nyomatéka sem változott: Θ = m r c) Vékony falú henger tehetetlenségi nyomatéka a szimmetriatengelyére vonatkozóan Az előző részben alkalmazott eljárás most is alkalmazható, és a végeredmény ugyanaz: Θ henger = m r ω r r m A vékony falú henger tehetetlenségi nyomatéka a test tömegétől és a henger sugarától függ Általánosan igaz, hogy pontrendszer tehetetlenségi nyomatéka nem változik, ha a pontjainak helyét úgy változtatjuk, hogy közben nem változik a tengelytől való távolságuk. Más testek tehetetlenségi nyomatékának meghatározása integrálszámítást igényel, illetve összefüggés található rá szakkönyvekben. Néhány szabályos test tehetetlenségi nyomatékát tartalmazza a következő táblázat. 0

15 3. A forgómozgás alapegyenlete Szabályos test neve Rajz Forgástengely helye Tehetetlenségi nyomaték értéke r tömör henger szimmetriatengelyre Θ = 1 m r rúd l rá merőleges, a felezőpontján átmenő tengelyre Θ = 1 1 m l rúd vékony falú gömbhéj tömör gömb Steiner tétele Ugyanannak a testnek különböző tengelyekre vonatkozóan más a tehetetlenségi nyomatéka. Amennyiben ismert a tömegközépponton átmenő t tengelyre vonatkozóan az m tömegű test tehetetlenségi nyomatéka (Θ tkp ), akkor az ezzel párhuzamos, tőle d távolságra lévő t tengelyre vonatkozó (Θ) már könnyedén kiszámítható: Θ = Θ tkp + m d Ezt a tételt párhuzamos tengelyek tételének, vagy Steiner-tételnek hívjuk. m tkp t d t l Alkoss képletet, mellyel az m tömegű, R sugarú gömb tehetetlenségi nyomatéka számítható valamely érintőjére vonatkozóan! rá merőleges, a végpontján átmenő tengelyre középpontján átmenő tengelyre középpontján átmenő tengelyre Θ = 1 3 m l Θ = 3 m r Θ = 5 m r KIDOLGOZOTT FELADAT Egy r sugarú korong csak forgómozgást végez függőleges tengelye körül. A korongot lapjával vízszintes asztalra helyezzük. (Feltételezhetjük, hogy a korong egyenletesen nyomja az asztalt.) A korong és az asztal között a csúszási súrlódási együttható μ. Mekkora a korong szöggyorsulása? MEGOLDÁS Adatok: r, μ. β =? A feladat megoldásában a nehézséget a korongra ható forgatónyomaték meghatározása jelenti. Egyetlen erő forgatónyomatékát könnyedén meg tudjuk határozni. Most viszont a korong és az asztal érintkezési felületének minden pontjában hat egy-egy elemi erő. Az eredő M forgatónyomaték meghatározásához a korong r sugarát osszuk fel N egyenlő részre. Az így kapott i-edik körgyűrű területét a korong d vastagságával szorozva kapjuk a vizsgált körgyűrű 1

16 3. A forgómozgás alapegyenlete feletti test térfogatát. Majd az elemi nyomóerőkből származó elemi súrlódási erők forgatónyomatékait összegezzük: M = N F i r i = N μ (r i π r i 1 π) d ρ g r i A kifejezést rendezve, és felhasználva, hogy r i = i N r : M = μ d ρ g π N 1 = 1 = μ d ρ g π r 3 N (r i r ) i 1 r i = (( i N) ( i 1 N ) ) i N Felhasználva a sűrűség, tömeg és térfogat közötti összefüggést: M = μ mg r N i N = = μmgr 1 N 3 [ N ( i 1 N ) i N i ] Az ismert matematikai összefüggéseket használva: M = = μmgr 1 N 3 [ N (N + 1)(N + 1) 1 6 = μmgr [ (N + 1) (N + 1) 6N N + 1 N ] N(N + 1) ] = Az összeg határértékét véve, midőn N tart a végtelenhez: M = μmgr [ 3 0 ] A korongra ható eredő forgatónyomaték: M = 3 μmgr Most már könnyen ki tudjuk számítani a korong szöggyorsulását: 3 μmgr M 4 μg β = = = Θ korong 1 3 mr Haladó és forgómozgás dinamikájának összehasonlítása A haladó és forgómozgás dinamikáját leíró fogalmak és a fogalmak közötti kapcsolatokat feltáró összefüggéseket tartalmazza a következő táblázat: Haladó mozgás Forgómozgás Fogalmak m, a θ, β Törvények F = m a M = θ β F = m a M = θ β A haladó és forgómozgás dinamikáját összefoglaló táblázat A merev test tehetetlenségi nyomatéka függ: a forgó test tömegétől, alakjától, méretétől, tömegeloszlásától, a forgástengely helyétől, helyzetétől. Fizikai inga (Kiegészítő anyag) Tavaly megismerkedtünk a fonálingával, amelyet úgy kapunk, ha egy hosszú, elhanyagolható tömegű fonál egyik végét rögzítjük, a másik végére pedig egy pici, nehéz (pontszerű) testet erősítünk. Sokkal elterjedtebb az olyan inga, amelynek lengő teste nem pontszerű, hanem kiterjedt merev test, és egy vízszintes tengely körül képes lengeni. Az ilyen ingát fizikai ingának nevezzük. Könnyen megmutatható, hogy egy adott fizikai ingához található olyan matematikai inga, hogy a két test szöggyorsulása minden helyzetben ugyanakkora. Ha azonos helyzetből indítjuk a két testet, azok mindig együtt lengenek, azaz egyenlő a periódusidejük. Az m tömegű, Θ tehetetlenségi nyomatékú fizikai ingához ily módon rendelt matematikai inga hossza: l * = Θ, ahol s a fizikai inga tömegközéppontjának és forgástengelyének ms távolsága. O α s tkp Θ m O α l * m Mutasd meg, hogy a fizikai ingához a fenti módon rendelt matematikai inga hossza valóban l * = Θ ms!

17 3. A forgómozgás alapegyenlete A matematikai inga lengésidejét ismerve, meghatározható a fizikai inga kis kitéréskor érvényes lengésideje: Θ T l = T = π l * ms = π g g = π MÉRÉSI FELADAT Θ mgs Farúd tehetetlenségi nyomatékának meghatározása Szükséges eszközök farúd, melynek végére a rúd tengelyére merőlegesen, egymással szemben egy-egy szeget vertünk be, két Bunsen-állvány, melybe egy-egy rudat fogtunk be, stopper, mérleg, mérőszalag. Mérés menete A mérés során a farúd végpontján átmenő, rá merőleges tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát fogjuk megmérni. A Bunsen-állványba befogott pálcákra ültessük rá a farúdba vert szegeket. Így a farúd mint fizikai inga a felső végpontja mint tengely körül képes lengéseket végezni. α A mérési összeállítás Kis szögkitérésből indítsuk a rudat, és mérjünk 10 lengésidőt! 10 T = 1,8 s T = 1,8 s A mérlegen megmérjük a farúd tömegét: m = 0,041 kg Mérőszalaggal megmérjük a farúd hosszát, és annak felét azonosítjuk s-sel, azaz a forgástengely és a test tömegközéppontjának távolságával: s = 0,3 m A fizikai ingára vonatkozó lengésidő képletéből kifejezzük a rúd tehetetlenségi nyomatékát: Θ T l = π Θ mgs =( π) T mgs A nehézségi gyorsulás értékét vegyük 9,8 m s -nek, és helyettesítsük be a mért adatokat: Θ = ( 1,8 s π ) 0,041 kg 9,8 m s 0,3 m = = kgm Ellenőrzésként érdemes a rúd végpontján átmenő, rá merőleges tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékot közvetlenül is kiszámítani az ismert összefüggés segítségével és a mért adatok felhasználásával: Θ = 1 3 ml = 1 3 0,041 kg (0,6 m) = = 4, kgm A két módon számított tehetetlenségi nyomaték értéke igen közel van egymáshoz, egymástól való eltérésük %-nál kisebb. A mérési hibák forrása a távolság- és hosszúságmérés pontatlanságából ered. Ezzel a méréssel egyben a fizikai inga lengésidejét megadó összefüggés helyességét is igazoltuk. Merev testek síkmozgásának dinamikai leírása (Kiegészítés) Gyakran előfordul, hogy egy merev test nemcsak haladó, illetve nemcsak forgómozgást végez, hanem a merev test egyidejűleg forgó és haladó mozgást is végez. Mi most csak merev testek síkmozgásával foglalkozunk, amikor a test pontjai egymással párhuzamos síkokban mozognak. Merev test síkmozgását legegyszerűbben a test tömegközéppontja haladó mozgásának és a tömegközéppont körüli forgásának eredőjeként értelmezhetjük. Ennek megfelelően a test tömegközéppontjának haladó mozgását a testre ható külső erők eredője határozza meg: F külső = m a tkp A test tömegközéppont körüli forgását a tömegközéppontra (illetve pillanatnyi forgástengelyre) vonatkoztatott forgatónyomatékok előjeles összege határozza meg: M = Θ β A fenti két mozgásegyenlet felírásával, illetve a kényszerfeltételek figyelembe vételével a merev test síkmozgásával kapcsolatos problémák sikerrel tárgyalhatók. 3

18 3. A forgómozgás alapegyenlete 1 Egy 100 kg tömegű, 50 cm sugarú, Hz fordulatszámú malomkereket 3 másodperc alatt egyenletesen akarunk lefékezni. Mekkora sugárirányú erővel kell a féktuskót a keréknek szorítani, ha köztük a csúszási súrlódási együttható 0,6? Kérdések és feladatok 4 Becsüld meg a Föld forgástengelyére vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát! Miért csak becslést tudsz adni? Mágneses tengely Déli mágneses pólus Földrajzi északi sark Egyenlítő Frissen olajozott kerekes kút hengerkereke súrlódásmenetesen foroghat. A kötél végén lévő vödör és víz együttes tömege 10 kg. A henger sugara 0 cm. A vödröt elengedjük, és azt tapasztaljuk, hogy 4 másodperc múlva csobban a 16 méter mélyen lévő vízbe. Mekkora a hengerkerék tehetetlenségi nyomatéka? 3 Az 1 méter oldalú, szabályos háromszög csúcsaiban lévő pontszerű testek tömege: kg, 3 kg, 4 kg. Határozd meg a pontrendszer tehetetlenségi nyomatékát a háromszög középpontján átmenő, a háromszög síkjára merőleges tengelyre vonatkozóan! Ekliptika A Föld forgástengelye 5 Mekkora állandó forgatónyomaték tudná a Föld forgását 1 nap alatt megállítani? (A megoldás során használd fel a 4. feladat eredményét!) 6 Mekkora az m tömegű, l hosszú rúd tehetetlenségi nyomatéka a harmadolópontján átmenő, rá merőleges tengelyre vonatkozóan? 7 Egy lejtőn egymás mellől egyszerre engedünk gurulni azonos sugarú, vékony falú hengert, tömör hengert és gömböt. Melyik ér le először, és melyik utoljára? 4