TANÍTÁSA A MATEMATIKA MÓDSZERTANI FOLYÓIRAT. Egy alapozó tárgyhoz kapcsolódó felmérés eredményei (Dékány Éva Székely László Veres Antal)

Átírás

1 A MATEMATIKA TANÍTÁSA MÓDSZERTANI FOLYÓIRAT Egy lozó tárgyhoz kcsolódó felmérés eredméyei (Dékáy Év Székely László Veres Atl) Az meriki elök Deeg- Pckel-féle htlmi idexérôl (Csete Ljos) Írjuk dott rlelogrmmáb hozzá hsolót! (Dr. Drvsi Gyul) Sokás szedvics és egyéb folytoos csemegék (Csok Dorotty) XX. ÉVFOLYAM 03 M ZAIK

2 A MATEMATIKA TANÍTÁSA A MATEMATIKA TANÍTÁSA módszerti folyóirt Szerkesztõség: Fõszerkesztõ: Dr. Urbá Jáos Szerkesztõség címe: 673 Szeged, Debrecei u. 3/B Tel.: (6) 470-0, FAX: (6) Kidó: MOZAIK Kidó Kft. Felelõs kidó: Török Zoltá Tördelõszerkesztõ: Kovács Attil Borítóterv: Deák Ferec Megredelhetõ: MOZAIK Kidó 670 Szeged, Pf. 30. Éves elõfizetési díj: 800 Ft Megjeleik évete 4 lklomml. A l megvásárolhtó MOZAIK Köyvesboltb: Budest VIII., Üllõi út 70. A Mtemtik Tításáb megjeleõ vlmeyi cikket szerzõi jog védi. Másolásuk bármilye formáb kizárólg kidó elõzetes írásbeli egedélyével törtéhet. ISSN Készült z Iovrit Kft.-be, Szegede Felelõs vezetõ: Drágá György TARTALOM Egy lozó tárgyhoz kcsolódó felmérés eredméyei Dékáy Év egyetemi társegéd, Székely László djuktus, Veres Atl djuktus, Gödöllõ 0. szetember Az meriki elök Deeg-Pckel-féle htlmi idexérõl Csete Ljos tár, Mrkotbödöge Búcsú Reim Istvától Kto Gyul mtemtikus, z MTA redes tgj, MTA Réyi Alfréd Mtemtiki Kuttóitézet Peller József (933 0) Ambrus Adrás yuglmzott egyetemi doces, Budest Egy ciklikus egyelõtleség áltláosítás Csete Ljos tár, Mrkotbödöge Írjuk dott rlelogrmmáb hozzá hsolót! Dr. Drvsi Gyul fõiskoli doces, Nyíregyház Qudromió 5 x 5-ös lyuks égyzetek Dr. Drvsi Gyul fõiskoli doces, Nyíregyház Sokás szedvics és egyéb folytoos csemegék Csok Dorotty tár, Budest Beszámoló XXI. Nemzetközi Mgyr Mtemtikverseyrõl Nemecskó Istvá tár, Budest Jeletés 0. évi Beke Mó Emlékdíjk odítélésérõl Feldtrovt tárokk Közlési feltételek: A közlésre szát kézirtokt e-mile kttil@mozik.ifo.hu címre küldjék meg. A kézirtok lehetõleg e hldják meg 6-8 oldlt (oldlkét 30 sorb 66 leütés). A rjzokt, ábrákt, tábláztokt és féykéeket külö fájlokb is kérjük mellékeli. (A szövegrészbe edig zárójelbe utljk rá.) Kérjük, hogy szövegbeli idézések év- és évszámjelöléssel törtéjeek, míg tulmáyok végé felsorolt irodlmk lfbetikus sorredbe készüljeek. Kérjük szerzõtársikt, hogy kézirtok beküldésével egyidejûleg szíveskedjeek közöli otos címüket, mukhelyüket és beosztásukt. MOZAIK KIADÓ

3 0. szetember A MATEMATIKA TANÍTÁSA Megredülte és szomorú tudtjuk Tisztelt Olvsókkl, hogy 0. júius -é, életéek 73. évébe elhuyt dr. Urbá Jáos, luk fõszerkesztõje. Hlálávl egy gy tudású, krizmtikus mtemtiktárt, egy kiváló tköyvszerzõt és fõszerkesztõt és egy gyszerû, szeretetreméltó, midig segítõkész kollégát veszítettük el. Emlékét és títását megõrizzük és továbbdjuk. Dékáy Év Székely László Veres Atl Egy lozó tárgyhoz kcsolódó felmérés eredméyei M id mûszki, mid természettudomáyos felsõokttás egyik gy roblémáj, hogy beléõ hllgtók jeletõs részéek mtemtiktudás em éri el z itézméyek áltl elvárt, ttervbe szerelõ mtemtik, illetve szkmi tárgyk elsjátításához szükséges szitet, melyet mérések is igzolk (lásd l. Csákáy és Piek, 00, és bee szerelõ hivtkozásokt). Az egyetemek és fõiskolák jeletõs része lozó, felzárkózttó kurzusokt tesz kötelezõvé vgy fkulttív tárgykét jál hllgtóik. Tulmáyukb Szet Istvá Egyetem Géészméröki Krá folyó géészméröki, mezõgzdsági és élelmiszeriri géészméröki, mechtroiki méröki és mûszki meedzser BSc szkok elsõéves li tgoztos hllgtóik trtott Mtemtiki lok címû ttárgyhoz kcsolódó felmérés eredméyeit muttjuk be. A tárgy 00 ót része ttervek, tulmáy elsõ szerzõje 00 ót tárgy felelõse. A kurzus okttás 007 ót em félév A tulmáy Dékáy Évák Vrg Tmás Módszerti Nok Kofereciá 0. ovember -é Budeste elhgzott Exmiig the efficiecy of rertio courses i mthemticl studies for uiversity címû elõdásák szerkesztett és kibõvített változt sorá, többi tárggyl árhuzmos, hem még tév megkezdése elõtt, ugusztusb törtéik: 0 o át i 3 órát trtuk tömbösítve, i ór kozultációs lehetõséggel kiegészítve. A diákok ugyeze idõszkb Fiziki lok címû kurzust is hllgtják. A mtemtiki lozó tárgykt több egyeteme félév közbe okttják, eze kurzusok tsztltiról lásd l. Máder (00), illetve Pálflvié (009) tulmáyit. Az ugusztusi okttási eriódus végé hllgtók egy zárthelyi dolgoztot írk, melye leglább 5%-os eredméyt kell elériük tárgy sikeres teljesítéséhez. A tárgy kritériumtárgy, em teljesítése eseté hllgtó em veheti fel Mtemtik I. kurzust. Tárgyuk célj közészitû érettségi szitjéek megfelelõ tyg áttekitése: hlmzok, logik, elsõfokú egyismeretlees egyeletek és egyelõtleségek, elemi lgebri ismeretek, másodfokú egyeletek és egyelõtleségek, htváyozás zoossági, számolás htváyokkl és gyökökkel, lgebri átlkítások, mgsbb fokú egyeletek és egyeletredszerek, vektorok, vektormûveletek, lvetõ trigoometrii foglmk, trigoometrikus egyeletek, evezetes szögek szögfüggvéyei, függvéyek, függvéytrszformációk. Az yg kiegészül még z ddíciós tételekkel, MOZAIK KIADÓ 3

4 A MATEMATIKA TANÍTÁSA mely már túlmutt közészitû érettségi témköré. Az okttás formáj mitt em várhtó el, hogy gy többségébe közészite érettségizett hllgtókt z emelt szitû érettségi áltl megkövetelt tudásygr készítsük fel. Tulmáyukb egy, 0/-es tévbe törtét felmérést muttuk be, mely sorá rr voltuk kívácsik, hogy kurzus ilye formáb szükséges-e, illetve hszos-e hllgtóikk. Techiki okokból felmérést em z egész évfolymo, hem csk hllgtók egy csoortjá végeztük: ugusztusb két idõsávb zjlott z okttás, mitákb csk z egyik idõsávb járó hllgtókt válsztottuk ki. Eze hllgtók teljesítméyét három külöbözõ idõotb is mértük. A mérés eszköze egy oly, hét feldtból álló rövid teszt volt, mely feldtok zárthelyi dolgoztb is szereeltek. A három mérési lklomml csk feldtokb szerelõ számokt változtttuk meg úgy, hogy tesztek ehézségi szitje egyform legye. Elsõkét rödolgozt formájáb tárgy okttásák kezdeté, másodjár zárthelyi dolgozttl, hrmdik mérésre edig szité rödolgoztkét félév 8. hetébe került sor. Eek ljá kéet khttuk hllgtók tudásáról z egyetemre törtéõ beléésükkor, másrészt láthttuk, hogy tárgy okttásák htásár eredméyeik hogy változtk. A félévközi, hrmdik mérés segítségével z is kiderült, hogy meyyit felejtettek hllgtók z áttekitett ygból kkor, mikor már em közvetleül z éritett témkörökkel fogllkoztuk. A A mérés mitáj 0. szetember kérdéses tévbe 45 hllgtó írt meg zárthelyi dolgoztot. Közülük ugusztusb kiválsztott idõsávb 00 hllgtó járt. Ahhoz, hogy elemzéseik segítségével hllgtók teljesítméyérõl áryltbb kéet kjuk, figyelembe vettük hllgtók lábbi égy háttérdtát is: felvételi otszám, mtemtik érettségi jegye, közéiskol tíus, érettségi éve. Az dtok tisztítás utá miták összese 76 hllgtóból áll. Közülük 70 tett csk közészitû és 4 emelt szitû érettségi vizsgát, hllgtó edig midkét szite érettségizett. Az dtok köyebb összehsolíthtóság és két érettségi szit közötti gy külöbség mitt csk emelt szitû érettségit tett hllgtókt úgy tekitettük, mith jeles közészitû érettségit tettek vol ( midkét szite érettségizõ hllgtók közészite eleve jelesre érettségiztek). A hrmdik mérési lklomml hiáyzó kívül zok hllgtók, kik em teljesítették tárgyt (3 fõ) már em vettek részt felmérésbe, zob z õ ugusztusi idõszkb yújtott teljesítméyük változás is érdekes, ezért bb z esetbe, mikor z elsõ és második mérési ot eredméyeirõl beszélük, illetve ezeket hsolítjuk össze, kkor 76 fõs mitát, egyéb esetekbe 6 fõs mitát vesszük lul. A Kruko folyó géészméröki, mezõgzdsági és élelmiszeriri géészméröki, mechtroiki méröki és mûszki meedzser szkoko z állmilg fiszírozott kézésekre redre 70, 9, 68, illetve 304 ot volt felvételi othtár, költségtérítéses kézési formár edig egységese 00 ot. A mitákb techiki okokból ugy csk z elsõ két szkr járó hllgtók kerültek be, zob géészméröki és mechtroik, illetve mezõgéész és meedzser szkok felvételi othtári közötti kis külöbségek ljá, továbbá z dott szkos hllgtók felvételi otjik eloszlásák hsolóság mitt miták z egész évfolymr ézve rerezettív. Mivel hrmdik mérés sorá csk rr voltuk kívácsik, hogy z egész évfolym tudás átlgos hogy változott, ezért következõkbe csk z eredeti mit esetébe tekitjük át z egyes háttérváltozók eloszlását. Az lábbi tábláztb és grfikoo mitáb szerelõ hllgtók felvételi otszámák eloszlását muttjuk be. Felvételi otszám Gykoriság MOZAIK KIADÓ

5 0. szetember A MATEMATIKA TANÍTÁSA. Írj fel egyetle lú htváykét:. Számolj ki z értékét: 4 = (3 ot) = ( ot) A felvételi otok átlg 30,4, szórás edig 4,8. A mtemtik érettségi jegyek eloszlás következõ: Érettségi jegy Gykoriság A jegyek átlg 3,9, szórás 0,7. A hllgtók közül 46- gimáziumb, 30- edig szkközéiskoláb érettségiztek. 0-be 53-, míg 3- már korább szerezték meg z érettségi vizsgát, zz felvettek közel egyhrmd em felvételi évébe érettségizett. Háy éve érettségizett Gykoriság Gyökteleítse evezõt: 3+ ( ot) 4. Oldj meg következõ egyeletredszert vlós számárok hlmzá! 5x + y = 4x + 3y = 5 (4 ot) 5. Oldj meg következõ egyelõtleséget vlós számok hlmzá! x + 5 > 8x (4 ot) 6. Ábrázolj függvéy grfikoját: f(x) = (x + 3) + ( ot) 7. Jellemezze z lábbi grfikojávl dott függvéyt! A korább érettségizettek átlgos évvel felvétel elõtt mturáltk. A mérõeszköz A felmérés sorá hszált 7 feldtból álló teszt melyet lább bemuttuk zárthelyi dolgozt egy rövidített feldtsor, melyek három mérési lklomml hszált változti csk számokb tértek el egymástól, zok ekvivlesek tekithetõek. Értelmezési trtomáy: Értékkészlet: Zérushely: Mooto õ: Abszolút mximumhely: Abszolút mximumérték: (6 ot) MOZAIK KIADÓ 5

6 A MATEMATIKA TANÍTÁSA 0. szetember A feldtok otszám megegyezik megoldásukhoz szükséges logiki léések számávl, így teszte összese ot szerezhetõ. A dolgoztok értékeléséek fõ szemotj szerit hibás logiki léés em ér otot, zob rossz részeredméyel végrehjtott helyes logiki léések ige. Szereték kiemeli, hogy eze feldtok mid közéiskoli mtemtik ygk, mid z egyeteme továbbtuláshoz szükséges ismeretekek elegedhetetle részét kéezik. A feldtok megoldásához hllgtók segédeszközkét csk számológéet hszálhttk, égyjegyû függvéytábláztot em. A zárthelyi dolgozt és z dott teszte elért otszámok közötti korreláció 0,76, mi ljá elmodhtó, hogy tesztük áltl mért tudásterülete szerzett otszám elég jól közelíti teljes dolgozto elért otszámot. Eredméyek Elsõkét három mérési ot átlgit és szórásit muttjuk be. Hllgtók szám Átlg Szórás. mérés 76 4,3 4,6. mérés 76 7,8 3, 3. mérés 6 8,0 3,3 Érdemes megézi, hogy otszámok eloszlás három mérés sorá hogy változott. Láthtó, hogy z elsõ mérés esetébe hllgtók otszámák eloszlás jól közelíthetõ egy los Guss-görbével, míg másik két esetbe görbe csúcsosbb és jobbr tolódik el, utóbbik krkterisztikáj jó közelítéssel meg is egyezik. Eek ljá rr következtethetük, hogy hllgtók teljesítméye második méréskor z elsõ méréshez kéest téylegese jvult, vgyis z okttás, illetve hllgtók tulás révé zárthelyi dolgozto jobb eredméyt értek el, mit z egyetemre törtéõ beléésükkor. A második és hrmdik mérés hisztogrmják hsolóság edig rr utl, hogy korább átismételt ygot em felejtették el. A mérések átlgeredméyeit egy sttisztiki róbávl, z ú. árosított t-róbávl (lásd l. Reiczigel, Hros és Solymosi, 007) is összehsolítottuk. Arr voltuk kívácsik, hogy z A róbát kárcsk késõbbiekbe többi róbát is 95%-os megbízhtósági szite hjtottuk végre. egyes mérési otok között hllgtók átlgteljesítméyébe vlób törtét-e változás, zok között ú. szigifikás külöbség v-e, vgy z eredméyek közötti külöbség kicsi és két érték sttisztiki szemotból egyelõek tekithetõ-e. A róbát z elsõ és második mérés dti elvégezve zt ktuk, hogy két mérés között hllgtók átlgos teljesítméye téylegese jvult. Ezzel szembe második és hrmdik mérés eredméyeiek z utóbbib is részt vevõ 6 hllgtó mitájá róbávl törtéõ összehsolítás ljá kijelethetõ, hogy hllgtók eze két lklomml átlgos ugyoly teljesítméyt yújtottk. 6 MOZAIK KIADÓ

7 0. szetember A MATEMATIKA TANÍTÁSA A következõkbe tekitsük át, hogy z egyes feldtokb három mérés sorá hogy teljesítettek hllgtók. Elõrebocsátjuk, hogy második és hrmdik mérés esetébe áltláb közel zoos volt otszámok eloszlás, hol em, ott zt külö jelezzük. A htváyok értelmezése és htváyozás zoosságik lklmzás lvetõ közéiskoli mtemtiki yg, elegedhetetle differeciál- és itegrálszámításhoz. Ugykkor jól muttj, hogy hllgtó érti-e htváyok léyegét, illetve kées-e egyszerû szbálykövetésre. Eek elleére z elsõ feldtot bemeeti méréskor midössze hllgtók 0%- tudt hibátlul, közel 40%- edig három szükséges logiki léésbõl kettõt tudott helyese megoldi. A zárthelyi dolgoztr hibátl megoldások ráy vlmivel több, mit 60% lett, két otot elérõk ráy 0% volt. A három mérés sorá áltláb hllgtók 5 0%- vot tgokét gyököt; sjos tsztlt zt muttj, hogy látszólg boyolultbb feldtok esetébe ez z ráy jóvl mgsbb. A evezõ gyökteleítése zsebszámológéek elterjedésével már elveszítette eredeti fotosságát közéiskoláb, csk mit zoos átlkításk v jeletõsége, viszot z egyeteme több feldttíusál is jól lklmzhtó. Ezt jól jelzi, hogy belééskor diákok 60%- egyáltlá em tudott mit kezdei feldttl, míg hllgtók ehhez kcsolódó ismeretei rövid ismétlés utá feleleveedtek és zárthelyi dolgoztb már csk 40%-uk hibázott. Az elsõfokú kétismeretlees egyeletredszer megoldás egyszerû, több ismert módszer is v rá, és szite mide tudomáyágb lklmzzák. Az elsõ mérés lklmávl hllgtók fele dott hibátl megoldást feldtr, egyedük edig 3 otot ért el. A kurzus ltt recízebbé váltk diákok, második lklomkor már közel háromegyedük helyese oldott meg feldtot, és közel egyedük 3 otot szerzett. Egy másodfokú egyeletet elég köye felismerek hllgtók és hál sok közéiskoli gykorlásk, legtöbbe hibátlul meg is oldk. Ehhez kéest megdöbbetõ, de közismert, hogy ugyezt roblémát egyelõtleségkét csk legjobbk kéesek helyese megoldi. Esetükbe is z egyetemre törtéõ belééskor hllgtók közel 70%- megállt másodfokú egyelet megoldásáál, 0%-ukk sjos edig ezzel is roblémáj kdt. A zárthelyi dolgoztb már eleyészõ volt zo hllgtók szám, kik e tudták vol hibátlul megoldi másodfokú egyeletet, és már 40%-uk kezelte vlób egyelõtleségek kitûzött roblémát. A félév közbei méréskor ez z ráy már 65%-r jvult. Eek egyik ok z lehet, hogy Mtemtik I. tárgy keretei belül több feldt esetébe is szükség volt ilye egyelõtleség megoldásár. A másodfokú függvéy grfikoják ábrázolását trszformációvl és függvéyjellemzõk leolvsását elég jól tudták hllgtók, csk rövid ismétlésre volt szükség. A htodik feldt esetébe 80 90% között volt helyes megoldást dók ráy. Belééskor grfiko leolvsás sorá hllgtók fele ért el 5 vgy 6 otot, többi otszám eloszlás közel egyeletes volt. Örvedetes, hogy szite lig volt oly hllgtó, ki zárthelyi dolgoztb e ért vol el leglább 4 otot, z 5 ot felett teljesítõk ráy edig 70%-r õtt, utóbbik ráy hrmdik mérési lklomml még tovább övekedett. Hogy z évfolymo belül még áryltbb lássuk tárgy okttásák eredméyét, mit bizoyos részcsoortjir is végeztük elemzéseket, illetve összehsolításokt. Elsõkét tekitsük át, hogy belééskor 5% ltti teljesítméyt yújtó (legfeljebb otot szerzõ), zz kkori tudásuk ljá tárgyt em teljesítõ diákok eredméye hogy változott zárthelyi dolgoztr. Összese 4 hllgtó, zz közel mitáb szerelõk hrmd ért el legfeljebb otot, z õ átlgos teljesítméyük z elsõ mérés lklmávl 8,8 ot volt, míg második méréskor már 5,5 ot, zz kurzus és tulás htásár átlgos 6,7 ottl jvult teljesítméyük (árosított t-róbávl jvulást sttisztikilg is igzoltuk). Az lábbikb bemuttjuk, hogy z érettségi jegyek függvéyébe hogy lkult z elsõ két mérés sorá hllgtók teljesítméyéek átlg. Érettségi jegy Gykoriság. mérés. mérés Jvulás 3 0,9 5 4, 4 4 4, 8,4 4, 5 4 9,4 0 0,6 MOZAIK KIADÓ 7

8 A MATEMATIKA TANÍTÁSA 0. szetember Láthtó, hogy zok hllgtók, kik közees vgy jó jegyet szereztek, átlgos közel 4 otot, zz 8,%-ot jvítottk belééskor mért teljesítméyükhöz kéest, míg jelesre érettségizettekél ez változás 0,6 ot. Párosított t-róbávl kiderült, hogy ez külöbség z elsõ két esetbe vlób szigifikás, míg z ötössel végzõk esetébe sttisztikilg em kimutthtó külöbség z eredméyek között. Utóbbi érthetõ is, hisz ki z elsõ mérése közel mximális teljesített, k már em volt lehetõsége teszteredméyé jeletõse jvíti. Midkét kérdéses mérési otb kétmitás t-róbát (lásd l. Lukács, 00) hszálv megmutthtó, hogy hármssl és égyessel végzettek eredméyei között vlódi külöbség. Hsoló helyzet égyesre, illetve ötösre érettségizettek esetébe bemeeti méréskor, zob z elõbbiek felzárkózásák köszöhetõe hllgtók eze két csoortj már ugyoly jól teljesített zárthelyi dolgoztb. Vizsgáljuk meg, hogy függött hllgtók teljesítméye közéiskol tíusától. Gykoriság Iskol tíus Gimázium Szkközéiskol. mérés. mérés Jvulás 46 5, 7,9,7 30,8 7,5 4,7 A két mérési ot között gimáziumb érettségizettek átlgos jvulás,7 ot (,3%), szkközéiskolások teljesítméye edig átlgos 4,7 ottl, zz,4%-kl bizoyult jobbk zárthelyi dolgozto. Kétmitás t-rób lklmzásávl elleõriztük, hogy gimzisták átlgos jobb teljesítettek belééskor, mit szkközéiskoláb végzettek, zárthelyi dolgozto zob már em volt sttisztikilg kimutthtó külöbség két iskoltíus között. A következõkbe zt tekitjük át, hogy változott hllgtók teljesítméye z elsõ két mérés között ttól függõe, hogy hllgtó felmérés évébe vgy korább érettségizett-e. Idé érettségizett? Gykoriság. mérés. mérés Jvulás ige 53 5,8 8,4,6 em 3 0,8 6, 5,4 A 0-be érettségizett hllgtók teljesítméye átlgos,6 ottl (,8%), korább érettségizetteké edig átlgos 5,4 ottl (4,5%) jvult; árosított t-róbák eredméyei ljá elmodhtó, hogy változás egyik esetbe sem véletle mûve. A hllgtók eze két csoortj között lévõ teljesítméykülöbség midkét mérési otb sttisztikilg kimutthtó, zz korább érettségizettek átlgeredméye sem belééskor, sem zárthelyi dolgoztb em érte el z érettségi évébe felvételizõkét. Diszkusszió és koklúziók Ismételte szereték hgsúlyozi, hogy teszteke hszált feldttíusok gy hgsúlyt kk közéiskoli okttás sorá és lvetõek z egyetemi tulmáyokhoz, em csk mtemtikáb, hem szite mide más tudomáyterület esetébe is. Eredméyeik ljá elmodhtó, hogy kurzus hszos volt zo hllgtókk, kik hárms vgy égyes jegyre érettségiztek. Elõbbiek átlgteljesítméye belééskor még miimális megkövetelt szit ltt volt, tulás és ismétlés htásár zob eredméyük jeletõse jvult. Érdekes, hogy z e két csoortb trtozó hllgtók esetébe ez teljesítméyjvulás ugykkor mértékû volt, zz tudásuk közötti külöbséget z okttás két hete ltt em sikerült megszütetük, de z em is volt várhtó, hogy z évek ltt kilkult téves beidegzõdéseket és hiáyosságokt eyi idõ ltt kijvítjuk. A jelesre érettségizõk eredméye em változott számottevõe, viszot égyesek teljesítméye kurzus végére már megközelítette z õ eredméyüket; úgy véljük, ez részbe köszöhetõ mért yg ehézségi szitjéek is. Azt tsztltuk, hogy szkközéiskolások eredetileg gyegébbe teljesítettek gimáziumb tult társikhoz kéest, de z ismétlések htásár már em volt külöbség két iskoltíusb tult hllgtók eredméye között. Fizikát okttó kollégáik elmodás szerit z õ tárgyuk esetébe z iskolák tíus szemotjából é fordított helyzet. A korább érettségizett hllgtókt vizsgálv zt láttuk, hogy z elsõ méréskor z átlgteljesítméyük közel volt tárgy teljesítéséhez szükséges othtárhoz, zob második mérés- 8 MOZAIK KIADÓ

9 0. szetember A MATEMATIKA TANÍTÁSA re eredméyeik már számottevõe jvultk. Több mérés igzolj, hogy diákok z áltláos és közéiskoláb megszerzett tudásuk jeletõs részét, h zt em hszálják, z érettségi utá átlgos 3 év ltt elfelejtik (Földes, 00). A korább érettségizett hllgtóik átlgos két évvel felvételük elõtt fejezték be közéiskoli tulmáyikt, így ez folymt z õ esetükbe is elidult. A felmérés évébe mturáló hllgtók kisebb mértékbe ugy, de szité jvítottk teljesítméyükö. Bár két csoort közötti külöbség z okttás htásár csökket, 0-be érettségizettek átlgteljesítméye zárthelyi dolgozto még midig szigifikás jobb volt. Összefogllv: zt tláltuk, hogy kurzusuk közeesre, illetve em felvételi évébe érettségizettekek szükséges volt hhoz, hogy tudásuk elérje z elégséges szitet, de tárgyuk egybe hszos is volt számukr, hisz átlgos teljesítméyük jeletõse jvult. Áltláosságb elmodhtó, hogy többi hllgtók közül zokk, kik em jelesre érettségiztek, de külööskée szkközéiskoláb végzettekek kurzus áltl yújtott áttekités hszosk bizoyult, hisz teljesítméyük zárthelyi dolgoztr jobb lett, ezáltl felkészültebbe kezdhették meg egyetemi tulmáyikt. A szkközéiskolások esetébe gimzistákkl szembe tsztlt kezdeti hátráyt is sikerült ledolgozi. A hrmdik mérési lklomml melyre félév 8. hetébe került sor kott eredméyek edig zt igzolják, hogy hllgtók teljesítméye zárthelyi dolgozt ót em romlott, kurzuso zjlott ismétlés htásos volt. Érdemes még megemlíteük, hogy hllgtókkl folyttott beszélgetések is zt támsztják lá, hogy kurzusuk felkészülésbe sokukk hszos segítséget jeletett. Úgy véljük, tárgyuk tömbösített okttási formáj elõyösebb hllgtókk félév közbei árhuzmos lozásál, felzárkózttásál. Mivel z ilye tíusú kurzusuko áttekitett tudásygr már z egyetemi tulmáyok kezdeté szükség v, így tömbösített tárgylás esetébe em fordulht elõ z helyzet, hogy hllgtók z ljik egyes hiáyosságivl félév közbe, éles helyzetbe tlálkozk elõször és hiáyótlásr ezutá kár hetekkel késõbb kerül csk sor. Jelelegi dtik 007 elõtti dolgoztokkl, illetve más felsõokttási itézméyek hsoló tárgyik eredméyével eheze összehsolíthtók, így eze hiotézist sttisztikilg em tudjuk igzoli. A felmérés sorá keletkezett dtbázisuk lehetõséget yújt rr, hogy késõbbi évfolymok eredméyeit is összehsolítsuk jelelegiével, ezáltl köz- és felsõokttásb lejátszódó folymtokk jövõbeli hllgtóik mtemtiktudásár votkozó htásiról is kéet lkothtuk. A késõbbiekbe edig megvizsgálhtjuk, hogy hllgtókk Mtemtik I. tárgyo elért otszámi, illetve z lozó tárgyo elért eredméyei között milye összefüggés v, zz kurzusuk htás rá éülõ mtemtiki tulmáyokb megmuttkozik-e. Köszöetyilváítás Szereték megköszöi tszéki kollégáik támogtását és közremûködését felmérések elvégzésébe, továbbá hllgtóikk, hogy felmérésbe vló részvételüket ökét válllták. Köszöjük Tóth Editek (MTA SZTE Kéességkuttó Csoort) cikk írás sorá dott értékes jvsltit. Hivtkozások [] Csákáy Aikó, Piek Jáos: A 009 szetemberébe mûszki és természettudomáyos szkoko tulmáyikt kezdõ hllgtók áltl írt mtemtikfelmérõ eredméyeirõl. Mtemtiki lok, 6/ (00) 5. [] Földes Petr: Élõ mtemtik. Hogy válhtk hszossá és hszálhtóvá mtemtiki ismeretek Beszélgetés Vcsó Ödö kuttóvl. Új edgógii szemle, 5/9 (00) [3] Lukács Ottó (00): Mtemtiki sttisztik. Bolyi-köyvek, Mûszki Köyvkidó, Budest. [4] Máder Attil: Mit tud(ht) hllgtó? Mit lát z egyetem? Egy felmérés és következtetései. A mtemtiki títás, 8/3 (00) 3. [5] Pálflvi Józsefé: Szitfelmérõ dolgoztok z ELTE TTK , A mtemtik títás, 7/5 (009) 3 4. [6] Reiczigel Jeõ, Hros Adre, Solymosi Norbert (007): Biosttisztik em sttisztikusokk. Prs Kft., Ngykovácsi. MOZAIK KIADÓ 9

10 A MATEMATIKA TANÍTÁSA 0. szetember Csete Ljos Az meriki elök Deeg-Pckel-féle htlmi idexérõl A. Bevezetés formális htlom mérésére többféle módszert tláltk ki. Korább fogllkoztuk htlom mértékéek Shley-Shubikféle idexével [] és htlom Bzhf-idexével. [,3] Most htlom Deeg-Pckel-féle idexét lklmzzuk z meriki elök htlmák egy lehetséges mérésére. Mit tudjuk, 978-b Joh Deeg Jr. és Edwrd Pckel vezette be htlom egy új mértékét, z úgyevezett Deeg- Pckel-féle idexet. [4,8] A htlom mértékéek Deeg-Pckel-féle idexe három feltevése lszik.. Csk miimális gyõztes kolíciókt fogjuk figyelembe vei z egyes szvzók htlmi ráyák meghtározásához.. Mide miimális gyõztes kolíció egyform vlószíûségû. 3. Egy szvzó htlmák része, mely vlmely miimális gyõztes kolícióhoz vló trtozásból következik, ugyz, mit ugyeek miimális gyõztes kolícióhoz trtozó másik szvzók zo htlmi része, mely ehhez miimális gyõztes kolícióhoz vló trtozásból következik.. Defiíció: Tegyük fel, hogy egy ige-em szvzóredszer szvzói,,, és i tetszõleges szvzó (i =,,, ) szvzók közül. Ekkor i szvzó teljes Deeg-Pckel htlmát TDPP( i )-vel jelöljük és következõ módo khtjuk meg: Tegyük fel, hogy i szvzó K, K,, K j miimális gyõztes kolíciókb trtozik bele. Tegyük fel, hogy k drb szvzó trtozik K - be, k drb szvzó trtozik K -be, s így tovább, k j drb szvzó trtozik K j -be. Ekkor legye TDPP( i) = k k k. Defiíció: Tegyük fel, hogy egy ige-em szvzóredszer szvzói,,, és i tetszõleges szvzó (i =,,, ) szvzók közül. Ekkor i szvzó Deeg-Pckel-féle htlmi idexéek jelölése DPI( i ) és legye TDPP( ) DPI( ) i i =. TDPP( ) + TDPP( ) TDPP( ) (Ituitív módo láthtjuk, hogy i szvzó Deeg-Pckel-féle htlmi idexe megmuttj i szvzó részesedését teljes Deeg-Pckelféle htlomból.). állítás: Tegyük fel, hogy egy ige-em szvzóredszer szvzói,,, és i tetszõleges szvzó (i =,,, ) szvzók közül. Ekkor i szvzó Deeg-Pckel-féle htlmi idexére feáll, hogy 0 DPI( i ). A bizoyítás DPI( i ) defiíciójából következik. Esetleg érdemes meggodoluk, hogy midig értelmes-e defiíció. Vgyis TDPP( ) + + TDPP( ) TDPP( ) π 0 midig feáll? j 0 MOZAIK KIADÓ

11 0. szetember A MATEMATIKA TANÍTÁSA. állítás: Tegyük fel, hogy egy ige-em szvzóredszer szvzói,,,, ekkor Bizoyítás: DPI( ) + DPI( ) DPI( ) =. DPI DPI DPI ( ) + ( ) ( ) = TDPP( ) = + TDPP( ) + TDPP( ) TDPP( ) TDPP( ) TDPP( ) + TDPP( ) TDPP( ) TDPP( ) + = TDPP( ) + TDPP( ) TDPP( ) TDPP( ) + TDDP( ) TDPP( ) = = TDPP( ) + TDPP( ) TDPP( ). Az meriki elök, szeátus és kéviselõház teljes Deeg-Pckel-féle htlm.. A szvzási redszer vázlt Az meriki htlmi redszerbe olitiki htlom formális z elök, szeátus és kéviselõház között oszlik meg. A szeátusk 00 tgj, zz szeátor v, míg kéviselõházk 435 tgj, zz kéviselõje v. Egy oly dötést vizsgáluk, melyek meghoztlához midhárom htlmi téyezõ szvz.. tíus: Egy jvsltot elfogdk, h z elök szvz mellette, szeátus leglább 5 tgj és kéviselõház 8 tgj. Ez szeátus esetébe 50% és még szvzt, míg kéviselõház esetébe 7,5 z 50%, így ebbe z esetbe em követelik meg z 50% + szvztot, hem zt modják, hogy 50%-ál több szvzt kell. Ez megfoglmzás ersze érvéyes szeátusr is, erre is modhtjuk, hogy 50%-ál több szvzt szükséges dötéshez.. tíus: Egy jvsltot kkor is elfogdhtk, h z elök em szvz mellette, ebbe z esetbe szeátus tgjik leglább kéthrmdák és kéviselõház tgjik is leglább kéthrmdák jvslt mellett kell szvzi. Figyeljük meg, hogy itt em zt modják, hogy kéthrmdál több szvzt kell, hem zt, hogy leglább kéthrmd. Vgyis szeátus 00 tgj közül leglább 67-ek jvslt mellett kell szvzi, míg kéviselõház 435 tgj közül leglább 90-ek kell jvslt mellett szvzi... A miimális gyõztes kolíciók szám Az. lehetõségél miimális gyõztes kolíciók szám , hisze z elökbõl -et kell kiválsztuk, 00 szeá- 5 8 torból 5-et kell kiválsztuk, míg 435 kéviselõbõl 8-t kell kiválsztuk miimális gyõztes kolícióhoz. A. lehetõségél miimális gyõztes kolíciók szám , hisze z elökbõl 0-át kell kiválsztuk, 00 szeá torból 67-et kell kiválsztuk, míg 435 kéviselõbõl 90-et kell kiválszti miimális gyõztes kolícióhoz..3. Az elök teljes Deeg-Pckel-féle htlm Az elök drb miimális 5 8 gyõztes kolíciób szereel, tehát eyit tud szétromboli, h kilé belõlük. Az ilye tíusú miimális gyõztes kolíciókb = = 70 tg szereel. Így defiíció szerit z elök teljes Deeg-Pckel-féle htlm: TDPP(elök) = , MOZAIK KIADÓ

12 A MATEMATIKA TANÍTÁSA 0. szetember.4. Egy szeátor teljes Deeg-Pckel-féle htlm Szemeljük ki egy tetszõleges szeátort és htározzuk meg, hogy meyi miimális gyõztes kolíciób szereel. Nézzük elõször z. tíusú miimális gyõztes kolíciókt! H kiszemeltük z szeátort, kkor már csk 50 szeátort kell kiválsztuk, hogy 5 szeátort kjuk. Az 50 szeátort már csk 99 szeátor közül kell kiválsztuk. 99 Ezt -félekée végezhetjük el. Másrészt továbbr is 8 kéviselõt kell kiválszt uk 435 kéviselõbõl, ezt -félekée 8 tehetjük meg Így kiszemelt szeátor 50 8 drb. tíusú gyõztes kolíciób szereel. Nézzük. tíusú miimális gyõztes kolícióit! A kiszemelt szeátor mellé már csk 66 szeátort kell kiválsztuk, hogy megkjuk szükséges 67 szeátort. A 66 szeátort már csk szeátor közül kell kiválsztuk. Ezt - 66 félekée tehetjük meg. (A Tylor-köyv 4. oldlá 00 szereel, ez szeritük sjtóhib. 66 Külöbe végeredméyeket léyegébe em befolyásolj eze sjtóhib. Még kkor sem, h ezzel számoltk tovább.) A 435 kéviselõbõl 435 most 90-et kell kiválsztuk, ezt -féle- kée tehetjük meg Így kiszemelt szeátor drb. tíusú miimális gyõztes kolíciób vesz részt. Egy. tíusú miimális gyõztes kolíció tgjik szám 70, míg. tíusú miimális gyõztes kolíció tgjik szám = = 357. Így egy kiszemelt szeátor teljes Deeg- Pckel-féle htlmi idexe: TDPP(szeátor) = , Egy kéviselõ teljes Deeg-Pckelféle htlm Szemeljük ki egy tetszõleges kéviselõt és vizsgáljuk meg, hogy meyi miimális gyõztes kolíciób szereel! Nézzük elõször z. tíusú miimális gyõztes kolíciókt! Itt kiszemelt kéviselõ mellé még 7 kéviselõt kell válsztuk, hogy 8 kéviselõt kjuk. Eze 7 kéviselõt már csk 434 kéviselõbõl válszthtjuk. 434 Ezt -félekée tehetjük meg. Másrészt 00 szeátor közül 5-et kell kiválszt- 7 uk. Ezt 00 -félekée tehetjük meg. Az 5 elökbõl z elököt kiválsztjuk -félekée Összese drb. tíusú 5 7 gyõztes kolíciób szereel kiválsztott kéviselõ. Nézzük most. tíusú miimális gyõztes kolíciókt! Itt kiszemelt kéviselõ mellé 89 kéviselõt kell válsztuk, hogy 90 kéviselõt megkjuk. A 89 kéviselõt már csk 434 kéviselõbõl válsztjuk ki. 434 Ezt -félekée tehetjük meg. 89 MOZAIK KIADÓ

13 0. szetember A MATEMATIKA TANÍTÁSA A 00 szeátorból 67 szeátort kell kiválsztuk, ezt 00 -félekée tehetjük meg. 67 Az elökbõl 0 elököt -félekée válszthtuk ki Összese drb. tíusú miimális gyõztes kolíciób szereel kiválsztott kéviselõ. Az. tíusú kolíciók 70 tgúk, míg. tíusú kolíciók 357 tgúk. Így defiíció szerit egy kiválsztott kéviselõ teljes Deeg- Pckel-féle htlm: TDPP(kéviselõ) = , Az meriki elök, szeátus és kéviselõház Deeg-Pckel-féle htlmi idexe Az elök Deeg-Pckel-féle htlmi idexe defiíció szerit: DPI (elök) = TDPP(elök) = TDPP(elök) + 00 TDPP(szeátor) TDDP(kéviselõ) 0, ,370%. Egy szeátor Deeg-Pckel-féle htlmi idexe: DPI (szeátor) = TDPP(szeátor) = TDPP(elök) + 00 TDPP(szeátor) TDDP(kéviselõ) 0, ,89%. Egy kéviselõ Deeg-Pckel-féle htlmi idexe: DPI (kéviselõ) = TDPP(kéviselõ) = TDPP(elök) + 00 TDPP(szeátor) TDDP(kéviselõ) 0, ,86%. A szeátus tgjik összes DPI htlm: kb. 00 0,89 = 8,9%. A kéviselõház tgjik összes DPI htlm: kb ,856 ª 80,74%. 4. Kísérletük kéviselõház létszámák változttásár Érdekes lehet megvizsgáli, hogy változ meg z elök, szeátorok és kéviselõk DPI htlm, h megváltoz kéviselõk szám. Az elök és szeátus létszámák megváltozttás lehetséges, de még vlószíûtleebb kísérletekhez vezete. Csökketsük kézeletbe 0%-kl kéviselõház létszámát és vizsgáljuk meg z egyes szerelõk DPI htlmát! Ez 39,5 kéviselõ lee, legye 39 kéviselõ, hogy ártl szám legye. Itt z 50%-ot meghldó létszám leglább 96 kéviselõ, míg kéthrmdot ée meghldó létszám 6 fõ Az elök drb miimális 5 96 gyõztes kolíciób vesz részt TDPP(elök) = , TDPP(szeátor) = , TDPP(kéviselõ) = , DPI(elök) ª 0, ª 0,403% 4 MOZAIK KIADÓ 3

14 A MATEMATIKA TANÍTÁSA 0. szetember 0,403 0,370 Mivel 00% 8,9%, ezért 0,370 z elök DPI htlm kb. 8,9%-kl õtt vol. DPI(szeátor) ª 0, ª 0,06% Mivel 0,06 0,89 00% 8,5%, ezért 0,06 egy szeátor DPI htlm 8,5%-kl õtt vol. DPI(kéviselõ) ª 0, ª 0,0% Mivel 0,0 0,86 00% 7,9%, ezért 0,0 egy kéviselõ DPI htlm 7,9%-kl õtt vol. A szeátus tgjik összes DPI htlm kb. 0,6% lee. Ez kb. 8,5%-os övekedések felel meg. A kéviselõház tgjik összes DPI htlm kb. 39 0,0 ª 78,98% lee. Mivel 78,98 80,74 00%,8%, tehát kéviselõház tgjik együttes DPI h- 80,74 tlmák csökkeése,8% lee. Vegyük észre, hogy mideki övelte DPI htlmát, még kéviselõk is, de kéviselõház tgjik együttes DPI htlm kissé csökket; ez em elletmodás, hisze kéviselõk szám csökket. Cikküket csk ismeretterjesztõek szájuk, újdoságok icseek bee, csk kissé részletesebbe tárgylj témát, mit [7] köyv és egy sjtóhibáját jvítj ki e köyvek. Remélem, hogy új hibákt em helyeztem el cikkbe. Másrészt kogresszus 0%-os kézeletbeli csökketéséek számítás e cikkükbe szereel új gykorltkét. Irodlom és jegyzetek [] Csete Ljos (004): A htlom Shley- Shubik-féle idexérõl. A Mtemtik Títás, 004/ [] Csete Ljos (006): A htlom Bzhf-féle idexérõl. A Mtemtik Títás, 006/ Hibjvítás: A Mtemtik Títás, 006/3. 9. [3] Csete Ljos (007): A htlom Bzhf-féle idexéek lklmzási: A Biztosági Tács és z USA htlmi redszeréek egy elemzése. Mtemtiki Lok, /. (Megjelet 007-be), [4] Deeg, Joh d Edwrd Pckel (978): A ew idex for simle -erso gmes. Itertiol Jourl of Gme Theory, 7, 3 3. [5] Kemey, J. G. J. L. Sell G. L. Thomso (97): A moder mtemtik lji (Véges struktúrák). Mûszki Köyvkidó, Budest és 3 7. [6] Pckel, Edwrd (98): The Mthemtics of Gmes d Gmblig. The Mthemticl Associtio of Americ, Wshigto D.C. [7] Tylor, Al D. (995): Mthemtics d Politics. Strtegy, Votig, Power d Proof. Sriger-Verlg, New York-Berli-Heidelberg etc., [8] Theisz György (003): Ige-em szvzóredszerek. Polygo, XII. kötet. szám, 003. júius, E cikkbe formális is defiiálják z ige em szvzóredszert. Legye dv z összes szvzó X hlmz. Szvzásk evezzük X egy A részhlmzát. Az A hlmzbeli szvzók igeel szvztk, míg többi szvzó emmel szvzott. Egy szvzóredszertõl elvárjuk, hogy mide A szvzásr djo otos egy végeredméyt, vgyis dötse el, hogy elfogdták jvsltot vgy em. Máskée szvzóredszer egy v: P(X) Æ {i, } lekéezés, hol P(X) z X hlmz részhlmzik hlmz, és v(a) = i, h A Õ X szvzás eseté iget mod szvzóredszer, és v(a) =, h emet mod szvzóredszer. Köszööm szée Vrg Ferecé köyvtárvezetõek (Szegedi Tudomáyegyetem Bolyi Itézete) Tylor-köyv kölcsözését. 4 MOZAIK KIADÓ

15 0. szetember A MATEMATIKA TANÍTÁSA Kto Gyul Búcsú Reim Istvától A mgyr mtemtik egy gy lkjától, Reim Istvá mtemtikustól búcsúzuk, szó gyo széles értelmébe. Kevese tudták ról, hogy kiváló kuttó volt, szé és fotos eredméyekkel. A Zrkiewicz-roblémáról szóló kombitorikus cikkéek godoltit éldául z elsõs mtemtikus hllgtókk títom, cikkre 78 hivtkozás tlálhtó ete, közülük több 00-es és 0-es. De sok szé geometrii eredméye is volt. A mtemtikusi feldtok közül z egyetemi okttásb is kiválót yújtott. 953-tól 970-ig z Eötvös Lórád Tudomáyegyeteme, mjd 996-ig Budesti Mûszki Egyetem Geometrii Tszéké tított zokt, kikek oly szerecséjük volt, hogy hozzá kerültek. 986 és 99 között z utóbbi helye tszékvezetõ is volt. Mit mide tevékeységét, z egyetemit is gy tudássl, los felkészüléssel és htártl szeréységgel végezte. Leghíresebb zob mgyr mtemtiki tehetségek kiválsztásáb, kievelésébe játszott szeree áltl lett. 96-tõl 00-ig volt Nemzetközi Mtemtiki Olimiáko résztvevõ mgyr cst felkészítõje. Az l Reimszkkör volt, mit kéthetete szombt délutáokét trtott. Azutá z Olimiák elõtt volt egy itezív felkészítés is. Sjos idõs korom megkdályozott bb, hogy részese legyek ezekek z élméyekek, é két évvel korább, 959-be voltm olimiko. De kiemelkedõ mgyr mtemtikusok, kdémikusok, gydoktorok égy évtizedyi hd ebbõl z iskolából került ki. Õk mesélek szkkör csodáltos hgultáról. Kis füzetébõl táblár felírt godos összeválogtott szé és izglms feldtokt, zutá háttérbe húzódott. Hgyt diákokt érvéyesüli, csk éh fûzött kommetárt egy-egy feldt megoldásához. Meyi muk volt e mögött! Háy és háy köyvbõl, szklból gyûjtötte össze feldtokt! És micsod edgógii érzéket kívát kihívás, z ország legtehetségesebb mtemtikus diákjivl dolgozi, mekkor felelõsség, hogy belõlük kihozz mximumot! Vezetése ltt sok gy sikert ért el mgyr olimii cst. Pedig em ezt trtott fõ célk, hem zt, hogy kiváló, egészséges godolkodású mtemtikusokt evelje z országk. A emzetközi mtemtiki közvéleméy is jól ismerte és elismerte tevékeységét. Részbe z eredméyek mitt, részbe z olimii feldtokt összegyûjtõ, golul is megjelet kötetei ljá. A Mtemtikverseyek Nemzetközi Szövetsége ezért 000-be Erdõs-éremmel tütette ki. Szeréysége vitte e területre. Felvetõdik kérdés, hogy h em tölti idejét fitlok evelésével, meyivel több szé mtemtiki tételt lkothtott vol. De zt hiszem, helyesebb úgy számoli, hogy k több száz mtemtikusk, kiket evelt, egy-két cikkét jvár írjuk, hisze ezek cikkek Reim tár úr élkül tlá em születtek vol meg hzák és világ mtemtikáj hszár. A Bolyi Jáos Mtemtiki Társult evébe is köszöetet kell modom áldoztos tehetségkiválsztó, -evelõ mukájáért, de külöbözõ bizottságik mukájáb végzett tevékeységéért, hszos tácsiért is. Volt még egy érdekes mukáj, mely ismertté tette z ország közvéleméye elõtt is. Éveke át fél ország ült z éjjeli órákb kéeryõ elé, hogy világos mgyráztit hllgtv megtudj, hogy kellett vol kosziuszos feldtot megoldi z egyetemi felvételi. Az ország és szkm megróbált kitütetésekkel kifejezi háláját. 993-b Aáci Csere Jáos-díjt, 00-be Rácz Tár Úr Életmûdíjt, 007-be edig Mgyr Köztársság Érdemérem tisztikeresztjét yerte el. Kedves Pist Bácsi, köszöjük Neked ezt z életet, és regeteg mukát! Tudd, hogy érdemes volt. Százkk dtál egy jó kezdetet, életre szóló élméyt. Te vgy z egyik ok mgyr mtemtik világhíréek. MOZAIK KIADÓ 5

16 A MATEMATIKA TANÍTÁSA 0. szetember Ambrus Adrás Peller József (933 0) P eller József elõször Budi Títókézõbe szerzett títói kéesítést, mjd z ELTE TTK- 956-b mtemtikfizik szkos tárkét dilomázott. 956 és 96 között Budesti Árád Gimázium tár, 96-tõl z ELTE TTK okttój volt. Dolgozott z kkori Alízis II. tszéke, késõbb z Ábrázoló és Projektív Geometri tszéke, mjd Mtemtiki Szkmódszerti Csoortb, továbbá z Okttástechiki Csoortb. 995-tõl három évig kosvári Csokoi Mihály Títókézõ Fõiskol mtemtiki tszékéek vezetõje volt. Búcsúzuk tudóstól 6 MOZAIK KIADÓ Egyetemi doktori értekezését A differeciálháydos és z itegrálszámítás közéiskoláb címmel 966-b védte meg z ELTE TTK-. Tudomáyos sirtúr ideje ltt kétszer is volt három hóos tulmáyúto Moszkváb. Kdidátusi értekezését 989-be védte meg A számfoglom és függvéytítás fejlesztésére iráyuló mtemtiki-didktiki vizsgáltok, kísérleti eredméyek címmel. E muk egy redszer leírás, mely felöleli z áltláos iskol lsó és felsõ tgoztos, közéiskoli mtemtikokttási vizsgáltokt, elemzéseket és tárjelöltekkel vló szkmódszerti fogllkozásokt is. Tudomáytörtéeti téy, hogy Mgyrországo hárm írtk kdidátusi dolgoztot mtemtikdidktikából (mtemtik szkmódszertból): Vrg Tmás, Peller József és Ambrus Adrás. Abb szerecsés helyzetbe vgyok, hogy végigkövethettem mtemtiki szkmódszertk m mtemtikdidktikák evezzük mgyrországi fejlõdését és öálló tudomáyággá válását. Az ELTE TTK Mtemtiki Szkmódszerti Csoortják meglkulásáb, kuttómukájáb, fejlõdésébe gy szeree volt Peller Józsefek. Részt vett Mtemtik títás tárgy ttervéek, állmvizsgi temtikáják, redszeréek kidolgozásáb. Egyik lítój volt Szkmódszerti Közleméyek címû, félévekét megjeleõ eriodikák, szerkesztõkét, szerzõkét számos tulmáy megjeletetésébe mûködött közre. Mit vidéki, kisgimáziumi mtemtiktárk, gyo fotos segítséget jeletettek e kötetek. Az ELTE TTK kétéves tár-továbbkézési redszeréek kidolgozásáb, kurzusok trtásáb gy szereet válllt. E továbbkézési formát követte z egyetemi doktorátus megszerzéséek lehetõsége, mellyel több kiváló közéiskoli mtemtiktár élt. Peller József kuttómukáják kiemelkedõ része két gyformátumú okttási kísérlet. A mtemtikokttás trtlmák és módszeréek korszerûsítése (5 8. osztály), illetve A tulók tevékeységéek tervezése és iráyítás (9. osztály) kuttórojekt volt, melyek keretébe gykorlóiskoli mtemtik vezetõtárok bevoásávl kidolgoztk egy részletes, midei mtemtiktítás relizálását segítõ, teljes títási ygot. A klsszikus közéiskoli osztályok ygát Tköyvkidó köyv formájáb is megjeletette. Mit títókézõt végzett szkember, z elsõ égy osztály mtemtiki tygák feldolgozását is elkészítette Kovács Bertlé gykorlóiskoli vezetõtár közremûködésével. Peller Józsefek szívügye volt, hogy sok jó gykorlti muk mellett tudomáyáguk is fejlõdjö, elméleti háttere ki legye dolgozv. A Debrece-

17 0. szetember A MATEMATIKA TANÍTÁSA i Egyetem mtemtikdidktiki PhD rogrmják meglításáb szkértõ tácsivl, késõbbiekbe kurzusok trtásávl vett részt. Búcsúzuk tártól Ritk z oly tár, kiek sját tsztlt v mide életkorról, kiselsõsöktõl z egyetemi dilomáig átölelõ idõszk mtemtikokttásáról. Fejlõdésébe tekitette gyerekeket, z lvetõ mtemtiki foglmk kilkításák szkszos elméletét dolgozt ki számfoglomml és függvéyfoglomml kcsoltb. Ez kisgyermekkortól dilomáig terjedõ fejlõdés, fokoztos mtemtizálás jellemzõ volt didktiki godolkodásár. Szkmilg gyo igéyes, mide órájár los felkészülõ, hllgtóit, tulóit szeretõ, támogtó tár volt. Jellemzõ segítõkészségére, hogy módszerti okttáso túl mtemtik-fizik szkos tárjelöltek számár segítséget yújtott z elméleti fizik megértéséhez szükséges mtemtiki ismeretek redezésébe seciálkollégiumok trtásávl. Együtt títottuk z ELTE Rdóti Miklós Gykorlóiskoláb. Meghtó volt z szeretet, mellyel átyolgtt kis htodikosokt, támogtt tehetségesebb tulókt. Tárok tár is volt, tulók tevékeységéek tervezése rojekt keretébe sokt utzott vidékre is, hol személyese vizsgált, hogy relizálódk mtemtikokttási elvei. A kísérletbe részt vevõ tárokk idejét em kímélve sokt segített. A Rátz László Vádorgyûléseke többször trtott elõdást, sok mtemtiktár vette midig körül, észerû volt z egyszerû tárok körébe. A mtemtik títás módszerti kurzus ttervéek, trtlmák, vlmit gykorlóiskoli ötödéves títási gykorlt temtikáják kidolgozásáb lvetõ szeree volt. A gykorlóiskoli mtemtik vezetõtárok szkfelügyeletét, z ötödéves hllgtók látogtását tõle megszokott godossággl, lossággl szervezte, vezette. A mtemtik tításávl kcsoltos fotosbb Peller-köyvek: A mtemtiki ismeretszerzési folymtról. ELTE Eötvös Kidó, 003 A mtemtiki ismeretszerzés gyökerei. ELTE Eötvös Kidó, 003 Az lízis elemeiek títás közéiskoláb. Tköyvkidó, 967 A számfoglom fejlesztéséek szitjei z okttási gykorltb. Tköyvkidó, 974 Búcsúzuk kedves kollégától, z embertõl Jóskávl egy kedves, segítõkész, szevedélyese igzságkeresõ kollégák távozik. Õszite, egyszerû, tisztlelkû, csládszeretõ, gy humáumú, elveiért kiálló, zokért ozitív értelembe megszállott küzdõ ember volt. Közvetített, békített hllgtók és okttók között kéyes kérdésekbe. Ngy szeretettel, türelemmel kísérte, támogtt beilleszkedésüket, szkmi fejlõdésüket. Számomr, kis vidéki mtemtiktár számár gyo fotos volt, hogy kezdetektõl fogv mellém állt, mide szkmi és szkmá kívüli kérdésbe segített. A volt kollégák gy szeretettel emlékezek sok beszélgetésre, közös kirádulásr, Jósk áltl gyo szeretett bltokeesei telké tett látogtásr, további együttlétekre. Váci Mihály ki mg is volt yírségi tító Esõ homokr címû versébe Jóskár is oly jellemzõe ír: Hszáli krtm em tüdököli, sem esztétikák rgsorát öröli. A hlhttl szet tülekedésbe Lemrdtm strtál már lekéstem. Oszti mgd, hogy így soksodjál, Kicsikhez hjoli hogy mgsodjál, Hllgti õket, hogy tudd világot, Róluk beszéli, h szólsz világhoz. Széjjel szóródi esõ homokr sivtgyi reméytele dologr, s h yár se lesz tõled s táj se zöldebb, kutkká gyûjt mély sok iszk belõled! MOZAIK KIADÓ 7

18 A MATEMATIKA TANÍTÁSA 0. szetember Csete Ljos Egy ciklikus egyelõtleség áltláosítás. Bevezetés Ismert következõ egyelõtleség: Legyeek,,..., ozitív vlós számok. Ekkor feáll, hogy (... ) Ez éldául verseyfeldt volt 00-be z Országos Közéiskoli Tulmáyi Verseye, illetve korább egyéb helyeke is kitûzték. [3],[4],[6],[9],[0]. (A [3] cikkbe olvshtuk törtéetérõl és 8 megoldást tekithetük meg.) A következõkbe céluk eze egyelõtleség egy áltláosítás. Ehhez elõször egy segédtételt idézük fel.. Egy Youg-féle segédtétel A következõ segédtételt zért evezzük Youg-féle segédtételek, mert ez Youg-féle egyelõtleség (9) egy seciális esete. Ebbõl külöbe köye levezethetõ Hölderféle egyelõtleség is. A Youg-féle segédtétel: H és b emegtív vlós számok és >, q > oly vlós számok, melyekre teljesül + =, kkor feáll, hogy q q b + b, q hol egyelõség kkor és csk kkor v, h = b q. Bizoyítás: A súlyozott számti és mérti közé közötti egyelõtleséget fogjuk lklmzi. [7] Mit tudjuk, feáll, hogy w w w w x w x w x x x x......, hol x, x,..., x ozitív vlós számok és w, w,..., w szité ozitív vlós számok, z úgyevezett súlyok. Legye = és x =, x = b q, míg súlyok w = és w =. q Ekkor súlyozott számti és mérti közé közötti egyelõtleség szerit: q q q b + ( ) ( b ) = b. q 3. A Beroulli-féle egyelõtleség levezetése Youg-féle segédtételbõl A Youg-féle segédtételbõl iduluk ki: q b + b, hol és b emegtív vlós q számok, míg és q -él gyobb oly vlós számok, melyekre + =. Ebbõl q =. q Ezt felhszálv kjuk, hogy: q b b, q vgyis b b Ezekívül legye b =, tehát vgyis.. 8 MOZAIK KIADÓ

19 0. szetember A MATEMATIKA TANÍTÁSA Az utóbbi egyelõtleségbõl kjuk, hogy + ( - ). Ez ée Beroulli-féle egyelõtleség egy lkj. 4. Egy ciklikus egyelõtleség áltláosítás Az elõbb ktuk z b b egyelõtleséget. Ebbõl következik, hogy b ( ) b. Ezt fogjuk felhszáli z. otb felidézett ciklikus egyelõtleség áltláosításár. Legye itt z helyett, míg b helyett +. Ezeket behelyettesítve kjuk, hogy + + ( ). Ezt egy kissé átredezzük: + ( + ) ( ), zz ( ) +. + Ebbõl tíusú egyelõtleségbõl foguk összedi drbot: ( ) ( 3)... ( ) Ezzel megktuk következõ roblémát: Problém: Legyeek,,..., ozitív vlós számok és > vlós szám, ekkor feáll, hogy ( ) ( 3)... ( ) E roblémát volt szerecsém kitûzi 005-be z Americ Mthemticl Mothly folyóirtb is. [] és [] 5. Egy seciális eset = -re Figyeljük meg, hogy h = helyettesítést végezzük el, kkor kjuk, hogy ( + ) + ( + 3) ( + ) = = ( ) (( + ) + ( + 3 ) ( + )) = 4 = ( ) (... ) = 4 = (... ) Ezzel kész 9. bizoyítás z. otb felidézett verseyfeldtk. Irodlom és jegyzetek [] Americ Mthemticl Mothly, The (005): Vol oldl, Problem 89 (Prooser: Ljos Csete, Mrkotbödöge, Hugry) [] Americ Mthemticl Mothly, The (007): Vol oldl, Problem solutio 89. Megoldók: R. Bgby (USA), O. Bgdsr (Romi), R. Chm (U.K.), P. P. Dályi (Hugry) [Dályi Pál Péter, Deák Ferec Közéiskol, Szeged], G. Kiss (Hugry), [Dr. Kiss Géz Ph.D., Fzeks Mihály Fõvárosi Gykorló Gimázium, Budest], R. Strog (USA), L. Zhou (USA), Szeged Problem Solvig Grou Fejétláltuk [Szegedi Tudomáyegyetem] A folyóirt O. P. Lossers rofesszor (Eidhove Uiversity of Techology, Holldi) meg- MOZAIK KIADÓ 9

20 A MATEMATIKA TANÍTÁSA 0. szetember oldását közli, ki átírj bizoyítdó egyelõtleséget következõ lkr: hol k= q k b k + b k k 0, b q k k + k bk = + és q =. + Mjd megmuttj, hogy szögletes zárójelbe levõ kifejezések emegtívk. q x b Ehhez z fx ( ) = xb + q függvéy vizsgáltát említi, hol x > 0 és tetszõleges rögzített b > 0. Megemlíti, hogy e függvéy b globális miimum x = -él v, mégedig 0-vl egyelõ. [3] Csete Ljos (003): A komáromi trükk és egy verseyfeldt. A Mtemtik Títás, 003/4. 4. [4] Egel, Arthur (998): Problem-Solvig Strtegies. Sriger-Verlg, New York-Berli- Heidelberg, 85. oldl, 84. feldt, megoldás 0. oldlo. [5] Kiss Géz Dr. Ph.D. e-mil üzeete, 006. március A tár úr bizoyítás: A súlyozott számti és mérti közé közötti következõ egyelõtleséget hszált: x + yb x b y, hol x és y oly ozitív vlós számok, melyekre x + y =. Legye x = és y =, hol >. Alklmzzuk z elõbbi egyelõtleséget: i i+ i i+ i i i+ i+ i i + i+ ( i + i+ ) i = i + = = i ( i + i+ ) i i+ = =. ( + ) i Ezt -vel szorozv kjuk, hogy: i i+ i + i+ i + ( ). i + Máskée felírv: i i+ i i+ i + +. i + Alklmzzuk ezt z egyelõtleséget i =,,, -re, mjd ezeket összedv kjuk, hogy: i i= i i+ i= Átredezve: i+ i i. i + + i= i i = i i i = i+. i + i = [6] Kolmogorov, A. N. Sz. V. Fomi (98): A függvéyelmélet és fukcioállízis elemei. Mûszki Köyvkidó, Budest, 56. [7] Kuzyecov, G. M. I. N. Szergejev (99): XXIV Vszeszojuzj mtemticseszkj olimid skolyikov. Mtemtik v Skole, 9/ , külööse 49. és z 5. oldl [8] Lozsky, Edwrd Cecil Rousseu (996): Wiig Solutios. Sriger-Verlg, New York-Berli-Heidelberg, 3. [9] Mitriović, D.S. J. E. Pe c v ri ć A. M. Fik (993): Clssicl d New Iequlities i Alysis. Kluwer Acdemic Publishers, Dordrecht- Bosto-Lodo, Chter XIV. Youg s iequlity [0] Pitool, L. V. Bdil M. Lscu (996): Egyelõtleségek. GIL Köyvkidó, Zilh (Fordított Adrás Szilárd) [] Vvilov, V. Sz. Rezyicseko (990): XXIV Vszeszojuzj olimid o mtemtike. Kvt, 90/ oldl, külööse z 59. oldl. A megoldásvázltok Kvt 90/ oldli, z idevágó rész 73. oldlo. Köszööm szée Vrg Ferecé köyvtárvezetõek (Szegedi Tudomáyegyetem Bolyi Itézet) [4], [8], [9] köyvek kölcsözését. 0 MOZAIK KIADÓ

21 0. szetember A MATEMATIKA TANÍTÁSA Dr. Drvsi Gyul Írjuk dott rlelogrmmáb hozzá hsolót! A címbe kitûzött roblém és k megoldás ismerõs lehet KöML Gy. 49- es gykorló feldt révé ([4] oldl). Mosti céluk em csuá feleleveítés lesz, hem több új iráyb elvégzett vizsgált és további megoldások bemuttás. Az ABCD rlelogrmmár legye = AB = = CD, b = AD = BC, e = AC, f = BD, AC BD = = {O}, m(bad ) = és m(boc ) = j (. ábr), hol 0º < j 90º eseté b teljesül ([] 68. oldl,.5/. tétel). Az oldlk és z átlók között feáll z e + f = ( + b ) ([3] 3. oldl, 89. feldt), vlmit területekre t(abcd) = = bsi = efsij = t(pqrs) összefüggés, hol PQRS rlelogrmm oldli z AC és BD átlókkl árhuzmosk. H z ABCD rlelogrmmáb egy KLMN rlelogrmmát kíváuk beíri, kkor k csúcsir megköveteljük, hogy zok bármelyike z ABCD külöbözõ oldli belsõ ot legye. A beírás kétfélekée végezhetõ el szerit, hogy z dott és beírt rlelogrmm körüljárás egyezõ vgy elletétes (. ábr). Midkét esetbe teljesül, hogy z dott és beírt rlelogrmm közéotj egybeesik. Eek belátásához felhszáljuk, hogy rlelogrmm P j A K D N L O j Q B M C R közéotj illeszkedik midkét közéárhuzmos egyeesére ([] 8. oldl, 4.3/. tétel). H beírt KLMN rlelogrmm közéotját O * -gl jelöljük, kkor z AD oldlo lévõ K otk O * -r votkozó K = M tükörkée rjt v AD-ek O * -r votkozó AD tükörkéé, mi cetrális tükrözés mitt árhuzmos AD-vel, s így AD = BC dódik, mivel z M AD oto át AD -vel csk egy árhuzmos húzhtó. Eélfogv O * egyelõ távolságr v z AD és BC egyeesektõl, vgyis illeszkedik zok közéárhuzmosár. Ugyígy láthtó be, hogy O * rjt v z AB és CD egyeesek közéárhuzmosá is: tehát O * eze két közéárhuzmosk metszésotj, mi viszot egybeesik z ABCD rlelogrmm O közéotjávl ([4] 63. oldl). H z dott ABCD rlelogrmmáb egy hozzá hsoló KLMN rlelogrmmát íruk be, kkor eze hsolóság sorá midig feáll A K K D D N L O O L B M M C C S. ábr A N B. ábr MOZAIK KIADÓ

22 A MATEMATIKA TANÍTÁSA 0. szetember z A K, B L, C M és D N megfeleltetés, miközbe z dott rlelogrmm jelölését rögzítve beírtk csúcsi cetrális szimmetri mitt kétfélekée is betûzhetõk:. ábrá egyidejûleg cseréljük fel K és M, vlmit z L és N otokt. S mithogy bármely rlelogrmmát egyértelmûe meghtározz két szomszédos csúcs és közéotj, ezért z dott és beírt rlelogrmm otos kkor hsoló, h két-két szomszédos csúcsuk és közös közéotjuk áltl meghtározott megfelelõ háromszögek hsolók, melyek körüljárás ugyúgy lehet egyezõ vgy elletétes. Elsõkét fogllkozuk zzl z esettel, mikor z dott ABCD és hozzá hsoló beírt KLMN rlelogrmm zoos körüljárású, mihez elegedõ z egyezõ körüljárású OBC è és OLM è hsoló háromszögeket vizsgáli (3. ábr). Ekkor megfelelõ szögeket zoos számú körívvel jelölve észrevehetõ, hogy z OM szksz B és L otokból egyelõ szögbe látszik, vgyis B, L, O és M otok egy k körre illeszkedek. Eze k körbe z OL húrt tekitve dódik z OBL és OML kerületi szögek egyelõsége, s mivel hsolóság mitt OCB, ezért OCB is feáll. H E jelöli B kezdõotú, BC-vel elletétes félegyees vlmely belsõ otját, kkor z m(abe ) = m(bad ) =, m(obl ) = 80º - - [m(abe ) + m(obc )] és m(ocb ) = 80º - - [m(boc ) + m(obc )] összefüggésekbõl OCB mitt = m(abe ) = m(boc ) = = j khtó: tehát z dott ABCD rlelogrmm átlóik szöge megegyezik két oldlák szögével. Eélfogv rr jutottuk, hogy egyezõ körüljárást tekitve csk z ilye tuljdoságú dott rlelogrmmáb írhtó hozzá hsoló rlelogrmm ([4] 64. oldl). A szerkesztés kivitelezéséhez tételezzük fel, hogy z dott ABCD rlelogrmmár = = m(bad ) = m(aod ) teljesül (4. ábr). Ezutá szerkesszük meg z OB szksz g felezõ merõlegesét, mjd B otb AB-re és BC-re merõlegeseket, melyek g-bõl kimetszeek egy UV szkszt, s eek tetszõleges belsõ otját közéotk válsztv rjzoljuk meg z O és B oto áthldó k kört, mi z AB oldlt L és BC oldlt M belsõ otb metszi. Az így kott OLM è háromszög szögeit feleltessük meg z OBC è háromszög szögeiek. Megmuttjuk, hogy megfelelõ szögek között v két egybevágó. Ugyis k körbe z OL és OM húrokt tekitve OML és OLM, s így m(ocb ) = 80º - [m(boc ) + m(obc )] = = 80º - [ + m(obc )] = m(obl ) = = m(oml ) mitt OBC è ~ OLM è is igz. Eze szerkesztés sorá léyeges, hogy k kör z AB és BC oldlkt egy-egy belsõ otb messe: ez k kör közéotják felvétele mitt teljesül. S mithogy z AB-re és BC-re B-be állított merõlegesek hjlásszöge -vl egyelõ, ezért em eshetek egybe, s így g-bõl áltluk kimetszett UV szkszk végtele sok belsõ otj v: tehát z dott ABCD rlelog- D N C D N C K O j K O V A L 3. ábr M k B E A U L g 4. ábr M k B E MOZAIK KIADÓ