A fenti egyenletek képezik a 3D, 7 paraméteres Helmert transzformáció algebrai megoldásának alapját.
|
|
- Irma Balogné
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Geomtk Közleméyek XVII 4 NÉHÁNY ALENAÍV MEGOLDÁSI LEHEŐSÉG A D NEMLINEÁIS HASONLÓSÁGI DÁUM- ANSZFOMÁIÓ ALKALMAZÁSÁA A BUSA-WOLF MODELL VISZONYLAÁBAN Závot Józef Klmár Jáo Some ltertve olte for the oluto of D o-ler mlrty dtum trformto omred to the Bur-Wolf model he reet work del wth mortt theoretl rolem of geodey: we re lookg for mthemtl reltoh etwee two tl oordte ytem utlzg ommo r of ot whoe oordte re gve oth ytem. I geodey d hotogrmmetry the mot ofte ued roedure to move from oe oordte ytem to the other the D 7 rmeter Helmert trformto. U to reet tme th tk w olved ether y terto or y lyg the Bur-Wolf model. Produer of GPS/GNSS reever tll thee lgorthm to ther ytem to heve uk roeg of dt. But owdy lger method of mthemt gve loed form oluto of th rolem whh reure hgh level omuter tehology kgroud. I everydy uge the loed form oluto re muh more mle d hve hgher reo th erler roedure d thu t e redted tht thee ew oluto wll fd ther le the rte. he er due vrou method for lultg the le ftor d t lo omre oluto ed o utero wth thoe tht re ed o rotto mtrx defed y kew-ymmetr mtrx. Keyword: D or 7-rmeter dtum trformto olute oretto A tulmáy geodéz egyk foto elmélet rolémáját tárgylj: két térel koordát redzer között kereük mtemtk özefüggét két redzere koordátákkl megdott közö otárok felhzáláávl. A geodézá fotogrmmetrá két koordát-redzer között áttéré orá legáltláo hzált eljárá D 7 rmétere Helmert trzformáó lklmzá. Ezt feldtot közelmúlt vgy teráóvl vgy Bur-Wolf modell ljá oldották meg. A GPS/GNSS vevők gyártó ruglm dtfeldolgozá érdekée ezeket z lgortmuokt zoftveree eéítk redzerüke. Mág mtemtk lger módzereek felhzáláávl jelető zámítátehk tudá rtoká zárt formulákkl meg lehet d rolém megoldáát. A zárt lk előállított megoldáok mde hzált okkl egyzerűek otok zoyulk mt korá eljáráok ezért rogoztzálhtó hogy jövőe ezek z új megoldáok ekerülek gykorlt. A kk külööző eljáráokt d meg méretráy-téyező kzámítáár é özeholítj kvteró luló megoldát ferdé zmmetrku mátrxzl dott forgtá mátrxo lulóvl. Kulzvk: D vgy 7 rmétere dátumtrzformáó zolút tájékozá Bevezeté A D 7 rmétere Helmert dátum trzformáó hgyomáyo jellegű tárgylá Grfred é Krumm (995 Grfred é Kmm (996 é Grfred é Sh (997 tulmáyok tlálhtó meg kéő Awge et l. (4 tulmáy kterjezt megoldá módokt. Závot (999 mukáj korlátozott feltételekkel L ormá oldott meg feldtot. A dátumtrzformáók zámítógée lger redzerekkel törtéő tárgyláá Awge é Grfred ( éveke megjelet tulmáy új ráyt dtk tém kuttáák. A hz zkrodlom Závot (5 tulmáy z elő lger megközelítée feldt megoldáák mely egyúttl jvítát jvolt mtemtk modellhez. A Závot é Jó (6 tulmáy jó lötletet dott lerzálár mt Závot ( kk dolgoz k lo- * MA SFK GGI 94 Soro tk u E-ml: zvot@ggk.hu
2 8 ZÁVOI J KALMÁ J. A Btth é Závot (9 9 kkek edg kterjeztették zámítógée lger lklmzáák területét geodézá ú.. előmetzé rolémkét mert feldtr. A fotogrmmetr külő tájékozá eetée Závot é Frth ( tulmáy teljee új megoldá módzert jvol mt hgyomáyo megoldá eljárá. Az zolút tájékozá rolém kvterókkl törtéő megoldáát Hor (987 tulmáy elők között tárgylj de megoldá eltér Závot ( kke leírtktól. A Klmár é Závot ( tulmáy jól özefogllj két megoldá külöözőégét. A D 7 rmétere holóág trzformáó új megoldáák modellje együk fel hogy dott két külööző koordátredzere mért közö ot koordátákkl. A D 7-rmétere (Helmert térel túlhtározott holóág trzformáó következő modellel dhtó meg: kereük z elődlege (él (X Y Z- é máodlgo (tárgy (x y z koordát-redzerek között Eukldéz tére dott otok között lekéezét z lá formá ( t z eltolá-vektor forgtá mátrx é kálrméter vgy méretráy-téyező: X Y Z hol [ ] [ Y Z ] t... ( élotok koordát értéke t X z meretle eltolá-vektor z meretle méretráy-téyező ( α β γ forgtá mátrx [ x y z ] tárgyotok koordát értéke. Az forgá mátrxot három tegely körül elforgtál három függetle meretle α β é γ rd-zöggel Awge ( z lá módo dt meg: ( ( β ( γ α. ( ermézetee fzk geodézá hzálto forgtá orredtől eltérő forgtá orred vgy ellekező ráyú tegely körül forgtá má-má eredméyre vezet. Például forgá mátrx elemeek meretée forgá zögek z lá özefüggéel meghtározhtók: r r α rt β r( r γ rt ( r r hol r j érték z forgtá mátrx -edk orák é j-edk ozloák eleme. éluk tehát forgtá mátrx meghtározá. A D 7 rmétere Helmert trzformáó lger megoldá érdekée Awge é Grfred ( z forgtá mátrxot ferdé zmmetrku mátrx (5 evezetéével következő módo írt fel: hol I három dmezó egyégmátrx é ( I ( I H z ( egyeletet (4 özefüggé ljá z ( I következő lk dódk: (4 mátrx z é rméterekkel meghtározott:. (5 mátrxzl lról zorozzuk kkor Geomtk Közleméyek XVII 4
3 NÉHÁNY ALENAÍV MEGOLDÁSI LEHEŐSÉG A D NEMLINEÁIS HASONLÓSÁGI DÁUMANSZFOMÁIÓ ALKALMAZÁSÁA 9 X Y Z X Y Z x y.... (6 z A fet egyeletek kéezk D 7 rmétere Helmert trzformáó lger megoldáák lját. A D 7 rmétere holóág trzformáó méretráy-téyezőjéek meghtározá három módzerrel Závot ( tulmáyá megmuttt hogy úlyot koordáták evezetéével mlye módo lehetége z eltolá rméterek elmálá. Ugyeze tulmáy z egzolódott hogy túlhtározott egyeletredzer megoldá orá z é rméterek kküzööléével eze rméterek keek é rméterre egy egy meretlee máodfokú túlhtározott egyeletredzer áll elő z lá formá: hol X ( x y z X Y Z... (7 X X Y Y Y Z Z Z... x x x y y y z z z.... (Megjegyezzük hogy Awge é Grfred ( tulmáyuk méretráy-téyezőre egy egyedfokú egyelet dódott. A (7 egyeletredzer túlhtározott megoldá tö féle módo megdhtó: I. Megoldá: A fet egyeletredzert lkítuk zorzttá következő módo: x y z X Y Z x y z X Y Z.... (8 ektük (8 formulá zerelő zorztok elő téyezőt. Megolddó z lá egyeletredzer: x y z X Y Z.... (9 Adjuk öze vlmey egyeletet! Ekkor túlhtározott egyeletredzer megoldá orá méretráy-téyező értékére zámukr fzk jeletéel író oztív gyök ljá z lá Závot ( kke megdott tztltól mert özefüggé dódk: X Y Z. ( x y z A fotogrmmetr zkrodlom mert Alertz é Krelg (975 ulkáój ljá hogy méretráy-téyező zámolhtó otok úlyot redzerel távolágok özegeek háydokét. ehát (7 máodfokú egyeleteket előfokú egyeletekre vezettük vz zkrodlomól mert (Awge é Grfred ( egyedfokú olom gyökeek ehézke zétválztá eljáráávl elletéte. Geomtk Közleméyek XVII 4
4 ZÁVOI J KALMÁ J II. Megoldá ektük mételte (7 egyeletredzert é djuk öze vlmey egyeletet. Így z lá özefüggé dódk: ( x y z ( X Y Z. ( A fet egyelet zorzttá lkítá élkül egyzerűe megoldhtó ( emegtív vló zámok fölött. A méretráy-téyező értékére zámukr fzk jeletéel író oztív gyök ljá z lá Hor (987 tulmáyá kvterókkl levezetett özefüggé dódk mely Bur-Wolf modell megoldá : ( X Y Z (. x y z ( ehát jele eete méretráy-téyezőt máodfokú egyeletekől egyértelműe meghtározhtjuk zkrodlomól mert (Awge é Grfred egyedfokú olom gyökeek oyolult zétválztá eljáráávl zeme. III. Megoldá Iduljuk k mét (9 egyeletredzeről. Kereük megoldát értékére kegyelítéel legke égyzetek módzeréek elve ljá közvetítő egyeletek felhzáláávl. Elem meggodoláok utá értékre következő eredméy dódk (rézlete levezeté (-(6 özefüggéeke tlálhtó: ( x y z ( X Y Z. ( ( x y z ehát külööző levezetéek dhtók D 7 rmétere Helmert trzformáó méretráytéyezőjéek megoldáár. 4 A forgtá é eltolá rméterek meghtározá A méretráy-téyező meghtározá utá feldt leárr redukálhtó é megdhtó leár rolém kegyelítő zámítá modellje. Eze módo tetzőlegee ok egyeletől (közö otól dódó álló egyeletredzer megoldhtó z é rméterekre. A teljeég kedvéért Závot ( ljá megdjuk feldt ormál mátrxát é ormál vektorát: [ ( y Y ( z Z ] ( x X ( y Y ( x X ( z Z ( x X ( z Z (A ormál mátrx zmmetrku elemet em tütettük fel. [ ] ( y ( [( ( ] Y z Z x X y Y. (4 Geomtk Közleméyek XVII 4
5 NÉHÁNY ALENAÍV MEGOLDÁSI LEHEŐSÉG A D NEMLINEÁIS HASONLÓSÁGI DÁUMANSZFOMÁIÓ ALKALMAZÁSÁA Holó módo dódk ormálvektor : ( yz zy ( z X xz. (5 ( xy y X A méretű ormál-egyeletredzeről z é rméterek zámo eljárál meghtározhtók m tltá mtt játérték felotá (SVD módzert hzáltuk. A ormál mátrx eál tuljdoágát khzálv ( özefüggée kereett forgtá rméterek meghtározhtók. A még meretle X Y é Z eltolá rmétereket z ( özefüggé úlyotr felírt lkjáól lehet meghtároz: X Y Z X Y Z x y. (6 z A modell lklmzá orá otoág vr é kovr rméterek zámítá hgyomáyo módo törték 5 Az eltolá vektor é méretráy-téyező meghtározá Bur-Wolf modelle A ( formulához következőké eljuthtuk ( két koordát redzere é úlyotot jelöl:. (7 Vzírv trzformáó ( kéletée kjuk: Átredezé utá dódk: ( t..... (8 t..... (9 A (9 kélet közee elhgyhtó mert z ( özefüggé z é úlyotokr gz így mrd:..... ( Az meretle t eltolá-vektortól így átmeetleg megzdultuk mrdk még é változók. Az ( formul ljá Bur-Wolf modelle zerelő t eltolá-vektort z dott otok koordáták átlgoláávl z forgtá mátrx függvéyée előállíthtjuk: t Nylvávló hogy ( kélet ekvvle (6 özefüggéel tehát két módzer z eltolávektorr ugyzt megoldát zolgálttj. Áttérve méretráy-téyező vzgáltár z egyzerű özeholíthtóág végett ktulzáljuk ( kéletet Bur-Wolf modell jelöléevel: ( Geomtk Közleméyek XVII 4
6 ZÁVOI J KALMÁ J Geomtk Közleméyek XVII 4. ( A méretráy-téyező ( é ( özefüggée ljá v egy léyege külöég: ( kélete elő v gyökvoá é utá özegzé míg ( formulá fordítv ezért megállíthtjuk hogy ( é ( özefüggéek em ekvvleek vgy méretráy-téyezőre két kélet émleg eltérő értéket zámolht. Vzot ( é ( kéletek egyrát ttztk eléek méretráy-téyezőre (eltéréük hegyeletek felírááól zármzk mert fxotjuk megegyezk. Iduljuk k ugy ól hogy z deál Helmert trzformáó orá mde távolág é kééek háydo fx ( m gz úlyot koordátákr ugy trzformáó orá úlyotot áthelyeztük vgy úlyot koordátákól úlyottól vló távolágok levezethetők:... ( é távolágok között özefüggét méretráy-téyezővel írhtjuk fel hmete eete:.... (4 Ezt követőe eláthtó hogy (4 özefüggé ehelyetteítée ( kélete lletve ( formulá zooághoz vezet vgy két ttztk elé fxotj (z elmélet méretráy megegyezk. Ameye (4 kélet ljá felírjuk közvetleül hegyeleteket: ν.... (5 kkor kegyelíté z lá (de ugyzo fxotú koráktól eltérő ttztk eléhez vezet: ( (. (6 A fetek ljá megállíthtjuk hogy (6 özefüggé telje megegyezét mutt ( formulávl. A ( é (6 kéletek ljá gz következő özefüggé: ( (. (7 6 Az meretleek meghtározá zélőérték feldtól Htározzuk meg ( formul mrdék vektort: ν.... (8 ektük következő otmlzálá feldtot: ( ( ν ν m m. (9 Mvel ortogoál mátrx ( I z egyelet következő lk felírhtó: ( ( m. ( A élfüggvéy zélőértékét zert rál dervált eltűée eeté vez fel így kjuk hogy ( ( (
7 NÉHÁNY ALENAÍV MEGOLDÁSI LEHEŐSÉG A D NEMLINEÁIS HASONLÓSÁGI DÁUMANSZFOMÁIÓ ALKALMAZÁSÁA Geomtk Közleméyek XVII 4 A (7 kélet mtt teljeül.... ( Ezért ( özefüggé felírhtó ( ( ( lk mől zkrodlom mert Hor-féle kélet dódk: ( (. (4 A meretée ( formul zélőértéke már k z forgtá mátrx függvéye így z elő é hrmdk (kot özegek elhgyhtók máodkól vzot z előjelváltá mtt mxmum zámítdó zto oztív kot evező elhgyhtó így mrd: ( mx. (5 7 A zélőérték zámítá megoldá kvteró-lgerávl A kvterókr votkozó legfoto özefüggéek: k j ( ( hoz kojugáltj * * ( ( ( ( I Q I Q. (6 Kvterókr (4 dmezó ( ( vektorokr áttérve (5 leár lk z meretle forgtá mátrx helyett z meretle ( kvteróvl felírhtó hol kereett forgtá mátrx é zámított kvteró között z lá özefüggé v (She et l. 6: ( ( ( I. (7 Mot már mde dott (5 özefüggé átíráához: ( ( N P Q mx mx mx * (8 hol N (4 4 mátrx következő lkú : ( ( ( ( N. (9
8 4 ZÁVOI J KALMÁ J Geomtk Közleméyek XVII 4 A (8 kvdrtku lk kkor ér el mxmumát h játvektor N mátrxk ekkor értéke megegyezk N játértékével tehát mxmlzálá feldt N mátrx mxmál χ játértékéek lletve hozzá trtozó egyégy χ játvektork ( kereett kvteró meghtározáár vezet. A kvteró meretée (7 ljá z ( r j forgtá mátrx már felírhtó é forgázögek ( ljá kzámíthtók. A t eltolá-vektort ezutá ( ljá átlgolál htározhtjuk meg. 8 Kolt két módzer megoldáák rmétere között Az ferdé zmmetrku mátrx z (5 kélet ljá kvteró edg (6 kélet ljá írj le emleár holóág trzformáó forgtá mátrxát. Előzör kfejtettük forgtá mátrxot z (5 kélet ljá: ( ( ( ( ( (. (4 Azutá felírtuk forgtá mátrxot kvteró komoeevel (6 ljá: ( ( ( ( ( (. (4 Felmerül z kérdé hogy (4 é (4 kéletekkel dott forgtá mátrxok mlye eete egyezek meg? Legye. (4 Helyetteítük (4 özefüggéekkel dott é rmétereket (4 formulá z lá özefüggéekhez jutuk:. (4 A (4 kélete z forgtá mátrx vlmey eleméek evezőjéől kemelve értéket mátrx klárzorzóják zámlálóját értékkel egyzerűítve é felhzálv hogy ée (4 özefüggéel dott zooághoz jutuk zz (4 özefüggéől (4 formulát ktuk meg. Legye mot. (44
9 NÉHÁNY ALENAÍV MEGOLDÁSI LEHEŐSÉG A D NEMLINEÁIS HASONLÓSÁGI DÁUMANSZFOMÁIÓ ALKALMAZÁSÁA 5 Ekkor z egyeletől kjuk z lá egyelőéget: ( (45 ±. (46 Helyetteítük mot (44 é (46 özefüggéeket (4 formulá kkor z forgtá mátrxr z lá lk dódk: (47 mely láthtólg megegyezk (4 özefüggéel. ehát özefogllv Bur-Wolf modell é kvteró komoeeke luló megoldá é ferdé zmmetrku mátrx é rmétere között z. tálázt özefogllt özefüggéek állk fe. 9 Özefogllá ulmáyuk D 7-rmétere (Helmert térel emleár holóág trzformáó megoldáár oly áltláo eljárát dtuk meg melyől méretráy-téyezőre tö külööző megoldá levezethető. A módzer léyege méretráy-téyezőre kott túlhtározott egyeletredzer má-má módo törtéő megoldáá rejlk. Megdtuk méretráy-téyező legke égyzetek elvé luló oly új levezetéét mely Bur-Wolf modell kvteróvl előállított megoldáák megfelelő rméterével (leggyo játérték umerku zooágot mutt. A méretráy-téyező meghtározáávl z eredetleg emleár rolém leár feldt megoldáár vezethető vz. Megmutttuk zt hogy Bur-Wolf modelle evezetett kvterók é z Awge- Grfred zerzők áltl evezetett ferdé zmmetrku mátrx eleme között fukoál kolt v ezáltl két eljárá egymá átvhető.. tálázt. Özefüggéek kvterók é z é rméterek között Geomtk Közleméyek XVII 4
10 6 ZÁVOI J KALMÁ J Hvtkozáok Alertz J Krelg W (975: Photogrmmetr Gude. Herert Whm Verl. Krlruhe Awge JL (: Gröer Be Multolyoml eultt d the Gu-Jo omtorl Algorthm- Adjutmet of Noler GPS/LPS Oervto. Dertto Geodäthe Ittut der Uvertät Stuttgrt. Awge JL Grfred EW (: Lerzed Let Sure d oler Gu-Jo omtorl lgorthm led to the 7 rmeter dtum trformto 7( rolem. Zethrft für Vermeugwee Awge JL Grfred EW (: loed form oluto of the overdetermed oler 7 rmeter dtum trformtot. Allgemee Vermeughrhte -49. Awge JL Grfred EW (: Exlt Soluto of the Overdetermed hree-dmeol eeto rolem Jourl of Geodey Awge JL Grfred EW (: Poloml Otmzto of the 7-Prmeter Dtum rformto Prolem whe Oly hree Stto Both Sytem re Gve Zethrft für Vermeugwee Awge JL Grfred EW Fukud Y (4: Ext oluto of the oler 7-rmeter dtum trformto y Groeer Bul. d Geode e Seze Aff Btth L Závot J (9: Soluto of the tereto rolem y the Sylveter-reultt d omro of two oluto of the D mlrty trformto. At Geod. Geoh. Hug. 44( Btth L Závot J (9: Az előmetzé rolém é D holóág trzformáó. Geomtk Közleméyek 9-6. Grfred EW Kmm G (996: (: he te rmeter oforml grou dtum trformto threedmeol Eulde e. Zethrft für Vermeugwee Grfred EW Krumm F (995: urvler geodet dtum trformto. Zethrft für Vermeugwee 4-5. Grfred EW Sh J (997: Etmle utte rojetve etwork. Zethrft für Vermeugwee -. Hor BKP (987: loed form oluto of olute oretto ug ut utero. Jourl of the Otl Soety of Amer Klmár J Závot J (: A D 7-rmétere dátumtrzformáó megoldá Gröer-áz é Bur-Wolf modelle Dmezók Mtemtk Közleméyek P E (: Geodéz dátumtrzformáó kvteróvl. Geomtk Közleméyek Závot J (999: A geodéz korzerű mtemtk módzere. Geomtk Közleméyek 49. Závot J (5: A 7 rmétere D trzformáó egzkt megoldá. Geomtk Közleméyek Závot J Jó (6: he oluto of the 7-rmeter dtum trformto rolem wth- d wthout the Gröer. At Geod. Geoh. Hug. 4( 87-. She YZ he Y Zheg DH (6: A utero-ed geodet dtum trformto lgorthm. J Geod 8 9 Závot J Frth D (: A frt ttemt t ew lger oluto of the exteror oretto of hotogrmmetry. At Geod. Geoh. Hug Závot J (: A mle roof of the oluto of the Helmert- d the overdetermed oler 7-rmeter dtum trformto. At Geod. Geoh. Hug. 47( Závot J (: A D é D emleár holóág (Helmert trzformáók megoldáák új levezetée. Geomtk Közleméyek Függelék: Numerku éld D 7 rmétere holóág trzformáó külööző tíuú megoldáár A módzer gykorlt lklmzáák emuttáához z Awge é Grfred ( tulmáy közölt Závot ( kke megmételt éldát vezük. A két koordát redzer közö otj WGS84 é egy lokál redzere dottk. A umerku zámítáok elleőrzée éljáól MALAB köryezete ját rogrmot írtuk mely lehetővé tez hogy ooál válzt lehet méretráy-téyező levezetéée tárgylt I. II. é III. megoldá között. Kemeljük hogy méretráy-téyező meghtározá utá z áltluk emuttott eljárá mdhárom eete leárr vzvezetett modellt hzálj. ehát forgtá é z eltolá rmétereket Bur-Wolf modell eetée leár modellől htározzuk meg de két eljárá egyeértékűége már P ( é Závot ( tulmáyok ljá ezoyoodott. Amt láthtó em zükége kezdőértéket megd em kell z egyeleteket or fejte zükégtele terál é z eljárá tetzőlege zögelforduláok eeté hzálhtó. A tulmáy mertetett lgortmuokkl emleár feldt megoldáár. tálázt megdott eredméyeket ktuk. Geomtk Közleméyek XVII 4
11 NÉHÁNY ALENAÍV MEGOLDÁSI LEHEŐSÉG A D NEMLINEÁIS HASONLÓSÁGI DÁUMANSZFOMÁIÓ ALKALMAZÁSÁA 7. tálázt. A umerku zámítáok eredméye Imeretle I. Megoldá Imeretle II.-III. Megoldá X t x Y 69.9 t y Z 4.9 z σ t σ Mdkét módzer rd zögekre z lá zoo értékeket dj zámítá otoágo elül: α ["] β [" ] γ ["]. A méretráy-téyező levezetéée tárgylt II. é III. megoldá ugyzo umerku értékeket zolgálttj ezért. tálázt fejléée Bur-Wolf felírá ltt eze közö értékeket k egyzer dtuk meg. Megjegyezzük hogy é kvterók é ferdé zmmetrku mátrx é rmétere k zámítá éleég htár elül egyezek meg. A tová tzede jegyeke ézlelt eltéré (4 formulávl mgyrázhtó. Ngyo külöég tztlhtó két módzer méretráy-téyezőjéek é eltolá rmétereek értékee. A méretráy-téyezők eltéréére mgyráztot d ( é ( kéletek eltérő zámítá módj z eltolá rméterek vzoylg em egyezée következméy lehet. Hogy teljee em érdektele méretráy-téyező ( kélettel törtéő zámítá módj rr jó okot d zo ézrevétel hogy már kevé dott ot (7 eeté két σ közéh k. értékkel tér el egymától. H edg σ közéh helyett közee zolút eltérét zámoljuk kkor. értékkel ke értéket khtuk. A Bur-Wolf modell kfejezette legke égyzetek módzere ljá mmlzálj méré hákt míg jvolt modell má mértékek eeté lklmzhtó. Geomtk Közleméyek XVII 4
12 8 Geomtk Közleméyek XVII 4
A 3D Helmert transzformáció méretarány-tényezőjének és forgatási mátrixának becslései
DIMENZIÓK 9 Mtemtk Közleméyek II. kötet, 4 A D Helmert trzformáó méretráy-téyezőjéek é forgtá mátrxák elée Závot Józef MA CSFK GGI zvot@ggk.hu Klmár Jáo MA CSFK GGI klmr@ggk.hu ÖSSZEFOGLALÓ. A tulmáy geometr
Részletesebben5. gyakorlat Konfidencia intervallum számolás
5. gykorlt Kofdec tervllum zámolá. Feldt Cél: Normál elozlá gyor áttektée. Az IQ tezteket úgy állítják öze, hogy tezt eredméye éeége belül ormál elozlát kövee 00 ot átlggl é 5 ot zórál. A éeég háy zázlék
RészletesebbenA Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...
A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer
RészletesebbenSíkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése
íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée DR BENKŐJÁNO gátudoáy Egyete Gödöllő Mg Gépt Itézet gyoozgáú gépzeezete tevezéée foto lépée z egyelete, ezgéete üzeet bztoító
Részletesebbenξ i = i-ik mérés valószínségi változója
EGYENESILLESZTÉS: A LEGKISEBB NÉGYZETEK MÓDSZERE Kíérleteket elvégeztük. Dolgozzuk fel az adatokat! Cél: mért változók (T, p, I, U ) között kapcolat felderítée. 1. zóródá dagram {x, y } ábra. kvattatív
RészletesebbenKözelítő és szimbolikus számítások haladóknak. 9. előadás Numerikus integrálás, Gauss-kvadratúra
Közelítő és szimolikus számítások hldókk 9. elődás Numerikus itegrálás, Guss-kvdrtúr Numerikus itegrálás Numerikus itegrálás Newto-Leiiz szály def I f f d F F Htározott Riem-itegrálok umerikus módszerekkel
RészletesebbenWilcoxon-féle előjel-próba. A rangok. Ismert eloszlás. A nullhipotézis megfogalmazása H 1 : m 0 0. A medián 0! Az eltérés csak véletlen!
0.0.4. Wlcoxo-féle előel-próba ragok Példa: Va-e hatáa egy zórakoztató flm megtektééek, a páceek együttműködé halamára? ( zámok potértékek) orzám előtte utáa külöbég 0 0 3 3-4 4 5 3 6 3 3 0 7 4 3 8 5 4
RészletesebbenTermékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás és piaci erő. Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás. Modern piacelmélet
Moder acelmélet Moder acelmélet Termékdfferecálá ELTE TáTK Közgazdaágtudomáy Tazék Sele Adre ELTE TáTK Közgazdaágtudomáy Tazék Kézítette: Hd Jáo A taayag a Gazdaág Vereyhvatal Vereykultúra Közota é a Tudá-Ökoóma
RészletesebbenHatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek
Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x
RészletesebbenEnergetikai gazdaságtan 3. gyakorlat Gazdasági mutatók
Eergetk gzdságt 3. gykorlt Gzdság muttók GAZDASÁGTAN, PÉNZÜGY JELLEMZŐK A gykorlt célj, hogy hllgtók A. elsjátítsák gzdálkodásb szokásos pézügytechk meységek között összefüggéseket; B. egyszerű gzdságosság
Részletesebben823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.
Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (
RészletesebbenA síkbeli projektív transzformáció matematikai modelljei
DIENZIÓK 4 temtk Közleméek IV. kötet 6 do:./dm.6.6 íkel rojektí trzformáó mtemtk modellje Záot Józef NE KTK Közgzdág é ódzert Itézet zot.jozef@ktk.me.hu Özefoglló. Ez kk D rojektí trzformáó rmétereek eléét
Részletesebben2. Gauss elimináció. 2.1 Oldjuk meg Gauss-Jordan eliminációval a következő egyenletrendszert:
. Guss elimináció.1 Oldjuk meg Guss-Jordn eliminációvl következő egyenletrendszert: x - x + x + x5 = -5 x1-7x + 8x - 5x = 9 x1-9x + 1x - 9x = 15. A t prméter mely értékeire nincs z egyenletrendszernek
Részletesebben9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA
9. LINÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKA Az 5. fejezetbe már megmeredtü a leár trazformácóal mt a leár leépezée egy ülölege típuával a 6. fejezetbe pedg megvzgáltu a leár trazformácó mátr-reprezetácóját.
Részletesebbenx + 3 sorozat első hat tagját, ha
Soroztok, soroztok megdás rekurzív módo.. Az ( ) soroztot rekurzív módo dtuk meg 7 -, sorozt első két tgj ( < ) egybe gyökei következő egyeletek: sorozt első öt tgját. y.adott ( ). Írd fel ( ) x 0 x. Htározd
RészletesebbenPPKE ITK Algebra és diszkrét matematika DETERMINÁNSOK. Bércesné Novák Ágnes 1
PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik = DETERMINÁNSOK = 13 = + + 13 13 Bércesé Novák Áges 1 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik DETERMINÁNSOK Defiíció: z sorb és m oszlopb elredezett x m (vlós vgy képzetes)
RészletesebbenA PIV - hajtásról II.
A PIV - hjtáról II. A PIV - hjtál foglkozó házi dolgoztunk I. rézében egy - két feltevé lján kéletet állítottunk fel z áttételre vontkozón. Mot előzör megvizgáljuk hogy e feltevéek egyike vlóbn érvénye
RészletesebbenMűszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat október 10. Monopólium
űszki folymtok közgzdsági elemzése Elődásvázlt 3 októer onoólium A tökéletesen versenyző válllt számár ici ár dottság, így teljes evétele termékmennyiség esetén TR () = ínálti monoólium: egyetlen termelő
RészletesebbenDenavit-Hartenberg (D-H) feladat megoldás: Készítette: Dévényi Péter (2011)
envit-hrtenberg (-H felt megolá: Kézítette: événi Péter ( otáió mátri meghtározá -ben: Aott eg O origójú koorinátrenzer, melben ott P(,. Aott koorinátrenzer α zöggel történő elforgtá. Az elforgtott koorinátrenzerben
RészletesebbenLineáris programozás
Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek
RészletesebbenVolumetrikus elven működő gépek, hidraulikus hajtások (17. és 18. fejezet)
oluetriku elve űködő gépek hidrauliku hajtáok (17 é 18 fejezet) 1 Függőlege tegelyű ukaheger dugattyúja 700 kg töegű terhet tart aelyet legfeljebb 6 / ebeéggel zabad üllyeztei A heger belő átérője 50 a
RészletesebbenARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK
ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):
RészletesebbenEgyenáramú motor kaszkád szabályozása
Egyeáramú motor kazkád zabályozáa. gyakorlat élja z egyeáramú motor modellje alajá kazkád zabályozó terezée. zabályozá kör feléítée Smulk köryezetbe. zmuláó eredméyek feldolgozáa.. Elmélet beezet a az
Részletesebbenn m dimenziós mátrix: egy n sorból és m oszlopból álló számtáblázat. n dimenziós (oszlop)vektor egy n sorból és 1 oszlopból álló mátrix.
Vektorok, átrok dezós átr: egy soról és oszlopól álló szátálázt. L L Jelölés: A A, L hol z -edk sor -edk elee. dezós (oszlop)vektor egy soról és oszlopól álló átr. Jelölés: u u,...,, hol z -edk koordát.
RészletesebbenVersenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.
Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy
RészletesebbenKidolgozott minta feladatok kinematikából
Kidolgozott minta feladatok kinematikából EGYENESVONALÚ EGYNLETES MOZGÁS 1. Egy gépkoci útjának az elő felét, a máik felét ebeéggel tette meg. Mekkora volt az átlagebeége? I. Saját zavainkkal megfogalmazva:
Részletesebben1. Hibaszámítás Hibaforrások A gépi számok
Hiszámítás Hiforráso feldto megoldás sorá ülöféle hiforrásol tlálozu Modellhi mior vlóság egy özelítését hszálju feldt mtemtii ljá felírásához Pl egy fizii törvéyeel leírt modellt Mérési vgy örölött hi
RészletesebbenA pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata
6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az
RészletesebbenSzoldatics József, Dunakeszi
Kstérség tehetséggodozás Rekurzív soroztok Szoldtcs József, Dukesz Npjkb egyre több verseye jelek meg rekurzív sorozt. Ezek megoldásához d ötleteket ez z elődás, A feldtok csoportosítv vk megoldás módszerek
RészletesebbenTARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...
TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT
Részletesebben(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.
Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N
RészletesebbenJárattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat:
JÁRATTERVEZÉS Kapcsolatok szert: Sugaras, gaárat: Járattípusok Voalárat: Körárat: Targocás árattervezés egyszerű modelle Feltételek: az ayagáram determsztkus, a beszállítás és kszállítás dőpot em kötött
RészletesebbenStatisztikai Statisztika I. elemzések viszonyszámokkal viszony 1. Láncból bázis Mennyiségi ismérv szerinti elemzés 1.
Statzta. ÉPLETE --e taé. élé Statzta elemzée zozámoal Vzozámo Damu zozámo V ahol : a zoítá tárga (zoítadó adat) : a zoítá alaa ázzozám: Láczozám: Vdb b Vdl l t b Damu zozámo Vzozámo özött özeüggée:. Lácból
RészletesebbenFEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL
FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL SZAKDOLGOZAT Készítette: Kovács Blázs Mtet BSc, tár szrá Tévezető: dr Wtsche Gergel, djutus ELTE TTK, Mtettítás és Módszert Közot Eötvös Lorád Tudoáegete Terészettudoá
Részletesebben19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer
19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.
Részletesebben1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gáor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása
Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0
RészletesebbenKészségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén
Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő
RészletesebbenValószínűségszámítás összefoglaló
Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!
RészletesebbenMérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető
11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i
Részletesebben2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya
II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve
Részletesebben1. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Oktatákutató é Fejleztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. zázadi közoktatá (fejlezté, koordináció) II. zakaz FIZIKA 1. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatákutató é Fejleztő
Részletesebben1. Gyors folyamatok szabályozása
. Gyor olyamatok zabályozáa Gyor zabályozá redzerekrl akkor bezélük, ha az ráyított olyamat dálladó máoder, agy az alatt agyágredek. gyor olyamatok eetébe a holtd általába az ráyítá algortmu megalóítááál
RészletesebbenTÖBBKOMPONENS RENDSZEREK FÁZISEGYENSÚLYAI III.
TÖKOMPONENS RENDSZEREK FÁZISEGYENSÚLYI III. OLDTOK EGYENSÚLYI: KORLÁTOZOTT OLDÓDÁS z elegyedés oldódás nem feltétlenül korlát, zz nem megy végbe teljes összetétel-trtománybn! H z oldódás korlátozott, kkor
RészletesebbenA 2D és 3D NEMLINEÁRIS HASONLÓSÁGI (HELMERT) TRANSZFORMÁCIÓK MEGOLDÁSÁNAK ÚJ LEVEZETÉSE
Geomtk Köleméek VI A D é D NEMLINEÁRIS HASONLÓSÁGI (HELMERT TRANSFORMÁCIÓK MEGOLDÁSÁNAK ÚJ LEVEETÉSE áot Jóe * New tretmet o the oluto o D d D o-ler mlrt (Helmert trormto - The lw o ture geerl d the relto
RészletesebbenV. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL
86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )
RészletesebbenÍ Í É Ó Ö Í Ó Ó ű Í Í Ó ű Ó Ó Ö Ö Ó Ö ű Ó Ó Ö ű ű ű Ö Ö Ó Ó Ó Ö Í Ö Ö Ö É Ó Ó Ö Ó Ő Ö Ó Ő Ö Í Ö ű ű Í Í ű ű É Í ű Í Ö Ö Í Í É Ö Ö Í Ö Ö Ö ű Ö Ö Ö Í ű ű Í Í ű Ő Í Ö Í Í Í Ö É Ö Ö Ű Í Ö Ó Í Í Í Í Í Ö ű Ö
RészletesebbenII. Lineáris egyenletrendszerek megoldása
Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek
RészletesebbenIX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN
4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z
Részletesebben2.4. Vektor és mátrixnormák
4 Vektor és mátrormák következõkbe összefoglluk témkörhöz felhszálásr kerülõ már tult smeretgot s Defícó : IK IR, ( IN, I K vlós vg komle számok hlmzát elöl) többváltozós függvét vektorormák evezzük, h
Részletesebben24. MŰVELETI ERŐSÍTŐK ALKALMAZÁSAI
24. MŰVELETI EŐSÍTŐK ALKALMAZÁSAI élkitűzés: Az elektroniki gondolkodásmód fejlesztése. I. Elméleti áttekintés A műveleti erősítőkkel (továikn ME) csknem minden, nem túlságosn ngyfrekvenciás elektroniki
RészletesebbenHáromszög n egyenlő területű szakaszra osztása, számítással és szerkesztéssel. Bevezetés
Háromszög egyelő területű szkszr osztás, számítássl és szerkesztéssel Bevezetés Az építészet szkrodlomb elég gykr előfordul címbel feldt, főleg kötőelemek kosztáskor. Ezek lehetek szegek, csvrok, betétek,
RészletesebbenMatematikai Közlemények. I. kötet
Matematka Közleméyek I kötet NymE EMK Matematka Itézet Sopro Tudó Táraág 3 Matematka Oktatá é KUtatá Szemárum (MOKUS 3) Koferecakötet NymE EMK Matematka Itézet Sopro Tudó Táraág Szerkeztők: Dr Závot Józef
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz
Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 15.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy
RészletesebbenA geometriai transzformációk egy speciális esete, a külső tájékozás
DIMENIÓK Mtemtk Kölemének II. kötet 4 A geometr trnsormáók eg seáls esete külső táékoás ávot Jóse MTA CSFK GGI vot@ggk.hu ÖSSEFOGLALÓ. A geometr külső táékoás rméteret ontok kékoordnátá és hoáuk trtoó
RészletesebbenALGEBRA. 1. Hatványozás
ALGEBRA. Htváyozás kitevő Péld: lp H kitevő természetes szám, kkor db téyező Bármely szám első htváy ömg Bármely ullától külöböző szám ulldik htváy egy. 0 ( 0) (0 0 em értelmezett) Htváyozás számológéppel:
RészletesebbenSzéchenyi István Egyetem MTK Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék Tartók statikája I. Dr. Papp Ferenc RÚDAK CSAVARÁSA
Széchenyi Itván Egyetem MTK Szerkezetépítéi é Geotechnikai Tanzék Tartók tatikája I. 1. Prizmatiku rúdelem cavaráa r. Papp Ferenc RÚAK CSAVARÁSA Egyene tengelyű é állandó kereztmetzetű (prizmatiku) rúdelem
Részletesebbenő ü ó ľ ő ľ Ü Ő ľ ü ü ľ ľ ľ ő ź ő Ĺ ę ö ö ľ ľ ő ó ľ ľ ö Ĺ źýź ü ź ő ö ö ü ő ő ó ö ü źů ü ő ö ö ö ü ů ö ö ö Ĺ ő ü ö ö ü ů ź ó ý ű ö ę ő Ö ź ű ü ü ő ý ę ő ü ó ę ó ó ö ü ö ó ę ę Ü ö ü ź ü ń ľ ö ő ű ö ü ó
RészletesebbenAktív lengéscsillapítás. A modell validációja
tív legécllpítá. odell vldácój. gyorlt célj z eletro árör eleeel egvlóított legredzer odellezée. Vló dej dtegyjté zotver ejleztée, ely egítégével éré dto Mtl áltl eldolgozhtó álloáy ethete el.. Elélet
RészletesebbenZárthelyi dolgozat 2014 B... GEVEE037B tárgy hallgatói számára
Zárthely dolgozat 04 B.... GEVEE037B tárgy hallgató zámára Név, Neptu kód., Néháy oro rövd léyegre törő válazokat adjo az alább kérdéekre! (5pot) a) Számítógépe mérőredzerek elépítée (rajz) (33.o.) b)
RészletesebbenMátrixok és determinánsok
Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.
RészletesebbenRANGSOROLÁSON ALAPULÓ NEM-PARAMÉTERES PRÓBÁK
RANGSOROLÁSON ALAPULÓ NEM-PARAMÉTERES PRÓBÁK Sorrendbe állítjuk a vzgált értékeket (a mntaelemeket) é az aktuál érték helyett a rangzámokat haználjuk a próbatatztkák értékenek kzámítáára. Egye próbáknál
RészletesebbenKözépiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L
Részletesebbenᔗ勗 tér ᔗ厗k n ü 2011. c u 04- n k h ó ᔗ厗k n ü Község 2011. c u 04- n megt rtott közmegh llg tásáról Ü h : Község Műᔗ勗elᔗ勗ᔗ勗ésᔗ勗 házáᔗ勗 ᔗ勗 ᔗ勗 tér n nn k: ᔗ勗oᔗ勗ák ᔗ勗ál olgármester eᔗ勗th ᔗ勗stᔗ勗áᔗ勗 l olgármester
RészletesebbenGÉPÉSZETI ALAPISMERETEK
Gépézeti alapimeretek középzint 2 ÉRETTSÉGI VIZSGA 204. máju 20. GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fonto tudnivalók
RészletesebbenFIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Fizika emelt zint 08 É RETTSÉGI VIZSGA 0. október 7. FIZIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utaítáai zerint,
Részletesebbenn természetes szám esetén. Kovács Béla, Szatmárnémeti
osztály Igzolju, hogy 3 < ármely természetes szám eseté Kovács Bél, Sztmárémeti Az összeg egy tetszőleges tgj: Ezt ővítjü és lítju úgy, hogy felothssu ét tört összegére ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) )( (
RészletesebbenVASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE
BUDAPET MŰZAK É GAZDAÁGTUDOMÁY EGYETEM Építőmérök Kar Hdak és zerkezetek Taszéke VABETO ÉPÜLETEK MEREVÍTÉE Oktatás segédlet v. Összeállította: Dr. Bód stvá - Dr. Farkas György Dr. Kors Kálmá Budapest,.
Részletesebben5. gyakorlat Konfidencia intervallum számolás
5. gykorlt Kofideci itervllum zámolá. Feldt Cél: Normál elozlá gyor áttekitée. Az IQ tezteket úgy állítják öze, hogy tezt eredméye éeége belül ormáli elozlát kövee 00 ot átlggl é 5 ot zórál. A éeég háy
RészletesebbenSMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1
III. Évfolym. szám - 008. úius Gyrmti József Zríyi iklós Nemzetvédelmi Egyetem gyrmti.ozsef@zme.hu SRT, TÖBBSZEPONTÚ DÖNTÉSI PROBÉ EGY EGYSZERŰ EGODÁS bsztrkt cikk egy többszempotú dötési módszert mutt
RészletesebbenTartalomjegyzék. dr. Lublóy László főiskolai docens. Nyomott oszlop vasalásának tervezése
dr. Lulóy Lázló főikolai docen yomott ozlop vaaláának tervezée oldalzám: 7. 1. Tartalomjegyzék 1. Központoan nyomott ozlop... 1.1. Vaalá tervezée egyzerűített zámítáal... 1..Vaalá tervezée két irányan....
RészletesebbenDifferenciálgeometria feladatok
Differenciálgeometri feldtok 1. sorozt 1. Egy sugrú kör csúszás nélkül gördül egy egyenes mentén. A kör egy rögzített kerületi pontj áltl leírt pályát cikloisnk nevezzük. () Írjuk fel ciklois egy c: R
Részletesebben(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---
A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris
Részletesebben(Kémiai alapok) és
212/213 tvszi félév 4. ór Gáz- és folyékegyesúlyok: z egyesúlyi álló és z egyesúlyi összetétel számítás Egyesúlyi álló foglm Folyékfázisú egyesúlyok (l. észteresítés, st.) iiulási ygok és termékek meyigéek,
RészletesebbenTartalom Fogalmak Törvények Képletek Lexikon 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Fizikkönyv ifj Zátonyi Sándor, 16 Trtlom Foglmk Törvények Képletek Lexikon Mozgá lejtőn Láttuk, hogy tetek lejtőn gyoruló mozgát végeznek A következőkben vizgáljuk meg rézleteen ezt mozgát! Egyene lejtőre
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
átrixok Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetemi doces 28.9.8. átrix átrix: tégllp lkú számtáblázt 2 2 22 2 Amx = O m m2 Jelölés: A, A mx, ( ij ) mx átrix típus (redje): m x, A R m x m: sorok szám : oszlopok
RészletesebbenA Hardy-Weinberg egyensúly
Hrdy-Weinerg egyensúly Evolúciót úgy definiáltuk, hogy ouláción z llélgykoriságok megváltozás. Egy ideális ouláció olyn, hogy n evolúció nincs. Ismérvei megmuttják, hogy mely folymtos vezethetnek evolúcióhoz.
RészletesebbenLaplace transzformáció
Laplace tranzformáció 27. márciu 19. 1. Bevezeté Definíció: Legyen f :, R. Az F ) = f t) e t dt függvényt az f függvény Laplace-tranzformáltjának nevezzük, ha a fenti impropriu integrál valamilyen R zámokra
RészletesebbenACTA CAROLUS ROBERTUS
ACTA CAROLUS ROBERTUS Károly Róbert Főiskol tudomáyos közleméyei Alpítv: 3 ( ACTA CAROLUS ROBERTUS 3 ( Mtemtik szekció KOMPLETTEN POZITÍV LEKÉPEZÉSEK ÉS R V KADISON EGY SEJTÉSE Összefogllás KOVÁCS ISTVÁN
RészletesebbenMegjegyzés: Amint már előbb is említettük, a komplex számok
1 Komplex sámok 1 A komplex sámok algeba alakja 11 Defícó: A komplex sám algeba alakja: em más, mt x y, ahol x, y R és 1 A x -et soktuk a komplex sám valós éséek eve, míg y -t a komplex sám képetes (vagy
RészletesebbenA m becslése. A s becslése. A (tapasztalati) szórás. n m. A minta és a populáció kapcsolata. x i átlag
016.09.09. A m beclée A beclée = Az adatok átlago eltérée a m-től. (tapaztalat zórá) = az elemek átlago eltérée az átlagtól. átlag: az elemekhez képet középen kell elhelyezkedne. x x 0 x n x Q x x x 0
RészletesebbenBoldog, szomorú dal. 134 Tempo giusto. van gyer - me- kem és. már, Van. Van. már, fe - le - sé - gem. szo-mo - rít - sam? van.
Boldog, szomorú dl Kosztolányi Dezsõ Soprn 13 Tempo giusto Lczó Zoltán Vince Alt Tenor Briton Vn már ke - nye-rem, bo- rom is vn, vn gyer - me- kem és Bss Vn Vn fe - le - sé - gem. Szí - vem mi-nek is
RészletesebbenHázi feladatok megoldása. Automaták analízise, szintézise és minimalizálása. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása
Automták nlízise, szintézise és minimlizálás Formális nyelvek, 11. gykorlt Célj: Az utomták nlízisének és szintézisének gykorlás, utomt minimlizáió Foglmk: Anlízis és szintézis, nyelvi egyenlet és egyenletrendszer
Részletesebben2015.06.25. Villámvédelem 3. #5. Elszigetelt villámvédelem tervezése, s biztonsági távolság számítása. Tervezési alapok (norma szerint villámv.
Magyar Mérnöki Kamara ELEKTROTECHNIKAI TAGOZAT Kötelező zakmai továbbképzé 2015 Villámvédelem #5. Elzigetelt villámvédelem tervezée, biztonági távolág zámítáa Villámvédelem 1 Tervezéi alapok (norma zerint
RészletesebbenIV/1. Szabó Imre Gábor. Szilárdságtan és Tartószerkezetek Tanszék
V/1 HÍDÉPÍTÉS V. Özvérgerend hdk Szbó mre Gábor Pé Tudományegyetem Pollk hály űzk é nformtk Kr Szlárdágtn é Trtózerkezetek Tnzék 4.1 Özvérgerend hdk klkítá V/2 1áb E üttd l ó k tű flő ál á hd k á tát té
RészletesebbenACTA CAROLUS ROBERTUS
ACTA CAROLUS ROBERTUS Károly Róbert Főisol tudomáyos özleméyei Alpítv: ( ACTA CAROLUS ROBERTUS ( Mtemti szeció AZ INTEGRÁLSZÁMÍTÁS OKTATÁSÁRÓL KÖRTESI PÉTER Összefogllás A htározott itegrál értelmezése
RészletesebbenArányosság. törtszámot az a és a b szám arányának, egyszer en aránynak nevezzük.
Arányosság Az törtszámot z és szám rányánk, egyszeren ránynk nevezzük. Az rány értéke zt ejezi ki, hogy z szám hányszor ngyo számnál, illetve szám hányszor kise z számnál. Az rányokkl végezhet két legontos
RészletesebbenOrosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. útmutatások. x arányt, vagy
Elem lgebr. útmuttások A.. Négyzetre emeléssel szmmetrkussá tehetjük törtet. Más megoldás lehetőségek: A homogé másodfokú egyeletből megkphtjuk z y ráyt, vgy lklmzhtuk prméterezést: + y y = p prméterezéssel
RészletesebbenFELADATOK MÉRÉSELMÉLET tárgykörben. 1. Egy műszer osztálypontossága 2.5, a végkitérése 300 V. Mekkora a mérés abszolút hibája?
FELADATOK MÉÉSELMÉLET tárgykörbe. Egy műszer osztálypotosság., végktérése 3 V. Mekkor mérés bszolút hbáj? H Op v / %,*3/ 7, V. A fet műszer V-ot mér. Mekkor mérés reltív hbáj? H h v % 6,% h 3. Egy mérés
RészletesebbenA vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai
A vezetői muk lpelemei - Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji Szkgyógyszerész-jelöltek képzése Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi
RészletesebbenEls gyakorlat. vagy más jelöléssel
Els gykorlt Egyszer egyenletek, EHL PDE A gykorlt elején megismerkedünk prciális dierenciálegyenletek (mostntól: PDE-k) lpfoglmivl. A félév során sokt fog szerepelni z ún. multiindex jelöl, melynek lényege,
RészletesebbenBevezetés a programozásba. 3. Előadás Algoritmusok, tételek
Bevezetés progrmozásb 3. Elődás Algortmusok, tételek ISMÉTLÉS Specfkácó Előfeltétel: mlyen körülmények között követelünk helyes működést Utófeltétel: mt várunk kmenettől, m z összefüggés kmenet és bemenet
RészletesebbenÓravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok
Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek
RészletesebbenA + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )
Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és
RészletesebbenSzakács Jenő Megyei Fizika Verseny, II. forduló, Megoldások. F f + K m 1 g + K F f = 0 és m 2 g K F f = 0. kg m
Szakác Jenő Megyei Fizika Vereny, II. forduló, Megoldáok. oldal. ρ v 0 kg/, ρ o 8 0 kg/, kg, ρ 5 0 kg/, d 8 c, 0,8 kg, ρ Al,7 0 kg/. a) x? b) M? x olaj F f g K a) A dezka é a golyó egyenúlyban van, így
RészletesebbenA paramétereket kísérletileg meghatározott yi értékekre támaszkodva becsülik. Ha n darab kisérletet (megfigyelést, mérést) végeznek, n darab
öbbváltozós regresszók Paraméterbecslés-. A paraméterbecslés.. A probléma megfogalmazása A paramétereket kísérletleg meghatározott y értékekre támaszkodva becsülk. Ha darab ksérletet (megfgyelést, mérést
Részletesebben2. gyakorlat 2. Mérési adatok feldolgozása, mérési eredmény megadása. 2.1. Matematikai statisztikai alapismeretek (kiegészítés)
. gyakorlat. Méréi adatok feldolgozáa méréi eredméy megadáa... Matematikai tatiztikai alapimeretek (kiegézíté) A matematikai tatiztika tárgya az hogy a tapaztalati adatokból következtee a telje okaág vagy
RészletesebbenVentilátorok üzeme (16.fejezet)
Vetilátoro üzee (16.fejezet) 1. Defiiálja vetilátoro tatiu é zyoá veedéét! Vázlato utaa eg az zyoá ooeeie változáát egy egyfoozatú terelőrá élüli a ilééél a járóeré utá diffúzorral ellátott iáli átléű
Részletesebben